2017年北京大学博雅计划数学试题分析
由一道北京大学博雅计划试题谈惯性力的应用
由一道北京大学博雅计划试题谈惯性力的应用刘玉娟㊀程志强(山东省济钢高级中学ꎬ山东济南２５０１００)摘㊀要:牛顿第二定律只适合惯性系ꎬ在非惯性系中解决问题ꎬ必须加上惯性力牛顿第二定律形式上才能成立.匀加速直线运动和匀速圆周运动都是非惯性参考系ꎬ惯性力的大小分别为:Ｆ∗＝－ｍａ和Ｆ∗＝－ｍω２ｒꎬ在非惯性参考系中牛顿二定律的形式变为:Ｆ外＋Ｆ∗＝ｍａ相对ꎬ惯性力是一种假想的力ꎬ它没有施力物体ꎬ没有反作用力ꎬ但是能做功.关键词:惯性力ꎻ惯性参考系ꎻ牛顿二定律ꎻ匀加速直线运动ꎻ匀速圆周运动中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２３)２５－０１１３－０３收稿日期:２０２３－０６－０５作者简介:刘玉娟ꎬ女ꎬ山东省济南人ꎬ研究生ꎬ中学一级教师ꎬ从事高中物理教学研究ꎻ程志强ꎬ男ꎬ山东省泰安人ꎬ本科ꎬ高级教师ꎬ从事高中物理教学研究.㊀㊀在非惯性系统中牛顿第二定律不适用ꎬ观察结果与牛顿第二定律相矛盾ꎬ为解决这一矛盾ꎬ引入一种假象力 惯性力ꎬ引入后牛顿第二定律形式不变ꎬ仍然成立ꎬ并且给解决问题带来极大方便ꎬ本文讨论几种常见的非惯性系统中ꎬ如何引入惯性力ꎬ并给出解决问题实例分析.１惯性力的引入如图１ꎬ有一辆小车内有一光滑的水平桌面ꎬ桌面上静止放一个小球ꎬ现让小车以加速为ａ向左做匀加速直线运动ꎬ以地面为参考系ꎬ小球仍保持静止ꎬ因为小球除受重力支持力外ꎬ水平方向不受外力ꎬ符合牛顿第二定律.但以小车为参考系ꎬ小球以加速度ａ向右做匀加速直线运动ꎬ但水平方向并不受外力ꎬ这样就与牛顿第二定律产生了矛盾.如何化解这一矛盾呢?我们可以假设小球受到一个大小为ｍａꎬ方向与小车加速度相反的力ꎬ这样对有加速度的小车这样的非惯性参考系牛顿二定律仍然成立.这个力我们称为惯性力ꎬ用Ｆ∗＝－ｍａ表示ꎬ因此ꎬ在匀加速直线运动非惯性参考系中ꎬ牛顿二定律可以写成Ｆ外＋Ｆ∗＝ｍａ相对[１]图１㊀匀加速系统中的惯性力示意图如图２ꎬ光滑小球在细线拉力作用下于桌面上作匀速圆周运动.在地面上看ꎬ小球在绳子拉力作用下做匀速圆周运动ꎬ拉力提供向心力.符合牛顿第二定律.但以圆盘为参考系ꎬ小球是静止的ꎬ没用加速度ꎬ但却受到绳子的拉力ꎬ这不符合牛顿第二定律.为了解决这一矛盾ꎬ可以设想小球受到一个大小为ｍω２ｒꎬ方向沿半径向外的力作用ꎬ这样就符合了牛３１１顿第二定律ꎬ这个力称为惯性力.因此在匀速转动的圆周运动中ꎬ牛顿第二定律可以写成:Ｆ外－ｍω２ｒ＝ｍａ相对图２㊀匀速圆周运动系统中的惯性力示意图注意:惯性力只是一个假想的力ꎬ它没有施力物体ꎬ也没有反作用力ꎬ但是能做功.２北京大学２０１７年博雅计划招生试题第４题㊀㊀长度分别为Ｌ１和Ｌ２的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为ｍ１和ｍ２的两个小球ꎬ处于静止状态ꎬ如图３所示.现在突然给中间小球受到一水平方向的初速度ｖꎬ求此时两绳中的拉力各是多大?图３㊀小球位置示意图解㊀设:上面绳子拉力为Ｔ１ꎬ下面绳子拉力为Ｔ２ꎬ以ｍ１为参考系ꎬｍ１是非惯性参考系ꎬ相对悬点有加速度ａ１＝ｖ２ｌ１ｍ２相对ｍ１有向左的速度ｖꎬ相对ｍ１的加速度为ａ２＝ｖ２ｌ２ꎬ方向向上根据牛顿第二定律得:Ｔ２－ｍ２ｇ＋Ｆ∗＝ｍ２ｖ２ｌ２Ｆ∗＝－ｍ２ａ１＝－ｍ２ｖ２ｌ１所以Ｔ２＝ｍ２ｇ＋ｍ２ｖ２ｌ１＋ｍ２ｖ２ｌ２对ｍ１小球:由牛顿第二定律:Ｔ１－ｍ１ｇ－Ｔ２＝ｍ１ｖ２ｌ１所以Ｔ１＝ｍ１ｇ＋ｍ２ｇ＋ｍ１ｖ２ｌ１＋ｍ２ｖ２ｌ１＋ｍ２ｖ２ｌ２点评㊀在研究ｍ２的时候ꎬ选ｍ１为参考系ꎬ但ｍ１是非惯性常考系ꎬｍ２除受重力拉力外ꎬ有一个向下的惯性力ｍ２ｖ２ｌ１ꎬ这是解题的关键ꎬ而研究ｍ１时ꎬ由于选悬点为参考系ꎬ而悬点是惯性系ꎬ没有惯性力.本题易错点是:遗漏ｍ２的惯性力.下面我们分几种情况讨论.２.１匀加速直线运动的非惯性参考系(清华大学自主招生题)如图４所示:在光滑的水平面上放置有一质量为Ｍ倾角为θ的光滑斜面ꎬ其上放一质量为ｍ的物块.现由静止释放物块ꎬ在下滑的过程中对斜面压力的大小为多大?物块下滑的加速度多大?图４㊀斜面与滑块位置答案:Ｎ＝ＭｍｇｃｏｓθＭ＋ｍｓｉｎ２θａ１＝ｇｓｉｎθ＋ｍｇｃｏｓ２θｓｉｎθＭ＋ｍｓｉｎ２θ本问题如果在地面惯性系中列牛顿第二定律ꎬ方程会复杂得多ꎬ在斜面非惯性系中物体ｍ的运动可以看做沿斜面匀加速直线运动ꎬ垂直斜面处于平衡状态ꎬ问题变得很简单.２.２瞬时惯性参考系如图５所示:两根轻线悬挂质量ｍ１的物体Ａ.一根线是水平的ꎬ另一根线与竖直方向成角α.物体Ｂ质量ｍ２用线系在物体Ａ上ꎬ求当水平线剪断瞬间物体Ｂ的加速度.解㊀如图６ꎬ设上面的绳子拉力为Ｔ１ꎬ下面的绳子拉力为Ｔ２ꎬＡ球速度为０ꎬ故向心加速度为０ꎬ但Ａ４１１图５㊀ＡＢ小球初始位置图㊀㊀图６㊀ＡＢ两小球受力图有切向加速度ａ１ꎬＡ为为非惯性参考系ꎬ故引入惯性力ｍ２ａ１对ｍ１切向有:Ｔ２＋ｍ１ｇ()ｓｉｎα＝ｍ１ａ１对ｍ２:ｍ２ａ１ｓｉｎα＋Ｔ２＝ｍ２ｇ以上两式解得:ａ１＝ｍ１＋ｍ２()ｇｓｉｎαｍ１＋ｍ２ｓｉｎ２αＴ２＝ｍ１ｍ２ｇｃｏｓ２αｍ１＋ｍ２ｓｉｎ２αＢ实际上只受两个力:Ｔ２－ｍ２ｇ＝ｍ２ａ２解得:ａ２＝ｍ１ｃｏｓ２αｍ１＋ｍ２ｓｉｎ２α－ｇ２.３转动非惯性参考系如图７ꎬ光滑细杆绕竖直轴转动ꎬ角速度为ωꎬ细杆与竖直轴夹角θ保持不变ꎬ一个相对细杆静止的小环自离地面高ｈ处沿杆下滑ꎬ求小环滑到杆下端时的速度.图７㊀小环与杆的位置图答案:２ｇｈ－ω２ｈ２ｔａｎ２θ２.４非惯性参考系中运动问题如图８所示:杂技演员站在沿倾角为α的斜面下滑的车厢内ꎬ以速率ｖ０垂直于斜面上抛红球ꎬ经时间ｔ０后又以垂直于斜面上抛一绿球ꎬ车厢与斜面无摩擦.问:两个小球何时相遇?解㊀以车厢为参考系ꎬ车厢以加速度ｇｓｉｎα沿图８㊀人与小车在斜面上运动示意图㊀㊀图９㊀小球受力图斜面运动ꎬ为一直线加速非惯性系.被抛出小球受重力Ｗ＝ｍｇ和惯性力ꎬ其大小为ｍｇｓｉｎα方向沿斜面向上ꎬ将以上两力合成为ｍｇｃｏｓαꎬ方向与斜面垂直向下ꎬ如图９.可见在车厢参考系中ꎬ小球沿垂直于斜面方向以加速度ｇｃｏｓα作上抛运动.以出手高度为坐标原点建立坐标系Ｏｙꎬ以抛出红球时为计时起点.对红球有:ｙ１＝ｖ０ｔ－１２ｇｔ２ｃｏｓα对绿球有:ｙ２＝ｖ０ｔ－ｔ０()－１２ｇｔ－ｔ０()２ｃｏｓα相遇条件:ｙ１＝ｙ２解得:ｔ遇＝１２＋ｖ０ｇｔ０æèçöø÷ｔ０因ｔ＝ｔ０时才抛出绿球ꎬ故:ｔ遇ȡｔ０ꎬ这就要求:ｔ遇＝１２＋ｖ０ｇｔ０ｃｏｓαæèçöø÷ȡｔ０ꎬ即:ｔ０ɤ２ｖ０ｇｃｏｓα时才有意义ꎬ也就是在红球返回ｙ＝０之前抛出绿球.由上面的例子我们可以看出ꎬ在非惯性参考系中ꎬ引入惯性力后ꎬ问题很可能变得简单ꎬ主要原因是在非惯性参考系中ꎬ物体的运动形式变得简单ꎬ所以在非惯性参考性中讨论问题是一种很好的选择.参考文献:[１]漆安慎ꎬ杜禅英.普通物理教程[Ｍ].北京:高等教育出版社ꎬ２０１２.[责任编辑:李㊀璟]５１１。
北京大学2017年数学分析试题及解答
4 ∑ ∞ f (x) ∼
1
sin(2n − 1)x.
