根式及其运算.

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根式运算法则

根式运算法则一、引言在数学中，根式运算是解决数学问题中经常使用的一种基本运算方法。

根式是一个包含有根号符号的表达式，其中被根号包围的部分称为被开方数，根号下面的数字称为指数。

根式运算法则是对根式进行化简、运算和简化的一系列规则，掌握这些法则可以帮助我们在解决复杂的数学问题时更加高效和准确。

二、根式的基本概念根式可以分为次数为偶数和次数为奇数的两种情况。

当次数为偶数时，被开方数不能是负数；而次数为奇数时，则可以包含任意实数。

根式的化简就是将根式表达式简化到最简形式，即使根号下面不再有平方根或其他次数。

三、根式运算的规则1.同底合并：$\\sqrt{a} \\times \\sqrt{b} = \\sqrt{ab}$2.分解因式：$\\sqrt{a} \\div \\sqrt{b} = \\frac{\\sqrt{a}}{\\sqrt{b}}$3.开方运算：$\\sqrt{a^2} = a$4.分布律：$\\sqrt{a + b} \ eq \\sqrt{a} + \\sqrt{b}$5.乘方运算：$(\\sqrt{a})^2 = a$四、根式运算的例题分析例1简化根式$\\sqrt{50}$。

解： $\\sqrt{50} = \\sqrt{25} \\times \\sqrt{2} = 5\\sqrt{2}$例2计算$\\sqrt{12} \\div \\sqrt{3}$。

解： $\\sqrt{12} \\div \\sqrt{3} = \\frac{\\sqrt{12}}{\\sqrt{3}} =\\frac{\\sqrt{4} \\times \\sqrt{3}}{\\sqrt{3}} = 2$五、常见错误与注意事项1.忘记约分：在进行根式运算时，需要注意将不完全平方数进行约分，以便化简根式。

2.混淆因式分解：有时候会误将根号下的因式进行平方运算，需要注意分解因式和乘方运算的区别。

六、总结根式运算法则是数学中的基础知识之一，掌握好根式运算法则可以帮助我们更好地解决数学问题，提高解题效率。

二次根式及其运算

【解析】 (1)原式＝(3 2)2－1－[(2 2)2－4 2＋1] ＝18－1－8＋4 2－1＝8＋4 2.
(2)原式＝( 10－3)2016×( 10＋3)2016×( 10－3) ＝[( 10－3)( 10＋3)]2016×( 10－3) ＝[( 10)2－32]2016×( 10－3) ＝(10－9)2016×( 10－3)＝1×( 10－3) ＝ 10－3.
★名师指津最简二次根式成立的条件缺一不可，而二次根式在表达形式上，容易导致认识错误，例如 0.2b和 x2－y2，会误以为前者不含分母、后者含有能开方的因式．应注意对数学概念的理解：小数可以转化成分数，因式和项有区别．
易错点3
二次根式的性质
＝|a|
1 1 1 2 【典例 3】化简并求值：a＋ a ＋ 2－2，其中 a＝ . a 5 12 a － 1 1 1 【错解】原式＝＋ a ＝＋a－＝a. a a a 1 1 当 a＝时，原式＝a＝ . 5 5 12 a － 1 【析错】化简 a2＋ 2－2＝根据 a2＝|a|， a 时， a 可知结果一定是非负数． 12 1 a－ a－ 1 1 1 ∵当 a＝时，a－ <0，∴ a ＝ a ＝－a， 5 a a 1 而不是 a－ . a
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x≤ 9
x－ 1 【类题演练 1】 (2016· 怀化)函数 y＝中，自变量 x x－ 2 的取值范围是 ( ) A. x≥0 B. x＞1 C. x≥1 且 x≠2 D. x≠2
【解析】根据二次根式有意义的条件，得 x－1≥0，由分式有意义的条件，得 x－2≠0， ∴x≥1 且 x≠2.
【答案】 D
2．(2016· 自贡)下列根式中，不是最简二次根式的是( A. 10 B. 8 C. 6 D. 2

二次根式的运算知识点总结

二次根式的运算知识点总结二次根式是指具有形如√a的表达式，其中a是非负实数。

在数学中，二次根式的运算是一个重要的知识点，掌握了这个知识点，我们可以更好地理解和利用二次根式。

下面将总结二次根式运算的基本规则和常见的运算方法。

一、二次根式的基本规则1. 二次根式的化简：当被开方数存在平方因子时，可以进行化简。

例如√4×3 = √(4×3) = 2√3。

2. 二次根式的乘法运算：对于两个二次根式的乘法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相乘，根号外的数相乘，并进行化简。

例如：√2 × √3 = √(2 × 3) = √6。

3. 二次根式的除法运算：对于两个二次根式的除法运算，可以将两个二次根式的根号内的数相除，根号外的数相除，并进行化简。

例如：√6 ÷ √2 = √(6 ÷ 2) = √3。

4. 二次根式的加减运算：对于两个二次根式的加减运算，只能进行同类项相加减，并进行化简。

例如：√2 + √3 无法进行化简，可以写成2√2 + 3√5。

二、二次根式的运算方法1. 二次根式与整数的运算：当二次根式与整数进行运算时，可以将整数视为二次根式的特殊形式。

例如：√2 + 4 = √2 + √(4×4) = √2 + 2√2 = 3√2。

2. 二次根式的有理化：有时候需要将二次根式的分母变为有理数，这个过程称为有理化。

有理化的方法有两种：(1) 乘以共轭根式：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过乘以分母的共轭根式来进行有理化。

例如：(3 + √2)/(1 + √2) = [(3 + √2)/(1 + √2)] * [(1 - √2)/(1 - √2)] = (3 - 3√2 + √2 - 2)/(1 - 2)= (1 - 2√2)/(-1)= 2√2 - 1(2) 分离根号：对于分母中含有二次根式的情况，可以通过将二次根式的根号部分与非根号部分分离，并进行化简，从而实现有理化。

