地下水环境影响评价
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4
污染物迁移的数学模型
运移方程
• (i,j=1,2,3)
∂C ∂ ∂C ∂ = ( Dij )− (Cui ) + I ∂t ∂xi ∂x j ∂xi
5
2004-11-11
污染物迁移的数学模型
初始条件
• 区域( )上所有点在某一初始时刻 时的 区域 上所有点在某一初始时刻t=0时的 上所有点在某一初始时刻 浓度分布
C ( x , y , z , t ) t =0 = C 0 ( x , y , z )
6
2004-11-11
污染物迁移的数学模型
边界条件
• 第一类边界条件，边界上浓度是已知的 第一类边界条件，
C ( x, y , z, t ) Γ = f1 ( x, y , z, t )
1
• 第二类边界条件，边界上弥散通量是已知 第二类边界条件，
按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖 按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖 成若干网格 分成若干网格 未知函数在网格结 在网格结(节 点上的值所构成 点上的值所构成的差 用未知函数在网格结 节)点上的值所构成的差 分近似代替所用偏微分方程中出现的 所用偏微分方程中出现的各阶导 分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导 数 把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散 把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散 为有限个代数方程 为有限个代数方程 求解此线性代数方程组， 求解此线性代数方程组，以求出溶质在各网 格结(节 点上不同时刻的浓度 格结 节)点上不同时刻的浓度
e x2 − x Φ 1 = x − x 2 1 x − x1 e Φ 2 = x 2 − x1
21
x1 ≤ x ≤ x 2
2004-11-11
有限元中的基函数
三角形单元
试探函数
~ C = a1 + a 2 x + a3 y
(l = i, j, m )
1 xi yi yj ym
13
2004-11-11
差分格式
1、显式差分格式 、
浓度取t 浓度取 n,
∂C ∂C ∂ 2C = DL 2 − u ∂t ∂x ∂x
0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T
格式不同，其截断误差、 格式不同，其截断误差、稳定性条件不同
O(△t+△x2)
n i −1
C
n +1 i
= AC
+ BC + EC
10
2004-11-11
差分与导数
级数） （Tarley级数） 级数
几种导数的差分近似
1、一阶向前差分 、 2、一阶向后差分 、 3、一阶中心差分 、
df f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ dx ∆x
df f ( x ) − f ( x − ∆x ) ≈ dx ∆x
df f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x ) ≈ dx 2 ∆x
bi = y j − y m b j = y m − yi bm = yi − y j d i = xm − x j d j = xi − x m d m = x j − xi
∆ = 1 xj 1 xm
22
2004-11-11
有限元中的基函数
三角形单元
基函数的性质
l=i, j, m
• —φl在结点 上为 ，在其它两个结点上为 在结点l上为 上为1，在其它两个结点上为0 • —φl沿着三角形的边随距离作线性变化 沿着三角形的边随距离作线性变化 • —φl在三角形中心处的值等于 在三角形中心处的值等于1/3 中心处的值等于 • —在结点l的对边上，φl＝0 在结点 的对边上 • —在单元上任一点处都有：φi +φj +φm＝1 在单元上任一点处都有： 处都有
AC in++1 + BC in +1 + EC in−+1 = − AC in+1 + FC in − EC in−1 1 1
O(△t2+△x2)
14
2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
基本思想
把研究区域剖分为有限个子区域 在每个子区域上用某种插值函数来近似 在每个子区域上用某种插值函数来近似 某种插值函数 待求解的未知函数 得到求解相应偏微分方程的线性代数方 得到求解相应偏微分方程的线性代数方 程组