π 2n − 1
n=1
记该 Fourier 级数的前 n 项和为 Sn(x), 则 ∀x ∈ (0, π), Sn(x)
Sn(x)
的最大值点是
π 2n
且
lim
n→∞
Sn
(
π 2n
)
=
2∫ π π0
sin t dt. t
=
2 π
∫x
0
sin 2nt sin t
lim
3
t2
t→+∞
e−tϕ(X)dX = 0.
Uδ \Uδ′
设 A 的特征值为 λ1, λ2, λ3, 并且 λ1 ⩾ λ2 ⩾ λ3 > 0. 对于任意事先给定的 ε ∈ (0, λ3), ∃δε′ 使得对于任意属 于球形邻域 Uδ′ε 的 X 有
(X − X0)T A (X − X0)−ε (X − X0)T (X − X0) < ϕ(X) < (X − X0)T A (X − X0)+ε (X − X0)T (X − X0)
x2 − x1
7. (20 分) 设 f 是 (0, +∞) 上的凹 (或凸) 函数且 lim f (x) 存在有限, 证明 lim xf ′(x) = 0 (仅在 f 可导
x→+∞
x→+∞
的点考虑极限过程).
8.
(20
分)
设
ϕ
∈
C 3 (R3 ), (
ϕ
及其各个偏导数 )
∂iϕ(i
=
1, 2, 3)
故 e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)+ε|X−X0|2 < e−tϕ(X) < e ( ) −t (X−X0)TA(X−X0)−ε|X−X0|2
(完整版)北京大学2018年博雅计划数学真题
北京大学2018年博雅计划数学试卷选择题共20小题，在每小题的四个项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分。
1. 设n 为正整数，)!(!!k n k n C k n-=为组合数，则201820182201812018020184037...53C C C C ++++等于（ ）A. 201822018⋅B. 2018！C. 20184036C D. 前三个答案都不对【答案】D 解析：111111(21)222nn n nn nnk k k k k k knnnn nn n k k k k k k k k CkC C nCC n CC ----=======+=+=+=+∑∑∑∑∑∑∑， 201820182018122018120182018201820182018201720180135...4037(21)22018k k kk k k CC CCk C CC -===∴++++=+=⨯⨯+∑∑∑ 20172018201840362220192=⨯+=⨯，故选D 。
2. 设a ，b ，c 为非负实数，满足a +b +c =3，则a +ab +abc 的最大值为（ ）A. 3B. 4C. 23D. 前三个答案都不对 【答案】B解析：22(1)(4)(1(1))1144b c a a ab abc a b c a a ⎛⎫⎛⎫++-++=++≤+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对其求导得到2a =时取最大值为4。
3. 一个正整数n 称为具有3-因数积性质若n 的所有正因数的乘积等于3n ，则不超过400的正整数中具有3-因数积性质的数的个数为（ ）A. 55B. 50C. 51D. 前三个答案都不对 【答案】C解析：设n 的所有正因数的乘积为T ，即3T n =。
1n =显然符合题意；下面证明当2n ≥时，正整数n 的质因数的个数最多为2：假设n 的质因数的个数大于或等于3，即n 的全部质因数为12,,...,(3)k p p p k ≥，并设1212...k k n p p p ααα=，则n 的所有正因数的乘积中，(1,2,...)i i p i k α=至少在12112,,,...,,...,,...i i i i i i i i i i i i i i i k i k p p p p p p p p p p p p p p ααααααα-+这些因子中出现，即i i p α出现的次数大于或等于4，这样T 124412(...)k k p p p n ααα≥=，这与题意3T n =矛盾，所以假设不成立，即n 的质因数的个数最多为2。
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案
2017年北京大学自主招生数学试题及其参考答案甘志国;张荣华【期刊名称】《高中数理化》【年(卷),期】2018(000)005【总页数】5页(P19-23)【作者】甘志国;张荣华【作者单位】北京丰台二中;山西临汾三中【正文语种】中文2017年北京大学自主招生数学试题，包含20道单项选择题,试题简洁基础,涵盖面广，对自主招生及高考复习备考都有极高的参考价值.本文将给出其详细解答.1. 若实数 a、b 满足 (a2+4)(b2+1)=5(2ab-1),则的值为( ).A 3/2;B 5/2;C 7/2;D 前3个答案都不对解法1 由题设,可得(a2b2-6ab+9)+(a2-4ab+4b2)=0,(ab-3)2+(a-2b)2=0, ab=3且a=2b,解法2 由题设,可得(a2+4)b2-10a·b+(a2+9)=0.①因为关于b的一元二次方程①有实数解,所以Δ=(-10a)2-4(a2+4)(a2+9)=-4(a2-6)2≥0,因为关于b的一元二次方程①有2个相等的实数解,由根与系数的关系可得所以ab=3,从而故选C.2. 函数在[-1,2]上的最大值与最小值的差所在的区间是( ).A (2,3);B (3,4);C (4,5);D 前3个答案都不对解法1 可得当时,f(x)的取值范围分别是可得f(x)在[-1,2] 上的值域是所以 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.解法2 在解法1中,已得可知函数f(x)在每一段的图象都是抛物线段,最值只可能在端点处或对称轴处取到.而抛物线段的端点是对称轴分别是得其中的最大值最小值就分别是函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值.所以函数 f(x)在[-1,2] 上的最大值与最小值的差是再由可得选项为B.3. 不等式组所表示的平面区域的面积为( ).A 6;B 33/5;C 36/5;D 前3个答案都不对图1可得题设中的平面区域即图1中的四边形ABCD,其中进而可求得四边形ABCD的面积为选项为C.的值为( ).前3个答案都不对由题意可得1+2coscos+coscos=1+coscos=选项为B.5. 在圆周上逆时针摆放了 4个点A、B、C、D,若BA=1,BC=2,BD=3,∠ABD=∠DBC,则该圆的直径为( ).前3个答案都不对图2解法1 如图2所示,可设∠ABD=∠DBC=θ(0<θ<π).由∠ABD=∠DBC,可得DA=DC.在△ABD,△BCD中,由余弦定理可得12+32-2·1·3cos θ=22+32-2·2·3cos θ,θ=π/3.连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为解法2 如图2所示,由托勒密定理AB·CD+AD·BC=AC·BD,可得CD+2AD=3AC.由∠ABD=∠DBC,可得CD=AD,所以CD=AD=AC,得正再由题设可得连结AC,在△ABC中,由余弦定理可求得在△ABC中,由正弦定理可求得△ABC的外接圆直径为故选项为D.6. 若三角形3条中线长度分别为 9,12,15,则该三角形面积为( ).A 64;B 72;C 90;D 前3个答案都不对设△ABC的3边长分别为AB=c,BC=a,CA=b,3条中线长分别为AD=9,BE=12,CF=15.由余弦定理,可证得“平行四边形各边的平方和对于其2条对角线的平方和”.由此结论,可得把它们相加后,可得3(a2+b2+c2)=(2·3)2(52+32+42)=2(2·3·5)2,a2+b2+c2=600.进而可求得再由余弦定理,得所以△ABC的面积为故选项为B.7. 若x 为实数,使得 2,x,x2 互不相同,且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍,则这样的实数 x的个数为( ).A 3;B 4;C 5;D 前3个答案都不对由题设知,包括下面的6种情形: 1) 由2=2·x,得x=1,检验知,不满足题意；2) 由x=2·2,得x=4,检验知,满足题意；3) 由2=2·x2,得x=±1,经检验知,仅有x=-1满足题意；4) 由x2=2·2,得x=±2,经检验知,仅有x=-2满足题意；5) 由x=2·x2,得x=0或检验知,仅有满足题意；6) 由x2=2·x,得x=0或2,检验知,均不满足题意.综上,可得进而可知选B.8. 若整数 a,m,n 满足则这样的整数组 (a,m,n) 的组数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对已知|a|、m、n∈N*,m>n,且此时题中的等式等价于②进而可得③所以8(m+n-a2)=0,a2=m+n(否则式③左边是无理数,右边是整数,不可能).再由式②得mn=20 (m>n，m、n∈N*),所以20=mn>n2,n≤4,因而n=1,2或4.可得(n,m)=(1,20),(2,10)或(4,5).再由a2=m+n(|a|∈N*),可得(a,m,n)=(±3,5,4),进而可知选C.9. 若则不超过 S且与 S 最接近的整数为( ).A -5;B 4;C 5;D 前3个答案都不对可得又因为所以不超过 S且与 S 最接近的整数为[S]=-5.故选A.10. 若复数 z 满足是实数,则 |z+i|的最小值等于( ).C 1;D 前3个答案都不对可设z=r(cos θ+i sin θ)(r>0),得由是实数,得sin θ=0或即当sin θ=0时,可得z是非零实数,故|z+i|=|z-(-i)|,表示复平面xOy上的点-i与x轴上非原点O的点z之间的距离.由“垂线段最短”可得|z+i|>1.当即时,可得当且仅当时,因为所以故选D.11. 