人教A版高一数学余弦定理,正弦定理同步测试题

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2021年高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理同步检测试题 新人教A版必修5

2021年高中数学 1.1 正弦定理和余弦定理同步检测试题 新人教A版必修5

理同步检测试题新人教A版必修51.在△ABC中,若2cos B sin A=sin C,则△ABC的形状一定是( ).A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.在△ABC中,若a2=bc,则角A是 ( ).A.锐角 B.钝角C.直角 D.60°3.在△ABC中,AB=7,AC=6,M是BC的中点,AM=4,则BC等于( ).A.21B.106C.69D.1544.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a2+c2-b2=3ac,则角B的值为________.5.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为=2,则角A的大小为________.6.在△ABC中,内角A、B、C成等差数列,其对边a,b,c满足2b2=3ac,求A.7.若△ABC的内角A,B,C所对的边a,b,c满足(a+b)2-c2=4,且C=60°,则ab的值 ( ).A.43B.8-43C.1 D.238.在△ABC中,sin2A≤sin2B+sin2C-sinB sin C,则A的取值范围是( ).A.⎝⎛⎦⎥⎤0,π6B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6,πC.⎝⎛⎦⎥⎤0,π3D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3,π 9.△ABC 中,若a cosA 2=bcos B2=c cosC 2,则△ABC 的形状是________.10.在锐角△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若b a +a b =6cos C ,则tan Ctan A +tan Ctan B的值是________. 11.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知m =⎝⎛⎭⎪⎫cos 3A 2,sin 3A 2,n =⎝⎛⎭⎪⎫cos A 2,sin A 2,且满足|m +n |= 3.(1)求角A 的大小;(2)若|AC →|+|AB →|=3|BC →|,试判断△ABC 的形状.13.(11分)在△ABC 中,b =a sin C ,c =a cosB ,试判断△ABC 的形状.14.(12分)在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C的对边分别为a,b,c,且2a sin B=b.(1)求角A的大小;(2)若a=6,b+c=8,求△ABC的面积.15.(12分)在△中,,,,求的值和△的面积.31080 7968 票023043 5A03 娃20811 514B 克- 21257 5309 匉x27508 6B74 歴b34821 8805 蠅{-;33035 810B 脋。

(完整版)正弦定理、余弦定理单元测试卷

(完整版)正弦定理、余弦定理单元测试卷

高一数学《正弦定理、余弦定理》单元测试题班级 姓名 1.在ABC ∆中,︒=∠︒=∠=15,30,3B A a ,则=c ( )A .1 B. 2 C .3 2 D. 32.在ABC ∆中,︒=∠==60,10,15A b a ,则B cos =( )A .-223 B.223 C .-63 D.633.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,若B b A a sin cos =,则B A A 2cos cos sin +=( )A .-12 B.12C .-1D .1 4.在ABC ∆中,若A b a sin 23=,则B 等于 ( )A. ο30B. ο60C.ο30或ο150D.ο60或ο1205.不解三角形,确定下列判断中正确的是 ( )A. ο30,14,7===A b a ,有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ,有两解D. ο60,10,9===A c b ,无解6.在ABC ∆中,︒===30,3,1A b a ,则c =( )A .1B .2C .1或2D .无解7.在ABC ∆中,ο60=A ,3=a ,则=++++C B A c b a sin sin sin ( ) A.338 B.3392 C.3326 D. 32 8在△ABC 中,已知135cos ,53sin ==B A ,则C cos 等于( ) (A )6556 (B )6516 (C )6516或6556 (D )6533 9.直角△ABC 的斜边AB=2,内切圆的半径为r ,则r 的最大值是( )(A )2 (B )1 (C )22 (D )12-10.在△ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 2+c 2-b 2=3ac ,则角B 的值为( ) A. π6 B. π3 C. π6或5π6 D. π3或2π311.已知锐角△ABC 的面积为33,BC =4,CA =3,则角C 的大小为( )A .75°B .60°C .45°D .30°12.若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C =5∶11∶13,则△ABC( )A .一定是锐角三角形B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形二、填空题13.在ABC ∆中,已知3,45,60=︒=∠︒=∠C ABC BAC ,则AC =________;14.已知c b a ,,分别是ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边.若B C A b a 2,3,1=+==,则C sin =________;15.在ABC ∆中,5:3:1::=c b a ,则2sin A -sin B sin C=________. 16.已知△ABC 的三个内角A ,B ,C 成等差数列,且AB =1,BC =4,则边BC 上的中线AD 的长为________.三、解答题17、在ABC ∆中,已知ο30=A ,ο45=C 20=a ,解此三角形.18、在ABC ∆中,已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形.19.已知a ,b ,c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边.(Ⅰ)若△ABC 面积为,60,2,23︒==A c 求a ,b 的值; (Ⅱ)若acosa=bcosB ,试判断△ABC 的形状20.在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,设S 为△ABC 的面积,且S =34(a 2+b 2-c 2). (1)求角C 的大小;(2)求sin A +sin B 的最大值.。

人教新课标A版高中必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测A卷

人教新课标A版高中必修5数学1.1 正弦定理和余弦定理同步检测A卷
25. (5分) (2017·合肥模拟) 已知f(x)=ln(x+m)﹣mx.
(Ⅰ)求f(x)的单调区间;
(Ⅱ)设m>1,x1 , x2为函数f(x)的两个零点,求证:x1+x2<0.
参考答案
一、 选择题 (共15题;共30分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
A .
B .
C .
D .
7. (2分) 如图所示, , , 三点在地面上的同一直线上, ,从 两点测得 点的仰角分别为 , ,则 点离地面的高为 ( )
A .
B .
C .
D .
8. (2分) (2016高二上·湖北期中) 钝角△OAB三边的比为2 :2 :( ﹣ ),O为坐标原点,A(2,2 )、B(a,a),则a的值为( )
③b=acosC,c=acosB

有两个结论:甲:△ABC是等边三角形.乙:△ABC是等腰直角三角形.
请你选取给定的四个条件中的两个为条件,两个结论中的一个为结论,写出一个你认为正确的命题________.
三、 解答题 (共5题;共55分)
21. (15分) (2017·桂林模拟) 已知f(x)=(x2﹣2ax)lnx+2ax﹣ x2 , 其中a∈R.
B . 90°
C . 150°
D . 120°
2. (2分) (2018高三上·黑龙江月考) 在 中,角 的对边分别为 ,若 ,则 ( )
A .
B .
C .
D .
3. (2分) (2019高三上·深州月考) 在 中,内角 所对的边分别为 .已知 ,则 ( )

2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5

2021_2022学年高中数学第一章正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理作业1新人教A版必修5

