新人教a版高中数学必修4《向量》课件 最新
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人教A版高一数学必修四第二章 2.4.1向量在平面几何中的应用课件 (共12张PPT)
2.4.1 向量在平面几何中的应用
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
2
2
AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
2
a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
平面几何中的向量方法
向量的概念和运算，都有明确的物理背景和几 何背景。当向量与平面坐标系结合以后，向量 的运算就可以完全转化为“代数”的计算，这 就为我们解决物理问题和几何研究带来极大的 方便。
由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明 的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、 全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性 运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法 可以解决平面几何中的一些问题。
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AB2 BC2 CD2 DA2 2( a b )
AC2 BD2 a b 2 a b 2
2
a
2ab
2
b
2
a
2ab
2
b
2
a
2
2
b
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a
2
b
2
∴ AB2 BC2 CD2 DA2 AC2 BD2
例5 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、 DC边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？
证明：如图，已知平行四边形ABCD的两条 对角线相交于M，设 AM xAC, BM yBD
则 AM xAC xAB xAD,
AM AB BM
AB yBD
D C
M
AB y( AD AB)
A
B
(1 y) AB y AD
根据平面向量基本定理知，这两个分解
式是相同的，所以
x 1 y
x y
解得
x
1 2
y
1 2
所以点M是AC、BD的中点，即两条对 角线互相平分.
例3.已知正方形ABCD，P为对角线AC上任意 一点，PE⊥AB于点E，PF⊥BC于点F，连接 DP、EF，求证DP ⊥EF。
新课标人教A版数学必修4全部课件：平面向量的数量积及运算律
(× )
( ×)
(× ) (√ ) (× )
五.小结
(1)向量的数量积的定义及几何意义.
(2)数量积的5条性质. 六.作业
习题5.6 3,6
谢谢莅临指导！
再 见
Байду номын сангаас
四.课堂练习
判断下列各题是否正确
(1)若a=0,则对任意向量b,有a· 0------ (√) b=
(2)若a≠0,则对任意非零向量b,有a· b≠0-(3)若a≠0,且a· b=0,则b=0 ------------------(4)若a· b=0,则a=0或b=0 --------------------(5)对任意向量a有a2=│a│2 ---------------(6)若a≠0且a· c,则b=c ------------------b=a·
三.根据定义思考下列各题:
设a,b是非零向量，e是与b方向相同的 单位向量，θ是 a与 e的夹角，则 （1）a· e与e· a的关系是:__________ （2）命题p：a b,命题q:a· 0则p与q的关 b= 系是:__________ (3)当a与b同向时,a· b=__________ 当a与b反向时,a· b=__________ (4)cosθ=_______ │a·b│___│a│·│b│
平面向量的数量积是一个数量，而差向量、和 向量分别是一个向量。 思考2： 如图，作出│b│cosθ，并说出它的几何 意义；│a│cosθ的几何意义有是什么？
B b θ ┐ O a B1 A
（1）
B b θ B1 O
┐
B b
θ a ┓ a A O(B1)
（3）
A
（2）
│b│cosθ叫做向量b在向量a上的投影， │a│cosθ叫做向量a在向量b上的投影. a· b的几何意义： 向量a与b的数量积a· b等于a的长度│a│ 与b在a的方向上的投影│b│cosθ的积.
人教版A版高中数学必修4：向量的几何表示_课件4
思考6：如果非零向量
uuur AB
与
uuur CD
是相反
向量，通过平移使起点A与C重合，那么
终点B与D的位置关系如何？
A
B
D
C
探究（二）：平行向量与共线向量
思考1：如果两个向量所在的直线互相平 行，那么这两个向量的方向有什么关系？
方向相同或相反
2：方向相同或相反的非零向量叫做平行 向量，向量a与b平行记作a//b，那么平行 向量所在的直线一定互相平行吗？
3：零向量0与向量a平行吗？ 规定：零向量与任一向量平行.