根式的运算技巧

根式的运算之迟辟智美创作平方根与立方根一、知识要点1、平方根：（a⑴、界说：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“称为被开方数）.⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作2、立方根：（a⑴、界说：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作称为被开方数）.⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、规律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是0和1；立方根是其自己的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.3a≥0.4、公式：⑴(（a≥0）；a 取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和即是0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）. 例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-二、巧用被开方数的非负性求值.年夜家知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求yx 的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零. 例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取分歧的值时，y 也有分歧的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根. 练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）．A ．2B ．±2C ．4D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m =．4、327=，64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它自己的数是；平方数是它的相反数的数是； 8、当x=时，13-x 有意义；当x=时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；10、若3x x =，则x=；若x x -=2，则x ；11、15的整数部份为a,小数部份为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2）3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+= 13、已知23(2)0y z -++=，求xyz 的值.14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 16、若12112--+-=x x y ，求xy 的值.二次根式一、知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式.2.最简二次根式：必需同时满足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可.⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b≥0）； ②()0,0>≥=b a ba ba【例题讲解】a （a ＞0）==a a2 a -（a ＜0）0 （a =0）；一、利用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a≥0），即一个非负数的算术平方根是一个非负数.）例1：x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义. （1）（2）121+-x （3）45++x x (4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基础训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（）.A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值范围是3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值范围是.4、若20m 是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 满足329922-+-+-=m m m n ，则mn =.6、若三角形的三边a 、b 、c 满足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值范围是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二、利用二次根式的性质2a =|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根即是这个数的绝对值)来解题【例题讲解】例1：已知233x x +＝－x3+x ，则（）A.x≤0B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 例2：化简21)2(---x x 的结果为（）A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基础训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确结果是（）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -2、若化简|1-x|-1682+-x x 的结果为2x-5则（）A 、x 为任意实数B 、1≤x≤4C 、x≥1D 、x≤4 3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的结果是（）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（）.A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与计算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =以及混合运算法则）【例题讲解】（一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：计算：25051122183133++-- 【基础训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101；（2）,533c b a 323c b a ，4cab，a bc a 2、计算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182（5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x ，则x 即是（） A ．4 B ．±2C ．2D ．±4 4、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值： 1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1)22y x +(2)yx xy +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值.②.已知:x=2323,2323-+=+-y ，求3x2－5xy+3y2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 =.2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++.3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求xy y x +的值（2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部份与小数部份的问题31－2的值在哪两个数之间（）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部份是a ，小数部份是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部份分别是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a =.五、二次根式的比力年夜小（1）3220051和（2）－5566-和（3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（）A. c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >> 六、实数范围内因式分解：9x2－5y2 4x4－4x2＋1x4+x2－6 练习： 1、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -2、若230a b -+-=，则2a b -=．3、计算：（1）（2（3）．（4）．4、先将2x -÷322x x x-x 值，代入化简后的式子求值.5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：222()a b a b ---6、若，则的取值范围是A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上两点暗示的数分别为1和，点关于点的对称点为点，则点所暗示的数是 A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a+=+，求221a a +的值.9、已知：,x y为实数，且113yx x -+-+，化简：23816y y y ---+.10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解答过程，然后作答：有这样一类题目：将2a b±化简，若你能找到两个数m和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b ±可酿成222m n mn +±，即酿成2()m n ±开方，从而使得2a b ±化简.例如： 526±=3226++=222++=，∴==请仿照上例解下列问题：（1；（2）二次根式运算的技巧二次根式的运算通常是根据其运算法则进行计算的，但在计算过程中若能巧妙地运用一些数学思想方法，可使问题化繁为简，易于计算.下面举例说明二次根式的运算技巧：一、巧移因式法例1、计算)3418)(4823(-+分析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式计算比力简便，或先把1848、化简，然后利用平方差公式计算解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯=)4818)(4818(-+=18-48 =-30二、巧提公因数法例2、计算)3225)(65(-+分析：∵2=2)2(∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式计算解：原式=]3)2(25)[65(2-+=)]65(2)[65(-+=)65)(65(2-+ =2（25-6）=192三、公式法例3、计算)632)(632(---+分析：巧分组，声东击西，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来计算很简便解：原式=]3)62][(3)62[(--+-=22)3()62(--=366222-+-=345-四、因式分解法例4、计算)()2(y x y xy x +÷++分析：本题若直接按乘除法则计算，显然很麻烦，若适当分解因式约去公因式，则运算很简便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++=)()(2y x y x +÷+ =y x +五、拆项法例5、化简)23)(36(23346++++分析：本题若直接计算显然很麻烦，若仔细观察将分子拆项，则计算会很简便解：原式=)23)(36()23(3)36(+++++=363231+++=3623-+-=26-六、配方法例6、计算33+--2-+8192625分析：此题是双二次根式的加减，必需把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方式，使问题便于计算解：原式=22)321(+-+--4()23()2=)3(+2-+--4()1)23(=-5七、整体代入，别具一格例5. 已知，求下列各式的值.（1）（2）分析：根据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简单很多.解：因为所以（1）（2）（也可以将酿成来求）八、巧换元，干净利索例6. 计算分析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7. 计算分析：有两种方法，一种换元，一种配方.解法1：设两边平方因为所以即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，能否找到运算技巧，到达事半功倍效果二次根式的运算测试题姓名班级学号一．选择题（本题30分，每小题3分）：1．化简3－3(1－3)的结果是()A．3 B．－3 C.3D．－32．计算(28－23＋7)×7＋84的结果是( ) A ．117B ．153C ．21 D ．243．计算(32＋53)×(32－53)的结果是( ) A ．－57 B ．57 C ．－53 D ．534．计算⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a 2的结果是( ) A ．2 B ．4 C ．2aD ．4a5．2×(2－3)＋6的值是________；6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________．7．计算⎝⎛⎭⎫50－8÷2的结果是________．8、计算：40＋55＝________．9、有下列计算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a ＋1＝2a －1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中正确的运算有________． 10、计算：(2＋1)(2－1)＝________．二、计算题（本题30分，每小题5分）：(1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫827－53×6；(2)(5＋6)×(52－23)；(3)945÷315×32223；(4)13＋2＋12＋1－13－1. (5)38×(54－52－26)；(6)a(a ＋2)－a2bb ；二、解答题（本题40分，每小题10分）：1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，求a2＋b2＋7的值？2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，求x21＋x22？3、已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．4、先化简，再求值：(a2b ＋ab)÷a2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。

根式的加减乘除运算

根式的加减乘除运算根式是数学中常见的一种表示方式，它用来表示一个数的平方根、立方根等。

根式的加减乘除运算与我们熟悉的常规运算略有不同，下面我们将详细介绍根式的加减乘除运算规则和方法。

一、根式的加法运算根式的加法运算遵循如下规则：1. 当根号下的被开方数相同时，可以直接合并根号外的系数，然后再将根号下的数相加。

例如√3 + √3 = 2√32. 当根号下的被开方数不同时，无法直接进行加法运算，需要保持原样，即合并不了。

例如√2 + √3二、根式的减法运算根式的减法运算也遵循如下规则：1. 当根号下的被开方数相同时，可以直接合并根号外的系数，然后再将根号下的数相减。

例如√5 - √5 = 02. 当根号下的被开方数不同时，无法直接进行减法运算，需要保持原样，即合并不了。

例如√10 - √6三、根式的乘法运算根式的乘法运算有以下规则：1. 两个根式相乘时，直接将根号外的系数相乘，并将根号下的被开方数相乘。

例如2√2 × 3√3 = 6√62. 根式与非根式乘法时，可以直接将根号外的系数和非根式相乘。

例如2√2 × 4 = 8√2四、根式的除法运算根式的除法运算也遵循以下规则：1. 两个根式相除时，可以直接将根号外的系数相除，并将根号下的被开方数相除。

例如4√6 ÷ 2√2 = 2√32. 根式与非根式相除时，可以直接将根号外的系数与非根式相除。

例如6√2 ÷ 3 = 2√2综上所述，根式的加减乘除运算需要根据具体的情况进行合并或者保持原样。

在运算过程中，我们可以根据根号下的被开方数是否相同来判断是否可以直接合并。

如果无法合并，我们需要保持原样进行运算。

同时，在进行根式的加减乘除运算时，可以先化简根式，将根号下的被开方数分解成素因数的乘积，再根据乘法、除法的运算规则进行计算。

根式的加减乘除运算是数学中的一个重要概念，在解决实际问题时常常会用到，希望通过上述的介绍能够帮助你更好地理解和应用根式的加减乘除运算规则。

二次根式运算法则

二次根式运算法则二次根式运算法则是指在进行二次根式的加减、乘除运算时所遵循的一些规则和方法。

掌握了这些规则，可以帮助我们简化和求解二次根式的运算，提高计算的准确性和效率。

一、二次根式的加减法则1. 同类项相加减法则对于同类项的二次根式，可以直接对其系数进行相加或相减。

例如：√2 + √3 = √2 + √32√5 - 3√5 = -√52. 不同类项的相加减法则对于不同类项的二次根式，不能直接进行相加或相减。

需要通过化简的方式将其转化为同类项，然后再进行运算。

例如：√2 + 2√3 = √2 + 2√3(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - √6二、二次根式的乘除法则1. 二次根式的乘法法则二次根式的乘法运算可以通过将根号内的数相乘，并合并同类项的方式进行。

