2019学年重庆巴蜀中学高二下期中理科数学试卷【含答案及解析】
重庆市巴蜀中学2019_2020学年高二数学下学期月考试题含解析
重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期月考试题（含解析）一、选择题.（共12题，每题5分，共60分.每题只有一个正确选项） 1.甲、乙两人比赛下中国象棋，若甲获胜的概率是13，下成和棋的概率是12，则乙获胜的概率是（ ） A.56B.23C. 13D.16【答案】D 【解析】 【分析】根据概率性质可知所有可能的概率和为1，即可得解.【详解】甲、乙两人比赛下中国象棋，结果有三种：甲胜，和局，乙胜. 由概率性质可知，三种情况的概率和为1， 所以乙获胜的概率为1111236--=， 故选：D.【点睛】本题考查了概率性质的简单应用，属于基础题.2.设随机变量X 服从两点分布，若()()100.2P X P X =-==，则成功概率()1P X ==（ ） A. 0.2 B. 0.4C. 0.6D. 0.8【答案】C 【解析】 【分析】根据两点分布概率性质可得解.【详解】随机变量X 服从两点分布，()()100.2P X P X =-==，根据两点分布概率性质可知：()()()()100.2101P X P X P X P X ⎧=-==⎪⎨=+==⎪⎩，解得()10.6P X ==， 故选：C.【点睛】本题考查了两点分布概率性质的简单应用，属于基础题.3.甲、乙两位同学将最近10次物理考试的成绩（满分100分）绘制成如图所示的茎叶图进行比较，下列说法正确的是（ ）①甲同学平均成绩低于乙同学 ②甲同学平均成绩高于乙同学 ③甲同学成绩更稳定 ④乙同学成绩更稳定 A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④【答案】A 【解析】 【分析】根据茎叶图中数据分布特征，即可做出判断.【详解】由茎叶图可知，甲组数据整体值偏小，乙组的数据整体值偏大，因而甲同学平均成绩低于乙同学，所以①正确；而甲组数据分布更为集中，乙组数据分布较为分散，因而甲同学成绩更稳定，所以③正确； 综上可知，正确的为①③； 故选：A.【点睛】本题考查了茎叶图的性质及简单应用，数据分析处理能力，属于基础题.4.记5250125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+，则12345a a a a a ++++=（ ）A. 64B. 63C. 32D. 31【答案】D 【解析】 【分析】利用赋值法即可得解.【详解】5250125(1)x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+， 令0x =，代入可得01a =，令1x =，代入可得5012345232a a a a a a +++++==，所以5123450231a a a a a a ++++=-=， 故选：D.【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和求法，赋值法的应用，属于基础题. 5.某校高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查，若每人被抽取的概率是0.04，则该校高二年级人数为（ ） A. 1050 B. 1200C. 1350D. 1500【答案】B 【解析】 【分析】根据分层抽样的抽样比，可得高二年级抽取的人数，即可由没人被抽到的概率得高二年级人数.【详解】高一、高二、高三年级人数比为7:8:10，现按分层抽样的方法从三个年级一共抽取150人来进行某项问卷调查， 则高二年级抽取的人数为8150=487+8+10⨯ 人，设高二年级人数为x ， 则480.04x= ，解得1200x = ， 所以高二年级人数1200 人，故选：B.【点睛】本题考查了分层抽样的简单应用，属于基础题.6.演讲社团里现有水平相当的4名男生和5名女生，从中随机选出3名同学作为代表队到市里参加“最美逆行者”的演讲比赛，代表队中既有男生又有女生的不同选法共有（ ） A. 140种 B. 80种C. 70种D. 35种【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论，选出3名同学分别为1男2女，2男1女两种情况，即可得解. 【详解】选出3名同学既有男生又有女生有2种情况： 1男2女，则1245544402C C ⨯=⨯=;2男1女，则214543530 2C C⨯=⨯=；所以共有403070+=种不同选法.故选：C.【点睛】本题考查了组合问题的简单应用，属于基础题.7.同时抛掷4枚质地均匀的硬币400次，记4枚硬币中恰好2枚正面向上的次数为X，则X 的数学期望是（）A. 25B. 100C. 150D. 200【答案】C【解析】【分析】根据独立重复试验，先求得4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率，即可求得抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望.【详解】由独立重复试验可知，同时抛掷4枚质地均匀的硬币，4枚硬币中恰好2枚正面向上的概率为222411113622448 C⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由二项分布的期望求法可知抛掷硬币400次恰好2枚正面向上的数学期望为3 4001508⨯=，故选：C.【点睛】本题考查了独立重复试验概率求法，二项分布数学期望的求法，属于基础题.8.某高校需安排5位应届毕业生到3家企业实习，每家企业至少有1位实习生，并且实习生甲和乙必须去同一家企业实习，则不同实习安排方式共有（）A. 12种B. 18种C. 24种D. 36种【答案】D【解析】【分析】根据题意将甲乙捆绑看作一个整体，再与剩余3人一起分成三组，即可由排列组合的应用求解.【详解】因为甲和乙必须去同一家企业实习，则将甲乙捆绑作为一个整体，则共有4组人需要安排到3家企业实习，将四组人分为3组，则为1,1,2，因为出现重复的一组，所以总的安排方法数为1134332243321362C C A A ⨯⨯⨯⨯== 种，故选：D.【点睛】本题考查了排列组合问题在实际问题中的应用，注意分组时出现重复的情况，属于中档题. 9.设(5nx 的展开式中各项系数之和为a ，二项式系数之和为b ，且3132a b -=，则展开式中有理项共有（ ） A. 2项 B. 3项C. 4项D. 5项【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法可求得各项系数之和a ，由二项定理展开式性质可得二项式系数之和b ，结合3132a b -=即可求得n 的值，进而由二项定理展开式的通项求得有理项个数.【详解】二项式为(5nx ，展开式中各项系数之和为a ，令1x =，代入可得4n a =， 二项式系数之和为b ，则2n b =， 因为3132a b -=， 所以431232nn-⨯=，即()22312320n n -⨯-=，所以()()232210n n-+=，解得5n =，所以(55x ，由二项定理展开式的通项为()(5155r r r r T C x -+= ()()1552515r r r r C x--=-⋅⋅， 当0,2,4r =时为有理项，所以共有3项有理项， 故选：B.【点睛】本题考查了二项定理展开式的系数与二项式系数的概念，二项展开通项式的应用，有理项的求法，属于中档题.10.6支钢笔中有4支为正品，2支为次品，现需要通过检测将其进行区分，每次随机抽出一支钢笔进行检测，检测后不放回，直到完全将正品和次品区分开，用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()4P X==（）A.415B.715C.2881D.1027【答案】A【解析】【分析】完全将正品和次品区分开且4x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，即可根据概率求解.【详解】为将正品和次品区分开且4x=，有2种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有1次次品，第四次检测为次品，概率分别为：前四次检测均为正品：43211 654315⨯⨯⨯=；第一次检测为次品，第四次检测为次品，则24311 654315⨯⨯⨯=；第二次检测为次品，第四次检测为次品，则42311 654315⨯⨯⨯=；第三次检测为次品，第四次检测为次品，则43211 654315⨯⨯⨯=；所以用X表示直到检测结束时检测进行的次数，则()14441515P X==⨯=，故选：A.【点睛】本题考查了分类、分步计数原理的应用，概率的求法，属于基础题.11.已知A学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，B学校有10位数学老师，其中3位男老师，7位女老师，为了实现师资均衡，现从A学校任意抽取一位数学老师到B学校，然后从B学校随机抽取一位数学老师到市里上公开课，则在A学校抽到B学校的老师是男老师的情况下，从B学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率是（）A. 23B.47C.411D.311【答案】A 【解析】【分析】当在A 学校抽到B 学校的老师是男老师时，B 学校男老师和总老师的数量可知，进而可求得从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率【详解】设A 学校抽到B 学校的老师是男老师事件为M ，B 学校抽取到市里上公开课的是男老师事件为N ，A 学校有15位数学老师，其中9位男老师，6位女老师，因而A 学校抽到B 学校的老师是男老师的概率为()93155P M ==； 从B 学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率为()31410111P N +==+， 因而由条件概率公式可得()()()411P M N P N M P M ⋅==, 故选：C.【点睛】本题考查了条件概率的简单应用，条件概率的求法，属于基础题.12.罗马数字是欧洲在阿拉伯数字传入之前使用的一种数码，它的产生标志着一种古代文明的进步.罗马数字的表示法如下： 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 形式 ⅠⅡⅢⅣⅤⅥⅦⅧⅨ其中“Ⅰ”需要1根火柴，“Ⅴ”与“X”需要2根火柴，若为0，则用空位表示. （如123表示为，405表示为）如果把6根火柴以适当的方式全部放入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）A. 87B. 95C. 100D. 103【答案】D 【解析】 【分析】将6根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解. 【详解】用6根火柴表示数字，所有搭配情况如下：1根火柴和5根火柴：1根火柴可表示的数为1；5根火柴可表示的数为8，和0一起，能表示的数共有4个（108,180,801,810）.2根火柴和4根火柴：2根火柴可表示的数为2、5；4根火柴可表示的数为7，和0一起，能表示的数有1248C ⨯= 个.3根火柴和3根火柴：3根火柴可表示的数为3、4、6、9，和0一起，能表示的数分为2类：除0外的两个数字相同，可表示的数有1248C ⨯=个；除0外的两个数字不同，则有24424C ⨯=个，所以共有82432+= 个.1根火柴、1根火柴和4根火柴：即有1、1、7组成的数，共有3个（117,171,711）. 1根火柴、2根火柴和3根火柴：即由1,2或5中的一个，3、4、6、9中的一个数字组成的三位数，共有113243243248C C A =⨯⨯⨯= 个.2根火柴、2根火柴、2根火柴：即由2或5组成的三位数，分为两类：三个数字都相同，共有2个（222,555）；三个数字中的两个数字相同，则有1236C ⨯=个，共有268+= 个. 综上可知，可组成的三位数共有48323488103+++++= 个. 故选：D.【点睛】本题考查了排列组合问题的综合应用，分类、分步计数原理的应用，注意分类时要做到“不重不漏”，属于难题.二、填空题.（共4题，每题5分，共20分） 13.已知()1D X =，21Y X =-，则()D Y =______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据随机变量方差性质及公式即可得解. 【详解】()1D X =，21Y X =-， 则()21D X -，所以()()22124D X D X -==，故答案为：4.【点睛】本题考查了随机变量方差性质及公式的简单应用，属于基础题. 14.()()5121x x ++的展开式中3x 的系数为______.【答案】30 【解析】 【分析】将多项式展开，结合二项定理展开式的通项即可求解. 【详解】()()()()555121121x x x x x ++=+++，则()51x +展开式中3x 的系数为2554102C ⨯==， ()521x x +展开式中3x 的系数即为()51x +展开式中2x 的系数乘以2，所以355422202C ⨯⨯=⨯=， 所以()()5121x x ++的展开式中3x 的系数为102030+=， 故答案为：30.【点睛】本题考查了多项式乘积系数的求法，二项定理展开式通项的应用，属于基础题. 15.有7人站成一排照相，要求A ，B 两人相邻，C ，D ，E 三人互不相邻，则不同的排法种数为______. 【答案】288 【解析】 【分析】将A 、B 捆绑作为一个整体排列，再与剩余2人全排列，C 、D 、E 三人插空排列即可. 【详解】将A 、B 捆绑作为一个整体排列为22A ， 将A 、B 整体与剩余2人全排列则33A ，再将C 、D 、E 三人插入4个空位排列，则34A ，所以总的排列方法有233234232432288A A A =⨯⨯⨯⨯⨯= 种，故答案为：288.【点睛】本题考查了排列中相邻、不相邻问题的解法，属于中档题.16.对于数列{}n x ，若123n x x x x ≤≤≤⋅⋅⋅≤，则称数列{}n x 为“广义递增数列”，若123n x x x x ≥≥≥≥，则称数列{}n x 为“广义递减数列”，否则称数列{}n x 为“摆动数列”.已知数列{}n a 共4项，且{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则数列{}n a 是摆动数列的概率为______. 【答案】95128【解析】 【分析】根据数列的元素，先根据数列中数字的组成求得所有的数列，再将符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分类求得，即可求得“摆动数列”的个数，进而求得数列{}n a 是摆动数列的概率.【详解】根据题意可知，{}()1,2,3,41,2,3,4i a i ==，则四位数字组成的数列有以下四类： （1）由单个数字组成：共有4个数列；（2）由2个数字组成：则共有246C =种数字搭配，每种数字搭配又分为两种情况：由1个数字和3个相同数字组成4个数的数列（如1222,2111等），则有1248C ⨯=个数列；分别由2个相同数字组成的4个数的数列（如1122等）共有6个数列，因而此种情况共有()248684C +=种；（3）由3个数字组成：共有344C =种数字搭配（如1123等），相同数字有3种可能，则共有4312144⨯⨯=个数列；（4）由4个数字组成：共有44432124A =⨯⨯⨯=个数列. 因而组成数列的个数为48414424256+++=个数列.其中，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数分别为：（1）由单个数字组成：4个数列均符合“广义递增数列”或“广义递减数列”，因而有4个数列；（2）由2个数字组成：满足“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为()2422236C ⨯++= 个；（3）由3个数字组成：1143224C C ⨯=个；（4）由4个数字组成：则有2个数列符合“广义递增数列”或“广义递减数列”， 综上可知，符合“广义递增数列”或“广义递减数列”的个数为66个. 所以“摆动数列”的个数为25666190-=个，因而数列{}n a 是摆动数列的概率为19095256128=， 故答案为：95128. 【点睛】本题考查了数列新定义的综合应用，数字排列的综合应用，概率的求法，分类过程较为繁琐，属于难题.三、解答题.（共6小题，共70分，请在答题卡上写出必要的解答过程）17.小蔡参加高二1班“美淘街”举办的幸运抽奖活动，活动规则如下：盒子里装有六个大小相同的小球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，小蔡需从盒子里随机不放回地抽取3次，每次抽取1个小球，按抽取顺序分别作为一个三位数的百位、十位与个位. （1）一共能组成多少个不同的三位数？（2）若组成的三位数是大于500的偶数，则可以获奖，求小蔡获奖的概率. 【答案】（1）120（2）16【解析】 【分析】（1）由抽取的三位数各不相同，可由排列数公式求得组成不同三位数的个数.（2）分别求得百位为5和百位为6的偶数个数，结合（1）即可求得可以获奖的概率. 【详解】（1）因为抽取的三位数各不同，因而组成三位数的总数为36654120A .（2）若百位为5，则个位可以为2、4、6中一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有113412C C ⨯=个；若百位为6，则个位可以为2、4中的一个，十位可以是剩余4个数字中的一个，则有11248C C ⨯=个，∴大于500的偶数的概率为12811206P +==. 【点睛】本题考查了排列组合问题的简单应用，数字排列的特征及应用，属于基础题.18.某校高二年级共有1000 名学生，为了了解学生返校上课前口罩准备的情况，学校统计了所有学生口罩准备的数量，并绘制了如下频率分布直方图.