思考4：将向量平移，不会改变其长度和方向. 如图，设a、b、c是一组平行向量，任作一条
与点向O，量分a所别在作O直uuAu线r 平=a行，的OuuB直ur 线=bl，，O在uuCulr上=任c，取那一
么点A、B、C的位置关系如何？
a
b
O
c
B
7对于向量a、b、c，若a // b， b // c， 那么a // c吗？
8对于向量a、b、c，若a =b， b =c， 那么a = c吗？
理论迁移
例1 判断下列命题是否正确：
（1）若两个单位向量共线，则这两个向
量相等；
（×）
（2）不相等的两个向量一定不共线；
（× ）
（3）在四边形ABCD中，若向量与共线，
O
F
OB = DC = EO = FA
D
E
例3 如图，在△ABC中，D、E、F分
别是AB、BC、CA边上的点，已知
uuur uuur uuur uuur A D = DB, DF = BE,
求证：DuuEur
=
uuur AF
.
A
高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理课件 新人教A版必修4
1.若向量 a，b 不共线，则 c＝2a－b，d＝3a－2b， 试判断 c，d 能否作为基底． 解：设存在实数 λ，使 c＝λd， 则 2a－b＝λ(3a－2b)， 即(2－3λ)a＋(2λ－1)b＝0， 由于向量 a，b 不共线， 所以 2－3λ＝2λ－1＝0，这样的 λ 是不存在的， 从而 c，d 不共线，c，d 能作为基底．
探究点二 用基底表示平面向量
如图所示，在▱ABCD 中，点 E，F
分别为 BC，DC 边上的中点，DE 与 BF 交 于点 G，若A→B＝a，A→D＝b，试用 a，b 表 示向量D→E，B→F.
[解] D→E＝D→A＋A→B＋B→E ＝－A→D＋A→B＋12B→C
＝－A→D＋A→B＋12A→D＝a－12b．
4．若 a，b 不共线，且 la＋mb＝0(l，m∈R)，则 l＝________， m＝________． 答案：0 0 5.若A→D是△ABC 的中线，已知A→B＝a，A→C＝b，若 a，b 为基底，则A→D＝________． 答案：12(a＋b)
探究点一 对基底的理解
设 O 是平行四边形 ABCD 两对角线的交点，给出下列向
解：D→E＝D→C＋C→E＝2F→C＋C→E＝－2C→F＋C→E＝－2b＋a．
B→F＝B→C＋C→F＝2E→C＋C→F
＝－2C→E＋C→F＝－2a＋b．
用基底表示向量的两种方法 (1基底表示为止． (2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一 性求解.
对基底的理解 (1)两个向量能否作为一组基底，关键是看这两个向量是否共 线．若共线，则不能作基底，反之，则可作基底． (2)一个平面的基底若确定，那么平面上任意一个向量都可以由 这组基底唯一线性表示出来，设向量 a 与 b 是平面内两个不共 线的向量，若 x1a＋y1b＝x2a＋y2b，则xy11＝＝yx22.，
人教A版数学必修4PPT课件平面向量4
数λ1,λ2 ,使
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
a 1e1 2 e2
说明：① e1 ，e2 是两个不共线的向量； ② a 是平面内的任意向量； ③ λ1，λ2为实数，且唯一确定.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
我们把不共线的向量 e1 ，e2 叫做这一平面内所有向量 的一组基底.
一对实数
1, 2，使
a
1 e1
2
e
.
2
不共线的向量 e1,e2 叫做表示这一平面内 所有向量的一组基底.
言论的花，开得愈大；行为的果子，结得愈小. ——冰心
2．在等边三角形 ABC 中，A→B与B→C的夹角等于( C )
A．60°
B．90°
C．120°
D．150°
3.已知 e1 和 e2 是表示平面内所有向量的一组基底， 那么下面四组向量中不能作为一组基底的是 ( C)
A．e1 和 e1＋e2 B．e1－2e2 和 e2－2e1 C．e1－2e2 和 4e2－2e1 D．e1＋e2 和 e1－e2 【解析】分析四个选项知，在 C 中，4e2－2e1＝ －2(e1－2 e2)．∴e1－2 e 2 与 4 e 2－2 e 1 共线，应选 C.
种表示是否唯一？请说明理由.
1.理解平面向量的基底的意义与作用. （重点） 2.能够在具体问题中适当地选取基底，使其他 向量都能够用基底来表达． （难点） 3.初步利用定理解决问题（如相交线交成线段 比的问题等）.