地下水环境影响评价
评价方法
类比法
由于污染物的迁移除取决于污染物本身特征 由于污染物的迁移除取决于污染物本身特征外，还取决 本身特征外 于环境水文地质条件和水文地球化学条件 环境水文地质和地球化学条件的相似性 环境水文地质和地球化学条件的相似性决定了其污染影 相似性决定了其污染影 响的可比性 响的可比性 在查明相似工程项目 在查明相似工程项目及其所处地区的环境水文地质条件 相似工程项目及其所处地区的环境水文地质条件 量化处理， 和地球化学基础上，通过量化处理 和地球化学基础上，通过量化处理，即可对拟建项目的 环境影响范围、大小做出评估 环境影响范围、大小做出评估 在量化处理中将开发因素与环境后果都概化为数值指标， 在量化处理中将开发因素与环境后果都概化为数值指标， 类比系数。 并确定出类比系数 依此， 并确定出类比系数。依此，即可进行环境影响预测
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
种类
里兹(Ritz)有限单元法 有限单元法 里兹
• 基于变分原理，从泛函取极小的变分问题 基于变分原理， 出发进行离散化的 • 寻找泛函往往较为困难，常对原方程进行 寻找泛函往往较为困难， 适当变换，但这种变换常引起较大的误差， 适当变换，但这种变换常引起较大的误差， 而导致计算失败
− Dij ∂C ∂x j = f 2 ( x, y , z, t )
Γ2
• 第三类边界条件，边界上溶质通量是已知 第三类边界条件，
(Cui − Dij
•
7
∂C ) ni ∂xi
= f 3 ( x, y , z, t )
Γ3
2004-11-11
数学模型的求解方法
解析法
• 简单条件下的溶质运移模型 • 表达式过于复杂而难于实际应用
数值模拟法
• 有限差分法（Finite Difference Method） 有限差分法（ ） • 有限单元法 有限单元法(Finite Element Method) • 边界元法 (Boundary Element Method)
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2004-11-11
1、有限差分法(FDM) 、有限差分法
基本思想
3
评价方法
数学模拟法
在区域水文地质特征调查基础上，根据污染途 在区域水文地质特征调查基础上， 径分析，通过建立数学模型 数学模型， 径分析，通过建立数学模型，获取计算参数等 步骤进行的 数学模式包括污染物迁移和水质评价两大类 在污染物迁移模式中，可视情况和条件采用数 在污染物迁移模式中，可视情况和条件采用数 值方法或解析法， 值方法或解析法，而模式中所需参数需要经过 现场调查、 现场调查、现场试验及实验室测量来获取
∫
20
Ω
MM e ~ ~ Φ i L ( C ) − f d Ω = ∑ ∫ Φ j L ( C ) − f dΩ = 0 e =1 Ω
[
]
[
]
2004-11-11
有限元中的基函数
线单元
试探函数
( x − x )C1 + ( x − x1 )C 2 ~ C ( x) = 2 x 2 − x1
单元e的基函数 单元 的基函数
12
2004-11-11
差分方程的 相容性、收敛性、 相容性、收敛性、稳定性
收敛性
• 指差分方程的解，即当步长△t、△x→0时收敛于 差分方程的解，即当步长△ 、 时收敛于 原偏微分方程的解
稳定性
• 差分方程的求解是以步进方式进行的，在逐步推进 差分方程的求解是以步进方式进行的， 步进方式进行的 的过程中， 的过程中，误差也逐步积累 • 若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的； 若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的； 积累保持有界 稳定的 若这种误差积累无界 则差分方程是不稳定 无界， 不稳定的 若这种误差积累无界，则差分方程是不稳定的
n i
n i +1
2、隐式差分格式 、
浓度取t 浓度取 n+1,
D L ∆t 1 ≤ ∆x ∆x 2 2
u∆ t ≤1 ∆x ∆x
AC in−+1 + BC in +1 + EC in++1 = Cin 1 1
O(△t+△x2)
u < 2 DL ∆x
3、Crank-Nicolson差分格式 、 差分格式
2
实例： 实例：
