8.1幂的运算(1)
沪科版七下数学幂的运算同底数幂的乘法习题课件
第8章 整式乘法与因式分解
8.1 幂的运算 同底数幂的乘法
提示：点击 进入习题
核心必知
1 相加；am＋n
基础巩固练
答案显示
1A
6D
2D
7 a10
3A
8 xy＝z
4B
9 见习题
5C
提示：点击 进入习题
10 A
11 D
能力提升练
12 (1)0.32a (2)x5
答案显示
13 见习题
14 见习题 15 见习题 16 见习题 17 见习题 18 见习题
B．(－x－y)·(x＋y)2
C．(x＋y)2＋(x＋y)3
D．－(x－y)2·(－x－y)3
5．若 a4·an＋1＝a9，则 n 等于( C ) A．2 B．3 C．4 D．5
6．计算 103×10 000×102 的结果是( D )
A．106
B．107
C．108
D．109ຫໍສະໝຸດ 【点拨】原式＝103×104×102＝103＋4＋2＝109.
19．阅读材料： 求 1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＋22018 的值．
解：设 S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＋22 018 ①，将等式两边同 时乘以 2，得 2S＝2＋22＋23＋24＋25＋…＋22 018＋22 019 ②， ②－①，得 2S－S＝22019－1，即 S＝22019－1， 所以 1＋2＋22＋23＋24＋…＋22 017＋22018＝22019－1.
A．a5
B．a6
C．a8
D．a9
2．[2019·安徽]计算 a3·(－a)的结果是( D )
A．a2
B．－a2
C．a4
8.1.2 幂的乘方与积的乘方
8.1 幂的运算2.幂的乘方与积的乘方一、教学要求、1. 体会幂的意义，会用同底数幂的乘法性质进行计算，并能解决一些实际问题。
2. 会用幂的乘方、积的乘方性质进行计算，并能解决一些实际问题。
二、重点、难点： 1. 重点： （1）同底数幂的乘法性质及其运算。
（2）幂的乘方与积的乘方性质的正确、灵活运用。
2. 难点： （1）同底数幂的乘法性质的灵活运用。
（2）探索幂的乘方、积的乘方两个性质过程中发展推理能力和有条理的表达能力。
三. 知识要点：1. 同底数幂的意义几个相同因式a 相乘，即a a a n ··…·个，记作a n，读作a 的n 次幂，其中a 叫做底数，n 叫做指数。
同底数幂是指底数相同的幂，如：23与25，a 4与a ，()a b 23与()a b 27，()x y -2与()x y -3等等。
注意：底数a 可以是任意有理数，也可以是单项式、多项式。
2. 同底数幂的乘法性质 a a a m n m n ·=+（m ，n 都是正整数）这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
当三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，例如：a a a a m n p m n p ··=++（m ，n ，p 都是正整数）3. 幂的乘方的意义 幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如()a 53是三个a 5相乘读作a 的五次幂的三次方，()a m n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方()()a a a a a a a a a a n a n a m n m m m m m m m n 5355555553======++⨯+++⨯····…·个个…4. 幂的乘方性质()a a m n mn =（m ，n 都是正整数）这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘。
注意：（1）不要把幂的乘方性质与同底数幂的乘法性质混淆，幂的乘方运算，是转化为指数的乘法运算（底数不变）；同底数幂的乘法，是转化为指数的加法运算（底数不变）。
沪科版数学七年级下册8.1《幂的运算》教学设计
沪科版数学七年级下册8.1《幂的运算》教学设计一. 教材分析《幂的运算》是沪科版数学七年级下册第8.1节的内容，主要介绍了同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等运算规则。
这部分内容是初中学段数学的重要基础，也是后续学习代数式、函数等知识的前提。
教材通过具体的例子引导学生掌握幂的运算规律，培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
二. 学情分析七年级的学生已经掌握了整数、分数和小数的四则运算，对于幂的概念和简单的幂运算可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要通过生动的例子和生活中的实际问题，激发学生的学习兴趣，引导学生理解和掌握幂的运算规律。
同时，七年级学生的抽象思维能力正在发展，需要通过大量的练习和操作活动，来巩固和提高幂的运算能力。
三. 教学目标1.理解幂的运算概念，掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等运算规则。
2.培养学生的逻辑思维能力和运算能力。
3.能够运用幂的运算知识解决生活中的实际问题。
四. 教学重难点1.重点：同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方、合并同类项等幂的运算规则。
2.难点：理解幂的运算规律，能够灵活运用幂的运算知识解决实际问题。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过设置问题和情境，引导学生探究幂的运算规律。
2.运用直观教具和多媒体辅助教学，帮助学生形象地理解幂的运算概念。
3.采用分组讨论和合作学习的方式，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
4.注重练习和操作活动，提高学生的运算能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学材料和课件，如PPT、教案、练习题等。
2.准备一些实际问题，用于引导学生运用幂的运算知识解决实际问题。
3.准备一些直观教具，如幂的运算图表、幂的运算模型等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过设置一个实际问题，如“一个正方形的边长是2，求这个正方形的面积”，引导学生思考如何计算面积。
然后引出幂的运算概念，告诉学生，面积可以表示为边长的平方，即2的平方。
8.1同底数幂的乘法1全面版
思维拓展训练
填空： （1）x5 ·（ x3 ）=x 8 （2）a ·（ a5 ）=a6 （3）ｘ3m ＝ xm ·（ x2m ） （4）x ·（ x6） = x3 ·（x4）= x7
（5）am+2 ·（ am ）＝a2m+2 = a2m ·( a2 )
思维拓展训练
选择题：
1、y2m+2 可写成( B )
A. 2ym+1 B. y2m·y2 C.y2·ym+1 D.y2m+ y2
2、若xm =3, xn =2,则xm+n=( B )
A. 5 B. 6 C.—5 D.—6
思维拓展训练
选择题：
3.若x、y是正整数,且2x·2y=25,则x、y的值有（A ）
A. 4对 B. 3对 C. 2 对 D. 1对
（2）原式 = x1 +7 = x8
（3）原式 = ( —
1 2
)5+6+1
=（—
12）12
=（
1 2
）12
例1.计算： （4） － a3 · a6 ；
（5） x ·x 2·x 3
（6）(x+y)2· (x+y)3
(7) x3m ·x2m—1（m为正整数
解：（4） 原式 = －a3 + 6 =－a9
说明： 在幂的运算中，经常会用到如下一些变形：
(1)(-a)2=a2,(-a)4=a4,(-a)6=a6…… (2)(-a)3= —a3,(-a)5= —a5,(-a)7=—a7…… (3)(b-a)2=(a-b)2,(b-a)4=(a-b)4…… (4)(b-a)3= —(a-b)3,(b-a)5= —(a-b)5……
同底数幂的乘法
知识点 1 同底数幂的乘法的法则
我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号” 计算机每秒可进行2.57×1015次运算，问它工作1 h (3.6×103 s)可进行多少次运算？
2.57×1015× 3.6×103 =2.57× 3.6×1015×103 =？ 解决这个问题需要研究同底数幂的乘法.