已知正方形A、B、C、D的边长为1,若P1、P2、P3、P4是正方形内部的4个点使得△ABP1,△BCP2,△CDP3和△DAP4都是正三角形,则四边形P1P2P3P4的面积等于( ).前3个答案都不对图3如图3所示,建立平面直角坐标系xOy后,可求得可得四边形P1P2P3P4的对角线互相垂直平分且相等,所以四边形P1P2P3P4是正方形,其面积为故选A.12. 已知某个三角形的2条高的长度分别为10和20,则它的第三条高的长度的取值范围是( ).前3个答案都不对设该三角形3边分别为a、b、c,这些边上的高分别为10,20,h(h>0),可得2S△ABC=10a=20b=ch, a=2b, c=20b/h，进而可得该三角形3边分别为这样的三角形存在的充要条件是即故选C.13. 已知正方形ABCD与点P在同一平面内,该正方形的边长为1,且|PA|2+|PB|2=|PC|2,则|PD| 的最大值为( ).前3个答案都不对以A为原点，建立平面直角坐标系xAy,可得A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1).设P(x,y),由|PA|2+|PB|2=|PC|2,可得(x2+y2)+[(x-1)2+y2]=(x-1)2+(y-1)2,x2+y2=1-2y,因而|PD|2=x2+(y-1)2=x2+y2+1-2y=进而可得:当且仅当点P的坐标是时, 故选A.14. 方程log4(2x+3x)=log3(4x-2x)的实根个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对可设log4(2x+3x)=log3(4x-2x)=t,得所以4t-3x=4x-3t, 3t+4t=3x+4x. 因为f(u)=3u+4u (u∈R)是增函数,所以t=x,得设可得它是减函数,且所以函数g(x)有唯一的零点,进而可知选B.15. 使得和都是整数的正实数x的个数为( ).A 1;B 2;C 无穷多;D 前3个答案都不对由及和都是整数,可得是正整数,因而可设由是整数,可得n=1或或1.再由是整数,可得x=1.进而可知选A.16. 满足f(f(x))=f4(x)的实系数多项式f(x)的个数为( ).A 2;B 4;C 无穷多;D 前3个答案都不对若f(x)是实数常数,则可设f(x)=k (k∈R),由题设得k=k4,k=0或1,得f(x)=0或f(x)=1.若f(x)不是实数常数,则可设f(x)=anxn+…+a2x2+a1x+a0(an,…,a2,a1,a0∈R;an≠0,n∈N*).再由题设,可得an(anxn+…+a2x2+a1x+a0)n+…+a1(anxn+…+a2x2+a1x+a0)+a0=(anxn+…+a2x2+a1x+a0)4.比较该等式两边的首项,得解得因而可设f(x)=x4+bx3+cx2+dx+e(b、c、d、e∈R),再由题设,可得(x4+bx3+cx2+dx+e)4+b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=(x4+bx3+cx2+dx+e)4.即b(x4+bx3+cx2+dx+e)3+c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.比较该等式两边x12的系数,可得b=0,所以c(x4+bx3+cx2+dx+e)2+d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.再比较该等式两边x8的系数,可得c=0,所以d(x4+bx3+cx2+dx+e)+e=0.又比较该等式两边x4的系数,可得d=0,所以e=0，所以f(x)=x4.检验知f(x)=x4满足题设，从而满足题设的f(x)有且仅有3个:f(x)=0或f(x)=1或f(x)=x4.故选D.17. 使得p3+7p2为完全平方数的不大于100的素数p的个数为( ).A 0;B 1;C 2;D 前3个答案都不对由已知,设p2(p+7)=a2 (a∈N*),因而p|a,设a=pb(b∈N*),得p+7=b2 (b∈N*).由p是不大于100的素数,可得9≤b2≤106,3≤b≤10,因而p+7=b2=9,16,25,36,49,64,81或100. p=2,9,18,29,42,57,64或93.再由p是素数,可得p=2或29,进而可得答案为C.18. 函数f(x)=x(x+1)(x+2)(x+3)的最小值为( ).A -1;B -1.5;C -2;D 前3个答案都不对由已知可得f(x)=x(x+3)·(x+1)(x+2)=(x2+3x)(x2+3x+2)=(x2+3x+1)2-1.设得进而可知选A.19. 若动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2-6x+7=0都外切,则动圆圆心的轨迹是( ).A 双曲线;B 双曲线的一支;C 抛物线;D 前3个答案都不对可得圆x2+y2=1的圆心是O(0,0),半径是1;圆x2+y2-6x+7=0的圆心是A(3,0),半径是设动圆圆心为M(x,y),半径是r.再由题设“……都外切”,可得因而所以动圆的圆心M的轨迹是以O、A为焦点,实半轴长为的双曲线的右支.故选B.20. 在△ABC中,若则该三角形是( ).A 锐角三角形;B 钝角三角形;C 无法确定;D 前3个答案都不对由题设,可得B是锐角,所以再由正弦定理,可得B>A,进而可得A是锐角,所以所以cosC=-cos(A+B)=sin AsinB-cos Acos B=得C是锐角,因而△ABC是锐角三角形.故选A.(本文系北京市教育学会“十三五”教育科研滚动立项课题“数学文化与高考研究”(课题编号FT2017GD003,课题负责人:甘志国)阶段性研究成果.)。
北大2017博雅数学试题
2017年博雅数学试卷A选择题共20小题（15题至34题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.15.正整数9+95+995+⋯+99 (9)⏟20165的十进制表示中数字1的个数为（）.A. 2012B. 2013C. 2014D. 前三个答案都不对16.将等差数列1,5,9,13,…,2017排成一个大数157913…2017，则该大数被9除的余数为（）.A. 4B. 1C. 7D. 前三个答案都不对17.一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（）.A. 9B. 10C. 11D. 前三个答案都不对18.单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的长度的平方和的最大值为（）.A. 15B. 20C. 25D. 前三个答案都不对19.(1+cosπ7)(1+cos3π7)(1+cos5π7)的值为（）.A. 1+18B. 1−18C. 1−14D. 前三个答案都不对20.已知f(x)=√3x√3−x，定义f1(x)=f(x)，f k+1(x)=f(f k(x))，k≥1，则f2017(2017)的值等于（）.A. √32017−√3B. 2017 C. √32017+√3D. 前三个答案都不对21.已知正整数n满足n≠2017，且n n与20172017有相同的个位数字，则|2017−n|的最小值为（）.A. 4B. 6C. 8D. 前三个答案都不对22.一个盒子装有红、白、蓝、绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个. 从众随机拿出4个玻璃球，这4个球都是红色的概率为p1，恰好三个红色和一个白色的概率为p2，恰好有两个红色，一个白色和一个蓝色的概率为p3，四种颜色各一的概率为p4，若恰好有p1=p2=p3=p4，则这个盒子里玻璃球的个数的最小值等于（）.A. 17B. 19C. 21D. 前三个答案都不对23.设a,b,c和(a−1b )(b−1c)(c−1a)均为正整数，则2a+3b+5c的最大值与最小值的差为（）.A. 9B. 15C. 22D. 前三个答案都不对24.有（）种方式可以将正整数集合N分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列.A. 0B. 1C. 无穷多D. 前三个答案都不对25.O是凸四边形ABCD对角线AC和BD的交点. 已知三角形AOB,BOC,COD,DOA的周长相同. 三角形AOB,BOC,COD的内切圆半径分别为3,4,6，在三角形DOA的内切圆半径为（）.A. 92B. 5 C. 112D. 前三个答案都不对26.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试. 已知有100名学生参加了数学考试，50名学生参加了物理考试，48名学生参加了化学考试. 学生总数是参加至少两门考试学生数的两倍，也是参加三门考试学生数的三倍. 则学生总数为（）.A. 108B. 120C. 125D. 前三个答案都不对27.有（）个平面距离正四面体4个顶点的距离都相等.A. 4B. 6C. 8D. 前三个答案都不对28.有（）个互不相似的三角形ABC满足sin A=cos B=tan C.A. 0B. 1C. 2D. 前三个答案都不对29.已知存在正整数a,b,c满足a+b+c=407，10n|abc，则n的最大值为（）.A. 5B. 6C. 7D. 前三个答案都不对30.整数a,b,c满足a+b+c=1，s=(a+bc)(b+ca)(c+ab)>100，则s的最小值属于区间（）.A. (100,110]B. (110,120]C. (120,130]D. 前三个答案都不对31.整数p,q满足p+q=218，x2+px+q=0有整数根，满足这样条件的整数对(p,q)的个数为（）.A. 0B. 2C. 4D. 前三个答案都不对32.已知tan2x+tan2y1+tan2x+tan2y=sin2x+sin2y，则sin x∙sin y的最大值为（）.A. 0B. 14C. √22D. 前三个答案都不对33.令a=sin14°+cos14°，b=sin16°+cos16°，c=12(a2+b2)，则a,b,c的大小顺序为（）.A. a<c<bB. c<a<bC. a<b<cD. 前三个答案都不对34.假设三角形三边长为连续的三个正整数，且该三角形的一个角是另一个角的两倍. 则这个三角形的三边长为（）.A. 4,5,6B. 5,6,7C. 6,7,8D. 前三个答案都不对。