1.1.2余弦定理基础巩固一、选择题1.在△ABC 中,b =5,c =53,A =30°,则a 等于( ) A .5 B .4 C .3 D .10[答案] A[解析] 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ∴a 2=52+(53)2-2×5×53×cos30°, ∴a 2=25,∴a =5.2.在△ABC 中,已知a 2=b 2+c 2+bc ,则角A 等于( ) A .π3B .π6C .2π3D .π3或2π3[答案] C[解析] ∵a 2=b 2+c 2+bc ,∴cos A =b 2+c 2-a 22bc =b 2+c 2-b 2-c 2-bc 2bc =-12,又∵0<A <π,∴A =2π3.3.(2014·全国新课标Ⅱ理,4)钝角三角形ABC 的面积是12,AB =1,BC =2,则AC =( )A .5B . 5C .2D .1[答案] B[解析] 本题考查余弦定理及三角形的面积公式. ∵S △ABC =12ac sin B =12×2×1×sin B =12,∴sin B =22, ∴B =π4或3π4.当B =π4时,经计算△ABC 为等腰直角三角形,不符合题意,舍去.当B =3π4时,由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B ,解得b =5,故选B .4.(2014·江西理,4)在△ABC 中,内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ,若c 2=(a -b )2+6,C =π3,则△ABC 的面积是( )A .3B .932C .332D .3 3[答案] C[解析] 本题考查正弦、余弦定理及三角形的面积公式.由题设条件得a 2+b 2-c 2=2ab -6,由余弦定理得a 2+b 2-c 2=ab , ∴ab =6,∴S △ABC =12ab sin π3=12×6×32=332.选C .5.△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,若a 、b 、c 满足b 2=ac ,且c =2a , 则cos B =( ) A .14 B .34 C .24D .23[答案] B[解析] 由b 2=ac ,又c =2a ,由余弦定理,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+4a 2-a ×2a 2a ·2a =34.6.(2015·广东文,5)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c .若a =2,c =23, cos A =32,且b <c ,则b =( ) A .3 B .2 2 C .2 D . 3[答案] C[解析] 由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A , ∴4=b 2+12-6b ,即b 2-6b +8=0, ∴b =2或b =4. 又∵b <c ,∴b =2.二、填空题7.以4、5、6为边长的三角形一定是________三角形.(填:锐角、直角、钝角) [答案] 锐角[解析] 由题意可知长为6的边所对的内角最大,设这个最大角为α,则cos α=16+25-362×4×5=18>0,因此0°<α<90°. 8.若2、3、x 为三边组成一个锐角三角形,则x 的取值范围为________. [答案] (5,13)[解析] 长为3的边所对的角为锐角时,x 2+4-9>0,∴x >5, 长为x 的边所对的角为锐角时,4+9-x 2>0,∴x <13, ∴5<x <13.三、解答题9.在△ABC 中,A +C =2B ,a +c =8,ac =15,求b .[解析] 解法一:在△ABC 中,由A +C =2B ,A +B +C =180°,知B =60°.a +c =8,ac =15,则a 、c 是方程x 2-8x +15=0的两根.解得a =5,c =3或a =3,c =5. 由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =9+25-2×3×5×12=19.∴b =19.解法二:在△ABC 中,∵A +C =2B ,A +B +C =180°, ∴B =60°. 由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B =(a +c )2-2ac -2ac cos B=82-2×15-2×15×12=19.∴b =19.10.在△ABC 中,已知sin C =12,a =23,b =2,求边c .[解析] ∵sin C =12,且0<C <π,∴C 为π6或5π6.当C =π6时,cos C =32,此时,c 2=a 2+b 2-2ab cos C =4,即c =2. 当C =5π6时,cos C =-32,此时,c 2=a 2+b 2-2ab cos C =28,即c =27.能力提升一、选择题1.在△ABC 中,AB =3,BC =13,AC =4,则AC 边上的高为( ) A .322B .332C .32D .3 3[答案] B[解析] 由余弦定理,可得cos A =AC 2+AB 2-BC 22AC ·AB =42+32-1322×3×4=12,所以sin A =32. 则AC 边上的高h =AB sin A =3×32=332,故选B . 2.在△ABC 中,∠B =60°,b 2=ac ,则这个三角形是( ) A .不等边三角形 B .等边三角形 C .等腰三角形 D .直角三角形[答案] B[解析] 由余弦定理,得cos B =a 2+c 2-b 22ac =a 2+c 2-ac 2ac =12,则(a -c )2=0,∴a =c ,又∠B =60°, ∴△ABC 为等边三角形.3.在△ABC 中,三边长AB =7,BC =5,AC =6,则AB →·BC →等于( ) A .19 B .-14 C .-18 D .-19[答案] D[解析] 在△ABC 中AB =7,BC =5,AC =6, 则cos B =49+25-362×5×7=1935.又AB →·BC →=|AB →|·|BC →|cos(π-B ) =-|AB →|·|BC →|cos B =-7×5×1935=-19.4.△ABC 的三内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ,设向量p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c -a ),若p ∥q ,则C 的大小为( ) A .π6B .π3C .π2D .2π3[答案] B[解析] ∵p =(a +c ,b ),q =(b -a ,c -a ),p ∥q , ∴(a +c )(c -a )-b (b -a )=0, 即a 2+b 2-c 2=ab .由余弦定理,得cos C =a 2+b 2-c 22ab =ab 2ab =12,∵0<C <π,∴C =π3.二、填空题5.(2015·重庆文,13)设△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且a =2,cos C =-14,3sin A =2sin B ,则c =________. [答案] 4[解析] ∵3sin A =2sin B , ∴3a =2b ,又∵a =2,∴b =3. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C , ∴c 2=22+32-2×2×3×(-14)=16,∴c =4.6.如图,在△ABC 中,∠BAC =120°,AB =2,AC =1,D 是边BC 上一点,DC =2BD ,则AD →·BC →=________.[答案] -83[解析] 由余弦定理,得BC 2=22+12-2×2×1×(-12)=7,∴BC =7,∴cos B =4+7-12×2×7=5714.∴AD →·BC →=(AB →+BD →)·BC →=AB →·BC →+BD →·BC → =-2×7×5714+73×7×1=-83.三、解答题7.已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2,BC =6,CD =DA =4,求四边形ABCD 的面积. [解析] 如图,连结AC .∵B +D =180°,∴sin B =sin D .S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =12AB ·BC ·sin B +12AD ·DC ·sin D =14sin B .由余弦定理,得AB 2+BC 2-2AB ·BC ·cos B =AD 2+DC 2-2AD ·DC ·cos D , 即40-24cos B =32-32cos D .又cos B =-cos D , ∴56cos B =8,cos B =17.∵0°<B <180°,∴sin B =1-cos 2B =437. ∴S 四边形ABCD =14sin B =8 3.8.设△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且a +c =6,b =2,cos B =79.(1)求a 、c 的值; (2)求sin(A -B )的值.[解析] (1)由余弦定理,得b 2=a 2+c 2-2ac cos B 得,b 2=(a +c )2-2ac (1+cos B ),又已知a +c =6,b =2,cos B =79,∴ac =9.由a +c =6,ac =9,解得a =3,c =3. (2)在△ABC 中,∵cos B =79,∴sin B =1-cos 2B =429. 由正弦定理,得sin A =a sin Bb =223,∵a =c ,∴A 为锐角,∴cos A =1-sin 2A =13.∴sin(A -B )=sin A cos B -cos A sin B =223×79-13×429=10227.9.在△ABC 中,角A 、B 、C 所对边分别为a 、b 、c 且a =3,C =60°,△ABC 的面积为332,求边长b 和c .[解析] ∵S △ABC =12ab sin C ,∴332=12×3b ×sin60°=12×3b ×32, ∴b =2.由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C =9+4-2×3×2×cos60° =9+4-2×3×2×12=7,∴c =7.。

2021年高中数学 正弦定理和余弦定理1练习题 新人教A版必修5

2021年高中数学 正弦定理和余弦定理1练习题 新人教A版必修5

一、选择题:1.在△ABC 中,a =15,b =10,A =60°,则cos B =( )A .-223 B.223 C .-63 D.63 2.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c .若a 2-b 2=3bc ,sin C =23sin B ,则A =( )A .30°B .60°C .120°D .150°3.(xx·江西)E ,F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点,则tan∠ECF =( )A.1627B.23C.33D.344.△ABC 中,若lg a -lg c =lgsin B =-lg 2且B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,π2,则△ABC 的形状是( )A .等边三角形B .直角三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形5.△ABC 中,a 、b 、c 分别为∠A 、∠B 、∠C 的对边,如果a 、b 、c 成等差数列,∠B =30°,△ABC 的面积为0.5,那么b 为( )A .1+ 3B .3+ 3 C.3+33 D .2+3 6.已知锐角A 是△ABC 的一个内角,a 、b 、c 是三角形中各内角的对应边,若sin2A-cos2A=12,则( )A.b+c=2a B.b+c<2ª C.b+c≤2a D.b+c≥2a7、若的内角满足,则A. B. C. D.8、如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值,则A.和都是锐角三角形 B.和都是钝角三角形C.是钝角三角形,是锐角三角形D.是锐角三角形,是钝角三角形9、的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为(A) (B) (C) (D)10、已知等腰的腰为底的2倍,则顶角的正切值是()A.B.C.D.11、的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则A. B. C. D.12、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,A=,a=,b=1,则c=(A)1 (B)2 (C)—1 (D)二、填空题:13、在中,若,则的大小是___________.14、在ABC中,已知,b=4,A=30°,则sinB= .15、在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边BC上的中线AD的长为.三、解答题:17。

高中数学 正弦定理和余弦定理同步练习 新人教A版必修

高中数学 正弦定理和余弦定理同步练习 新人教A版必修

1.1.1正弦定理作业1、 在ABC ∆中,若A b a sin 23=,则B 等于 ( )A. ο30B. ο60C. ο30或ο150D. ο60或ο1202、在ABC ∆中,已知ο45,1,2===B c b ,则a 等于 ( ) A. 226- B. 226+ C. 12+ D. 23-3、不解三角形,确定下列判断中正确的是 ( )A. ο30,14,7===A b a ,有两解B. ο150,25,30===A b a ,有一解C. ο45,9,6===A b a ,有两解D. ο60,10,9===A c b ,无解4、在ABC ∆中,已知B a b sin 323=,C B cos cos =,则ABC ∆的形状是()A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形5、在ABC ∆中,ο60=A ,3=a ,则=++++C B A cb a sin sin sin ( ) A. 338 B. 3392 C. 3326 D. 326、在ABC ∆中,已知ο30=A ,ο45=C 20=a ,解此三角形。

7、在ABC ∆中,已知ο30,33,3===B c b ,解此三角形。

参考答案:1、 解析:由A b a sin 23=可得23sin b A a =,由正弦定理可知B b A a sin sin =,故可得23sin =B ,故=B ο60或ο120。

2、 解析:由正弦定理可得C c B b sin sin =,带入可得21sin =C ,由于b c <,所以ο30=C ,ο105=B ,又由正弦定理B b A a sin sin =带入可得226+=a 3、解析:利用三角形中大角对大边,大边对大角定理判定解的个数可知选B。

4、解析:由B a b sin 323=可得23sin a B b =,所以23sin =A ,即ο60=A 或ο120,又由C B cos cos =及()π,0,∈C B 可知C B =,所以ABC ∆为等腰三角形。