利用稳定铬同位素（53Cr/52Cr）在Cr（VI） 利用稳定铬同位素（53Cr/52Cr） Cr（VI） 被还原过程中发生的同位素分馏机理可定量评 价含水层对Cr（VI） 价含水层对Cr（VI）的还原速率和还原能力 这样，只要我们掌握了一个地区特定含水层中 这样， 铬同位素（53Cr/52Cr）的变化规律， 铬同位素（53Cr/52Cr）的变化规律，就可 以定量预测Cr（VI） 以定量预测Cr（VI）在该含水层中的被还原情 况
Ω
∫ RdΩ = 0
• 但是，这对于M个未知数来说仅能得到一个方程。 但是，这对于 个未知数来说仅能得到一个方程 个未知数来说仅能得到一个方程。 为了得到M个方程：通过选取权函数W(i＝1， 为了得到 个方程：通过选取权函数 ＝ ， 个方程 2，…，M)，使每个加权的余量在积分意义下为零 ， ， ，
∫
18
Ω百度文库
RWi dΩ = 0
(i = 1,2, L , M )
2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
加权余量法
• 根据权函数Wi的选择方法不同，可以得到 根据权函数 的选择方法不同， 各种计算方法 • 伽辽金法选取权函数 i为基函数 i，即Wi 伽辽金法选取权函数W 为基函数Φ = Φi
基函数 （结点 ，j，m按逆时针编号） 结点i， ， 按逆时针编号 按逆时针编号）
1 Φl = ( a l + bl x + d l y ) 2∆
a i = x j y m − x m y j a j = x m y i − xi y m a = x y − x y i j j i m
试探函数
~ u = ∑ u jΦ j
j =1
M
基函数 形状函数 插值函数
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
加权余量法
• 余量 ：R＝L(Ũ)—f 余量R ＝
2、使余量R在某种意义下达到最小，找出待 在某种意义下达到最小， 求参数uj
• 简单的办法是使 在区域平均意义下为零 简单的办法是使R在区域平均意义下为零
∫
Ω
~ Φ i [L(u ) − f ]dΩ =0
(i = 1,2, L , M )
~ ne • 当待求函数为浓度 时 C = C Φ 当待求函数为浓度C时 ∑ j j
j =1
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
加权余量法
3、将试探函数式代入权剩余方程，把 、将试探函数式代入权剩余方程， 权剩余在整个区域上的积分化为在各个 单元上的积分，然后求和， 单元上的积分，然后求和，便得到一个 方程组
伽辽金 (Galerkin)有限单元法 有限单元法
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
基本步骤——加权余量法 (Method of 加权余量法 基本步骤 Weighted Residuals)
设微分方程：L(u) — f＝0 设微分方程： ＝ 1、用一组有限级数Ũ代替未知函数 、用一组有限级数 代替未知函数 代替未知函数u
d 2 f f ( x + ∆x) − 2 f ( x) + f ( x − ∆x) 4、二阶导数的差分 2 ≈ 、 ∆x 2 dx
11
2004-11-11
差分方程的 相容性、收敛性、 相容性、收敛性、稳定性
相容性
• 导数与其差分近似式之间存在截断误差 导数与其差分近似式之间存在截断误差 • 当时间步长△t和空间步长△x都趋近于零时，差分 当时间步长△ 和空间步长 和空间步长△ 都趋近于零时 都趋近于零时， 方程的截断误差也趋近于零 差分方程的极限形式 截断误差也趋近于零， 方程的截断误差也趋近于零，差分方程的极限形式 就是原偏微分方程 • 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的， 相容性表示差分方程“收敛” 相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程
9
2004-11-11
有限差分法(FDM) 有限差分法
基本步骤
（1）剖分渗流区，确定离散点 ）剖分渗流区， （2）建立水动力弥散问题的差分方程组 ） （3）求解差分方程组 ）
• 点逐次超松驰方法 点逐次超松驰方法(SOR) • 线逐次超松驰方法 线逐次超松驰方法(LSOR) • 交替方向隐式迭代法 交替方向隐式迭代法(IADI)及强隐式方法 及强隐式方法(SID)等 及强隐式方法 等
污染物迁移的数学模型
运移方程
• (i,j=1,2,3)
∂C ∂ ∂C ∂ = ( Dij )− (Cui ) + I ∂t ∂xi ∂x j ∂xi
5
2004-11-11
污染物迁移的数学模型
初始条件
