中垂线的性质
八下第五讲 中垂线 角平分线性质与判定定理书写的规范
其实，有关中垂线，角平分线性质和判定定理的书写并不难，我们只要注意写好必要步骤， 由因得果，会比全等的书写简单许多，不信，来看第一个例题．
例1：
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点P，求证：点P在∠DAE的平分线
上．
分析：
在《 八上第四讲 全等辅助线（3）见角平 分线作垂直 》中，我们已经介绍了辅助线的 作法，见角平分线作垂直，这里出现了两个外 角，那一共是作三次垂直，这样，我们就可以 用角平分线的性质定理，来证明所作的垂线段 相等，接着，利用角平分线的判定定理，求证 点P的位置．
PE⊥AB，PG⊥BD ∴PE＝PG ∵CPPF平⊥分AC∠，ACPGD⊥BD ∴PF＝PG ∴PE＝PF 又∵PE⊥AB，PF⊥AC ∴AP平分∠EAF 易知∠BAC＝2∠BPC＝ 80°(上学期反复讲过的结 论) ∴∠CAE＝100° ∠CAP＝50°
小结：
对于含多个角平分线的问题，与之前证全等的思路一致，我们应该第一时刻想到作垂直的辅 助线，但是，现在我们也可以多用角平分线的性质和判定定理进行书写了．
小结：
以上2题主要是对中垂线的性质定理和判定定理的灵活运用，这里常用的辅助线就是连接中垂 线上的点和线段的两个端点．运用时，给出中垂线，就用性质定理，要证明某点的位置，就用判 定定理．
例3： 已知：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，交∠BAC的平分线AM于点
E，EF⊥AB，垂足为F，EG⊥AC，交AC延长线于点G，求证：BF＝CG
1、中垂线的性质定理：线段垂直平分线上的点 到线段两端的距离相等． 书写格式1： ∵OP⊥AB，AP＝PB ∴AO＝BO 书写格式2： ∵点O在线段AB的中垂线上 ∴AO＝BO
中垂线性质
中垂线性质中垂线是在平面几何中的一个重要概念，它是一条垂直于给定直线的直线。
中垂线具有一些简单的性质，这些性质为我们提供了有用的信息，有助于我们理解和求解几何问题。
首先，中垂线一定是垂直于被垂直的直线，而且它是唯一的。
如果一条直线有一个中垂线，那么它的每一条垂直的直线都有唯一的中垂线，这些垂直的直线也被称为垂线。
例如，若连接A、B、C显然有一条直线，垂线就是一条垂直于这条连接的直线的直线。
其次，中垂线是对称的，即它们的起点和终点都是对称的，两条中垂线一定具有相同的起点和终点。
若直线上有多个点，则两条中垂线起点和终点位置相同，另外，它们还有一个共同的中点。
此外，中垂线是平行的，即它们在整个图形中都是平行的，不会有任何偏移。
平行的两条中垂线斜率相等，它们的斜率与被垂线的斜率相反。
假设给定直线的斜率为M，则其对应的中垂线的斜率为-1/M。
最后，中垂线有距离性质，指中垂线将给定直线任意一点分成两等长的部分。
因为中垂线是对称的，因此在给定点和中点处，两条中垂线之间的距离也必定相等。
通过以上介绍，我们可以看出，中垂线具有垂直性质、对称性质、平行性质和距离性质，它们还有一个共同的中心点。
这些性质确保了中垂线的几何特性不会发生变化，并且可以使我们更好地利用中垂线来求解几何问题。
例如，假设有一个六边形，它有6条边和6个内角。
我们可以使用中垂线和距离性质来求出它的外角大小，因为对于每两条相邻的边，中垂线之间的距离都是相同的，所以可以认为它们所相连的两个内角也是相同的。
这样一来，六边形的总外角就可以算出来。
另外，我们也可以用中垂线的性质来确定一个三角形的边的类型。
中垂线知识点总结
中垂线知识点总结一、基本概念中垂线是垂直于线段且通过这条线段的中点的直线。
在一个平面上，任意两点之间都可以画出一条中垂线。
中垂线有很多重要的性质和应用，因此在数学中具有重要的地位。
二、中垂线的性质1. 中垂线垂直于所在线段中垂线与所在线段垂直是其最基本的性质之一。
因为中垂线是通过线段的中点，所以可以很容易地证明中垂线与所在线段垂直。
2. 中垂线等分线段中垂线还具有“等分线段”的性质。
即中垂线将线段分成两个相等的部分，这是因为中垂线是通过线段的中点的。
