运用公式法――全平方公式
因式分解运用公式法(完全平方公式)
例8、把(x+3)2-6y(x+3)+9y2分解因式 解:原式=(x+3)2-2· (x+3) · 3y+(3y)2 =[(x+3)-3y]2 =(x+3-3y)2
说明：当公式中的a、b表示多项式 时，在运算过程中应用括号来表示这 个多项式的整体性,并且由于式子变 得复杂，在运算时应更加仔细.
例11、已知a2+2ab+b2=0 求代数式a(a+4b)-(a+2b)(a-2b)的值. 解：∵a2+2ab+b2=0 ∴(a+b)2=0 ∴a+b=0 ∴a(a+4b)-(a+2b)(a-2b) =a2+4ab-a2+4b2 =4ab+4b2 =4b(a+b)=4b×0 =0
例12、已知a、b、c为△ABC的三边长， 且满足a2+b2+c2-ab-ac-bc=0，试判断 △ABC的形状. 解： ∵ a2+b2+c2-ab-ac-bc=0 ∴ 2(a2+b2+c2-ab-ac-bc)=0 ∴a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0 ∴(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0 ∴a-b=0，a-c=0，b-c=0 ∴a=b，a=c，b=c 即a=b=c ∴ △ABC是等边三角形
说明：因式分解应彻底，即要分解到 每个因式都不能再分解为止.
完全平方公式因式分解的应用 例10、计算： 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52 解: 80×3.52+160×3.5×1.5+80×1.52
分解因式公式法---完全平方公式
12(a+b)+36 就是一个完全平方式。即
(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2×(a+b)×6+62 m2 - 2 ×6 +62 解： (a+b)2-12(a+b)+36 ×m = (a+b)2-2×(a+b)×6+62 =(a+b-6)2
现在回头来看看我们上课时提出的问题，
快速口算
完全平方式 a2 2ab b2 (a b)2
左边：① 项数：共三项，即a、b两数的平方项
，a、b两数积的2倍。
② 次数：左边每一项的次数都是二次。
③ 符号：左边a、b两数的平方项必须同号。
右边：是a、b两数和（或差）的平方。
当a、b同号时，a2+2ab+b2=(a+b)2
当a、b异号时，a2-2ab+b2=(a-b)2
∴ 2a2+4b-3=2×(-1)2+4×2-3
=7
考考你
(2)已知a、b、c是△ABC的三边的长，且满 足 a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，试判断△ABC的 形状。 温馨提示：将条件a2+2b2+c2-2b(a+c)=0变形 为a2+2b2+c2-2ab-2bc=0，左边与完全平方式 十分相似。可将其奏成两个完全平方式的和， 然后利用非负数性质就能解决问题了。
3、深刻理解
下列各式是不是完全平方式，为什么？ 是 （1） x2-4x+4______________ 不是，缺乘积项 （2） x2+16 _________________ 不是，缺乘积项的2倍 （3 ） 9m2+3mn+n2_____________________ 不是，平方项异号 （4）-y2-12xy+36x2 是 __________________ 不是，只有一个平方项 2 （5） -m +10mn-25n2______________ （6 ）
公式法之完全平方公式
公式法之完全平方公式完全平方公式是解一元二次方程的重要工具，它的形式可以表示为：\[a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2\]其中，\(a\)和\(b\)都是实数。
完全平方公式的应用很广泛，特别是在解二次方程和因式分解中起着重要的作用。
下面我们将详细介绍完全平方公式的推导和应用。
一、完全平方公式的推导：假设我们要解方程\(x^2+6x+9=0\)。
这个方程左边的三个项\(x^2\)、\(6x\)和\(9\)构成了一个完全平方，可以写成\[(x+3)^2=0\]。
通过观察可以发现，\(x+3\)是一个完全平方的形式。
现在我们来验证一下。
将\((x+3)\)展开进行乘法运算，得到的结果为\[x^2+3x+3x+9=x^2+6x+9\]。
可以看出，它们的确是相等的。
由此我们可以得到，当一个二次方程 \(x^2 + bx + c = 0\) 可以写成 \((x + \frac{b}{2})^2 = 0\) 的形式时，就可以应用完全平方公式来求解它。
进一步来推导完全平方公式的一般形式。
我们假设一个一元二次方程 \(ax^2 + bx + c = 0\)，其中 \(a\neq 0\)。