（1）求x 的值；（2）现用分层抽样的方法，从口罩准备数量在[)10,20和[]50,60的学生中选10人参加视频会议，则两组各选多少人？（3）在（2）的条件下，从参加视频会议的10人中随机抽取3人，参与学校组织的复学演练.记X 为这3人中口罩准备数量在[)10,20的学生人数，求X 的分布列与数学期望. 【答案】（1）0.02x =（2）6人，4人（3）95【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图的性质可知小矩形面积和为1，可求得x 的值； （2）根据分层抽样的特征，可分别求得两组各抽取的人数.（3）由题意可知，0,1,2,3X =；分别求得各自对应的概率，即可得频率分布列及数学期望. 【详解】（1）根据频率分布直方图中小矩形面积和为1，可得(0.0150.0350.012)101x +++⨯=，解得0.02x =.（2）口罩准备数量在[)10,20的人数为0.0151060.0150.01⨯=+人，在[]50,60的人数为0.011040.0150.01⨯=+人.（3）由题0,1,2,3X =.343104(0)120C P X C ===，126431036(1)120C C P X C ===，216431060(2)120C C P X C ===，3631020(3)120C P X C ===，故分布列为：期望3660202169()1231201201201205E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】本题考查了频率分布直方图的性质及简单应用，分层抽样特征，离散型随机变量分布列及数学期望的求法，属于基础题.19.已知从境外回国的8位同胞中有1位被新冠肺炎病毒感染，需要通过核酸检测是否呈阳性来确定是否被感染.下面是两种检测方案： 方案一：逐个检测，直到能确定被感染者为止.方案二：将8位同胞平均分为2组，将每组成员的核酸混合在一起后随机抽取一组进行检测，若检测呈阳性，则表明被感染者在这4位当中，然后逐个检测，直到确定被感染者为止；若检测呈阴性，则在另外一组中逐个进行检测，直到确定被感染者为止. （1）根据方案一，求检测次数不多于两次的概率；（2）若每次核酸检测费用都是100元，设方案二所需检测费用为X ，求X 的分布列与数学期望()E X . 【答案】（1）14（2）见解析，325 【解析】 【分析】（1）检测次数不多于两次即检测次数为1次或2次，即可求得其对应的概率，进而得检测次数不多于两次的概率；（2）根据题意可知X 可以取200,300,400，分别求得各情况下的概率，即可求得其分布列及数学期望.【详解】（1）P （一次）18=， P （两次）711878=⨯=， ∴P （不多于两次）111884=+=.（2）由题意可知，X 可以取200,300,400，则11111(200)24244P X ==⨯+⨯=， 1311311(300)2432434P X ==⨯⨯+⨯⨯=，1(400)1(200)(300)2P X P X P X ==-=-==， 故分布列为：X 200 300 400P14 1412均值111()200300400325442E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查了离散型随机变量概率、分布列及数学期望的求法，属于基础题. 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，AB ⊥平面PAD ，PA PD ⊥，PA PD =，2AD =，AC CD =.（1）求证：PD ⊥平面PAB ；（2）若直线PA 与平面PDC 265CD 长. 【答案】（1）见解析（2）13CD =【解析】 【分析】（1）根据线面垂直性质可得PD AB ⊥，再根据题中PD PA ⊥，即可由线面垂直的判定定理证明PD ⊥平面PAB ；（2）先证明ACD 为等腰三角形，然后以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设OC m =，写出各个点的坐标，并求得平面PDC 的法向量，再根据直线PA 与平面PDC 所成的线面角的正弦值求得m 的值，即可求得CD 长. 【详解】（1）证明：∵AB ⊥平面PAD ，PD ⊆平面PAD ， ∴PD AB ⊥，∵PD PA ⊥，,PA AB ⊆平面PAB ，PA AB A =，∴PD ⊥平面PAB .（2）∵PA PD ⊥，PA AD =， ∴PAD △为等腰直角三角形， ∵AC CD =，∴ACD 为等腰三角形.以AD 中点O 为原点，OC ，OA ，OP 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示：设OC m =，则()0,1,0A ，()0,0,1P ，(),0,0C m ，()0,1,0D -，∴()0,1,1PA =-.设平面PDC 的法向量为(),,n x y z =，∵(),1,0DC m =，()0,1,1DP =，∴0mx y y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则y m =-，z m =，∴()1,,n m m =-.∴22sin cos ,65221PA n m θ===⨯+，解得23m =. ∴2213CD OC OD =+=.【点睛】本题考查了线面垂直的判定，由空间向量法依据线面夹角求参数值，属于中档题. 21.如图，在矩形ABCD 中，23AB =，12BC =，以A ，B 为焦点的椭圆Γ：()222210x y a b a b +=>>恰好过C ，D 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）已知O 为原点，直线l ：()0y kx m m =+≠与y 轴交于点P ，与椭圆Γ相交于E 、F 两点，且E 、F 在y 轴异侧，若4OEF POE S S =△△，求m 的取值范围.【答案】（1）2214x y +=（2）112m -<<-或112m <<.【解析】 【分析】（1）根据矩形的边长，结合椭圆的性质即可求得,a b 的值，进而求得椭圆的标准方程. （2）联立直线与椭圆方程，化简方程并由韦达定理可得12x x +，12x x ，由直线与圆相交可得>0∆，并由题意可设()11,E x y ，()22,F x y 及120x x <<，再由212244014m x x k -=<+求得m 的范围；由4OEF POE S S =△△，分别求得面积后代入，结合韦达定理即可求得2114m <<，综合即可得m 的取值范围.【详解】（1）∵AB =12BC =，∴2c =212b a =，222a bc =+，解得2a =，1b =，∴椭圆的方程为2214x y +=.（2）联立直线与椭圆方程，2244y kx mx y =+⎧⎨+=⎩， 化简可得()222148440k x kmx m +++-=，∵直线与椭圆相交，∴()()222264414440k m k m∆=-+->，化简变形可得22410k m -+>①，∵设()11,E x y ，()22,F x y ，不妨设120x x <<，122814km x x k -+=+②，21224414m x x k -=+③.由212244014m x x k-=<+，得21m <， ∵1212OEF S OP x x =-△，112OPE S OP x =△，且4OEF POE S S =△△， 则1214x x x -=，去掉绝对值，则213x x =-④ 联立②④，得12414km x k =+，221214kmx k -=+， 代入③得222212444141414km km m k k k --⋅=+++，化简可得2221164m k m -=-， 代入①式有22211041m m m --+>-，化简可得2114m <<， 所以m 的范围为112m -<<-或112m <<. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求法，直线与椭圆位置关系的综合应用，椭圆中三角形面积的应用，根据直线与椭圆位置关系求参数的取值范围，计算量较大，属于中档题.22.已知()()321ln 12f x x x ax a x =-+-，()2312g x x x =-+. （1）当1a =时，求()f x 在()()1,1f 处的切线方程；（2）当0a <时，若对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12120x x f x g x +=成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）12y x =-（2）[)2,0a ∈- 【解析】 【分析】（1）将1a =代入，可得函数解析式，再代入1x =可得切点坐标；求得导函数，并由导数的几何意义求得切线斜率，进而得切线方程.（2）将所给方程变形可得()()1212f x x x g x =-；可得()g x x 在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦内的单调性，进而求得值域，即可求得()x g x -的值域；构造函数2()1()ln (1)2f x h x x ax a x x ==-+-，求得()h x '，由定义域及0a <分类讨论()h x 的单调情况，并求得最值即可求得符合题意的a 的取值范围. 【详解】（1）当1a =时，31()ln 2f x x x x =-， 1(1)2f =-；所以切点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，而23()ln 12f x x x '=+-， 所以31(1)122f '=-=-；∴切线方程为11(1)22y x ⎛⎫--=-- ⎪⎝⎭. 化简可得12y x =-. （2）()()12120x x f x g x +=，所以()()1212f x xx g x =-，对于()312g x x x x =-+，在1,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上单调递减，()1,2x ∈上单调递增， ∴1x =时，()12g x x =，12x =或2时，()1g x x=， ∴当1,22x ⎡∈⎤⎢⎥⎣⎦时，()[]2,1x g x -∈--. 令2()1()ln (1)2f x h x x ax a x x ==-+-， 对任意的[]11,2x ∈，都存在21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，()()1212f x x x g x =-成立， 所以()h x 的值域是[2,1]--的子集，21(1)1()1ax a x h x ax a x x ---'=-+-=-1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， ①(],1a ∈-∞-时，()h x 在()1,2x ∈上单调递增， ∴(1)122ah =-≥-，(2)ln 221h =-≤-，解得[]2,1a ∈--. ②11,2a ⎛⎫∈-- ⎪⎝⎭时，()h x 在11,x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递减，1,2x a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增， ∵(1)112ah =-≤-，(2)ln 221h =-≤-恒成立， 下面证明11ln()122h a a a ⎛⎫-=--+-≥- ⎪⎝⎭恒成立. 令1()ln()12p a a a=--+-，211()02p a a a '=-->，解得12a <-.∴()p a 在11,2a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭上单调递增， min 3()(1)22p a p =-=->-恒成立， ∴11,2a ⎛⎫∈--⎪⎝⎭.③1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()h x 在()1,2x ∈单调递减， ∴(1)112ah =-≤-，(2)ln 222h =-≥-， 解得1,02a ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭. 综上所述[)2,0a ∈-.【点睛】本题考查了导数几何意义的简单应用，根据导函数判断函数的单调性与值域，构造函数法分析函数的单调性与值域，分类讨论思想的综合应用，是高考的常考点和重点，属于难题.。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学(理)试题解析
绝密★启用前2019-2020学年重庆市巴蜀中学高二上学期期中数学（理）试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题1．设复数z 满足()12i z i -=，则z= （ ） A ．-1+i B ．-1-iC ．1+iD ．1-i答案：A()12i z i -=解：由()12i z i -=得21iz i=-=(1)1i i i +=-+，故选A. 本小题主要考查复数的四则运算,复数在高考中主要以小题形式出现，属容易题，主要考查复数的概念、几何意义与四则运算是基础内容. 2．设命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为（ ）A ．2,0x R x ∃∈> B ．2,0x R x ∀∈≤C ．2,0x R x ∃∈≤D ．2,0x R x ∀∈=答案：C根据全称命题的否定是特称命题得到答案. 解：全称命题的否定是特称命题，故命题2:,0p x R x ∀∈>，则p ⌝为：2,0x R x ∃∈≤.故选：C . 点评：本题考查了全称命题的否定，属于简单题.3．下列双曲线中，渐近线方程为32y x =±的是（ ）A ．22132x y -=B ．22132y x -=C ．22194x y -=D ．22194y x -=答案：D依次计算每个选项的渐近线对比得到答案. 解：A. 22132x y -=，渐近线为：3y x =±；B. 22132y x -=，渐近线为：y x =； C. 22194x y -=，渐近线为：23y x =±；D. 22194y x -=，渐近线为：32y x =±；故选：D . 点评：本题考查了双曲线的渐近线，意在考查学生的计算能力. 4．如果命题“p q ∧”是假命题，“p ⌝”是真命题，那么( ) A ．命题p 一定是真命题 B ．命题q 一定是真命题C ．命题q 一定是假命题D ．命题q 可以是真命题也可以是假命题答案：D本题首先可以根据命题“p q ∧”是假命题来判断命题p 以及命题q 的真假情况，然后通过命题“p ⌝”是真命题即可判断出命题p 的真假，最后综合得出的结论，即可得出结果． 解：根据命题“p q ∧”是假命题以及逻辑联结词“且”的相关性质可知： 命题p 以及命题q 至少有一个命题为假命题，根据“p ⌝”是真命题以及逻辑联结词“非”的相关性质可知： 命题p 是假命题，所以命题q 可以是真命题也可以是假命题，故选D ． 点评：本题考查命题的相关性质，主要考查逻辑联结词“且”与“非”的相关性质，考查推理能力，考查命题p 、命题q 、命题p q ∧以及命题p ⌝之间的真假关系，是简单题． 5．直线10()x my m R ++=∈与圆222x y +=的位置关系是（ ） A ．相交 B ．相切 C ．相离 D ．以上三种关系都可能 答案：A确定直线过定点()1,0-，定点在圆内，得到答案. 解：直线10()x my m R ++=∈过定点()1,0-，()221012-+=<，故点在圆内，故直线和圆相交.故选：A . 点评：本题考查了直线和圆的位置关系，确定直线过定点是解题的关键. 6．命题“若3x y +=，则2x =且1y =”的逆否命题是（ ） A ．“若2x ≠且1y ≠，则3x y +≠” B ．“若2x ≠或1y ≠，则3x y +≠” C ．“若2x ≠且1y ≠，则3x y +=” D ．“若2x ≠或1y ≠，则3x y +=”答案：B直接根据逆否命题的定义得到答案. 解：命题“若3x y +=，则2x =且1y =”的逆否命题是：若2x ≠或1y ≠，则3x y +≠. 故选：B . 点评：本题考查了逆否命题，意在考查学生对于逆否命题的理解.7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y ．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则OM =（ ） A ．22 B ．23C ．4D ．25答案：B 解：设抛物线方程为y 2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,解得：02,22p y ==[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点，F 为抛物线的焦点，d 为点M 到准线的距离).8．椭圆2214924x y +=的焦点为12,F F ，点P 在椭圆上，若16PF =，则12PF F △的面积为( ) A ．24 B ．28C ．40D ．48答案：A根据椭圆的定义，求得2||8PF =，结合12||10F F =，可得12PF F △为直角三角形，进而可求解12PF F △的面积. 解：由椭圆的定义122214||8PF PF a PF +==∴=，又12210F F c ===12PF F ∴为直角三角形，121242S PF PF ==. 故选：A 点评：本题考查了椭圆得定义，焦点三角形的面积，考查了学生综合分析，转化，数学运算的能力，属于基础题.9．已知P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =，则“4a =”是“217PF =”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件答案：B化简得到229PF a =+或292PF a =-，故当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =，得到答案.