3. 中垂线的长度中垂线的长度可以通过勾股定理来计算。
假设线段的两个端点坐标分别为(x1, y1)和(x2, y2)，则中垂线的长度为√((x2-x1)² + (y2-y1)²)。
4. 中垂线的唯一性对于一个线段，它的中垂线是唯一的。
这是因为通过两个不同的点画出的中垂线一定会相交，而相交的两条直线不能都是垂直的。
5. 中垂线的性质中垂线还有很多其他性质，比如中垂线与垂直平分线段的角度是相等的，中垂线与平行线具有一些特殊的关系等，这些性质在解题过程中会有很多应用。
三、中垂线的应用1. 中垂线的构造在几何构造中，中垂线经常被用来找出一个线段的中点，或者找到某个位置的垂心等。
通过画出线段的中垂线，可以很容易地找到需要的点。
2. 中垂线的证明在解几何问题时，通过中垂线的性质可以进行一些证明。
比如证明一个四边形是菱形，或者证明一个三角形是等腰三角形等，中垂线的性质都可以被用来证明一些结论。
3. 中垂线的计算中垂线的长度可以通过勾股定理进行计算，这在实际问题中有很多应用。
比如计算两点之间的距离，或者计算正方形的对角线长度等都可以用到中垂线的计算。
4. 中垂线的作图通过中垂线可以进行一些作图题目的解决，比如通过中垂线作一个等边三角形，或者通过中垂线作一个矩形等等。
中垂线在作图中有很多应用。
四、中垂线的例题1.已知线段AB的中点为C，通过这两个点画出中垂线。
平面几何中的三角形的中线与垂线关系
平面几何中的三角形的中线与垂线关系在平面几何中，三角形是一种基本的几何形状，它由三条边和三个角组成。
三角形的各个部分和性质在数学中有着重要的地位，而中线和垂线是三角形中两个重要的元素。
本文将探讨平面几何中三角形的中线与垂线的关系。
一、中线的定义与性质在三角形中，中线是指连接三角形一个顶点与对边中点的线段。
平面几何中的三角形有三条中线，它们都有着一些共同的性质。
1. 三条中线的交点是三角形的重心。
重心是三角形内部的一个点，它沿着三条中线的交点平均分布。
重心是三角形的一个重要的几何中心，具有坐标的特性。
2. 三角形的每条中线也被称为三角形的中位线，它将三角形分成两个等面积的三角形。
这意味着，在三角形的各个中线上，从其中一顶点到中线交点的线段与从交点到对边中点的线段所围成的面积相等。
3. 三角形的中线长度相等。
无论是自举型三角形、等腰型三角形还是等边型三角形，它们的中线都有相等的长度。
这一特性可以用来计算未知边长或作为三角形相似的依据。
4. 中线上的交点将中线分成2：1的比例。
三角形的每条中线上的交点将这条中线分成距离较短的线段和距离较长的线段，两者的比例是2：1。
这一性质有时可以用于解决相关的几何问题。
二、垂线的定义与性质在平面几何中，垂线是指与直线、线段或者平面相交成直角的线。
三角形的每条边都可以有垂线。
1. 三角形的高是从顶点向对边作的垂线，它的长度等于两条垂足之间的距离。
每个三角形都有三条高，每条高都有其垂足。
2. 垂线的垂足是该垂线与对边或顶点连接所形成的直角三角形中，对边或顶点对应的那个角的脚。
3. 三角形的三条垂线交于一点，这个点被称为垂心。
垂心是三角形内部的一个特殊点，它与三角形的各个垂线均相交于直角。
4. 垂线的特点还包括垂心到三角形三个顶点的线段长度相等，以及垂心到三角形三边的距离最短。
这些性质在解决三角形相关问题时经常被使用。
三、中线与垂线的关系在平面几何中，中线与垂线有着一些重要的关系。
垂线的概念与性质
149垂线的概念与性质知识点：垂线的定义：两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足.垂直的表示：用“⊥”和直线字母表示垂直,a、b互相垂直, 垂足为O，则记为：a⊥b或b⊥a. 垂线的性质：1.经过直线或直线外一点，有且只有一条直线与已知直线垂直.2.连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，垂线段最短.注：⑴两条直线垂直是两直线相交的特殊情况，特殊在它们所交的角是直角.⑵线段与线段、射线与线段、射线与射线的垂直，都是指它们所在的直线互相垂直.