导数的运算法则及复合函数的导数公式

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复合函数的导数及导数的运算法则

练习、已知函数f x 在R上满足f x=2 f 2 x x2 8x 8,
则曲线y=f x 在点1，f 1 处的切线方程为 A
A.y=2x-1
B . y=x
C .y=3x-2
D.y=-2x+3
课堂小结
复合函数的导数
一般地，设函数 u＝(x)在点 x 处有导数 u'x＝'(x)，函数 y＝f(u) 在点 x 的对应点 u 处有导数 y'u＝f '(u) ，则复合函数 y＝f((x)) 在
6.若f(x) = e x，则f ' (x) = e x
7.若f(x) =
loga x，则f ' (x) =
1 xlna
8.若f(x) = lnx，则f ' (x) = 1 x
复习:
二,导数的运算法则:
法则1: f (x) g(x) f (x) g(x)
法则2: f (x)• g(x) f (x)g(x) f (x)g(x)
复习:
一,基本初等函数的导数公式
1.若f(x) = c，则f ' (x) = 0
2.若f(x) = xn，则f ' (x) = nxn-1 (n R)
3.若f(x) = sinx，则f ' (x) = cosx
4.若f(x) = cosx，则f ' (x) = -sinx
5.若f(x) = a x，则f ' (x) = a x lna
新课讲解
例 1 求下列函数的导数．
（1）y (2x 3)2
（2）y e0.05 x1
（3）y sin( x ) (其中，均为常数)
注：求复合函数的导数，关键在于分析清楚函数的复合关系，选好中间变量，在熟练以后，就不必再写中间步骤。

导数的四则运算及复合函数求导

经济应用数学数学
2. 复合函数求导法则
y f (u) , u (x)
dy dx

dy du
du dx

f (u) (x)
说明: 最基本的公式 (C) 0
(sin x) cos x
y yuux
(ln x) 1
x
3. 初等函数在定义区间内可导, 由定义证 , 其它公式
u x2 3复合而成, 所以 dy dy du
dx du dx
2sinu2x 0
4xsin x2 3
经济应用数学数学
例9 设y tan 1 2x2 , 求 dy dx
解因y tan 1 2x2由y tan u, u= v,v=1-2x2复合而成，所以

2 1 sec x sec x tan x 2222
sec2 x tan x 22
经济应用数学数学
例11 求函数 y ln tan 2x 的导数.
解：y ln tan x 1 tan 2x .
tan 2x
1 sec2 2x 2x
tan 2x

经济应用数学数学
三、小结
1. 有限次四则运算的求导法则
(u v) u v (uv) uv uv
注意：
(Cu) Cu ( C为常数 )
u
v

uv uv v2
(v 0)
[u( x) v( x)] u( x) v( x);
[u( x)] u( x) . v( x) v( x)

f (x) f
( x)
f
(x)
i1 i
1
2

复合函数导数公式及运算法则

复合函数导数公式及运算法则复合函数导数公式及运算法则是以下这些：1、链式法则：若$f\left( x \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)$,且$g\left( x \right)$关于$f\left( x \right)$的导数为$g'\left( f\left( x \right)\right)$,则$g\left( f\left( x \right) \right)$关于$x$的导数为$f'\left( x\right)\times g'\left( f\left( x \right) \right)$。

2、乘法法则：若$y=f\left( x \right)\times g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$f'\left( x \right)\times g\left( x \right)+f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)$。

3、除法法则：若$y=f\left( x \right)\div g\left( x \right)$,则$y$关于$x$的导数为$\frac{f'\left( x \right)\times g\left( x \right)-f\left( x \right)\timesg'\left( x \right)}{\left[ g\left( x \right) \right]^2}$。

4、指数函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则$y$关于$x$的导数为$a^x\cdot \ln\left( a \right)$。

5、指数函数反函数法则：若$y=a^x$(a>0,a 不等于1),则其反函数$y=\ln _ax$的导数关于$x$的导数为$\frac{1}{a^x\cdot \ln\left( a \right)}$。

导数复合函数求导法则(非常实用)