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理习题及答案

正弦定理和余弦定理测试题一、选择题:1.在△ABC中,a=15,b=10,A=60°,则 cos B=() 22226 A.-3 B.3C.-3D.6 32.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别是a,b,c.若 a2-b2=3bc,sin C=23sin B,则A=()A.30°B.60°C.120°D.150°3.E,F是等腰直角△ABC斜边AB上的三平分点,则tan ∠ECF =()16233A. 27B. 3C.3D.4.△中,若-lg c ==-lg 2且∈ 0,π,则△ABC4ABC lg a lgsin B B2的形状是 ()A.等边三角形 B .直角三角形 C .等腰三角形 D .等腰直角三角形5.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,假如a、b、c 成等差数列,∠ B=30°,△ ABC的面积为,那么 b 为()A.1+ 3B.3+ 3 C.3+ 3D.2+ 3 36.已知锐角A是△ABC的一个内角,a、b、c是三角形中各内角的对应边,若 sin2-cos2=1,则 ()A A2A.b+c=2a B .b+c<2a C.b+c≤2a D.b+c≥2a7、若ABC的内角A知足sin 2A 2,则 sin A cos A 3A.153 B.153C.5D.5338、假如A1 B1C1的三个内角的余弦值分别等于A2 B2C2的三个内角的正弦值,则A.A1B1C1和A2B2C2都是锐角三角形B.A1B1C1和A2 B2C2都是钝角三角形C.A1 B1C1是钝角三角形,A2 B2C2是锐角三角形D.A1B1C1是锐角三角形,A2 B2C 2是钝角三角形9、VABC的三内角A,B,C所对边的长分别为 a, b, c 设向量ur r ur rp (a c, b) , q (b a, c a) ,若 p // q ,则角C的大小为(A)(B)(C)(D)233 6210、已知等腰△ABC的腰为底的 2 倍,则顶角A的正切值是()A.3B. 3C.15D.15 28711、ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c,若 a、b、c 成等比数列,且 c2a ,则 cosBA .1B.3C .24 44D.2312、在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c, A=, a= 3 , b=1,3则 c=(A)1(B)2(C)3—1(D)3二、填空题:13 、在ABC中,若sin A:sin B :sin C5:7:8 ,则B的大小是___________.14、在 ABC中,已知a 3 3,=,=°,则=.b 4 A30sinB415、在△ ABC中,已知 BC=12,A=60°, B=45°,则 AC=16、已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列,且AB=1,BC=4,则边 BC上的中线 AD的长为.三、解答题:11 17。

人教版高中数学必修第二册6.4.3 第3课时 正弦定理和余弦定理的综合问题 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册6.4.3 第3课时 正弦定理和余弦定理的综合问题 同步练习(含答案)

人教版高中数学必修第二册6.4.3余弦定理、正弦定理第3课时正弦定理和余弦定理的综合问题同步练习一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分)1.在△ABC中,若sin =cos ,则角C的大小为()A.30°B.45°C.60°D.90°2.已知锐角三角形ABC的面积为33,BC=4,CA=3,则角C的大小为()A.60°或120°B.120°C.60°D.30°3.在△ABC中,若A=60°,b=1,△ABC的面积S=3,则 sin =()B3C D.33=2,则△ABC外接圆的直4.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=1,B=45°,S△ABC径为()A.5B.43C.52D.625.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2c cos C=b cos A+a cos B,则角C的大小为()A.2π3B.5π6C.π6D.π36.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若c2+2ab=a2+b2+6,C=2π3,则△ABC的面积是()A.3B2C D.337.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若c cos B+b cos C=a sin A,△ABC的面积b2+a2-c2),则B=()A.90°B.60°C.45°D.30°8.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若2cos2 + 2-cos2C=1,4sin B=3sin A,a-b=1,则c=()A.13B.7C.37D.6二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)9.在△ABC中,若A=60°,b=16,此三角形的面积S=2203,则a的值为.10.在△ABC中,若a∶b∶c=1∶3∶5,则2sin -sin sin =.11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=45,cos C=513,a=1,则b=.12.在△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C的对边,且B为锐角,若sin sin =5 2 ,sin S△ABCb的值为.三、解答题(本大题共2小题,共20分)13.(10分)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a2-ab-2b2=0.(1)若B=π6,求角A,C的大小;(2)若C=2π3,c=14,求S△ABC.14.(10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知(a+2c)cos B+b cos A=0.(1)求角B的大小;(2)若b=3,△ABC的周长为3+23,求△ABC的面积.15.(5分)已知在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上,若∠BDC=45°,则BD=,cos∠ABD=.16.(15分)已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量m=(a,3b)与n=(cos A,sin B)平行.(1)求角A的大小;(2)若a=7,b=2,求△ABC的面积.参考答案与解析1.B[解析]∵sin =sin =cos ,∴cos C=sin C,∴C=45°,故选B.2.C[解析]∵S△ABC=12BC·CA·sin C=33,∴sin C∈(0°,90°),∴C=60°.3.A[解析]∵S=3=1bc sin A=12×1∴c=4,∴a2=b2+c2-2bc cos A=12+42-2×1×4×12=13,得a=13,∴ sin =4.C[解析]根据三角形的面积公式得,12×1×c×sin45°=2,所以c=42,则b2=a2+c2-2ac cos B=25,即b=5.设△ABC外接圆的半径为R,则直径为2R,由正弦定理得2R= sin =52,故选C.5.D[解析]由题意及正弦定理得,2sin C cos C=sin B cos A+sin A cos B=sin(A+B)=sin C,∵sin C ≠0,∴cos C=12,∴C=π3.故选D.6.C[解析]由c2+2ab=a2+b2+6,可得c2=a2+b2-2ab+6,由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cosC=a2+b2+ab,∴a2+b2-2ab+6=a2+b2+ab,∴ab=2,则S△ABC=12ab sin C.7.D[解析]由正弦定理及c cos B+b cos C=a sin A,得sin C cos B+sin B cos C=sin2A,即sin(C+B)=sin2A,即sin A=sin2A,所以sin A=1,因为0°<A<180°,所以A=90°.由余弦定理、三角形面积公式及b2+a2-c2),得12ab sin2ab cos C,整理得tan C=3,因为0°<C<90°,所以C=60°,故B=30°.故选D.8.A[解析]由2cos2 + 2-cos2C=1,可得2cos2 + 2-1-cos2C=0,则有cos2C+cos C=0,即2cos2C+cos C-1=0,解得cos C=12或cos C=-1(舍去).由4sin B=3sin A,得4b=3a①,又a-b=1②,联立①②得a=4,b=3,所以c2=a2+b2-2ab cos C=16+9-12=13,则c=13.9.49[解析]由12bc sin A=2203得c=55,所以a2=b2+c2-2bc cos A=2401,所以a=49.10.-15[解析]由条件得 =sin sin =15,∴sin A=15sin C.同理可得sin B=35sinC,∴2sin -sin sin =2×15sin -35sinsin =-15.11.2113[解析]因为cos A=45,cos C=513,且A,C为三角形的内角,所以sin A=35,sin C=1213,则sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=6365,又因为 sin = sin ,所以b= sin =21.12.14[解析]由sin sin =5 2 ,得 =5 2 ,所以a=52c①,由S△ABC=12ac sin sin得12ac=5②,联立①②得a=5,c=2.由sin B为锐角知cos B=34,故由余弦定理得b2=25+4-2×5×2×34=14,所以b=14.13.解:(1)由a2-ab-2b2=0结合正弦定理得sin2A-sin A sin B-2sin2B=0,又B=π6,所以上式化简并整理得2sin2A-sin A-1=0,于是sin A=1或sin A=-12(舍去).因为0<A<π,所以A=π2,又A+B+C=π,所以C=π-π2-π6=π3.(2)由余弦定理得c2=a2+b2-2ab cos C,即142=a2+b2-2ab cos2π3,所以a2+b2+ab=196①.由a2-ab-2b2=0得(a+b)(a-2b)=0,因为a+b>0,所以a-2b=0,即a=2b②,联立①②解得b=27,a=47,=12ab sin C=143.所以S△ABC14.解:(1)由已知及正弦定理得(sin A+2sin C)cos B+sin B cos A=0,即(sin A cos B+sin B cos A)+2sin C cos B=0,即sin(A+B)+2sin C cos B=0,∵sin(A+B)=sin C,且sin C≠0,∴cos B=-12,又0<B<π,∴B=2π3.(2)由余弦定理,得9=a2+c2-2ac cos B,∴a2+c2+ac=9,则(a+c)2-ac=9.∵a+b+c=3+23,b=3,∴a+c=23,∴ac=3,∴S=12ac sin B=12×3△ABC15[解析]由题意得AC= 2+ 2=5,所以sin∠BAC= =3,cos∠BAC= =45.在△ABD中,由正弦定理得 sin∠ t = t sin∠ ,而AB=4,∠ADB=3π4,所以cos∠ABD=cos(∠BDC-∠BAC)=cosπ4cos∠BAC+sinπ4sin∠16.解:(1)因为m ∥n ,所以a sin B-3b cos A=0,由正弦定理,得sin A sin B-3sin B cos A=0,又sin B ≠0,所以tan A=3.由于0<A<π,所以A=π3.(2)方法一:由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,而a=7,b=2,A=π3,所以7=4+c 2-2c ,即c 2-2c-3=0,即(c-3)(c+1)=0,因为c>0,所以c=3.故△ABC 的面积为12bc sin 方法二:由正弦定理,得=sin ,7sin π3=2sin,从而sin又由a>b ,知A>B ,所以cos故sin C=sin (A+B )=sin B+π3=sin B cos π3+cos B sin π3=所以△ABC 的面积为12ab sin。