解：P 是双曲线2221(0)8x y a a -=>上一点，12,F F 为左、右焦点，且19PF =， 则229PF a =+或292PF a =-，当4a =时，217PF =或21PF =；当217PF =时，4a =.故“4a =”是“217PF =”的必要不充分条件. 故选：B . 点评：本题考查了必要不充分条件，意在考查学生的推断能力.10．已知椭圆22198x y 的一个焦点为F ，直线220,220x y x y -+=--=与椭圆分别相交于点A 、B 、C 、D 四点，则AF BF CF DF +++=（ ） A ．12 B ．642+C ．8D ．6答案：A画出图像，根据对称性得到()()224AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++=，得到答案. 解：画出图像，如图所示：直线220,220x y x y -+=--=平行，根据对称性知：()()22412AF BF CF DF AF AF DF DF a +++=+++==. 故选：A .点评：本题考查了椭圆的性质，意在考查学生对于椭圆知识的灵活运用.11．已知12,F F 分别为双曲线22143x y -=的左右焦点，P 为双曲线右支上一点，2F 关于直线1PF 的对称点为1,M F 关于直线2PF 的对称点为N ，则当||MN 最小时，12sin F PF ∠的值为（ ）A ．12BCD ．13答案：B根据对称性得到1224PN PM PF PF a -=-==，根据余弦定理得到()212121621cos3MN PF PF F PF =+⋅-∠，得到答案.解：根据对称性知：2PM PF =，1PN PF =，故1224PN PM PF PF a -=-==. 根据余弦定理：2222cos MN PM PN PM PN MPN =+-⋅∠()()()()2121212121221cos 231621cos3PF PF PF PF F PF PF PF F PF π=-+⋅--∠=+⋅-∠故当121cos30F PF -∠=，即1223F PF π∠=时，||MN有最小值，此时12sin 2F PF ∠=. 故选：B . 点评：本题考查了双曲线内三角函数最值，余弦定理，意在考查学生的计算能力和转化能力. 12．对任意的实数0x >，不等式22ln ln 0x ae x a -+≥恒成立，则实数a 的最小值为（ ） ABC ．2eD ．12e答案：D排除0a ≤的情况，存在唯一解0x ，使则函数在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，故()()0min f x f x =，020140x ae x -=，代换得到012x ≤，代入计算得到答案. 解： 设()22ln ln xf x aex a =-+，则()21'4x f x ae x=-.当0a ≤时，()'0f x <，故()f x 单调递减，当x →+∞时，()f x →-∞，不成立； 当0a >时，取()21'40xf x aex=-=，根据图像知，方程有唯一解设为0x ，则函数在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 故()()020min 02ln ln 0x a x x ef x f a ==-+≥，且020140x aex -=， 代换得到：00012ln 22ln 202x x x ---≥， 易知函数()12ln 22ln 22g x x x x =---在()0,∞+上单调递减，且102g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故012x ≤. 0201142x a x e e =≥⋅，故当012x =时，有最小值为12e . 故选：D .点评：本题考查了隐零点问题，不等式恒成立求参数，设出极值点是解题的关键.二、填空题13．已知i 为虚数单位，a R ∈，若21(1)z a a i =-+-为纯虚数，则实数a =________.答案：1-根据题意得到21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，解得答案.解：21(1)z a a i =-+-为纯虚数，则21010a a ⎧-=⎨-≠⎩，故1a =-.故答案为：1-.点评：本题考查了根据复数的类型求参数，意在考查学生的计算能力.14．若双曲线22154x y -=的左焦点在抛物线22y px =的准线上，则p 的值为________.答案：6计算双曲线22154x y -=的左焦点为()3,0-，再利用准线方程计算得到答案.解：双曲线22154x y -=的左焦点为()3,0-，即32p ，故6p .故答案为：6. 点评：本题考查了双曲线的焦点和抛物线的准线，意在考查学生的综合应用能力.15．已知双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，P 为双曲线C 左支上的一个点，112PF F F =，且12120PF F ∠=︒，则双曲线C 的离心率为________.根据题意得到212PF F ==，得到2122PF PF c a -=-=，得到答案. 解：112PF F F =，且12120PF F ∠=︒，则212PF F ==，1122PF F F c ==.故2122PF PF c a -=-=，故e =.. 点评：本题考查了双曲线的离心率，意在考查学生的计算能力.16．如图，过抛物线22(0)y px p =>焦点F 的直线交抛物线于A 、B 两点（A 点位于x 轴上方），M 为抛物线的准线l 上一点，MF AB ⊥，AM 交y 轴于N ，ND AB ⊥于D ，2AD DF =，则直线AB 的斜率为______.答案：22如图所示：作AC ⊥MC 与C ，交y 轴于E ，得到(),2A p p ，计算斜率得到答案. 解：如图所示：作AC ⊥MC 与C ，交y 轴于E ，2AD DF =，则2AN NM =，2AE EC =.故(),2A p p ，,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，故2222AFpk p==. 故答案为：22.点评：本题考查了抛物线中直线的斜率，意在考查学生的计算能力.三、解答题17．选修4-4：坐标系与参数方程已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x 轴的正半轴重合，圆C 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为325415x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）.（1）求直线l 和圆C 的直角坐标方程；（2）设点(2,1)P ，直线l 与圆C 交于,A B 两点，求||||PA PB •的值. 答案：(1) 43110x y +-=， 2240x y x +-= (2) ||?||3PA PB =试题分析：（1）把直线l 的参数方程与圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）将325415x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，代入2240x y x +-=，整理得：28305t t +-=，利用根与系数的关系及参数t 的几何意义表示•PA PB 的值. 试题解析：（Ⅰ）直线l 的直角坐标方程为()412431103y x x y -=--⇒+-=； 圆C 的直角坐标方程为2240x y x +-=．（Ⅱ）将325415x t y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，，代入2240x y x +-=，整理得：28305t t +-=， 1212||?||?·3PA PB t t t t ∴===．18．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数)，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l 的极坐标方程为()6R πθρ=∈．（Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点，求AB 的值．答案：（1）24cos 120ρρθ--=（2）AB =试题分析：（1）将参数方程化为普通方程，再将普通方程化为极坐标方程．（2）将6πθ=代入24cos 16ρρθ-=，可得20ρ--=１２，设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则12,ρρ是方程2120ρ--=的两根，利用12AB ρρ=-求解即可． 试题解析： （1）将方程424x cosa y sina=+⎧⎨=⎩消去参数a 得224120x y x +--=，∴曲线C 的普通方程为224120x y x +--=，将222x cos x y ，ρρθ+==代入上式可得24cos 12ρρθ-=， ∴曲线C 的极坐标方程为：24cos 12ρρθ-=． （2）设,A B 两点的极坐标方程分别为12,,,66ππρρ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 由24cos 166ρρθπθ⎧-=⎪⎨=⎪⎩消去θ得2120ρ--=， 根据题意可得12,ρρ是方程2160ρ--=的两根，∴121216ρρρρ+==-， ∴12AB ρρ=-==．19．已知抛物线2:4C y x =.（1）若P 是抛物线C 上任一点，(2,3)Q ，求点P 到Q 和y 轴距离之和的最小值； （2）若ABC 的三个顶点都在抛物线C 上，其重心恰好为C 的焦点F ，求ABC 三边所在直线的斜率的倒数之和. 答案：（11（2）0（1）P 到Q 和y 轴距离之和||||1||1PQ PF QF =+-≥-，计算得到答案.（2）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，233,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，1230y y y ++=，计算得到1214AB y y k +=，同理计算得到答案. 解：（1）由抛物线定义可知：P 到Q 和y 轴距离之和||||1||11PQ PF QF =+-≥-=，当,,Q P F 三点共线时，取最小值.（2）设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，233,4y C y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，∵(1,0)F ∴1230y y y ++=. 又22121212144AB y y y y k y y -+==-，同理：2314BC y y k +=，1314AC y y k += ∴1110AB BC ACk k k ++= 点评：本题考查了抛物线中距离的最值问题，直线的斜率问题，意在考查学生的计算能力. 20．已知(M，N 是平面上的两个定点，动点P 满足||||4PM PN +=. （1）求动点P 的轨迹方程；（2）若直线:2(0)l y x m m =+≠与（1）中的轨迹相交于不同的两点,A B ，O 为坐标原点，求AOB 面积的最大值和此时直线l 的方程.答案：（1）22142x y +=（2，直线l 的方程为23y x =±（1）根据椭圆的定义直接计算得到答案.（2）先计算得到m -<<()()1122,,,A x y B x y ，利用韦达定理得到1221289249m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，利用面积公式根据均值不等式得到答案. 解：（1）∵||||4PM PN +=>P的轨迹是以(M N 为焦点的椭圆，方程为：22142x y +=（2）22222,9824024y x m x mx m x y =+⎧∴++-=⎨+=⎩，214480,m m ∆=->∴-<<设()()1122,,,A x y B x y ，则1221289249m x x m x x ⎧+=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩， ∴()2121212||554AB x x x x x x =-=⋅+-2210189m =⋅-， 又：||5m h =，∴()22221812||||18299AOB m mm S AB d m ⋅-⋅⋅=⋅⋅=⋅-=△()22182218m m -+≤⋅=当且仅当2218m m -=，即3m =±（满足0>）时，等号成立. ∴此时直线l 的方程为23y x =± 点评：本题考查了轨迹方程，面积的最值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.21．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为32，且过点13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭.（1）求椭圆C 的方程；（2）设直线l 与椭圆C 交于,M N 两点，O 为坐标原点，,OM ON 的斜率分别记为,OM ON k k ，且54OM ON k k ⋅=，请问椭圆C 上是否存在点P 使四边形PMON 为平行四边形，若存在，求出P 的坐标，若不存在，请说明理由.答案：（1）2214x y +=（2）存在，点P 有四个，坐标分别为236,33⎛ ⎝⎭，236,33⎫⎪⎭，236,33⎫-⎪⎭，236,33⎛- ⎝⎭（1）直接计算得到2241a b ⎧=⎨=⎩，得到答案.（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程，利用韦达定理得到122841kmx x k +=-+，21224441m x x k -=+，根据平行四边形性质计算得到答案. 解：（1）22224,13114c a a b a b ⎧=⎪⎧=⎪∴⎨⎨=⎩⎪+=⎪⎩，∴椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）设()11,M x y ，()22,N x y ，联立2214y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222418440kx kmx m +++-=，依题意，()()222(8)441440km k m ∆=-+->，化简得2241m k <+，①122841km x x k +=-+，21224441m x x k -=+，()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，若54OM ON k k ⋅=，则121254y y x x =，即121245y y x x =，∴()221212124445k x x km x x m x x +++=， ∴()()22222418454404141m km k km m k k -⎛⎫-⋅+-+= ⎪++⎝⎭，即()()()2222224518410km k m m k ---++=，化简得2254m k +=，② 设MN 的中点为224,1414km m Q k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，∵四边形PMON 为平行四边形∴OP 的中点也是Q ，∴282,1414km m P k k ⎛⎫-⎪++⎝⎭，又点P 在椭圆上 ∴()()222222222641644141414k m m m k k k +=⇒=+++，③由②③得2213,24k m ==，满足①，∴存在点P 满足条件∴2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩2k m ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴这样的点P有四个，坐标分别为⎛ ⎝⎭，⎭，⎭，⎛ ⎝⎭. 点评：本题考查了椭圆方程，存在性问题，意在考查学生的计算能力和和转化能力. 22．已知函数()(1)ln f x ax x =-存在两个极值点12,x x ，且12x x <. （1）当1a =时，求()f x 的最小值； （2）求实数a 的取值范围； （3）求证：()14f x >.答案：（1）0（2）2a e <-（3）见解析 （1）求导得到函数的单调区间，得到最小值. （2）排除0a ≥的情况，求导得到()f x '在10,a ⎛⎫-⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减，计算得到答案.（3）根据题意：121111100,2,1x x ax ax a ax <<-<<-<-->可得，代入数据计算得到答案. 解：（1）1a =时，()(1)ln f x x x =-，1()ln 1f x x x'=-+， ∵211()0,()f x f x x x '''=+>∴在(0,)+∞上递增，又()01f '=，故()f x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增，故min ()(1)0f x f ==. （2）211()ln (0),()ax f x a x a x f x x x+'''=-+>∴= 0a ≥时，()0,()f x f x '''>∴在(0,)+∞上递增，此时()f x 不可能有两个极值点，排除； 0a <时，令211()0,ax f x x x a+''==∴=-，∴()f x '在10,a ⎛⎫- ⎪⎝⎭上递增，在1,a ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭上递减.