(完整)南昌大学线性代数期末考试试卷及答案,推荐文档
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南昌大学2007~2008学年第二学期期末考试试卷
南昌大学07~08学年第二学期线性代数期末考试(A 卷)评分标准
一、1_________
3-;
2 1234
___________________________
0a a
a a +++=;
3
______
;4 ______1-;5
____________________
22
t -<<。
二、1(B ); 2(C ); 3(D ); 4(A ); 5(A )。
三
()1 203042302A B ⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 003000300A B ⎡⎤
⎢⎥-=⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
--------2分 ()()906600609A B A B -⎡⎤
⎢⎥+-=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
------------------4分 2106043001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 2100343601B ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ --------8分 22006300600A B ⎡⎤
⎢⎥-=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
------------------9分 四、()1令()1
2
3
4
,,,A αααα''''=并对矩阵A 作初等行变换
1151115
111230
2743181027413970
4148A ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥--⎢
⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥
--⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦ --------3分 31
0111512
027470122
0000000000000000⎡⎤⎢⎥
--⎡⎤⎢
⎥⎢⎥-⎢⎥⎢
⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦
--------6分
则1α,2α为该向量组的一个最大无关组。 --------7分
()2 31237
22
ααα=- ------------------9分
4122ααα=+ ------------------11分
五、方法(一)
1A =-Q ------------------3分 1121
31112223213233311A A A A A A
A A A A
A A A -⎡⎤
⎢⎥∴=
*=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
--------------5分 1
431
431
531531
6
4164---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
--------------11分 方法(二)
223
100110010110
010*********
001223100-⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
Q --------2分 110010011011043120-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 110010011011001164-⎡⎤
⎢⎥→⎢⎥
⎢⎥---⎣⎦ --------6分 110010100143010153010153001164001164---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ --------10分 1143153164A ---⎡⎤
⎢⎥∴=--⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
-------------------11分 六、对方程组的增广矩阵作初等行变换,得:
[]1
212012120,2
11110515131210515A b λλ----⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ --------2分 1
21200
51510
001λ--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
-------------------4分 由此可见:
()1当1λ≠时, ()2R A =,[](),3R A b =
此时原方程组无解。 -------------------5分 ()2当1λ=时,()[](),24R A R A b ==<(未知量的个数) 此时原方程组有无穷多个解。
-------------------6分
当1λ=时,阶梯形矩阵为:1212
0130310515
1051510000
000000---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
----7分
1010η*⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 13150ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 230
51ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭
-------------------10分
一般解是:1122x k k ηξξ*=++(12,k k 为任意实数) ---------11分
七、1
2112
1
1
5
3
E A λλλλ----=
-+--=()()()2110λλλ-+-= ------2分
解得特征值为:12λ=,21λ=,31λ=- ---------3分 对应于12,λ=根据()0E A X λ-=,有
123123123204050x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩,即1323
30x x x x x
=⎧⎪
=⎨⎪=⎩ 取31x =,则易求得121,0x x ==。 得基础解系为()1,0,1',
∴A 的属于特征值12λ=的全部特征向量为()11,0,1k ',
(其中1k 为任意非零常数) ---------6分 对应于21,λ=根据()0E A X λ-=,有
23123
1232030520x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩,即12
223
22x x x x x x
=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 取21x =,则易求得131,2x x ==-。 得基础解系为()1,1,2'-
∴A 的属于特征值21λ=的全部特征向量为()21,1,2k '-
(其中2k 为任意非零常数) ---------9分 对应于31,λ=-根据()0E A X λ-=,有
1231231
232200540x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩,即13
23331434x x x x x x ⎧
=⎪⎪
⎪
=-⎨⎪
=⎪⎪⎩
取34x =,则易求得131,3x x ==-。 得基础解系为()1,3,4'-
∴A 的属于特征值31λ=-的全部特征向量为()31,3,4k '-
(其中3k 为任意非零常数) ---------12分
八、 λλλλλλ
λ