(练习)刚体转动
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dr h r0
dm=ρdv
m
R 2
h
h2rdr
2mr R2
dr
它对桌面的压力为:
dN dm g 2mgr dr R2
与桌面间的摩擦力为:
df dN 2mg rdr
R2
该摩擦力的力矩为:
dM
rdf
sin 900
2mg
R2
r 2dr
整个圆盘的摩擦力矩为:
M
dM
R 2mg
R2
0
r 2dr
其转速随时间变化关系为： m (1 et / ) , 式中 m 540 r s1， 2.0s ．求：(1)t=6s
时电动机的转速．(2)起动后，电动机在 t=6s 时间内转过的圈数．(3)角加速度随时 间变化的规律．
解 (1) 将 t=6s 代入 m(1 et / )
ω 0.95ωm 513 r s1
6-2. 有两个半径相同,质量相等的细圆环A和B,A环的质量分布均
匀, B环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的
转动惯量分别为JA和JB, 则
(A)JAJB.
√(C) JA=JB.
(B) JAJB. (D) 不能确定JA、JB哪个大.
6-3. 一圆盘饶过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向
应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力
矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律 求解。
另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分 成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。
例1 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别
为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同
一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度 :
(√A)必然增大.
(C) 不会改变.
(B) 必然减少. (D) 如何变化,不能确定.
F
·
F
O
6-4.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A)刚体不受外力矩的作用.
√(B)刚体所受合外力矩为零.
(2) 电动机在6s内转过的圈数为
N 1 2
6
dt
1
0
2
6 0
m
(1
et
/
)dt
2.21103 r
(3) 电动机转动的角加速度为
d m et / 540πet /2rad s2 dt
例5 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通 过中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 ．转子的角 加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转 过多少转？
解题指导
• 定轴转动的动力学问题
刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。 其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和 力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应 选用的规律，最后列方程求解。
• 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用 转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点
列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。
r远日 5.26 1012m
例3
发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的
行星.当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
dt 150
得
d
π
t t 2dt
0
150 0
π t 3rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N π (300)3 3104
2π 2π 450
Leabharlann Baidu
例6 半径为R,质量为m的均 匀圆盘在水平桌面上绕中心轴 转动,盘与桌面间的摩擦系数为 μ ,求转动中的摩擦力矩的大小.
解:设盘厚度为h,以盘轴心 为圆心取半径为r, 宽为dr的 微圆环,其质量为
OM
1 2
mv 0 2
GMm r0
1 2
mv
2
GMm R
mv0r0sin(π ) mvR
v
v0r0sin
R
4v0sin
1/ 2
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
v
v01
3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
例4 在高速旋转的微型电机里，有一圆 柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转
轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后
2mg 1 R3 2 mgR
R2 3
3
6-1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是: (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关. (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关. (C) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.
√(D) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.
，这时它离太阳的距离 r远日 ？
v远日
r近 日
r远 日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有
r近日 v近日 r远日 v远日
因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
所以
r远日
r近 日v近 日 v远日
代入数据可, 得
• 第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力
场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动 量守恒定。
• 第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
解
LA d1mv
A d1
m
v
LB d1mv
d2
d3
LC 0
B
C
例2 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，
如图所示，它距离太阳最近的距离是
r近日 8.75,速10率10m
v近日 5.46 104m s-1
；它离太阳最远时的速率 v远日 9.08 102m s-1
解 令 ct，即 d ct ，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
1 ct 2
2
当 t=300s 时
18000 r min 1 600 π rad s1
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2 150
由 d π t 2
(C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变.
dm=ρdv
m
R 2
h
h2rdr
2mr R2
dr
它对桌面的压力为:
dN dm g 2mgr dr R2
与桌面间的摩擦力为:
df dN 2mg rdr
R2
该摩擦力的力矩为:
dM
rdf
sin 900
2mg
R2
r 2dr
整个圆盘的摩擦力矩为:
M
dM
R 2mg
R2
0
r 2dr
其转速随时间变化关系为： m (1 et / ) , 式中 m 540 r s1， 2.0s ．求：(1)t=6s
时电动机的转速．(2)起动后，电动机在 t=6s 时间内转过的圈数．(3)角加速度随时 间变化的规律．
解 (1) 将 t=6s 代入 m(1 et / )
ω 0.95ωm 513 r s1
6-2. 有两个半径相同,质量相等的细圆环A和B,A环的质量分布均
匀, B环的质量分布不均匀,它们对通过环心并与环面垂直的轴的
转动惯量分别为JA和JB, 则
(A)JAJB.
√(C) JA=JB.
(B) JAJB. (D) 不能确定JA、JB哪个大.
6-3. 一圆盘饶过盘心且与盘面垂直的轴O以角速度按图示方向
应用刚体的转动动能定理求解。对于仅受保守力
矩作用的刚体转动问题，也可用机械能守恒定律 求解。
另 外：实际问题中常常有多个复杂过程，要分 成几个阶段进行分析，分别列出方程，进行求解。
例1 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别
为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3
转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同
一条直线的力F沿盘面同时作用到圆盘上,则圆盘的角速度 :
(√A)必然增大.