∵0x +→时，()f x '→-∞；x →+∞时，()f x '→-∞ ∴2max 111()ln 20,ln 20,f x f a a a e a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-=-+>∴-+<∴<- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（3）由（2）知1211111001,,2x x ax ax a ax <<-<<-<∴-->∴ ∵()11110,ln 1f x x ax '=∴=- ∴()()()()1111111111ln 1124f x ax x ax ax ax ax ⎛⎫⎛⎫=-=--=+-+-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 点评：本题考查了函数的最值，根据极值求参数，证明函数不等式，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷(含答案解析)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分） 1. 下列命题：①若A 、B 、C 、D 是空间任意四点，则有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =0； ②|a ⃗ |−|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |是a ⃗ 、b ⃗ 共线的充要条件；③对空间任意一点P 与不共线的三点A 、B 、C ，若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =x OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +y OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +z OC ⃗⃗⃗⃗⃗ (x,y ，z ∈R)，则P 、A 、B 、C 四点共面．其中不正确命题的个数是( )A. 0B. 1C. 2D. 32. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( )A.B.C.D.3. 如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计结果，则图中空白处应该填入A.B.C. D.4. 给出下列命题①过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直 ②过直线外一点有且仅有一个平面与已知直线平行 ③过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线垂直④过平面外一点有且仅有一条直线与已知平面垂直 其中正确命题的个数为A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个5. 将三颗骰子各掷一次，记事件A =“三个点数都不同”，B =“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是( ) A.，B.，C.， D.， 6. 已知，若，则等于( )A.B.C.D.7. 《数术记遗》是《算经十书》中的一部，相传是汉末徐岳(约公元2世纪)所著，该书主要记述了：积算(即筹算)太乙、两仪、三才、五行、八卦、九宫、运筹、了知、成数、把头、龟算、珠算计数14种计算器械的使用方法某研究性学习小组3人分工搜集整理14种计算器械的相关资料，其中一人4种、另两人每人5种计算器械，则不同的分配方法有( )A.510C 144CC 55A 33A 22B.510C 144CC 55A 22A 33C. 510C 144CC 55A 22 D. C 144C 105C 558. 具有线性相关关系的变量x ，y ，满足一组数据如表所示．若y 与x 的回归直线方程为y =2x ，则m 的值是( ) x 012 3 y−1 1m8A. 4B. 92C. 5D. 69. 用1，2，3，4，5组成无重复数字的三位奇数的个数为A. 30B. 36C. 40D. 6010. 在同一直角坐标系下，已知双曲线C:y 2a 2−x 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为√2，双曲线C 的一个焦点到一条渐近线的距离为2，函数y =sin (2x +π6)的图象向右平移π3单位后得到曲线D ，点A ，B 分别在双曲线C 的下支和曲线D 上，则线段AB 长度的最小值为( )A. 2B. √3C. √2D. 111. 设A 是整数集的一个非空子集，对于k ∈A ，如果k −1∉A 且k +1∉A ，那么k 是A 的一个“孤立元”，给定A ={1,2，3，4，5}，则A 的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有( )A. 10个B. 11个C. 12个D. 13个12. 已知y =f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是( )A. f(x)在(−3,−1)上先增后减B. x =−2是函数f(x)极小值点C. f(x)在(−1,1)上是增函数D. x =1是函数f(x)的极大值点二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 用系统抽样的方法从容量为42的总体中抽取容量为10的样本，则总体中每个个体被抽到的概率为______ ．14. 设随机变量X ～B (6,13)，则P(2<X <4)=______15. (√x +a)6的展开式中x 2项的系数为60，则实数a = ______ ．16. 图1是一个由27个棱长为1的小正方体组成的魔方，图2是由棱长为1的小正方体组成的5种简单组合体．如果每种组合体的个数都有7个，现从总共35个组合体中选出若干组合体，使它们恰好可以拼成1个图1所示的魔方，则所需组合体的序号和相应的个数是______.(提示回答形式，如2个①和3个②，只需写出一个正确答案)三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =5cosαy =sinα(α为参数)，点P 的坐标为(3√2,0)． (1)试判断曲线C 的形状为何种圆锥曲线；(2)已知直线l 过点P 且与曲线C 交于A ，B 两点，若直线l 的倾斜角为45°，求|PA|⋅|PB|的值．18.近年空气质量逐步恶化，雾霾天气现象出现增多，大气污染危害加重．大气污染可引起心悸、呼吸困难等心肺疾病．为了解某市心肺疾病是否与性别有关，在某医院随机的对入院50人进行了问卷调查，得到了如表的列联表：已知在全部50人中随机抽取1人，抽到患心肺疾病的人的概率为3．5(1)请将上面的列联表补充完整；(2)是否有99.5%的把握认为患心肺疾病与性别有关？说明你的理由；(3)已知在患心肺疾病的10位女性中，有3位又患有胃病，现在从患心肺疾病的10位女性中，选出3名进行其它方面的排查，记选出患胃病的女性人数为x，求x的分布列、数学期望．，其中n=a+b+c+d．参考公式：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)下面的临界值表仅供参考：19. 如图，四边形ABCD 是矩形，AB =2BC ，E 为CD 中点，以BE 为折痕将△BEC 折起，使C 到C′的位置，且平面BEC′平面ABED (1)求证：AE ⊥BC′；(2)求二面角C′−AE −B 的余弦值．20. 某志愿者服务网站在线招募志愿者，当报名人数超过招募人数时，将采用随机抽取的方法招募志愿者，以下记录了A ，B ，C ，D 四个项目的招募情况，其中有两个数据模糊． 项目 招募人数 报名人数 A 50 100 B 60 a C 80 b D160200某同学报名参加了这四个志愿者服务项目，记ξ为该生被招募后参加的项目个数，已知P(ξ=0)=140，P(ξ=4)=110．(Ⅰ)求该生至多获得三个项目招募的概率； (Ⅱ)求a ，b 的值；(Ⅲ)求ξ的分布列与数学期望Eξ．21. 如图所示，离心率为12的椭圆Ω：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上的点到其左焦点的距离的最大值为3，过椭圆Ω内一点P 的两条直线分别与椭圆交于点A 、C 和B 、D ，且满足AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λPD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，其中λ为常数，过点P 作AB 的平行线交椭圆于M 、N 两点． (Ⅰ)求椭圆Ω的方程；(Ⅱ)若点P(1,1)，求直线MN 的方程，并证明点P 平分线段MN ．22. 已知函数f(x)=(x +1)2(x −1)，(1)求f′(x)；(2)求函数f(x)的单调区间； (3)求函数f(x)的极值．【答案与解析】1.答案：D解析：解：①根据向量的运算法则知，等号的左边为0⃗ ，而右边为0，故①不正确； ②|a ⃗ |−|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |⇔|a ⃗ |2−2|a ⃗ ||b ⃗ |+|b ⃗ |2=|a ⃗ |2+2a ⃗ ⋅b ⃗ +|b ⃗ |2⇔cosθ=−1，即a ⃗ 与b ⃗ 反向，∴|a ⃗ |−|b ⃗ |=|a ⃗ +b ⃗ |是a ⃗ 、b ⃗ 共线的充分不必要条件，故②不正确；③由空间向量基本定理知，空间任意一个向量OP ⃗⃗⃗⃗⃗ 可以用不共面的三个向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 、OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 、OC ⃗⃗⃗⃗⃗ 线性表示，所以P 、A 、B 、C 四点一定不共面，故③不正确； 故选：D ．①由向量的运算法则，可判断真假；②两边平方，利用向量的平方等于向量模的平方，判断真假； ③利用空间向量的基本定理知错；考查向量的运算法则，空间向量的基本定理，命题真假的判断；2.答案：A解析：试题分析：因为，双曲线的右顶点为(4,0)，即抛物线的焦点，所以，抛物线的标准方程为，选A 。
2018-2019学年重庆市巴蜀中学高二(下)期中数学试卷(理科)含答案
− f (1)
1
B． e f (e)
− f (1)
1
C． e f (e)
− f (1)
1
D． e f (e)
− f (1)
1
二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）
13．（5 分）某班共有 52 人，现根据学生的学号，用系统抽样的方法抽取一个容量为 4 的样
本，已知学号为 3 号、16 号、42 号的同学在样本中，那么样本中还有一个同学的学号为 ．
C．若 m / / ， n / / ， m ， n ，则 / / D．若 m / / ， m ， = n ，
则 m / /n
5．（5 分）九江气象台统计，5 月 1 日浔阳区下雨的概率为 4 ，刮风的概率为 2 ，既刮风
15
15
又下雨的概率为 1 ，设 A 为下雨， B 为刮风，那么 P(A | B) = (
)
10
A． 1 2
B． 3 4
C． 2 5
D． 3 8
6．（5 分） (1 + x − x2 )(x + 1 )6 展开式中 x2 项的系数为 (
)
2x
A． 5 2
B． 15 4
C． 5 4
D． 25 4
7．（5 分）我市实行新高考，考试除了参加语文、数学、英语的统一考试外，还需从物理和
历史中选考一科，从化学、生物、政治、地理中选考两科，学生甲想要报考某高校的法学专
B． x0 R ， x02 − x0 0
C． x R ， x2 − x 0
D． x R ， x2 − x 0
2．（5 分）抛物线 y2 = 4x 上的点 M (4, y0 ) 到其焦点 F 的距离为 ( )
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高二数学上学期期中复习试题
亲爱的同学：这份试卷将再次记录你的自信、沉着、智慧和收获，我们一直投给你信任的目光……巴中2018-2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 错误！未找到引用源。
的取值范围是（ ）此卷只装订不密封级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n -B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +11．[2018·江南十校]已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩，z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[],x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤12．[2018·盘锦市高级中学]已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若()2b a ac =+，则()2sin sin A B A -的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．12⎛ ⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．14．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 15．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．16．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．18．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．19．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若b =，4a c +=，求a ，c 的值．20．（12分）[2018·阳朔中学]若x，y满足1030350x yx yx y-+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y=+的最小值；（2）22z x y=+的范围；（3）y xzx+=的最大值．21．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABCBD=，△中，BC边上的中线AD长为3，且2sin B=．（1）求sin BAD∠的值；（2）求cos ADC△外接圆的面积．∠及ABC22．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a -=>=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意；当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos 13a c ==，故选B ．7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=， 解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．11．【答案】B【解析】作出02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩表示的平面区域（如图所示），显然z xy =的最小值为0，当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，231312222x z xy x x x ⎛⎫==-=-+≤ ⎪⎝⎭；当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，()2932238z xy x x x x ==-=-+≤； 即0a =，98b =；当0x =时，不等式2110x kx -+=≥恒成立，若210x kx -+≥对90,8x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则1k x x ≤+在90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，又1x x +在(]0,1单调递减，在91,8⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2k ≤．12．【答案】C【解析】因为()2b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=， 由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()πC A B =-+，所以()sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即()sin sin A B A =-， 因为三角形是锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π02B A <-<，所以A B A =-或πA B A +-=，所以2B A =或πB =（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以π02A <<，π022A <<，π0π32A <-<， 所以ππ64A <<，则()2sin 1sin sin 2A A B A ⎛=∈ -⎝⎭，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 14．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 15．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b = 16．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b -=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 19．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 20．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离d==33,22D⎛⎫⎪⎝⎭在线段AB上，故22OD z OC≤≤，即9,252z⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦．（3）目标函数1yzx=+，记ykx=．则k表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A时，斜率最大，即max2k=，即maxmax3y xzx+⎛⎫==⎪⎝⎭．21．【答案】（1（2）1cos4ADC∠=-，128π27S=．【解析】（1）在ABD△中，2BD=，sin B，3AD=，∴由正弦定理sin sinBD ADBAD B=∠，得2sin8sin3BD BBADAD∠==．（2）sin B=，cos B∴=，sin BAD∠=，cos BAD∴∠=()1cos cos4ADC B BAD∴∠=∠+∠==-，D为BC中点，2DC BD∴==，∴在ACD△中，由余弦定理得：2222cos94316AC AD DC AD DC ADC=+-⋅∠=++=，4AC∴=．设ABC△外接圆的半径为R，2sinACRB∴==，R∴=ABC∴△外接圆的面积2128ππ27S=⋅=⎝⎭．22．【答案】（1）()12n na n=∈*N；（2）1nn+．【解析】（1）当2n=时，由121n nS S-=+及112a=，得2121S S=+，即121221a a a+=+，解得214a=．又由121n nS S-=+，①，可知121n nS S+=+，②②-①得12n na a+=，即()1122n na a n+=≥．且1n=时，2112aa=适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
