人教A版高一数学余弦定理,正弦定理同步测试题

人教A版高一数学解三角形同步测试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.在△ABC中，若cosAcosC =ca，则△ABC的形状是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形2.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2B2=a+c2c，则△ABC的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形3.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若B=60∘，b2=ac，则△ABC一定是( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0，a=2，c=√2，则C=( )A. π12B. π6C. π4D. π35.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=2√23，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π6.在△ABC中，∠A=60∘，b=1，S△ABC=√3，则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于( )A. 2√393B. 263√3 C. 83√3 D. 2√37.在△ABC中，已知A=30∘，a=8，b=8√3，则△ABC的面积为( )A. 32√3B. 16C. 32√3或16D. 32√3或16√38.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，2b−√3c=2acosC，sinC=√32，则△ABC的面积为( )A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√329.已知△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=4，b+c=5，tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB，则△ABC的面积为( )A. √32B. 3√3 C. 32√3 D. 3210.在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若cosB=14，sinCsinA=2，且S△ABC=√154，则b=( )A. 4B. 3C. 2D. 111.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A=π4，b2−a2=12c2，则tanC=( )A. 2B. −2C. 12D. −1212. 在△ABC 中，B =π6，BC 边上的高等于√39BC ，则cosA =( )A. 5√1326B. −5√1326C. −3√3926D. 3√3926二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 在△ABC 中，面积S =14(a 2+b 2−c 2)，则∠C 等于______ ．14. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ，则x 的取值范围是______ ．15. 在△ABC 中，AB =1，AC =2，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，则△ABC 面积等于______ ．16. 已知钝角三角形的三边分别是a ，a +1，a +2，其最大内角不超过120∘，则a 的取值范围是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知asin2B =√3bsinA ．(1)求B ；(2)已知cosA =13，求sinC 的值．18. 在△ABC 中，若asinBcosC +csinBcosA =12b ，且a >b ，(1)求角B 的大小；(2)若b =√13，a +c =4，求△ABC 的面积．19. 已知△ABC 中，(a −c)(sinA +sinC)=(a −b)sinB ，(1)求∠C ；(2)若△ABC 的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．20.在△ABC中，内角A，B，C对边的边长分别是a，b，c，已知c=2，C=π3．(Ⅰ)若△ABC的面积等于√3，求a，b；(Ⅱ)若sinC+sin(B−A)=2sin2A，求△ABC的面积．21.如图，在平面四边形ABCD中，DA⊥AB，DE=1，EC=√7，EA=2，∠ADC=2π3，∠BEC=π3．(Ⅰ)求sin∠CED的值；(Ⅱ)求BE 的长．22. 在△ABC 中，已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ．(1)求证：tanB =3tanA ；(2)若cosC =√55，求A 的值．答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. B5. C6. A7. D8. C9. C10. C11. A12. B13. 45∘14. (√5，√13)15. √3216. 32≤a<317. 解：(1)∵asin2B=√3bsinA，∴2sinAsinBcosB=√3sinBsinA，∴cosB=√32，∴B=π6．(2)∵cosA=13，∴sinA=2√23，∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×√32+12×13=2√6+16．18. 解：(1)由asinBcosC+csinBcosA=12b，可得：sinAcosC+sinCcosA=12，⇔sin(A+C)=12⇔sinB=12．∵a>b，∴B=π6．(2)b=√13，a+c=4，∴(a+c)2=16，即a2+c2+2ac=16由cosB=√32=a2+c2−b22ac，可得：a2+c2=√3ac+13，∴ac(2+√3)=3，ac=3(2−√3)∴S△ABC=12acsinB=12×3(2−√3)×12=6−3√34．19. 