⑶垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，不可度量；垂线段是一条线段，可度量.经典例题：例题1．下列判断错误的是（）.A.一条线段有无数条垂线；B.过线段AB中点有且只有一条直线与线段AB垂直；C.两直线相交所成的四个角中，若有一个角为90°，则这两条直线互相垂直；D.若两条直线相交，则它们互相垂直.答案：D.解析：本题应在正确理解垂直的有关概念下解题，知道垂直是两直线相交时有一角为90°的特殊情况，反之，若两直线相交则不一定垂直.故选：D.例题2 如图，三条直线相交于点O．若CO⊥AB，∠1=56°，则∠2等于（）A． 30°B． 34°C． 45°D． 56°答案：B．解析：根据垂线的定义求出∠3，然后利用对顶角相等解答．解：∵CO⊥AB，∠1=56°，∴∠3=90°﹣∠1=90°﹣56°=34°，∴∠2=∠3=34°．故选B．例题3 如图，∠PQR等于138°，SQ⊥QR，QT⊥PQ．则∠SQT等于（）A． 42°B． 64°C． 48°D． 24°答案：A．解析：利用垂直的概念和互余的性质计算．解：∵∠PQR等于138°，QT⊥PQ，∴∠PQS=138°﹣90°=48°，又∵SQ⊥QR，∴∠PQT=90°，∴∠SQT=42°．故选A．例题4如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，点P是边BC上的动点，则AP长不可能是（）A． 2.5 cm B． 3 cm C． 4 cm D． 5 cm答案：A．解析：利用垂线段最短分析．解：已知，在△ABC中，∠C=90°，AC=3，根据垂线段最短，可知AP的长不可小于3，当P和C重合时，AP=3，故选A．例题5已知如图，AO⊥BC，DO⊥OE,若∠COE=35°，则∠AOD的度数是（）．A．30° B．35° C．40°D． 45°答案：B．解析：已知AO⊥BC，DO⊥OE，就是已知∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，利用同角或等角的余角相等，从而得到相等的角．由（1）知，∠AOD=∠EOC，故可求解．解：（1）∵AO⊥BC，DO⊥OE，∴∠DOE=∠AOB=∠AOC=90°，∠BOD+∠AOD=90°，∠AOD+∠AOE=90°，∠AOE+∠COE=90°，∴∠DOA=∠EOC，∠DOB=∠AOE，∠AOB=∠AOC，∠AOB=DOE，∠AOC=∠DOE；∠AOD=∠EOC=35°．∴∠AOD的度数是35°．故选：B．。
中垂线的性质定理与判定定理
M/
求证:PA=PB=PC.
P
证明: ∵ 点A在线段 AB的垂直平分线上 B (已知)
N
C
N/
∴ PA=PB(线段垂直平分线上的点和这条线 段两个端点距离相等)
同理 PB=PC ∴ PA=PB=PC
做一做 1
尺规作图
用尺规作线段的垂直平分线.
已知:线段AB,如图.
求作:线段AB的垂直平分线.
30o
∵BD平分A BC(已知)
∴ ABD=30o(角平分线的定义)
∴ A= ABD (等量代换)
D
∴ AD=BD(等角对等边)
∴ D点在AB的垂直平分线上.(和 30o 一条线段两个端点距离相等的点,
在这条线段的垂直平分线上.)
C
B
证明题:2.已知:如图,线段CD垂直平分AB,AB 平分CAD. 求证:AD∥BC.
线段两个端点距离相等的点,在这
条线段的垂直平分线上).
独立
作业
知识的升华
启航
祝你成功！
证明题:1.已知:ABC中,C=90,A=30o,BD
平分ABC交AC于D.
求证:D点在AB的垂直平分线上. A 证明: ∵ C=90o, A=30o(已知)
∴ ABC=60o(三角形内角和定理)
两个端点距离相等.
如图,
M
∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点
P
(已知),
∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到
这条线段两个端点距离相等).