2018-2019学年高二第二学期期中测评考试理科数学答案
≠m2-5m+6=0，
17. 解：（1）由 z 为纯虚数得
解得 m=2． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5 分
m2-8m+15≠0，
（2）复数 z－8i=（m2-5m+6）+（m2-8m+7）i，因为复数 z－8i 位于第四象限，
≠m2-5m+6＞0，
所以
解得 1＜m＜2 或 3＜m＜7.故 m 的取值范围为（1，2）∪（3，7）. !!!!!!!!!!! 10 分
a a 故函数 g（x）的最大值为 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1．
高二理科数学试题答案 第 4 页（共 5 页）
由题意得需 g
1 a
=-2lna+
1 a
-1≤0，
令
h（a）=-2lna+
1 a
-1，∵h（a）在（0，+∞）上单调递减，又 ∵h（1）=0，
∴ 当 a≥1 时，h（a）≤0 恒成立，∴ 实数 a 的取值范围为［1，+∞）． !!!!!!!!!!!!!!!!! 12 分
12. C 【解析】f（ 1 x）=f ′（x）=cosx－e－x+2018x2017， f（ 2 x）=f ′（ 1 x）=－sinx+e－x+2018×2017x2016， f（ 3 x）=f ′（ 2 x）=－cosx－e－x+2018×2017×2016x2015， f（ 4 x）=f ′（ 3 x）=sinx+e－x+2018×2017×2016×2015x2014， …
乙 乙 4
4
5. B 【解析】 姨4-（x-2）2 dx表示以（2，0）为圆心，以 2 为半径的圆的上半部分的面积， 姨4-（x-2）2 dx=2π.故选 B.
重庆市巴蜀中学2019_2020学年高二数学下学期期中试题含解析
重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二数学下学期期中试题（含解析）一、选择题．（共12题，每题5分，共6分．每题只有一个正确选项）1.命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定是（ ）A. 0x ∀>，210x x ++≥B. 0x ∀≤，210x x ++<C. 0x ∀>，210x x ++<D. 0x ∀≤，210x x ++≥【答案】A【解析】【分析】 根据全称命题与存在性命题的关系，准确改写，即可求解.【详解】由题意，根据全称命题与存在性命题的关系，可得命题“00x ∃>，20010x x ++<”的否定为：“0x ∀>，210x x ++≥”.故选：A .【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系，准确改写是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.2.设集合{}2|20A x x x =--<，{}2|log 0B x x =<，则A B =（ ）A. (1,2)-B. (0,1)C. (,2)-∞D. (1,1)- 【答案】A【解析】【分析】 分别求出集合A 和B ，再求并集即可.【详解】解不等式220x x --<得12x -<<，即()1,2A =-；由20log x <得01x <<，即()B 0,1=；所以()A B 1,2⋃=-.故选A【点睛】本题主要考查集合的并集运算，熟记概念即可求解，属于基础题型.3.由①安梦怡是高二（1）班的学生，②安梦怡是独生子女，③高二（1）班的学生都是独生子女，写一个“三段论”形式的推理，则大前提，小前提和结论分别为（ ）A. ②①③B. ②③①C. ①②③D. ③①② 【答案】D【解析】【分析】根据三段论推理的形式“大前提，小前提，结论”，根据大前提、小前提和结论的关系，即可求解.【详解】由题意，利用三段论的形式可得演绎推理的过程是：大前提：③高二（1）班的学生都是独生子女；小前提：①安梦怡是高二（1）班的学生；结论：②安梦怡是独生子女，故选D.【点睛】本题主要考查了演绎推理中的三段论推理，其中解答中正确理解三段论推理的形式是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.4.设2821001210(1)(43)(21)(21)(21)x x a a x a x a x +-=+-+-++-，则01210a a a a ++++等于( ) A. 1B. 2C. 54D. 5【答案】B【解析】【分析】 令1x =，利用赋值法求二项展开式的各项系数和.【详解】令1x =，则282100121011(11)(43)1a a a a ⋅+-=+++⋅⋅+ 故012102a a a a ++++= 故选：B【点睛】本题考查利用赋值法求二项展开式的各项系数和，属于基础题.5.已知复数z 满足()411i z i +=-（i 为虚数单位），则复数2z -在复平面内对应的点所在的象限为（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】C【解析】【分析】先根据复数的四则运算求得z ，再利用复数几何意义求解结论.【详解】由()411i z i+=-，得())()()141111i z i i i i -===-⋅++-，则)22z -=，∴复数2z -在复平面内对应的点为2,， ∴复数2z -在复平面内对应的点所在的象限为第三象限.故选：C.【点睛】本题考查复数的基本知识，复数的概念以及其几何意义，考查计算能力，属于基础题.6.袋子中有四个小球，分别写有“文、明、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率.利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“文、明、中、国”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 013 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为（ ）A. 19B. 16C. 29D. 518【答案】B【解析】【分析】经随机模拟产生的18组随机数中，恰好第三次就停止包含的基本事件有3个，由此可以估计恰好第三次就停止的概率.【详解】解：经随机模拟产生的18组随机数中，232 321 230 023 123 021 132 220 001231 130 133 231 013 320 122 103 233恰好第三次就停止包含的基本事件有：023 123 132，共3个， 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为31186p ==. 故选：B.【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.7.已知条件:12p x +>，条件:q x a >，且p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，则实数a 的值范围为（ ）A. [)1,+∞B. [)1,-+∞C. (],1-∞D. (],3-∞【答案】A【解析】【分析】 由题意，可先解出p ⌝：31x -≤≤与q ⌝：x a ≤，再由p ⌝是q ⌝的充分不必要条件列出不等式即可得出a 的取值范围. 【详解】由条件:12p x +>，解得1x >或3x <-，故p ⌝：31x -≤≤，由条件:q x a >得q ⌝：x a ≤，∵p ⌝是q ⌝的充分不必要条件，∴1a ≥，故选：A . 【点睛】本题以不等式为背景考查充分条件必要条件的判断，考查了推理判断能力，准确理解充分条件与必要条件是解题的关键.8.近年来，随着“一带一路”倡议的推进，中国与沿线国家旅游合作越来越密切，中国到“一带一路”沿线国家的游客人也越来越多，如图是2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次情况，则下列说法正确的是（ ）①2013－2018年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次逐年增加②2013－2018年这6年中，2014年中国到“一带一路”沿线国家的游客人次增幅最小 ③2016－2018年这3年中，中国到“一带一路”沿线国家的游客人次每年的增幅基本持平A. ①②③B. ②③C. ①②D. ③ 【答案】A【解析】【分析】根据折线图，分析图中的数据逐一判断即可.【详解】由图中折线逐渐上升，即每年游客人次逐渐增多，故①正确；由图在2014年中折线比较平缓，即2014年中游客人次增幅最小，故②正确；根据图像在2016－2018年这3年中，折线的斜率基本相同，故每年的增幅基本持平，故③正确；故选：A 【点睛】本题考查了折线图，考查了统计与推理，属于基础题. 9.若函数()f x 满足()3298f x x +=+，则()f x 的解析式是（ ） A. ()98f x x =+B. ()32f x x =-C. ()34f x x =--D. ()32f x x =+ 【答案】D【解析】【分析】令32x t +=，得到23t x -=代入条件, 可求出()f x 的解析式即可．【详解】设32x t +=，则23t x -=. 所以有()298323t f t t -=⨯+=+ 所以()32f x x =+故选：D【点睛】本题考查了求函数的解析式问题，考查换元思想，属于基础题．10.设221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩，则((1))f f 的值为（ ） A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】B【解析】【分析】先求出()1f ，然后即可求出((1))f f 【详解】因为221log (1),1()21,1x x x f x x +⎧->=⎨-≤⎩所以()21213f =-= 所以()2((1))3log 83f f f ===故选：B【点睛】本题考查的是分段函数的知识，较简单.11.维生素C 又叫抗坏血酸，是一种水溶性维生素，是高等灵长类动物与其他少数生物的必需营养素.维生素C 虽不直接构成脑组织，也不向脑提供活动能源，但维生素C 有多种健脑强身的功效，它是脑功能极为重要的营养物.维生素C 的毒性很小，但食用过多仍可产生一些不良反应.根据食物中维C 的含量可大致分为：含量很丰富：鲜枣、沙棘、猕猴桃、柚子，每100克中的维生素C 含量超过100毫克；比较丰富：青椒、桂圆、番茄、草莓、甘蓝、黄瓜、柑橘、菜花，每100克中维生素C 含量超过50毫克；相对丰富：白菜、油菜、香菜、菠菜、芹菜、苋菜、菜苔、豌豆、豇豆、萝卜，每100克中维生素C 含量超过30~50毫克.现从猕猴桃、柚子两种食物中测得每100克所含维生素C 的量（单位：mg ）得到茎叶图如图所示，则下列说法中不正确的是（ ）A. 猕猴桃的平均数小于柚子的平均数B. 猕猴桃的方差小于柚子的方差C. 猕猴桃的极差为32D. 柚子的中位数为121【答案】B【解析】【分析】A. 根据茎叶图分别算出猕猴桃的平均数和柚子的平均数比较即可.B. 根据茎叶图中的数据的波动情况判断C. 根据茎叶图中的数据计算即可.D. 根据茎叶图中的数据计算即可. 【详解】由茎叶图知，猕猴桃的平均数为1041021131221211341166+++++=，柚子的平均数为1141131211211311321226+++++=，则猕猴桃的平均数小于柚子的平均数，故A 正确；猕猴桃的数据波动比柚子的数据波动大，所以猕猴桃的方差大于柚子的方差，故B 错误； 猕猴桃的极差为13410232-=，故C 正确； 柚子的中位数为1211211212+=，故D 正确. 故选：B【点睛】本题主要考查样本估计总体中的数字特征，还考查了理解辨析，运算求解的能力，属于基础题.12.已知数列{}n a ，{1,0,1},1,2,3,4,5,6i a i ∈-=．满足条件“12345603a a a a a a ≤+++++≤”的数列个数为（ ）个．A. 160B. 220C. 221D. 233【答案】D【解析】【分析】由已知可得||i a 只能取0或1，结合限制条件，对||0i a =的个数进行分类，可分为6个，5个，4个和3个，按照组合和分步乘法计数原理求出各类的个数，即可求出结论.【详解】因为{1,0,1},1,2,3,4,5,6i a i ∈-=，所以||i a 只能取0或1， 而12345603a a a a a a ≤+++++≤，所以123456,,,,,a a a a a a 中出现0的个数可以是6个、5个、4个、3个，若出现6个0，则数列为常数列，共有1个常数列，若出现5个0，则出现一个||1,1i i a a ==±有两种取法，共有16212C ⨯=，若出现4个0，则出现两个||1i a =，共有226215460C ⨯=⨯=，若出现3个0，则出现三个||1i a =，共有3362208160C ⨯=⨯=，综上所述，数列的个数为11260160233+++=.故选：D.【点睛】本题考查两个计数原理和组合的实际应用问题，理解题意合理分类是解题的关键，属于中档题.二、填空题．（共4题，每题5分，共20分）13.已知复数z 满足34z i i ⋅=-（i 为虚数单位），则z =__________．【答案】5【解析】因为34z i i ⋅=-，所以34z i i ⋅=-，即34z i i ⋅=-，5z =.14.已知函数f (x+3)的定义域为[-2,4),则函数f (2x-3)的定义域为_____.【答案】[2,5).【解析】【分析】由24x -≤<可得137x ≤+<，再由1237x ≤-<可得25x ≤<，进而可得函数f (2x-3)的定义域为[)2,5．【详解】∵函数f (x+3)的定义域为[-2,4)，∴24x -≤<，∴137x ≤+<．令1237x ≤-<，解得25x ≤<．∴函数f (2x-3)的定义域为[)2,5．【点睛】解答本题时注意：（1）函数的定义域是指函数中自变量x 的取值范围．（2）求复合函数的定义域时常用到以下结论：①若已知函数f (x )的定义域为[a ,b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ,b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ,b ]时的值域．15.已知盒中装有3只螺口灯泡与7只卡口灯泡，这些灯泡的外形都相同且灯口向下放着，现需要一只卡口灯泡电工师傅每次从中任取一只并不放回，则在他第1次抽到的是螺口灯泡的条件下，第2次抽到的是卡口灯泡的概率为_____________． 【答案】79【解析】【分析】先求出“电工师傅第1次抽到的是螺口灯泡”的概率,再求出“电工师傅第1次抽到的是螺口灯泡且第2次抽到的是卡口灯泡”的概率，根据条件概率公式，即可求解.【详解】记“电工师傅第1次抽到的是螺口灯泡”为事件A ,“电工师傅第2次抽到的是卡口灯泡”为事件B ,1137210321(),()1090A A P A P AB A ===， ()7(|)()9P AB P B A P A ∴==. 故答案为：79【点睛】要注意是不放回的抽取，所求事件的概率是古典概型的概率，属于基础题.16.在二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，该二项展开式中系数最大的项为___________． 【答案】20126720x【解析】【分析】先求出展开式通项，得出系数，要使展开式中系数最大，只需该项系数不小于前一项系数，也不小于后一项系数，建立关于项数r 的不等式，求解即可. 