怎样计算，am • an? 先完成下表：
21、怠惰是贫穷的制造厂。 22、先知三日，富贵十年。 23、自信是向成功迈出的第一步。——爱因斯 坦 24、一个人除非自己有信心，否则不能 带给别 人信心 ；已经 信服的 人，方 能使人 信服。 ——麦 修·阿诺 德 25、凡是挣扎过来的人都是真金不怕火 炼的； 任何幻 灭都不 能动摇 他们的 信仰： 因为他 们一开 始就知 道信仰 之路和 幸福之 路全然 不同， 而他们 是不能 选选择 的，只 有往这 条路走 ，别的 都是死 路。这 样的自 信不是 一朝一 夕所能 养成的 。你绝 不能以 此期待 那些十 五岁左 右的孩 子。在 得到这 个信念 之之前 ，先得 受尽悲 痛，流 尽眼泪 。可是 这样是 好的， 应该要 这样… …——罗 曼·罗 兰 26、一个人在科学探索的道路上，走过 弯路， 犯过错 误，并 不是坏 事，更 不是什 么耻辱 ，要在 实践中 勇于承 认和改 正错误 。——爱因斯 坦88我 们的理 想应该 是高尚 的。我 们不能 登上顶 峰，但 可以爬 上半山 腰，这 总比待 在平地 上要好 得多。 如果我 们的内 心为爱 的光辉 所照亮 ，我们 面前前 又有理 想，那 么就不 会有战 胜不了 的困难 。——普列姆 昌德 27、旁观者的姓名永远爬不到比赛的计 分板上 。
数学人教版八年级上册幂的运算
教学设计8.1 幂的运算----- 幂的乘方一、教学背景（一）教材分析本节课是在前面学习的基础上进一步学习幂的乘方，是对幂的意义的理解、运用和深化．让学生体会幂的乘方运算是一种比乘法还要高级的运算，提高学生数学运算能力.本节内容又是整式的乘法的主要依据，也为后面学习方程、函数做了准备．（二）学情分析学生已经学过乘方，并掌握代数式的意义，这为本课奠定了基础．从学生的认知规律看，学生已学习了乘方的意义﹑幂的意义以及同底数幂的乘法，为学习幂的乘方运算在教学中提供了引导学生讨论交流提供了保证．二、教学目标：1 经历探索幂的乘方运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力.2 了解幂的乘方的运算的性质，培养学生综合运用知识的能力．三、重点、难点：重点：理解并正确运用幂的乘方的运算性质.难点：幂的乘方的运算性质的探究过程及运用.四、教学方法分析及学习方法指导教学方法：利用引导探究法,让学生以“体验－归纳－概括”为主要线索，在合作探索与交流中获得知识，使不同层次的学生都有收获和发展.把幂的乘方的性质应用于计算，培养学生使用一般原理进行演绎推理的能力．学法指导：关键是准确理解幂的乘方公式的意义，只有准确地判别出其适用的条件，才可以较容易地应用公式解题．本节主要学习幂的乘方性质后，学习了幂的两个运算性质，深刻理解幂的运算的意义，能熟练地进行幂的乘方运算．五、教学过程：（一）知识回顾：1 幂的意义是什么？2 同底数幂的乘法运算性质是什么？设计意图：复习旧知识，为学习新知识做铺垫。
（二）情境导入：一个正方体的边长是210cm,则它的体积是多少? 议一议: ()3210怎样计算呢?完成教材P47页填表:设计意图：从实例引入课题，强化数学应用意识，使学生真真切切地感受到幂的乘方运算因实际需要而生的思想，从而激发学生的求知欲.引导学生主动反思问题,回顾解决问题的方法,为进入新课做准备. （三）探究新知：计算下列各式(1) ()426=26×26×26×26= 22226+++=86(2) ()322= 22×22×22= 2222++ = 62(3) ()2m a= m a ⋅ m a =m ma+= 2ma(4) ()4m a = m m m m a a a a ⋅⋅⋅=m m m m a +++=4m a你能猜想出()nm a 的结果吗？()mn a nmm m m a a a a =⋅⋅⋅个 （ 乘方的意义）n mm m m a ++⋅⋅⋅+=个 （同底数幂相乘的法则）mn a =()nm a =mna（m 、n 都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘.“一般”的过程，培养学生思维的严密性，也感受了数学学习的严谨性，积累了解决问题的经验和方法. （四）合作学习:例2 计算 （1）()3510 （2）()24x （3）()32a -（五）自主学习：1 判断题()()()()()()()()325326222232 3 2 3 3 2122225101 (x )2345 ()6 [()]()7 ()()n n n n mx x x x x x x x x x x x am a b b x y x y +⨯++=⋅=⋅⋅=⋅===-=+=+（六）拓展学习：2 ()3242a a a⋅+3435233243323)( 2 )() ( 3 )() ()() ()a x y y a a x x --⋅-⋅-⋅-3 计算（1）（-； ；； （4） （5） 设计意图：分层次训练学生对法则的掌握程度，使学生对法则的理解更加熟练、准确，解决本节课的重点内容. （六）课堂小结：1 本节主要学习幂的乘方性质()nm a =mna （m 、n 都是正整数）2 幂的乘方性质用语言表达为3 弄清同底数幂相乘与幂的乘方的区别：前者是指数＿＿＿，后者是指数＿＿（七）布置作业:1 必做：P54习题8.1：第2题2 选做： ()()32311 = 2,2 32,35,3x x n m m n a a +-===若则若则＝ 板书设计：预设反思：。
沪科版（2012）初中数学七年级下册 8.1.1 幂 的 运 算 教案
8.1 幂的运算（第1课时）-教案一、教学背景（一）教材分析本章所处的地位是整式加减的后续学习，同时也是初中代数关于式的学习的重要内容，可见本章既是对前面知识的运用和开拓，又是后续知识的基础，如一元二次方程的解法。
而本节幂的运算是本章的重点，是学习整式乘除的基础。
本章首先从幂的运算性质入手，掌握第一课时同底数幂的乘法有利于理解幂的其它运算性质。
（二）学情分析学生在七年级上学期学习了幂的概念，为推导和掌握同底数幂的乘法运算性质奠定了基础。
学生在经历乘方意义的数学活动经验基础上，初步为学习同底数幂乘法性质提供了思维方式.有利于分析和解决同底数幂的乘法运算。
七年级下学生的认知发展已具备了观察、猜想、计算、推理的能力，富有积极思考、主动探索、合作交流情感基础，为推导同底数幂的乘法运算性质提供了保证。
二、教学目标1. 经历探索同底数幂乘法运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力。
2. 了解同底数幂乘法运算的性质，运用性质熟练进行计算，并能解决一些实际问题。
3. 通过参与数学学习活动，培养学生独立思考及与他人交流合作的学习习惯。
三、重点、难点重点：理解并正确运用同底数幂的乘法法则。
难点：同底数幂的乘法法则的探究过程。
四、教学方法分析及学习方法指导教学方法：教学时，创设教学情境，经历探索同底数幂的乘法的性质的发生形成过程，与同学们一道探究是怎样由特殊到一般，有具体到抽象概括得到性质的，在探究过程中，要给学生留出探索和交流空间，使学生在思考实践过程中概括出同底数幂的乘法运算性质。
学法指导：学习中，复习乘方的意义，引导学生通过具体数字的同底数幂的乘法的运算，经过观察、概括、猜想推理.让学生充分合作交流，确认同底数幂乘法的性质.通过例题与练习，使学生能够运用同底数幂的乘法的性质进行简单的运算。
五、教学过程（一）情景导入（视频播放）光在真空中的速度大约是3×510千米/秒，太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星，它发出的光到达地球大约需要4.22年。
七年级数学下册 8.1 幂的运算 零指数、负整数指数教案 沪科版(2021年整理)
安徽省固镇县七年级数学下册8.1 幂的运算零指数、负整数指数教案（新版）沪科版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（安徽省固镇县七年级数学下册8.1 幂的运算零指数、负整数指数教案（新版）沪科版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为安徽省固镇县七年级数学下册8.1 幂的运算零指数、负整数指数教案（新版）沪科版的全部内容。
幂的运算教学目标知识与能力:了解零指数，负指数的意义;掌握负整数指数转化为正整数指数的方法过程与方法:利用“假设同底数幂的除法性质对于m≤n时仍成立”，再通过两种算法比较来说明零指数幂和负指数幂的合理性．情感态度与价值观:培养学生观察思考，合作交流的意识和认识知识发展的价值。
重难点重点：掌握负整数指数转化为正整数指数的方法.难点：理解负指数幂的意义。
教学过一、学习目标1，了解零指数，负指数的意义.2，掌握负整数指数转化为正整数指数的方法.3,会运用零指数.负整数指数幂的运算性质进行计算。
