第1章矢量分析
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dS 方向的定义：
•开表面:与面积外沿的绕向 呈右手螺旋关系
•闭合面:外法线方向
开表面面元方向
dS dS
闭合面面元方向
直角系中： dS = axdSx + aydSy + azdSz 其中 dSx =dydz，dSy =dxdz，dSz =dxdy 分别是dS在yoz面，xoz面和xoy面上的投影
1.2.2 圆柱坐标系
a
dSr = r2sindd
r•
dS = rsinddr
O
y
dS = rddr
a
7）体积元：
x
d = dl1dl2dl3 = r2sindrdd
总结
1.2.3 球坐标系
例：计算面积分 S ar •dS ,其中S是半锥角为 的
圆锥面在半径为R的球面上割出的面积。
解： Sar•dSSdSr
z
2 R2sindd 00
z az
P •
r
O
a
a y
圆柱：r = a + azz
x
1.2.2 圆柱坐标系
5)线元矢量:（位移矢量）
直角坐标系中： dl = ax dx + aydy + azdz
圆柱坐标系中：
d l a d a d a zd z
z az
d
dz z • P
O
d
a
a
y
x
1.2.2 圆柱坐标系
6)面元矢量：
圆柱系中： dS = a dS+ adS + azdSz
dS= d dz， dS =ddz，dSz=dd z
az
dS、dS 、dSz分别是dS 在圆柱侧面（ 面）、过轴线
的半平面（面）和xOy面(z
d
dz z
Байду номын сангаас
面)上的投影。
7）体积元：
• P r
直角系中 dv = dx dy dz
O
圆柱系中dv = d d dz x
1.2.1 正交曲线坐标系简介
常用的正交曲线坐标系有13种： 直角、圆柱、球、 椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、 长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、 圆锥、环
1.2.1 正交曲线坐标系简介
• 坐标线（轴）：三张曲面两两正交相交而成的曲线 • 坐标原点（基准点）：三条坐标线的交点
• 坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向
r
x2 y2 z2
2 z2
tan
x2 y2
z
z
tan
y x
x
z
P•
r
O
ar a
y
a
1.2.3 球坐标系
ar a
axsincosaysinsinazcos axcoscosaycossinazsin
a axsinaycos
x
z
P•
r
O
ar a
y
a
注意：ar(，）、a(，）、a(）均不是常矢量
矢量（vector）:指需要大小和方向才能完整表 示的物理量。如位移、速度、加速度、力、力 矩、动量等物理量。矢量也常称为向量。这些 量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵 循特殊的运算法则。如矢量加法一般用平行四 边形法则。
1.1.1 相关定义
场（field）：假设有一个n维空间，如果空间 的每一个点都具有某一特性的“量”，就可认 为这个空间包含有某种性质的“场”。 如温度 场、电场、磁场、电磁场。
第一部分 电磁场
第1章 矢量分析
1.1 标量场和矢量场 1.2 坐标系的转换 1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度 1.5 亥姆霍兹定理
1.1.1 相关定义
标量(scalar):只具有数值大小，而没有方向的 物理量。如质量、密度、温度、功、能量、速 率、时间、热量、电阻等物理量。这些量之间 的运算遵循一般的代数法则。
ax arsincosacoscosasin ay arsinsinacossinacos az arcosasin
1.2.3 球坐标系
4）位置矢量：r = ar r
5）线元矢量:
dlardrardars id n
z
ar
a
r•
O
y
a
x
1.2.3 球坐标系
6）矢量面元：
z
ar
dS = ardSr+adS+adS
Oy
y
x
•
a
ay sin
a x ax cos
1.2.2 圆柱坐标系
注意：ax 、ay 、az是常矢量，模值为1，方向不变。而 a、a 模值为1，但方向随 变化，是 的函数，是变矢量。