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量共线的向量 e1,e2 与该
平面内的任一向量 a 之间的关系.
a
e1
e2
人 教 A 版 数学 必修4 PPT课件 平面向 量4
人教A版数学必修4PPT课件平面向量1
提示:
（1）a＋b与a和b 同向;（2）a＋b 的方向与长度大的向
量同向.
思考4：观察下列各图，| a＋b | 与| a |＋| b | 的大小关系 如何？试猜想，| a＋b | 与| a |－| b | 的大小关系如何？
C
a＋b
b
A
提示: a
B
a b
a＋b
a b
a+b
| a＋b || a |＋| b |，当且仅当 a与b 同向时取等号；
AB BC CD DF FA
AC CD DF FA
AD DF FA
AF FA 0
AB DF CD BC FA 0
6.如图，一艘船从 A点出发以 2 3km / h 的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流.求 船实际行驶速度的大小与方向.
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
1.向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点A，
向
三角形 法则
作 AB a，BC b， 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记作 a b，即 a b AB BC
量
AC. 这种求向量和的方法，称为向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如 何反映的？什么叫零向量和单位向量？
提示:
与向量有关的概念
名称
零向量 单位向量 相等向量 平行向量 (共线向量)
定义
长度为0的向量 长度等于1个单位的向量 长度相等且方向相同的向量 方向相同或相反的非零向量
（1）a＋b与a和b 同向;（2）a＋b 的方向与长度大的向
量同向.
思考4：观察下列各图，| a＋b | 与| a |＋| b | 的大小关系 如何？试猜想，| a＋b | 与| a |－| b | 的大小关系如何？
C
a＋b
b
A
提示: a
B
a b
a＋b
a b
a+b
| a＋b || a |＋| b |，当且仅当 a与b 同向时取等号；
AB BC CD DF FA
AC CD DF FA
AD DF FA
AF FA 0
AB DF CD BC FA 0
6.如图，一艘船从 A点出发以 2 3km / h 的速度向垂直
于对岸的方向行驶，同时河水以2km/h的速度向东流.求 船实际行驶速度的大小与方向.
向量加法的定义
三角形法则
平行四边形法则
向量加法的运算律
向量加法的运算
1.向量加法的运算法则
已知非零向量 a，b，在平面内任取一点A，
向
三角形 法则
作 AB a，BC b， 则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记作 a b，即 a b AB BC
量
AC. 这种求向量和的方法，称为向量
2.2 平面向量的线性运算
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
1.向量、平行向量、相等向量的含义分别是什么？ 2.用有向线段表示向量，向量的大小和方向是如 何反映的？什么叫零向量和单位向量？
提示:
与向量有关的概念
名称
零向量 单位向量 相等向量 平行向量 (共线向量)
定义
长度为0的向量 长度等于1个单位的向量 长度相等且方向相同的向量 方向相同或相反的非零向量
新人教A版高中数学必修4第2章平面向量
来源教学内容： §平面向量的实际背景及大体概念教学目标 1． 了解向量的物理背景及在物理中的意义2． 理解向量、零向量、单位向量、相等向量的概念，会用字母表示向量，能读写已知图中的向量；3． 掌握向量的几何表示，明确向量的长度、零向量、单位向量的几何意义； 4． 了解共线向量、平行向量的概念，会根据图形判定是否平行、共线、相等．本节重点向量的概念、相等向量的概念、向量的几何表示等 本节难点向量的概念 教学模式教学过程 主 要 内 容 及 板 书摘要与反思一、提出问题，引入新课： （1）我们已学了哪些既有大小又有方向的量？（2）角的正弦线、余弦线、正切线是怎样的图形？ 强调已学的位移、力、速度、加速度及三角函数线等都是既有大小又有方向的量．这种量就是我们本章所要研究的向量．1．向量：既有大小，又有方向的量2．数量：只有大小，没有方向的量。