二、自学提纲看书本第51页到第52页内容，思考以下问题：1，根据除法运算中，一个数除以它本身商为1，口答:33÷33=_____;108108=______;a n÷a n=_____(a≠0）若按同底数幂的除法性质:a m÷a n=a m—n（a≠0）口答：33÷33=33—3=30 =____, 108÷108=108-8=100 =____ ， a n÷a n=a n-n=a0 =____.你能得出什么结论？2，根据同底数幂相乘（除)运算及分数约分，填空：讨论补充记录程教学过(1）,2225523333==____33___÷=⨯(2)，104÷108=____=____=_____(3），若m<n,a m÷a n=_____=______=______若按同底数幂的除法运算，填空：(设p=n-m， n<m)32÷35=______=_______;104÷108=_____=_____；a m÷a n=_____=_____.你得出什么结论?3，自学例5三、合作探究1,根据除法运算中,一个数除以它本身商为1，得33÷33=1; 108÷108=1； a n÷a n=1(a≠0）若按同底数幂的除法性质，得33÷33=33-3=30； 108÷108=108-8=100; a n÷a n=a n-n=a0(a≠0）结论：30=1，100=1,a0=1（a≠0)于是约定：a0=1（a≠0）语言表述:任何一个不等于零的数的零指数幂等于1。
[数学]-专题8.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(苏科版)(原版)
![[数学]-专题8.1 幂的运算【八大题型】(举一反三)(苏科版)(原版)](https://img.taocdn.com/s3/m/7def4bf31b37f111f18583d049649b6648d7099c.png)
专题8.1 幂的运算【八大题型】【苏科版】【题型1 幂的基本运算】 (1)【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】 (2)【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】 (2)【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】 (2)【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】 (3)【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】 (3)【题型7 幂的运算法则（混合运算）】 (3)【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】 (4)【题型1 幂的基本运算】【例1】（2022•谷城县二模）下列各选项中计算正确的是（ ）A ．m 2n ﹣n ＝n 2B ．2（﹣ab 2）3＝﹣2a 3b 6C ．（﹣m ）2m 4＝m 8D ．x 6y x 2=x 3y 【变式1-1】（2022秋•南陵县期末）(512)2005×(225)2004=（ ）A ．1B ．512C ．225D ．(512)2003 【变式1-2】（2022秋•孝南区月考）计算x 5m +3n +1÷（x n ）2•（﹣x m ）2的结果是（ ）A ．﹣x 7m +n +1B ．x 7m +n +1C ．x 7m ﹣n +1D ．x 3m +n +1【变式1-3】（2022秋•温江区校级期末）下列等式中正确的个数是（ ）①a 5+a 5＝a 10；②（﹣a ）6•（﹣a ）3•a ＝a 10；③﹣a 4•（﹣a ）5＝a 20；④25+25＝26．A．0个B．1个C．2个D．3个【题型2 幂的运算法则逆用（比较大小）】【例2】（2022春•宣城期末）已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a、b、c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．b＞a＞c C．b＞c＞a D．a＞c＞b【变式2-1】（2022春•晋州市期中）阅读：已知正整数a，b，c，若对于同底数，不同指数的两个幂a b和a c（a≠1），当b＞c时，则有a b＞a c；若对于同指数，不同底数的两个幂a b和c b，当a＞c时，则有a b＞c b，根据上述材料，回答下列问题．（1）比较大小：520420，9612741；（填“＞”“＜”或“＝”）（2）比较233与322的大小；（3）比较312×510与310×512的大小．[注（2），（3）写出比较的具体过程]【变式2-2】（2022秋•滨城区月考）已知a＝3231，b＝1641，c＝821，则a，b，c的大小关系是（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞a＞c【变式2-3】（2022春•泰兴市校级月考）若a＝2555，b＝3444，c＝4333，d＝5222，试比较a、b、c、d的大小．（写出过程）【题型3 幂的运算法则逆用（求代数式的值）】【例3】（2022春•巨野县期中）已知：52n＝a，9n＝b，则154n＝．【变式3-1】（2022秋•西青区期末）若2x＝a，16y＝b，则22x+4y的值为．【变式3-2】（2022春•萧山区期中）若x m＝5，x n=14，则x2m﹣n＝（）A．52B．40 C．254D．100【变式3-3】（2022春•高新区校级月考）已知32m＝a，27n＝b．求：（1）34m的值；（2）33n的值；（3）34m﹣6n的值．【题型4 幂的运算法则逆用（整体代入）】【例4】（2022•铁岭模拟）若a+3b﹣2＝0，则3a•27b＝．【变式4-1】（2022秋•淇滨区校级月考）当3m+2n﹣3＝0时，则8m•4n＝8．【变式4-2】（2022春•东台市期中）已知a﹣2b﹣3c＝2，则2a÷4b×(18)c的值是．【变式4-3】（2022春•昌平区期末）若5x﹣2y﹣2＝0，则105x÷102y＝．【题型5 幂的运算法则逆用（求参）】【例5】（2022秋•西城区校级期中）若a5•（a y）3＝a17，则y＝，若3×9m×27m＝311，则m的值为．【变式5-1】（2022春•建湖县期中）规定a*b＝2a×2b，例如：1*2＝21×22＝23＝8，若2*（x+1）＝64，则x的值为．【变式5-2】（2022秋•卫辉市期末）已知2m＝4n﹣1，27n＝3m﹣1，则n﹣m＝．【变式5-3】（2022春•兴化市期中）若（2m）2•23n＝84，其中m、n都是自然数，则符合条件m、n的值有____组．【题型6 幂的运算法则逆用（代数式的表示）】【例6】（2022秋•崇川区校级期中）若a 2m+3y=a m+1x=1．（1）请用含x的代数式表示y；（2）如果x＝4，求此时y的值．【变式6-1】（2022•高新区校级三模）已知m＝89，n＝98，试用含m，n的式子表示7272．【变式6-2】（2022•高新区校级三模）（1）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．（2）若x＝2m+1，y＝3+4m，用x的代数式表示y．【变式6-3】（2022春•新泰市期末）若a m＝a n（a＞0，a≠1，m、n都是正整数），则m＝n，利用上面结论解决下面的问题：（1）如果2x•23＝32，求x的值；（2）如果2÷8x•16x＝25，求x的值；（3）若x＝5m﹣2，y＝3﹣25m，用含x的代数式表示y．【题型7 幂的运算法则（混合运算）】【例7】（2022春•沭阳县校级月考）计算：（1）（﹣a）2•a3（2）（﹣8）2013•（18）2014（3）x n•x n+1+x2n•x（n是正整数）（ 4 ）（a2•a3）4．【变式7-1】（2022秋•道外区校级月考）计算：（1）y3•y2•y（2）（x 3）4•x 2（3）（ a 4•a 2）3•（﹣a ）5（4）（﹣3a 2）3﹣a •a 5+（4a 3）2．【变式7-2】（2022春•太仓市期中）用简便方法计算下列各题（1）（45）2015×（﹣1.25）2016．（2）（318）12×（825）11×（﹣2）3．【变式7-3】（2022春•漳浦县期中）计算（1）（m ﹣n ）2•（n ﹣m ）3•（n ﹣m ）4（2）（b 2n ）3（b 3）4n ÷（b 5）n +1（3）（a 2）3﹣a 3•a 3+（2a 3）2；（4）（﹣4a m +1）3÷[2（2a m ）2•a ]．【题型8 幂的运算法则（新定义问题）】【例8】（2022春•大竹县校级期中）我们知道，同底数幂的乘法法则为a m •a n ＝a m +n （其中a ≠0，m 、n 为正整数），类似地我们规定关于任意正整数m 、n 的一种新运算：h （m +n ）＝h （m ）•h （n ）；比如h（2）＝3，则h （4）＝h （2+2）＝3×3＝9，若h （2）＝k （k ≠0），那么h （2n ）•h （2022）的结果是（ ）A ．