大学物理_4功和能2

忽略粘滞性。但粘滞性有重要作用。
二、稳恒流动（steady flow） 空间各点速度不随时间变化的流体运动称为 稳恒流动。 流管静止。 在稳恒流动流体中取一个细流管，
v1t s1 v2 t s2 v1 s1 v2 s2
s1 v 1
1 1 2 2 E k μv m对 地 m v m对 地 2 2
【例】已知：质子质量为mp，质子间相互作 用电势能为 ke2/r ，e为质子电量，r为质子 间距离，k为常量。今有两个质子从相距很 远处，均以速率v0相向运动。 求：二者能达到的最近距离 rmin 解：

mp 2
2 1 e ( 2v 0 ) 2 k 2 rmin
s2
v2
对稳恒流动的理 想流体的流管，有 连续性方程： v s 恒量
*§4.11 伯努利（Bernoulli）方程 设时刻 t ，流管中一段流体 处在a1a2 位置；经过t时间， 这段流体达到b1b2位置。 压力 p1 作正功， p2 作负功。 外力的总功为
s1
s2
A ( p1 s1v1 p2 s2 v2 ) t ( p1 p2 ) V
rmin
e2 k 2 m p v0
*§4.10 流体的稳定流动 伯努利方程是理想流体稳恒流动的动力学 方程。实际上是流体流动中的功能关系。 一、理想流体（ideal fluid）
完全不可压缩（密度为常量）无粘滞性的流 体，称为理想流体。
流动的液体和气体近似为理想流体
可压缩性和密度的变化可忽略。
稳恒流动理想流体，a1b1和a2b2两段体积相等
s1v1 t s2 v2 t V
对稳恒流动，b1a2间流体的 动能和重力势能不变，只须考 虑质量为 m V 的a1b1和a2b2 两段流体的机械能的改变
s1

s2
( p1 p2 ) V 2 2 V [( 1 v 2 gh2 ) ( 1 v1 gh1 )] 2 2 1 1 2 2 p1 v1 g h1 p2 v 2 g h2 2 2 伯努利 2 1 p v g h 恒量 2 方程：
求解微分方程：
g cos dv v dv , g cos d 1 v dv dt l d l
g cos d 1 vdv, gl sin 1 v 2 2 l 0 0

v
v 2gl sin
T 3mg sin
用功和动能的概念 动能定理：

l
m
1 W mv 2 0 2 积分计算功： W T m g dr m gdr
1 2 1 2 p v p0 v1 gh1 2 2
1 2 1 2 p v p0 v 2 gh2 2 2
解得
v1 v 2 g ( h2 h1 )
2 2
代入
v2 12m s , h2 h1 4m, g 9.8m s 2
因此，打开一楼水龙头的流速为
2
f1
m1 · r1 · O
r
m ·2 r2
f2
m2
r
m1

约化粒子
f
惯性系
质点m2相对m1的运动，和约化粒子 的原点取 在m1上的惯性系中受同样力时的运动是一样的
如果m1，则以m1为原点的参考系近似为惯 性系，约化粒子就近似地等于m2了 m1m2 m2 m1 m2 mM 例：物体(m)与地球(M) m m M 地球和物体系统的总动能即为：
l
选择坐标系，列方程
mg cos m dv dt 2 v T mg sin m l d v l （运动学条件） dt （初始条件） t 0, 0, v 0

m
T
ˆn e

v
mg
ˆt e
dv mg cos m dt 2 T mg sin m v l d vl dt t 0, 0, v 0
Wex Win, ncons E
E 0
机械能守恒定律 Wex 0 Win, ncons 0
【思考】系统对某一惯性系的机械能守恒，对 另一惯性系该体系的机械能也一定守恒吗？
例题： S m
O
S
O
在 S 和 S 中 （小球+地球） V const. 的机械能是否 守恒？
只简单地作代数运算！
T
v mg
v1 12 2 9.8 4 14.9 m s
2
例、质量为 m的小球，线长为 l ，求摆下 角 时小球的速率和线的张力。
l m
三种解法的比较： 牛顿第二定律：积分

功、动能：只积分“力侧”
势能、机械能： 不积分，代数运算
解
分析运动状态
d vl ; dt
分析受力
t 0, 0, v 0
d
T
dr
v


mgl cos d

1 mgl sin mv 2 2
v 2 gl sin T 3mg sin
mg
mgl sin
0
用势能、机械能的概念
外力T 不做功
机械能守恒：
l
势能零点
mLeabharlann 1 0 mgl sin mv 2 2
v 2 gl sin T 3mg sin
设流管处在同一水平面
1 p v 2 恒量 2
空吸作用
流速大的地方压强小。当向横管 吹气或向右推动活塞时， B 处的高 速气流造成的低压将产生一种吸取 流体的作用，称为空吸作用。
小型喷雾器、水流抽机和汽油机的汽化器等 都利用了这种空吸作用。
【 例 】某大楼由铺设在地下的同一自来水管道 供水。打开二楼的水龙头，测得水的流速为 12.0m/s ，求打开一楼水龙头的流速。设大楼的 层高为4m。 解 取地下管道处为高度的零点，管道内水的 压强为 p ，流速为 v ；一楼和二楼水龙头的高度 分别为 h1和 h2，水的流速分别为 v1和 v2，大气压 为p0，水的密度为，由伯努利方程，有
S： 只有保守内力作功，机械能守恒。
S： m
T
v
V
V
v ( v V ) T W外 WT 0
机械能不守恒。
v
§4.9 两体问题 两物体在相互作用下的运动问题称为两体问题 —化成单体问题。
d r ˆ f ( r ) r 单体问题： dt 2
第四章 功和能
§4.1 功 §4.2 动能定理 §4.3 势能 △ §4.4 引力势能 §4.5 由势能求保守力 §4.6 机械能守恒定律 △§4.7 守恒定律的意义 △§4.8 碰撞 §4.9 两体问题 *§4.10 流体的稳定流动 *§4.11 伯努利（Bernoulli）方程
功： dW F dr F dr cos B B WAB dW F d r
A( L ) A( L )
动能定理
1 2 1 2 质点 WAB E kB E kA mv B mv A 2 2 质点系 Wex Win E kB EkA
质心系
Win E kB E kA Wex
势能差 EP ( A) EP ( B) E p WAB 功能原理