《正弦定理和余弦定理》试题(新人教必修)

《正弦定理和余弦定理》试题(新人教必修)
第8
题.如图,已知△ABC中,AD为
BAC
的均分线,利用正弦定理证明
AB
BD
AC

DC
A
B
π
C
D
AB
BD
答案:证明:由正弦定理得
sin
AC
sin
AB
BD.
DC
AC
DC
sin
π
sin
第9题.在△ABC中,已知sin2
A
sin2B
sin2C,求证:△ABC为直角三角形.
答案:证明:设
a
b
c
k 0,
sin B
x的范围.
cos A
0,
答案:解:
△ABC为锐角三角形,
cos B

x 5,
0且1
cosC
0
2
2
x
2


2
3
0
x
2
2
2
2

13
即3
x
2
0
x
2

x
2
2
2

5
2
3
0
1
x 5.
1
x 5.
5x13.
4 / 7
第14题.在△ABC中.为何说sin A sin B是A
B的充要条件?
答案:因为sin A
sin B
,A
B2180,所以所求B160或
B2
120.
第21题.已知△ABC中,
A
60

B
45,且三角形一边的长为
m,解这个三角
形.
答案:依题意,有

高一人教A数学必修5测试卷:正弦定理和余弦定理A卷

高一人教A数学必修5测试卷:正弦定理和余弦定理A卷

故选 A. 10. 【答案】
B 【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:由已知条件可得梯形 ABCD 如图所示,
第 7页 共 18页
连结 AC. 在△ ACD 中,CD2 = AD2 + AC2 − 2AD ⋅ AC ⋅ cos∠DAC. 设 CD = a,则 AD = 2a,AC = 5a, ∴ a2 = ( 2a)2 + ( 5a)2 − 2 ⋅ 2a ⋅ 5a ⋅ cos∠DAC,
解:由 a = b ,
sinA sinB
得 sinB = 3,
2
又 a < b, 所以 B = 60 或 120, 所以 C = 90 或 30. 故答案为:90 或 30. 【答案】
7
3 【考点】
余弦定理
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解:由余弦定理,得a2 = b2 + c2 − 2bccosA
=
1 c
= sin 2x − π + 2,
6
当 x ∈ 0, π 时,f(x)的最大值为 3,
2
此时 2A − π = π,即 A = π,
62
3
由余弦定理a2 = b2 + c2 − 2bccosA,
得(2
3)2
=
b2
+
42

2
×
4
×
b
×
1,解得
2
b
=
2.
故选 A.
第 9页 共 18页
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.把答案填在题中横线上) 【答案】 90 或30 【考点】 正弦定理 【解析】 此题暂无解析 【解答】

高一数学正弦定理和余弦定理试题

高一数学正弦定理和余弦定理试题

高一数学正弦定理和余弦定理试题1.在中,分别为角的对边,且满足.(1)求角的值;(2)若,设角的大小为的周长为,求的最大值.【答案】(1)(2)【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和三角函数中两角和差的公式的综合运用。

(1)根据已知条件可知,三边的关系,结合余弦定理得到角A的值。

(2)利用正弦定理表示c边,然后借助于三角函数的性质来求解最值。

解:(1)在中,由及余弦定理得…2分而,则;……………4分(2)由及正弦定理得,……6分同理……………8分∴………………10分∵∴,∴即时,。

…………………12分2.已知a,b,c分别是的三个内角A,B,C的对边,(1)若的面积=,c=2,A=,求a,b的值;(2)若,且,试判断三角形的形状.【答案】(1);(2)等腰直角三角形。

【解析】本试题主要是考查了解三角形中正弦定理和余弦定理的运用,三角形面积公式的综合问题。

(1)由于三角形的面积,再结合,c=2,A=,得到b的值,再通过正弦定理得到a的值。

(2)利用化边为角的思想,将得到角A,B,C的关系式,从而确定三角形的形状。

(1);(2)等腰直角三角形。

3.在△中,关于x的方程有两个不同的实根,则∠A为()A.锐角B.直角C.钝角D.不存在【答案】A【解析】解:因为关于x的方程有两个不同的实根,则满足判别式大于零即为,则利用余弦定理可知,说明角A为锐角。

选A4.在△中,a、b、c分别是角A、B、C的对边长,则=()A. B. C. D.【答案】D【解析】解:因为,结合三角形的正弦定理和余弦定理变形可知为=5.已知中,求:(1)边b的长;(2)求的面积。

【答案】解:(1) ;(2)由【解析】本试题主要是考查了三角形中利用余弦定理和三角形的正弦面积公式的运用。

(1)中利用余弦定理,直接得到b的值(2)利用上一问的结论,得到解:(1)由余弦定理(2)由6.在中,,,,则( )A.4B.C.D.【答案】D【解析】解:因为在中,,,,因此B=450利用正弦定理可知选D7.在中,a、b、c分别是角A、B、C的对边,且。

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习题共3套(附答案)

正弦定理与余弦定理练习第一套正弦定理(一)●作业导航掌握正弦定理,会利用正弦定理求已知两角和任意一边或两边和一边对角的三角形问题.一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.已知△ABC 中,a =4,b =43,∠A =30°,则∠B 等于()A .30°B .30°或150°C .60°D .60°或120°2.已知△ABC 中,AB =6,∠A =30°,∠B =120°,则△ABC 的面积为()A .9B .18C .93D .1833.已知△ABC 中,a ∶b ∶c =1∶3∶2,则A ∶B ∶C 等于()A .1∶2∶3B .2∶3∶1C .1∶3∶2D .3∶1∶24.已知△ABC 中,sin A ∶sin B ∶sin C =k ∶(k +1)∶2k (k≠0),则k 的取值范围为()A .(2,+∞)B .(-∞,0)C .(-21,0)D .(21,+∞) 5.在△ABC 中,sin A >sin B 是A >B 的()A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.在△ABC 中,若∠B =30°,AB =23,AC =2,则△ABC 的面积是________.2.在△ABC 中,若b =2c sin B ,则∠C =________.3.设△ABC 的外接圆半径为R ,且已知AB =4,∠C =45°,则R =________.4.已知△ABC 的面积为23,且b =2,c =3,则∠A =________.5.在△ABC 中,∠B =45°,∠C =60°,a =2(3+1),那么△ABC 的面积为________.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)1.在△ABC 中,∠C =60°,BC =a ,AC =b ,a +b =16.(1)试写出△ABC 的面积S 与边长a 的函数关系式.(2)当a 等于多少时,S 有最大值?并求出这个最大值.2.在△ABC 中,已知a 2-a =2(b +c ),a +2b =2c -3,若sin C ∶sin A =4∶13,求a ,b ,c .3.在△ABC 中,求证2tan 2tanBA BA b a b a +-=+-.4.△ABC 中,A 、B 、C 成等差数列,b =1,求证:1<a +c ≤2.5.在一个三角形中,若有一个内角不小于120°,求证:最长边与最短边之比不小于3.参考答案一、选择题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.D 分析:由正弦定理得,B bA a sin sin =,∴sin B =23sin =aA b ,∴∠B =60°或∠B =120°.2.C 分析:∵∠A =30°,∠B =120°,∴∠C =30°,∴BA =BC =6,∴S △ABC =21×BA ×BC ×sin B =21×6×6×23=93.3.A 分析:由正弦定理得,C cB b A a sin sin sin ==,∴sin A ∶sin B ∶sin C =1∶3∶2=21∶23∶1,∴A ∶B ∶C =30°∶60°∶90°=1∶2∶3.4.D 分析:利用正弦定理及三角形两边之和大于第三边.5.C 分析:A >B ⇔a >b ⇔2Rsin A >2Rsin B ⇔sin A >sin B .二、填空题(本大题共5小题,每小题3分,共15分)1.23或3分析:sin C =23230sin 32=︒,于是,∠C =60°或120°,故∠A =90°或30°,由S △ABC =21×AB ×AC ×sin A ,可得S △ABC =23或S △ABC =3.2.30°或150°分析:由b =2c sin B 及正弦定理C cB B c Cc B b sin sin sin 2sin sin ==得,∴sin C =21,∴∠C =30°或150°.3.22分析:∵c =2R sin C ,∴R =22sin 2=C c.4.60°或120°分析:∵S △ABC =21bc sin A ,∴23=21×2×3sin A ,∴sin A=23,∴∠A =60°或120°.5.6+23分析:∵B bA a sin sin =,∴︒=︒-︒-︒+45sin )6045180sin()13(2b,∴b =4.∴S △ABC =21ab sin C =6+23.三、解答题(本大题共5小题,每小题6分,共30分)1.解:(1)∵a +b =16,∴b =16-aS =21ab sin C =21a (16-a )sin60°=43(16a -a 2)=-43(a -8)2+163(0<a <16)(2)由(1)知,当a =8时,S 有最大值163.2.解:∵sin C ∶sin A =4∶13∴c ∶a =4∶13设c =4k ,a =13k ,则⎪⎩⎪⎨⎧-=++=-38213)4(213132k b k k b kk∵k =133时b <0,故舍去.∴k =1,此时a =13,b =2135-,c =4.3.证明:由正弦定理,知a =2R sin A ,b =2R sin B2tan2tan2cos 2sin 22cos 2sin 2)22sin(22sin()22sin()22sin(sin sin sin sin sin 2sin 2sin 2sin 2B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A BA BA B R A R B R A R b a b a +-=-++-=--++-++--+--++=+-=+-=+-∴4.证明:∵A 、B 、C 成等差数列,∴2B =A +C ,又A +B +C =π,∴B =3π,A +C =32π.∵b =1,设△ABC 的外接圆半径为R ,∴b =2R sin 3π∴1=2R ·23,∴3R =1.∴a +c =2R sin A +2R sin C =2R (sin A +sin C )=2R [sin(32π-C )+sin C ]=2R (23cos C +23sin C )=23R (21cos C +23sin C )=23R sin(C +6π)=2sin(C +6π)∵A +C =32π,∴0<C <32π∴6π<C +6π<65π∴21<sin(C +6π)≤1∴1<2sin(C +6π)≤2 ∴1<a +c ≤2.5.证明:在△ABC 中,设C ≥120°,则c 最长,令最短边为a ,由正弦定理得A B A A C a c sin )sin(sin sin +==∵A ≤B∴2A ≤A +B ≤180°-C ≤60°∵正弦函数在(0,3π)上是增函数,∴sin(A +B )≥sin2A >0∴A B A a c sin )sin(+=≥A A A A A sin cos sin 2sin 2sin ==2cos A ∴a c≥2cos A ∵2A ≤60° ∴0°<A ≤30°∴cos A ≥cos30°=23∴a c ≥2·23∴a c≥3∴最长边与最短边之比不小于第二套正弦定理练习(二)1.在ABC ∆中,已知角04345,2,,3B c b ===则角A 的值是()A.15°B.75°C.105°D.75°或15°2.ABC ∆中,bsinA<a<b,则此三角形有()A.一解B.两解C.无解D.不确定3.若sin cos cos ,A B CABC a b c==∆则是()A.等边三角形B.有一内角是30°C.等腰直角三角形D.有一内角是30°的等腰三角形4.在ABC ∆中,已知0060,45,8,B C BC AD BC ===⊥于D,则AD 长为()A.4(31)- B.4(3+1)3+3)D.4(33)5.在ABC ∆中,A>B 是sinA>sinB 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中,060,6,14B b a ===,则A=7.在ABC ∆ABC ∆中,已知cos 2cos 21sin 2sin cos ,cos sin B C A B C C B +=+==求证:b=c 且A=900。