二、新课教学（１）有向线段及有关概念一般，在线段AB 的两个端点中，规定一个顺序， 终点B 一个为起点，一个为终点，我们就说线段AB 具有方向，具有方向的线段叫做有向线段． 起点A以A 为起点，B 为终点的有向线段，记作AB ，线段AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度，记作AB ．有向线段的三要素：起点、方向、长度． （２）向量的表示及模的概念①表示：向量通常用一条有向线段来表示，也可以用字母c b a ,,等来表示，或用表示有向线段的起点和终点的字母表示，如AB ．②模：有向线段的长度表示向量的大小，也就是向量的长度（或称模），记作AB ，,a 箭头所指的方向表示向量的方向．摘要与反思 主 要 内 容 及 板 书③零向量：长度为０的向量叫做零向量，记作0④单位向量：长度等于１个单位长度的向量，叫做单位向量．（３）平行向量（共线向量）与相等向量的概念①平行向量：方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量． 如图中，c b a ,,就是一组平行向量，记作 a ∥b ∥c ．任作一条与a 所在直线平行的直线l ,在l 上取一点Ｏ，则可在l 上分别作出c OC b OB a OA ===,,．这就是说，任一组平行向量都可移到同一直线上，因此，平行向量也叫做共线向量．规定：0与任一向量平行．②相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量．（４）例题与练习例１（课本P84例1）例２（课本P85例2）例３．有两个长度相等的向量，在什么情况下，这两个向量一定相等？ 解：有下列两种情况之一，这两个向量一定相等．①两个长度相等的向量，方向也相同；②两个向量的长度都为零． 练习：1．课本P86，练习1，2，3，42．回答下列问题（１）平行向量是否一定方向相同？（不一定）（２）不相等的向量一定不平行吗? （不一定）（３）与零向量相等的向量必定是什么向量？（零向量）（４）与任何向量都平行的向量是什么向量？（零向量）（５）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？（平行（或共线向量）3．下列各种情况中，向量的终点各构成什么图形？（１） 把所有单位向量平移到同一个起点．（一个半径为１的圆）（２） 把平行于某一直线的所有单位向量平移到同一个起点．（两个点） （３） 把平行于某一直线的所有向量平移到同一个起点．（一条直线）三．小结：作 业Ｐ86 习题 A 组5；B 组2 后 记 a bc。
高中数学必修4第二章平面向量向量的概念及表示人教A版PPT课件
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练习：
在质量、重力、速度、加速度、身
高、面积、体积这些量中，哪些是
数量？哪些是向量？
数量有：质量、身高、面积、体积
向量有：重力、速度、加速度
BACK
22
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在下列结论中，哪些是正确的？
练习
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1、与零向量相等的向量一定是什么向量？
零向量
2、与任意向量都平行的向量是什么向量？
零向量
BACK
20
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练习
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1、若两个向量在同一直线上，则这两个
向量是什么向量？
共线向量 或者说平行向量
2、共不线一向定量一定在一条直线上吗？
BACK
21
大小记为┃a┃
6
说金太明阳教1育：网
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我们现在研究的向量，与起点无关，用有向线段表
示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向
量也叫 自由向量
如图：他们都表示
a
a
同一个向量。
1、温度有零上和零下之分，温度是向量吗？为 什么？ 不是，温度只有大小，没有方向。
2、向量 AB 和 BA 同一个向量吗？为什么？
（ 2） BCFE
（ 3 ） 虽 然 O A //B C ， 且 | O A | = | B C | ，
但 是 它 们 方 向 相 反 ， 故 这 两 个 向 量 不 相 等 .
OABC 13
例金2太：阳教在育网图中的4×5方格纸中有一个向量
AB ， 品质来自专业
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分别以图中的格点为起点和终点作向量，
人教版高中数学必修4(A版) 平面向量基本定理 PPT课件
2.3.1 平面向量基本定理
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
问题提出
1. 向量加法与减法有哪几种几何运算 法则？ 2.怎样理解向量的数乘运算λa？
（1）|λ a|=|λ ||a|； （2）λ >0时，λa与a方向相同；
λ<0时，λa与a方向相反；
λ=0时，λa=0.
3.平面向量共线定理是什么？
非零向量a与向量b共线 存在唯 一实数λ ，使b＝λa. 4.如图，光滑斜面上一个木块受到的重 力为G，下滑力为F1，木块对斜面的压 力为F2，这三个力的方向分别如何？ 三者有何相互关系？
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
C e1 e2 3e2 A －2.5e 1 O B
例2 如图，在平行四边形ABCD中， AB =a， AD =b，E、M分别是AD、DC的中 点，点F在BC上，且BC=3BF，以a，b为 基底分别表示向量 AM 和 EF .
