贝叶斯准则例题

一、贝叶斯准则：
例题1：
设二元假设检验的观测信号模型为：
H 0: x = -1+n H 1: x = 1+n
其中n 是均值为0，方差为21
2
n
σ=的高斯观测噪声。

若两种假设是等先验概率的，而代价
因子为000110111,8,4,2,c c c c ==== 试求贝叶斯（最佳）表达式和平均代价C:
解：因为两种假设是等先验概率的
所以 011
()()2
P H P H ==
，这样，贝叶斯准备的似然比函数()x λ为： ① 12
2
11
022
1(1)exp 1122(|)22()exp(4)(|)(1)1exp 112222x p x H x x p x H x πλπ⎛⎫⎡⎤
⎪⎢⎥
-- ⎪⎢⎥
⨯⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦==∙=⎡⎤
⎛⎫⎢⎥
+ ⎪-⎢⎥
⎪⨯⎢
⎥⨯ ⎪⎣
⎦⎝
⎭ 而似然比检测门限η为：010********
(41)
()()21()()(82)
2
P H c c P H c c η--=∙=-- =1/2
于是贝叶斯判决表达式为1
1exp(4)
2H x H ><，
两边取自然对数，并整理的最简判决表达式为1
0.1733H x H >-<
②现在计算判决概率01(|)P H H 和00(|)P H H ，由于本例中检验统计量()l x x =，所以在两个假设下检验统计量的概率密度函数分别为：
12
2
01
2
2
11(1)(|)exp 1122221(1)(|)exp 112222l p l H l p l H ππ⎛⎫⎡⎤
⎪⎢⎥
+=-
⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤
⎪⎢⎥
-=-
⎪⎢⎥⨯⨯ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦
这样，
0.1733
01112
2
0.1733(|)(|)1(1)exp 0.04861
12222P H H p l H dl
l dl π--∞
--∞=
⎛⎫⎡⎤
⎪⎢⎥
-=-= ⎪⎢⎥
⨯
⨯ ⎪⎢⎥
⎝
⎭⎣
⎦⎰
⎰
0.1733
0001
2
20.1733(|)(|)1(1)exp 0.87901
12222P H H p l H dl
l dl π--∞
--∞=
⎛⎫⎡⎤
⎪⎢⎥
+=-= ⎪⎢⎥
⨯
⨯ ⎪⎢⎥
⎝⎭⎣
⎦⎰
⎰ 最后，利用贝叶斯平均代价表达式，
01011110111010100000()()()()(|)()()(|)
C P H c P H c P H c c P H H P H c c P H H =++---
代入0000110(),(|),(|),P H P H H P H H c 等各数据，计算得： 1.8269C
=
总结：如果我们把判决表达式中的检测门限-0.1733稍作调整，例如调整为-0.1700极品-0.1800，
则计算出的平均代价均大于检测门限为-0.1733的平均代价，这一结果从侧面验证了贝叶斯准则的确能使平均代价最小。

例题2：在二元数字通信系统中，假设为H 1时，信源输出为常值电压A ，假设为H 0时，信源输
出为0电平；信号在通信信道中传输过程中叠加了高斯噪声n(t)；每种信号的持续时间为（0，T ）；在接收端对接收到信号x(t)在（0，T ）时间内进行了N 次独立采样，样本为
(1,2,...)k x k N =,已知噪声样本k n 是均值为0，方差为2
n σ的高斯噪声。

试求
（1） 建立信号检测系统的信号模型；
（2） 若似然函数比检测门限η已知，确定似然比检验的判决表达式； （3） 计算判决概率1011(|)(|)P H H P H H 和 解：①在两个假设下，接收信号分别为
10H t T H t T
≤≤≤≤： x(t)=n(t) 0： x(t)=A+n(t) 0 A ≥0
经（0,T ）时间内N 次独立采样后，获得
101,2,...1,2,...k k k k H n k N H n k N
==： x = ： x =A+ A ≥0，2
~(0,
)k n n N σ
②求判决表达式：因为噪声样本2
~(0,)k n n N σ，所以其概率密度函数pdf 为：
1
22
221()exp 22k k n n n p n πσσ⎛⎫⎡⎤
=- ⎪
⎢⎥⎝⎭⎣⎦
在两个假设下，观测信号样本k x 的概率密度函数，即通常所说的似然函数分别为：
122
0221
22
122
1(|)exp 221()(|)exp 22k k n n k k n n x p x H x A p x H πσσπσσ⎛⎫⎡⎤
=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
考虑到N 次采样时候，两个假设的观测信号样本(1,2,...)k x k N =之间是各自独立同分布，
所以两个假设下N 维观测矢量的pdf 分别为
22
002211
2
2
1122111(|)(|)exp 221()(|)(|)exp 22N N
N k k k k n n N
N
N
k k k k n n x p x H p x H x A p x H p x H πσσπσσ====⎛⎫⎡⎤
==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤
-==- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∏
∑∏∑
似然比函数()x λ为：22
1222110(|)()exp()(|)22N N k k k k n n n
p x H A x NA x x p x H λσσσ===
=-∑∑ 于是似然比检验为：1
222
10
exp()2N k k k n n H A x x H ησσ=>
-<
∑ 两边取自然对数并整理得：1
2
10
1()ln 2
N n k k H A
l x x N NA
H σηγ=>=+=<∑ ③ 因为检验统计量1
1
()N
k
k l x x
N
==
∑在假设H 0下，样本(1,2,...)k k x n k N ==，
且2~(0,)k n n N σ，各样本之间相互统计独立，所以样本2
~(0,)k n x N σ且样板之间也相互统计独立，所
以，21
1()~(0,
)N
n
k
k l x x
N N
N
σ==
∑
于是，对于假设H 0和H 1情况下，其pdf 分别为：
122
02211
2
2
1221(|)exp 22()(|)exp 22N k n n N
k n n N x p x H N x A p x H πσσπσσ==⎛⎫⎡⎤
=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎛⎫⎡⎤-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
∑∑
则概率分别为
122
102211
22
11221(|)exp 22ln 2()(|)exp 22ln 2N k n n N k n n N x P H H dx d Q d
N x A P H H dx d Q d
γ
γ
πσσηπσση∞
=∞
=⎛⎫⎡⎤
=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦⎛⎫⎡⎤
-=- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦
⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦∑⎰∑⎰
其中，2
2n
NA
d σ=
，如何求0001(|)(|)P H H P H H 和？？，取值（—∞，γ）。