高一数学测试题—正弦、余弦定理与解三角形练习

高一数学测试题—正弦、余弦定理与解三角形练习

正弦、余弦定理与解三角形 姓名:1、ΔABC 中,a=1,b=3, ∠A=30°,则∠B 等于 ( )A .60°B .60°或120°C .30°或150°D .120°2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是 ( )A .a=1,b=2 ,c=3B .a=1,b=2 ,∠A=30°C .a=1,b=2,∠A=100° C .b=c=1, ∠B=45°3、在锐角三角形ABC 中,有( )A .cosA>sinB 且cosB>sinAB .cosA<sinB 且cosB<sinAC .cosA>sinB 且cosB<sinAD .cosA<sinB 且cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c -a)=3bc,且sinA=2sinBcosC, 那么ΔABC 是( )A .直角三角形B .等边三角形C .等腰三角形D .等腰直角三角形5、设A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB -sinA)x 2+(sinA -sinC)x +(sinC -sinB)=0有等根,那么角B ( )A .B>60°B .B ≥60°C .B<60° D .B ≤60°6、满足A=45°,c=6 ,a=2的△ABC 的个数记为m,则a m 的值为( )A .4B .2C .1D .不定7、如图:D,C,B 三点在地面同一直线上,DC=a,从C,D 两点测得A 点仰角分别是β, α(α<β),则A 点离地面的高度AB 等于 ( )A .)sin(sin sin αββα-a B .)cos(sin sin βαβα-⋅aC .)sin(cos sin αββα-a D .)cos(sin cos βαβα-a8、两灯塔A,B 与海洋观察站C 的距离都等于a(km), 灯塔A 在C 北偏东30°,B 在C 南 偏东60°,则A,B 之间的相距 ( )A .a (km)B .3a(km)C .2a(km)D .2a (km)9、A 为ΔABC 的一个内角,且sinA+cosA=127, 则ΔABC 是______三角形.10、在ΔABC 中,A=60°, c:b=8:5,内切圆的面积为12π,则外接圆的半径为_____. 11、在ΔABC 中,若S ΔABC =41 (a 2+b 2-c 2),那么角∠C=______.12、在ΔABC 中,a =5,b = 4,cos(A -B)=3231,则cosC=_______.A Bαβ13、在ΔABC 中,求分别满足下列条件的三角形形状: ①B=60°,b 2=ac ; ②b 2tanA=a 2tanB ; ③sinC=BA B A cos cos sin sin ++④ (a 2-b 2)sin(A+B)=(a 2+b 2)sin(A -B).14.已知函数()2c o s 6f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(其中0ω>x ∈R)的最小正周期为10π.(Ⅰ)求ω的值;(Ⅱ)设α、0,2πβ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,56535f απ⎛⎫+=-⎪⎝⎭,5165617f βπ⎛⎫-=⎪⎝⎭,求()c o s αβ+的值.15.在A B C ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,3C π=,5b =,A B C ∆的面积为1(Ⅰ)求,a c 的值; (Ⅱ)求s in 6A π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.19.设函数2()c o s (2)s in24f x x x π=++(I)求函数()f x 的最小正周期; (II)设函数()g x 对任意x R ∈,有()()2g x g x π+=,且当[0,]2x π∈时, 1()()2g x f x =-,求函数()g x 在[,0]π-上的解析式.20.已知向量(sin ,1),c o s ,c o s 2)(0)3Am x n x x A ==> ,函数()f x m n =⋅ 的最大值为6.(Ⅰ)求A ;(Ⅱ)将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位,再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍,纵坐标不变,得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域.高一数学测试题—参考答案正弦、余弦定理与解三角形一、BDBBD AAC 二、(9)钝角 (10)3314 (11)4π(12)81三、(13)分析:化简已知条件,找到边角之间的关系,就可判断三角形的形状. ①由余弦定理ac ac caacbcaacbca=-+⇒=-+⇒-+=︒22222222212260cos 0)(2=-∴c a ,ca =∴. 由a=c 及B=60°可知△ABC 为等边三角形. ②由AA bB aA bcos sin tan tan 222⇒=,2sin 2sin ,cos sin cos sin sinsin cos sin cos sin cos sin 22222B A B B A A AB ab BA AB BBa =∴=∴==⇒=∴A=B 或A+B=90°,∴△ABC 为等腰△或Rt △. ③BA B A C cos cos sin sin sin ++=,由正弦定理:,)cos (cos b a B A c +=+再由余弦定理:ba acbcac bccbac +=-+⨯+-+⨯22222222∆∆∴+=∴=--+∴Rt ABC b ac b acb a 为,,0))((222222. ④由条件变形为2222)sin()sin(bab a B A B A +-=+-︒=+=∴=∴=⇒=--+-++∴90,2sin 2sin sinsin sin cos cos sin ,)sin()sin()sin()sin(2222B A B A B A BA BA B A ba B A B A B A B A 或.∴△ABC 是等腰△或Rt △. 点评:这类判定三角形形状的问题的一般解法是:由正弦定理或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式,然后化简考察边或角的关系,从而确定三角形的形状. 有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用. 如本例的②④也可用余弦定理,请同学们试试看.。