例如：√2 × √3 = √6(√2 + √3)(√2 - √3) = 2 - 3 = -12. 二次根式的除法法则二次根式的除法运算可以通过将根号内的数相除，并合并同类项的方式进行。

例如：√6 ÷ √2 = √3(√6 + √2) ÷ √2 = (√6 + √2) × (√2 ÷ √2) = √3 + 1三、二次根式的化简法则对于复杂的二次根式，可以通过化简的方法将其简化为更简单的形式。

常用的化简法则有以下几种：1. 合并同类项法则将同类项的二次根式合并为一个二次根式。

例如：√2 + √2 = 2√22√3 + 3√3 = 5√32. 提取公因数法则将二次根式中的公因数提取出来，使其成为一个单独的因子。

例如：2√2 + 3√2 = 5√24√5 + 6√5 = 10√53. 有理化分母法则将二次根式的分母有理化，即将分母中的根号消去。

例如：1/√2 = √2/21/√3 = √3/3四、二次根式的运算顺序在进行二次根式的复合运算时，需要注意运算的顺序。

一般按照先乘除后加减的原则进行。

根式的四则运算和化简

根式的四则运算和化简数学是一门抽象而又实用的学科，其中根式的四则运算和化简是初中数学中的重要内容。

掌握了这一知识点，不仅可以帮助我们解决实际问题，还可以提高我们的逻辑思维能力。

本文将以实例为基础，从加减乘除四个方面，详细介绍根式的四则运算和化简的方法和技巧。

一、加法运算首先，我们来看一个例子：计算√2 + √3。

根据根式的加法运算法则，我们可以将根式相加，但要求根号下的数必须相同。

因此，√2 + √3 不能直接相加。

为了解决这个问题，我们需要进行根式的合并。

首先，我们可以将√2 + √3 改写为√2 + √3 = √(2 + 3) = √5。

这样，我们就得到了最简形式的结果。

二、减法运算接下来，我们来看一个例子：计算√5 - √2。

根据根式的减法运算法则，我们可以将根式相减，但要求根号下的数必须相同。

因此，√5 - √2 不能直接相减。

为了解决这个问题，我们需要进行根式的合并。

首先，我们可以将√5 - √2 改写为√5 - √2 = √(5 - 2) = √3。

这样，我们就得到了最简形式的结果。

三、乘法运算再来看一个例子：计算(√2 + √3) × (√2 - √3)。

根据根式的乘法运算法则，我们可以将根式相乘。

首先，我们可以将(√2 + √3) × (√2 - √3) 展开，得到(√2 × √2) - (√2 × √3) + (√3 × √2) - (√3 × √3)。

化简后，我们得到 2 - √6 + √6 - 3 = 2 - 3 = -1。

这样，我们就得到了最简形式的结果。

四、除法运算最后，我们来看一个例子：计算(√5 + √2) ÷ (√5 - √2)。

根据根式的除法运算法则，我们可以将根式相除。

首先，我们可以将(√5 + √2) ÷ (√5 - √2) 乘以分子的共轭复数，即(√5 + √2) × (√5 + √2)。

根式的运算技巧

根式的运算技巧根式的运算平方根与立方根一、知识要点1、平方根：⑴、定义：如果$x^2=a$，则$x$叫做$a$的平方根，记作“$\pm\sqrt{a}$”（$a$称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；$0$的平方根是$0$；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数$a$的正的平方根叫做$a$的算术平方根，记作“$\sqrt{a}$”。

2、立方根：⑴、定义：如果$x^3=a$，则$x$叫做$a$的立方根，记作“$\sqrt[3]{a}$”（$a$称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；$0$的立方根是$0$；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是$\pm1$；算术平方根是其本身的数是正数；立方根是其本身的数是$1$或$-1$。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3、$a$本身为非负数，即$a\geq0$；$a$有意义的条件是$a\geq0$。

4、公式：⑴$(\pm\sqrt{a})^2=a$（$a\geq0$）；⑵$(\sqrt[3]{a})^3=a$（$a$取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于$a$，则每一个非负数都为$\leq a$（此性质应用很广，务必掌握）。

例1：求下列各数的平方根和算术平方根1）$64$；（2）$-3$；（3）$1$例2：求下列各式的值1）$\pm81$；（2）$-16$；（3）$\dfrac{2}{3}$；（4）$-4$；（5）$1.2$；（6）$-36$；（7）$\pm7$例3：求下列各数的立方根：⑴$343$；⑵$-2$三、巧用被开方数的非负性求值.我们知道，当$a\geq0$时，$a$的平方根是$\pm a$，即$a$是非负数。

例4：若$2-x-\sqrt{x-1}=6$，求$-\sqrt[3]{y}$，其中$y=x-2-\sqrt{x-1}$。

根式的运算技巧

根式的运算平方根与立方根一、知识要点 1、平方根：⑴、定义：如果x 2=a ，则x 叫做a 的平方根，记作“a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。

⑶、算术平方根：正数a 的正的平方根叫做a ”。

2、立方根：⑴、定义：如果x 3=a ，则x 叫做a a 称为被开方数）。

⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根。

3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）。

二、规律总结：1、平方根是其本身的数是0；算术平方根是其本身的数是0和1；立方根是其本身的数是0和±1。

2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的那个是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同。

3≥0a ≥0。

4、公式：⑴2=a （a ≥0a 取任何数）。

5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）。

例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)-例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-； ⑶ 0.729二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求y x的立方根.练习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值.我们知道，当a ≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a 例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.练习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值.四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不同的值时，y 也有不同的值.当y 最小时,求b a的非算术平方根.练习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）．A ．2B ．±2C ．4D ．±4 2、144的算术平方根是，16的平方根是； 3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m = ． 4、327= ， 64-的立方根是； 5、7的平方根为，21.1= ；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它本身的数是；平方数是它的相反数的数是；8、当x= 时，13-x 有意义；当x= 时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x= ；若813=n ，则n= ；10、若3x x =，则x= ；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2） 3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+=1323(2)0y z -++=，求xyz 的值。

根式的概念和运算

根式的概念和运算根式是数学中的一个重要概念，它与平方根和立方根的运算密切相关。

本文将详细介绍根式的概念以及如何进行根式的基本运算。

一、根式的概念根式是用一个数的幂次表达的数值，其中根号符号√表示开根运算的意思。

根式可以分为平方根、立方根、四次根等等，根号下的数字称为被开方数，根号上方的数字称为根指数。

二、根式的运算1. 简化根式简化根式是指化简根号下的被开方数，使其不能再进行开方运算。

简化根式的方法主要有以下几种：（1）将根号下的因数分解为平方数的积；（2）用平方数和其他有理数的积去代替根号下的被开方数；（3）将根号下的几个项分别简化后再进行运算。