解：(1)由(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB，得(a−c)(a+c)=(a−b)b，∴a2−c2=ab−b2，∴a2+b2−c2=ab，∴cosC=a2+b2−c22ab =12又∵0∘<C<180∘，∴C=60∘(2)S=12absinC=12×√32ab=4√3sinAsinB=4√3sinAsin(120∘−A)=4√3sinA(sin120∘cosA−cos120∘sinA)=6sinAcosA+2√3sin2A =3sin2A−√3cos2A+√3=2√3sin(2A−30∘)+√3∴当2A=120∘，即A=60∘时，S max=3√320. 解：(Ⅰ)∵c =2，C =π3，c 2=a 2+b 2−2abcosC∴a 2+b 2−ab =4，又∵△ABC 的面积等于√3， ∴12absinC =√3， ∴ab =4联立方程组{a 2+b 2−ab =4ab =4，解得a =2，b =2 (Ⅱ)∵sinC +sin(B −A)=sin(B +A)+sin(B −A)=2sin2A =4sinAcosA ， ∴sinBcosA =2sinAcosA 当cosA =0时，A =π2，B =π6，a =4√33，b =2√33，求得此时S =2√33当cosA ≠0时，得sinB =2sinA ，由正弦定理得b =2a ，联立方程组{a 2+b 2−ab =4b =2a解得a =2√33，b =4√33． 所以△ABC 的面积S =12absinC =2√33 综上知△ABC 的面积S =12absinC =2√3321. 解：(Ⅰ)设α=∠CED ，在△CDE 中，由余弦定理得EC 2=CD 2+ED 2−2CD ⋅DEcos∠CDE ， 即7=CD 2+1+CD ，则CD 2+CD −6=0， 解得CD =2或CD =−3，(舍去)， 在△CDE 中，由正弦定理得EC sin∠EDC =CDsinα， 则sinα=CD⋅sin 2π3EC=2×√32√7=√217， 即sin∠CED =√217．(Ⅱ)由题设知0<α<π3，由(Ⅰ)知cosα=√1−sin 2α=√1−2149=2√77，而∠AEB =2π3−α，∴cos∠AEB =cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32×√217=√714，在Rt △EAB 中，cos∠AEB =EABE =2BE ， 故BE =2cos∠AEB =√714=4√7．22. 解：(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴cbcosA =3cacosB ，即bcosA =3acosB ， 由正弦定理bsinB =asinA 得：sinBcosA =3sinAcosB ， 又0<A +B <π，∴cosA >0，cosB >0，在等式两边同时除以cosAcosB ，可得tanB =3tanA ； (2)∵cosC =√55，0<C <π，sinC=√1−cosC2=2√55，∴tanC=2，则tan[π−(A+B)]=2，即tan(A+B)=−2，∴tanA+tanB1−tanAtanB=−2，将tanB=3tanA代入得：tanA+3tanA1−3tan2A=−2，整理得：3tan2A−2tanA−1=0，即(tanA−1)(3tanA+1)=0，解得：tanA=1或tanA=−13，又cosA>0，∴tanA=1，又A为三角形的内角，则A=π4．【解析】1. 解：∵cosAcosC =ca，可得acosA=ccosC，∴a⋅b2+c2−a22bc =c⋅a2+b2−c22ab，整理可得：b2(a2−c2)=(a2−c2)(a2+c2)，∴a2−c2=0，即a=c，或者b2=a2+c2，∴△ABC的形状是等腰或直角三角形．故选：C．由已知利用余弦定理可得整理可得：b2(a2−c2)=(a2−c2)(a2+c2)，从而可求a=c，或者b2=a2+c2，即可得解．本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，考查了分类讨论思想，属于基础题．2. 解：∵cos2B2=a+c2c，∴cosB+12=a+c2c，∴解得：cosB=ac，∴由余弦定理可得：a2+c2−b22ac =ac，∴a2+c2−b2=2a2，即a2+b2=c2，∴△ABC为直角三角形．故选：A．利用二倍角公式代入cos2B2=a+c2c，求得cosB=ac，进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2，根据勾股定理判断出三角形为直角三角形．本题主要考查了三角形的形状判断.考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用，属于基础题．3. 解：由余弦定理可得：b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac，化为(a−c)2=0，解得a=c．又B=60∘，可得△ABC是等边三角形，故选：C．利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出．本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4. 解：sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC ， ∵sinB +sinA(sinC −cosC)=0，∴sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC −sinAcosC =0， ∴cosAsinC +sinAsinC =0， ∵sinC ≠0，∴cosA =−sinA ， ∴tanA =−1， ∵0<A <π， ∴A =3π4，由正弦定理可得csinC =asinA ， ∴sinC =csinA a，∵a =2，c =√2， ∴sinC =csinA a=√2×√222=12，∵a >c ， ∴C =π6，故选：B ．根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题 5. 解：∵bcosA +acosB =2， ∴由余弦定理可得：b ×b 2+c 2−a 22bc+a ×a 2+c 2−b 22ac=2，整理解得：c =2，又∵cosC =2√23，可得：sinC =√1−cos 2C =13，∴设三角形的外接圆的半径为R ，则2R =csinC =213=6，可得：R =3，∴△ABC 的外接圆的面积S =πR 2=9π． 