首先，我们将方程两边同时除以 \(a\)，得到：\[x^2 +\frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0\]。
然后，我们观察到 \(\frac{b}{a}x\) 这一项和 \(\frac{c}{a}\) 是关于 \(x\) 的一个完全平方，即：\[(x + \frac{b}{2a})^2 -\frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a} = 0\]。
整理一下，得到：\[(x + \frac{b}{2a})^2 = \frac{b^2 -4ac}{4a^2}\]。
再将等式两边同时开方，我们可以得到：\[x + \frac{b}{2a} = \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\]。
完全平方的12个公式
完全平方的12个公式完全平方是一种数学计算的方法，它可以帮助我们快速解决一些数学问题和计算。
它可以帮助我们快速计算一个数的平方。
完全平方有12种计算公式，它们分别是：1.平方根：平方根是所有完全平方计算的基础，它用来计算一个数的平方根，表达式为：√a = x。
2.除法法则：除法法则是一种简单的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a÷b = x，其中a和b都是完全平方数。
3.乘法法则：乘法法则是一种基本的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
4.加法法则：加法法则是一种有用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b = x，其中a和b都是完全平方数。
5.减法法则：减法法则是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a-b = x，其中a和b都是完全平方数。
6.指数规律：指数规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2 = x，其中a是完全平方数。
7.分数规律：分数规律是一种比较复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a/b = x，其中a和b都是完全平方数。
8.积分规律：积分规律是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a×b = x，其中a和b都是完全平方数。
9.多项式规律：多项式规律是一种常用的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：ax^2+bx+c=0，其中a,b,c都是完全平方数。
10.四平方和定理：四平方和定理是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a+b+c+d = x，其中a,b,c,d都是完全平方数。
11.指数公式：指数公式是一种复杂的完全平方计算方法，它用来计算一个数的平方，表达式为：a^2+b^2+c^2 = x，其中a,b,c都是完全平方数。
运用公式法完全平方公式
三、课堂练习
把下列各式分解因式 （1) (x+y)2-10(x+y)+25 (3) ax2+2a2x+a3 (5) (m2-6)2-6(m2-6)+9 (2) -2xy-x2-y2 (4) -a2c2-c4+2ac2 (6) a4-8a2b2+16b2
答案： 答案：
（1)（x+y-5)2 （ (3)a(x+a)2 (5)(m+3)2(m-3)2 (2)-(x+y)2 (4)-c2(a-c)2 (6)(a+2b)2(a-2b)2
例1、把-x2-4y2+4xy分解因式 、 分解因式 多项式运用完全平方式因式分解。 多项式运用完全平方式因式分解。
例2、把m2+10m(a+b)+25(a+b)2分解因式 、
分析：这个多项式符合完全平方式形式， 分析：这个多项式符合完全平方式形式，可以把原式写成 m2+2*5m(a+b)+[(a+b)]2这里相当于完全平方式里的 相当于完全平方式里的，原式是完全平方式， 相当于完全平方式里的，原式是完全平方式，可以运用完 全平方式因式分解。 全平方式因式分解。
新 课 运用公式法 完全平方公式 运用公式法——完全平方公式
一、导入新课 二、新课 三、课堂练习 四、小结
注意啦！ 注意啦！ 现在开始 上课啦！ 上课啦！
现在请同学先回答一个问题
1、什么叫完全平方式？试举例说明。 、什么叫完全平方式？试举例说明。 的式子叫做完全平方式， 答：形如a2 2ab+b2的式子叫做完全平方式，例 形如 如多项式9x 就是一个完全平方式。 如多项式 2 -12xy+4y2就是一个完全平方式。
公式法—完全平方公式 ppt课件
口诀： “首” 平方, “尾” 平方, “首” “尾”两倍中间放.