• 区域( )上所有点在某一初始时刻 时的 区域 上所有点在某一初始时刻t=0时的 上所有点在某一初始时刻 浓度分布
C ( x , y , z , t ) t =0 = C 0 ( x , y , z )
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污染物迁移的数学模型
边界条件
• 第一类边界条件，边界上浓度是已知的 第一类边界条件，
C ( x, y , z, t ) Γ = f1 ( x, y , z, t )
1
• 第二类边界条件，边界上弥散通量是已知 第二类边界条件，
按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖 按时间步长和空间步长将时间和空间区域剖 成若干网格 分成若干网格 未知函数在网格结 在网格结(节 点上的值所构成 点上的值所构成的差 用未知函数在网格结 节)点上的值所构成的差 分近似代替所用偏微分方程中出现的 所用偏微分方程中出现的各阶导 分近似代替所用偏微分方程中出现的各阶导 数 把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散 把表示变量连续变化关系的偏微分方程离散 为有限个代数方程 为有限个代数方程 求解此线性代数方程组， 求解此线性代数方程组，以求出溶质在各网 格结(节 点上不同时刻的浓度 格结 节)点上不同时刻的浓度
e x2 − x Φ 1 = x − x 2 1 x − x1 e Φ 2 = x 2 − x1
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x1 ≤ x ≤ x 2
2004-11-11
有限元中的基函数
三角形单元
试探函数
~ C = a1 + a 2 x + a3 y
(l = i, j, m )
1 xi yi yj ym
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2004-11-11
差分格式
1、显式差分格式 、
浓度取t 浓度取 n,
∂C ∂C ∂ 2C = DL 2 − u ∂t ∂x ∂x
0 ≤ x ≤ L, 0 ≤ t ≤ T
格式不同，其截断误差、 格式不同，其截断误差、稳定性条件不同
O(△t+△x2)
n i −1
C
n +1 i
= AC
+ BC + EC
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2004-11-11
差分与导数
级数） （Tarley级数） 级数
几种导数的差分近似
1、一阶向前差分 、 2、一阶向后差分 、 3、一阶中心差分 、
df f ( x + ∆x ) − f ( x ) ≈ dx ∆x
df f ( x ) − f ( x − ∆x ) ≈ dx ∆x
df f ( x + ∆x ) − f ( x − ∆x ) ≈ dx 2 ∆x
bi = y j − y m b j = y m − yi bm = yi − y j d i = xm − x j d j = xi − x m d m = x j − xi
∆ = 1 xj 1 xm
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有限元中的基函数
三角形单元
基函数的性质
l=i, j, m
• —φl在结点 上为 ，在其它两个结点上为 在结点l上为 上为1，在其它两个结点上为0 • —φl沿着三角形的边随距离作线性变化 沿着三角形的边随距离作线性变化 • —φl在三角形中心处的值等于 在三角形中心处的值等于1/3 中心处的值等于 • —在结点l的对边上，φl＝0 在结点 的对边上 • —在单元上任一点处都有：φi +φj +φm＝1 在单元上任一点处都有： 处都有
AC in++1 + BC in +1 + EC in−+1 = − AC in+1 + FC in − EC in−1 1 1
O(△t2+△x2)
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
基本思想
把研究区域剖分为有限个子区域 在每个子区域上用某种插值函数来近似 在每个子区域上用某种插值函数来近似 某种插值函数 待求解的未知函数 得到求解相应偏微分方程的线性代数方 得到求解相应偏微分方程的线性代数方 程组
地下水环境影响评价
评价方法
类比法