举例说明：简化根号下的被开方数√72 = √(2 × 2 × 2 × 3 × 3) = 2 × 3√2 = 6√22. 根式的加减运算根式的加减运算可以通过化简根式的方式进行。

当两个根式具有相同的根指数和被开方数时，可以直接进行加减运算。

举例说明：根式的加减运算√8 + √2 = √(4 × 2) + √2 = 2√2 + √2 = 3√23. 根式的乘法运算根式的乘法运算可以通过相乘后进行简化根式的方式进行。

将相乘后的根式化简成最简形式，即将根号下的因数分解为平方数的积。

举例说明：根式的乘法运算√3 × √5 = √(3 × 5) = √154. 根式的除法运算根式的除法运算可以通过相除后进行简化根式的方式进行。

将相除后的根式化简成最简形式，即将根号下的因数分解为平方数的积。

举例说明：根式的除法运算√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2三、根式的运算规律1. 乘方与开方的互逆性乘方与开方的互逆性是指两个运算相互抵消，即一个数先开方后再平方，或者一个数先平方后再开方，结果都不变。

举例说明：乘方与开方的互逆性(√x)² = x(√x)³ = √x³2. 根式的乘方运算根式的乘方运算是指将根号下的被开方数与指数相乘，得到新的根式。

根号的运算公式大全

根号的运算公式大全开根号基础公式：①√ab=√a·√b﹙a≥0b≥0﹚这个可以交互使用。

这个最多运用于化简，如：√8=√4·√2=2√2；②√a／b=√a÷√b﹙a≥0b﹥0﹚；③√a=|a|（其实就是等于绝对值）这个知识点是二次根式重点也是难点。

当a=0时，√a=0；当a＜0时，√a=－a(等于它的相反数)；④分母有理化：分母不能有二次根式或者不能含有二次根式。

根号的运算法则如下：1、相乘时：两个有平方根的数相乘等于根号下两数的乘积，再化简；2、相除时:两个有平方根的数相除等于根号下两数的商,再化简;3、相加或相减:没有其他方法,只有用计算器求出具体值再相加或相减;4、分母为带根号的式子，首先让分母有理化，使②分母没有根号，而把根号转移到分5、同次根式相乘(除) ,把根式前面的系数相乘(除) ,作为积(商)的系数;把被开方数相乘(除) ,作为被开方数，根指数不变，然后再化成最简根式。

非同次根式相乘(除) ，应先化成同次根式后，再按同次根式相乘(除)的法则。

根号是一个数学符号。

根号是用来表示对一个数或一个代数式进行开方运算的符号。

在实数范围内，偶次根号下不能为负数，其运算结果也不为负。

奇次根号下可以为负数。

若a=b，那么a是b开n次方的n次方根或a是b的1/n次方。

开n次方手写体和印刷体用表示，被开方的数或代数式写在符号左方√￣的右边和符号上方一横部分的下方共同包围的区域中，而且不能出界。

用商的最高位数的20倍加上这个试商再乘以试商．如果所得的积小于或等于余数，试商就是平方根的第二位数；如果所得的积大于余数，就把试商减小再试（竖式中（3×20+4）×4=256，说明试商4就是平方根的第二位数）；根号对于初学者来说也许会比较难理解,不过,多多认识他也就习惯了.根号里带一个数字（暂且称它为a）指的是这个数字的正的平方根（称之为b）.即b的平方为a.概念清楚后,先来简单的自然数.。

根式的性质与运算

根式的性质与运算根式是数学中常见的一种运算符号，用于表示数的平方根、立方根或者更高次方根。

在数学中，根式具有一些特定的性质和运算规则，本文将探讨根式的性质与运算，并给出相应的示例。

一、根式的性质1. 根式的定义根式可以表示一个非负实数的非负平方根，记作√a，其中a称为被开方数。

如果√a = b，那么b称为a的平方根。

2. 定理一：非负实数的平方根对于任意一个非负实数a，如果a ≥ 0，那么必存在一个非负实数b，使得 b^2 = a。

例如，√4 = 2，因为2^2 = 4。

3. 定理二：根式的唯一性对于任意一个非负实数a，如果√a = b，那么b是唯一确定的。

例如，√9 = 3，不可能有其他数满足这个条件。

4. 定理三：非负实数的次方根对于任意一个非负实数a和正整数n，存在一个非负实数b，使得b^n = a。

这个b称为a的n次方根，记作√(n√a)。

例如，√(3√8) = 2，因为2^3 = 8。

二、根式的运算1. 根式的加减运算根式的加减运算可以通过化简和合并同类项来进行。

例如，√9 + √16 = 3 + 4 = 7。

2. 根式的乘法运算根式的乘法运算可以通过乘法分配律来进行。

例如，√5 × √2 = √(5 × 2) = √10。

3. 根式的除法运算根式的除法运算可以通过乘以倒数来进行。

例如，√8 ÷ √2 = √(8 ÷ 2) = √4 = 2。

4. 根式的乘方运算根式的乘方运算可以通过指数运算规则来进行。

例如，(√2)^2 = 2。

5. 根式的化简运算对于一些特定的根式，可以进行化简运算，使之更简洁。

例如，√4 = 2。

三、根式的示例运算现在我们来看一些具体的示例，通过这些示例来加深对根式性质和运算规则的理解。

1. 示例一：√(4 × 9) = ?解答：根据根式的乘法运算规则，可以进行如下计算：√(4 × 9) = √36 = 6。

根式运算的方法

根式运算的方法根式是关于数的一种特殊表示方式，可以用于表示数的平方根、立方根等。

根式运算是进行根式的加减、乘除等操作。

本文将介绍一些根式运算的基本方法。

根式的基本性质在进行根式运算之前，首先要了解一些根式的基本性质：1. 乘方与开方的互逆性：若$a$是一个非负实数，$m$和$n$是整数，那么$(\sqrt[m]{a})^n = \sqrt[m]{a^n}$。

2. 根式的乘法法则：$\sqrt[m]{a} \cdot \sqrt[m]{b} = \sqrt[m]{a\cdot b}$。

3. 根式的除法法则：$\frac{\sqrt[m]{a}}{\sqrt[m]{b}} =\sqrt[m]{\frac{a}{b}}$。

根式的加减法根式的加减法需要先化简，然后根据根式的性质进行运算。

下面是一些示例：示例1：同次根式的加减对于同次根式，即指数相同的根式，可以直接进行加减运算。

例如，计算$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{5} \cdot \sqrt[3]{\frac{2}{2}} = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10}$。

然后使用加法法则：$\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{10} = \sqrt[3]{2 + 10} = \sqrt[3]{12}$。

示例2：异次根式的加减对于异次根式，即指数不同的根式，需要进行化简后再进行加减运算。

例如，计算$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2}$：首先化简为同次根式：$\sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{2} \cdot \sqrt[4]{\frac{3}{3}} = \sqrt[4]{3} - \sqrt[2]{6}$。