a
ax sinay cos a
a
ax cosay sin a
4)位置矢量r :（从原点指
向某点）
直角：r = ax x + ay y + azz
A
B
矢量运算
矢量的加法 矢量的乘法 矢量的积分 矢量的散度 矢量的旋度
为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系
标量场(scalar field)：如果空间中每一个点所 赋予的“量”为标量，此空间就为标量场。
矢量场(vector field)：如果空间中每一个点 所赋予的“量”为矢量，此空间就为矢量场。
1.1 标量场和矢量场 1.2 坐标系的转换 1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度 1.5 亥姆霍兹定理
z [
1.2.2 圆柱坐标系
1)坐标单位矢量叉乘关系： (a×)→( a ×)→(az×)
1 i=j
2)坐标单位矢量点乘关系： ai • aj = 0 i ≠ j
3)与直角坐标的换算关系：
x cos
y
sin
x2 y2
tan y x
a axcosaysin a axsinaycos
d
a
a
y
1.2.3 球坐标系
P(r，， ) r球心到P距离
[0 r与+z轴的夹角 r在xoy面上的投 影（）与+x轴的夹角
1）叉乘关系：(ar×)→(a ×)→(a ×)
1.2.3 球坐标系
2)点乘关系：ai•aj = 3）换算关系：
1 i=j 0 i≠j
x rsin cos cos y rsin sin sin z rcos
变量增加方向的三个单位矢量，用a1、a2、a3表示
• 坐标变量：三个独立的自由度，用e1、e2、e3表示
• 位矢：坐标原点到空间任一点的矢量。 e3
• e1、e2、e3呈右手螺旋关系——右手系
e2
e1
1.2.2 圆柱坐标系
P(,,z)
z az
•
P
O
a
a y
x
：P到z轴垂直距离 ：在xoy面内的投影与+x轴的夹角
2R2(cos)
R
O
y
0
2R2(1cos)
x
1.1 标量场和矢量场 1.2 坐标系的转换 1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度 1.5 亥姆霍兹定理
矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅 度和方向
矢量的表示：
用黑体符号来表示(如 A)或用上面带箭头的符号(如 )A
来表示
用有向线段（带箭头的线段）来表示:
•开表面:与面积外沿的绕向 呈右手螺旋关系
•闭合面:外法线方向
开表面面元方向
dS dS
闭合面面元方向
直角系中： dS = axdSx + aydSy + azdSz 其中 dSx =dydz，dSy =dxdz，dSz =dxdy 分别是dS在yoz面，xoz面和xoy面上的投影
1.2.2 圆柱坐标系
a
dSr = r2sindd
r•
dS = rsinddr
O
y
dS = rddr
a
7）体积元：
x
d = dl1dl2dl3 = r2sindrdd
总结
1.2.3 球坐标系
例：计算面积分 S ar •dS ,其中S是半锥角为 的
圆锥面在半径为R的球面上割出的面积。
解： Sar•dSSdSr
z
2 R2sindd 00
z az
P •
r
O
a
a y
圆柱：r = a + azz
x
1.2.2 圆柱坐标系
5)线元矢量:（位移矢量）
直角坐标系中： dl = ax dx + aydy + azdz
圆柱坐标系中：
d l a d a d a zd z
z az
d
dz z • P
O
d
a
a
y
x
1.2.2 圆柱坐标系
6)面元矢量：
圆柱系中： dS = a dS+ adS + azdSz
dS= d dz， dS =ddz，dSz=dd z
az
dS、dS 、dSz分别是dS 在圆柱侧面（ 面）、过轴线
的半平面（面）和xOy面(z
d
dz z
Байду номын сангаас
面)上的投影。
7）体积元：
• P r
直角系中 dv = dx dy dz
O
圆柱系中dv = d d dz x
1.2.1 正交曲线坐标系简介
常用的正交曲线坐标系有13种： 直角、圆柱、球、 椭圆柱、抛物柱、抛物面、旋转抛物面、 长旋转椭球、扁旋转椭球、椭球、双球、 圆锥、环
1.2.1 正交曲线坐标系简介