导数复合函数求导法则(非常实用)一、导数复合函数求导法则(非常实用)在学习数学的过程中，我们经常会遇到各种各样的函数，其中有一种特殊的函数叫做复合函数。

复合函数是由两个或多个函数组成的函数，它们之间的关系是“和”的关系。

那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们就来探讨一下导数复合函数求导法则。

我们需要了解什么是导数。

导数是一个函数在某一点处的变化率，也就是说，它表示了函数在这个点的切线斜率。

而求导数的目的，就是为了更好地理解函数在不同点上的变化规律，从而更好地解决实际问题。

那么，如何求解复合函数的导数呢？这里我们可以借鉴一下初等函数的求导方法。

对于一个简单的初等函数f(x),它的导数可以通过以下公式计算：f'(x) = (f(x) f(a)) / (x a)其中，a是一个常数，表示我们要求导的点。

这个公式的意义是：在点a处，函数f(x)的导数等于它在点a两侧的平均变化率。

现在，我们来看一个例子。

假设我们有一个复合函数g(u)(u为参数),它的定义域是[0, 1],值域是[0, 1]。

我们要求的是g(u)在u=0.5时的导数。

根据导数复合函数求导法则，我们可以得到：g'(0.5) = [g(0.5) g(0)] / (0.5 0) = (g(0.5) g(0)) / 0.5这个公式的意义是：在u=0.5处，函数g(u)的导数等于它在u=0和u=0.5两侧的平均变化率。

二、复合函数求导法则的实际应用了解了导数复合函数求导法则之后，我们可以将其应用到实际问题的解决中。

下面我们通过一个例子来说明这一点。

假设我们要设计一个程序，计算一个二次多项式在给定点处的值。

这个二次多项式的定义域是[-1, 1],值域是[-1, 1]。

我们可以将这个二次多项式表示为：h(x) = a * x^2 + b * x + c其中，a、b、c是常数，且满足以下条件：1. a > 0 且 a < 1;2. b > 0 且 b < 1;3. c > -1 且 c < 1;4. |a| + |b| + |c| <= 1;5. a * b * c != 0。

复合函数导数公式及运算法则

复合函数导数公式及运算法则1.基本公式：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的复合函数为$h(x)=f(g(x))$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$\frac{{dh}}{{dx}} = \frac{{df}}{{dg}} \cdot\frac{{dg}}{{dx}}$$或者可以写成简洁的形式：$$h'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$这个公式是复合函数导数的基本公式，也是后续运算法则的基础。

2.反函数法则：设有函数$y=f(x)$，如果$f(x)$的反函数存在且可导，那么反函数$f^{-1}(x)$的导数可以表示为：$$(f^{-1})'(x) = \frac{1}{{f'(f^{-1}(x))}}$$3.乘积法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的乘积为$h(x) = f(x) \cdot g(x)$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$这个公式可以直接应用于两个或多个函数的乘积的导数运算。

4.商法则：设有两个函数$f(x)$和$g(x)$，它们的商为$h(x) =\frac{{f(x)}}{{g(x)}}$。

那么$h(x)$的导数可以表示为：$$h'(x) = \frac{{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdotg'(x)}}{{(g(x))^2}}$$这个公式可以用于计算两个函数的商的导数。

5.复合函数的高阶导数：复合函数的高阶导数是指对复合函数进行多次求导的结果。

根据基本公式，我们可以计算复合函数的高阶导数。

例如，对于三次导数，我们可以应用基本公式三次，得到如下的表达式：$$h''(x) = [f'(g(x)) \cdot g'(x)]' = f''(g(x)) \cdot(g'(x))^2 + f'(g(x)) \cdot g''(x)$$类似地，我们可以计算更高阶的导数。

导数的运算法则及复合函数的导数公式(课堂PPT)

A. y′=2xcosx-x2sinx B. y′=2xcosx+x2sinx C. y′=x2cosx-2xsinx D. y′=2xcosx-x2sinx
1 x 2. 求y= 3 x 的导数
1 x2
3. 求y= sin x 的导数
4. 求y=2x2+3x+1的导数
18
课外作业：
P18页习题1 .2 A组第4、6、7题
公式 5 .若 f ( x ) a x , 则 f '( x ) a x ln a ( a 0 );
公式 6 .若 f ( x ) e x , 则 f '( x ) e x ;
公式 7 .若 f ( x ) lo g a
x,则 f
'( x )
1 (a x ln a
0,且 a
1);
上导乘下,下导乘上,差比下方 7
[ f( x ) g ( x ) ] f ( x ) g ( x ) f( x ) g ( x )
如果上式中f(x)=c,则公式变为：
[c(g x)]cg(x)
8
练习2、求下列函数的导数。
(1) y = x3·ex
ln x (2)(3) y =x
(2) y = x2·2x
公式 8 .若 f ( x ) ln x , 则 f '( x ) 1 ;
x
16
课堂小结
一、导数的四则运算法则
(1) (uv) uv
(2) (uv) uvuv
(3)
(
u v
)
uvuv v2
(v0).
二、复合函数的求导法则
yx yu ux，
17
达标练习
1.函数y=x2cosx的导数为（）