根式的概念和运算

根式的概念和运算根式是数学中常见的一种运算形式，它表达的是某个数的平方根、立方根或其他次方根。

本文将探讨根式的概念和运算，帮助读者更好地理解和运用根式。

一、根式的概念根式是对数的运算形式的一种拓展，表示数的多次方根。

其中最常见的是平方根，表示一个数的平方根。

通常以√来表示平方根，如√4表示4的平方根，即2。

如果是其他次方根，则以n√来表示，如3√27表示27的立方根，即3。

在根式中，被开根号的数称为被开方数，开方的次数称为指数。

根式的结果是一个数，使得该数的指数次方等于被开方数。

例如，对于√9，由于9的平方是81，所以恰好有√9=3。

二、根式的运算规则1. 同底数根式的相加减：当两个根式具有相同的底数时，可以进行相加减。

如√2 + 3√2 = 4√2。

这里的底数是2，指数分别为1和2，相加后的结果是4√2。

2. 同底数根式的乘法：当两个根式具有相同的底数时，可以进行乘法运算。

如√3 × √3 = 3。

这里两个根式都是以3为底数，指数都为1，所以乘积等于3。

3. 同底数根式的除法：当两个根式具有相同的底数时，可以进行除法运算。

如√8 ÷ √2 = √4 = 2。

这里被除数为8，除数为2，因为8可以分解成4×2，所以结果等于4。

4. 根式的乘方：根式也可以进行乘方运算，将底数和指数分别相乘。

如(√2)^2 = 2。

这里的底数是2，指数是2，乘方后结果等于2。

5. 根式的化简：有时候根式可以进行化简，即将其写成最简形式。

例如，√8可以化简为2√2，因为8可以分解为4×2，再开方就得到2√2。

三、根式的应用根式在数学中具有广泛的应用，尤其是在几何学和物理学中。

例如，在几何学中，根式可以表示线段的长度或图形的边长；在物理学中，根式可以表示物体的速度、加速度等。

根式还常常用于解决实际问题，如求根问题。

例如，求一个数的平方根可以帮助我们找到一个数的较为精确的近似值。

同时，根式还可以用于计算器和电脑程序中，进行数值的计算和精确的表示。

数学二次根式的运算

数学二次根式的运算二次根式是代数中常见的表达式，它可以用来表示开方运算。

在数学中，我们经常需要对二次根式进行运算，包括加减乘除等操作。

本文将探讨二次根式的运算规则及其应用。

一、二次根式的定义二次根式是指形如√a的表达式，其中a为非负实数。

√a表示a的平方根，也就是一个数的平方等于a。

例如，√9=3，√16=4。

二次根式的运算可以分为简化、加减、乘法和除法四种基本形式。

下面我们分别来介绍这些运算规则。

二、二次根式的简化当二次根式的下标含有完全平方因子时，我们可以将其进行简化。

例如，√12=√(4×3)=2√3。

这里，我们将12拆分成4和3，然后把4的平方根提取出来。

简化二次根式的关键是找到下标的因子，并将其拆分成完全平方。

这样，我们就可以把其中的完全平方根提取出来，从而得到更简洁的表达式。

三、二次根式的加减对于二次根式的加减运算，我们首先要保证它们的下标相同。

如果下标不同，我们需要进行二次根式的化简，使其下标相同。

然后，根据运算法则，将相同下标的系数相加或者相减即可。

例如，√2+√2=2√2，√5-√3无法进行运算，因为它们的下标不同。

如果需要进行运算，我们可以采用化简的方法，将√5写成√(25/5)=√5/√5。

四、二次根式的乘法二次根式的乘法运算很简单，只需要将系数和下标分别相乘即可。

例如，√2×√3=√(2×3)=√6。

在乘法运算中，如果有完全平方因子，我们可以提取其平方根。

例如，√2×√8=√(2×4×2)=2√2。

五、二次根式的除法二次根式的除法运算可以通过乘以倒数来实现。

例如，(√2)/(√3)=√2/√3=√(2/3)。

除法运算中，如果有完全平方因子，同样可以进行化简。

例如，(√12)/(√4)=(√(4×3))/(√4)=√3。

六、二次根式的应用二次根式的运算在数学中有广泛的应用，尤其在几何和物理学中常见。

例如，在计算三角形的边长时，可能会遇到涉及二次根式的运算。

根式的运算技巧

根式的运算之阳早格格创做仄圆根与坐圆根一、知识重心1、仄圆根：（a⑴、定义：如果x2=a，则x喊搞a的仄圆根，记做“称为被启圆数）.⑵、本量：正数的仄圆根有二个，它们互为好同数；0的仄圆根是0；背数不仄圆根.⑶、算术仄圆根：正数a的正的仄圆根喊搞a的算术仄圆根，记做2、坐圆根：（a⑴、定义：如果x3=a，则x喊搞a的坐圆根，记做称为被启圆数）.⑵、本量：正数有一个正的坐圆根；0的坐圆根是0；背数有一个背的坐圆根.3、启仄圆（启坐圆）：供一个数的仄圆根（坐圆根）的运算喊启仄圆（启坐圆）.二、顺序归纳：1、仄圆根是其自己的数是0；算术仄圆根是其自己的数是0战1；坐圆根是其自己的数是0战±1.2、每一个正数皆有二个互为好同数的仄圆根，其中正的那个是算术仄圆根；所有一个数皆有唯一一个坐圆根，那个坐圆根的标记与本数相共.3a≥0.4、公式：⑴(（a≥0）；a 与所有数）.5、非背数的要害本量：若几个非背数之战等于0，则每一个非背数皆为0（此本量应用很广，务必掌握）. 例1 供下列各数的仄圆根战算术仄圆根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷ 21(3)- 例2 供下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-. （5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(- 例3、供下列各数的坐圆根：⑴ 343； ⑵ 10227-二、巧用被启圆数的非背性供值.大家了解，当a≥0时，a的仄圆根是±a，即a利害背数.例4、若,6x-x供yx的坐圆根.-y2=-2-锻炼：已知,2-=xxy供y x的值.+2211+-三、巧用正数的二仄圆根是互为好同数供值.咱们了解，当a≥0时，a的仄圆根是±a，而.0-++aa(=))(例5、已知：一个正数的仄圆根是2a-1与2-a，供a的仄圆的好同数的坐圆根.锻炼：若3a是数m的仄圆根，供m的值.2+-a战12四、巧解圆程例6、解圆程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64五、巧用算术仄圆根的最小值供值.咱们已经了解0≥a,即a=0时其值最小,换句话道a的最小值是整.例4、已知：y=)1-ba,当a、b与分歧的值时，y也有+(32+分歧的值.当y最小时,供ba的非算术仄圆根.锻炼：1、若一个数的仄圆根是8±，则那个数的坐圆根是（）．A．2 B．±2 C．4D ．±42、144的算术仄圆根是，16的仄圆根是；3、若m 的仄圆根是51a +战19a -，则m =．4、327=，64-的坐圆根是；5、7的仄圆根为，21.1=；6、一个数的仄圆是9，则那个数是，一个数的坐圆根是1，则那个数是；7、仄圆数是它自己的数是；仄圆数是它的好同数的数是； 8、当x=时，13-x 蓄意思；当x=时，325+x 蓄意思；9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；10、若3x x =，则x=；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解圆程：0324)1(2=--x （2）3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+= 13、已知23(2)0y z -++=，供xyz 的值.14、若y =，供2x y +的值．15、已知：ｘ－2的仄圆根是±2,2ｘ+ｙ+7的坐圆根是3，供ｘ2+ｙ2的仄圆根． 16、若12112--+-=x x y ，供xy 的值.二次根式一、知识面 1.二次根式：式子a （a ≥0）喊搞二次根式.2.最简二次根式：必须共时谦脚下列条件：⑴被启圆数中不含启圆启的尽的果数或者果式； ⑵被启圆数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 3.共类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被启圆数相共，则那几个二次根式便是共类二次根式. 4.二次根式的本量：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，而后合并共类二次根式即可.⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b≥0）； ②()0,0>≥=b a ba baa （a ＞0）==a a 2a -（a ＜0）0 （a =0）；【例题道解】一、利用二次根式的单沉非背性去解题（0≥a （a≥0），即一个非背数的算术仄圆根是一个非背数.）例1：x 与何值时，下列各式正在真数范畴内蓄意思. （1）（2）121+-x （3）45++x x (4).例2：若20042005a a a --=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【前提锻炼】1、下列各式中一定是二次根式的是（）.A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的与值范畴是3、若1313++=++x x x x ，则x 的与值范畴是.4、20m m 的最小值是________．