北大博雅自主招生数学真题
辅导2与⾼考题的对比2017年北京⼤学⾃主招⽣数学试题1.保持了近年北⼤⾃招试题的风格．(a)20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分．(b)时间紧张．三个⼩时内要完成语数外三科试题的解答，很少有学⽣能做完．(c)D选项⼀律是“前三个答案都不对”，很有迷惑性，有时候甚⾄⽐较棘⼿．例如第5题，答案数字不怎么整，考场上时间紧张的情况下，是否相信⾃⼰的判断选D，对考⽣来说是个考验；再⽐如第9题，答案明显是个负整数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要进⾏估算．(d)风格灵巧，强调多想少算．⽐如第1题，看出来配⽅的技巧就可以秒掉，如果硬算的话，考场上可能就悲剧了．(e)不追求知识点的全⾯覆盖．数论、函数、平⾯⼏何、三⾓等⼀向是北⼤各种⾃招相关的考试中的⾼频考点，在2017年的⾃主招⽣考试中也依然是考察重点．⽽概率、统计、导数、⽴体⼏何等考点⼀向被北⼤冷落，这场考试也不例外．(f)经典试题有⼀定的重现率．⽐如第6题就是平⾯⼏何中的经典问题，第9题中⽤到的对数运算公式在⾃招考试中也是屡见不鲜．2.相对于近年北⼤的各场⾃招相关的考试来说，这份试卷的难度不⾼，在平均线以下．3.有较好的区分度，可以达到北⼤⾃主选拔的⽬的．1.有些试题即使放到⾼考中也不是难题，⽐如第19题、第20题．这类题基本每份⾃招试卷中都有，但⼀般来讲数量较少．2.有些试题的考点同时也是⾼考的重要考点，但是综合性较强，考⽣要想短时间内顺利解决的话，得有很好的基本功．⽐如第18题，如果做成四次函数求最值就⿇烦了，代数变形之后换元，处理成⼆次函数才是正道．再⽐如第14题，每⼀步可能都不难，⽤到的知识也都是⾼考要求的，但是步骤⼀多，考⽣可能就会卡壳．3.还有⼀多半的试题，或者考点不是⾼考重点要求的，⽐如数论，恐怕是⾃主招⽣中考察最多的知识点，但⾼考却很少涉及；或者考点也许在⾼考范围内，但考法较为灵活，⽐如第12题，需要将多个变量之间的本质关系想清楚才能顺利解决．光光⼦辅导1.⼀定要有针对性的训练．⽐如⾼考很少考到数论相关的问题，即使考到，最多也就⽤到奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但是⾃主招⽣对于数论的要求却较⾼．事实上，数论相关的问题很容易体现出“多想少算”的特点，⾮常符合⾃招的选拔需求．再⽐如说平⾯⼏何，⾼中⽣很可能还⽐不上初中⽣，毕竟⾼考中的平⾯⼏何问题都⾮常简单．如果平时没有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点很容易抓瞎；遇到那种考点在⾼考范围内，但风格不太⼀样的试题，也很难顺利解决．2.往年的⾃招真题，还有全国联赛的⼀试题、预赛题，都是很好的准备材料．平时多练习多思考多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性相当⼤，那就赚到了．3.试题难度总体上会保持稳定．今年北⼤⾃主招⽣数学试题相对容易，只是正常波动，明年很可能⽐今年稍难．对此⼤家要有⼼理准备．4.选择题的“考场技巧”平时要多练，毕竟北⼤这两年的⾃招、博雅全是选择题．必要的时候可以猜．事实上，⼀道题即使完全不会，也不能空着．有同学可能会问，选错不是倒扣1分吗？可是我们算算期望，⼀道题随机选择的得分期望是0.5分呀！如果能排除两个错误选项呢？期望只会更⾼．1.已知实数a,b 满⾜(a 2+4)(b 2+1)=5(2ab −1)，则b Åa +1aã的值为（）A.1.5B.2.5C.3.5D.前三个答案都不对解析C ．2.函数f (x )= x 2−2 −12|x |+|x −1|，x ∈[−1,2]上的最⼤值与最⼩值的差所在的区间是（）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对解析B ．3.不等式组y ⩾2|x |−1,y ⩽−3|x |+5所表⽰的平⾯区域的⾯积为（）A.6B.335C.365D.前三个答案都不对解析C ．4.(1+cos π5)Å1+cos 3π5ã的值为（）A.1+1√5 B.1+14C.1+1√3D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导5.在圆周上逆时针摆放了4个点A,B,C,D ，已知BA =1，BC =2，BD =3，∠ABD =∠DBC ，则该圆的直径为（）A.2√5B.2√6C.2√7D.前三个答案都不对解析D ．6.已知三⾓形三条中线长度分别为9,12,15，则该三⾓形⾯积为（）A.64B.72C.90D.前三个答案都不对解析B ．7.已知x 为实数，使得2,x,x 2互不相同，且其中有⼀个数恰为另⼀个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对解析B ．8.设整数a,m,n 满⾜√a 2−4√5=√m −√n ，则这样的整数组(a,m,n )的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．9.设S =1log 12π+1log 13π+1log 15π+1log 17π,则不超过S 且与S 最接近的整数为（）A.−5B.4C.5D.前三个答案都不对解析A ．10.已知复数z 满⾜z +2z 是实数，则|z +i |的最⼩值等于（）A.√33 B.√22C.1 D.前三个答案都不对解析D ．11.已知正⽅形ABCD 的边长为1，P 1,P 2,P 3,P 4是正⽅形内部的4个点使得△ABP 1，△BCP 2，△CDP 3和△DAP 4都是正三⾓形，则四边形P 1P 2P 3P 4的⾯积等于（）A.2−√3 B.√6−√24C.1+√38D.前三个答案都不对解析A ．光⼦辅导12.已知某个三⾓形的两条⾼的长度分别为10和20，则它的第三条⾼的长度的取值区间为（）A.Å103,5ãB.Å5,203ãC.Å203,20ãD.前三个答案都不对解析C ．13.正⽅形ABCD 与点P 在同⼀平⾯内，已知该正⽅形的边长为1，且|P A |2+|P B |2=|P C |2，则|P D |的最⼤值为（）A.2+√2B.2√2C.1+√2 D.前三个答案都不对解析A ．14.⽅程log 4(2x +3x )=log 3(4x −2x )的实根个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析B ．15.使得x +2x 和x 2+2x2都是整数的正实数x 的个数为（）A.1 B.2C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析A ．16.满⾜f (f (x ))=f 4(x )的实系数多项式f (x )的个数为（）A.2 B.4C.⽆穷多D.前三个答案都不对解析D ．17.使得p 3+7p 2为平⽅数的不⼤于100的素数p 的个数为（）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对解析C ．18.函数f (x )=x (x +1)(x +2)(x +3)的最⼩值为（）A.−1B.−1.5C.−2D.前三个答案都不对解析A ．19.动圆与两圆x 2+y 2=1和x 2+y 2−6x +7=0都外切，则动圆的圆⼼轨迹是（）A.双曲线B.双曲线的⼀⽀C.抛物线D.前三个答案都不对解析B ．光⼦辅导20.在△ABC 中，sin A =45，cos B =413，则该三⾓形是（）A.锐⾓三⾓形 B.钝⾓三⾓形C.⽆法确定D.前三个答案都不对解析A ．。
北大博雅数学2017
北京大学2017年博雅计划测试数学学科注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考点名称填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码.2.客观题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，主观题用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：共14小题，在每题的四个选项中，只有一项符合题目要求.1. 若正整数,,a b c 满足402a b c ++=，则使得10n |abc ̅̅̅̅̅的最大正整数n 是________. （ ）A.5B.6C.7D.以上答案均不正确2. 满足sin cos tan A B C ==的互不相似的ABC △个数为________. （ ）A.0B.1C.2D.以上答案均不正确（有三个连续正整数构成的一个三角形，其中一个角是另一个角的两倍，下列那个选项是正确的？3. ）三角形满足一个内角是另一个内角的两倍，且边长为连续正整数，则该三角形的三边长可能是________.（ ）A.4，5，6B.6，7，8C.7，8，9D.以上答案均不正确 4. π3π5π1cos 1cos 1cos 777⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的值是________. （ ） A.98 B.34C.78D.以上答案均不正确 5. 由1，4，7，10，…2014，2017构造的数1471013…20142017除以9的余数是________.（ ）A.1B.4C.7D.以上答案均不正确6. 