人教A版高一数学新教材必修二余弦定理,正弦定理同步练习题

人教A版高一数学新教材必修二余弦定理,正弦定理同步练习题

人教A版高一数学新教材必修二余弦定理,正弦定理同步练习题时间:120分钟满分:150分命卷人:审核人:一、选择题(每小题5分,共12小题60分)1. 在中,角,,的对边分别为,,,已知,那么这个三角形最大角的度数是( )A. B.C. D.2. 中,角,,的对边分别为,,,若,,,则( )A. B.C. D.3. 在中,角,,所对的边分别为,,,那么是的( )条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分且必要D. 既不充分也不必要4. 已知中,,那么角的大小是( )A. B.C. D.5. 已知的面积是,其内角,,所对边长分别为,,,且,则等于( )A. B.C. D.6. 在中,分别为角的对边,且,则角的大小为()A. B.C. D.7. 在中,,,分别是角,,的对边,若,且,则的值为( )A. B.8. 已知船在灯塔北偏东且到的距离为,船在灯塔西偏北且到的距离为,则两船的距离为( )A. B.C. D.9. 已知的面积,则等于()A. B.C. D.10. 在中,分别是角的对边,已知,,的面积为,则的值为( )A. B. 2C. 4D. 111. 在解三角形的问题中,其中一个比较困难的问题是如何由三角形的三边,,直接求三角形的面积,据说这个问题最早是由古希腊数学家阿基米德解决的,他得到了海伦公式即,其中,我国南宋著名数学家秦九韶(约)也在《数书九章》里面给出了一个等价解法,这个解法写成公式就是,这个公式中的应该是( )A. B.C. D.12. 在中,角所对的边分别为,若,则当取最小值时,( )A. B.二、填空题(每小题5分,共4小题20分)13. 在中,已知,,,则__________.14. (2019全国II文)的内角的对边分别为.已知,则__________.15. 设中,角所对的边分别为,若的面积为,则__________.16. 如图,在平面四边形中,,分别为边,上的点,为等边三角形,,且,,,则面积的最大值为__________.三、解答题(第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共6小题70分)17. 在中,角,,所对的边分别为,,,且.(1)求的值; (2)求的值.18. 在中,,,分别是内角,,的对边,且满足.(1)求角的值; (2)若,边上的中线,求的面积.19.在中,,,分别是内角,,所对的边,已知.(1)求角; (2)若,,求的周长.20. (2020济南一模)如图,平面四边形,点均在半径为的圆上, 且.(1)求的长度; (2)若,,求的面积.21. 设锐角三角形的内角,,的对边分别为,,,.(1)求角的大小; (2)若,求的最大值.22.在中,角所对的边分别是,已知.(1)若的面积等于,求;(2)若,求的面积.2020-2021学年度高一数学新教材必修二余弦定理,正弦定理同步练习题答案和解析第1题:【答案】C【解析】∵,∴, 设(),则,.由大边对大角定理可知,角是最大角, 由余弦定理得, ∵,因此.第2题:【答案】C【解析】由余弦定理得,∴.第3题:【答案】C【解析】由题意得,由三角形的性质可知,大角对大边,可知充分性成立,由正弦定理可知,必要性成立,故选C.第4题:【答案】A【解析】∵,∴,又,∴.第5题:【答案】D【解析】由,得.又∵,得.所以.第6题:【答案】D【解析】依题意,有∴又故,又∴.第7题:【答案】A【解析】在中,因为,且, 由正弦定理得,因为,则, 所以,即,解得,由余弦定理得,即,解得.第8题:【答案】D【解析】依题意可得, 在三角形中,由余弦定理可得:, ∴. 故选D.第9题:【答案】D【解析】.第10题:【答案】B【解析】∵,,又,的面积为, 解得,,.故选B.第11题:【答案】C【解析】因为,所以.第12题:【答案】C【解析】由正、余弦定理可得,∴,∴. ∴, 当,即时取最小值.第13题:【答案】或.【解析】在中,,,,由正弦定理可得, 即,解得,因为,所以或, 所以,或.第14题:【答案】【解析】根据正弦定理可得,即,显然,所以,故.第15题:【答案】【解析】,,∴, ,∵,∴.第16题:【答案】【解析】在中,,,,由余弦定理, 得,得,所以,,,又, 所以在中,由余弦定理,得,得.设, 则,所以在中,由正弦定理得,所以,, 于是,则当,即时,取得最大值,为.第17题:【答案】见解答【解析】(1)因为,由正弦定理得:, 因为,所以,, 整理,得:,因为,所以,,所以,,得. (2)因为,所以,,.第18题:【答案】见解析.【解析】(1)∵,由正弦定理得:, 即,从而,即:,又中,,故,得. (2)由,得:, 从而或(舍去),故.第19题:【答案】见解析.【解析】(1)因为,由正弦定理可得, 又,所以,则, 因为,所以. (2)由已知,所以, 由余弦定理得,, 所以,则, 因此的周长为.第20题:【答案】见解析【解析】(1)由题意可知,的外接圆半径为, 由正弦定理,解得; (2)在中,设,为锐角,则, 因为,所以所以,所以, 因为, 即, 所以,则,, 所以.第21题:【答案】见解答【解析】(1)锐角,,∴, ∵,∴.又,∴. (2),,∴, 即,即: . ∵.∴,∴. ∴的最大值为.第22题:【答案】(1);(2)【解析】(1)由余弦定理及已知条件,得. 已知的面积等于,即,得. 联立方程组,解得. (2)由题意得,整理得,当时,,所以,所以;当时,得,由正弦定理得,联立方程组,解得. 故的面积.。

正弦定理与余弦定理练习题(5篇模版)

正弦定理与余弦定理练习题(5篇模版)

正弦定理与余弦定理练习题(5篇模版)第一篇:正弦定理与余弦定理练习题正弦定理与余弦定理1.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若c=2,b=6,B=120°,则a等于2.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a+c-b)tanB=3ac,则角B的值为3.下列判断中正确的是A.△ABC中,a=7,b=14,A=30°,有两解B.△ABC中,a=30,b=25,A=150°,有一解C.△ABC中,a=6,b=9,A=45°,有两解D.△ABC中,b=9,c=10,B=60°,无解4.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC一定是()()A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形5.在△ABC中,A=120°,AB=5,BC=7,则A.85sinB的值为sinC5335()B.458C.D.()6.△ABC中,若a+b+c=2c(a+b),则∠C的度数是A.60°B.45°或135°C.120°D.30°7.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,b=7,c=3,则B=.8.在△ABC中,A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.9.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若(b-c)cosA=acosC,则cosA10.在△ABC中,已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.11.在△ABC中,a、b、c分别是角A,B,C的对边,且cosBb=-.cosC2a+c(1)求角B的大小;(2)若b=,a+c=4,求△ABC的面积.12.在△ABC中,a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边,如果(a+b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B),判断三角形的形状.2213.已知△ABC中,三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC 的面积为S,且2S=(a+b)-c,求tanC的值.14.已知△ABC的三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,若a、b、c成等差数列,且2cos2B-8cosB+5=0,求角B的大小并判断△ABC的形状.15.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知a+b=5,c=7,且4sin(1)求角C的大小;(2)求△ABC的面积.7A+B-cos2C=.22第二篇:正弦定理和余弦定理练习题【正弦定理、余弦定理模拟试题】一.选择题:1.在∆ABC中,a=23,b=22,B=45︒,则A为()A.60︒或120︒B.60︒C.30︒或150︒D.30︒sinAcosB2.在∆AB C中,若=,则∠B=()abB.45︒C.60︒D.90︒A.30︒3.在∆ABC中,a2=b2+c2+bc,则A等于()B.45︒C.120︒D.30︒A.60︒→→→→→→→|AB|=1,|BC|=2,(AB+BC)⋅(AB+BC)=5+23,4.在∆ABC中,则边|AC|等于()A.5B.5-23C.5-23D.5+235.以4、5、6为边长的三角形一定是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.锐角或钝角三角形6.在∆ABC中,bcosA=acosB,则三角形为()A.直角三角形B.锐角三角形C.等腰三角形D.等边三角形7.在∆ABC中,cosAcosB>sinAsinB,则∆ABC是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.正三角形8.三角形的两边分别为5和3,它们夹角的余弦是方程5x2-7x-6=0的根,则三角形的另一边长为()A.52B.213C.16 D.4二.填空题:9.在∆ABC中,a+b=12,A=60︒,B=45︒,则a=_______,b=________10.在∆ABC中,化简bcosC+ccosB=___________11.在∆ABC中,已知sinA:sinB:sinC=654::,则cosA=___________12.在∆ABC中,A、B均为锐角,且cosA>sinB,则∆ABC是_________三.解答题:13.已知在∆ABC中,∠A=45︒,a=2,c=6,解此三角形。