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
思考8：上述定理称为平面向量基本定理， 不共线向量e1，e2叫做表示这一平面内所 有向量的一组基底. 那么同一平面内可 以作基底的向量有多少组？不同基底对 应向量a的表示式是否相同？
a
e2 a
a=λ1e1+0e2
a =0 e1 + λ 2 e2
思考7：根据上述分析，平面内任一向 量a都可以由这个平面内两个不共线的 向量e1，e2表示出来，从而可形成一个 定理.你能完整地描述这个定理的内容 吗？
若e1、e2是同一平面内的两个不共线向量， 则对于这一平面内的任意向量a，有且只有 一对实数λ1，λ 2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
最新高中数学人教A版(课件)必修四 第二章 平面向量 2.2.1
示这两个向量的和
平行四 边形法
则
①把两个已知向量的始点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形 ③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知 向量的和
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向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②A→B＋B→A＝0；③A→C＝D→C＋A→B＋B→D.
＋c，并求出其模的大小．
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【答案】
(1)B
→ (2)DA
→ CB
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝A→B＋A→D＝A→C.
根据三角形法则，延长 AC，在 AC 的延长线上作C→E＝A→C，则 a＋b＋c＝A→C
＋A→C＝A→C＋C→E＝A→E(如图所示)．
所以|a＋b＋c|＝|A→E|＝2 12＋12＝2 2.
阶
阶
段
段
一
2.2 平面向量的线性运算
三
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测ห้องสมุดไป่ตู้
评
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1．理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点) 2．理解向量加法的几何意义．(难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则
【答案】 B
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我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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平行四 边形法
则
①把两个已知向量的始点平移到同一点 ②以这两个已知向量为邻边作平行四边形 ③对角线上以两向量公共始点为始点的向量就是这两个已知 向量的和
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向量加法运算律的应用
(1)下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②A→B＋B→A＝0；③A→C＝D→C＋A→B＋B→D.
＋c，并求出其模的大小．
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【答案】
(1)B
→ (2)DA
→ CB
(3)根据平行四边形法则可知，a＋b＝A→B＋A→D＝A→C.
根据三角形法则，延长 AC，在 AC 的延长线上作C→E＝A→C，则 a＋b＋c＝A→C
＋A→C＝A→C＋C→E＝A→E(如图所示)．
所以|a＋b＋c|＝|A→E|＝2 12＋12＝2 2.
阶
阶
段
段
一
2.2 平面向量的线性运算
三
2.2.1 向量加法运算及其几何意义
学
业
阶
分
段
层
二
测ห้องสมุดไป่ตู้
评
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1．理解向量的加法及其运算法则、运算律．(重点) 2．理解向量加法的几何意义．(难点) 3．数的加法与向量的加法的联系与区别．(易混点)
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[基础·初探] 教材整理 1 向量加法的定义及其运算法则
【答案】 B
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我还有这些不足： (1) (2) 我的课下提升方案： (1) (2)
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人教A版高中数学必修四课件：第二章2.3.1平面向量基本定理 (共16张PPT)
x
e2
O
a 3e1 2e2
3 a x 4y 2
yn
A
a 3m 2n
当a 0时, 有且只有1 2 0时可使 0 1 e1 2 e2 , (e1 , e2不共线).
若1与2中只有一个为零 , 情况会是怎样?
若2 0, 则a 1 e1 ,即a与e1共线, 若1 0, 则a 2 e2 ,即a与e2共线,
本题在解决过程中用到了两向量共 线的等价条件这一定理，并用基向量表 示有关向量,用待定系数法列方程，通 过消元解方程组。这些知识和考虑问题 的方法都必须切实掌握好。
课堂总结 1.平面向量基本定理可以联系物理 学中的力的分解模型来理解，它说明在
同一平面内任一向量都可以表示为不共
线向量的线性组合，该定理是平面向量
D
A
N M B
C
例2.用向量的方法证明: 1 平行四边形OACB中, BD BC , OD与BA 3 1 相交于E , 求证 : BE BA. 4 D B C E
O
A
例3.证明: 向量OA, OB, OC的终点A, B, C共线 的等价条件是存在实数 、 且 1， 使得 OC OA OB.