导数的四则运算与复合函数求导

导数的四则运算与复合函数求导在微积分学中，导数是描述函数变化率的重要概念。

导数的四则运算和复合函数求导是微积分中的基本技巧，本文将重点介绍这两个内容。

一、导数的四则运算导数的四则运算包括常数倍法则、和差法则、乘积法则和商法则。

下面将逐一介绍这些法则的应用。

1. 常数倍法则设函数y=f(x)，其中f(x)可导，k为常数，则有：(d/dx)(k·f(x)) = k·(d/dx)f(x)即常数倍法则指出，常数与函数的导数之间可以交换次序。

2. 和差法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) ± g(x)) = (d/dx)f(x) ± (d/dx)g(x)即和差法则指出，函数的求和或求差的导数等于各函数的导数的和或差。

3. 乘积法则对于可导函数f(x)和g(x)，则有：(d/dx)(f(x) · g(x)) = f(x)·(d/dx)g(x) + g(x)·(d/dx)f(x)即乘积法则指出，函数的乘积的导数等于其中一个函数乘上另一个函数的导数，再加上另一个函数乘上第一个函数的导数。

4. 商法则对于可导函数f(x)和g(x)，其中g(x) ≠ 0，则有：(d/dx)(f(x) / g(x)) = (g(x)·(d/dx)f(x) - f(x)·(d/dx)g(x)) / (g(x))^2即商法则指出，函数的商的导数等于分子的导数与分母的导数的差再除以分母平方。

二、复合函数求导当函数是由一个函数与另一个函数组合而成时，就称之为复合函数。

求解复合函数的导数需要运用链式法则。

1. 链式法则设函数y=g(f(x))，其中f(x)和g(x)都可导，则有：(d/dx)g(f(x)) = (dg/df)·(df/dx)即链式法则指出，复合函数的导数等于外层函数对内层函数求导的结果乘上内层函数对自变量求导的结果。

复合函数求导公式运算法则

复合函数求导公式运算法则1. 基本公式：如果函数y=f(u)和u=g(x)都可导，则复合函数y=f(g(x))也可导，且导数为dy/dx=f'(u)·g'(x)。

2. 对数函数：对于自然对数函数y=ln(u)，其中u是一个关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/u·du/dx。

3. 幂函数：对于幂函数y=u^n，其中u是关于自变量x的函数，n是常数，则其导数为dy/dx=n·u^(n-1)·du/dx。

4. 指数函数：对于指数函数y=a^u，其中a是常数，u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=a^u·ln(a)·du/dx。

5. 三角函数：对于三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数等。

6. 反三角函数：对于反三角函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反三角函数包括反正弦函数、反余弦函数和反正切函数等。

7. 双曲函数：对于双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=f'(u)·du/dx。

常见的双曲函数包括双曲正弦函数、双曲余弦函数和双曲正切函数等。

8. 反双曲函数：对于反双曲函数y=f(u)，其中u是关于自变量x的函数，其导数为dy/dx=1/f'(u)·du/dx。

常见的反双曲函数包括反双曲正弦函数、反双曲余弦函数和反双曲正切函数等。

下面通过实际例子来说明复合函数求导公式的运算法则。

例子1：求函数y=(2x+1)^3的导数。

解：将y看作是外层函数f(u)=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则，导数dy/dx=f'(u)·u'(x)。

复合函数的导数及导数的运算法则

复合函数的导数及导数的运算法则复合函数是指由两个或多个函数组成的函数。

在求复合函数的导数时，需要使用链式法则，即将函数的导数作为求导的一部分。

设有两个函数f(x)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。

我们的目标是求解复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx。

根据链式法则，dy/dx可以表示为：dy/dx = df(g(x))/dx根据上述公式，我们可以按照以下步骤求导：Step 1: 首先对f(g(x))进行求导，即求df(g)/dg。