逆定理 到一条线段两个端点距离 相等的点,在这条线段的垂直平分
A
C
B
线上. 如图,
N
∵PA=PB(已知),
等边三角形中垂线七大性质简介
等边三角形中垂线七大性质简介
等边三角形中的中垂线（也称为高、中线、角平分线、垂直平分线，因为在等边三角形中这些性质是重合的）具有一系列重要的性质。
以下是等边三角形中垂线的主要性质：
1.高：中垂线是从等边三角形的一个顶点到它的对边（底边）的垂线段。
在
等边三角形中，由于三边相等，三个中垂线（或高）也都相等，并且它们都将底边分为两个相等的部分。
2.中线：中垂线也是底边的中线，即将底边分为两个相等的部分。
在等边三
角形中，三个中线都重合，并且长度相等。
3.角平分线：中垂线还是顶角的平分线。
在等边三角形中，每个角都是60∘，
因此中垂线（或角平分线）将顶角平分为两个30∘的角。
由于三角形的三个角都相等，所以三条角平分线也都重合。
4.垂直平分线：中垂线还垂直平分底边。
这意味着中垂线与底边相交于中点，
并且与底边垂直。
在等边三角形中，由于三边相等，三个垂直平分线也都重合。
5.交点：在等边三角形中，三条中垂线（或高、中线、角平分线）都交于一
点，这个点称为三角形的重心、外心、内心和垂心，并且这些点对于等边三角形来说是重合的。
6.等距性：从等边三角形的任一顶点到其对应边的中垂线的距离（即高）都
相等，这个距离也是等边三角形的高。
7.对称性：等边三角形关于其任一条中垂线都是对称的。
这意味着如果你沿
着中垂线折叠等边三角形，它将完全重合。
综上所述，等边三角形中的中垂线具有多重性质，包括作为高、中线、角平分线和垂直平分线，并且这些性质在等边三角形中是重合的。
有心圆锥曲线焦点弦中垂线的两个性质及应用
＞ ：
，
图４
并且 与椭 圆 的左 准线 ， 切 相
的圆的方程 ；
设 弦 Ａ 的垂 互 平 分 线 与 弦 Ａ 交 于 点 Ｍ ，根 据 性 Ｂ Ｂ
（Ｉ 设 过点 Ｆ且不 与 Ｉ）
坐标轴垂直 的直线交椭 圆于 范围．
２ ：ｅｘ０得圭 ０即Ｇ坐 有 －＜＜，一 ，点 横 ｃ￣ ２
标 的取值范 围为 （ ，） 一 ０．
￣ ＩＩ Ｎ Ｆ
ｓ 丽 Ｉ ｉ Ｉ ＝ … Ｎ Ｍ
２ ３
或
３ 即斜为 或 ． 。倾角 詈等
例 如４ 双线 ＿＝ 焦Ｆ ２ 图， 曲等ｙ１ 点作 过 ２右
椭 圆外切 多边形面积 的最小值 问题
２０ ０ ９年第 ７期
福建中学数学
９
Ｊ
＝
ｃ ＋ ， ＝
ｃ ～ ， ，
点 ，双 曲线在点 Ｐ处 的切 线分别交“ 曲线类 准线” 双
～
一
由以上两式消去 ，化简 整理得 ＋ ＝０．
９／
Ａ
定理
一
２ 如 图 ２ 设 点 Ｐ 是 双 曲 线
，
率 为 ｋ，则 Ａ 方 程 为 ： Ｂ
Ｙ＝七 ＋ｃ ）， 代 入 椭 匠 方 程 整 理 得 ： ｌ
图２
（ ２ 。 ２ ＋２ ａ ｋ Ｘ＋ａ ｃｋ ａ ｋ ＋ｂ ） ｃ ２ 。 一ａＺ ＝０， ｂ
设 （ｌＹ） Ｂ ｘ ， ２ ， １ ， （２ Ｙ ），
＋ ＝ ，
于 是 ＝
，
＝
，
于 。 ＝ 莩 ， 是＝ 吖等
直线 ， 的方程 为 ：
ｃ ２ ｂｋ ｔ ｃ ｄｋ
直线 Ｉ 的方程为 ：
中垂线性质
中垂线性质
中垂线性质是数学中一个重要的内容，它可以被用来计算几何图形物体的位置，大小，面积和重心等等。
它最早是古希腊数学家们开始研究的，他们想要研究几何图形的形状和位置，而中垂线性质可以用来解决这些问题。
它是一个集合数学的核心内容，涉及到很多数学概念，其中包括直线、点、多边形、圆等等。
中垂线性质的定义是，如果两个物体的垂线的垂足点都在物体的边界外，那么这两个物体是同一性质的。
如果其中一个物体的垂线的垂足点不在物体的边界外，那么这些物体就不是同一性质的。
举个例子，如果有两个三角形，两个三角形的边都与x轴有一定的交点，如果这些交点的垂线的垂足点都在这两个三角形的边界外，那么这两个三角形就是同一性质的。
中垂线性质有许多应用，其中最主要的是用来判断两个物体是否处于同一平面内。
举个例子，如果有两个三角形，当这两个三角形的每个边上有一个交点时，而这些交点的垂线的垂足点都在这两个三角形的边界外，那么这两个三角形就处于同一平面内。