【详解】二项式12312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式通项为31212364112121(2)()2r r r r r r r T C x C x x ---+==， 0,1,2,12r =，若第1r +系数最大，需满足1213112121211112122222r r r r r r r r C C C C -----+⎧≥⎨≥⎩，即12!212!!(12)!(1)!(13)!212!12!!(12)!(1)!(11)!r r r r r r r r ⨯⎧≥⎪---⎪⎨⨯⎪≥⎪-+-⎩， 整理得121321121r r r r ⎧≥⎪⎪-⎨⎪≥⎪-+⎩，解得1013,,433r r N r ≤≤∈∴=， 8420205122126720T C x x ==,所以该二项展开式中系数最大的项为20126720x .故答案为：20126720x .【点睛】本题考查二项展开式定理的应用，熟记通项是解题的关键，考查计算求解能力，属于中档题.三、解答题、（共6小题，17题10分，其余5题各12分，共70分，请在答题卡上写出必要的解答过程）17.某校高二年级模仿《中国诗词大会》节目举办学校诗词大会，进入正赛的条件为：先参加初赛，初赛时，电脑随机抽取10首不同的古诗，参赛者能够正确背诵6首及以上的参赛者进入正赛，若学生甲参赛，他背诵每一首古诗的正确的概率均为12； （1）求甲在初赛中恰好正确背诵8首的概率（2）若进入正赛，则用积分淘汰制，规则是：参赛者初始分为零分，电脑随机抽取4首不同的古诗，每首古诗背诵正确加2分，错误减1分由于难度增加，甲背诵每首古诗正确的概率为25，求甲在正赛中积分X 的概率分布列及数学期望．【答案】（1）451024；（2）分布列详见解析，4()5E X =. 【解析】 【分析】（1）在初赛中甲背诵每一首古诗的正确的概率均为12，根据二项分布概率公式即可求解； （2）先求出甲在正赛中积分X 的可能值，按照二项分布概率公式，求出X 可能值对应的概率，得到分布列，按数学期望公式，即可求出结论.【详解】（1）记“甲在初赛中恰好正确背诵8首古诗”为事件A 学生甲在初赛中背诵每一首古诗的正确的概率均为12, 882101145()()(1)221024P A C =-=,所以甲在初赛中恰好正确背诵8首古诗的概率为451024； （2）甲的积分X 的可能值为8分，5分，2分，-1分，-4分，则43143442162396(8),(5)562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫====== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 221321442321623216(2),(1)5562555625P X C P X C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫====-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 404381(4)5625P X C ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭， 所以X 的分布列为所以1696216216814()852146256256256256255E X =⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=， 甲在正赛中积分X 的数学期望为45.【点睛】本题考查独立事件重复发生的概率，熟记二项分布概率公式是解题的关键，考查随机变量的分布列和数学期望，意在考查计算求解能力，属于基础题.18.下表是某厂生产某种产品的过程中记录的几组数据，其中x 表示产量（单位：吨），y 表示生产中消耗的煤的数量（单位：吨）x 2 3 4 56 y22.53.54.56.5（1）试在给出的坐标系下作出散点图，根据散点图判断，在y a bx =+与2x y m n =+中，哪一个方程更适合作为变量y 关于x 的回归方程模型？（给出判断即可，不需要说明理由） （2）根据（1）的结果以及表中数据，建立变量y 关于x 的回归方程．并估计生产100吨产品需要准备多少吨煤．参考公式：ˆˆay b x =-⋅，()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx ====---==--∑∑∑∑【答案】（1）散点图见解析，y a bx =+更适合；（2）ˆ 1.10.6yx =-，109.4吨. 【解析】 【分析】（1）作出散点图，根据散点图判断，y a bx =+更适合作为变量y 关于x 的回归方程模型； （2）根据（1）的结果、表中数据和参考公式，求出y 关于x 的回归方程，把100x =代入方程，即得答案.【详解】（1）散点图如图所示y a bx =+更适合作为变量y 关于x 的回归方程模型.（2）由表格可得552114, 3.8,90,87i i i i i x y x x y ======∑∑，122251558754 3.8ˆˆˆ1.1, 3.8 1.140.690545i ii ii x y x yba y bx xx ==--⨯⨯∴====-=-⨯=--⨯-∑∑， y ∴关于x 的回归方程为ˆ 1.10.6y x =-.当100x =时，ˆ 1.11000.6=109.4y=⨯-. 所以，估计生产100吨产品需要准备109.4吨煤． 【点睛】本题考查散点图和线性回归方程，属于基础题.19.2019年春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速公路收费点记录了大年初三上午9:20～10:40这一时间段内通过的车辆数，统计发现这一时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直方图如下图示，其中时间段9:20～9:40记作区间[)20,40，9:40～10:00记作[)40,60，10:00～10:20记作[)60,80，10:20～10:40记作[)80,100，例如：10点04分，记作时刻64.（1）估计这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9:20～10:00之间通过的车辆数为X ，求X 的分布列与数学期望；（3）由大数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻服从正态分布()2,N μσ，其中μ可用这60辆车在9:20～10:40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，2σ可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9:46～10:22之间通过的车辆数（结果保留到整数）． 参考数据：若()2~,T Nμσ，则①()0.6827P T μσμσ-<≤≤=；②(22)0.9545P T μσμσ-<≤+=；③(33)0.9973P T μσμσ-<≤+=． 【答案】（1）10点04分；（2）分布列详见解析，8()5E X =；（3）683. 【解析】 【分析】（1）由频率分布直方图求出各时间段的频率，按照平均数公式，即可求解；（2）按照分层抽样原则先求出10辆车中在9:20～10:00车辆数，确定出随机变量X 的可能值，求出X 各可能值对应的概率，得到X 的分布列，按数学期望公式，即可求出结论； （3）求出2σ，将9:46～10:22时间段转化为,μσ关系，利用正态分布三段区间的概率，求出9:46～10:22时间段通过车辆的概率，即可求出结论.【详解】（1）这600辆车在9:20～10:40时间段内通过该收费点的平均数为(300.005500.015700.020900.010)2064⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，即10点04分；（2）结合频率分布直方图和分层抽样的方法可知：抽取的10辆车中， 在10:00前通过的车辆数就是位于[20,60)这一区间的车辆数， 即(0.0050.015)20104+⨯⨯=，所以X 的可能值为0,1,2,3,4.所以43166444101018(0),(1)1421C C C P X P X C C ======， 2213646444101034(2),(3)735C C C C P X P X C C ======，04644101(4)210C C P X C ===，所以X 的分布列为所以18341812341421()7352105E X （3）由（1）得64μ=，22222(3064)0.1(5064)0.3(7064)0.4(9064)0.2324σ=-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=，所以18σ=，估计在9:46～10:22这一时间段内通过的车辆数， 也就是4682T <≤通过的车辆数，由()2~,T N μσ，得(64186418)0.6827P T -<≤+=，所以估计在9:46～10:22这一时间段内通过的车辆数为10000.6827683⨯≈（辆）. 【点睛】本题以频率分布直方图为背景，考查平均数、方差、随机变量的分布列和数学期望，以及正态分布三段区间概率的应用，考查计算求解能力，属于中档题.20.已知四棱锥S ABCD -，SD SB =，在平行四边形ABCD 中，AD CD =，Q 为SC 上的点，过AQ 的平面分别交SB ，SD 于点E 、F ，且//BD 平面AEQF ．（1）证明：EF AC ⊥；（2）若23SA SC ==2AB =，Q 为SC 的中点，SA 与平面ABCD 3求平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）见解析，（2）12【解析】 【分析】（1）由//BD 平面AEQF ，平面AEQF 平面SBD EF =，可得//BD EF ，而题可知四边形ABCD 为菱形，则AC BD ⊥，所以可得EF AC ⊥；（2）由题意可推得,,OA OB OS 两垂直，所以O 为坐标原点，,,OA OB OS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【详解】（1）证明：连接AC 交BD 于O ， 因为四边形ABCD 为平行四边形，且AD CD =， 所以四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥， 因为//BD 平面AEQF ，平面AEQF 平面SBD EF =，BD 在平面SBD 内，所以//BD EF ， 所以EF AC ⊥；（2）解：因为四边形ABCD 为菱形， 所以O 为AC 、BD 的中点， 因为SD SB =，23SA SC ==，所以,SO AC SO BD ⊥⊥，所以SO ⊥平面ABCD ，所以SAO ∠为直线SA 与平面ABCD 所成的角，所以3sin SAO ∠=， 所以60SAO ∠=︒，所以3,3SO AO ==因为2AB =，所以1OB =，如图，以O 为坐标原点，,,OA OB OS 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(3,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,0),(0,0,3)O A B C D S --，因为Q 为SC 的中点，所以33(,0,)2Q -，则333(,0,)2AQ =-， 因为AC BD ⊥，SO AC ⊥，所以平面SBD 的法向量为(3,0,0)OA =， 设平面AEQF 的法向量为(,,)m x y z =，因为//BD EF ，则00m OB m AQ ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即0333022y x z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩， 令3z =，则1x =，所以(1,0,3)m =，设平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角为θ，则31cos cos ,2313OA m OA m OA mθ⋅====⨯+，所以平面SBD 与平面AEQF 所成锐二面角的余弦值为12【点睛】此题考查空间图形中证线线垂直，求二面角，考查了空间想象能力和推理能力，利用了空间向量求二面角，考查了计算能力，属于中档题.21.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，过右焦点F 作与x 轴垂直的直线，与椭圆的交点到x 轴的距离为32.（1）求椭圆C 的方程； （2）设O 为坐标原点，过点F直线'l 与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上），若OE OA OB =+，求四边形AOBE 面积S 的最大值.【答案】（1）22143x y +=；（2）3. 【解析】 【分析】（1）由12c a =，232b a =结合222a bc =+解方程组即可；（2）设':1l x ty =+，联立直线'l 与椭圆的方程得到根与系数的关系，因为OE OA OB =+，可得四边形AOBE 为平行四边形，12122||2AOB S S OF y y =⨯-==△，将根与系数的关系代入化简即可解决.【详解】(1)由已知得12c a =， 直线经过右焦点，2222231,||2c y b y a b a ∴+===， 又222a b c =+，2,1a b c ∴===，故所求椭圆C 的方程为22143x y +=.（2）过()1,0F 的直线与椭圆C 交于A B 、两点（A B 、不在x 轴上）， ∴设':1l x ty =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(34)690t y ty ++-=，设()()1122,,,A x y B x y ，则122122634934t y y t y y t -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，OE OA OB=+，∴四边形AOBE为平行四边形，122122||234AOBS OF y ytS=∴⨯-===+△，1m=≥，得2621313mSm mm==++，由对勾函数的单调性易得当1m=，即0t=时，max32S=.【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及到椭圆的方程、椭圆中面积的最值问题，考查学生的逻辑推理能力，是一道中档题.22.已知函数2()2lnf x x ax=-，()(1)34xg x x e ax=++-，a R∈.（1）求()f x的单调区间；（2）若()f x有最大值且最大值是1-，求证：()()f xg x<.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）对()f x求导，得()221()axf xx-'=，对a分类讨论，利用导函数的正负性即可得出单调性；（2）利用（1）中结论及()f x最大值是1-，可得1a=，对()()f xg x<进行整理，可得232ln14xxx xex-<+-+，由0x>时，e1x>可知，证明232114ln xx xx-+-+≤即可，构造函数()2432lnh x x x x=--+，利用导数可得()()0h x h x≤()002ln1x x=-+，再构造()ln1m x x x=-+，利用导数可得()(1)0m x m≤=，所以()()00h x h x≤≤，问题得解. 【详解】（1）由函数2()2lnf x x ax=-，0x>得()2212()2axf x axx x-'=-=1)当0a ≤时，()0f x '>，函数()f x 在()0∞，+上单调递增； 2)当0a >时，由()f x '=当0x <<()0f x '>，当x >()0f x '< 故()f x在0⎛ ⎝上单调递增，在⎫+∞⎪⎪⎭上单调递减. （2）证明：由（1）知，当0a >时，函数()f x 有唯一最大值，即l 1n 1f a --=-，解得=1a . 22ln ()(3)14x x x f x g x e x x -++-<⇔<0x >时e 1x >，所以证明23ln 1142x x x x -≤⇔+-+ 242ln 30x x x -+≤-即可，令()()2432ln 0+h x x x x x =-+∈-∞，，()()()()2211221224x x x x h x x x x x--+-'=--==可知，当01x 时函数()h x 取得极大值即最大值，且200210x x +-=()()2000000=2ln 432ln 1h x x x x x x --+=-+设()ln 1m x x x =-+，则11()1x m x x x-'=-= 所以()m x 在01，上单调递增，[)1+∞，上单调递减， 故()(1)0m x m ≤=，所以()()0002ln 10h x x x =-+≤ 所以()()00h x h x ≤≤，即242ln 30x x x -+≤- 问题得解.【点睛】本题是导数的综合应用题，考查了利用导数求函数单调性及利用导数求最值证明不等式，考查了分类讨论思想和放缩法，属于难题.- 21 -。
2019年高二下学期期中联考数学理试题 Word版含答案
2019年高二下学期期中联考数学理试题 Word 版含答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。
每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确。
请用2B 铅笔把答题卡中所选答案的标号涂黑。