Step 2: 然后对g(x)进行求导，即求dg(x)/dx。

Step 3: 最后将求导得到的结果相乘，即df(g)/dg * dg(x)/dx =dy/dx。

下面我们讨论一些常见的复合函数和它们的导数运算法则。

1. 复合函数的链式法则（Chain Rule）设有函数f(u)和g(x)，假设y=f(g(x))是一个复合函数。

根据链式法则，复合函数y=f(g(x))的导数可以表示为：dy/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中，f'(u)和g'(x)分别表示f(u)和g(x)的导数。

例如，如果y=(2x+1)^3，则可以将它表示为y=u^3，其中u=2x+1、根据链式法则：dy/dx = 3u^2 * du/dx = 3(2x + 1)^2 * 2 = 6(2x + 1)^22.复合函数中的乘法法则如果复合函数中有乘法运算，则可以使用乘法法则来求导。

例如，如果y=x^2*e^x，则可以使用乘法法则来求导：dy/dx = (d/dx)(x^2) * e^x + x^2 * (d/dx)(e^x)对于每一项使用基本求导法则：dy/dx = 2x * e^x + x^2 * e^x3.复合函数中的除法法则如果复合函数中有除法运算，则可以使用除法法则来求导。

例如，如果y=(x^2+1)/(x-1)，则可以使用除法法则来求导：dy/dx = [(d/dx)(x^2 + 1)(x - 1) - (d/dx)(x - 1)(x^2 + 1)]/(x - 1)^2再对每一项使用基本求导法则：dy/dx = [(2x)(x - 1) - (x^2 + 1)]/(x - 1)^24.复合函数中的三角函数法则如果复合函数中包含三角函数，则可以使用三角函数法则来求导。

导数基本公式与求导法则之复合函数求导法则

dy dy du 2 2 3u cos x 3sin x cos x dx du dx
例4 求 y s i n
x
3
的导数．
3 ys i n u , ux ,则解：设
d y d yd u 2 2 3 c o s u 3 x 3 x c o s x d x d ud x
f ( x) [(3x 2)2 ] (9x2 12x 4) 18x 12
2 f ( x ) y u , u 3 x 2 复合而成．函数可由
y u u x 2 u 3 2( 3 x 2 ) 3 18 x 12 f ( x ) y u ux
（D）y’=－Aωsin(ωx+φ)
3.求下列函数的导数 1） y (2x 23) ）10 3)
2 y log 2 (14 ） )
y ex
3
x
y 1 x2
5） y cos3 x 6） (7) (8)x)3 y (1 cos
y cos x3
y sin 2x 1
2 3 y ( 2 x ) （1）
2 y sin x （2）
4、写出由下列函数复合而成的函数： y ln u, u ln x （ 1）（2 ） y cos u, u 1 x 2
解：（1）
y ln(ln x ).
（2）
y cos(1 x )
2
新授课
复合函数的求导方法（链式法则）定理如果 u g(x) 在点 x 可导，函数 y f ( u ) 在对应点 u g(x) 可导，则复合函数 y f g ( x ) 在点 x 也可导，且其函数为

导数的运算法则及复合函数的导数

导数的运算法则及复合函数的导数导数是微积分中非常重要的概念，它描述了一个函数在其中一点的变化率。

在实际应用中，我们常常需要对函数进行一系列运算，包括加减乘除和复合函数等，了解导数的运算法则以及复合函数的导数可以帮助我们更好地进行运算和解决实际问题。

1.导数的运算法则：(1)和差法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的和、差的函数f(x)+g(x)和f(x)-g(x)在区间I上仍然可导，并且有如下的导数公式：(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)(2)乘法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，则它们的乘积函数f(x)g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)(3)除法法则：设函数f(x)和g(x)在区间I上可导，并且g(x)≠0，则它们的商函数f(x)/g(x)在区间I上可导，并且有如下的导数公式：(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]²(4)常数法则：设c为常数，函数f(x)在区间I上可导，则常数函数cf(x)在区间I 上可导，并且有如下的导数公式：(cf(x))' = cf'(x)(5)幂函数法则：设函数f(x)=x^n在区间(x>0)上可导，则幂函数f(x)=x^k在区间(x>0)上可导，并且有如下的导数公式：(x^k)' = kx^(k-1)2.复合函数的导数：复合函数是指一个函数内部存在另一个函数，即一个函数的输入是另一个函数的输出。

在实际运算中，我们还需要计算复合函数的导数，可以利用链式法则来求解。

(1)链式法则：设函数y=f(u)，u=g(x)是由两个函数构成的复合函数，在函数f和g 满足一定的条件下dy/dx = dy/du * du/dx具体地，对于复合函数y=f(g(x))，先计算出f对u的导数df/du，再计算出g对x的导数dg/dx，最后将两个结果相乘即可得到复合函数对x的导数。

复合函数求导法则公式

复合函数求导法则公式1.链式法则：链式法则是用于求解复合函数导数的基本法则。

设y=f(u)，u=g(x)为两个可导函数，且y=f(u)和u=g(x)均是一对一函数，则复合函数y=f(g(x))的导数可以通过链式法则求得。

链式法则的公式为：dy/dx=dy/du * du/dx其中，dy/du表示函数y=f(u)对u的导数，du/dx表示函数u=g(x)对x的导数。

例如，设y=sin(x^2)，我们需要求解dy/dx。

首先，令u=x^2，y=sin(u)，则dy/du=cos(u)=cos(x^2)。

其次，求解du/dx=2x。

最后，根据链式法则，dy/dx=dy/du * du/dx = cos(x^2) * 2x = 2x*cos(x^2)。

2.乘积法则：乘积法则用于求解两个函数乘积的导数。

设y=u*v为两个可导函数的乘积，则乘积函数y=u*v的导数可以通过乘积法则求得。

乘积法则的公式为：dy/dx = u * dv/dx + v * du/dx例如，设y=x*sin(x)，我们需要求解dy/dx。

根据乘积法则，将u=x，v=sin(x)代入上述公式，dy/dx = x * cos(x) + sin(x)。

3.商规则：商规则用于求解两个函数的商的导数。

设y=u/v为两个可导函数的商，则商函数y=u/v的导数可以通过商规则求得。

商规则的公式为：dy/dx = (v * du/dx - u * dv/dx) / v^2例如，设y=(x^2+1) / x，我们需要求解dy/dx。

根据商规则，将u=x^2+1，v=x代入上述公式，dy/dx = ((x) * (2x) - (x^2+1) * (1)) / (x^2)^2 = (x^2 - 1) / x^4小结：复合函数求导法则包括链式法则、乘积法则和商规则。

链式法则适用于求解复合函数的导数，乘积法则适用于求解两个函数乘积的导数，商规则适用于求解两个函数的商的导数。

复合导数公式及运算法则

复合导数公式及运算法则1、设u=g(x)，对f(u)求导得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；2、设u=g(x),a=p(u)，对f(a)求导得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；1、设函数y=f(u)的定义域为Du，值域为Mu，函数u=g(x）的定义域为Dx，值域为Mx，如果Mx∩Du≠Ø，那么对于Mx∩Du内的任意一个x经过u；有唯一确定的y值与之对应，则变量x与y 之间通过变量u形成的一种函数关系，这种函数称为复合函数(composite function)，记为：y=f[g(x)]，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量（即函数）。

2、定义域：若函数y=f(u)的定义域是B,u=g(x)的定义域是A,则复合函数y=f[g(x)]的定义域是D= {x|x∈A,且g(x)∈B} 综合考虑各部分的x的取值范围，取他们的交集。

3、周期性：设y=f(u)的最小正周期为T1,μ=φ(x)的最小正周期为T2,则y=f(μ)的最小正周期为T1*T2，任一周期可表示为k*T1*T2(k属于R+).4、单调（增减）性的决定因素：依y=f(u)，μ=φ(x)的单调性来决定。

即“增+增=增；减+减=增；增+减=减；减+增=减”，可以简化为“同增异减”。

复合函数的导数等于原函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数。

举个例子来说：F(x)=In(2x+5),这个函数就是个复合函数，设u=2x+5，则u就是中间变量，则F（u）=Inu （1）原函数对中间变量的导就是函数（1）的导，即1/u中间变量对自变量的导就是u对x求导，即2最后原函数的导数等于他们两个的乘积，即2乘以1/u，但千万别忘了把u=2x+5带进去，所以答案就是2/(2x+5)。

其他的不管在复杂的复合函数都是这么求的，要是有多重复合就一层一层的求下去，一般来讲，高三最多要你求3层复合就像：F(x)=log[(2x+5)平方}，这个就是简单的三层复合，设u=v平方，v=2x+5, 再用上面一样的方法把各自的求出来，来乘起来就是. 熟悉了以后根本不用列这么多，直接写就行。

复合函数求导法则

复合函数求导法则复合函数是由两个或多个函数构成的函数，形式为f(g(x))，其中g(x)是一个函数，f(u)是一个与u相关的函数。

在求复合函数的导数时，我们可以使用复合函数求导法则，该法则有三个部分：链式法则，反链式法则和迭代法则。

1.链式法则：链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个内层函数，f(u)是一个外层函数。

链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)例如，我们考虑函数f(u) = sin(u^2)，其中g(x) = x^2、我们先计算g'(x)，然后计算f'(u)，最后使用链式法则计算出f(g(x))的导数。

首先，计算g'(x)如下：g'(x)=2x接下来，计算f'(u)如下：f'(u) = cos(u^2) * 2u最后，使用链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(g(x))*g'(x)= cos((x^2)^2) * 2(x^2)= cos(x^4) * 2x^2所以，f(g(x)) = sin(x^4) 的导数为 cos(x^4) * 2x^22.反链式法则：反链式法则适用于复合函数f(g(x))，其中g(x)是一个外层函数，f(u)是一个内层函数。

反链式法则的公式如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'例如，我们考虑函数f(u) = u^3，其中g(x) = sin(x)。

我们可以直接计算出g'(x)和f'(u)，然后使用反链式法则计算出f(g(x))的导数。

首先，计算g'(x)如下：g'(x) = cos(x)接下来，计算f'(u)如下：f'(u)=3u^2最后，使用反链式法则计算f(g(x))的导数如下：[f(g(x))]'=f'(u)*u'= 3(sin(x))^2 * cos(x)= 3sin^2(x) * cos(x)所以，f(g(x)) = sin^3(x) 的导数为 3sin^2(x) * cos(x)。

复合函数的求导法则公式

复合函数的求导法则公式复合函数是由两个或多个函数组合成的一个函数，求导时需要运用复合函数的求导法则公式。

下面将详细介绍复合函数的求导法则公式。

1. 基本公式设函数y=f(u)，u=g(x)，则复合函数 y=f[g(x)] 的导数为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=f'(u)g'(x) $$其中，$f'(u)$表示函数f(u)对u的导数，$g'(x)$表示函数g(x)对x的导数。

例如，设 $f(u) = u^2$，$g(x) = 3x +1$，则$$ y=f[g(x)]=f(3x+1)=(3x+1)^2 $$根据复合函数的求导法则公式，可得：$$ \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x}=\\frac{\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d}u}\\cdot \\frac{\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d}x}=2u\\cdot3=6(3x+1) $$所以，$y' = \\frac{\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d}x} = 6(3x+1)$。

2. 链式法则复合函数的求导法则也可以用链式法则表示为：$$ \\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d}y}{\\mathrm{d} u} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u}{\\mathrm{d} x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}x}=\\frac {\\mathrm{d} y}{\\mathrm{d} u_1} \\cdot \\frac {\\mathrm{d}u_1}{\\mathrm{d} u_2} \\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_2}{\\mathrm{d}u_3}\\cdot \\frac {\\mathrm{d} u_3}{\\mathrm{d} x}=\\cdots $$其中，$u_1,g^{(1)}(x)$表示通过一次代换得到的新函数，$u_2,g^{(2)}(x)$表示通过第二次代换得到的新函数，$u_3,g^{(3)}(x)$表示通过第三次代换得到的新函数，$\\cdots$表示通过n次代换得到的新函数，$y=f(u)$。

复合函数求导公式

复合函数求导公式一、复合函数的导数定义假设y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则复合函数y=f(g(x))也是可导函数。

复合函数的导数定义如下：dy/dx = dy/du * du/dx其中dy/du表示y关于u的导数，du/dx表示u关于x的导数。

二、链式法则链式法则是复合函数求导的重要工具，它表明复合函数的导数等于内外导数的积。

链式法则的数学表示如下：d(f(g(x)))/dx = f'(g(x)) * g'(x)其中f'(g(x))是f对于g(x)的导数，g'(x)是g对于x的导数。

三、基本公式1.复合函数的求导公式【公式1】(f(g(x))'=f'(g(x))*g'(x)【例题1】计算函数y=sin(x^2)的导数。

解：我们将y=sin(u)和u=x^2，那么y=sin(g(x))。

根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx= cos(u) * 2x所以，函数y=sin(x^2)的导数为2x * cos(x^2)。