由于污染物的迁移除取决于污染物本身特征 由于污染物的迁移除取决于污染物本身特征外，还取决 本身特征外 于环境水文地质条件和水文地球化学条件 环境水文地质和地球化学条件的相似性 环境水文地质和地球化学条件的相似性决定了其污染影 相似性决定了其污染影 响的可比性 响的可比性 在查明相似工程项目 在查明相似工程项目及其所处地区的环境水文地质条件 相似工程项目及其所处地区的环境水文地质条件 量化处理， 和地球化学基础上，通过量化处理 和地球化学基础上，通过量化处理，即可对拟建项目的 环境影响范围、大小做出评估 环境影响范围、大小做出评估 在量化处理中将开发因素与环境后果都概化为数值指标， 在量化处理中将开发因素与环境后果都概化为数值指标， 类比系数。 并确定出类比系数 依此， 并确定出类比系数。依此，即可进行环境影响预测
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
种类
里兹(Ritz)有限单元法 有限单元法 里兹
• 基于变分原理，从泛函取极小的变分问题 基于变分原理， 出发进行离散化的 • 寻找泛函往往较为困难，常对原方程进行 寻找泛函往往较为困难， 适当变换，但这种变换常引起较大的误差， 适当变换，但这种变换常引起较大的误差， 而导致计算失败
− Dij ∂C ∂x j = f 2 ( x, y , z, t )
Γ2
• 第三类边界条件，边界上溶质通量是已知 第三类边界条件，
(Cui − Dij
•
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∂C ) ni ∂xi
= f 3 ( x, y , z, t )
Γ3
2004-11-11
数学模型的求解方法
解析法
• 简单条件下的溶质运移模型 • 表达式过于复杂而难于实际应用
数值模拟法
• 有限差分法（Finite Difference Method） 有限差分法（ ） • 有限单元法 有限单元法(Finite Element Method) • 边界元法 (Boundary Element Method)
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2004-11-11
1、有限差分法(FDM) 、有限差分法
基本思想
3
评价方法
数学模拟法
在区域水文地质特征调查基础上，根据污染途 在区域水文地质特征调查基础上， 径分析，通过建立数学模型 数学模型， 径分析，通过建立数学模型，获取计算参数等 步骤进行的 数学模式包括污染物迁移和水质评价两大类 在污染物迁移模式中，可视情况和条件采用数 在污染物迁移模式中，可视情况和条件采用数 值方法或解析法， 值方法或解析法，而模式中所需参数需要经过 现场调查、 现场调查、现场试验及实验室测量来获取
∫
20
Ω
MM e ~ ~ Φ i L ( C ) − f d Ω = ∑ ∫ Φ j L ( C ) − f dΩ = 0 e =1 Ω
[
]
[
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2004-11-11
有限元中的基函数
线单元
试探函数
( x − x )C1 + ( x − x1 )C 2 ~ C ( x) = 2 x 2 − x1
单元e的基函数 单元 的基函数
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差分方程的 相容性、收敛性、 相容性、收敛性、稳定性
收敛性
• 指差分方程的解，即当步长△t、△x→0时收敛于 差分方程的解，即当步长△ 、 时收敛于 原偏微分方程的解
稳定性
• 差分方程的求解是以步进方式进行的，在逐步推进 差分方程的求解是以步进方式进行的， 步进方式进行的 的过程中， 的过程中，误差也逐步积累 • 若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的； 若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定的； 积累保持有界 稳定的 若这种误差积累无界 则差分方程是不稳定 无界， 不稳定的 若这种误差积累无界，则差分方程是不稳定的
n i
n i +1
2、隐式差分格式 、
浓度取t 浓度取 n+1,
D L ∆t 1 ≤ ∆x ∆x 2 2
u∆ t ≤1 ∆x ∆x
AC in−+1 + BC in +1 + EC in++1 = Cin 1 1
O(△t+△x2)
u < 2 DL ∆x
3、Crank-Nicolson差分格式 、 差分格式
2
实例： 实例：
利用稳定铬同位素（53Cr/52Cr）在Cr（VI） 利用稳定铬同位素（53Cr/52Cr） Cr（VI） 被还原过程中发生的同位素分馏机理可定量评 价含水层对Cr（VI） 价含水层对Cr（VI）的还原速率和还原能力 这样，只要我们掌握了一个地区特定含水层中 这样， 铬同位素（53Cr/52Cr）的变化规律， 铬同位素（53Cr/52Cr）的变化规律，就可 以定量预测Cr（VI） 以定量预测Cr（VI）在该含水层中的被还原情 况