） 1．复数= （ ）A ．B ．C ．0D ．2.一个物体的运动方程为其中的单位是米,的单位是秒,那么物体，在秒末的瞬时速度是（ ）米/秒A ．2B ．4 C.6 D.8 3. 函数单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．4.函数在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 5．在用数学归纳法证明422*123()2n n n n N +++++=∈时，则当时左端应在的基础上加上的项是（ ）A ．B ．C ．D ．222(1)(2)(1)k k k ++++++.6.等于（ ）A ．B ．C ．D ．7.一质点运动的速度与时间关系为，质点作直线运动，则此质点在时间 ［1，2］内的位移是 （ ）A. B. C. D . 8.已知，观察下列各式：，，，．．．，类比有(),则 ( )A ．B ．C ．D ．9．已知某生产厂家的年利润(单位：万元)与年产量(单位：万件)的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大利润的年产量为( )A.7万件B.9万件C.11万件D.13万件10. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠，给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”。
某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心。
设函数12532131)(g 23-+-=x x x x ，则⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛20132012 (2013)220131g g g =( ) A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
请把答案填在答题卡中相应的位置上。
） 11.若是纯虚数，则实数的值为_______12.观察下列等式1=12+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第7个等式为 。
【精准解析】重庆市巴蜀中学2019-2020学年高二下学期月考数学试题
【详解】 (1 x)5 a0 a1x a2 x2 a5 x5 ，
令 x 0 ，代入可得 a0 1 ，
令 x 1 ，代入可得 a0 a1 a2 a3 a4 a5 25 32 ，
-2-
所以 a1 a2 a3 a4 a5 25 a0 31，
故选：D.
【点睛】本题考查了二项展开式中项的系数和求法，赋值法的应用，属于基础题.
表示为
，405 表示为
）如果把 6 根火柴以适当的方式全部放
入下面的表格中，那么可以表示的不同的三位数的个数为（ ）
A. 87
B. 95
C. 100
D. 103
【答案】D
【解析】
【分析】
将 6 根火柴能表示数字的搭配列举出来，再根据数的排列特征即可得解.
【详解】用 6 根火柴表示数字，所有搭配情况如下：
品，第四次检测为次品，即可根据概率求解.
【详解】为将正品和次品区分开且 x 4 ，有 2 种情况：前四次检测均为正品；前三次检测有
1 次次品，第四次检测为次品，概率分别为：
前四次检测均为正品： 4 3 2 1 1 ； 6 5 4 3 15
第一次检测为次品，第四次检测为次品，则 2 4 3 1 1 ； 6 5 4 3 15
老师事件为 N，
A 学校有 15 位数学老师，其中 9 位男老师，6 位女老师，因而 A 学校抽到 B 学校的老师是男
老师的概率为 P M 9 3 ；
15 5
从
B
学校抽取到市里上公开课的也是男老师的概率为
P
N
31 10 1
4 11
，
因而由条件概率公式可得 P N
M
PM N PM
4, 11
重庆市巴蜀中学19年-20年学年高二上学期期中复习数学试卷 Word版含答案
高二期中复习试卷理科数学第Ⅰ卷一、单项选择题：本大题共10小题，每小题6分，1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 错误!未找到引用源。
的取值范围是（ ） A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB 的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n - B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．11．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．12．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 13．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．14．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n 项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x的不等式23x ax a--≤-的解集非空，求实数a的取值范围；（2）已知54x<，求函数14245y xx=-+-的最大值．16．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．17．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若7b=，4a c +=，求a ，c 的值．18．（12分）[2018·阳朔中学]若x ，y 满足1030350x y x y x y -+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y =+的最小值； （2）22z x y =+的范围； （3）y xz x+=的最大值．19．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABC △中，BC 边上的中线AD 长为3，且2BD =，36sin B =．（1）求sin BAD ∠的值；（2）求cos ADC ∠及ABC △外接圆的面积．20．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题： 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a -=>=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意； 当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos13a c ==，故选B ． 7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()1111222332322b a b aa b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅=+ ⎪⎝⎭（当2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11333sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=， 解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴7AC B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．第Ⅱ卷二、填空题： 11．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 12．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 13．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a bC ab ab ab -+-+-+===≥0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b = 14．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b-=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭， 当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 16．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 17．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 18．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离3322d ==33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （3）目标函数1y z x =+，记yk x=． 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =，即max max 3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭． 19．【答案】（16（2）1cos 4ADC ∠=-，128π27S =． 【解析】（1）在ABD △中，2BD =，36sin B ，3AD =， ∴由正弦定理sin sin BD ADBAD B =∠，得362sin 68sin 3BD B BAD AD∠==． （2）36sin B =，10cos B ∴， 6sin BAD ∠=，10cos BAD ∴∠= ()10103661cos cos 4ADC B BAD ∴∠=∠+∠==-， D 为BC 中点，2DC BD ∴==，∴在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 94316AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=++=，4AC ∴=．设ABC △外接圆的半径为R，2sin AC R B ∴==，R ∴=ABC ∴△外接圆的面积2128ππ27S =⋅=⎝⎭． 20．【答案】（1）()12n n a n =∈*N ；（2）1n n +． 【解析】（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =． 又由121n n S S -=+，①， 可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时，2112a a =适合上式， 因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭， 所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
重庆市巴蜀中学2018-2019学年高二数学上学期期中复习习题
巴中2018-2019学年上学期高二期中复习试卷理科数学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．[2018·周南中学]若10a b >>>，10c -<<，则下列不等式成立的是（ ） A ．22b a -<B ．()log log a b b c <-C ．22a b <D ．2log b c a <2．[2018·南昌十中]函数()()22log 23f x x x =+-的定义域是（ ） A ．[]3,1-B ．()3,1-C ．][(),31,-∞-+∞D ．()(),31,-∞-+∞3．[2018·安徽师大附中]已知等差数列{}n a 中918S =，240n S =，()4309n a n -=>，则项数为（ ） A ．10B ．14C ．15D ．174．[2018·厦门外国语学校]已知实数x ，y 满足122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩，若z x ay =-只在点()4,3处取得最大值，则a 的取值范围是（ ）此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．(),1-∞-B ．()2,-+∞C ．(),1-∞D ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭5．[2018·南海中学]已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足122n n S λ+=+，则λ的值为（ ） A ．4B ．2C ．2-D ．4-6．[2018·铜梁县第一中学]在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ， 若222sin sin sin 0A B C +-=，2220a c b ac +--=，2c =，则a =（ ） AB ．1C ．12D7．[2018·揭阳三中]已知0a >，0b >，21a b +=，则11a b+的取值范围是（ ） A ．(),6-∞B ．[)4,+∞C ．[)6,+∞D．)3⎡++∞⎣ 8．[2018·白城一中]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+，则1210a a a +++=（ ）A ．68B ．67C ．61D ．609．[2018·黑龙江模拟]在ABC △中，π3B =，2AB =，D 为AB的中点，BCD △，则AC 等于（ ）A ．2BCD 10．[2018·黑龙江模拟]在数列{}n a 中，若12a =，且对任意正整数m 、k ，总有m k m k a a a +=+，则{}n a 的前n 项和为n S =（ ） A ．()31n n -B ．()32n n +C ．()1n n +D ．()312n n +11．[2018·江南十校]已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩，z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[],x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤12．[2018·盘锦市高级中学]已知锐角ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ， 若()2b a ac =+，则()2sin sin A B A -的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭ B．12⎛ ⎝⎭C．12⎛ ⎝⎭D．⎛ ⎝⎭第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．[2018·金山中学]关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ，则实数a =______．14．[2018·柘皋中学]数列{}n a 中，若11a =，11n n na a n +=+，则n a =______． 15．[2018·余姚中学]在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，c =2216b a -=，则角C 的最大值为_____．16．[2018·哈尔滨市第六中学]已知数列{}n a 满足()()()12112n n n n a a n n +-⋅+=-≥，n S 是其前n项和，若20171007S b =--，（其中10a b >），则123a b+的最小值是_________________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）[2018·豫南九校]（1）关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集非空，求实数a 的取值范围； （2）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值．18．（12分）[2018·凌源二中]已知等差数列{}n a满足13a=，515a=，数列{}n b满足14b=，531b=，设正项等比数列{}n c满足n n nc b a=-．（1）求数列{}n a和{}n c的通项公式；（2）求数列{}n b的前n项和．19．（12分）[2018·邯郸期末]在ABC △中，A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ， 若()cos 2cos b C a c B =-， （1）求B ∠的大小；（2）若b =，4a c +=，求a ，c 的值．20．（12分）[2018·阳朔中学]若x，y满足1030350x yx yx y-+≥+⎧-≥--≤⎪⎨⎪⎩，求：（1）2z x y=+的最小值；（2）22z x y=+的范围；（3）y xzx+=的最大值．BD=，21．（12分）[2018·临漳县第一中学]如图，在ABC△中，BC边上的中线AD长为3，且2sin B=．（1）求sin BAD∠的值；（2）求cos ADC△外接圆的面积．∠及ABC22．（12分）[2018·肥东市高级中]已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112a =，()1212,n n S S n n -=+≥∈*N （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12log n n b a n =∈*N ，求11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．理科数学 答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】B【解析】利用特值法排除，当2a =，12b =124b a a ->=，排除A ； 22144a b =>=，排除C ；2log 1b c a >=-，排除D ，故选B ． 