典例精析 例4 把下列各式因式分解 （1）3ax2＋6axy＋3ay2 解：(1)原式=3a(x2 ＋2xy ＋y2)
= 3a(x＋y) 2
若多项式中有公因式，应 先提取公因式，然后再进
一步分解因式。
（2） -x2-4y2＋4xy 解：(2)原式=-（x2+4y2-4xy ）
当堂检测
1、下列各式中能用完全平方公式进行因式分解的是( D )
A．x2＋x＋1
B．x2＋2x－1
C．x2－1
D．x2－6x＋9
2、已知4x2＋mx＋36是完全平方式，则m的值为( D )
A．8
B．±8
C．24
D．±24
3.若m＝2n＋1，则m2－4mn＋4n2的值是____1____． 4.若关于x的多项式x2－8x＋m2是完全平方式，则m的值为____±__4_____ ．
归纳总结
完全平方式首末有两项能写成两个数或两个式子的平方的形式， 且符号相同，中间项为这两个数或两个式子积的2倍．
典例精析
例3 把下列完全平方式因式分解：
(1)x2＋14x＋49；
(2)(m＋n)2－6(m＋n)＋9.
解：(1)x2＋14x＋49 ＝ x2＋2×7x＋72 ＝ (x＋7) 2 ；
乘法公式
①平方差公式 ②完全平方公式
新课讲授 把乘法公式 (a+b)2= a2+2ab+b2 ， (a-b)2=a2-2ab+b2 反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2 ， a2-2ab+b2=(a-b)2
我们把a²+2ab+b²和a²-2ab+b²这样的式子叫作完全平方式.
4.3.2分解因式——公式法(完全平方)
(m n) 32
字、字母，也可以是
(m n 3)2
单项式或多项式。
(4)(m 2n)2 2(2n m)(m n) (m n)2
(m 2n)2 2(m 2n)(m n) (m n)2
(m 2n) (m n)2
再进一步分解因式。
小结
1、利用完全平方分解因式的公式是什么？ 2、什么是完全平方式？ 3、式子前有负号要先把负号提出来，有公因 式要先提公因式。
解:原式 x2 2 7 x 72 解：原式 (2a)2 2 2a 3b (3b)2 (x 7来自2 (2a 3b)2
找到完全平方式中的 “头”和“尾”，确 定中间项的符号。
(3)(m n)2 6(m n) 9 完全平方式中的“头”
和“尾”，可以是数
(2m n)2
例2.把下列各式分解因式: (1)3ax2 6axy 3ay2
3a(x2 2xy y2 )
3a(x y)2
(2) x2 4y2 4xy (x2 4 y2 4xy) (x 2 y)2
若多项式中有公因式， 应先提取公因式，然后
结果为：（首±尾）的平方
形如
a2 a2
2ab 2ab
b2 b2
的多项式称为完全平方式.
即：首2 2 首 尾 尾2
对比：可以利用平方差分解 因式的多项式为：
a2－b2
即：平方－平方
落实基础
1．判别下列各式是不是完全平方式．
(1) x2 y2；不是 (2) x2 2xy y2； 是 (3) x2 2xy y2； 是 (4) x2 2xy y2； 不是 (5) x2 2xy y2．是
运用公式法——完全平方公式
运用公式法--完全平方公式一、教学目标1．使学生会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方式把多项式分解因式的方法；2．理解完全平方式的意义和特点，培养学生的判断能力．二、重点和难点重点：运用完全平方式分解因式．难点：灵活运用完全平方公式分解因式．三、教学过程1．问：什么叫把一个多项式因式分解？我们已经学习了哪些因式分解的方法？2．把下列各式分解因式：(1)ax4-ax2； (2)16m4-n4．和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到a2+2ab+b2=(a+b)2； a2-2ab+b2=(a-b)2．问：下列各多项式是否为完全平方式？为什么？(1)x2+6x+9； (2)x2+xy+y2；(3)25x4-10x2+1； (4) 16a+1．例1 把25x4+10x2+1分解因式．例3 把-x2-4y2+4xy分解因式．例4把(x+y)2-6(x+y)+9分解因式．例5 把m2+10m(a+b)+25(a+b)2分解因式．例6 把下列各式分解因式：(1)3ax2+ 6axy+ 3ay2 ；(2)81m4-72m2n2+16n4．四、课堂练习1．填空：(1)x2-10x+( )2=( )2； (2)9x2+( )+4y2=( )2；2．