问题 3 : 设 e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, a是这一平面内的任一向 量, 我们来通过作图研 究a与e1 , e2 之间的关系?
平面向量基本定理: 如果e1 , e2 是同一平面内两个不共 线的向量, 那 么对于平面内的任一向 量a , 有且只有一对实数
1 , 2 , 使得a 1 e1 2 e2 .
坐标表示的基础，其本质是一个向量在
其他两个向量上的分解。
2. 在实际问题中的指导意义在于
高中数学人教A版必修4第二节向量加法精品PPT课件
推广:多边形法则
首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末 尾向量的终点的向量．
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An A1An
首尾相接A的1 若干向量构成一个A封n1闭图形，
则它们的和为 零向量 ．
A2
An
A1A2 A2 A3 A3 A4 An1An An A1 0
2.2.1 向量加法运算 及其几何意义
复习回顾
1、什么叫向量？ 既有大小又有方向的量 叫向量.向量怎样表示？ 带箭头的线段或者 a,b,c .
2、长度为零的向量叫做 零向量 .它的方向具有 任意 性.
3、长度等于一个单位的向量叫做 单位向量 .
4、方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量
，也叫 共线向量
.
5、长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量
.
强调：向量是既有大小又有方向的量. 长度相等、方向相同的向量相等. 因此，我们研究的向量是与起点无关的自由向量， 即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下，移到任何位置.
课程引入
两个实数可以相加，从而给数赋予了新的内涵.如果向量仅停留在概 念的层面上，那是没有多大意义的.我们希望两个向量也能相加，拓 展向量的数学意义，提升向量的理论价值，这就需要建立相关的原理 和法则.
A3 A4
平行四边形 法则
如图，已知向量a, b, 求作a b.
a
作法：1在平面内任取一点O
b
O
A
2作OA a, OB b 3以OA, OB为边做平行四边形
B
C 4则OC OA OB a b
要点：以同一起点的两个向量为邻边作平行
四边形，则以公共起点为起点的对角线所对应
向量为和向量.
高中数学新课标人教A版必修4：向量的数量积与向量投影 课件
教学目标
类比加法运算
确定研究路径
创设物理情境
抽象数量积概念
引入投影向量
挖掘几何意义
设置开放问题
探究几何性质
反思学习过程
提升理性思维
环节一 类比加法运算，明确研究路径.
问题1：你能以加法为例，总结一
下我们是如何研究向量运算的吗？
设计意图
前面的学习
经验为研究新的
运算提供了研究
方法，体现了单
元教学内容的整
教学过程
教学反思
目 录
教学重点
教学难点
内容解析
目标设置
重点难点
数量积的
概念及其
物理意义
投影向量
的表示及
数量积的
几何意义
教学策略
教学过程
教学反思
目 录
独立
思考
主动
探究
合作
交流
教学内容
目标设置
重点难点
教学策略
设置问题序列
教学过程
教学反思
目 录
内容解析
目标设置
重点难点
教学策略
教学过程
教学反思
教学流程
桥梁，引入投影
向量将不共线的
向量的数量积转
化为共线向量的
数量积，体会一
般和特殊的转化.
环节四 设置开放问题，探究几何性质
正六边形 的边长为1，在边上取点，形成向量 ,
，求出你所选取的向量 , 的数量积.并在此过程中，探究
数量积的几何性质.
A
B
F
C
E
D
这个图形为探究
性质提供很好的素材.
会计算两个向量的数量积 ,提升数学抽
象核心素养.
