材料力学组合变形

1.2m
以两杆为研究对象，由对称性，只要分析一 半部分即 AC 杆，将力沿杆轴向和横向分解
B
3
3
F Ax ? F AV ? ?5 ? 3 ( kN )
5
5
FBV
4
4
F Ay ? F AV ? ?5 ? 4 ( kN )
5
5
AC 杆内任一截面上有：
F N ? ? F Ax F s ? F Ay M ? F Ay ? x
? 33 cos 15
? 31 . 9 kNm
Fl / 4
用 Iz / Iy 值很大的截面承受 斜弯曲或方向不很稳定的横 力是不适宜的。
? max ?
M y max Wy
? M z max Wz
查表得： W z ? 692 ? 10 ? 6 m 3 W y ? 70 .8 ? 10 ? 6 m 3
8 . 54 ? 10 3 31 . 9 ? 10 3
例：图示跨长为 l =4m 的简支梁,由№32a 工字钢制成。作用在跨中的横力F = 33kN , 其作用线与横截面铅垂对称轴间的夹角 φ = 15o ，且通过截面的形心。已知钢的许用 应力[σ]=160MPa 。试校核梁的正应力强度。
F=33kN l = 4m
M max M ymax M zmax
?
6
4
?
?
? ? ? ? 124
? 10 ? 6 m 3
32
?? ? 7 ? ??
? max ? ??
FN
?
M
? min ?
AW
? 3 ? 10 3
8 ? 10 3
? ? 63 .8
?
? 4 .08 ? 10 ? 3 124 ? 10 ? 6
?? ? ? 65 .2
( MPa
)
? t max ? 63 .8 MPa
y
?
(? )
( ? )( ? ) z y
z
Mz
M
D2( ?
y (?
) )( ?
)
O FN
( ? ) D1
( ? )( ? )
(? ) x
( ? )( ? )
一、横向力与轴向力同时作用时的拉 (压)弯组合变形
轴力引起的正应力： 横向力引起的正应力：
? ?? FN A
? ?? ? M y z ? M z y
M
y
z 0
?
Mz
y 0
?
0
Iy
Iz
中性轴为过坐标原点的直线，中性轴与 y 轴的夹
角为θ ，有
tan ?
?
z0
?
M
z
Iy ?
?
Iy tan ?
y0
M y Iz
Iz
截面内处于与中性轴平行的直线上的点弯曲正应 力相等，其大小与该点到中性轴的距离成正比。
作平行于中性轴的两直线，分别与截面周边相切
的D1、D2 两点分别为拉应力和压应力最大的点。
(? )
y (? )
(? )
(? )
M z? M y D2
y?
O
z
Mz
x
(? )
(? )
(? )
(? )
D1
M?
M
2 y
?
M
2 z
tan ? ? M z My
按如图选取坐标和弯矩分量，则截面内任一点处的弯
曲正应力为：
? ? ? ? ? ? ?? ? M y z ? M z y
Iy
Iz
令
? ?0
得中性轴方程
?
Iy tan ?
M y Iz
Iz
ay ? FN ?I z Mz A
例：图示简支刚架由两根无缝钢管制成。已知钢管的外径为 140mm ，壁厚为10mm 。 试求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。
10kN C
A
FAH
FAV
1.6m
1.6m
10kN C
解：求支反力
F AH
?0
F AV
?
F BV
? 5 kN
Iy
Iz
截面内任一点处的正应力为：
? ? ? ?? ? ?? ? F N ? M y z ? M z y
A
Iy
Iz
令 ? ? 0 得中性轴方程 F N ? M y z 0 ? M z y 0 ? 0
A
Iy
Iz
中性轴为直线，中性轴与 y 轴的夹角为θ ，在轴 y上的截距为 ay ，有
来自百度文库tan ?
?
M
z
Iy ?
解：载荷过梁的弯曲中心但不平行于主惯性 平面，为斜弯曲。作弯矩图确定危险截面。
Fl 33 ? 10 3 ? 4
M max ?
?
? 33 kNm
4
4
其沿两主惯性轴的分量为：
?
M y max ? M max ?sin ? ? 33 sin 15 ? 8 .54 kNm
?
M z max
?
M max
?cos ?
FAx A
FAV
FAy
危险截面在 C ( x=2m ) 处，内力为：
B
F N
?
? 3 kN
M ? 8 kNm
FBV
? max
? ??
FN
?
M
? min ?
AW
例：图示简支刚架由两根无缝钢管制成。已知钢管的外径为 140mm ，壁厚为10mm 。 试求危险截面上的最大拉应力和最大压应力。
10kN C
A
FAH
FAV
1.6m
1.6m
10kN C
FAx A
FAV
FAy
1.2m B FBV
B FBV
解：
A?
?
(D 2 ? d 2 )
4
? ?
( 0 .14 2 ? 0 . 12 2 ) ? 40 .8 ? 10 ? 4 m 2
4
W ? ? D 3 (1 ? ? 4 )
32
?
?
? 0 . 14 3
? ?1 ?
第七章 组合变形杆的强度
在工程实际中，受力构件往往同时发生两种或两种以上的基本变形。若与各种基 本变形形式相应的应力应变是同量级而不能忽略，则构件的变形称为 组合变形。 在线弹性、小变形条件下，可利用叠加原理对组合变形杆件进行强度计算。
7.1 斜弯曲 两个正交平面弯曲的组合
工程中有些梁的横向载荷虽然通过弯曲中心，但不与梁的任一形心主惯性平面平 行。变形后横截面上中性轴将不再垂直于载荷平面，挠曲线不在与载荷平行的平 面内，称为斜弯曲。将横向载荷分解为两主惯性平面内的平面力系，每个分力系 单独作用时均产生平面弯曲，因此斜弯曲是两个正交平面弯曲的组合。
? c max ? 65 .2 MPa
7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心
yF
yF A
O zF
z
二、偏心拉伸和压缩 杆内任一截面上的内力力为：
FN ? ? F M y ? ? F ?z F M z ? F ?y F
截面内任一点 E 处的正应力为：
?
?
FN
? My z? Mz y
? max
?
?
? 167 MPa
70 .8 ? 10 ? 6 692 ? 10 ? 6
? [? ] ? 105 %
梁的强度在工程允许的范围内
若 ? ?0
? max
M
?
max
Wz
33 ? 10 3
?
? 47 .7 MPa
?6
692 ? 10
7.2 弯曲与拉伸(压缩)的组合 截面核心
弯曲与拉伸(压缩)的组合分为两种情况，一种是横向力与轴向力同时作用下产生 的弯曲与拉伸 (压缩)的组合；另一种是由偏心拉 (压)引起的组合变形。