下列各多项式是不是完全平方式？如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多项式改变为完全平方式．(1)x2-2x+4； (2)9x2+4x+1； (3)a2- 4ab+4b2；3．把下列各式分解因式：(1)a2-24a+144； (2)4a2b2+4ab+1；4.把下列各式分解因式：(1)(x+y)2-10(x+y)+25；(2)-2xy-x2-y2；(3)ax2+2a2x+a3；(4)-a2c2-c4+2ac3；(5)(a+b)2-16(a+b)+64；(6)(x2+2x)2+2(x2+2x)+1；(7)(m2-6)2-6(m2-6)+9；(8)a4-8a2b2+16b4．五、小结六、作业(一)把下列各式分解因式：1．(1)a2+8a+16； (2)1-4t+4t2；2．(1)25m2-80m+64； (2)4a2+36a+81；(3)4p2-20pq+25q2； (4)16-8xy+x2y2；(5)a2b2-4ab+4； (6)25a4-40a2b2+16b4．3．(1)m2n-2mn+1； (2)7am+1-14am+7am-1；(二)把下列各式分解因式：(1)(x+y)2+6(x+y)+9；(2)a2-2a(b+c)+(b+c)2；(3)4-12(x-y)+9(x-y)2；(4)(m+n)2+4m(m+n)+4m2；(5)2xy-x2-y2； (6)4xy2-4x2y-y3；(7)3-6x+3x2；(8)-a+2a2-a3；(9)-4m2(a+b)2-12mn(a+b)-9n2；(10)(x+y)2-4(x+y)(p-q)+4(p-q)2．整式的乘除---因式分解教学案(运用公式法-完全平方公式) 2008.9.25。
人教版八年级数学上册14.3.4公式法——完全平方公式
公式法分解．
(3)当用上述方法不能直接分解时，可将其适当地变形 整理，再进行分解．
(4)每个因式必须分解到不能再继续分解为止．
必做：
1.请你完成教材P119-P120习题14.3T3，T5， T7-T8. 2.补充：请完成《典中点》剩余部分习题.
)
A．a4b－6a3b＋9a2b＝a2b(a2－6a＋9)
B．x2－x＋
1 2 1 ＝(x－ ) 2 4
C．x2－2x＋4＝(x－2)2 D．4x2－y2＝(4x＋y)(4x－y)
3 (2015•莱芜)分解因式：－x3＋2x2－x＝________．
（来自《典中点》）
因式分解的一般方法： (1)先观察多项式各项是否有公因式，有公因式的要先 提公因式． (2)当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否符合 平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则利用
知1－练
1 下列多项式是不是完全平方式?为什么？
(1) a2 － 4a ＋ 4；
(2)1 ＋ 4a2；
（来自《教材》）
(3) 4b2 ＋ 4b － 1； (4) a2 ＋ab ＋b2 .
2 ( 2015•龙岩)下列各式中能用完全平方公式进行因
式分解的是( )
A．x2＋x＋1
C．x2－1
B．x2＋2x－1
1 2 x＋ ；③－1－ 25 5
4b2；⑥x2－8x＋9. A．1个 B．2个
C．3个
D．4个
（来自《教材》）
知1－讲
解析：①⑤⑥不符合完全平方公式的结构特点，不能 用完全平方公式分解因式．②④符合完全平方 公式的特点，③提取“－”号后也符合完全平
方公式的特点，所以②③④能用完全平方公式
分解．①中的y2 前面是“－”号，不能用完全 平方公式分解 ．⑤中中间项有a、b的积的2
初二数学下册《运用公式法完全平方》课件北师大版
•从符号看 •平方项符号相 •（：即：两平方项同的符号同号，首尾2倍中间项）
• •式下列各式是不是完•是全平方
•是 •是 •否
•是 •否
•
•多项式
是否是完全 平方式
•是 •是
•否
a、b各表 表示（a+b）2或
示什么
（a－b）2
•a表示x，
•b表示3
初二数学下册《运用公式法 完全平方》课件北师大版
•
•完全平方 式 •用公式法正确分解因式关键是•什熟么知？公式特征 •完全•a平2 方式± 2 a b + b2 =！（ a ± b ）
2
•••(从一从数每项) 一2数±项看2(看一：数：)•项 •(都另都一有是数两有)+项•(另3可一化数为)2=两(一个数数±(另或一整数式)2)
•a表示2y
，
•b表示1
•否
•否 •是 •a表示(a+b)，