• 坐标线（轴）：三张曲面两两正交相交而成的曲线 • 坐标原点（基准点）：三条坐标线的交点
• 坐标单位矢量：空间任一点与坐标线相切且指向
r
x2 y2 z2
2 z2
tan
x2 y2
z
z
tan
y x
x
z
P•
r
O
ar a
y
a
1.2.3 球坐标系
ar a
axsincosaysinsinazcos axcoscosaycossinazsin
a axsinaycos
x
z
P•
r
O
ar a
y
a
注意：ar(，）、a(，）、a(）均不是常矢量
矢量（vector）:指需要大小和方向才能完整表 示的物理量。如位移、速度、加速度、力、力 矩、动量等物理量。矢量也常称为向量。这些 量之间的运算并不遵循一般的代数法则，而遵 循特殊的运算法则。如矢量加法一般用平行四 边形法则。
1.1.1 相关定义
场（field）：假设有一个n维空间，如果空间 的每一个点都具有某一特性的“量”，就可认 为这个空间包含有某种性质的“场”。 如温度 场、电场、磁场、电磁场。
第一部分 电磁场
第1章 矢量分析
1.1 标量场和矢量场 1.2 坐标系的转换 1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度 1.5 亥姆霍兹定理
1.1.1 相关定义
标量(scalar):只具有数值大小，而没有方向的 物理量。如质量、密度、温度、功、能量、速 率、时间、热量、电阻等物理量。这些量之间 的运算遵循一般的代数法则。
ax arsincosacoscosasin ay arsinsinacossinacos az arcosasin
1.2.3 球坐标系
4）位置矢量：r = ar r
5）线元矢量:
dlardrardars id n
z
ar
a
r•
O
y
a
x
1.2.3 球坐标系
6）矢量面元：
z
ar
dS = ardSr+adS+adS
Oy
y
x
•
a
ay sin
a x ax cos
1.2.2 圆柱坐标系
注意：ax 、ay 、az是常矢量，模值为1，方向不变。而 a、a 模值为1，但方向随 变化，是 的函数，是变矢量。
a
ax sinay cos a
a
ax cosay sin a
4)位置矢量r :（从原点指
向某点）
直角：r = ax x + ay y + azz
A
B
矢量运算
矢量的加法 矢量的乘法 矢量的积分 矢量的散度 矢量的旋度
为了能对矢量进行运算，首先必须确定坐标系
标量场(scalar field)：如果空间中每一个点所 赋予的“量”为标量，此空间就为标量场。
矢量场(vector field)：如果空间中每一个点 所赋予的“量”为矢量，此空间就为矢量场。
1.1 标量场和矢量场 1.2 坐标系的转换 1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度 1.5 亥姆霍兹定理
z [
1.2.2 圆柱坐标系
1)坐标单位矢量叉乘关系： (a×)→( a ×)→(az×)
1 i=j
2)坐标单位矢量点乘关系： ai • aj = 0 i ≠ j
3)与直角坐标的换算关系：
x cos
y
sin
x2 y2
tan y x
a axcosaysin a axsinaycos
d
a
a
y
1.2.3 球坐标系
P(r，， ) r球心到P距离
[0 r与+z轴的夹角 r在xoy面上的投 影（）与+x轴的夹角
1）叉乘关系：(ar×)→(a ×)→(a ×)
1.2.3 球坐标系
2)点乘关系：ai•aj = 3）换算关系：
1 i=j 0 i≠j
x rsin cos cos y rsin sin sin z rcos
变量增加方向的三个单位矢量，用a1、a2、a3表示
• 坐标变量：三个独立的自由度，用e1、e2、e3表示
• 位矢：坐标原点到空间任一点的矢量。 e3
• e1、e2、e3呈右手螺旋关系——右手系
e2
e1
1.2.2 圆柱坐标系
P(,,z)
z az
•
P
O
a
a y
x
：P到z轴垂直距离 ：在xoy面内的投影与+x轴的夹角
2R2(cos)
R
O
y
0
2R2(1cos)
x
1.1 标量场和矢量场 1.2 坐标系的转换 1.3 矢量运算 1.4 标量场的梯度 1.5 亥姆霍兹定理
矢量就是有方向的量，矢量包含了两种信息：幅 度和方向
矢量的表示：
用黑体符号来表示(如 A)或用上面带箭头的符号(如 )A
来表示
用有向线段（带箭头的线段）来表示: