第二章光腔与高斯光束

1
3 / 4 3 / 4 33
L 0.5 0.5 / 2 3 / 4(m)
g 1 g2 (1 2 )(1
) >1 3 32
§2.3 开腔模的衍射理论分析方法
一、开腔模的一般物理概念 1、理想开腔模型
两块反射镜面放在无限大的均匀的各向同性介质中。
在开腔中是否存在电磁场的本征态或不随时间变 化的稳态场分布?如何求场分布?
R1
R2
2 3
即 g 1 g2 1
该腔为临界腔
当腔内插入其他介质时，设该介质的长度为l，
该介质卓有两边剩余的腔内长度分别为l1和l2，
则 l1 l l2 L 。设此时的等效腔长为 L ，则
1 0
L 1
1
0
l2 1
1
0
0 1
0
l 1 1 0
0 1
1
/
0
l1 1
1
0
l2
l
l1
对于多种损耗，则： i
i
I1 I0 exp( 2 ) 1 ln I0
2 I1
定义二：单程渡越时光 强的平均衰减百分数
2 ' I0 I1
I0
' I0 I1
2I0
说明：当损耗较小时，两种定义一致。
§2.1 光腔理论的一般问题
3 光子在腔内的平均寿命 （又叫腔的时间常数）
R
L'
c
Im
§2.3 开腔模的衍射理论分析方法
2、菲涅耳—基尔霍夫衍射积分
1、分析衍射的理论基础：惠更斯—菲涅耳原理 2、定量处理开腔模式问题的数学理论：菲涅 耳—基尔霍夫衍射积分 功能：如果知道了光波场在其所达到的任意空间 曲面上的振幅和相位分布，就可以求出该光波场 在空间其他任意位置处的振幅和相仿分布。
各子波源发 出的球面波
衍射损耗及输出损耗分别引起的δ、 c、Q、 (c设n=1)
解： 衍射损耗:
L
a2
10.6 106 1 (0.75 102 )2
0.188
c
L
c
1 0.188 3108
1.75108 s
Q
2 c
3 108 2 3.14 10.6106
1.75 108
3.11 106
c
1
2 c
1 2 3.14 1.75 108
6、共轴球面腔中光线往返n次的变换矩阵 T n 由Sylvester定理有:
rnn
T
T
r00
Tn
r00
An Cn
Bn Dn
r00
Tn
1
sin
Asin
n
C
sin n
sin n
1
Dsin
Bsin n
n sin n
1
其中：
arccos
1 2
A
D
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
变换矩阵 T n 的特点 ①往返矩阵与初始坐标无关，可用来描述任意 傍轴光线在腔中的传播行为。
非稳腔判据 g1 g2 > 1 或 g1 g2 < 0
对增益较高的工作物质,非稳腔也能稳定地工作
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
例、由凸面镜和凹面镜组成的球面腔，如果凸面镜曲 率半径为2m，凹面镜曲率半径为3m，腔长L为1m， 腔内介质折 射2 率为1，此球面镜腔是何种腔（稳定腔、 临界腔、非稳腔）?当腔内插入一块长为0.5m，折射 率 的其他透明介质时（介质两端面垂直于腔轴
r
1 2
[(1
r1
)
(1
r2
)]
当r1≈1，r2≈1时，
§2.1 光腔理论的一般问题 损耗举例2：（腔镜倾斜时的几何损耗）
m D
2L
c
2DL
L
c
L
2D
以D=1cm，L=1m计算，如果要求损耗低于0.01
2106 rad 0.4
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例3：（衍射损耗）
1.22
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
2)φ为虚数
1 2
(A
D)
>
1即g1 g2
>
1
或者1 2
(A
D)
<
1即g1 g2
<
0
当φ值为复数时,由于有虚部,必然导致sinφ与sin(n-1)φ的值
随n的增大按指数规律增大。从而使rn 、θn 的值也随n增 大按指数规律增大。傍轴光线在腔内往返有限次后必将横
向逸出腔外。
倾斜因子
u
x, y
ik
4
u
S
x', y' eik
1
cos ds'
§2.3 开腔模的衍射理论分析方法
3、稳态场的形成——模的“自再现”
镜1上的场分布，到达镜2时，由于衍射，要经历一次能量的 损耗和场分布的变化，中间能量损失小，镜边缘损失大。每 单程渡越一次，都会发生类似的能量损耗和场分布变化。多 次往返后，从而逐渐形成中间强、边缘弱的基本不受衍射影 响的稳态场分布。该稳态场分布一个往返后可“自再现”出 发时的场分布，唯一变化是镜面上各点的场振幅按同样的比 例衰减，各点相位滞后2 的整数倍。
§2.1 光腔理论的一般问题 二 F-P腔TEMmnq模之纵模
驻波条件: 波从某一点出发,经腔内往返一周再
回到原来位置时,应与初始出发波同相
2 2L' q • 2L'
q
ni Li
L' q 0q
2
q
q
c 2nL
q
q1
q
c 2nL
c 2L'
——纵模间隔
满足谐振条件的各个频率 q是分立的！
I0 (e2
)m
I
e2
0
m
m t 2L / c
t时刻的光强为
t c
I (t) I0e L
t
I0e R
R
L
c
物理意义:
当 t R
时，
Im
I0 e
可见， 越大， R 越短，腔内光子数衰减越快！
R 也可看成腔内光子的平均寿命。
§2.1 光腔理论的一般问题
t
I(t) I0e R 设t时刻光子数密度为N I(t)=Nh v
1
TL
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0
L
1
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
3、界面的折射矩阵
入射 r0,0
r r0
出射 r,
θ
n1 n2
θ0
n1
n10 n2
1 0
TS
0
n1
n2
4、球面镜的反射矩阵Tr
0
1
Tr
-
2 R
01
对于薄透镜有 类似的关系
n2
r2 r1
10
TR
f11
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
D
忽略第一暗 环以外的光
假设爱里斑 内光强均匀
W1 W1 W0
S1 S1 S0
(a L )2 a2 (a L )2
2L
a
1.22L
a2
1
a2 L
d
1 a2
1 N
L
N a2
L
菲涅耳数
§2.1 光腔理论的一般问题
例CO2 激光器的腔长L=100cm，反射镜直径D=1.5cm， 两镜的光强反射系数分别为r1=0.985,r2=0.8。求由
7 光学谐振腔的稳定性条件
rnn
Anr1 Cnr1
Bn1 Dn1
的rn和θn取值大小，反映的是光线偏离 光轴能力的程度 当其为有限值，即小于
镜面的横向尺寸时，光不逸出，即为稳定。
我们讨论φ的取值情况：
1)φ为实数
a. Tn为有限值的条件为Sinφ不为0
φ不等于Kπ
即
＝arc cos 12（A＋D） K
5.7MHz
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
一、傍轴光线往返传输的矩阵（ABCD矩阵）描述
1、傍轴光线的坐标描述和矩阵描述
(1) 坐标描述
r ：光线离光轴的距离 ： 光线与光轴的夹角
傍轴光线:tg sin
r
正,负号规定： (2)矩阵描述 r
>0 <0 <0
两种描述是统一的！
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 < 12（A＋D）< 1
稳定条件
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
1 A D 1 2L 2L 2L2
2
R1 R2 R1R2
2(1
L )(1 R1
L R2
)
1
0
<
(1
L )(1 R1
L) R2
<
1
定义谐振腔的g参数
g1＝1
g
2＝1
L R1 L R2
>
0
< g1g2 <
稳定条件
1
b.Sinφ=0, Tn为极大值
定义二 :
Q R
2 L' c
定义三 :
Q
c
激光的单模线宽
小结：损耗越大， Q值越小。
§2.1 光腔理论的一般问题
损耗举例1：（由镜反射不完全引起的损耗）
初始强度为I0的光，在腔内经两个镜面反 射往返一周后，其强度应为
I1 I0r1r2 I0e2r
r
1 2
ln(
r1r2
)
1 2
(ln
r1
ln r2 )
9.1MHz
§2.1 光腔理论的一般问题
输出损耗:
1 2 ln r1r2
0.5 ln(0.985 0.8) 0.119
c
L
c
1 0.119 3108
2.78108 s
Q
2 c
2 3.14
3 108 10.6 106
2.78 108
4.96MHz
c
1
2 c
1 2 3.14 2.78 108
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
(2)平行平面腔
此时有R1=R2＝∝， g1＝g2＝1 g1g2＝1
1.腔中沿轴线方向行进的光线能往返无限多次而不 致逸出腔外，且一次往返即实现简并(形成闭合光 路)． 2.沿非轴向行进的光线在经有限次往返后，必然从 侧面逸出腔外，这又与非稳腔相像。
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
t
N(t) N0e R
在t～ t+dt内减少的光子数密度为
dN
N0
t
e R dt
R
这（-dN）个光子的寿命均为t，N0 个光子
的平均寿命为
1
t N0
1 (dN )t
N0
0
t(
N0
R
t
)e R
dt
R
§2.1 光腔理论的一般问题
4 无源腔的Q值
定义一 : Q E
P
腔内储存的总能量 单位时间内损耗的能量
1 分类
光学开腔的损耗包括：
• 几何偏折损耗
选 择
• 衍射损耗
损 耗
• 腔镜反射不完全所引起的损耗
非
• 材料中的非激活吸收、散射、腔内插入
选 择
损
的光学元件或其它物体所引起的损耗
耗
§2.1 光腔理论的一般问题
2 平均单程损耗因子
定义一：若初始光强为 I0 ,在腔中往 返一次后，光强衰减为 I1 ，则有：
说明：光传输中，r ,θ可能发生变化，而变化后
的r 、θ可用一个ABCD传输矩阵与初始光线的矩
阵相乘得到。
2、自由空间的平移矩阵
A处：r0，0 B处：r’，’
r0 ,0
B
A
r,
L
r r0 Lθ0 θ θ0
则自由空间的平移矩阵为：
r A
θ
C
B
D
r0 θ0
TL
r0 θ0
折叠腔、环形腔 复合腔－腔内加入其它光学元件，如透镜，F－P标准具等
§2.1 光腔理论的一般问题
折叠腔
l3
l2
l1
环形腔
染料调Q装置示意图
M3
KTP
M4
Pump
808nm M1
Nd:YVO4 TGG /2
Output M2 671nm
Fig.1 The schematic design of all-solid-state green laser of single-frequency operation
§2.1 光腔理论的一般问题
腔精细度F及线宽
自由光谱区（FSR）
q c
c ：腔线宽
E0 t1Ein
Ecav
E0 1 g
g
R1R2e p ei
1
2
FSR Finesse
Finesse
gm
1 gm
1
P cav Pmax 1 (2F )2 sin2 ( )
§2.1 光腔理论的一般问题
三 光腔的损耗
(3)共心腔
满足条件 R1十R2＝L的谐振腔称为共心腔， 因这时腔的两个镜
面的曲率中心互相重合。
g1＝1
L R1
R2 R1
g2＝1
L R2
R1 R2
g1g2 1
通过公共中心的光线能
在腔内往返无限多次，且
一次往返即自行闭合。
所有不通过公共中心的
光线在腔内往返有限多次 后，必然横向逸出腔外。
平行平面腔、共心腔可称为介稳腔。
线），谐振腔是何种腔（稳定腔、临界腔、非稳腔）?
思路：写出传输一周的ABCD矩阵
判断
1 < A D < 1 2
？
0 < g 1 g2 < 1 g 1 g2 > 1
非稳腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
解： 设凸面镜与凹面镜的曲率半径分别为 R1和R2 ，
当腔内未插入其他透明介质时
(1 L )(1 L ) (1 1 )(1 1) 1
第二章 开放式光腔与高斯光束
1 利用ABCD矩阵分析光腔稳定性 2 腔与模的关系分析 3 高斯光束的基本性质 4 q参数应用
§2.1 光腔理论的一般问题
一 光腔的构成和分类
1、开腔： 稳定腔、非稳腔、临界
腔
F-P腔：最早提出来的平行平面光腔 共轴球面腔(b) 2、闭腔：介质腔(a) 3、气体波导激光谐振腔 4、光腔的其它分类
5、共轴球面腔的往返矩阵 T 一次往返
两次自
由空间
和两次
L
球面镜
反射
θr55 TR1TLTR2TL θr11 T θr11
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
其中: T CA DB
2L A 1
R2
B
2 L1
L R2
C
2
R1
2 R2
1
2L R1
D
2L R1
1
2L R1
1
2L R2
即
1（A＋D）＝ 2
1
＝acr cos 12（A＋D）＝K
g1g2＝1或者g1g2＝0
临界腔
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件
常见的几种临界腔 (1) 对称共焦腔 满这足时条腔件的R中l＝心R即2＝g为1＝L两g的2＝ 个谐0镜振面g腔1g的2称＝公0为共对焦称点共。焦对腔称，
共焦腔满足
任意徬轴光线均可在腔内往返无限多次而不致 横向逸出，而且经两次往返即自行闭合。共焦 腔应属于稳定腔。
②往返矩阵中的各个元素的具体值与初始出发 位置、光线往返顺序有关。
③ 1 A D 对于一定结构的球面腔而言是一确定量，
2
而与光线的初始坐标、出发位置和往返
次序无关！
更进一步，对于共轴球 面腔，下式永远成立：
1 A D 1 2L 2L 2L2
2
R1 R2 R1R2
§2.2 共轴球面腔的稳定性条件