Ω
∫ RdΩ = 0
• 但是，这对于M个未知数来说仅能得到一个方程。 但是，这对于 个未知数来说仅能得到一个方程 个未知数来说仅能得到一个方程。 为了得到M个方程：通过选取权函数W(i＝1， 为了得到 个方程：通过选取权函数 ＝ ， 个方程 2，…，M)，使每个加权的余量在积分意义下为零 ， ， ，
∫
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Ω百度文库
RWi dΩ = 0
(i = 1,2, L , M )
2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
加权余量法
• 根据权函数Wi的选择方法不同，可以得到 根据权函数 的选择方法不同， 各种计算方法 • 伽辽金法选取权函数 i为基函数 i，即Wi 伽辽金法选取权函数W 为基函数Φ = Φi
基函数 （结点 ，j，m按逆时针编号） 结点i， ， 按逆时针编号 按逆时针编号）
1 Φl = ( a l + bl x + d l y ) 2∆
a i = x j y m − x m y j a j = x m y i − xi y m a = x y − x y i j j i m
试探函数
~ u = ∑ u jΦ j
j =1
M
基函数 形状函数 插值函数
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
加权余量法
• 余量 ：R＝L(Ũ)—f 余量R ＝
2、使余量R在某种意义下达到最小，找出待 在某种意义下达到最小， 求参数uj
• 简单的办法是使 在区域平均意义下为零 简单的办法是使R在区域平均意义下为零
∫
Ω
~ Φ i [L(u ) − f ]dΩ =0
(i = 1,2, L , M )
~ ne • 当待求函数为浓度 时 C = C Φ 当待求函数为浓度C时 ∑ j j
j =1
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
加权余量法
3、将试探函数式代入权剩余方程，把 、将试探函数式代入权剩余方程， 权剩余在整个区域上的积分化为在各个 单元上的积分，然后求和， 单元上的积分，然后求和，便得到一个 方程组
伽辽金 (Galerkin)有限单元法 有限单元法
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2004-11-11
有限元法(FDM) 有限元法
基本步骤——加权余量法 (Method of 加权余量法 基本步骤 Weighted Residuals)
设微分方程：L(u) — f＝0 设微分方程： ＝ 1、用一组有限级数Ũ代替未知函数 、用一组有限级数 代替未知函数 代替未知函数u
d 2 f f ( x + ∆x) − 2 f ( x) + f ( x − ∆x) 4、二阶导数的差分 2 ≈ 、 ∆x 2 dx
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2004-11-11
差分方程的 相容性、收敛性、 相容性、收敛性、稳定性
相容性
• 导数与其差分近似式之间存在截断误差 导数与其差分近似式之间存在截断误差 • 当时间步长△t和空间步长△x都趋近于零时，差分 当时间步长△ 和空间步长 和空间步长△ 都趋近于零时 都趋近于零时， 方程的截断误差也趋近于零 差分方程的极限形式 截断误差也趋近于零， 方程的截断误差也趋近于零，差分方程的极限形式 就是原偏微分方程 • 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的，这种 这时，认为差分方程与偏微分方程是相容的， 相容性表示差分方程“收敛” 相容性表示差分方程“收敛”于原偏微分方程
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2004-11-11
有限差分法(FDM) 有限差分法
基本步骤
（1）剖分渗流区，确定离散点 ）剖分渗流区， （2）建立水动力弥散问题的差分方程组 ） （3）求解差分方程组 ）
• 点逐次超松驰方法 点逐次超松驰方法(SOR) • 线逐次超松驰方法 线逐次超松驰方法(LSOR) • 交替方向隐式迭代法 交替方向隐式迭代法(IADI)及强隐式方法 及强隐式方法(SID)等 及强隐式方法 等