(C) 不会改变.
(B) 必然减少. (D) 如何变化,不能确定.
F
·
F
O
6-4.刚体角动量守恒的充分而必要的条件是 (A)刚体不受外力矩的作用.
√(B)刚体所受合外力矩为零.
(2) 电动机在6s内转过的圈数为
N 1 2
6
dt
1
0
2
6 0
m
(1
et
/
)dt
2.21103 r
(3) 电动机转动的角加速度为
d m et / 540πet /2rad s2 dt
例5 在高速旋转圆柱形转子可绕垂直其横截面通 过中心的轴转动．开始时，它的角速度 ω0 0 ， 经300s 后，其转速达到 18000r·min-1 ．转子的角 加速度与时间成正比．问在这段时间内，转子转 过多少转？
解题指导
• 定轴转动的动力学问题
刚体定轴转动的动力学问题，大致有三种类型题。 其解题基本步骤归纳为：首先分析各物体所受力和 力矩情况，然后根据已知条件和所求物理量判断应 选用的规律，最后列方程求解。
• 第一类：求刚体转动某瞬间的角加速度，一般应用 转动定律求解。如质点和刚体组成的系统，对质点
列牛顿运动方程，对刚体列转动定律方程，再列角 量和线量的关联方程，并联立求解。
r远日 5.26 1012m
例3
发射一宇宙飞船去考察一 质量为 M 、半径为 R 的
行星.当飞船静止于空间距行星中心 4 R 时，以速度v 0发射一 质量为 m 的仪器。要使该仪器恰好掠过行星表面
求 θ角及着陆滑行时的速度多大？
解 引力场（有心力）
v0
系统的机械能守恒
质点的动量矩守恒
m r0
v R
dt 150
得
d
π
t t 2dt
0
150 0
π t 3rad
450
在 300 s 内转子转过的转数
N π (300)3 3104
2π 2π 450
Leabharlann Baidu
例6 半径为R,质量为m的均 匀圆盘在水平桌面上绕中心轴 转动,盘与桌面间的摩擦系数为 μ ,求转动中的摩擦力矩的大小.
解:设盘厚度为h,以盘轴心 为圆心取半径为r, 宽为dr的 微圆环,其质量为
OM
1 2
mv 0 2
GMm r0
1 2
mv
2
GMm R
mv0r0sin(π ) mvR
v
v0r0sin
R
4v0sin
1/ 2
sin
1 4
1
3GM 2 Rv 0 2
v
v01
3GM 2 Rv 0 2
1/ 2
例4 在高速旋转的微型电机里，有一圆 柱形转子可绕垂直其横截面并通过中心的转
轴旋转．开始起动时，角速度为零．起动后
2mg 1 R3 2 mgR
R2 3
3
6-1. 关于刚体对轴的转动惯量，下列说法中正确的是: (A) 只取决于刚体的质量，与质量的空间分布和轴的位置无关. (B) 取决于刚体的质量和质量的空间分布，与轴的位置无关. (C) 只取决于转轴的位置，与刚体的质量和质量的空间分布无关.
√(D) 取决于刚体的质量，质量的空间分布和轴的位置.
，这时它离太阳的距离 r远日 ？
v远日
r近 日
r远 日
v近日
解 彗星受太阳引力的作用，而引力通过了 太阳，所以对太阳的力矩为零，故彗星在运 行的过程中角动量守恒. 于是有
r近日 v近日 r远日 v远日
因为 r近日 v近日 ，r远日 v远日
所以
r远日
r近 日v近 日 v远日
代入数据可, 得
• 第二类：求刚体与质点的碰撞、打击问题。把它 们选作一个系统时，系统所受合外力矩常常等于 零，所以系统角动量守恒。列方程时，注意系统 始末状态的总角动量中各项的正负。对在有心力
场作用下绕力心转动的质点问题，可直接用角动 量守恒定。
• 第三类：在刚体所受的合外力矩不等于零时，比 如木杆摆动，受重力矩作用，求最大摆角等一般
求 此时刻质点对三个参考点的动量矩
解
LA d1mv
A d1
m
v
LB d1mv
d2
d3
LC 0
B
C
例2 哈雷慧星绕太阳运行时的轨道是一个椭圆，
如图所示，它距离太阳最近的距离是
r近日 8.75,速10率10m
v近日 5.46 104m s-1
；它离太阳最远时的速率 v远日 9.08 102m s-1
解 令 ct，即 d ct ，积分
dt
t
d c tdt
得 1 ct 2
0
0
2
1 ct 2
2
当 t=300s 时
18000 r min 1 600 π rad s1
c
2
t2
2 600π 3002
π 75
rad s3
1 ct 2 π t 2
2 150
由 d π t 2
(C)刚体所受的合外力和合外力矩均为零. (D) 刚体的转动惯量和角速度均保持不变.