正整数,,x y z 使得111x y z y z x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--- ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭也是正整数，则235x y z ++的最大值与最小值之差为________. （ ）A.9B.15C.22D.以上答案均不正确7. 若四边形ABCD 的对角线,AC BD 相交于点O ，,,,AOB BOC COD DOA △△△△的周长相等，且,,AOB BOC COD △△△的内切圆半径分别为3，4，6，则DOA △的内切圆半径是________. （ ） A.92 B.32 C.72D.以上答案均不正确 8. 9,95,995,…201499995个之和中1的个数为________. （ ）A.2012B.2013C.2014D.以上答案均不正确9. 已知222222tan tan sin sin 1tan tan αβαβαβ+=+++，则sin sin αβ的最大值是________. （ ） A.0 B.2013C.2014D.以上答案均不正确10. 单位圆内接五边形的所有边长与对角线的平方和的最大值是________. （ ）A.15B.20C.25D.以上答案均不正确11. 若1,()()100a b c s a bc b ac ++==++>，则min s ∈________. （ ）A.(100,110)B.(110,120)C.(120,130)D.以上答案均不正确12. 设sin14cos14,sin16cos16,a b c =︒+︒=︒+︒=,,a b c 的大小关系是________. （ ）A.b c a >>B.b a c >>C.c b a >>D.以上答案均不正确13. 现将正整数数列分成两组，使得两组中均不包含无穷等差数列，则满足上述分组要求的分组方法数为________. （） A.0 B.1C.无穷种D.以上答案均不正确14. 使得2017(2017)n n --和20172017个位数字相同的最小正整数n 是________. （） A.3 B.5C.6D.以上答案均不正确1）求方程x 4−2x 3−x +2=0的解2）整系数多项式F (x )=A n x n +A n−1x n−1+⋯+A 1x +A 0 (A n ≠0)有多少个整数根？3）方程x 3−y 2=2有多少组整数解、多少组有理解？。
2017年北京大学博雅计划数学试题
2017年北京大学博雅计划数学试题一、选择题（本大题共20小题，每小题5分，共100分）1.正整数9959959995++++的十进制表示中数字1的个数为（ ） A.2012 B.2013 C.2014 D.前三个答案都不对2. 将等差数列1,5,9,132017，，排成一个大数159132017 ，则该大数被9除的余数为（ ） A.4 B.1 C.7 D. 前三个答案都不对3.一个三位数等于它的各位数字的阶乘之和，则此三位数的各位数字之和为（ ） A.9 B.10 C.11 D. 前三个答案都不对4. 单位圆的内接五边形的所有边及所有对角线的平方和的最大值为（ ） A.15 B.20 C.25 D. 前三个答案都不对5. 351cos )(1cos)(1cos )777πππ+++（的值为（ ）A.98B.78C.34D. 前三个答案都不对 6.已知()f x =11()(),()(()),1,k k f x f x f x f f x k +==≥则2017(2017)f 的值为（ ）B.2017D. 前三个答案都不对 7.已知正整数n 满足201720172017n n n ≠，且与有相同的个位数字，则2017-n 的最小值为（ ）A.4B.6C.8D. 前三个答案都不对8.一个盒子装有红，白，蓝，绿四种颜色的玻璃球，每种颜色的玻璃球至少有一个，从中随机拿出4个玻璃球，这4个球是红色的概率为1p ，恰好有三个红色和一个白色的概率为2p ，恰好有两个红色，一个白色和一个蓝色的概率为3p ，四种颜色各一个的概率为4p ，1234p p p p ===则这个盒子里的玻璃球的个数的最小值等于（ ） A.17个 B.19个 C.21个D. 前三个答案都不对9.设111,,)()()a b c a b c b c a---和（均为正整数，则235a b c ++的最大值与最小值之差（ ）A.8B.15C.22D. 前三个答案都不对10.将正整数集合N +分成两个不相交的子集的并，使得每个子集都不包含无穷等差数列的不同方式有（ ） A.0种 B.1种 C.无穷多种 D. 前三个答案都不对11.O 是凸四边形ABCD 对角线AC BD 和的交点，已知,,,AOB BOC COD DOA ∆∆∆∆的周长相同，,,AOB BOC COD ∆∆∆的内切圆半径分别为3,4,6，则DOA ∆的内切圆半径为（ ） A.92B.5C.112D. 前三个答案都不对12.一群学生参加学科夏令营，每名同学至少参加一个学科考试。
清华等17所高校自主招生笔试真题
清华等17所高校自主招生笔试真题清华等17所高校2017年自主招生笔试真题南开大学6月10日、11日，南开大学2017年自主招生考试顺利举行，533名考生参加了现场测试。
笔试题量很大，涵盖了语文、数学知识的学科能力测试，更多地考查学生的思辨能力和平时知识的积累。
1、“祝考生考得都会，蒙得都对”是一个什么命题并证明清华大学2017年6月10日，清华大学率先开始了自主选拔测试，2017年有近6000多人参加清华初试，2017年清华自主招生、领军计划、自强计划笔试采用同一套试卷进行测试。
清华大学初试采用笔试形式，考试科目为：数学与逻辑、理科综合(物化)、文科综合(文史)，学生依据填报的专业类参加其中两个科目的考试。
初试结果将在报名系统内公布。
据悉，2017年清华笔试在全国44个城市设有61考点，相比去年增加25个考点，其中，每个城市还设有多个考点。
考试安排：初试时间：2017年6月10日上午9：00-12：00复试时间：2017年6月16日-18日，(具体测试时间以报名系统内公布为准)。
笔试题型：理科：数学30题，物理20题，化学18题，一共68题，180分钟合在一起考的。
文科：数学35题，语文12题，历史20题。
笔试试题文科综合(文史)类笔试试题：考题有明清时的自然经济瓦解、抗日战争、诗词等内容，不是考知识点记忆，主要考查阅读面、逻辑思维深度等，数学与逻辑难度较大。
化学试题成为新考查内容今年化学成为新考查内容。
刘震表示，新增化学试题注重对学科基础内容的考查、综合多模块内容、加强化学学科的应用性、创新试题的设问模式，充分体现化学学科的学术价值，考查了考生的基础知识、综合能力、科学素养和创新精神，关注环境问题，讨论产生酸雨的原因及危害、食品中的增塑剂与人体健康等社会焦点问题。
物理试题注重基本概念的准确理解和灵活运用。
通过采用单选和多选题随机编排的方式，来考查学生构建正确、合理的物理模型，综合运用物理知识分析、解决实际问题的能力，同时增加了能力考查的区分度。
北京大学2017年自主招生试题
北京大学2017年自主招生数学试卷选择题共20小题,在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确选项的代号填写在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分. 1.实数,a b 满足22(4)(1)5(21)a b ab ++=-，则1()b a a+的值为 () 1.5A () 2.5B () 3.5C ()D 前三个答案都不对解答：由柯西不等式()()()()()222221054126930ab a b ab ab ab ab -=++≥+⇒-+=-≤,所以13 3.5ab a b b a a ⎛⎫=⇒==⇒+= ⎪⎝⎭. 答案：C. 2.函数21212y x x x =--+-在区间[]1,2-上的最大值与最小值的差位于的区间是 5()32A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()32B ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 7()42C ⎛⎫⎪⎝⎭， ()D 前三个答案都不对解答：2222213,10233,011221121,12122x x x x x x y x x x x x x x x x ⎧--+-≤<⎪⎪⎪--+≤<⎪=--+-=⎨⎪-++≤<⎪⎪+-≤≤⎪⎩,当14x =-时，max 4916y =；当x =时，min 12y =-;最大值与最小值的差为6516-,在732⎛⎫⎪⎝⎭，内.3.由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域的面积为()6A 33()5B 36()5C ()D 前三个答案都不对解答：画出平面区域,由21y x ≥-和35y x ≤-+所围成的平面区域面积为：6366=55⨯，答案C. 4. 3(1cos)(1cos)55ππ++的值为(A 1()14B +()C ()D 前三个答案都不对解答：3331cos1cos 1cos cos cos cos 555555ππππππ⎛⎫⎛⎫++=+++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 2221coscos2cos cos 1cos cos555555ππππππ=-+=+ 24sincoscossin1555551144sinsin 55ππππππ=+=+⋅=, 答案：B.5.在圆周上逆时针摆放了4个点,,,A B C D 已知1BA =，2BC =，3BD =，ABD DBC ∠=∠，则该圆的直径为()A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：由ABD DBC ∠=∠，得AD DC =.在,ABD DBC ∆∆内，由余弦定理得:229194612AD CD AD CD +-+-=⇒==所以1cos 23ABD ABD π∠=⇒∠=,在ABD ∆内由正弦定理可得，2sin 3ADR ABD==∠, 答案：D. 6.