第二章 整数规划+答案

故最优解为：X
0010
1 0
0 1
0 0
0 0
，最优值为 14。
0001
6103 0211 1030 5300
5、在今后三年内有五项工程考虑施工，每项工程的期望收入和年度费用（千元）如表所示。假定 每一项已批准的工程要在三年内完成，目标是要选出使总收入达到最大的那些工程。
工程
第1年
费用（千元） 第2年
2 3 14 s. t. 4 2 18
, 0 且为整数
B：X=（3.25,2.5）z=14.75
x2<=3
x2>=4
B1：X=（3,2.67）z=14.33
B2：X=（4,1）z=14
x2<=2
x2>=3
B11：X=（3,2）z=13
B12：X=（2.5,3）z=13.5
所以，最优解为：X=（4,1），最优值为 14。
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
解：（1）由于任务数多于人数，所以需要一名假想的人，设为戊。因为工作 E 必须完成，故设戊完
成 E 的时间为 M，其余的假象为 0，建立如下的效率矩阵。
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
解：变换目标函数 max Z=16‐（2 3 5 6 ）
Z值 x1
组合解 x2 x3 x4
是否满足约束条件 ①② ③
16 0 0 0 0 ×
14 1 0 0 0 √ ×
13 0 1 0 0 ×
11 0 0 1 0 ×
11 1 1 0 0 √ ×
10 0 0 0 1 ×
9
1010√ √ √
故，最优解为：（1,0,1,0），此时目标函数值为 7。
1 x1
1
0
0
-1
1 x2
0
1
0
1
0 s1
0
0
1
1
0 s2
0
0
0
0
σj
0
0
0
0
1 x1
1
0
0
-1
1 x2
0
1
0
1
0 x3
0
0
1
1
0 s2
0
0
0
0
σj
0
0
0
0
故，最优解为：X=（0,4），最优值为 4。
0
s1 1 -4/5 -6/5 -4/5 -1/5 0 0 0 1 0
0
s2 0 0 0 1 0 5/4 -1 -3/2 -5/4 -1/4
6
45
3
=> (X=(3,3),Z=39)
0
对 1 进行分支 1.1 max z 5 8 0 0 +0 +0
59 s. t.
,,,
6
45 4 => (无解) 2
0
1.2 max z 5
59 s. t.
,,,
8 0 0 +0 +0
6
45 4 => (X=(1,4.44),Z=40.5) 1
0
对 1.2 进行分支
2、用割平面法求解下列整数规划问题：
（1）max z 4 3
6 4 30
s. t.
2 10
, 0 且为整数
解：松弛问题为 max z 4 3 0 0
64
30
s. t.
2
10
,,, 0
Cj
4
3
0
0
进基 x1
CB XB
x1
x2
x3
x4
b
出基 x3
min{30/6,10/1}
0 x3
6
4
1
0
30
0 x4
（0,0,0） ×
（0,1,1） ×
（0,0,1） ×
（1,0,1） ×
（0,1,0） ×
（1,1,0） ×
（1,0,0） √ √ √ √ √ 6 （1,1,1） ×
故，最优解为：（1,0,1），此时目标函数值为 6。
（2）min z 2 3 5 6
623 35 s. t. 2
56
64 3
0 或 1（j 1,2,3,4）
1 3 0 11 8 00662 01210 10502 12340
故最优解为：X
00100 01000 1 0 0 0 0 ，最优值为 34。 00010 00001
9437
（2）
4 5
6 4
5 7
6 5
7523
9437
解：
4 5
6 4
5 7
6 5
7523
6104 0212 1031 5301
6103 0211 1030 5300
故最优解为X 为 131h。
01000 00010 0 0 0 0 1 ，即甲——B，乙——C 和 D，丙——E，丁——A，最少使用时间 10000 00100
1.2.1 max z 5
59 s. t.
,,,
8 0 0 +0 +0 6 45
5 => (X=(0,5),Z=40) 1
0
1.2.2 max z 5
80 6
0 +0 +0
59 s. t.
,,,
45 4 => (X=(1,4),Z=37) 1
0
所以，最优解为 X=（0,5），最优值为 40。
（2）max z 3 2
0
1/4
- 1/2
0
2 1/2
3 x2
0
1
- 1/8
3/4
0
3 3/4
0 s1
0
0
-1
-2
1
-2
σj
0
0
- 5/8 - 1/4
0
Cj
4
3
0
0
CB XB
x1
x2
x3
x4
0 s1
b
4 x1
1
0
1/2
0
- 1/4
3
3 x2
0
1
- 1/2
0
3/8
3
0 x4
0
0
1/2
1
- 1/2
1
σj
0
0
- 1/2
0
- 1/8
6、分配甲、乙、丙、丁 4 个人去完成 A、B、C、D、E 五项任务。每个人完成各项任务的时间如表 所示。由于任务数多于人数，故考虑： （1）任务 E 必须完成，其他 4 项工作中可任选 3 项完成； （2）其中有一人完成两项，其他每人完成一项。 试分别确定最优分配方案，使完成任务的总时间最少。
任务
是否可行解
否 否 否 否 否 否 是
4、用匈牙利法求解下列最小化指派问题：
4 8 7 15 12 7 9 17 14 10 （1） 6 9 12 8 7 6 7 14 6 10 6 9 12 10 6
解：
4 8 7 15 12 4 7 9 17 14 10 7 6 9 12 8 7 6 6 7 14 6 10 6 6 9 12 10 6 6
第3年
收入
1
5
1
8
20
2
4
7
10
40
3
3
9
2
20
4
7
4
1
15
5
8
6
10
30
可用基金最大数
25
25
25
解：这个问题表示为 0‐1 规划问题如下： max 20 40 20 15 30
5 4 3 7 8 25 7 9 4 6 25
8 10 2 1 10 25
0 或 1 j 1,2,3,4,5
最优解为 X=（1,1,1,1,0），最优值为 95。
s. t. 5
9 ,,,
58
0
0
b
x1
x2
x3
x4
1 0 2 1/4 - 1/4 2 1/4
0 1 -1 1/4 1/4 3 3/4
0 0 -1 1/4 - 3/4 41.25
8 0 0 +0
6 4 45 => (X=(1.8,4),Z=41)
0
2、max z 5
s. t. 5
9 ,,,
8 0 0 +0
0 4 5 17 7 19 18 5 0 8 7 0 0 13 0 1 19 12 0 17 47507
0 4 5 18 7 18 17 4 0 7 7 0 0 14 0 0 18 11 0 16 36406
0 0 1 18 3 18 13 0 0 3 11 0 0 18 0 0 14 7 0 12 32002
b
1 16/5 4/5 -4/5
0 4 2 1
3、用隐枚举法求解下列 0‐1 规划问题： （1）max z 4 3 2
253 5
4 s. t.