故选：C ．由余弦定理化简已知等式可求c 的值，利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值，进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R 的值，利用圆的面积公式即可计算得解． 本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，圆的面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．6. 解：∵∠A =60∘，b =1，S △ABC =√3=12bcsinA =12×1×c ×√32， ∴c =4，∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+14−2×1×4×12=13， ∴a =√13，∴a−2b+csinA−2sinB+sinC =asinA =√13√32=2√393．故选：A ．先利用面积公式求得c 的值，进而利用余弦定理可求a ，再利用正弦定理求解比值．本题的考点是正弦定理，主要考查正弦定理的运用，关键是利用面积公式，求出边，再利用正弦定理求解．7. 解：∵在△ABC中，已知A=30∘，a=8，b=8√3，由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc得：cos30∘=√32=22⋅83⋅c解得：c=16或c=8又∵S△ABC=12⋅bc⋅sinA∴S△ABC=32√3，或S△ABC=16√3故选D．由已知中，在△ABC中，已知A=30∘，a=8，b=8√3，由余弦定理，我们可以求出c的值，代入S△ABC=12⋅bc⋅sinA，即可求出△ABC的面积．本题考查的知识点是三角形中的几何计算，余弦定理，三角形面积公式，其中根据已知利用余弦定理求出c的值，是解答本题的关键．8. 解：∵2b−√3c=2acosC，∴由正弦定理可得2sinB−√3sinC=2sinAcosC，∴2sin(A+C)−√3sinC=2sinAcosC，∴2cosAsinC=√3sinC，∴cosA=√32∴A=30∘，∵sinC=√32，∴C=60∘或120∘A=30∘，C=60∘，B=90∘，a=1，∴△ABC的面积为12×1×2×√32=√32，A=30∘，C=120∘，B=30∘，a=1，∴△ABC的面积为12×1×1×√32=√34，故选：C．2b−√3c=2acosC，利用正弦定理，求出A；sinC=√32，可得C=60∘或120∘，分类讨论，可得三角形面积．本题考查正弦定理，考查三角形面积的计算，考查分类讨论的数学思想，属于中档题．9. 解：∵tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB化简得，∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC，所以tanC=√3.所以C=60∘．cosC=12ab(a2+b2−c2)，把a=4，b+c=5，C=60∘代入解得b=32，所以S=12absinC=3√32故选C根据tanC=−tan(A+B)利用正切的两角和公式化简整理求得tanC的值，继而求得C，利用余弦定理a=4，b+c=5，C=60∘代入求得b，最后利用三角形面积公式求得答案．本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生综合分析问题的能力．10. 解：△ABC 中，cosB =14，sinCsinA =2，∴由正弦定理可得c =2a ，sinB =√154．再由S △ABC =√154=12ac ⋅sinB =a 2⋅√154，可得a =1，∴c =2，∴b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =1+4−4×14=4，∴b =2， 故选：C ．由条件利用正弦定理可得c =2a ，sinB =√154.再由S △ABC =√154求得a =1，可得c =2，再利用余弦定理求得b 的值．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题．11. 解：在△ABC 中，∵A =π4，∴由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccos π4， ∴b 2−a 2=√2bc −c 2， 又b 2−a 2=12c 2． ∴√2bc −c 2=12c 2． ∴√2b =32c.可得b =3√2c 4，∴a 2=b 2−12c 2=58c 2，即a =√10c 4．∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=5c 28+9c 28−c 22×√10c 4×3√2c 4=√55． ∵C ∈(0，π)， ∴sinC =√1−cos 2C =2√55． ∴tanC =sinCcosC =2． 故选：A ．由余弦定理可得：a 2=b 2+c 2−2bccos π4，已知b 2−a 2=12c 2.可得b =3√2c4，a =√10c4c.利用余弦定理可得cosC.利用同角三角函数基本关系式可得sinC ，进而可求出tanC 的值．本题考查了余弦定理、同角三角形基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12. 解：由题意，设BC =x ，那么BC 边上的高AD =√39x ， ∵∠B =30∘，∴BAD =60∘，AB =AD sin30∘=√318x ， BD =AB ⋅sin60∘=112x ， 则DC =x −112x =1112x ．那么：AC 2=(1112x)2+(√39x)2． 由余弦定理可得：cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =−5√1326．故选B ．由题意，设BC =x ，那么BC 边上的高等于√39x ，利用勾股定理建立关系，求出AC ，AB ，在利于余弦定理求cosA 的值．本题考查△ABC 的边长与角的关系的求法，是中档题，解题时要注意余弦定理的合理运用． 13. 