另外，中垂线性质可以用来计算四边形的面积，通过找出四边形的中垂线和顶点，就可以很容易地计算出四边形的面积。
它也可以用来求出物体的重心，只要对物体的垂线进行求和，就可以求出物体的重心。
中垂线性质也可以用来求出多边形的周长，只要找到多边形的垂线，就可以求出多边形的周长。
一般来说，多边形的周长等于垂线的
总长度减去多边形的宽度。
以上就是数学中的中垂线性质的定义和应用，它是一个很实用的知识，可以被应用到几何图形的计算中，可以用来计算面积、重心、周长等等，是一个非常有用的工具。
中垂线定理及其逆定理
中垂线定理及其逆定理1.引言1.1 概述概述部分的内容需要对中垂线定理及其逆定理进行简要介绍。
可以参考如下内容进行撰写：中垂线定理及其逆定理是解析几何中重要且常用的定理之一。
中垂线是三角形中的一条特殊线段，它连接一个边上的中点与对边的垂足，同时垂直于对边。
中垂线定理指出，在一个平面三角形中，如果一条线段既与边相等又与另一边垂直，则该线段一定是该三角形的中垂线。
而中垂线逆定理则是中垂线定理的逆向推论，即如果一条线段是三角形中某一边的中垂线，那么该线段一定既与该边相等又与另一边垂直。
中垂线定理及其逆定理都具有重要的几何性质和广泛的应用。
这两个定理被广泛应用于求解三角形的几何关系和计算三角形的面积等问题。
它们可以帮助我们简化问题，提供几何上的直观理解，并且在相关的证明和推导中起到重要的引导作用。
本文将从中垂线定理与逆定理的定义与性质入手，介绍它们的推导过程和证明方法，并通过一些实际问题的应用来展示它们的实际意义和应用价值。
此外，文章还将对中垂线定理与逆定理进行总结，并给出一些相关的拓展与应用，帮助读者深入理解和运用这两个定理。
总之，中垂线定理及其逆定理是解析几何中的重要定理，通过研究和应用这些定理，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
在接下来的章节中，我们将逐步展开对中垂线定理及其逆定理的详细介绍与探讨。
1.2 文章结构：本文主要围绕中垂线定理及其逆定理展开讨论，文章结构分为以下几个部分：第一部分为引言，包括概述、文章结构和目的。
在概述部分，将简要介绍中垂线定理及其逆定理的背景和重要性，为读者提供一个整体的认识。
接着，说明文章的结构，即介绍各个章节的主要内容和关系。
最后，明确文章的目的，即阐述中垂线定理及其逆定理的定义、性质、证明和应用，同时提供一些拓展和应用方面的探讨。
第二部分是中垂线定理。
首先，在定义与性质部分，将详细解释中垂线定理的定义，并介绍其重要性质，如中垂线与三角形边的关系。
然后，在证明与应用部分，将给出中垂线定理的证明过程，帮助读者理解中垂线定理的原理和推导方法。
七年级数学垂线的知识点
七年级数学垂线的知识点数学是我们日常生活中不可或缺的一部分，而垂线是数学中一个重要的概念。
在七年级的数学学习中，垂线也是重要的知识点之一。
那么，我们应该如何理解和掌握垂线的概念呢？接下来，我们将从以下几个方面进行探讨。
一、垂线的定义和性质垂线是指从一条线段的一个端点引出的，与这条线段垂直相交的线段。
垂线的性质包括以下几点：1. 垂线和被垂直的直线之间的夹角为90度。
2. 如果线段AB和CD在一个平面内，且AB和CD不平行，则它们至少有一条公共垂线。
3. 如果两条垂线在同一个点相交，那么这两条垂线所在的直线垂直。
二、垂线的作用垂线在数学中有着广泛的应用。
以下是几个常见的应用场景：1. 求两条直线的垂直关系。
如果两条直线相交且相互垂直，那么它们可以构成一个直角。
2. 在平面几何中，垂线可以用来构造各种图形，如三角形、梯形、正方形等。
3. 在计算机科学中，垂线可以用来计算向量和向量之间的夹角，从而实现计算机图形的旋转和变形。
三、垂线的求解在实际问题中，我们常常需要求解垂线的长度和坐标。
以下是几个求解垂线的方法：1. 使用勾股定理和垂线的性质。
如果我们知道线段的两个端点的坐标，那么我们可以通过勾股定理和垂线的性质求出垂线的长度和坐标。
2. 利用向量的知识。
如果我们知道两个向量的坐标，那么我们可以通过向量的点积和长度求解垂线。