2k +2021B ．2k +2022C ．k n +1010D ．2022k 【变式8-1】（2022•兰山区二模）一般的，如果a x ＝N （a ＞0，且a ≠1），那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ．例如：由于23＝8，所以3是以2为底8的对数，记作log 28＝3；由于a 1＝a ，所以1是以a 为底a 的对数，记作log a a ＝1．对数作为一种运算，有如下的运算性质：如果a ＞0，且a ≠1，M ＞0，N ＞0，那么（1）log a （M •N ）＝log a M +log a N ；（2）log a M N =log a M ﹣log a N ；（3）log a M n ＝n log a M ．根据上面的运算性质，计算log 2（23×8）﹣log 2165−log 210的结果是 ．【变式8-2】（2022春•泰兴市期中）规定两数a ，b 之间的一种运算，记作a ※b ：如果a c ＝b ，那么a ※b ＝c ．例如：因为32＝9，所以3※9＝2（1）根据上述规定，填空：2※16＝ ， ※136=−2，（2）小明在研究这种运算时发现一个现象：3n ※4n ＝3※4，小明给出了如下的证明：设3n ※4n ＝x ，则（3n ）x ＝4n ，即（3x ）n ＝4n所以3x＝4，即3※4＝x，所以3n※4n＝3※4．请你尝试运用这种方法解决下列问题：①证明：6※7+6※9＝6※63；②猜想：（x﹣1）n※（y+1）n+（x﹣1）n※（y﹣2）n＝※（结果化成最简形式）．【变式8-3】（2022秋•南宁期末）规定两数a，b之间的一种运算，记作（a，b），如果a c＝b，那么（a，b）＝c．我们叫（a，b）为“雅对”．例如：∵23＝8，∴（2，8）＝3．我们还可以利用“雅对”定义证明等式（3，3）+（3，5）＝（3，15）成立．证明如下：设（3，3）＝m，（3，5）＝n，则3m＝3，3n＝5．∴3m•3n＝3m+n＝3×5＝15．∴（3，15）＝m+n，即（3，3）+（3，5）＝（3，15）．（1）根据上述规定，填空：（2，4）＝；（5，25）＝；（3，27）＝．（2）计算：（5，2）+（5，7）＝，并说明理由．（3）记（3，5）＝a，（3，6）＝b，（3，30）＝c．求证：a+b＝c。
七年级数学幂的运算1
说明：应用题要写答案，最后用科学记数法。
4．练一练：P54
师生互动，及时点评。
5．小结：本节课我们学习了幂的乘方的运算法则，望同学们在用此法则时不要同同底数幂的运算法则混淆了。
教学素材：
A组题：
⑴a12＝（a3）( )＝（a2）( )＝a3a( )
＝（）3＝（）4
⑵32﹒9m＝3( )
⑶y3n＝3, y9n＝
=
a﹒a﹒﹒﹒﹒a
n个
=am-n
所以am÷an=am-n(a≠0 , m、n是正整数,且m＞n)
学生口述:同底数幂相除，底数不变，指数相减。
3.例题解析P58
例1：题略
说明:（1）直接运用法则。
（2）负数的奇次幂仍是负数。
（3）与其它法则的综合。
（4）可把除式中t2的2改为m-1呢？
4．练一练P58
⑷am+1·a()= a2n
B组题：⑴已知那么3x= a , 3y= b,
那么3x+y=
⑵22004–22005=
学生回答
由学生自己先做(或互相讨论)，然后回答，若有答不全的，教师(或其他学生)补充．
学生板演
作业
第50－51页第1－5题。酌情处理
板书设计
复习例1板演
………………
………………
……例2……
（2）：指数是如何变化的？
———————依次少1。
2．想一想P59
猜想：1＝2( )
依上规律得:
左= 2÷2 = 1右=2( 0)
所以20= 1
即1 =20
问:猜想合理吗？
我们知道：23÷23= 8÷8 = 1
23÷23=23-3=20
所以我们规定a0= 1(a≠0)
七年级数学8.1幂的运算讲解与例题
8.1 幂的运算1．了解幂的运算性质，会利用幂的运算性质进行计算．2．通过幂的运算性质的形成和应用，养成观察、归纳、猜想、论证的能力，提高计算和口算的能力．3．了解和体会“特殊—一般—特殊”的认知规律，体验和学习研究问题的方法，培养思维严谨性，做到步步有据，正确熟练，养成良好的学习习惯．1．同底数幂的乘法(1)同底数幂的意义“同底数幂”顾名思义，是指底数相同的幂．如32与35，(－5)2与(－5)6，(a＋b)4与(a＋b)3等表示的都是同底数的幂．(2)幂的运算性质1同底数幂相乘，底数不变，指数相加．用字母可以表示为：a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)．(3)性质的推广运用当三个或三个以上的同底数幂相乘时，也具有这一性质，如：a m·a n·a p＝a m＋n＋p(m，n，p是正整数)．(4)在应用同底数幂的乘法的运算性质时，应注意以下几点：①幂的底数a可以是任意的有理数，也可以是单项式或多项式；底数是和、差或其他形式的幂相乘，应把这些和或差看作一个“整体”．②底数必须相同才能使用同底数幂的乘法公式，若底数不同，则不能使用；注意：－a n 与(－a)n不是同底数的幂，不能直接用性质．③不要忽视指数是1的因数或因式．【例1－1】(1)计算x3·x2的结果是______；(2)a4·(－a3)·(－a)3＝__________.解析：(1)题中的底数都是x，是两个同底数幂相乘的运算式子，只需运用同底数幂相乘的性质进行运算，即x3·x2＝x3＋2＝x5；(2)应先把底数分别是a，－a的幂化成同底数的幂，才能应用同底数幂的乘法性质，原式＝a4·(－a3)·(－a3)＝a4·a3·a3＝a4＋3＋3＝a10.答案：(1)x5(2)a10正确运用幂的运算性质解题的前提是明确性质的条件和结论．例如同底数幂的乘法，条件是底数相同，且运算是乘法运算，结论是底数不变，指数相加．【例1－2】计算：(1)(x＋y)2·(x＋y)3；(2)(a－2b)2·(2b－a)3.分析：(1)把(x＋y)看作底数，可根据同底数幂的乘法性质来解；(2)题中(a－2b)2可转化为(2b－a)2，或者把(2b－a)3转化为－(a－2b)3，就是两个同底数的幂相乘了．解：(1)原式＝(x＋y)2＋3＝(x＋y)5；(2)方法一：原式＝(2b －a )2·(2b －a )3＝(2b －a )5；方法二：原式＝(a －2b )2·[－(a －2b )3]＝－(a －2b )5.本题应用了整体的数学思想，把(x ＋y )和(a －2b )看作一个整体，(2)题中的两种解法所得的结果实质是相等的，因为互为相反数的奇次幂仍是互为相反数． 2．幂的乘方(1)幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘．如(a 5)3是指三个a 5相乘，读作“a 的五次幂的三次方”，即有(a 5)3＝a 5·a 5·a 5＝a 5＋5＋5＝a 5×3；(a m )n 表示n 个a m 相乘，读作“a 的m 次幂的n 次方”，即有(a m )n ＝m m m n a a a ⋅⋅⋅L 1442443个＝m m m n a a a a a a a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅L L L L 142431424314243144444424444443个个个个＝a mn(m ，n 都是正整数) (2)幂的运算性质2幂的乘方，底数不变，指数相乘．用字母可以表示为：(a m )n ＝a mn(m ，n 都是正整数)．这个性质的最大特点就是将原来的乘方运算降次为乘法运算，即底数不变，指数相乘． (3)性质的推广运用幂的乘方性质可推广为： [(a m )n ]p ＝a mnp(m ，n ，p 均为正整数)．(4)注意(a m )n 与am n的区别 (a m )n 表示n 个a m 相乘，而am n 表示m n 个a 相乘，例如：(52)3＝52×3＝56,523＝58.因此，(a m )n ≠am n .【例2】(1)计算(x 3)2的结果是( )．A ．x 5B ．x 6C ．x 8D ．x 9(2)计算3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝__________.解析：(1)根据性质，底数不变，指数相乘，结果应选B ；(2)先根据幂的乘方、同底数幂相乘进行计算，再合并同类项得到结果．3(a 3)3＋2(a 4)2·a ＝3a 3×3＋2a 4×2·a ＝3a 9＋2a 8·a ＝3a 9＋2a 9＝5a 9.答案：(1)B (2)5a 9防止“指数相乘”变为“指数相加”，同时防止“指数相乘”变为“指数乘方”．如(a 4)2＝a 4＋2＝a 6与(a 2)3＝a 23＝a 8都是错误的．3．积的乘方(1)积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如(2ab )3，(ab )n等．