新人教a版高中数学必修4《向量》课件 最新PPT20页
45、法律的制定是为了保证每一个人 自由发 挥自己 的才能 ，而不 是为了 束缚ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 的才能 。—— 罗伯斯 庇尔
46、我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基 47、书到用时方恨少、事非经过不知难。——陆游 48、书籍把我们引入最美好的社会，使我们认识各个时代的伟大智者。——史美尔斯 49、熟读唐诗三百首，不会作诗也会吟。——孙洙 50、谁和我一样用功，谁就会和我一样成功。——莫扎特
新人教a版高中数学必修4 《向量》课件 最新
41、实际上，我们想要的不是针对犯 罪的法 律，而 是针对 疯狂的 法律。 ——马 克·吐温 42、法律的力量应当跟随着公民，就 像影子 跟随着 身体一 样。— —贝卡 利亚 43、法律和制度必须跟上人类思想进 步。— —杰弗 逊 44、人类受制于法律，法律受制于情 理。— —托·富 勒
人教A版数学必修4 课件 平面向量
始点放在同一点，那么这些向量的终点所构成的图
形是( B )
A．一条线段
B．一条直线
C．圆上一群孤立的点 D．一个半径为 1 的圆
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
3.判断下列各命题的真假：
（1）向量 AB 的长度与向量 BA 的长度相等；
（2）向量 a 与向量b 平行，则 a 与 b 的方向相同或 相反；
A
D
F
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
B
C E
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
A
D
F
B
C E
解：(1) D E E F F C A F D A D B
FDCEEB
( 2 ) D E F C A F F D C E E B
(3)DE∥FC∥AF∥AC FD∥CE∥EB∥CB
A（起点）
(1)几何表示法：有向线段（起点、方向、长度 ）
(2)字母表示法： a , b , AB
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
【即时训练】
下列说法正确的是（ D） A、数量可以比较大小，向量也可以比较大小. B、方向不同的向量不能比较大小，但同向的可以 比较大小. C、向量的大小与方向有关. D、向量的模可以比较大小.
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
人教A版数学必修4 课件 平面向量（精品课件）
【易错点拨】 两个向量是否可以比较大小？
向量不能比较大小，我们知道，长度相等且 方向相同的两个向量表示相等向量，但是两个向 量之间只有相等关系，没有大小之分，对于向
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2.1
向
量
问题思考
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能 落入日本境内的朝鲜发射物。
目标
不考虑其他因素，导弹 击中拦截目标取决于导 弹运行的路程还是位移 ？
位移是有大小和方向的量
问题思考
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
归纳总结
向 量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量
向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
概念辨析
一、判断
（1）若AB / /CD，则AB / /CD ；
（2）若AB / /CD，则AB / /CD；
（ 3 ） a与 b共线， b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
探究新知
1. 一 定义： .向量的概念及表示 既有大小又有方向的量称为向量
2.表示方法： １）几何方法——如何画 ２）代数方法——如何写
3.向量的长度：即向量的大小(或称为模) 记作 | AB | 或 | a | 4.两个特殊向量： 1）零向量
讨论：已知 1. | a || b | ，是否有a b ?
A（起点）
。
B（终点）
具有方向的线段叫做有向线段，记作有向线段 AB 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
辨析：能把有向线段 AB写成 BA吗？ 注意：起点一定要写在终点的前面！
两个特殊向量： 1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
规定： 0方向任意。
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
2）单位向量
2.有两个大小非常特殊的向量，你能想到吗？
探究新知
长度相等且方向相同的向量叫做 1.相等向量： 相等向量。记作： ad
规定：零向量和零向量相等。
长度相等且方向相反的向量叫做 2.相反向量： 相反向量。记作：a c
A D
a b
C
B
c
d
探究新知 3.平行向量：
a b c
请结合向量的两个要素： 大小、方向及平行（共线 ）向量、相等向量、相反 向量、模相等的向量等相 关概念提出新的问题！
例题解析
例2.在如图所示的向量 a ,b , c ,d ,e 中(小 正方形的边长为1),是否存在:
(1)共线向量? (3)相等向量? (2)相反向量? (4)模相等的向量?
若存在,分别写出这些向量.