33 1
0 或 1（j 1,2,3）
解：通过观察找到一个可行解（1,0,1），此时目标函数值为 6；添加约束条件 4 3 2 6◎
解
◎①②③④Z
解 ◎①②③④
第二章 整数规划
1、用分支定界法求解下列整数规划问题： （1）max z 5 8
6 s. t. 5 9 45
, 0 且为整数
解：松弛问题为 max z 5 8
s. t. 5 9 ,,,
00
6 45 0
求解过程：
Cj
58
0
CB XB
x1
x2
x3
0 x3
1
1
1
0 x4
5
9
0
σj
58
0
0
进基 x2
x4
b
出基 x4
3 x2
0
1
- 1/8
3/4
3 3/4
σj
0
0
- 5/8 - 1/4 21.25
最优解为 X=（5/2,15/4）不符合整数要求，选择第一行为来源行：
割平面方程为：
，令 s1=4s0，化简后得：
2
2
Cj
4
3
0
0
0
进基 x4
CB XB
x1
x2
x3
x4
s1
b
出基 s1 min{5/8,1/8}
4 x1
1
任务
人
A
B
C
D
E
甲
25
29
31
42
37
乙
39
38
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
42
36
23
45
戊
24
27
26
20
32
25 29 31 42 37 39 38 26 20 33 34 27 28 40 32 24 42 36 23 45 24 27 26 20 32
0 4 6 17 12 19 18 6 0 13 7 0 1 13 5 1 19 13 0 22 4 7 6 0 12
0 4 3 11 8 0 2 10 7 3 03 6 2 1 01 8 0 2 03 6 4 0
0 3 0 11 8 017 7 3 023 2 1 005 0 2 023 4 0
0 3 0 11 8 017 7 3 023 2 1 005 0 2 023 4 0
1 3 0 11 8 006 6 2 012 1 0 105 0 2 123 4 0
σj
0
0
- 1/6 - 1/6
解出的最优解为 X=（5/3,8/3）不符合整数要求。
选表中第一行为来源行：
割平面方程为：
，将该平面方程添加到表中，用对偶单纯形法求解，得下表：
Cj
1
1
0
0
CB XB
x1
x2
x3
x4
0 s1
b
1 x1
1
0
5/6
- 1/6
0
5/3
1 x2
0
1
- 2/3
1/3
0
8/3
0 s1
45
M 7 8 0 17
5
0 4 6 17 7
19 18 6 0 8
7 0 1 13 0
1 19 13 0 17
0000
5
0 0 2 17 3
19 14 2 0 4
11 0 1 17 0
1 15 9 0 13
4 004
5
0 0 2 18 3
18 13 1 0 3
11 0 1 18 0
0 14 8 0 12
1
2
0
110σj源自4300
Cj
4
3
0
0
CB XB
x1
x2
x3
x4
4 x1
1
2/3
1/6
0
0 x4
0
1 1/3 - 1/6
1
σj
0
1/3 - 2/3
0
b
进基 x2 出基 x4 min{5/(2/3),5/(1 1/3)}
5
5
0
Cj
4
3
0
0
CB XB
x1
x2
x3
x4
b
4 x1
1
0
1/4
- 1/2 2 1/2
21
所以，最优解为：X=（3,3），最优值为 21。
（2）max z
2
6
s. t. 4 5 20
, 0 且为整数
解：将该整数规划标准化，并用单纯形法求解出对应松弛问题的最优解，得最优表如下：
Cj
1
1
0
0
CB XB
x1
x2
x3
x4
b
1 x1
1
0
5/6
- 1/6
5/3
1 x2
0
1
- 2/3
1/3
8/3
0
6
1
45
0
min{6/1,45/9}
Cj CB XB
0 x3 8 x2
σj
58
x1
x2
4/9 0
5/9 1
5/9 0
0
0
b
x3
x4
1 - 1/9 1
0
1/9 5
0 - 8/9 0
进基 x1 出基 x3
min{9/4,9}
Cj CB XB
5 x1 8 x2
σj 对 x2 进行分支 1、 max z 5
26
20
33
丙
34
27
28
40
32
丁
24
戊
0
25 29 31 42 37 39 38 26 20 33 34 27 28 40 32 24 42 36 23 45 0000