(2ab )3＝(2ab )·(2ab )·(2ab )(乘方意义)＝(2×2×2)(a ·a ·a )(b ·b ·b )(乘法交换律、结合律) ＝23a 3b 3.(ab )n ＝n ab ab ab ()()()L 1442443个＝n a a a (⋅⋅⋅)L 14243个n b b b (⋅⋅⋅⋅)L 14243个＝a n b n(n 为正整数)．(2)幂的运算性质3积的乘方等于各因式乘方的积．也就是说，先把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的结果相乘．用字母可以表示为：(ab )n ＝a n b n(n 是正整数)． (3)性质的推广运用三个或三个以上的乘方也具有这一性质，如(abc )n ＝a n b n c n(n 是正整数)．【例3】计算：(1)(－2x )3；(2)(－xy )2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34.分析：(1)要注意－2x 含有－2，x 两个因数；(2)－xy 含有三个因数：－1，x ，y ；(3)把xy 2看作x 与y 2的积，把－x 2y 看作－1，x 2，y 的积；(4)－12ab 2c 3含有四个因数－12，a ，b 2，c 3，先运用积的乘方性质计算，再运用幂的乘方性质计算．解：(1)(－2x )3＝(－2)3·x 3＝－8x 3；(2)(－xy )2＝(－1)2·x 2·y 2＝x 2y 2；(3)(xy 2)3·(－x 2y )2＝x 3(y 2)3·(－1)2·(x 2)2y 2＝x 3y 6·x 4y 2＝x 7y 8；(4)⎝ ⎛⎭⎪⎫－12ab 2c 34＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－124a 4(b 2)4(c 3)4＝116a 4b 8c 12.(1)在计算时，把x 2与y 2分别看成一个数，便于运用积的乘方的运算性质进行计算，这种把某个式子看成一个数或字母的方法的实质是换元法，它可以把复杂问题简单化，它是数学的常用方法．(2)此类题考查积的乘方运算，计算时应特别注意底数含有的因式，每个因式都分别乘方，不要漏掉，尤其要注意系数及系数的符号，对系数是－1的不可忽略．负数的奇次方是一个负数，负数的偶次方是一个正数．4．同底数幂的除法 (1)幂的运算性质4同底数幂相除，底数不变，指数相减．用字母可以表示为：a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是正整数，且m ＞n )．这个性质成立的条件是：同底数幂相除，结论是：底数不变，指数相减．和同底数幂的乘法类似，被除式和除式都是幂的形式且底数一定要相同，商也是一个幂，其底数与被除式和除式的底数相同，商中幂的指数是被除式的指数与除式的指数之差．因为零不能作除数，所以底数a ≠0.(2)性质的推广运用三个或三个以上的同底数幂连续相除时，该性质仍然成立，例如a m ÷a n ÷a p ＝a m －n －p(a ≠0，m ，n ，p 为正整数，m ＞n ＋p )．【例4】计算：(1)(－a )6÷(－a )3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2；(3)(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2. 分析：利用同底数幂的除法性质进行运算时关键要找准底数和指数．(1)中的底数是－a ，(2)中的底数是(a ＋1)，(3)中的底数可以是－x ，也可以是x .解：(1)(－a )6÷(－a )3＝(－a )6－3＝(－a )3＝－a 3；(2)(a ＋1)4÷(a ＋1)2＝(a ＋1)4－2＝(a ＋1)2； (3)方法1：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x )7÷(－x )3÷(－x )2＝(－x )7－3－2＝(－x )2＝x 2. 方法2：(－x )7÷(－x 3)÷(－x )2＝(－x 7)÷(－x 3)÷x 2＝x 7－3－2＝x 2.运用同底数幂除法性质的关键是看底数是否相同，若不相同则不能运用该性质，指数相减是指被除式的指数减去除式的指数；幂的前三个运算性质中字母a ，b 可以表示任何实数，也可以表示单项式和多项式；第四个性质即同底数幂的除法性质中，字母a 只表示不为零的实数，或表示其值不为零的单项式和多项式．注意指数是“1”的情况，如a 5÷a ＝a 5－1，而不是a 5－0.5．零指数幂与负整数指数幂(1)零指数幂：任何一个不等于零的数的零次幂都等于1.用字母可以表示为：a 0＝1(a ≠0)．a 0＝1的前提是a ≠0，如(x －2)0＝1成立的条件是x ≠2.(2)负整数指数幂：任何一个不等于零的数的－p (p 是正整数)次幂，等于这个数的p 次幂的倒数．用字母可以表示为：a －p＝1ap (a ≠0，p 是正整数)．a －p ＝1ap 的条件是a ≠0，p 为正整数，而0－2等是无意义的．当a ＞0时，a p 的值一定为正；当a ＜0时，a －p 的值视p 的奇偶性而定，如(－2)－3＝－18，(－3)－2＝19.规定了零指数幂和负整数指数幂的意义后，正整数指数幂的运算性质，就可以推广到整数指数幂了，于是同底数幂除法的性质推广到整数指数幂，即a m ÷a n ＝a m －n(a ≠0，m ，n 都是整数)．如a ÷a 2＝a 1－2＝a －1＝1a；正整数指数幂的某些运算，在负整数指数幂中也能适用．如a －2·a －3＝a－2－3＝a －5等．【例5】计算：(1)1.6×10－4；(2)(－3)－3；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2；(4)(π－3.14)0；(5)⎝ ⎛⎭⎪⎫130＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13－2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23－1.分析：此题是负整数指数幂和零指数幂的计算，可根据a －p＝1ap (p 是正整数，a ≠0)和a 0＝1(a ≠0)计算．其中(1)题应先求出10－4的值，再运用乘法性质求出结果．解：(1)1.6×10－4＝1.6×1104＝1.6×0.000 1＝0.000 16.(2)(－3)－3＝1－33＝－127. (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫－53－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－352＝925. (4)因为π＝3.141 592 6…， 所以π－3.14≠0.故(π－3.14)0＝1.(5)原式＝1＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－132＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫－231＝1＋9－32＝812.只要底数不为零，而指数是零，不管底数多么复杂，其结果都是1.当一个负整数指数幂的底数是分数时，它等于底数倒数的正整数次幂，即⎝ ⎛⎭⎪⎫a b －p ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b a p .6．用科学记数法表示绝对值较小的数(1)绝对值小于1的数可记成±a ×10－n的形式，其中1≤a ＜10，n 是正整数，n 等于原数中第一个不等于零的数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，这种记数方法也是科学记数法．(2)把一个绝对值小于1的数用科学记数法表示分两步：①确定a,1≤a ＜10，它是将原数小数点向右移动后的结果；②确定n ，n 是正整数，它等于原数化为a 后小数点移动的位数．(3)利用科学记数法表示数，不仅简便，而且更便于比较数的大小，如：2.57×10－5显然大于2.57×10－8，前者是后者的103倍．【例6－1】2009年初甲型H1N1流感在墨西哥暴发并在全球蔓延，我们应通过注意个人卫生加强防范．研究表明，甲型H1N1流感球形病毒细胞的直径约为0.000 001 56 m ，用科学记数法表示这个数是( )．A ．0.156×10－5B ．0.156×105C．1.56×10－6 D．1.56×106解析：本题考查科学记数法，将一个数用科学记数法表示为±a×10－n(1≤a＜10)的形式，其中a是正整数数位只有一位的数，所以A、B不正确，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数(包括小数点前面的一个零)，所以n＝6，即0.000 001 56＝1.56×10－6.故选C．答案：Cn的值也等于将原数写成科学记数法±a×10－n时，小数点移动的位数．