5、设m 、n 谦脚329922-+-+-=m m m n ，则mn =.6、若三角形的三边a 、b 、c 谦脚3442-++-b a a =0，则第三边c 的与值范畴是7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m 二、利用二次根式的本量2a =|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的仄圆的算术仄圆根等于那个数的千万于值)去解题【例题道解】例1：已知233x x +＝－x3+x ，则（）A.x≤0B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 例2：化简21)2(---x x 的截止为（）A 、x -2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【前提锻炼】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的精确截止是（）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -2、若化简|1-x|-1682+-x x 的截止为2x-5则（）A 、x 为任性真数B 、1≤x≤4C 、x≥1D 、x≤4 3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的截止是（）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的与值范畴是（）.A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或者1；D 、1≤a三、二次根式的化简与估计（主要依据是二次根式的本量：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =以及混同运算规则）【例题道解】（一）化简与供值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：估计：25051122183133++-- 【前提锻炼】1、下列哪些是共类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101；（2）,533c b a 323c b a ，4cab，a bc a 2、估计下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182（5）－545321÷3、已知1018222=++x x x x ，则x 等于（） A ．4 B ．±2C ．2D ．±4 4、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后供值： 1. 曲交代进法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 供(1)22y x +(2)yx xy +2.变形代进法：（1）变条件：①已知：132-=x ，供12+-x x 的值.②.已知:x=2323,2323-+=+-y ，供3x2－5xy+3y2的值（2）变论断：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 =.2、已知12,12+=-=y x ，供xyy x x y y x 33++++.3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）供xy y x +的值（2）供yx y x +-的值四、闭于供二次根式的整数部分与小数部分的问题31－2的值正在哪二个数之间（）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部分分别是a 战b ，供ab －3a+4b+8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a =.五、二次根式的比较大小（1）3220051和（2）－5566-和（3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（）A. c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >> 六、真数范畴内果式领会：9x2－5y2 4x4－4x2＋1x4+x2－6 锻炼： 1、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -2、若20a -=，则2a b -=．3、估计：（1）（2（3）．（4）．4、先将22x x --÷322x x x-化简，而后自选一个符合的x 值，代进化简后的式子供值. 5、如图，真数a 、b 正在数轴上的位子，化简：222()a b a b ---6、若，则的与值范畴是A ．B ．C ．D ．7、如图，数轴上二面表示的数分别为1战，面闭于面的对于称面为面，则面所表示的数是 A ．B ．C ．D ．8、已知：1110a a+=+，供221a a +的值.9、已知：,x y为真数，且113yx x -+-+，化简：23816y y y ---+.10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求11、先阅读下列的解问历程，而后做问：m战n ，使22m n a +=且mn =则a ±可形成222m n mn +±，即形成2()m n ±启圆，进而使得化简.比圆：5±=32++=222++=，∴==请仿照上例解下列问题：（1；（2）二次根式运算的本领二次根式的运算常常是根据其运算规则举止估计的，但是正在估计历程中若能巧妙天使用一些数教思维要领，可使问题化繁为简，易于估计.底下举例证明二次根式的运算本领：一、巧移果式法例1、估计)3418)(4823(-+领会：将3423、根号中的果式移到根号内，而后用仄圆好公式估计比较烦琐，或者先把1848、化简，而后利用仄圆好公式估计解：本式=)3418)(4823(22⨯-+⨯=)4818)(4818(-+=18-48 =-30二、巧提公果数法例2、估计)3225)(65(-+领会：∵2=2)2(∴3225-中有公果数2，提出公果数2后，可用仄圆好公式估计解：本式=]3)2(25)[65(2-+=)]65(2)[65(-+=)65)(65(2-+ =2（25-6）=192三、公式法例3、估计)632)(632(---+领会：巧分组，出偶克服，整式的乘法公式对于二次根式的乘法也适用，本题用仄圆好公式去估计很烦琐解：本式=]3)62][(3)62[(--+-=22)3()62(--=366222-+-=345-四、果式领会法例4、估计)()2(y x y xy x +÷++领会：本题若曲交按乘除规则估计，隐然很贫苦，若适合领会果式约去公果式，则运算很烦琐解：本式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++=)()(2y x y x +÷+ =y x +五、拆项法例5、化简)23)(36(23346++++领会：本题若曲交估计隐然很贫苦，若小心瞅察将分子拆项，则估计会很烦琐解：本式=)23)(36()23(3)36(+++++=363231+++=3623-+-=26-六、配要领例6、估计3819625223+--+-领会：此题是单二次根式的加减，必须把复合二次根式化为普遍二次根式，可将根号里的式子化成真足仄办法，使问题便于估计解：本式=222)34()23()21(+--+-=)34()23()12(+--+-=-5七、真足代进，标新坐同例5. 已知，供下列各式的值.（1）（2）领会：根据x、y值的特性，不妨供得，如果能将所供的值的式子变形为闭于或者xy的式子，再代进供值要比曲交代进供值简朴得多.解：果为所以（1）（2）（也不妨将形成去供）八、巧换元，搞洁利索例6. 估计领会：此算式中的二个公式互为倒数，若设，则本式而本式解：设则所以本式例7. 估计领会：有二种要领，一种换元，一种配圆.解法1：设二边仄圆果为所以即解法2：本式所以逢到二次根式运算一定严肃审题、小心琢磨，是可找到运算本领，达到事半功倍效验二次根式的运算尝试题姓名班级教号一．采用题（本题30分，每小题3分）： 1．化简3－3(1－3)的截止是( ) A ．3 B ．－3 C.3D ．－32．估计(28－23＋7)×7＋84的截止是( ) A ．117B ．153C ．21 D ．243．估计(32＋53)×(32－53)的截止是( ) A ．－57 B ．57 C ．－53 D ．534．估计⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a 2的截止是( ) A ．2 B ．4 C ．2aD ．4a5．2×(2－3)＋6的值是________；6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________．7．估计⎝⎛⎭⎫50－8÷2的截止是________．8、估计：40＋55＝________．9、有下列估计：①(m2)3＝m6；②4a2－4a ＋1＝2a －1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中精确的运算有________． 10、估计：(2＋1)(2－1)＝________．二、估计题（本题30分，每小题5分）：(1)⎝⎛⎭⎪⎪⎫827－53×6；(2)(5＋6)×(52－23)； (3)945÷315×32223；(4)13＋2＋12＋1－13－1. (5)38×(54－52－26)；(6)a(a ＋2)－a2bb ；二、解问题（本题40分，每小题10分）：1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，供a2＋b2＋7的值？2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，供x21＋x22？3、已知x －y ＝3，供代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．4、先化简，再供值：(a2b ＋ab)÷a2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。

