数学分析第七讲反常积分

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第七讲 非黎曼积分(反常积分)

一、知识结构

我们知道黎曼积分要求积分区间有限,并且积分区间是闭区间(闭区域). 下面研究积分区间无限,或积分区间不是闭区间的积分,我们称这样的积分为反常积分,所谓反常是指相对于黎曼积分的反常.对正常积分,我们主要研究它的计算问题,而对反常积分, 主要研究它的收敛问题.

1、 一元函数的反常积分

(1) 一元函数反常积分的概念和定义

我们知道黎曼积分要求积分区间是有限闭区间[]b a ,或有限闭区域D ,如果将积分区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a (a 是被积函数的瑕点)或()+∞,a ,由此产生的积分我们称为反常积分,反常积分是相对于黎曼积分所提出的,“反常”指将黎曼积分中的有限闭区间[]b a ,换成无限区间),[+∞a 或非闭区间],(b a (a 是被积函数的瑕点,即函数)(x f 在点x 处无界).

定义 1 函数)(x f 在无限区间),[+∞a 连续,则定义

+∞→+∞

=A

a

A a

dx x f dx x f )(lim

)(,如果极限⎰

+∞→A

a

A dx x f )(lim

存在,我们称反

常积分

+∞

a

dx x f )(收敛.

/

定义2 函数)(x f 在非闭区间],(b a 连续,而在点a 右邻域内无界(a 是

被积函数)(x f 的瑕点)即函数在点a 无界,则定义

⎰⎰

++→+→==b k

a

k b

a b

a

dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )(0

ε

ε,如果极限⎰

+→+b

a dx

x f ε

ε)(lim 0

存在,我们称反常积分

b

a

dx x f )(收敛.

函数)(x f 在点a 右邻域内无界的意思是:∞=+→)(lim x f a

x .注意: 函数在点a 没有定义,但函数)(x f 在点a 右极限)(lim x f a

x +→可以存在,这时a 不是

被积函数)(x f 的瑕点.

例如,函数

x x sin 在点0处没有定义,但1sin lim 0=+→x

x

x ,所以0=x 不是积

分⎰10sin dx x x 的瑕点. ⎰10sin dx x x 不是反常积分. 将积分⎰10sin dx x

x 看作

推广的黎曼积分. 因为, 如果被积函数)(x f 在闭区间[]b a ,上仅有有限个第一类间断点, 则积分

b

a

dx x f )(为推广的黎曼积分,它也是收敛的.

定义3 函数)(x f 在开区间),(b a 内连续,b a ,都是函数)(x f 的瑕点,则定义

⎰⎰⎰

-→+→-++=+=δ

δε

εb c

c

a b c

c a

b

a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim )(lim )()()(0

,

如果极限⎰

+→+

c

a dx x f ε

ε)(lim 0

和⎰

-→-δ

δb c

dx x f )(lim 0

均存在,我们称反常积分

b

a

dx x f )(收敛.

定义4 函数)(x f 在无限区间),(+∞a 连续,a 是函数)(x f 的瑕点,则

定义

⎰⎰

+∞→+→+∞

+∞

+=+=+A

b

A b

a b

b a

a

dx x f dx x f dx x f dx x f dx x f )(lim

)(lim )()()(0

ε

ε,

如果极限⎰

+→+

b

a dx x f ε

ε)(lim 0

和⎰

+∞→A

b

A dx x f )(lim

均存在,我们称反常积分

+∞

a

dx x f )(收敛.

②积分区域无限且被积函数),(y x f 有瑕点(了解). 2、一元函数反常积分的性质与收敛判别 请同学们切记如下例子中的结论.

^

例 讨论积分

dx x p ⎰1

01

和dx x p ⎰+∞11的敛散性.

解 显然dx x ⎰101和dx x

⎰+∞11

均发散.

在区间]1,0(上, 当1

x p 1

1<, 即前者的图像在后者的图像

下方,这时dx x p ⎰101收敛(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数x

x p 1

1>, 即前

者的图像在后者的图像上方,这时dx x

p ⎰101

发散(请同学给出证明).

在区间),1[+∞上, 当1

x p 1

1>, 即前者的图像在后者的图

像上方,这时dx x p ⎰+∞11发散(请同学给出证明). 当1>p 时, 函数x

x p 1

1<,

即前者的图像在后者的图像下方,这时dx x

p ⎰101

收敛(请同学给出证明).

结论:

⎪⎩⎪

⎨⎧≥∞+<-=⎰

当时,当,1,111

11

p p p dx x p

⎪⎩⎪⎨⎧>-≤∞+=⎰

+.1,1

1111

时当时,

当,p p p dx x p (1) 无穷积分的性质与收敛性判别 ①无穷积分的性质 (a)若

dx x f a

)(1⎰

+∞

与dx x f a

)(2⎰

+∞

收敛, 则dx x f k x f k a

)]()([2211±⎰+∞

也收

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