解：由三角形的面积公式得：S =12absinC ，而S =14(a 2+b 2−c 2)，所以12absinC =14(a 2+b 2−c 2)，即sinC =a 2+b 2−c 22ab =cosC ，则sinC =cosC ，即tanC =1，又∠C ∈(0，180∘)，则∠C =45∘．故答案为：45∘根据三角形的面积公式表示出△ABC 的面积S ，让S 等于已知的面积，化简后表示出sinC 的关系式，利用余弦定理得到此关系式等于cosC ，进而得到sinC 与cosC 的值相等，即tanC 的值为1，由C 的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出∠C 的度数．本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S ，与已知的S 相等，化简得到tanC 的值.要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理，牢记特殊角的三角函数值．14. 解：分两种情况来做，当x 为最大边时，由余弦定理可知只要22+32−x 2>0即可，可解得3<x <√13当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了，则有22+x 2−32>0，可解得√5<x ≤3所以综上可知x 的取值范围为(√5，√13)，故答案为(√5，√13)．分两种情况来做，当x 为最大边时，只要保证x 所对的角为锐角就可以了；当x 不是最大边时，则3为最大边，同理只要保证3所对的角为锐角就可以了．本题考查余弦定理得运用，应注意分类讨论．15. 解：∵在△ABC 中，AB =1，AC =2，(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2，∴12+2×1×cosA =2，解得cosA =12．∵0<A <π，∴sinA =√1−(12)2=√32． ∴S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA =12×1×2×√32=√32． 故答案为√32． 利用数量积运算性质可得cosA ，再利用平方关系即可得出sinA ，利用三角形的面积公式S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA 即可得出．熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA 是解题的关键．16. 解：钝角三角形的三边分别是a ，a +1，a +2，其最大内角不超过120∘∴{a +(a +1)>a +20>a 2+(a+1)2−(a+2)22a⋅(a+1)≥−12 解得32≤a <3故答案为：32≤a <3．本题考查的知识点是余弦定理的应用，由钝角三角形的三边分别是a ，a +1，a +2，根据三角形任意两边之和大于第三边，我们可得a +(a +1)>a +2，由其最大内角不超过120∘，我们可以得到关于a 的不等式组，解不等式组即可得到a 的取值范围． 在判断三角形的形状时，若三边长均含有参数，一定要考虑构成三角形的条件，即任意两边之和大于第三边，这也是本题的易错点．17. (1)利用正弦定理将边化角即可得出cosB ；(2)求出sinA ，利用两角和的正弦函数公式计算．本题考查了正弦定理解三角形，两角和的正弦函数，属于基础题．18. (1)利用正弦定理公式化简，即可求角B 的大小；(2)运用三角形的内角和定理可得角A ，再由正弦定理，计算即可得到c ．本题考查三角形的正余弦定理的运用和计算能力以及三角形的面积的计算.属于基础题． 19. (1)利用正弦定理把题设中的条件中的角的正弦换成边，化简整理得a 2+b 2−c 2=ab ，进而利用余弦定理求得cosC ，则C 可得．(2)利用三角形面积公式表示出三角形的面积，利用正弦定理把边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理，进而利用正弦函数的性质求得三角形面积的最大值．本题主要考查了解三角形的实际应用.解题的关键是利用了正弦定理完成了边角问题的互化．20. (Ⅰ)先通过余弦定理求出a ，b 的关系式；再通过正弦定理及三角形的面积求出a ，b 的另一关系式，最后联立方程求出a ，b 的值．(Ⅱ)通过C =π−(A +B)及二倍角公式及sinC +sin(B −A)=2sin2A ，求出∴sinBcosA =2sinAcosA.当cosA =0时求出a ，b 的值进而通过12absinC 求出三角形的面积；当cosA ≠0时，由正弦定理得b =2a ，联立方程解得a ，b 的值进而通过12absinC 求出三角形的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．21. (Ⅰ)根据三角形边角之间的关系，结合正弦定理和余弦定理即可得到结论．(Ⅱ)利用两角和的余弦公式，结合正弦定理即可得到结论．本题主要考查解三角形的应用，根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键，难度不大．22. (1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边，然后两边同时除以c 化简后，再利用正弦定理变形，根据cosAcosB≠0，利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA；(2)由C为三角形的内角，及cosC的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值，进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值，由tanC的值，及三角形的内角和定理，利用诱导公式求出tan(A+B)的值，利用两角和与差的正切函数公式化简后，将tanB=3tanA代入，得到关于tanA的方程，求出方程的解得到tanA的值，再由A 为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．此题属于解三角形的题型，涉及的知识有：平面向量的数量积运算法则，正弦定理，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正切函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．。