如本题中将0.000 001 56写成科学记数法表示时，a为1.56，即将原数的小数点向右移动了6位，所以n的值是6.【例6－2】已知空气的单位体积质量为 1.24×10－3 g/cm3,1.24×10－3用小数表示为( )．A．0.000 124 B．0.012 4C．－0.001 24 D．0.001 24解析：因为a＝1.24，n＝3，因此原数是1前面有3个零(包括小数点前面的一个零)，即1.24×10－3＝0.001 24.答案：D本题可把1.24的小数点向左移动3位得到原数，也可利用负整数指数幂算出10－3的值，再与1.24相乘得到原数．7．幂的混合运算幂的四个运算性质是整式乘(除)法的基础，也是整式乘(除)法的主要依据．进行幂的运算，关键是熟练掌握幂的四个运算性质，深刻理解每个性质的意义，避免互相混淆．幂的混合运算顺序是先乘方，再乘除，最后再加减，有括号的先算括号里面的．因此，运算时，应先细心观察，合理制定运算顺序，先算什么，后算什么，做到心中有数．(1)同底数幂相乘与幂的乘方运算性质混淆，从而导致错误．如：①a3·a2＝a6；②(a3)2＝a5.解题时应首先分清是哪种运算：若是同底数幂相乘，应将指数相加；若是幂的乘方，应将指数相乘．正解：①a3·a2＝a5；②(a3)2＝a6.(2)同底数幂相乘与合并同类项混淆，从而导致错误．如：①a3·a3＝2a3；②a3＋a3＝a6.①是同底数幂相乘，应底数不变，指数相加；②是合并同类项，应系数相加作系数，字母和字母的指数不变．正解：①a3·a3＝a6；②a3＋a3＝2a3.【例7－1】下列运算正确的是( )．A．a4＋a5＝a9B．a3·a3·a3＝3a3C．2a4·3a5＝6a9D．(－a3)4＝a7解析：对于A，两者不是同类项，不能合并；对于B，结果应为a9；对于C，结果是正确的；对于D，(－a3)4＝a3×4＝a12.故选C．答案：C【例7－2】计算：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3.分析：按照运算顺序，先利用积的乘方化简，即(－2x2y)3＝－8(x2)3·y3,8(x2)2·(－x)2·(－y)6＝8x4·x2·y6，再利用幂的乘方及同底数幂的乘法化简乘方后的结果，最后合并同类项．解：(－2x2y)3＋8(x2)2·(－x)2·(－y)6÷y3＝－8(x2)3·y3＋8x4·x2·y6÷y3＝－8x6y3＋8x6y3＝0.8．幂的运算性质的逆用对于幂的运算性质的正向运用大家一般比较熟练，但有时有些问题需要逆用幂的运算性质，可以使问题化难为易、求解更加简单．(1)逆用同底数幂的乘法性质：a m ＋n ＝a m ·a n (m ，n 为正整数)．如25＝23×22＝2×24.当遇到幂的指数是和的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的乘法性质，将幂转化成几个同底数幂的乘法．但是一定要注意，转化后指数的和应等于原指数．(2)逆用幂的乘方性质：a mn ＝(a m )n ＝(a n )m (m ，n 均为正整数)．逆用幂的乘方性质的方法是：幂的底数不变，将幂的指数分解成两个因数的乘积，再转化成幂的乘方的形式．如x 6＝(x 2)3＝(x 3)2，至于选择哪一个变形结果，要具体问题具体分析．(3)逆用积的乘方性质： a n b n ＝(ab )n (n 为正整数)．当遇到指数相差不大，且指数比较大时，可以考虑逆用积的乘方性质解题．注意，必须是同指数的幂才能逆用性质，逆用时一定要注意：底数相乘，指数不变．(4)逆用同底数幂的除法性质： a m －n ＝a m ÷a n (a ≠0，m ，n 为整数)．当遇到幂的指数是差的形式时，为了计算的需要，往往逆用同底数幂的除法性质，将幂转化成几个同底数幂的除法．但是一定要注意，转化后指数的差应等于原指数．【例8－1】(1)已知3a ＝2,3b ＝6，则33a －2b的值为__________；(2)若m p ＝15，m 2q ＝7，m r ＝－75，则m 3p ＋4q －2r的值为__________．解析：(1)因为3a ＝2,3b＝6，所以33a －2b ＝33a ÷32b ＝(3a )3÷(3b )2＝23÷62＝29.(2)m 3p ＋4q －2r ＝(m p )3·(m 2q )2÷(m r )2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫153×72÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－752＝15.答案：(1)29 (2)15【例8－2】(1)计算：⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×24 024；(2)已知10x ＝2,10y ＝3，求103x ＋2y的值．分析：(1)本题的指数较大，按常规方法计算很难，观察式子特点发现：4 024是2 012的两倍，可逆用幂的乘方性质，把24 024化为(22)2 012，这样再与22 012逆用积的乘方性质，此时发现与⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011底数互为倒数，但指数不相同，因此逆用同底数幂的乘法及逆用积的乘方性质，简化计算；(2)可逆用幂的乘方，把103x ＋2y化为条件中的形式．解：(1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×22 012×(22)2 012(逆用幂的乘方)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×(2×22)2 012(逆用积的乘方) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 012 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18 2 011×82 011×8(逆用同底数幂的乘法) ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫18×8 2 011×8(逆用积的乘方) ＝8.(2)因为103x ＝(10x )3＝23＝8,102y ＝(10y )2＝32＝9，所以103x ＋2y ＝103x ·102y＝8×9＝72. 9．利用幂的运算性质比较大小 在幂的运算中，经常会遇到比较正整数指数幂的大小问题．对于一些幂的指数较小的问题，可以直接计算出幂进行比较；但当幂的指数较大时，若通过先计算出幂再比较大小，就会很繁琐甚至不可能．这时可利用幂的运算性质比较幂的大小．比较幂的大小，一般有以下几种方法：(1)指数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的底数化为相同的底数，然后根据指数的大小关系确定出幂的大小．(2)底数比较法：利用乘方，将比较大小的各个幂的指数化为相同的指数，然后根据底数的大小关系确定出幂的大小．(3)作商比较法：当a ＞0，b ＞0时，利用“若a b ＞1，则a ＞b ；若a b ＝1，则a ＝b ；若a b＜1，则a ＜b ”比较．有关幂的大小比较的技巧和方法除灵活运用幂的有关性质外，还应注意策略，如利用特殊值法、放缩法等．【例9】(1)已知a ＝8131，b ＝2741，c ＝961，则a ，b ，c 的大小关系是( )． A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．a ＜b ＜c D ．b ＞c ＞a(2)350,440,530的大小关系是( )．A ．350＜440＜530B ．530＜350＜440C ．530＜440＜350D ．440＜530＜350(3)已知P ＝999999，Q ＝119990，那么P ，Q 的大小关系是( )．A ．P ＞QB ．P ＝QC ．P ＜QD ．无法比较解析：(1)因为a ＝8131＝(34)31＝3124，b ＝2741＝(33)41＝3123，c ＝961＝(32)61＝3122，又124＞123＞122，所以3124＞3123＞3122，即a ＞b ＞c .故选A ．(2)因为350＝(35)10＝24310,440＝(44)10＝25610,530＝(53)10＝12510，而125＜243＜256，所以12510＜24310＜25610，即530＜350＜440.故选B ．(3)因为P Q ＝999999×990119＝9×119999×990119＝99×119999×990119＝1，所以P ＝Q .故选B ． 答案：(1)A (2)B (3)B10．幂的运算性质的实际应用利用幂的运算可以解决一些实际问题，所以要熟练掌握好幂的运算性质，能在实际问题中灵活地运用幂的运算性质求解问题．