•b表示1
•
请补上一项，使下列多项式成为完全 平方式
•
例题：把下列式子分解因式
•( 1•解) ：
•( • -x2-4y2＋4xy
2) •解：
•
•( •3ax2＋6axy＋3ay2
3) •解：
•( 4) •解：
•
•请运用完全平方公式把下列各式分解因 式：
•A、6 B、±6 •C、3 D、±3
•
小结：
• 完全平方式具有：
含有三项； 含两平方项，两平方项的符号同； 首尾2倍中间项
• 我们可以利用完全平方公式来进行因式分 解
•
•提高练习：
•1、把 得（ •C •A、 •C、
完全平方公式的运用
完全平方公式的运用完全平方公式是指一个二次方程中，如果其形式为ax^2 + bx + c = 0，那么其解可表示为 x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/2a。
这个公式被广泛应用于解决与二次方程相关的问题。
下面将详细讨论完全平方公式的运用。
1.求解根最常见的运用完全平方公式是求解一个二次方程的根。
给定一个二次方程 ax^2 + bx + c = 0，我们可以直接将其参数代入公式，求出 x 的值。
需要注意的是，根的个数可以通过判别式来确定。
判别式 D = b^2 - 4ac 表示方程的解的性质，可以有以下三种情况：-当D>0时，方程有两个不同实数根。
-当D=0时，方程有两个相等的实数根。
-当D<0时，方程没有实数根，解为复数。
例如，对于方程3x^2+4x-2=0，我们可以使用完全平方公式来求解。
根据公式，我们可以得到：x = (-b ± √(b^2 - 4ac))/(2a)=(-4±√(4^2-4*3*(-2)))/(2*3)=(-4±√(16+24))/(6)=(-4±√(40))/6=(-4±2√10)/6所以，该方程的解为x=(-2±√10)/32.求解其中一边长根据矩形的面积公式A=a*b，我们可以得到二次方程a*b-A=0。
将其转化为解a的二次方程，则有a=(A/b)。
将此代入原方程，我们得到：b^2-A=0这是一个关于b的二次方程。
可以使用完全平方公式求解，得到b=±√A。
因为b作为一个长度，所以b的值应该是正数，因此b=√A。
这就解出了原问题，即给定矩形的面积，求解另一边长。
3.求解最值f(x)=a(x-h)^2+k其中h和k分别代表顶点的横坐标和纵坐标。
通过完全平方公式，我们可以得到：f(x) = a(x^2 - 2hx + h^2) + k= ax^2 - 2ahx + ah^2 + k通过比较系数，我们可以得到顶点的坐标为(h,k)=(-b/2a,f(-b/2a))。
公式法分解因式-——完全平方公式 课件
——完全平方公式
本节目标
• 1、会用完全平方公式分解因式 • 2、灵活运用公式 • 3、运用完全平方式解决实际问题
完全平方公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
两个数的平方和，加上 （或减去）这两个数的积的2倍， 等于这两数和（或者差）的平方．
(4)3ax2 6axy 3ay2
解原式=（m+n）2-6（m+n）+32 解原式=3a（x2+2xy+y2）
=（m+n-3）2
=3a（x+y）2
议一议：
• 1、如果能运用公式（三项式），找准公式中的a2和b2 • 2、先观察是否有公因式，然后再考虑用公式分解．
一提二公
• 3、如果平方项都是负数，一定要记着提出一个“负号”， 然后再运用公式。
3、在分解之前，一定要做到：1、一提二公；2、最高次项的 系数是正还是负；3、一定要检查是否分解到底。
课后作业：
•
习题4.5 1 2 4
• 4、整体换元思想：公式中的a和b有时候会是一个多项式。
做一做
• 把下列各式因式分解： • （1）m2+12mn+36n2 • (3）–2xy–x2–y2 （1）（m+6n）2
（3）-（x+y）2
（2）16a2b2+24ab3+9b4 （4）4+9（x–y)2–12（x–y）
（2）b2（4a+3b）2
结构特点：首平方、尾平方，积的2倍放中央
分解结果：和平方？差平方？2倍乘积前的符号来帮忙
试一试
• 例1．把下列各式因式分解：
部优：《运用公式法分解因式—完全平方公式》课件
B级
1.把下列各式分解因式：
(1)a2b2 10ab 25;
(2) 16m2 40mn 25n2 ;
复习回顾
一个多项式如果能够写成两个数的平方和加上或减去这两个数的乘积的2倍， 即 a2 2ab b2或a2 2ab b2 的形式，这样的多项式叫做完全平方式.