根式的运算技巧

根式的运算之羊若含玉创作平方根与立方根一、知识要点1、平方根：（a⑴、界说：如果x2=a，则x叫做a的平方根，记作“称为被开方数）.⑵、性质：正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根.⑶、算术平方根：正数a的正的平方根叫做a的算术平方根，记作2、立方根：（a称⑴、界说：如果x3=a，则x叫做a的立方根，记作为被开方数）.⑵、性质：正数有一个正的立方根；0的立方根是0；负数有一个负的立方根.3、开平方（开立方）：求一个数的平方根（立方根）的运算叫开平方（开立方）.二、纪律总结：1、平方根是其自己的数是0；算术平方根是其自己的数是0和1；立方根是其自己的数是0和±1.2、每一个正数都有两个互为相反数的平方根，其中正的谁人是算术平方根；任何一个数都有唯一一个立方根，这个立方根的符号与原数相同.3a≥0.4、公式：⑴)2=a （a≥0）；a 取任何数）.5、非负数的重要性质：若几个非负数之和等于0，则每一个非负数都为0（此性质应用很广，务必掌握）. 例1 求下列各数的平方根和算术平方根（1）64；（2）2)3(-；（3）49151； ⑷21(3)- 例2 求下列各式的值（1）81±；（2）16-；（3）259；（4）2)4(-.（5）44.1，（6）36-，（7）4925±（8）2)25(-例3、求下列各数的立方根：⑴ 343； ⑵ 10227-二、巧用被开方数的非负性求值.大家知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，即a 是非负数. 例4、若,622=----y x x 求yx 的立方根.演习：已知,21221+-+-=x x y 求y x 的值.三、巧用正数的两平方根是互为相反数求值. 我们知道，当a≥0时，a 的平方根是±a ，而.0)()(=-++a a例5、已知：一个正数的平方根是2a-1与2-a ，求a 的平方的相反数的立方根.演习：若32+a 和12-a 是数m 的平方根，求m 的值. 四、巧解方程例6、解方程（1）（x+1）2=36 （2）27(x+1)3=64 五、巧用算术平方根的最小值求值.我们已经知道0≥a ,即a=0时其值最小,换句话说a 的最小值是零.例4、已知：y=)1(32++-b a ,当a 、b 取不合的值时，y 也有不合的值.当y 最小时,求ba 的非算术平方根. 演习：1、若一个数的平方根是8±，则这个数的立方根是（）． A ．2 B ．±2 C ．4 D ．±42、144的算术平方根是，16的平方根是；3、若m 的平方根是51a +和19a -，则m =．4、327=，64-的立方根是；5、7的平方根为，21.1=；6、一个数的平方是9，则这个数是，一个数的立方根是1，则这个数是；7、平方数是它自己的数是；平方数是它的相反数的数是； 8、当x=时，13-x 有意义；当x=时，325+x 有意义；9、若164=x ，则x=；若813=n ，则n=；10、若3x x =，则x=；若x x -=2，则x ；11、15的整数部分为a,小数部分为b,则a=____, b=____12、解方程：0324)1(2=--x （2）3125(2)343x -=-（3 ） 264(3)90x --= （4） 31(1)802x -+= 1323(2)0y z -++=，求xyz 的值.14、若y =，求2x y +的值．15、已知：ｘ－2的平方根是±2,2ｘ+ｙ+7的立方根是3，求ｘ2+ｙ2的平方根． 16、若12112--+-=x x y ，求xy 的值.二次根式一、知识点 1.二次根式：式子a （a ≥0）叫做二次根式.2.最简二次根式：必须同时知足下列条件：⑴被开方数中不含开方开的尽的因数或因式； ⑵被开方数中不含分母； ⑶分母中不含根式. 3.同类二次根式：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次根式. 4.二次根式的性质：（1）（a ）2=a （a ≥0）；（2） 5.二次根式的运算： ⑴二次根式的加减运算：先把二次根式化成最简二次根式，然后归并同类二次根式即可.⑵二次根式的乘除运算： ①ab =b a •（a ≥0,b≥0）； ②()0,0>≥=b a ba ba【例题讲授】一、应用二次根式的双重非负性来解题（0≥a （a≥0），即一a （a ＞0）==a a 2a -（a ＜0）0 （a =0）；个非负数的算术平方根是一个非负数.）例1：x 取何值时，下列各式在实数规模内有意义. （1）（2）121+-x （3）45++x x (4).例2：若20042005a a a -+-=，则22004a -=_____________；若433+-+-=x x y ，则=+y x【基本训练】1、下列各式中一定是二次根式的是（）.A 、3-；B 、x ；C 、12+x ；D 、1-x2、若1)1(-=-x x x x ，则x 的取值规模是3、若1313++=++x x x x ，则x 的取值规模是.4、若20m是一个正整数，则正整数m 的最小值是________．5、设m 、n 知足329922-+-+-=m m m n ，则mn=.6、若三角形的三边a 、b 、c 知足3442-++-b a a =0，则第三边c 的取值规模是 7、若0|84|=--+-m y x x ，且0>y 时，则（）A 、10<<mB 、2≥mC 、2<mD 、2≤m二、应用二次根式的性质2a =|a|=⎪⎩⎪⎨⎧<-=>)0()0(0)(a a a b a a (即一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值)来解题【例题讲授】例1：已知233x x +＝－x3+x ，则（）A.x≤0B.x≤－3 Ｃ.x≥－3 D.－3≤x≤0 例2：化简21)2(---x x 的成果为（）A 、x-2； B 、2-x ；C 、2--x D 、x --2【基本训练】1、已知a<b ，化简二次根式b a 3-的正确成果是（）A ．ab a --B ．ab a -C ．ab aD ．ab a -2、若化简|1-x|-1682+-x x 的成果为2x-5则（）A 、x 为任意实数B 、1≤x≤4C 、x≥1D 、x≤4 3、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+=4、化简)0(||2<<--y x x y x 的成果是（）A ．x y 2-B ．yC ．y x -2D ．y -5、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值规模是（）.A 、0=a ；B 、1=a ；C 、0=a 或1；D 、1≤a三、二次根式的化简与盘算（主要依据是二次根式的性质：（a ）2=a （a≥0），即||2a a =以及混杂运算轨则）【例题讲授】（一）化简与求值例1：把下列各式化成最简二次根式：（1）833 （2）224041- （3）2255m （4）224y x x +例二：盘算：25051122183133++-- 【基本训练】1、下列哪些是同类二次根式：（1）75，271，12，2，501，3，101；（2）,533c b a 323c b a ，4c ab ，abca 2、盘算下列各题：（1）6)33(27-⋅ （2）49123a ab ⋅；（3）acc b b a 53654⋅⋅ （4）24182（5）－545321÷3、已知1018222=++x x xx，则x 等于（） A ．