A（起点） B（终点）
i)用有向线段的起点与终点字母来表示； 如：上述向量可表示为 AB ii)用小写字母来表示；
如： a, b, c……
思考：向量 AB 或 a 的长度（即大小）如何用符号来 表示？
有向线段的概念
一般地，在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起 点，B为终点，我们就说线段 AB具有方向。
b
a
d
c
e
课堂小结
向量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量 向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
课本 P77
1, 2 , 3, 5
再见！
(1) 几何表示： 用有向线段表示； 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 代数表示：
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
概念辨析
二、选择:
下列命题中正确的是
（A）向量的模是一个正实数；
（B）若 a b，则 a b 或a b
（C）共线的向量，若起点不同，则终点一定 不同； (D)不平行的向量一定不相等；
例题解析
例1、如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写 出图中与向量 OA 相等的向量。
d
一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。 规定：零向量与任一向量平行。
a b c
记 做： a// b // c
探究新知
4.共线向量与平行向量的关系
a b c
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/ b// c
a,b,c为 共 线 向量
bc a
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小 和方向有关，与有向线段的起点位置无关，有向线 段只是向量的一种几何表示！
向
量
问题思考
新华网东京3月30日电：
日本部署“爱国者－3”型拦截导弹拟拦截可能 落入日本境内的朝鲜发射物。
目标
不考虑其他因素，导弹 击中拦截目标取决于导 弹运行的路程还是位移 ？
位移是有大小和方向的量
问题思考
质量
力
速度
(1)
(2)
(3)
问题：请指出与位移具有同样特征的量。
力、速度也是有大小和方向的量
归纳总结
向 量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量
向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
概念辨析
一、判断
（1）若AB / /CD，则AB / /CD ；
（2）若AB / /CD，则AB / /CD；
（ 3 ） a与 b共线， b 与 c 共线，则 a与 c也共线；
讨论：平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量， 它们的终点构成的集合是什么图形？
探究新知
1. 一 定义： .向量的概念及表示 既有大小又有方向的量称为向量
2.表示方法： １）几何方法——如何画 ２）代数方法——如何写
3.向量的长度：即向量的大小(或称为模) 记作 | AB | 或 | a | 4.两个特殊向量： 1）零向量
讨论：已知 1. | a || b | ，是否有a b ?
A（起点）
。
B（终点）
具有方向的线段叫做有向线段，记作有向线段 AB 有向线段的三个要素：起点、方向、长度
辨析：能把有向线段 AB写成 BA吗？ 注意：起点一定要写在终点的前面！
两个特殊向量： 1、零向量：长度为 0 的向量。记作 0
规定： 0方向任意。
2、单位向量：长度为 1 个单位长度的向量。
2）单位向量
2.有两个大小非常特殊的向量，你能想到吗？
探究新知
长度相等且方向相同的向量叫做 1.相等向量： 相等向量。记作： ad
规定：零向量和零向量相等。
长度相等且方向相反的向量叫做 2.相反向量： 相反向量。记作：a c
A D
a b
C
B
c
d
探究新知 3.平行向量：
a b c
请结合向量的两个要素： 大小、方向及平行（共线 ）向量、相等向量、相反 向量、模相等的向量等相 关概念提出新的问题！
例题解析
例2.在如图所示的向量 a ,b , c ,d ,e 中(小 正方形的边长为1),是否存在:
(1)共线向量? (3)相等向量? (2)相反向量? (4)模相等的向量?
若存在,分别写出这些向量.
A（起点） B（终点）
i)用有向线段的起点与终点字母来表示； 如：上述向量可表示为 AB ii)用小写字母来表示；
如： a, b, c……
思考：向量 AB 或 a 的长度（即大小）如何用符号来 表示？
有向线段的概念
一般地，在线段AB的两个端点
中，规定一个顺序，假设A为起 点，B为终点，我们就说线段 AB具有方向。
b
a
d
c
e
课堂小结
向量
向量的概念 向 量 的 定 义 表 零 示 向 方 量 法 单 位 向 量 向量的关系 向平 量行 （ 共 线 ） 相 等 向 量 相 反 向 量
课本 P77
1, 2 , 3, 5
再见！
(1) 几何表示： 用有向线段表示； 有向线段的长度表示向量的大小 箭头所指的方向表示向量的方向 (2) 代数表示：
（4）模相等的两个平行向量是相等的向量；
概念辨析
二、选择:
下列命题中正确的是
（A）向量的模是一个正实数；
（B）若 a b，则 a b 或a b
（C）共线的向量，若起点不同，则终点一定 不同； (D)不平行的向量一定不相等；
例题解析
例1、如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写 出图中与向量 OA 相等的向量。
d
一组方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量。 规定：零向量与任一向量平行。
a b c
记 做： a// b // c
探究新知
4.共线向量与平行向量的关系
a b c
aቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ/ b// c
a,b,c为 共 线 向量
bc a
平行向量就是共线向量， 共线向量就是平行向量！
说明：我们所研究的向量为自由向量，只与大小 和方向有关，与有向线段的起点位置无关，有向线 段只是向量的一种几何表示！