如果一个多项式是完全平方式，就能用完全平方公式分解因式，分解的结 果为这两个数的和或差的平方. 如果2倍项的符号为正，则分解的结果为这 两个数的和的平方；如果2倍项的符号为负，则分解的结果为这两个数的 差的平方.
2
a2 b2
M N
ab
2
分析：运用作差比较的方法，通过判断差的符号， 可以确定M和N的大小.
a2 b2 2ab 2
(a b)2 2
(a b)2 0
(a b)2 0 2
M N 0
M N
总结提升
1.本节课学习了哪些主要内容？ 2.具有什么结构特征的多项式可以用完全平方公式分解因式呢？ 3.在运用公式进行因式分解时，我们应当注意什么？
（3）(a b)2 1（0 a b） 25 (a b)2 2 5(a b) 52 (a b 5)2
(2) x2 4 y2 4xy
x2 4 y2 4xy
(x)2 (2 y)2 2(x)(2 y) (x 2y)2
能力提升
例2 分解因式：
（1）ax2 2a2 x a3；
(2) a4 2a2b2 b4 ;
(3) x2 y2 2 4x2 y2 ;
(4)
x2 4x
2
8
x2 4x
16 .Βιβλιοθήκη 把一个多项式分解因式时，首先要考虑是 否有公因式，如果有，则要先把公因式提 出来，然后再根据多项式的项数，考虑用 平方差公式还是完全平方公式进行分解. 因式分解的最后结果是几个多项式的乘积 的形式，要注意分解彻底，即结果中的每 个多项式的因式都不能再进行分解.
运用公式法完全平方徐斌ppt课件
火眼金睛
下列多项式中，哪几个是完全平方式？
√ 1、x2 x 1 4
× 2、9a2b2 3ab 1
× √ 3、x6 10 x3 25 4、1 m2 3mn 9n 2 4
√ √ 5、 2xy x2 y2 6、1 x2 xy 1 y2
1 、 a22 a a3
2、 x3z4x2y z4x2zy
熟能生巧
3、 把下列各式分解因式
1 、 a 242 1a 6 2
2、 814-m 722nm 216 4
2
2
例题讲解
例3 把下列完全平方式分解因式
1、 x214x49
2、 m n26m n9
熟能生巧
1、 把下列各式分解因式
1、 x212 x3y 6y2
2 、 9 x y 2 1 2 x y 4
例题讲解
例4 把下列各式分解因式
1、 3ax26axy 3a2 y
2、 x24y24xy
熟能生巧
2、 把下列各式分解因式
公式法分解因式之：
完全平方公式
温故知新
1.具备什么特征的多项式可以用平方 差公式分解?
（1）多项式是二项式; （2）每一项都可以写成平方的形式; （3）两项的符号相反，一正一负.
温故知新
2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,公 式中的字母a、b可以表示什么?
公式中的a , b可以是单独的数字、 字母、单项式、多项式。
完全平方公式
ab2a22abb2
ab2a22abb2
反过来(完全平方式)
a22abb2ab2
a22abb2a b 2
a 2 2 a b b 2a b 2
运用公式法完全平方徐斌ppt课件 共15页
反过来(完全平方式)
a22abb2ab2
a22abb2ab2
公式特点
a 2 2 a b b 2 a b 2
a 2 2 a b b 2a b 2
（1）多项式是三项式;
（2）其中两项都可以写成两数 平方的形式，且符号相同；
公式法分解因式之：
完全平方公式
温故知新
1.具备什么特征的多项式可以用平方 差公式分解?
（1）多项式是二项式; （2）每一项都可以写成平方的形式; （3）两项的符号相反，一正一负.
温故知新
2.运用a2-b2=(a+b)(a-b)公式时,公 式中的字母a、b可以表示什么?
公式中的a , b可以是单独的数字、 字母、单项式、多项式。
（3）第三项式上述两数乘积 的两倍，符号可正可负。
2 x y x 2 y 2 2 x y x 2 y 2
火眼金睛
下列多项式中，哪几个是完全平方式？
√ 1、x2 x 1 4
× 2、9a2b2 3ab 1
× √ 3、x6 10 x3 25 4、1 m2 3mn 9n 2 4
√ √ 5、 2xy x2 y2 6、1 x2 xy 1 y2
2
2
例题讲解
例3 把下列完全平方式分解因式
1、 x214x49
2、 m n26m n9
熟能生巧
1、 把下列各式分解因式
1、 x212 x3y 6y2
2 、 9 x y 2 1 2 x y 4
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温故知新
3.分解因式时,通常先考虑是否能提公 因式,然后再考虑能否用公式法分解因 式.