3. 利用函数的知识。
如果我们知道函数的方程和点的坐标，那么我们可以通过函数的导数求解垂线。
总之，垂线是数学中一个重要的概念。
掌握垂线的定义、性质和使用方法，对我们的数学学习和应用都有很大的帮助。
三角形的中线高线和中垂线
三角形的中线高线和中垂线在数学的奇妙世界里，三角形是一个非常基础且重要的图形。
而三角形的中线、高线和中垂线，更是理解三角形性质和解决相关问题的关键要素。
首先，咱们来聊聊三角形的中线。
中线是连接三角形一个顶点和它对边中点的线段。
比如说，在三角形 ABC 中，连接顶点 A 和对边 BC中点 D 的线段 AD 就是中线。
每个三角形都有三条中线，并且这三条中线都相交于一点，这个点被称为三角形的重心。
重心有一个很有趣的性质，就是它把每条中线都分成了 1:2 的两段。
中线在解决三角形的面积问题时非常有用。
因为中线把三角形分成了两个面积相等的小三角形。
比如说，还是上面提到的三角形ABC 中，AD 是中线，那么三角形 ABD 和三角形 ACD 的面积就相等。
这是因为这两个小三角形的底 BD 和 DC 相等，高都是从 A 点向 BC 作垂线的长度，所以根据三角形面积公式（面积＝底×高÷2），它们的面积就相等啦。
接下来，再说说三角形的高线。
高线就是从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段。
比如在三角形 ABC 中，从顶点 A 向对边 BC 作垂线，垂足为 E，那么线段 AE 就是三角形ABC 的一条高线。
同样，一个三角形有三条高线，这三条高线所在的直线会相交于一点，这个点叫做三角形的垂心。
高线在计算三角形的面积时也是必不可少的。
因为三角形的面积可以用公式（面积＝底×高÷2）来计算，只要知道了底和对应的高，就能求出面积。
而且，通过高线还能判断三角形的类型。
如果一个三角形的三条高线都在三角形内部，那这个三角形就是锐角三角形；如果有一条高线在三角形的边上，那它就是直角三角形；要是有两条高线在三角形外部，那它就是钝角三角形。
最后，咱们讲讲三角形的中垂线。
中垂线就是垂直平分一条线段的直线。
对于三角形来说，三角形一边的中垂线就是经过这条边中点并且垂直于这条边的直线。
垂线试题及答案
垂线试题及答案1. 垂线的定义是什么？答案：从一点到一条直线所画的最短距离的线段叫做垂线。
2. 垂线的性质有哪些？答案：垂线的性质包括：(1) 垂线是垂直于另一条直线的线。
(2) 垂线与被垂线相交成90度角。
(3) 过直线上一点有且只有一条垂线。
3. 如何画出一条直线的垂线？答案：画出一条直线的垂线的方法如下：(1) 确定直线上的一个点。
(2) 以该点为圆心，画一个圆。
(3) 从圆上任意一点画一条与直线相交的线。
(4) 这条线与直线的交点即为垂线。
4. 垂线在几何证明中的作用是什么？答案：垂线在几何证明中的作用包括：(1) 帮助构造直角三角形，用于计算和证明。
(2) 用于证明线段的垂直关系。
(3) 作为辅助线，帮助证明其他几何性质。
5. 垂线与平行线的关系是什么？答案：垂线与平行线的关系是：(1) 如果一条直线垂直于另一条直线，那么它与这条直线的平行线也垂直。
(2) 垂线可以作为平行线的判定工具。
6. 垂线在实际应用中有哪些？答案：垂线在实际应用中包括：(1) 建筑施工中，确保墙壁和地面垂直。
(2) 测量学中，确定水平和垂直位置。
(3) 绘图和设计中，确保图形的准确性。
7. 垂线与斜线的关系是什么？答案：垂线与斜线的关系是：(1) 垂线与斜线相交成90度角。
(2) 垂线可以作为斜线的垂直投影。
8. 如何证明两条直线垂直？答案：证明两条直线垂直的方法包括：(1) 利用角度计算，证明两条直线的夹角为90度。
(2) 利用垂线的定义，证明一条直线与另一条直线相交成90度角。
9. 垂线在几何图形中的作用是什么？答案：垂线在几何图形中的作用包括：(1) 帮助确定图形的对称性。
(2) 用于计算图形的面积和周长。
(3) 作为辅助线，帮助证明其他几何性质。
10. 垂线与圆的关系是什么？答案：垂线与圆的关系是：(1) 从圆心到圆上任意一点画的线段是圆的半径。
