(完整)南昌大学线性代数期末考试试卷及答案,推荐文档

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南昌大学2007~2008学年第二学期期末考试试卷

南昌大学07~08学年第二学期线性代数期末考试(A 卷)评分标准

一、1_________

3-;

2 1234

___________________________

0a a

a a +++=;

3

______

;4 ______1-;5

____________________

22

t -<<。

二、1(B ); 2(C ); 3(D ); 4(A ); 5(A )。

()1 203042302A B ⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 003000300A B ⎡⎤

⎢⎥-=⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

--------2分 ()()906600609A B A B -⎡⎤

⎢⎥+-=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

------------------4分 2106043001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦; 2100343601B ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦ --------8分 22006300600A B ⎡⎤

⎢⎥-=-⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

------------------9分 四、()1令()1

2

3

4

,,,A αααα''''=并对矩阵A 作初等行变换

1151115

111230

2743181027413970

4148A ----⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥--⎢

⎥⎢⎥=→→⎢⎥⎢⎥

--⎢⎥⎢⎥

--⎣⎦⎣⎦ --------3分 31

0111512

027470122

0000000000000000⎡⎤⎢⎥

--⎡⎤⎢

⎥⎢⎥-⎢⎥⎢

⎥-→→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢

⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦

--------6分

则1α,2α为该向量组的一个最大无关组。 --------7分

()2 31237

22

ααα=- ------------------9分

4122ααα=+ ------------------11分

五、方法(一)

1A =-Q ------------------3分 1121

31112223213233311A A A A A A

A A A A

A A A -⎡⎤

⎢⎥∴=

*=⎢⎥⎢⎥⎣⎦

--------------5分 1

431

431

531531

6

4164---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

--------------11分 方法(二)

223

100110010110

010*********

001223100-⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

Q --------2分 110010011011043120-⎡⎤⎢⎥→⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ 110010011011001164-⎡⎤

⎢⎥→⎢⎥

⎢⎥---⎣⎦ --------6分 110010100143010153010153001164001164---⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥→--→--⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ --------10分 1143153164A ---⎡⎤

⎢⎥∴=--⎢⎥

⎢⎥-⎣⎦

-------------------11分 六、对方程组的增广矩阵作初等行变换,得:

[]1

212012120,2

11110515131210515A b λλ----⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥=--→-⎢⎥⎢⎥

⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦ --------2分 1

21200

51510

001λ--⎡⎤⎢⎥→-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦

-------------------4分 由此可见:

()1当1λ≠时, ()2R A =,[](),3R A b =

此时原方程组无解。 -------------------5分 ()2当1λ=时,()[](),24R A R A b ==<(未知量的个数) 此时原方程组有无穷多个解。

-------------------6分

当1λ=时,阶梯形矩阵为:1212

0130310515

1051510000

000000---⎡⎤⎡⎤

⎢⎥⎢⎥-→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

----7分

1010η*⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭; 13150ξ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 230

51ξ-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭

-------------------10分

一般解是:1122x k k ηξξ*=++(12,k k 为任意实数) ---------11分

七、1

2112

1

1

5

3

E A λλλλ----=

-+--=()()()2110λλλ-+-= ------2分

解得特征值为:12λ=,21λ=,31λ=- ---------3分 对应于12,λ=根据()0E A X λ-=,有

123123123204050x x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩,即1323

30x x x x x

=⎧⎪

=⎨⎪=⎩ 取31x =,则易求得121,0x x ==。 得基础解系为()1,0,1',

∴A 的属于特征值12λ=的全部特征向量为()11,0,1k ',

(其中1k 为任意非零常数) ---------6分 对应于21,λ=根据()0E A X λ-=,有

23123

1232030520x x x x x x x x --=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩,即12

223

22x x x x x x

=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 取21x =,则易求得131,2x x ==-。 得基础解系为()1,1,2'-

∴A 的属于特征值21λ=的全部特征向量为()21,1,2k '-

(其中2k 为任意非零常数) ---------9分 对应于31,λ=-根据()0E A X λ-=,有

1231231

232200540x x x x x x x x x ---=⎧⎪-++=⎨⎪--=⎩,即13

23331434x x x x x x ⎧

=⎪⎪

=-⎨⎪

=⎪⎪⎩

取34x =,则易求得131,3x x ==-。 得基础解系为()1,3,4'-

∴A 的属于特征值31λ=-的全部特征向量为()31,3,4k '-

(其中3k 为任意非零常数) ---------12分

八、 λλλλλλ

λ

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