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公式法教学设计（二）
――完全平方公式
教学设计思想：
利用完全平方公式进行多项式的因式分解是在学生已经学习了提取公因式法及利用平方差公式分解因式的基础上进行的，因此在教学设计中，重点放在判断一个多项式是否为完全平方式上，采取启发式的教学方法，引导学生积极思考问题，从中培养学生的思维品质.
教学目标
知识与技能：
1．会用完全平方公式对多项式进行因式分解，提高分解因式的灵活性
2．提高全面地观察问题、分析问题和逆向思维的能力．
过程与方法：
3．经历用公式法分解因式的探索过程，进一步体会这两个公式在因式分解和整式乘法中的不同方向，加深对整式乘法和因式分解这两个相反变形的认识，体会从正逆两方面认识和研究事物的方法
情感态度价值观：
4．通过学习进一步理解数学知识间有着密切的联系。
教学重点和难点
重点：运用完全平方式分解因式.
难点：灵活运用完全平方公式分解因式.
关键：把握住因式分解的基本思路，观察多项式的特征，灵活地运用“换元”和“划归思想”
教学用具
多媒体或小黑板
课时安排
1课时
教学过程设计
一、复习
1.问：什么叫把一个多项式因式分解?我们已经学习了哪些因式分解的方法?
答：把一个多项式化成几个整式乘积形式，叫做把这个多项式因式分解.我们学过的因式分解的方法有提取公因式法及运用平方差公式法.
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4－ax2(2)16m4－n4.
解(1) ax4－ax2=ax2(x2－1)=ax2(x+1)(x－1)
(2) 16m4－n4=(4m2)2－(n2)2
=(4m2+n2)(4m2－n2)
=(4m2+n2)(2m+n)(2m－n).
问：我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式?
答：有完全平方公式.
请写出完全平方公式.
完全平方公式是：
(a+b)2=a2+2ab+b2, (a－b)2=a2－2ab+b2.
这节课我们就来讨论如何运用完全平方公式把多项式因式分解.
二、新课
和讨论运用平方差公式把多项式因式分解的思路一样，把完全平方公式反过来，就得到
a2+2ab+b2=(a+b)2；a2－2ab+b2=(a－b)2.
这就是说，两个数的平方和，加上(或者减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或者差)的平方.式子a2+2ab+b2及a2－2ab+b2叫做完全平方式，上面的两个公式就是完全平方公式.运用这两个式子，可以把形式是完全平方式的多项式分解因式.
问：具备什么特征的多项式是完全平方式?
答：一个多项式如果是由三部分组成，其中的两部分是两个式子(或数)的平方，并且这两部分的符号都是正号，第三部分是上面两个式子(或数)的乘积的二倍，符号可正可负，像这样的式子就是完全平方式.
问：下列多项式是否为完全平方式?为什么?
(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；
(3)25x4－10x2+1；(4)16a2+1.
答：(1)式是完全平方式.因为x2与9分别是x的平方与3的平方，6x=2·x·3，所以x2+6x+9=(x+3)2.
(2)不是完全平方式.因为第三部分必须是2xy.
(3)是完全平方式.25x4=(5x2)2，1=12，10x2=2·5x2·1，所以
25x4－10x2+1=(5x－1)2.
(4)不是完全平方式.因为缺第三部分.
请同学们用箭头表示完全平方公式中的a ，b 与多项式9x2+6xy+y2中的对应项，其中a=?b=?2ab=?
答：完全平方公式为：
a 2+2ab+
b 2=(a+b)2.
9x 2+6xy+y 2=(3x)2+2·(3y)·y+y 2=(3x+y)2.
a 2+2ab+
b 2=(a+b)2
其中a=3x ，b=y ，2ab=2·(3x)·y.
例1 把下列各式分解因式； （1）t 2＋22t ＋121； （2）m 2＋mn n 412-
（1）分析：这个多项式是由三部分组成，第一项“t 2”是t 的平方，第三项“121”是11的平方，第二项“22t ”是t 与11的积的2倍.所以多项式t 2＋22t ＋121是完全平方式，可以运用完全平方公式分解因式.
