数值分析复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序

数值分析第五次程序作业

PB09001057 孙琪

【问题】

分别编写用复化Simpson积分公式和复化梯形积分公式计算积分的通用程序；用如上程序计算积分：

取节点并分析误差；

简单分析你得到的数据。

【复化Simpson积分公式】

Simpson法则：

使用偶数个子区间上的复合Simpson法则：

设n是偶数，

则有

将Simpson法则应用于每一个区间，得到复合Simpson法则：

公式的误差项为：

其中δ

【复化梯形积分公式】

梯形法则：对两个节点相应的积分法则称为梯形法则：

如果划分区间[a,b]为：

那么在每个区间上可应用梯形法则，此时节点未必是等距的，由此得到复合梯形法则：

对等间距h=(b-a)/n及节点，复合梯形法则具有形式：

误差项为：

【算法分析】

复合Simpson法则和复合梯形法则的算法上述描述中都已介绍了，在此不多做叙述。

【实验】

通过Mathematica编写程序得到如下结果：

利用复化Simpson积分公式得：

可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的Simpson公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用Simpson法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内4阶导数值和区间长度的4次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

利用复化梯形积分公式得：

可以看出，当节点数选取越来越多时，误差项越来越小，这从复合的梯形公式很好看出来，因为在每一段小区间内，都是用梯形法则去逼近，而每一段的误差都是由函数在该区间内2阶导数值和区间长度的2次方乘积决定的，当每一段小区间越来越小时，相应的每一段小区间内的逼近就会越来越好，从而整体的逼近效果就会越来越好。

【分析】

通过对上述两种法则的效果来看，复合Simpson法则的误差要比复合梯形法则收敛到0更快，说明复合Simpson法则逼近到原来的解更快，这主要是因为在每一段小区间内，复合Simpson法则利用得是Simpson法则，复合梯形法则利用得是梯形法则，前者的误差项要比后者的误差项小很多，因此造成了逼近速度的不一样。

【程序】Mathematica程序为：复合Simpson法则：

复合梯形法则：