(2) 圆的半径垂直于通过该点的切线。
(3) 垂线可以作为圆的切线的判定工具。
人教版 八年级上册 第十三章尺规作图 中垂线的性质 讲义设计(Word版 无答案)
【题型一、概念的考查】 【例 1】作出下列图形的对称轴。
【例 2】 如图，△ABC 和△A ′B ′C ′关于直线 MN 对称，点 A ′、B ′、C ′分别 是点 A 、B 、C 的对称点， 线段 AA ′、BB ′、CC ′与直线 MN 有什么关系？ （1）设 AA ′交 对称轴 MN 于点 P ，将△ABC 和△A ′B ′C ′沿 MN 折叠后，点 A 与 A ′重合吗？【例 3】已知点 A （1，2），B （5，5），C （5，2），问是否存在点 E ，使△ACE 和△ACB 全等，若存在，求出所 有点的坐标．【方法技巧】做对称图形的题目时可以画出草图来结合解题。
【题型二、作图】【例4】已知：如图，△ABC ，分别画出与△ABC 关于x 轴、y 轴对称的图形△A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 ， △A 1B 1C 1 和△A 2B 2C 2 各顶点坐标为：△A 1（， ）；B 1（ ， ）；C 1（ ， ）；△A 2（，）；B 2（，）；C 2（，）．【例 5】把图 1，图 2 补成关于直线 l 对称的图形A·l·B图2l图1【例6】将一张正方形的纸片按下图方式三次折叠，沿MN 裁剪，则可得（）（A）多个等腰直角三角形（B）一个等腰直角三角形和一个正方形（C）两个相同的正方形（D）四个相同的正方形【题型三、垂直平分线性质定理】【例7】如图，四边形ABCD与四边形EFGH关于MN对称。
（1）A、B、C、D的对称点分别是，线段AD、AB的对应线段分别是，CD=，∠CBA= ，∠ADC=（2）连接AE、BF，AE与BF平行吗？为什么？（3）对称轴MN与线段AE的关系？【例8】如右图所示，直线MN和DE分别是线段AB、BC的垂直平分线，它们交于P点，请问PA和PC相等吗?为什么?【例9】过直线外一点作这条直线的垂线已知：求作：作法：巩固练习1. 下列图形中不是轴对称图形的是（）2.下列英文字母属于轴对称图形的是（）A、NB、SC、LD、E3．下列各时刻是轴对称图形的为（）4. 在镜中看到的一串数字是“”，则这串数字是。
垂线的性质和判定
二、典例精析：判定及性质应用
例1(1)如图1，若直线m、n相交于点O,∠1＝90°,则m⊥n；
(2)如图2，BO⊥AO，∠BOC与∠BOA的度数之比 为1∶5，那么∠COA＝_7_2_°_,∠BOC的补角为 162°.
m
1
O
n
图1
B C
O
A
图2
三、探究垂线的画法
你能借助三角尺在一张白纸上画出两条互相垂 直的直线吗？
l
B
2.你能用一句话表示这个结论吗？
CD
E
总结归纳
垂线的性质3 ： 在连接直线外一点与直线上各点的
线段中，垂线段最短.
简单说成：垂线段最短.
A
特别规定：
l D
线段AD的长度叫做点A到直线l的距离.
试一试： 在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如 何挖掘能使渠道最短？请画出图来，并说明理由.
垂线段最短 m
一、情境引入,探究概念 日常生活中，如图中的两条直线的关系很常见
知识要点 垂直定义： 两条直线相交成四个角，如果有一 个角是直角，那么称这两条直线互 相垂直.
特别的，两条线段互相垂直是 指这两条线段所在的直线互相垂 直.
垂直的表示法
如果直线AB与直线CD垂直，那么可记
作：AB⊥CD（或CD⊥AB）.
如果用l、m表示这两条直线，那么直 线l与直线m垂直，可记作：l⊥m（或m ⊥
C l
l）.
A
O mB
垂线的定义
D
其中一条直线叫做另一条直线的垂线。
垂足的定义
把互相垂直的两条直线的交点叫作垂足 （如图中的O点）.
垂直的判定 如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOD=90° 时，AB⊥CD，垂足为O.