已知三角形三条中线长度分别为9,12,15，则三角形的面积为()69A ()72B ()75C ()D 前三个答案都不对解答：在AIE ∆中，6,5AI IE ==，在AIE ∆中，8,5CI IE ==，AEI CEI π∠+∠=，由余弦定理可得222536256401010AE CE AE CE+-+-+=，其中AE CE =，得=5AE CE =，则10AC =，同理可得另外两条边长分别为所以三角形面积为72.答案B. 7.已知x 为实数，使得22,,x x 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x 的个数为()3A ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：2221,1x x x =⇒==，不符合题意；222211x x x =⇒=⇒=-符合题意；24,16x x ==，符合题意；242,2x x x =⇒==-，舍去2x =；2120,2x x x x =⇒==，舍去0x =；220,2x x x x =⇒==，舍；综上，x 的值可以为4，-2，-1，0.5. 答案B.8.设整数,,a m n=(,,)a m n 的个数为()A 无穷个 ()4B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：=2a m n -=+-由于,,a m n 都是整数，所以20mn =，则2a m n =+，且m n >所以整数组(,,)a m n 可以为()()3,5,4,3,5,4-，答案C. 9.设111123571111log log log log S ππππ=+++，则不超过S 且与S 最接近的整数为 ()5A - ()4B ()5C ()D 前三个答案都不对解答：()11112357111111111log log 5,4log log log log 2357210S ππππππ⎛⎫=+++=⋅⋅⋅=∈-- ⎪⎝⎭,答案A.10.已知复数z 满足2z z+是实数，则z i +的最小值等于()3A()2B ()1C ()D 前三个答案都不对解答： 由2z z +是实数可得22z z z z +=+，即22z z z z+=+，整理得2()10z z z z ⎛⎫--= ⎪⋅⎝⎭，所以z z =或z =若z z =，则z 为实数，当0z =时，z i +有最小值1；若z =z i +1; 综上可得z i +1. 答案D. 11.已知正方形ABCD 的边长为1，1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点使得1234,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆和都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于()2A()B()C ()D 前三个答案都不对解答：四边形1234PP P P为边长为)12的正方形，故面积为2.答案：A.12.已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度取值区间为10()53A ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 20()5,3B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 20(),203C ⎛⎫ ⎪⎝⎭()D 前三个答案都不对解答： 由面积相等，两条高之比为1:2，所对应的底边之比为2:1，设为2,x x ，则第三条边长的取值范围为(,3)x x ，由面积相等可知第三条高的长度取值区间为20,203⎛⎫⎪⎝⎭，答案C. 13.正方形ABCD 与点P 在同一平面内，已知该正方形的边长为1,且222PA PB PC +=，则PD 的最大值为()2A +(B()1C +()D 前三个答案都不对解答：以点A 为坐标原点，AB 为x 轴正方向建立平面直角坐标系，则()()()()0,0,1,0,1,1,0,1A B C D .设(),P x y ,由222PA PB PC +=得(),P x y 的轨迹方程为()2212x y ++=,所以PD的最大值为2答案A. 14.方程()()43log 23log 42x x x x +=-的实根个数为()0A ()1B ()3C ()D 前三个答案都不对解答：设()()43log 23log 42xxxxm +=-=234423x x mx x m⎧+=⎪⇒⎨-=⎪⎩两式相加得4343x x m m +=+，由函数34x x y =+单调递增，x m =；23413234124423x x x x xx x xx x x⎧+=⎪⎛⎫⎛⎫⇒+=⇒+=⎨ ⎪ ⎪-=⎝⎭⎝⎭⎪⎩，由介值定理易知其实根个数为1.答案A.15.使得2+x x 和222x x+都是整数的正实数x 的个数为 ()1A ()3B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：因为2+x x是整数，所以 22222222221111222224x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+=++=+++++=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是整数， 又222x x+和4是整数，所以22x是整数，所以221,21,x x x x ==⇒=±=;当x =2+x x不是整数，所以1x =±，正实数x 的值为1. 答案A.16.满足()()()4ff x f x =的实系数多项式()f x 的个数为()2A ()4B ()C 无穷多 ()D 前三个答案都不对解答：()()()40,1,f x f x f x x ===, 答案D. 17.有多少个不大于100的素数p 满足327p p +为平方数.()0A ()1B ()2C ()D 前三个答案都不对解答：设()322277p p p p n +=+=，则7p +是完全平方数，所以2,29p p ==,答案C. 18.函数()(1)(2)(3)f x x x x x =+++的最小值为()1A - () 1.5B - ()2C - ()D 前三个答案都不对解答：()()()22(1)(2)(3)332f x x x x x x xxx =+++=+++,设223993244t x x x ⎛⎫=+=+-≥- ⎪⎝⎭，则()()222211y t t t t t =+=+=+-，min 1y =-, 答案A.19.动圆与两圆221x y +=和22670x y x +-+=都外切.则动圆的圆心的轨迹是()A 双曲线 ()B 双曲线的一支 ()C 抛物线 ()D 前三个答案都不对解答：设动圆圆心为点P ，半径为r ，已知两圆圆心为()()120,0,3,0F F .由已知得122112||1,||||||1||3PF r PF r PF PF F F =+=⇒-=<=，所以动圆圆心的轨迹为双曲线的一支. 答案B. 20.在三角形ABC 中，44sin ,cos 513A B ==，则该三角形是 ()A 锐角三角形 ()B 钝角三角形 ()C 无法确定 ()D 前三个答案都不对解答：sin sin 132B A A B π=>⇒<<，又3cos 5A =,()cos cos sin sin cos cos 0C A B A B A B =-+=-=>,所以为锐角三角形, 答案A.本文档由华夏园教育提供。
2017北京大学数学夏令营试题(部分含答案)
【简介】2017年8月13日—15日，北京大学举行中学生数学科学夏令营活动，活动包括专题讲座、专项测试。
本次夏令营专项测试包含2次学生测试，每次考试3个小时。
参加的营员在12月份数学冬令营中有以下对应优惠。
1、进入前50名集训队成员，直接保送北大（每年国决现场集训队选手基本都是保送清北）；
2、进入前120名，可降一本分数线录取。
3、数学联赛中进入省队，依据相关情况给予降20—60分录取。
第一天第1题参考解答
第一天第2题参考解答
分析
a增长，如首先，如果这个递推初始值稍微大一点，就可以忽略常数项，就会产生变成2k
果初始值太小，就会直接到后面变成负数，所以很可能只有唯一一个解或者无解，不然只能有无限个解（不太可能）。
所以猜对初始值非常关键，那么符合题意的初始值可能成为本数列的为数不多的闭合解之一。
因为我好久没做题了，所以费了点功夫，如果经常在做函数方程的同学，一下子可以看出闭合解可能是一次多项式，然后就可以猜到答案。
再反证明初始值唯一就可以了，使用不等式放缩即可，因为这个递推式对初始值非常敏感，所以不难用不等式导出矛盾。
2017年北京大学博雅计划数学试题分析