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人教A版高一数学解三角形同步测试题一、选择题(本大题共12小题,共60.0分)1.在△ABC中,若cosAcosC =ca,则△ABC的形状是( )A. 等腰直角三角形B. 直角三角形C. 等腰或直角三角形D. 等边三角形2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos2B2=a+c2c,则△ABC的形状为( )A. 直角三角形B. 等腰三角形C. 等腰三角形或直角三角形D. 等腰直角三角形3.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,若B=60∘,b2=ac,则△ABC一定是( )A. 直角三角形B. 钝角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形4.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC−cosC)=0,a=2,c=√2,则C=( )A. π12B. π6C. π4D. π35.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=2√23,bcosA+acosB=2,则△ABC的外接圆的面积为( )A. 4πB. 8πC. 9πD. 36π6.在△ABC中,∠A=60∘,b=1,S△ABC=√3,则a−2b+csinA−2sinB+sinC的值等于( )A. 2√393B. 263√3 C. 83√3 D. 2√37.在△ABC中,已知A=30∘,a=8,b=8√3,则△ABC的面积为( )A. 32√3B. 16C. 32√3或16D. 32√3或16√38.在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,2b−√3c=2acosC,sinC=√32,则△ABC的面积为( )A. √32B. √34C. √32或√34D. √3或√329.已知△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,且a=4,b+c=5,tanA+tanB+√3=√3tanA⋅tanB,则△ABC的面积为( )A. √32B. 3√3 C. 32√3 D. 3210.在△ABC中,内角A、B、C的对边分别是a、b、c,若cosB=14,sinCsinA=2,且S△ABC=√154,则b=( )A. 4B. 3C. 2D. 111.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A=π4,b2−a2=12c2,则tanC=( )A. 2B. −2C. 12D. −1212. 在△ABC 中,B =π6,BC 边上的高等于√39BC ,则cosA =( )A. 5√1326B. −5√1326C. −3√3926D. 3√3926二、填空题(本大题共4小题,共20.0分)13. 在△ABC 中,面积S =14(a 2+b 2−c 2),则∠C 等于______ .14. 已知锐角三角形的三边长分别为2、3、x ,则x 的取值范围是______ .15. 在△ABC 中,AB =1,AC =2,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,则△ABC 面积等于______ .16. 已知钝角三角形的三边分别是a ,a +1,a +2,其最大内角不超过120∘,则a 的取值范围是______ .三、解答题(本大题共6小题,共72.0分)17. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知asin2B =√3bsinA .(1)求B ;(2)已知cosA =13,求sinC 的值.18. 在△ABC 中,若asinBcosC +csinBcosA =12b ,且a >b ,(1)求角B 的大小;(2)若b =√13,a +c =4,求△ABC 的面积.19. 已知△ABC 中,(a −c)(sinA +sinC)=(a −b)sinB ,(1)求∠C ;(2)若△ABC 的外接圆半径为2,试求该三角形面积的最大值.20.在△ABC中,内角A,B,C对边的边长分别是a,b,c,已知c=2,C=π3.(Ⅰ)若△ABC的面积等于√3,求a,b;(Ⅱ)若sinC+sin(B−A)=2sin2A,求△ABC的面积.21.如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=√7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(Ⅰ)求sin∠CED的值;(Ⅱ)求BE 的长.22. 在△ABC 中,已知AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ .(1)求证:tanB =3tanA ;(2)若cosC =√55,求A 的值.答案和解析【答案】1. C2. A3. C4. B5. C6. A7. D8. C9. C10. C11. A12. B13. 45∘14. (√5,√13)15. √3216. 32≤a<317. 解:(1)∵asin2B=√3bsinA,∴2sinAsinBcosB=√3sinBsinA,∴cosB=√32,∴B=π6.(2)∵cosA=13,∴sinA=2√23,∴sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=2√23×√32+12×13=2√6+16.18. 解:(1)由asinBcosC+csinBcosA=12b,可得:sinAcosC+sinCcosA=12,⇔sin(A+C)=12⇔sinB=12.∵a>b,∴B=π6.(2)b=√13,a+c=4,∴(a+c)2=16,即a2+c2+2ac=16由cosB=√32=a2+c2−b22ac,可得:a2+c2=√3ac+13,∴ac(2+√3)=3,ac=3(2−√3)∴S△ABC=12acsinB=12×3(2−√3)×12=6−3√34.19. 解:(1)由(a−c)(sinA+sinC)=(a−b)sinB,得(a−c)(a+c)=(a−b)b,∴a2−c2=ab−b2,∴a2+b2−c2=ab,∴cosC=a2+b2−c22ab =12又∵0∘<C<180∘,∴C=60∘(2)S=12absinC=12×√32ab=4√3sinAsinB=4√3sinAsin(120∘−A)=4√3sinA(sin120∘cosA−cos120∘sinA)=6sinAcosA+2√3sin2A =3sin2A−√3cos2A+√3=2√3sin(2A−30∘)+√3∴当2A=120∘,即A=60∘时,S max=3√320. 解:(Ⅰ)∵c =2,C =π3,c 2=a 2+b 2−2abcosC∴a 2+b 2−ab =4,又∵△ABC 的面积等于√3, ∴12absinC =√3, ∴ab =4联立方程组{a 2+b 2−ab =4ab =4,解得a =2,b =2 (Ⅱ)∵sinC +sin(B −A)=sin(B +A)+sin(B −A)=2sin2A =4sinAcosA , ∴sinBcosA =2sinAcosA 当cosA =0时,A =π2,B =π6,a =4√33,b =2√33,求得此时S =2√33当cosA ≠0时,得sinB =2sinA ,由正弦定理得b =2a ,联立方程组{a 2+b 2−ab =4b =2a解得a =2√33,b =4√33. 所以△ABC 的面积S =12absinC =2√33 综上知△ABC 的面积S =12absinC =2√3321. 解:(Ⅰ)设α=∠CED ,在△CDE 中,由余弦定理得EC 2=CD 2+ED 2−2CD ⋅DEcos∠CDE , 即7=CD 2+1+CD ,则CD 2+CD −6=0, 解得CD =2或CD =−3,(舍去), 在△CDE 中,由正弦定理得EC sin∠EDC =CDsinα, 则sinα=CD⋅sin 2π3EC=2×√32√7=√217, 即sin∠CED =√217.(Ⅱ)由题设知0<α<π3,由(Ⅰ)知cosα=√1−sin 2α=√1−2149=2√77,而∠AEB =2π3−α,∴cos∠AEB =cos(2π3−α)=cos2π3cosα+sin2π3sinα=−12×2√77+√32×√217=√714,在Rt △EAB 中,cos∠AEB =EABE =2BE , 故BE =2cos∠AEB =√714=4√7.22. 解:(1)∵AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴cbcosA =3cacosB ,即bcosA =3acosB , 由正弦定理bsinB =asinA 得:sinBcosA =3sinAcosB , 又0<A +B <π,∴cosA >0,cosB >0,在等式两边同时除以cosAcosB ,可得tanB =3tanA ; (2)∵cosC =√55,0<C <π,sinC=√1−cosC2=2√55,∴tanC=2,则tan[π−(A+B)]=2,即tan(A+B)=−2,∴tanA+tanB1−tanAtanB=−2,将tanB=3tanA代入得:tanA+3tanA1−3tan2A=−2,整理得:3tan2A−2tanA−1=0,即(tanA−1)(3tanA+1)=0,解得:tanA=1或tanA=−13,又cosA>0,∴tanA=1,又A为三角形的内角,则A=π4.【解析】1. 解:∵cosAcosC =ca,可得acosA=ccosC,∴a⋅b2+c2−a22bc =c⋅a2+b2−c22ab,整理可得:b2(a2−c2)=(a2−c2)(a2+c2),∴a2−c2=0,即a=c,或者b2=a2+c2,∴△ABC的形状是等腰或直角三角形.故选:C.由已知利用余弦定理可得整理可得:b2(a2−c2)=(a2−c2)(a2+c2),从而可求a=c,或者b2=a2+c2,即可得解.本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用,考查了分类讨论思想,属于基础题.2. 解:∵cos2B2=a+c2c,∴cosB+12=a+c2c,∴解得:cosB=ac,∴由余弦定理可得:a2+c2−b22ac =ac,∴a2+c2−b2=2a2,即a2+b2=c2,∴△ABC为直角三角形.故选:A.利用二倍角公式代入cos2B2=a+c2c,求得cosB=ac,进而利用余弦定理化简整理求得a2+b2=c2,根据勾股定理判断出三角形为直角三角形.本题主要考查了三角形的形状判断.考查了学生对余弦定理即变形公式的灵活利用,属于基础题.3. 解:由余弦定理可得:b2=a2+c2−2accosB=a2+c2−ac=ac,化为(a−c)2=0,解得a=c.又B=60∘,可得△ABC是等边三角形,故选:C.利用余弦定理、等边三角形的判定方法即可得出.本题考查了余弦定理、等边三角形的判定方法,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.4. 解:sinB =sin(A +C)=sinAcosC +cosAsinC , ∵sinB +sinA(sinC −cosC)=0,∴sinAcosC +cosAsinC +sinAsinC −sinAcosC =0, ∴cosAsinC +sinAsinC =0, ∵sinC ≠0,∴cosA =−sinA , ∴tanA =−1, ∵0<A <π, ∴A =3π4,由正弦定理可得csinC =asinA , ∴sinC =csinA a,∵a =2,c =√2, ∴sinC =csinA a=√2×√222=12,∵a >c , ∴C =π6,故选:B .根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理,属于基础题 5. 