差分方程

差分方程

第九节差分方程

迄今为止，我们所研究的变量基本上是属于连续变化的类型. 但在经济管理或其它实际问题中，大多数变量是以定义在整数集上的数列形式变化的，银行中的定期存款按所设定的时间等间隔计息，国家财政预算按年制定等等. 通常称这类变量为离散型变量. 对这类变量，我们可以得到在不同取值点上的各离散变量之间的关系，如递推关系等. 描述各离散变量之间关系的数学模型称为离散型模型. 求解这类模型就可以得到各离散型变量的运行规律. 本节将介绍在经济学和管理科学中最常见的一种离散型数学模型—差分方程.

内容分布图示

★引言★差分的概念★例1-5

★差分方程的概念★例6 ★例7

★一阶常系数线性齐次差分方程

★一阶常系数线性非齐次差分方程

★例9-14 ★例15 ★例16 ★二阶常系数线性差分方程

★ 二阶常系数线性齐次差分方程的通解

★ 例17 ★ 例18 ★ 例19

★ 二阶常系数线性非齐次差分方程的特解

★ 例20-23

差分方程在经济学中的应用

★ 模型1

★ 模型2 ★模型3 ★ 内容小结

★ 课堂练习 ★ 习题8-9

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内容要点：

一、 差分的概念与性质

一般地，在连续变化的时间范围内，变量y 关于时间t 的变化率是用dt

dy 来刻画的；对离散型的变量y ，我们常取在规定的时间区间上的差商

t y ∆∆来刻画变量y 的变化率. 如果

选择1=∆t ，则 )()1(t y t y y -+=∆

可以近似表示变量y 的变化率. 由此我们给出差分的定义.

定义 1 设函数).(t y y t = 称改变量t t y y -+1为函数t y 的差分,

也称为函数t y 的一阶差分, 记为t y ∆, 即

t t t y y y -=∆+1 或 )()1()(t y t y t y -+=∆.

一阶差分的差分称为二阶差分t y 2∆, 即

t t t t y y y y ∆-∆=∆∆=∆+12)(

.2)()(12112t t t t t t t y y y y y y y +-=---=+++++

类似可定义三阶差分, 四阶差分,……

),(),(3423t t t t y y y y ∆∆=∆∆∆=∆

一般地，函数t y 的1-n 阶差分的差分称为n 阶差分，记为t n y ∆，即

t n t n t n y y y 111-+-∆-∆=∆i

n t i n n i i y C -+=∑-=0)1(

二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分.

差分的性质：

（1） t t y C Cy ∆=∆)( );(为常数C

（2） ;)(t t t t z y z y ∆±∆=±∆

（3）;)(1t t t t t t z y y z z y ∆+∆=⋅∆+

（4）t t t t t t t t z z z y y z z y ⋅∆-∆=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+1

).0(≠t z

二、差分方程的概念

定义2 含有未知函数t y 的差分的方程为差分方程.

差分方程的一般形式:

0),,,,,(2=∆∆∆t n

t t t y y y y t F 或

.0),,,,,(21=+++n t t t t y y y y t G

差分方程中所含未知函数差分的最高阶数称为该差分方程的阶. 差分方程的不同形式可以互相转化.

定义3 满足差分方程的函数称为该差分方程的解.

如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数, 则称这个解为该差分方程的通解.

我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称为初始条件, 满足初始条件的解称为特解.

定义 4 若差分方程中所含未知函数及未知函数的各阶差分均为一次的, 则称该差分方程为线性差分方程.

线性差分方程的一般形式是

)()()()(1111t f y t a y t a y t a y t n t n n t n t =+++++--++ 其特点是

t n t n t y y y ,,,1 +++都是一次

的.

三、一阶常系数线性差分方程

一阶常系数线性差分方程的一般形式为

)

(1t f Py y t t =-+ (9.1)

其中, P 为非零常数, )(t f 为已知函数. 如果,0)(=t f 则方程变为

01=-+t t Py y

(9.2)

方程(9.2)称为一阶常系数线性齐次差分方程, 相应地，方程(9.1)称为一阶常系数线性非齐次差分方程.

一阶常系数线性齐次差分方程的通解

一阶常系数线性非齐次差分方程

定理1 设t y 为方程(9.2)的通解,*t y 为方程(9.1)的一个特解, 则*t t t y y y +=为方程(9.1)的通解.

（1）C t f =)( (C 为非零常数)

（2）t Cb t f =)( (C , b 为非零常数且1≠b )

四、二阶常系数线性差分方程

二阶常系数线性差分方程的一般形式:

)(12t f by ay y t t t =++++

(9.9)

其中b a ,均为常数, 且,0≠b )(x f 是已知函数. 当0)(=x f 时, 方程(9.9)变为

012=++++t t t by ay y

(9.10)

方程(9.10)称为二阶常系数线性齐次差分方程，相应地，方程(9.9)称为二阶常系数线性非齐次差分方程.

定理2 设t y 为方程((9.10)的通解, *t y 为方程(9.9)的一个特解, 则*t t t y y y +=为方程(9.9)的通解.

二阶常系数线性齐次差分方程的通解

特征方程 0

2=++b a λλ (9.11)

二阶常系数线性非齐次差分方程的特解和通解

仅考虑方程(9.9)中的)(x f 取某些特殊形式的函数时的情形.

(1))()(t P x f m =(其中)(t P m 是t 的m 次多项式), 方程(9.9)具有形如)(*t R t y m k t =的特解, 其中)(t R m 为t 的m 次待定多项式.

五、 差分方程在经济学中的应用

采用与微分方程完全类似方法，我们可以建立在经济学