2017年北京大学博雅计划数学试题分析选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.51.已知实数,a b 满足：22(4)(1)5(21)a b ab ，则1(b a a 的值为（ ） A.32 B.52 C.72D.前三个答案都不对 51.解：由22(4)(1)5(21)a b ab ，展开，得222241090.a b b a ab 配方，得22(3)(2)0ab a b ，从而3ab ，12b a ，从而117(3.22b b a ab a a 故选C.52.函数21()|2||||1|2f x x x x，[1,2]x 上的最大值与最小值的差所在的区间是（ ）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对52.B 53.不等式组2||1,3||5,y x y x所表示的平面区域的面积为（ ） A.6 B.335 C.365 D.前三个答案都不对 53.C 54.π3π(1cos cos55 的值为（ ）A.1B.114C.1D.前三个答案都不对 54.解：π3ππ2ππ2ππ2π(1cos cos)(1cos cos 1cos cos cos cos .55555555令π2πcos cos 55x ，π2πcos cos 55y ， 则222π4πcos 1cos 1π2π12ππ155cos cos (cos cos )55222552xy y ，从而12x ，即π2π1cos cos .552 又因为2π4πsin sin π2π155cos cos π2π5542sin sin 55，从而 原式11111.244故选B. 55.在圆周上逆时针摆放了4个点A 、B 、C 、D .已知1BA ，2BC ，3BD ，ABD DBC ，则该圆的直径为（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对55.D56.已知三角形中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为（ ）57.已知x 为实数，使得2、x 、2x 互不相同，且其是有一个数恰为别一个数的2倍，则这样的x 的个数为（ ）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对 57.B 58.设整数a 、m 、n 满足 则这样的整数组(,,)a m n 的个数为（ ）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对58.C59.设111123571111log πlog πlog πlog πS ，则不超过S ，且与S 最接近的整数为（ ）A.5B.4C.5D.前三个答案都不对59.A60.已知复数z 满足2z z是实数，则|i |z 的最小值等于（ ） A.3 B.2C.1D.前三个答案都不对 60.解：设复数i z a b ，从而 222222222(i)22i i ((i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b ， 由题意得222a b ，即在复平面内，复数z 对应的点在圆222a b 上运动，而|i |z 的几何意义是动点(,)P a b 到定点(0,1) 1.从而选D.61.已知正方形ABCD 的边长为1，1P 、2P 、3P 、4P 是正方形内部的4个点，使得1ABP 、2BCP 、3CDP 、4DAP 都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于（ ）A.2B.4C.18D.前三个答案都不对 61.解：以C 为坐标原点，CD ，CB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系.由题意知11(,122P、21,22P、31(,)22P、41(1,)22P ，易知四边形1234PP P P为正方形，从而12342132411||||1)222P P P S PP P P 四边形P 选A.62.已知某个三角形的两条高线的长度分别为10和20，则它的第三条高线长度的取值区间为（ ） A.10(,5)3 B.20(5,3 C.20(,20)3D.前三个答案都不对 62.解：设ABC 的面积为S ，所求的第三条高线为长为h ，则三边长分别为210S ，220S ，2S h .则22.1020S S 由三角形的三边关系，得222,20102222010.S S S h S S Sh 解得20203h ，从而选C. 63.正方形ABCD 与点P 在同一个平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC ，则||PD 的最大值为（ ）A.2B.C.1D.前三个答案都不对63.解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设(,)P x y ，由题意得2221x y y ，即22(1)2x y ，即动点P 在圆22(1)2x y 上运动.||PD 的长即为圆上动点P 到定点(0,1)D 的距离，易知D 距离圆心的距离为2，从而最大值为2选A.64. 方程43log (23)log (42)x x x x的实根个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.前三个答案都不对64.解：令43log (23)log (42)x x x x t ，从而234x x t ，423x x t，两式相加，得4343x x t t，令()43x x f x ，从而得()()f x f t .因为()f x 为增函数，从而.x t 所以原方程只有一个根，选B.65.使得2x x 和222x x都是整数的正实数x 的个数为（ ） A.1 B.2 C.无穷多 D.前三个答案都不对 65.解：因这2x x 为整数，故22(x x 必为整数，即2244x x 为整数，由于222x x 为整数，所以22x 为整数.从而2x 必为2的因数.从而21x 或22x .因为0x ，所以1x或x当1x 时，2x x为整数，满足题意；当x 2x x不是整数，不合题意，舍去. 故满足题意的实数x 只有 1.x 故选A. 66.满足4(())()f f x f x 的实系数多项式()f x 的个数为（ ）A.2B.4C.无穷多D.前三个答案都不对66.D67.使得327p p 为平方数，且不大于100的素数p 的个数为（ ）A.0B.1C.2D. 前三个答案都不对67.解：因为3227(7)p p p p ，因为若327p p 是平方数，由27p p 无整数解，从而7p 为平方数.若p 为个位数字，且p 为质数，从而p 所有可能的取值为2,3,5,7，因为平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，检验知只有2符合题意；若p 为两位质数，则7p 必为偶数，因为两位平方数的未两位数字是0偶、1偶、4偶、9偶、25、6奇，从而7P 的未两位数字必是0偶、4偶、6奇三种情况.（1）若p 7 未两位是0偶的形式，则p 只能是13、23、53、73、83，而此时7p 不是平方数；（2）若p 7 未两位是偶4的形式，则p 只能是17、37、47、67、97，而此时7p 不是平方数；（3）若p 7 未两位是6奇的形式，则p 只能是29、89，检验知29符号题意.综上知2p 或29p ，满足条件的p 只有2个，故选C.68. 函数()(1)(2)(3)f x x x x x 的最小值为（ ）A.1B.32C.2D.前三个答案都不对 68.解：令13[(1)(2)(3)]42t x x x x x ，从而3.2x t 所以22311319()()()(().222244f xg t t t t t t t 再令2221195[(()]2444m t t t ，从而254t m ， 于是2()()(1)(1)1 1.g th m m m m当0m ，即2t （此时322x ）时“＝”成立.从而选A. 69.动圆与两圆1:C 221x y 和2:C 22670x y x 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.抛物线D.前三个答案都不对69.解：由圆2C 的方程22670x y x ，得22(3)2x y ，从而可知2C 的圆心为(3,0)，半径为2r ，从而可知1C 与圆2C 相外离.设动圆的圆心P ，从而212121||||1 1.PC PC r r r r 由双曲线的定义可知，动圆的圆心轨迹是双曲线靠近2C 的那支，即双曲线的右支，故选B.70.在ABC 中，4sin 5A ，4cos 13B ，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.无法确定 D.前三个答案都不对70.解：4cos 13B ，得sin 13B ，由于4sin 5A 13 ，所以π2A B ，从而3sin 5A ，所以434cos cos()sin sin cos cos 0513513C A B A B A B ，从而C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形. 故选A.总体评价1.保持了近几年北京大学博雅计划自主招生的几格（1）仍然是20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分；（2）时间紧，题量大.三个小时内要完成语、数、外三科试题的解答，很少有学生完成；（3）D选项一律是“前三个答案都不对”.很具有迷惑性，有时候甚至比较棘手.例如第5题，答案数字不怎么完整.在考场时间紧张的情况下，是否相信自己的判断，对考生来说是一个考验；再如第9题，答案明显是个负数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要估算；（4）风格灵巧，强调多想少算.比如第1题，看出来配方的技巧就可以秒杀.如果硬算的话，可能比较造成悲剧；（5）不追求知识的全面覆盖.数论、函数、平面几何、三角等一向是北京大学各种自主招生考试中的高频考点.在2017年的自主招生考试中依然也是考查的重点. 而概率、统计、导数、立体几何等考点一向被北京大学冷落，2017年的这场考试也不例外；（6）经典试题有一定的重现率.比如第6题就是平面几何中的经典问题，第9题中用到对数运算公式等，这在北京大学的自主招生考试中也是屡见不鲜的.2.相对于近几年的北京大学的各场自主招生的相关考试而言，这份试卷的难度不高，在平均线以下；3.有较好的区分度，能够达到北京大学自主招选拔的目的.与高考试题的对比1.有些试题即使放在高考中也不是难题.比如第19题、第20题.这类题基本每份自主招生的试卷中都有，但一般来讲数量较少；2.有些试题的考点同时也是高考考查的重点，但相对高考而言，综合性较强.考生若想在有限的时间内顺利解决的话，得有很好的基本功. 比如第18题，如果做成四次函数求最值，将会十分麻烦.代数变形后进行换元，处理成二次函数才是解决此类问题的正途.再如第14题，每一步可能都不算难，用到的知识也是高考要求的，但步骤一多，考生可能就处理不好；3.