解决此类问题时，必须认真审题，根据题意列出相关的算式，进而利用幂的运算性质进行运算或化简，特别地，当计算的结果是比较大的数时，一般要写成科学记数法的形式．【例10】卫星绕地球运动的速度(即第一宇宙速度)约为7.9×103m/s ，则卫星运行3×102s 所走的路程约是多少？分析：要计算卫星运行3×102s 所走的路程，根据路程等于时间乘以速度可解决问题．本题实际是一道同底数幂的乘法运算问题．解：因为7.9×103×3×102＝(7.9×3)×(103×102)＝23.7×105＝2.37×106，所以卫星运行3×102 s 所走的路程约为2.37×106m ． 11．幂的运算中的规律探究题探究发现型题是指命题中缺少一定的题设或未给出明确的结论，需要经过推断、补充并加以总结．它不像传统的解答题或证明题，在条件和结论给出的情景中只需进行由因导果或由果导因的工作，而是必须利用题设大胆猜想、分析、比较、归纳、推理，或由条件去探索不明确的结论；或去探索存在的各种可能性以及发现所形成的客观规律．规律探索题是指在一定条件下，需要探索发现有关数学对象所具有的规律性或不变性的题目，要解答此类问题，首先要仔细阅读，弄清题意，并从阅读过程中找出其规律，然后进一步利用规律进行计算．【例11】(1)观察下列各式：由22×52＝4×25＝100，(2×5)2＝102＝100，可得22×52＝(2×5)2；由23×53＝8×125＝1 000，(2×5)3＝103＝1 000，可得23×53＝(2×5)3；….请你再写出两个类似的式子，你从中发现了什么规律？(2)x2表示两个x相乘，(x2)3表示3个__________相乘，因此(x2)3＝__________，由此类推得(x m)n＝__________.利用你发现的规律计算：①(x3)15；②(x3)6；③[(2a－b)3]8.解：(1)如：34×54＝(3×5)4,45×55＝(4×5)5，等等．规律：a n·b n＝(ab)n，即两数n次幂的积等于这两个数的积的n次幂．(2)x2x2×3＝x6x mn①(x3)15＝x45；②(x3)6＝x18；③[(2a－b)3]8＝(2a－b)24.。
沪科版七年级数学下册8.1幂的运算8.1.1同底数幂的乘法优秀教学案例
（二）问题导向
1.设计具有启发性的问题，引导学生思考同底数幂乘法的规律，如“为什么同底数幂相乘时，指数要相加？”
2.鼓励学生提出问题，培养学生的疑问意识和批判性思维，引导学生主动探索同底数幂乘法的本质。
3.创设问题情境，让学生运用同底数幂的乘法知识解决实际问题，提高学生的应用能力。
3.鼓励学生分享自己的思路和方法，培养学生的团队合作能力和沟通能力。
（四）总结归纳
1.引导学生进行自我反思，总结自己在学习同底数幂乘法过程中的优点和不足，明确下一步的学习目标。
2.组织学生进行同伴评价，鼓励学生相互鼓励和肯定，培养学生的积极心态。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的思维过程和解决问题的能力，给予及时的反馈和指导。
2.组织学生进行同伴评价，鼓励学生相互鼓励和肯定，培养学生的积极心态。
3.教师对学生的学习过程和结果进行评价，关注学生的思维过程和解决问题的能力，给予及时的反馈和指导。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用生活实例引入同底数幂的乘法，例如计算一个正方体的体积，引导学生感受同底数幂乘法在实际生活中的应用。
2.通过多媒体展示同底数幂乘法的实际应用场景，如物理中的浮力计算、化学中的浓度计算等，让学生了解同底数幂乘法的重要性。
3.创设互动环节，让学生分享自己在生活中遇到的同底数幂乘法问题，增加学生之间的交流和合作。
（二）讲授新知
1.引导学生复习已学过的幂的定义和性质，为学生提供知识基础。
2.讲解同底数幂的乘法概念和运算法则，通过示例演示同底数幂相乘的规律。
3.小组合作学习：将学生分成小组，鼓励学生之间进行讨论和合作，共同探讨同底数幂乘法的规律。这种小组合作学习方式能够培养学生的团队合作能力和沟通能力，提高学生的学习效果。
8.1同底数幂的乘法
/v_show/id_XMzAzNDE5NTA4.html
3
教学素材：
A 组题： ⑴ －x2 ·(-x)2 =
学生板书，
⑵ a4 · （－a3 ） ·(-a)3= ⑶ x·x – x
m m+1 )
让不同的 人在数学 上获得不 同的发展 注意教师 的合理总 结。
m+n
n个a
2
所以 a
集体讨论并互 相帮助记忆重 要的结论。 每个小组抽查 记忆法则。
m
．an =am+n
（ m 、n 是正整数）
学生口述：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
3．例题解析 P41
例 1：计算： 1、 ( −8) × ( −8) ；
12 5
2、 x ⋅ x 7 ； 3、 − a 3 ⋅ a 6 ； 4、 a 3m ⋅ a 2 m −1 （m 是正整数） 分析：⑴ （－8）17 =－817 幂的性质：负数的奇次幂仍是负数。 ⑵ x1 的 1 通常省略不写，做加法时不要忽略。 ⑶ －a3 读作 a 的 3 次方的相反数，故“－”
学生讨论，通 过讨论，体会 计算题的书写 格式 通过例题 加深学生 对法则的 理解和运 用 要对学生 的板书习 题的格式 进 行 强 调，规范 书写
不能漏掉。
（4） 3m+2m=5m,合并同类项是系数相加减，字母
部分不变 例 2：一颗卫星绕地球运行的速度是 7.9 × 103 m/s,求 这颗卫星运行 1h 的路程。 分析：最后的结果应用科学计数法表示 a×10n , 其中 1《 a〈10 。
归纳、引导探索
当 m 、n 是正整数时，你会计算“ a × a = ？”吗？
幂的运算教学设计
初中数学教学案例——幂的运算(一）一、案例实施背景本节初一下学期数学第八章第一课时的内容,所用教材为沪科版义务教育课程标准实验教科书七年级数学（下册)。
二、教学目标1、知识与技能：理解同底数幂的推导法则，会用同底数幂的法则进行运算。
2、过程与方法：探究同底数幂的乘法法则,让学生体会从一般到特殊，以及从特殊到一般的数学方法。
3、情感态度与价值观：引导学生主动发现问题，解决问题，在这一过程中提高学生学习数学的兴趣.三、教学教学重、难点1、重点：正确理解同底数幂的乘法法则。
2、难点:会用同底数幂的乘法法则进行运算。
四、教学用具多媒体平台及多媒体课件五、教学过程（一）创设情境,设疑激思1、播放幻灯片,引出问题:我国首台千万亿次超级计算机系统“天河一号”计算机每秒可进行2。
57×1015 次运算,问它工作一个小时（3.6 ×103s)可进行多少次运算？2、提问温故：①什么叫乘方？②乘方的结果叫做什么?3、针对问题，学生思考后回答2.57×3。
6×103×1015=9.252×？4、教师肯定学生的回答并提出新问题：?到底是多少,通过今天的学习——同底数幂的乘法，相信大家能找到这个问题的答案.（板书课题:8。
1，幂的乘法——同底数幂的乘法）（二）探究新知1、试一试（根据乘法的意义)定义：底数相等的两个或两个以上的幂相乘成为同底数幂的乘法。
22 × 23 =（2 ×2 ) ×(2 ×2 ×2） (乘方的意义)= 2 ×2 ×2 ×2 × 2 （乘法结合律）=25（乘方的意义)前面的例题:1015×103=（10 ×· · · · · ×10）×(10×10 ×10)15个10= 10 ×· · · · · ×1018个10=1018思考：观察上面的两个式子，底数和指数有什么关系？2、怎么求a m· a n（当m、n都是正整数)：a m·a n =（aa…a）（aa…a）（乘方的意义）m个a m个a= aa…a（乘法结合律）（m+n)个a=a m+n（乘方的意义)3、通过上面的例子,你能发现同底数幂相乘有什么规律吗?底数不变，指数相加4、总结：同底数幂的乘法法则（幂的运算性质1）:同底数幂相乘,底数不变,指数相加即:a m· a n = a m+n (当m、n都是正整数）(三)、逐层推进，巩固新知本节课学习的幂的运算法则1只使用于同底数幂相乘，不能乱用,用该法则需要判断两点：①是否是同底数幂②是否是相乘注意不是同底数幂以及不是相乘的都不能使用该法则。
安徽省固镇县七年级数学下册 8.1 幂的运算 同底数幂的乘法教案 (新版)沪科版
（1）（）5×（）8；（2）（-2）2×（-2）7；
（3）a2·a3·a6；（4）（-y）3·y4
例2已知10a=5,10b=6，求10a+b的值。
四、巩固新知，当堂训练（10-15分钟）
1、计算：
（1）x10·x（2）10×102×104
（3）x5·x·x3（4）y4·y3·y2·y
2、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
（1）b5·b5= 2b5（）（2）b5+ b5= b10（）
（3）x5·x5= x25( )（4）y5·y5= 2y10( )
（5）c·c3= c3( )（6）m + m3= (x+y)3·(x+y)4.