解:∵bcosA +acosB =2, ∴由余弦定理可得:b ×b 2+c 2−a 22bc+a ×a 2+c 2−b 22ac=2,整理解得:c =2,又∵cosC =2√23,可得:sinC =√1−cos 2C =13,∴设三角形的外接圆的半径为R ,则2R =csinC =213=6,可得:R =3,∴△ABC 的外接圆的面积S =πR 2=9π. 故选:C .由余弦定理化简已知等式可求c 的值,利用同角三角函数基本关系式可求sinC 的值,进而利用正弦定理可求三角形的外接圆的半径R 的值,利用圆的面积公式即可计算得解. 本题主要考查了余弦定理,同角三角函数基本关系式,正弦定理,圆的面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于基础题.6. 解:∵∠A =60∘,b =1,S △ABC =√3=12bcsinA =12×1×c ×√32, ∴c =4,∴a 2=b 2+c 2−2bccosA =1+14−2×1×4×12=13, ∴a =√13,∴a−2b+csinA−2sinB+sinC =asinA =√13√32=2√393.故选:A .先利用面积公式求得c 的值,进而利用余弦定理可求a ,再利用正弦定理求解比值.本题的考点是正弦定理,主要考查正弦定理的运用,关键是利用面积公式,求出边,再利用正弦定理求解.7. 解:∵在△ABC中,已知A=30∘,a=8,b=8√3,由余弦定理cosA=b2+c2−a22bc得:cos30∘=√32=22⋅83⋅c解得:c=16或c=8又∵S△ABC=12⋅bc⋅sinA∴S△ABC=32√3,或S△ABC=16√3故选D.由已知中,在△ABC中,已知A=30∘,a=8,b=8√3,由余弦定理,我们可以求出c的值,代入S△ABC=12⋅bc⋅sinA,即可求出△ABC的面积.本题考查的知识点是三角形中的几何计算,余弦定理,三角形面积公式,其中根据已知利用余弦定理求出c的值,是解答本题的关键.8. 解:∵2b−√3c=2acosC,∴由正弦定理可得2sinB−√3sinC=2sinAcosC,∴2sin(A+C)−√3sinC=2sinAcosC,∴2cosAsinC=√3sinC,∴cosA=√32∴A=30∘,∵sinC=√32,∴C=60∘或120∘A=30∘,C=60∘,B=90∘,a=1,∴△ABC的面积为12×1×2×√32=√32,A=30∘,C=120∘,B=30∘,a=1,∴△ABC的面积为12×1×1×√32=√34,故选:C.2b−√3c=2acosC,利用正弦定理,求出A;sinC=√32,可得C=60∘或120∘,分类讨论,可得三角形面积.本题考查正弦定理,考查三角形面积的计算,考查分类讨论的数学思想,属于中档题.9. 解:∵tanC=−tan(A+B)=−tanA+tanB1−tanAtanB化简得,∴tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC,所以tanC=√3.所以C=60∘.cosC=12ab(a2+b2−c2),把a=4,b+c=5,C=60∘代入解得b=32,所以S=12absinC=3√32故选C根据tanC=−tan(A+B)利用正切的两角和公式化简整理求得tanC的值,继而求得C,利用余弦定理a=4,b+c=5,C=60∘代入求得b,最后利用三角形面积公式求得答案.本题主要考查了解三角形的实际应用.考查了学生综合分析问题的能力.10. 解:△ABC 中,cosB =14,sinCsinA =2,∴由正弦定理可得c =2a ,sinB =√154.再由S △ABC =√154=12ac ⋅sinB =a 2⋅√154,可得a =1,∴c =2,∴b 2=a 2+c 2−2ac ⋅cosB =1+4−4×14=4,∴b =2, 故选:C .由条件利用正弦定理可得c =2a ,sinB =√154.再由S △ABC =√154求得a =1,可得c =2,再利用余弦定理求得b 的值.本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,属于基础题.11. 解:在△ABC 中,∵A =π4,∴由余弦定理可得:a 2=b 2+c 2−2bccos π4, ∴b 2−a 2=√2bc −c 2, 又b 2−a 2=12c 2. ∴√2bc −c 2=12c 2. ∴√2b =32c.可得b =3√2c 4,∴a 2=b 2−12c 2=58c 2,即a =√10c 4.∴cosC =a 2+b 2−c 22ab=5c 28+9c 28−c 22×√10c 4×3√2c 4=√55. ∵C ∈(0,π), ∴sinC =√1−cos 2C =2√55. ∴tanC =sinCcosC =2. 故选:A .由余弦定理可得:a 2=b 2+c 2−2bccos π4,已知b 2−a 2=12c 2.可得b =3√2c4,a =√10c4c.利用余弦定理可得cosC.利用同角三角函数基本关系式可得sinC ,进而可求出tanC 的值.本题考查了余弦定理、同角三角形基本关系式在解三角形中的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.12. 解:由题意,设BC =x ,那么BC 边上的高AD =√39x , ∵∠B =30∘,∴BAD =60∘,AB =AD sin30∘=√318x , BD =AB ⋅sin60∘=112x , 则DC =x −112x =1112x .那么:AC 2=(1112x)2+(√39x)2. 由余弦定理可得:cosA =AC 2+AB 2−BC 22AC⋅AB =−5√1326.故选B .由题意,设BC =x ,那么BC 边上的高等于√39x ,利用勾股定理建立关系,求出AC ,AB ,在利于余弦定理求cosA 的值.本题考查△ABC 的边长与角的关系的求法,是中档题,解题时要注意余弦定理的合理运用. 13. 解:由三角形的面积公式得:S =12absinC ,而S =14(a 2+b 2−c 2),所以12absinC =14(a 2+b 2−c 2),即sinC =a 2+b 2−c 22ab =cosC ,则sinC =cosC ,即tanC =1,又∠C ∈(0,180∘),则∠C =45∘.故答案为:45∘根据三角形的面积公式表示出△ABC 的面积S ,让S 等于已知的面积,化简后表示出sinC 的关系式,利用余弦定理得到此关系式等于cosC ,进而得到sinC 与cosC 的值相等,即tanC 的值为1,由C 的范围,利用特殊角的三角函数值即可求出∠C 的度数.本题的突破点是利用三角形的面积公式表示出S ,与已知的S 相等,化简得到tanC 的值.要求学生熟练掌握三角形的面积公式以及余弦定理,牢记特殊角的三角函数值.14. 解:分两种情况来做,当x 为最大边时,由余弦定理可知只要22+32−x 2>0即可,可解得3<x <√13当x 不是最大边时,则3为最大边,同理只要保证3所对的角为锐角就可以了,则有22+x 2−32>0,可解得√5<x ≤3所以综上可知x 的取值范围为(√5,√13),故答案为(√5,√13).分两种情况来做,当x 为最大边时,只要保证x 所对的角为锐角就可以了;当x 不是最大边时,则3为最大边,同理只要保证3所对的角为锐角就可以了.本题考查余弦定理得运用,应注意分类讨论.15. 解:∵在△ABC 中,AB =1,AC =2,(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,∴AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2,∴12+2×1×cosA =2,解得cosA =12.∵0<A <π,∴sinA =√1−(12)2=√32. ∴S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA =12×1×2×√32=√32. 故答案为√32. 利用数量积运算性质可得cosA ,再利用平方关系即可得出sinA ,利用三角形的面积公式S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA 即可得出.熟练掌握数量积运算性质、平方关系、三角形的面积公式S △ABC =12AB ⋅AC ×sinA 是解题的关键.16. 解:钝角三角形的三边分别是a ,a +1,a +2,其最大内角不超过120∘∴{a +(a +1)>a +20>a 2+(a+1)2−(a+2)22a⋅(a+1)≥−12 解得32≤a <3故答案为:32≤a <3.本题考查的知识点是余弦定理的应用,由钝角三角形的三边分别是a ,a +1,a +2,根据三角形任意两边之和大于第三边,我们可得a +(a +1)>a +2,由其最大内角不超过120∘,我们可以得到关于a 的不等式组,解不等式组即可得到a 的取值范围. 在判断三角形的形状时,若三边长均含有参数,一定要考虑构成三角形的条件,即任意两边之和大于第三边,这也是本题的易错点.17. (1)利用正弦定理将边化角即可得出cosB ;(2)求出sinA ,利用两角和的正弦函数公式计算.本题考查了正弦定理解三角形,两角和的正弦函数,属于基础题.18. (1)利用正弦定理公式化简,即可求角B 的大小;(2)运用三角形的内角和定理可得角A ,再由正弦定理,计算即可得到c .本题考查三角形的正余弦定理的运用和计算能力以及三角形的面积的计算.属于基础题. 19. (1)利用正弦定理把题设中的条件中的角的正弦换成边,化简整理得a 2+b 2−c 2=ab ,进而利用余弦定理求得cosC ,则C 可得.(2)利用三角形面积公式表示出三角形的面积,利用正弦定理把边换成角的正弦,利用两角和公式化简整理,进而利用正弦函数的性质求得三角形面积的最大值.本题主要考查了解三角形的实际应用.解题的关键是利用了正弦定理完成了边角问题的互化.20. (Ⅰ)先通过余弦定理求出a ,b 的关系式;再通过正弦定理及三角形的面积求出a ,b 的另一关系式,最后联立方程求出a ,b 的值.(Ⅱ)通过C =π−(A +B)及二倍角公式及sinC +sin(B −A)=2sin2A ,求出∴sinBcosA =2sinAcosA.当cosA =0时求出a ,b 的值进而通过12absinC 求出三角形的面积;当cosA ≠0时,由正弦定理得b =2a ,联立方程解得a ,b 的值进而通过12absinC 求出三角形的面积.本小题主要考查三角形的边角关系,三角函数公式等基础知识,考查综合应用三角函数有关知识的能力.21. (Ⅰ)根据三角形边角之间的关系,结合正弦定理和余弦定理即可得到结论.(Ⅱ)利用两角和的余弦公式,结合正弦定理即可得到结论.本题主要考查解三角形的应用,根据正弦定理和余弦定理是解决本题本题的关键,难度不大.22. (1)利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式左右两边,然后两边同时除以c 化简后,再利用正弦定理变形,根据cosAcosB≠0,利用同角三角函数间的基本关系弦化切即可得到tanB=3tanA;(2)由C为三角形的内角,及cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,进而再利用同角三角函数间的基本关系弦化切求出tanC的值,由tanC的值,及三角形的内角和定理,利用诱导公式求出tan(A+B)的值,利用两角和与差的正切函数公式化简后,将tanB=3tanA代入,得到关于tanA的方程,求出方程的解得到tanA的值,再由A 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数.此题属于解三角形的题型,涉及的知识有:平面向量的数量积运算法则,正弦定理,同角三角函数间的基本关系,诱导公式,两角和与差的正切函数公式,以及特殊角的三角函数值,熟练掌握定理及公式是解本题的关键.。

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