（2）问：请同学分析这个多项式的特点，是否可以用完全平方公式分解因式?有几种解法?
解：（1）t 2＋22t ＋121
=t 2＋2×11t ＋112
=（t ＋11）2；
（2）m 2＋mn n 412-
=m 2－2·m ·2
n 21n 2
1⎪⎭⎫ ⎝⎛+ =（m －21
n ）2
例2 把下列各式分解因式：
（1）ax 2＋2a 2x ＋a 3;
（2）（x ＋y ）2－4（x ＋y ）＋4;
（3）9m 2－6m ＋1－4n 2
解：（1）ax2＋2a2x＋a3
=a（x2＋2ax＋a2）
=a（x＋a）2；
（2）（x＋y）2－4（x＋y）＋4
=（x＋y）2－2·（x＋y）·2＋22
=（x＋y－2）2
（3）9m2－6m＋1－4n2
=（3m）2－2·3m·1＋1－（2n）2
=（3m－1）2－（2n）2
=（3m＋2n－1）（3m－2n－1）
注：例4让有学生自己完成，并找部分学生上台讲解，出现问题，老师及时给予纠正
三、课堂练习(投影)
1.填空：
(1)x2－10x+（）2=（）2；
(2)9x2+（）+4y2=（）2；
(3)1－（）+m2/9=（）2.
2.下列各多项式是不是完全平方式?如果是，可以分解成什么式子？如果不是，请把多
项式改变为完全平方式.
(1)x2－2x+4；(2)9x2+4x+1；(3)a2－4ab+4b2；
(4)9m2+12m+4；(5)1－a+a2/4.
3.把下列各式分解因式：
(1)a2－24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；
(3)19x2+2xy+9y2；(4)14a2－ab+b2.
答案：
1.(1)25，(x－5) 2；(2)12xy，(3x+2y) 2；(3)2m/3，（1－m3）
2.
2.(1)不是完全平方式，如果把第二项的“－2x”改为“－4x”，原式就变为x2－4x+4，它是完全平方式；或把第三项的“4”改为1，原式就变为x2－2x+1，它是完全平方式.
(2)不是完全平方式，如果把第二项“4x”改为“6x”，原式变为9x2+6x+1，它是完全平方式.
(3)是完全平方式，a2-4ab+4b2=(a－2b)2.
(4)是完全平方式，9m 2+12m+4=(3m+2) 2.
(5)是完全平方式，1－a+a 2/4=（1－a2）2.
3.(1)(a －12) 2；(2)(2ab+1) 2；
(3)(13x+3y) 2；(4)（12a －b ）2.
四、小结
运用完全平方公式把一个多项式分解因式的主要思路与方法是：
1.首先要观察、分析和判断所给出的多项式是否为一个完全平方式，如果这个多项式是一个完全平方式，再运用完全平方公式把它进行因式分解.有时需要先把多项式经过适当变形，得到一个完全平方式，然后再把它因式分解.
2.在选用完全平方公式时，关键是看多项式中的第二项的符号，如果是正号，则用公式a 2+2ab+b 2=(a+b) 2；如果是负号，则用公式a 2－2ab+b 2=(a －b) 2.
五、作业
把下列各式分解因式：
1.(1)a 2+8a+16；(2)1－4t+4t 2；
(3)m 2－14m+49； (4)y 2+y+1/4.
2.(1)25m 2－80m+64； (2)4a 2+36a+81；
(3)4p 2－20pq+25q 2； (4)16－8xy+x2y 2；
(5)a2b 2－4ab+4； (6)25a 4－40a2b 2+16b 4.
3.(1)m 2n －2mn+1； (2)7am+1－14am+7am －1；
4.(1)41 x 2－4x ； (2)a 5+a 4+41
a 3.
答案：
1.(1)(a+4)2；(2)(1－2t)2；
(3)(m －7) 2；(4)（y+12）2.
2.(1)(5m －8) 2； (2)(2a+9) 2；
(3)(2p －5q) 2；(4)(4－xy) 2；
(5)(ab －2) 2； (6)(5a2－4b2) 2.
3.(1)(mn －1) 2； (2)7am －1(a －1) 2.
4.(1) 41
x(x+4)(x －4)； (2)14a 3 (2a+1) 2.
六、板书设计。