4.填空：
（1）8 = 2x，则x =；
计
一、导入新课、揭示目标。（1分钟）
1、掌握同底数幂的乘法运算性质；
2、能运用同底数幂的乘法运算性质熟练进行有关计算。
二 、学生自学，质疑问题（8---10分钟）
（出示自学提纲）
自学课本P46、P47页的内容
1.式子103×104的意义是什么？这个式子中的两个因式有何特点？
2.仿照22×23= 2×2×2×2×2=25计算
幂的运算
教学
目标
知识与能力：了解同底数幂的乘法性质；
过程与方法：经历推导同底数幂的乘法性质的过程，并会运用这一性质进行计算；
情感态度价值观：在导出同底数幂的乘法运算法则的过程中，培养学生的归纳能力和化归思想。
重难点
重点：同底数幂的乘法运算；
难点：探索同底数幂的乘法运算性质的过程
教
学
过
程
教
学
过
程
板
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
＝ａ５
2个a
思考：
请同学们观察下面各题左右两边，底数、指数有 什么关系？
10３ ×10４
2２ ×2３
=
10（ ７ ）
5 （ 2
）
= 10（ 3+４）；
= =
= 2（ 3+2 ）；
a（ 3+2） 。
a２×
猜想:
a３
a（5 ） =
am ·an=
? (当m、n都是正整数)
分组讨论，并尝试证明你的猜想是否正确.
了不起！
思考题
1.计算: (1) x n ·xn+1 解:
;
x n ·xn+1 = xn+(n+1) = x2n+1
公式中的a可代表 一个数、字母、式 子等.
(2) (x+y)3 ·(x+y)4 .
am · an = am+n
解 (x+y)3 ·(x+y)4 = (x+y)3+4 =(x+y)7 :
4.猜想:
am ·an= am+n
m个a
(当m、n都是正整数)
n个a （乘法结合律）
（乘方的意义） am · an = （aa…a）（aa…a）
= aa…a
(m+n)个a
即
=am+n
（乘方的意义）
am ·an = am+n
(当m、n都是正整数)
真不错，你的猜想是正确的！
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
同底数幂的乘法性质：
m a n ·a =
2.填空：
（1） 8 = 2x，则 x = 3 23 （2） 8× 4 = 2x，则 x = ；
5
；
23× 22 = 25 （3） 3×27×9 = 3x，则 x = 6 3 ×33 × 32 = 36
.
五、课堂小结
通过这节课的学习，你有哪些收获？ 还有哪些疑问？
六、作业布置
课堂作业
必做题：课本54页习题8.1 第1题 选做题：已知22x+1=32，求x的值。
2.这个式子中的两个因式有何特点？ 3.请同学们先根据自己的理解，解答下列各题 . 底数相同
103 ×104 =（10×10×10）×（10×10×10×10
） ＝１０７
22 ×23 = (2×2）×（2×2×2） ＝２５ （a a2×a3 =
a） ×（a a a = a a a a a
）
3个a 5个a
例1
计算
（4）（-y）3· y4
1 1 5 （1）（ 2） ×（2）8；（2）（-2）2×（-2）7；
（3）a2· a3 · a6 ；
解
(1)
（ ）5×（ ）8=( )5+8=( )13
(2) （-2）2×（-2）7=(-2)9=-29 (3) a2· a3 · a6=a2+3+6=a11
(4)
课外作业
基础训练同步 预习幂的乘方
同底数幂的乘法
一、复习引入 ： 1、 an 表示的意义是什么？其中a、n、an分
别叫做什么? 底数
n a
指数
幂 an = a × a × a ×… a n个a
2、温故：
（１）、25表示什么？ （２）、10×10×10×10×10 可以写成什么形式?
25 = 2×2×2×2×2 . (乘方的意义） (乘方的意义） 10×10×10×10×10 = 105 .
（-y）3· y4=-y3· y4=-y3+4=-y7
例2 已知10a=5,10b=6，求10a+b的值 。
am ·an = am+n 即am+n = am ·an
(当m、n都是正整数)反之亦成立，
四、巩固练习
1、计算：
（1）x10 ·x （2）10×102×104
（3） x5 · x· x3 （4）y4· y3· y2· y 解： （1）x10 · x = x10+1= x11 （2）10×102×104 =101+2+4 =107 （3）x5 · x· x3 = x5+1+3 = x9 （4）y4 · y3 · y2 · y= y4+3+2+1= y10
我们可以直接利 请你尝试用文字概 括这个结论。 用它进行计算.
m+n a (当m、n都是正整数)
运算方法（底不变、指加法 ）
同底数幂相乘： 底数 不变，指数 相加 。
运算形式 （同底、乘法 ） 幂的底数必须相同 ， 相乘时指数才能相加 . m n p
如 43×45= 43+5 =48
m+n+p （m、n、p都是正整数） 如a · a· a =a 想一想： 当三个或三个以上同底数幂相乘时，是否也 具有这一性质呢？ 怎样用公式表示？
2、下面的计算对不对？如果不对，怎样改正？
× ） （2）b5 + b5 = b10 （ ×） （1）b5 ·b5= 2b5 （ b5 ·b5= b10 （3）x5 · x5 = x25 (× ) x5 ·x5 = x10 （5）c ·c3 = c3 c ·c3 = c4
(× )
b5 + b5 = 2b5 （4）y5 · y5 = 2y10 (× ) y5 ·y5 =y10 （6）m + m3 = m4 (× ) m + m 3 = m + m3
3、问题：“神威１”计算机每秒可计算３.８４×１０１２次运
算。它工作１ｈ（３.６×１０３ｓ）共进行了多少次运算？ ３.８４×１０１２ ×３.６×１０３＝３.８４×３．６ ×１０１２×１０３＝？ 如何简洁地把结果表示出来呢？
三、合作探究：
1. 式子103×104的意义是什么？
10３与10４ 的积
底数相同