【例题2】计算函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数。

解：我们将y=u^3和u=3x^2+2x+1，那么y=(g(x))^3、根据链式法则：dy/dx = dy/du * du/dx=3u^2*(6x+2)=3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)所以，函数y=(3x^2+2x+1)^3的导数为3(3x^2+2x+1)^2*(6x+2)。

2.反函数的导数公式如果y=f(g(x))，且g(x)与f(x)互为反函数，则有：dy/dx = 1 / (dx/dy)其中dx/dy表示g(x)对于x的导数。

【例题3】计算函数y=ln(sin(x))的导数。

解：将y=ln(u)和u=sin(x)，那么y=ln(g(x))。

根据反函数的导数公式：dy/dx = 1 / (dx/dy)= 1 / (d(sin(x))/dx)所以，函数y=ln(sin(x))的导数为1 / (cos(x))。

复合函数导数的基本公式14个

复合函数导数的基本公式14个下面是复合函数导数的14个基本公式：1.链式法则链式法则是求解复合函数导数的基本方法。

设函数y=f(u)和u=g(x)，则复合函数y=f(g(x))的导数dy/dx等于dy/du乘以du/dx，即(dy/dx)=(dy/du)(du/dx)。

2.反函数法则如果函数y=f(x)的反函数存在，则反函数y=f^(-1)(x)的导数为1/f'(f^(-1)(x))。

3.乘积法则设函数y=u(x)v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，即(dy/dx)=(u'(x)v(x))+(u(x)v'(x))。

4.商法则设函数y=u(x)/v(x)，其中u(x)和v(x)是关于x的函数，且v(x)不等于0，则函数y的导数dy/dx等于(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^2，即(dy/dx)=(u'(x)v(x)-u(x)v'(x))/(v(x))^25.幂函数法则设函数y=u(x)^n，其中u(x)是关于x的函数，n是常数，则函数y的导数dy/dx等于n(u(x))^n-1*u'(x)，即(dy/dx)=n(u(x))^n-1*u'(x)。

6.指数函数法则设函数y=a^u(x)，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于a^u(x)ln(a)*u'(x)，即(dy/dx)=a^u(x)ln(a)*u'(x)。

7.对数函数法则设函数y=log_a(u(x))，其中a是常数，u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于1/(u(x)ln(a))*u'(x)，即(dy/dx)=1/(u(x)ln(a))*u'(x)。

8.双曲函数法则设函数y=sinh(u(x))，其中u(x)是关于x的函数，则函数y的导数dy/dx等于u'(x)cosh(u(x))，即(dy/dx)=u'(x)cosh(u(x))。

复合函数求导数的四步

复合函数求导数的四步
复合函数求导法则如下：
一般地，对于函数y=f(u)和u=g(ⅹ)复合而成的函数y=f(g(ⅹ))，它的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为yⅹ＇=yu＇·u ⅹ＇，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x导数的乘积。

总的公式f'[g(x)]=f'(g)×g'(x)
比如说：求ln(x+2)的导函数
[ln(x+2)]'=[1/(x+2)] 【注：此时将(x+2)看成一个整体的未知数x'】×1【注：1即为(x+2)的导数】
复合函数求导的步骤:
1、分层：选择中间变量，写出构成它的内，外层函数。

2、分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数。

3、相乘：把上述求导的结果相乘。

4、变量回代：把中间变量回代。

主要方法：
先对该函数进行分解，分解成简单函数，然后对各个简单函数求导，最后将求导后的结果相乘，并将中间变量还原为对应的自变量。

例如，复合函数求导。

求复合函数的导数注意:
1、分解的函数通常为基本初等函数。

2、求导时分清是对哪个变量求导。

3、计算结果尽量简单。

4、对含有三角函数的函数求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，使函数的种类减少，次数降低，结构尽量简单，从而便于求导。

5、分析待求导的函数的运算结构，弄清函数是由哪些基本初等函数通过何种运算而构成的，确定所需的求导公式。