2．【答案】D【解析】不等式2230x x +->的解为3x <-或1x >．故函数的定义域为()(),31,-∞-+∞，故选D ． 3．【答案】C 【解析】因为()19959=9182a a S a +==，52a ∴=，所以()()()154230=240222n n n n a a n a a n S -+++===，15n ∴=，故选C ．4．【答案】C【解析】由不等式组122022x y x y x y -≤-+≥+≥⎧⎪⎨⎪⎩作可行域如图，联立221x y x y -=--=⎧⎨⎩，解得()4,3C ．当0a =时，目标函数化为z x =，由图可知，可行解()4,3使z x ay =-取得最大值，符合题意；当0a >时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率大于0，当在y 轴上截距最大时z 最大，可行解()4,3为使目标函数z x ay =-的最优解，1a <符合题意； 当0a <时，由z x ay =-，得1zy x a a=-，此直线斜率为负值， 要使可行解()4,3为使目标函数z x ay =-取得最大值的唯一的最优解，则10a<，即0a <． 综上，实数a 的取值范围是(),1-∞，故选C ． 5．【答案】C【解析】根据题意，当1n =时，11224S a λ==+，故当2n ≥时，112n n n n a S S --=-=， 数列{}n a 是等比数列，则11a =，故412λ+=，解得2λ=-，故选C ． 6．【答案】B【解析】因为222sin sin sin 0A B C +-=，所以2220a b c +-=，C 为直角， 因为2220a c b ac +--=，所以2221cos 22a c b B ac +-==，π3B =，因此πcos 13a c ==，故选B ．7．【答案】D【解析】∵21a b +=，∴()111122333b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭2b aa b=时等号成立）．故选D ． 8．【答案】B【解析】当1n =时，112S a ==-，当2n ≥时，()()()22141141125n n n a S S n n n n n -⎡⎤==+---+=-⎣-⎦--，故2,125,2n n a n n -=⎧=⎨-≥⎩，据通项公式得1234100a a a a a <<<<<<，∴()()12101234101022a a a a a a a a S S +++=-++++=-+()210410122167=⨯+---=-．故选B ．9．【答案】B【解析】由题意可知在BCD △中，π3B =，1BD =，∴BCD △的面积11sin 22S BC BD B BC =⨯⨯⨯=⨯=， 解得3BC =，在ABC △中由余弦定理可得： 2222212cos 2322372AC AB BC AB BC B =+⋅⋅⋅-+⋅-==，∴AC =B ． 10．【答案】C【解析】递推关系m k m k a a a +=+中，令1k =可得：112m m m a a a a +=+=+，即12m m a a +-=恒成立，据此可知，该数列是一个首项12a =，公差2d =的等差数列， 其前n 项和为：()()()11122122n n n n n S na d n n n --=+=+⨯=+．本题选择C 选项．11．【答案】B【解析】作出02323x x y x y ≥⎧+≥+≤⎪⎨⎪⎩表示的平面区域（如图所示），显然z xy =的最小值为0，当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，231312222x z xy x x x ⎛⎫==-=-+≤ ⎪⎝⎭；当点(),x y 在线段()2301x y x +=≤≤上时，()2932238z xy x x x x ==-=-+≤； 即0a =，98b =；当0x =时，不等式2110x kx -+=≥恒成立，若210x kx -+≥对90,8x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦上恒成立，则1k x x ≤+在90,8⎛⎤ ⎥⎝⎦上恒成立，又1x x +在(]0,1单调递减，在91,8⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增，即min 12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即2k ≤．12．【答案】C【解析】因为()2b a a c =+，所以22b a ac =+，由余弦定理得：2222cos b a c ac B =+-，所以2222cos a c ac B a ac +-=+，所以2cos a a B c +=， 由正弦定理得sin 2sin cos sin A A B C +=，因为()πC A B =-+，所以()sin 2sin cos sin sin cos cos sin A A B A B A B A B +=+=+，即()sin sin A B A =-， 因为三角形是锐角三角形，所以π0,2A ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π02B A <-<，所以A B A =-或πA B A +-=，所以2B A =或πB =（不合题意）， 因为三角形是锐角三角形，所以π02A <<，π022A <<，π0π32A <-<， 所以ππ64A <<，则()2sin 1sin sin 2A A B A ⎛=∈ -⎝⎭，故选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】1【解析】因为关于x 的不等式22210x kx k k -++->的解集为{},x x a x ≠∈R ， 所以()()222410Δk k k =--+-=，所以440k -=，所以1a k ==，故答案是1． 14．【答案】1n【解析】11a =，11n n na a n +=+，得11n n a n a n +=+，所以324123112311234n n a a a a n a a a a n n --⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⋅⋅=，∴1n a n =．故答案为1n． 15．【答案】π6【解析】在ABC △中，由角C 的余弦定理可知22222222232cos 224b a a b a b c a b C ab ab ab -+-+-+===≥0πC <<，所以max π6C =．当且仅当a =，b = 16．【答案】5+【解析】根据题意，由已知得：323a a +=，545a a +=-，，201720162017a a +=-，把以上各式相加得：201711008S a -=-，即：110081007a b -=--，11a b ∴+=， 则()11111323232555a b a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭ 即123a b+的最小值是5+5+三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）62a a ≤-≥或；（2）max 1y =．【解析】（1）设()2f x x ax a =--，则关于x 的不等式23x ax a --≤-的解集不是空集()3f x ⇔≤-在R 上能成立()min 3f x ⇔≤-，即()2min 434a a f x +=-≤-解得6a ≤-或2a ≥．（或由230x ax a --+≤的解集非空得0Δ≥亦可得） （2）54x <，540x ∴->，11425432314554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++≤-+= ⎪--⎝⎭，当且仅当15454x x -=-，解得1x =或32x =而3524x =>，1x ∴=， 即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =． 18．【答案】（1）3n a n =，12n n c -=；（2）()3312212nn n +-+-． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，依题意得51434153a a d d d =+⇒+=⇒=， 所以()3313n a n n =+-=．设等比数列{}n c 的公比为q ，依题意得111431c b a =-=-=，555311516c b a =-=-=， 从而44511612c c q q q =⇒=⨯⇒=，所以11122n n n c --=⨯=．（2）因为132n n n n n n n n c b a b a c b n -=-⇒=+⇒=+，所以数列{}n b 的前n 项和为()()()()12131629232n n S n -=++++++++ ()()2136931222n n -=+++++++++()3312212nn n +-=+-． 19．【答案】（1）π3（2）1，3或3，1．【解析】（1）由已知得sin cos 2sin cos sin cos B C A B C B =⋅-⋅，∴()sin 2sin cos B C A B +=⋅． ∵πB C A +=-，∴sin 2sin cos A A B =⋅．∵A ，()0,πB ∈，所以sin 0A ≠，∴1cos 2B =，所以π3B =．（2）∵2222cos b a c ac B =+-，即()273a c ac =+-，∴31679ac =-=， ∴3ac =，又∵4a c +=，∴1a =，3c =或3a =，1c =． 20．【答案】（1）4；（2）9,252⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）3．【解析】（1）作出满足已知条件的可行域为ABC △内（及边界）区域，其中()1,2A ，()2,1B ，()3,4C ． 目标函数2z x y =+，表示直线:2l y x z =-+，z 表示该直线纵截距，当l 过点A 时纵截距有最小值，故min 4z =．（2）目标函数22z x y =+表示区域内的点到坐标系点的距离的平方，又原点O 到AB 的距离d ==33,22D ⎛⎫ ⎪⎝⎭在线段AB 上，故22OD z OC ≤≤，即9,252z ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． （3）目标函数1y z x =+，记yk x=． 则k 表示区域中的点与坐标原点连线的斜率，当直线过点A 时，斜率最大，即max 2k =， 即max max3y x z x +⎛⎫== ⎪⎝⎭． 21．【答案】（1（2）1cos 4ADC ∠=-，128π27S =． 【解析】（1）在ABD △中，2BD =，sin B ，3AD =， ∴由正弦定理sin sin BD ADBAD B =∠，得2sin 8sin 3BD B BAD AD∠===． （2）sin B=，cos B ∴， sin BAD ∠，cos BAD ∴∠()1cos cos 4ADC B BAD ∴∠=∠+∠==-， D 为BC 中点，2DC BD ∴==，∴在ACD △中，由余弦定理得：2222cos 94316AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠=++=，4AC ∴=．设ABC △外接圆的半径为R，2sin AC R B ∴==， R ∴=ABC ∴△外接圆的面积2128ππ27S =⋅=⎝⎭． 22．【答案】（1）()12n na n =∈*N ；（2）1n n +． 【解析】（1）当2n =时，由121n n S S -=+及112a =，得2121S S =+，即121221a a a +=+，解得214a =． 又由121n n S S -=+，①， 可知121n n S S +=+，②②-①得12n n a a +=，即()1122n n a a n +=≥．且1n =时，2112a a =适合上式，因此数列{}n a 是以12为首项，公比为12的等比数列，故()12n n a n =∈*N ． （2）由（1）及()12log n n b a n =∈*N ，可知121log 2nn b n ⎛⎫== ⎪⎝⎭，所以()1111111n n b b n n n n +==-++， 故1223111111111111223111n n n n T b b b b b b n n n n +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦．。
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2019学年重庆巴蜀中学高二下期中理科数学试卷【含
答案及解析】
姓名___________ 班级____________ 分数__________
一、选择题
1. 复数的虚部为（）
A． B．___________________________________ C．
D．
2. 最小二乘法的原理是使得（）最小
A． B．
C． D．
3. 若，则（）(已知
,
)
A． B． C．
D．
4. 下列命题中真命题的个数为（）
①两个变量的相关系数越大，则变量的相关性越强；
②命题的否定为；
③从个男生个女生中随机抽取个人，每个人被抽取的可能性相同，则至少有一个女生的选取种数为种.
A． B． C．
D．
5. 已知命题，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围为（）
A．或___________________________________ B．
________________________ C．____________________ D．
6. 为了研究学生性别与是否喜欢数学课之间的关系，得到列联表如下，请判断有
（）把握认为性别与喜欢数学课有关.
参考数据：
A．____________________________ B．____________________________ C．___________________________________ D．
7. 现有种不同的颜色为公民基本道德规范四个主题词(如图) 涂色，要求相邻的词语涂不同颜色，则不同的涂法种数为（）
A．___________________________________ B．
___________________________________ C．___________________________________ D．
8. 已知函数 ,则过点可以作出（）条图象的切线
A． B． C．
D．
9. 拋掷一枚质地均匀的骰子两次，记两次点数均为奇数｝，｛两次点数之和为｝，则（）
A． B． C．
___________________________________ D．
10. 有名选手参加演讲比赛，观众甲猜测：号或号选手得第一名；观众乙
猜测：号选手不可能得第一名；观众丙猜测：号选手中的一位获得第一名；
观众丁猜测：号选手都不可能获得第一名，比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有人猜对比赛结果，此人是（）
A．甲 B．乙 C．丙
___________________________________ D．丁
11. 如图，网络纸上小正方形的边长为，粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A． B． C．
___________________________________ D．
12. 如图，双曲线的右顶点为，左右焦点分别为，
点是双曲线右支上一点，交左支于点，交渐近线于点是
的中点，若，且，则双曲线的离心率是（）
A．___________________________________ B． C．
D．
二、填空题
13. 已知随机变量，则 _________ ．
14. 展开式中的常数项为 _________ ．
15. 已知函数在定义域内单调递增，则的取值范围为
_________ ．
16. 将正整数排成如图三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺序为第一群，第二群，… ,第群，第群恰好有个数，则第群中个数的和为
_________ ．
三、解答题
17. 已知正项数列的前项和为，且 .
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，证明： .
18. 一工厂对某条生产线加工零件所花费时间进行统计，得到如下表的数据：
（1）从加工时间的五组数据中随机选择两组数据，求该两组数据都小于加工时间的均值的概率；
（2）若加工时间与零件数具有相关关系，求关于的回归直线方程；（3）若需加工个零件，根据回归直线预测其需要多长时间.
( ， )
19. 如图，在四棱锥中，面，
.
（1）求证：平面；
（2）若与平面所成的角的正弦值为，求的长.
20. 已知焦点在轴上的椭圆，离心率为，且过点
，不过椭圆顶点的动直线与椭圆交于、两点，
求：
（1）椭圆的标准方程；
（2）求三角形面积的最大值，并求取得最值时直线、的斜率之积.
21. 已知函数 .
（1）时，求的单调区间和极值；
（2）若在上只有一个零点，求的取值范围.
22. 过外一点作的两条割线，其中过圆心，再过作的切线，切点为，已知 .
（1）求切线的长；
（2）求 .
参考答案及解析
第1题【答案】
第2题【答案】
第3题【答案】
第4题【答案】
第5题【答案】
第6题【答案】
第7题【答案】
第8题【答案】
第9题【答案】
第10题【答案】
第11题【答案】
第12题【答案】
第13题【答案】
第14题【答案】
第15题【答案】
第16题【答案】
第17题【答案】
第18题【答案】
第19题【答案】
第20题【答案】
第21题【答案】
第22题【答案】。