4 B ．±2 C ．2D ．±4 4、211+＋321+＋431+＋…＋100991+（二）先化简，后求值：1. 直接代入法：已知),57(21+=x ),57(21-=y 求(1)22y x +(2)yx xy +2.变形代入法：（1）变条件：①已知：132-=x ，求12+-x x 的值.②.已知:x=2323,2323-+=+-y ，求3x2－5xy+3y2的值（2）变结论：1、设 3 =a ，30 =b ，则0.9 =.2、已知12,12+=-=y x ，求xyy x x y y x 33++++.3、已知5=+y x ，3=xy ，（1）求xy y x +的值（2）求yx y x +-的值四、关于求二次根式的整数部分与小数部分的问题31－2的值在哪两个数之间（）A ．1～2 B.2～3 C. 3～4 D.4～5 2．若3的整数部分是a ，小数部分是b ，则=-b a 33.已知9+13913-与的小数部分分离是a 和b ，求ab －3a+4b+8的值4.若a ，b 为有理数，且8+18+81=a+b 2，则b a =.五、二次根式的比较大小（1）3220051和（2）－5566-和（3）13151517--和（4）设a=23-, 32-=b ,25-=c , 则（）A. c b a >>B.b c a >>C.a b c >>D.a c b >> 六、实数规模内因式分化：9x2－5y2 4x4－4x2＋1x4+x2－6 演习： 1、若b a y b a x +=-=,，则xy 的值为（）A ．a 2B ．b 2C ．b a +D ．b a -2、若230a b -+-=，则2a b -=．3、盘算：（1）（2（3）．（4）．42x -÷322x x x-x 值，代入化简后的式子求值.5、如图，实数a 、b 在数轴上的位置，化简：222()a b a b --- 6、若，则的取值规模是 A ．B ．C ．D ． 7、如图，数轴上两点暗示的数分离为1和，点关于点的对称点为点，则点所暗示的数是A ．B ．C ．D ． 8、已知：1110a a +=+，求221a a +的值.9、已知：,x y 为实数，且113y x x -+-+，化简：23816y y y ---+.10、已知()11039322++=+-+-y x x x y x ，求 11、先阅读下列的解答进程，然后作答：有这样一类题目：将2a b ±化简，若你能找到两个数m 和n ，使22m n a +=且mn b =，则2a b ±可变成222m n mn +±，即变成2()m n ±开方，从而使得2a b ±化简.例如： 526±=3226++=222(3)(2)223(32)++⋅=+，∴2526(32)32±=+=+请模仿上例解下列问题：（1；（2）二次根式运算的技能二次根式的运算通常是依据其运算轨则进行盘算的，但在盘算进程中若能巧妙地运用一些数学思想办法，可使问题化繁为简，易于盘算.下面举例说明二次根式的运算技能：一、巧移因式法例1、盘算)3418)(4823(-+ 剖析：将3423、根号外的因式移到根号内，然后用平方差公式盘算比较轻便，或先把1848、化简，然后应用平方差公式盘算解：原式=)3418)(4823(22⨯-+⨯ =)4818)(4818(-+=18-48=-30二、巧提公因数法例2、盘算)3225)(65(-+剖析：∵2=2)2(∴3225-中有公因数2，提出公因数2后，可用平方差公式盘算解：原式=]3)2(25)[65(2-+=)]65(2)[65(-+=)65)(65(2-+ =2（25-6）=192 三、公式法例3、盘算)632)(632(---+ 剖析：巧分组，出奇制胜，整式的乘法公式对二次根式的乘法也适用，本题用平方差公式来盘算很轻便解：原式=]3)62][(3)62[(--+- =22)3()62(--=366222-+- =345- 四、因式分化法例4、盘算)()2(y x y xy x +÷++剖析：本题若直接按乘除轨则盘算，显然很麻烦，若适当分化因式约去公因式，则运算很轻便解：原式=)(])(2)[(22y x y xy x +÷++ =)()(2y x y x +÷+ =y x + 五、拆项法例5、化简)23)(36(23346++++ 剖析：本题若直接盘算显然很麻烦，若仔细不雅察将分子拆项，则盘算会很轻便解：原式=)23)(36()23(3)36(+++++ =363231+++ =3623-+- =26- 六、配办法例6、盘算3819625223+--+- 剖析：此题是双二次根式的加减，必须把复合二次根式化为一般二次根式，可将根号里的式子化成完全平方法，使问题便于盘算解：原式=22)32-+--1(+)23()24(=)3--(++-34(2)2()1=-5七、整体代入，标新立异例5. 已知，求下列各式的值.（1）（2）剖析：依据x、y值的特点，可以求得，如果能将所求的值的式子变形为关于或xy的式子，再代入求值要比直接代入求值简略得多.解：因为所以（1）（2）（也可以将变成来求）八、巧换元，清洁利索例6. 盘算剖析：此算式中的两个公式互为倒数，若设，则原式而原式解：设则所以原式例7. 盘算剖析：有两种办法，一种换元，一种配方.解法1：设双方平方因为所以即解法2：原式所以遇到二次根式运算一定认真审题、仔细琢磨，可否找到运算技能，达到事半功倍效果二次根式的运算测试题姓名班级学号一．选择题（本题30分，每小题3分）：1．化简3－3(1－3)的成果是()A．3 B．－3 C.3D．－32．盘算(28－23＋7)×7＋84的成果是()A．117B．153C．21 D．243．盘算(32＋53)×(32－53)的成果是( )A ．－57B ．57C ．－53D ．534．盘算⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫a ＋1a 2－⎝⎛⎭⎪⎪⎫a －1a 2的成果是( ) A ．2 B ．4 C ．2aD ．4a5．2×(2－3)＋6的值是________； 6．化简：3×(2－3)－24－|6－3|＝________． 7．盘算⎝⎛⎭⎫50－8÷2的成果是________． 8、盘算：40＋55＝________． 9、有下列盘算：①(m2)3＝m6；②4a2－4a ＋1＝2a －1；③m6÷m2＝m3；④27×50÷6＝15；⑤212－23＋348＝14 3.其中正确的运算有________．10、盘算：(2＋1)(2－1)＝________．二、盘算题（本题30分，每小题5分）：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫827－53×6；(2)(5＋6)×(52－23)； (3)945÷315×32223；(4)13＋2＋12＋1－13－1.(5)38×(54－52－26)；(6)a(a ＋2)－a2b b；二、解答题（本题40分，每小题10分）： 1、已知a ＝5＋2，b ＝5－2，求a2＋b2＋7的值？ 2、已知x1＝3＋2，x2＝3－2，求x21＋x22？3、已知x －y ＝3，求代数式(x ＋1)2－2x ＋y(y －2x)的值．4、先化简，再求值：(a2b ＋ab)÷a2＋2a ＋1a ＋1，其中a ＝3＋1，b ＝3－1.。