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B
探索并证明线段垂直平分线的判定
线段垂直平分线的判定 与一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上． 用几何符号表示为： ∵ PA =PB， A ∴ 点P 在AB 的垂直平分线上． P
C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
你能再找一些到线段AB 两端点的距离相等的点吗？ 能找到多少个到线段AB 两端点距离相等的点？ P 这些点能组成什么几何图形？ 在线段AB 的垂直平分线l 上的 点与A，B 的距离都相等；反过来， 与A，B 的距离相等的点都在直线l 上，所以直线l 可以看成与两点A、 A B 的距离相等的所有点的集合．
什么是线段的垂直平分线 2.你能找出线段的对称轴吗？ 3. 线段的对称轴与这条线段有什么关系？说明理由．
探索并证明线段垂直平分线的性质
如图，直线l 垂直平分线段AB，P1，P2，P3，„是 l 上的点，请猜想点P1，P2，P3，„ 到点A 与点B 的距 离之间的数量关系． 相等． P3 你能用不同的方法验证这一结论吗？ P
F
课堂练习
练习4 如图，过点P 画∠AOB 两边的垂线，并和 同桌交流你的作图过程． A
P O
B
课堂小结
（1）本节课学习了哪些内容？ （2）线段垂直平分线的性质和判定是如何得到的？ 两者之间有什么关系？ （3）如何判断一条直线是否是线段的垂直平分线？
布置作业
教科书习题13.1第6、9题．
解：∵
D
C
E
∵ ∴ ∵
AB =CE，BD =DC，∴ 即 AB +BD =DE ．
AB +BD =CD +CE．
探索并证明线段垂直平分线的判定
反过来，如果PA =PB，那么点P 是否在线段AB 的 垂直平分线上呢？ P 点P 在线段AB 的垂直平分线上．
已知：如图，PA =PB． 求证：点P 在线段AB 的垂直平 A 分线上．
课件说明
• 学习目标： 1．理解线段垂直平分线的性质和判定． 2．能运用线段垂直平分线的性质和判定解决实际问 题． 3．会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线， 了解作图的道理． • 学习重点： 线段垂直平分线的性质及尺规经过已知直线外一点作这 条直线的垂线．
一、创设情境，温故知新
1.前面我们学习了轴对称图形，线段是轴对称图形吗？
C
B
探索并证明线段垂直平分线的判定
已知：如图，PA =PB．求证：点P 在线段AB 的垂直平分线上． P 证明：如图作PC⊥AB 则∠PCA =∠PCB =90°． 在Rt△PCA 和Rt△PCB 中， ∵ PA =PB，PC =PC， A ∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）． C ∴ AC =BC． 又 PC⊥AB， ∴ 点P 在线段AB 的垂直平分线上
2
P1 A l B
探索并证明线段垂直平分线的性质
请在图中的直线l 上任取一点，那么这一点与线段 AB 两个端点的距离相等吗？
线段垂直平分线上的点与这条 线段两个端点的距离相等． A l P3 P2 P1 B
探索并证明点到线段两端点的距
离相等．” 已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB，点 P 在l 上． l 求证：PA =PB． P A
C
B
探索并证明线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC =CB， 点P 在l 上．求证：PA =PB． l
P 证明：∵ l⊥AB， ∴ ∠PCA =∠PCB． 又 AC =CB，PC =PC， B A C ∴ △PCA ≌△PCB（SAS） ∴ PA =PB． 用几何语言表示为： 线段垂直平分线的性质： ∵ CA =CB，l⊥AB， 线段垂直平分线上的点与这条 ∴ PA =PB． 线段两个端点的距离相等．
C
B
课堂练习P62 2
练习3 如图，AB =AC，MB =MC．直线AM 是线段BC 的垂直平分线吗？ A 解：∵ AB =AC， ∴ 点A 在BC 的垂直平分线． ∵ MB =MC， M ∵ 点M 在BC 的垂直平分线上 ∴ 直线AM 是线段BC 的垂直 B D 平分线．
C
尺规作图
(P62) 如何用尺规作图的方法经过直线外一点 作已知直线的垂线？ （1）为什么任意取一点K ，使点K与点C 在直线两旁？ 1 （2）为什么要以大于 DE 的长为半径作弧？ 2 （3）为什么直线CF 就是所求作的垂线？ C D A K E B
课堂练习
练习1 如图，在△ABC 中，BC =8，AB 的中垂线 交BC于D，AC 的中垂线交BC 与E，则△ADE 的周长等 8 ． 于______ A
B
D
E
C
课堂练习P62
2 如图，AD⊥BC，BD =DC，点C 在AE 的垂直平 分 线 上 ， AB ， AC ， CE 的 长 度 有 什 么 关 系 ？ AB+BD与DE 有什么关系？ A AD⊥BC，BD =DC ∴ AD 是BC 的垂直平分线 ∴ AB =AC B 点C 在AE 的垂直平分线上 AC =CE． ∴ AB =AC =CE