一多半的试题或者为是高考重点要求的（如数论，同时也是自主招生考试中考查最多的知识点，但高考很少涉及），或者是在高考大纲范围内，但考查方法较为灵活（如12题，需要将多个高量之间的本质关系想清楚才能顺利解决）.对考生的启示1.有针对性的训练是有必要的.比如在高考中很少考到数论的相关问题，即使考到，最多无非是奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但自主招生考试对数论的要求却较高.事实上，数论的相关问题很容易体现出“多想少算”的特点，非常符合自主招生的选拔要求.再如平面几何，高中生很可能还比不上初中生，毕竟高考中的平面几何问题都非常简单.如果平时没有有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点就很容易抓瞎，遇到那些虽然在高考大纲范围内，但风格不太一样的试题，也很难顺利解决.2.研习真题真的很重要往年的自主招生试题，全国高中数学联赛的试题，甚至自省的预赛题，都是很好的备考材料.平时练习多思考、多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性就会相当大.3.试题的难度在总体上会保持稳定2017年北京大学博雅计划的自主招生试题相对容易，这只是正常的波动.2018年可能会比2017年稍微难一些，但难度应该也不会太大，对此大家应该有心理准备.4.选择题的“考场技巧”平时需要多练最近两年北京大学的博雅计划自主招生考试全是选择题，必要的时候可能猜.事实上，一道试题即使不完全会，也不能空着.可能会有同学问：“选错不是倒扣1分吗？”可是如果我们从数学角度算算期望的话，一道试题随机选择的得分期望是0.5分.如果能排除两个错误选项的话，得分的期望值就会更高.。
2017北大博雅数学
2017年北大博雅数学试题蒋叶光1、已知实数a b 、满足()()()2241521a b ab ++=-，则b 1a +a æèçöø÷为（ ）A.1.5B.2.5C.3.5D.以上答案都不对2、函数21()21,[1,2]2f x x x x x =--+-∈-上的最大值和最小值的差所在的区间（）A. (2,3)B. (3,4)C. (4,5)D.以上答案都不对3、不等式组2135y x y x ⎧≥-⎪⎨≤-+⎪⎩所表示的平面区域的面积为（）A.6B. 335C. 365 D.以上答案都不对4、31cos 1cos 55ππ⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ）A. 1+B. 114+C. 1D. 以上答案都不对5、圆上A B C D 、、、四点（逆时针排列），AB =1,BC =2,BD =3且ABD DBC ∠=∠，则圆的直径为（ ）A. B. C. 27 D. 以上答案都不对6、已知某三角形三个边中线长为9，12，15，则该三角形的面积为（ ）A. 64B. 72C. 90D. 以上答案都不对7、已知x 为实数，使得22,,x x 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的2倍，则这样的实数x 的个数为（）A.3B. 4C. 5D. 以上答案都不对8、实数a ,m ,n =a ,m ,n 有（ ）组A. 1B.C. 2D. 以上答案都不对9、111123571111log log log log S ππππ=+++则不大于S 的最大整数为（ ） A. 5- B.4 C.5 D. 以上答案都不对10、z +2z为实数，则|z +i |的最小值为（ ）A.B. C. 1 D. 以上答案都不对11、已知正方形ABCD 边长为1，1234,,,P P P P 是正方形内部的4个点，使得1234,,,ABP BCP CDP DAP ∆∆∆∆都是正三角形，则四边形1234PPP P 面积等于（）A. 2B. 4C. 18D. 以上答案都不对12、三角形两高分别为10，20，则它的第三个高的取值范围是（ ）A. 0,103æèçöø÷ B. 103,203æèçöø÷ C. 203,20æèçöø÷ D. 以上答案都不对13、已知正方形ABCD 与P 在同一平面内，已知正方形边长为1，且222PA PB PC +=，则PD 的最大值为（）A. 2B.C. 1+D. 以上答案都不对14、()()43log 23log 42x x xx +=-则x 整数解的个数为（） A. 0 B. 1 C. 2 D. 以上答案都不对15、x +2x 和x 2+2x 2均为整数，则正实数x 的可能值有（）个A.1B.2C.4D.以上答案都不对16、实系数多项式f f x ()()=f 4x ()解得个数为（ ）A. 2B. 4C.无穷多D. 以上答案都不对17、0-100以内的素数中，满足p 3+7p 2为平方数的P 的个数为（ ）A. 0B. 1C. 2D. 以上答案都不对18、f x ()=x x +1()x +2()x +3()的最小值为（ ）A. -1.B. -1.5C.-2D. 以上答案都不对19、动圆与两个圆221x y +=和22670x y x +-+=都外切，则动圆圆心的轨迹为个A.双曲线B.双曲线的一支C. 抛物线D. 以上答案都不对20、sin A =45,cos B =413则ABC ∆为（ ） A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.无法确定 D.以上答案都不对。
北大博雅数学2017答案
北大博雅数学2017答案2017年北京大学博雅计划测试【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
不妨假设5不整除c ，注意到53=125＜402＜625＜54，，所以a 当中5的幂次至多是3，于是a,b 均必须为5的倍数。
若53||a,52||b ，设a=125a 1,b=25b 1，则a1+b1≤3，故ab 中2的幂次至多是1，于是根据2n |abc ，推出24|c 。
在方程a+b+c=402两端模4，得到a 1+b 1≡2(mod4)，于是 a 1=b 1=1，c=402-125-125=152，而它并不是24的倍数，矛盾！若53||a,52||b ，设a-125a 1,b=25b 1，则5a 1+b 1≤16，于是ab 中2的幂次之多是3，从而4|c 。
在方程a+b+c=402两端模4，得到a 1+b 1≡2(mod4)，结合5a 1+b 1≤16，且b 1不是5的倍数，枚举得到（a 1,b 1）仅可能为（2,4）（1,1）（1,9），经过检验均不满足题意，矛盾！【评析】此题看似简单的素因子分析和讨论，其实严格说明并不简单，许多细节处技巧性都很强。
此题属于不好做的数论题。
【2】B 根据sinA=cosB ，得到A=B+π2或A+B=π2（舍）。
再根据A+B+C=π，解得C=32π-2A 。
为了使B 、C 角满足题意，得到A- π2∈（0，π）并且32π-2A ∈（0，π），结合A ∈（0，π），故A ∈（π2，34π）即可使得B,C 角也满足题意。
最后我们考虑方程sinA=tanC=tan(32π-2A)=cot2A 的解：记t=cosA ∈（?√22，0），方程化为2t 3+2t 2-2t-1=0。
再记f(t)= 2t 3+2t 2-2t-1=0，而f ’(t)=6t 2+4t-2在（?√22，0）上恒为负，所以f(t)在（?√22，0）上递减。
北大博雅数学2017答案
2017年北京大学博雅计划测试【1】Da=25,b=25,c=352时，n 可取4，下面我们将说明n 不可能大于4：若n ≥5，先考虑5n |abc ：由于a+b+4=402，而402并不是5的倍数，所以abc 不可能均为5的倍数。
不妨假设5不整除c ，注意到53=125＜402＜625＜54，，所以a 当中5的幂次至多是3，于是a,b 均必须为5的倍数。
若53||a,52||b ，设a=125a 1,b=25b 1，则a1+b1≤3，故ab 中2的幂次至多是1，于是根据2n |abc ，推出24|c 。
在方程a+b+c=402两端模4，得到a 1+b 1≡2(mod4)，于是 a 1=b 1=1，c=402-125-125=152，而它并不是24的倍数，矛盾！若53||a,52||b ，设a-125a 1,b=25b 1，则5a 1+b 1≤16，于是ab 中2的幂次之多是3，从而4|c 。
在方程a+b+c=402两端模4，得到a 1+b 1≡2(mod4)，结合5a 1+b 1≤16，且b 1不是5的倍数，枚举得到（a 1,b 1）仅可能为（2,4）（1,1）（1,9），经过检验均不满足题意，矛盾！【评析】此题看似简单的素因子分析和讨论，其实严格说明并不简单，许多细节处技巧性都很强。
此题属于不好做的数论题。
【2】B根据sinA=cosB ，得到A=B+π2或A+B=π2（舍）。
再根据A+B+C=π，解得C=32π-2A 。
为了使B 、C 角满足题意，得到A- π2∈（0，π）并且32π-2A ∈（0，π），结合A ∈（0，π），故A ∈（π2，34π）即可使得B,C 角也满足题意。
最后我们考虑方程sinA=tanC=tan(32π-2A)=cot2A 的解：记t=cosA ∈（−√22，0），方程化为2t 3+2t 2-2t-1=0。
再记f(t)= 2t 3+2t 2-2t-1=0，而f ’(t)=6t 2+4t-2在（−√22，0）上恒为负，所以f(t)在（−√22，0）上递减。
北大2017博雅试题(无答案)
2017北大博雅试题及答案
（2017北大博雅）01、空间直角坐标系中，六个完全相同、均匀带电的正方形绝缘平板构成一个正方体，其中心O位于坐标原点，各棱方向与坐标轴平等，记与z轴平行的棱的中点为A，正方体与x轴的交点为B，则A、B、C三点的电场强度 D
A、全部为0
B、全部不为0
C、有两个满足至少在两个方向上的分量不为0
D、有一个满足恰好在两个方向上的分量不为0
（2017北大博雅）02、如图，用轻绳悬挂一带电小球A，绳长为L，小球质量为m，现将一无穷远处的相同小球B移到图示位置，原小球偏转角度为θ，求移动小球过程中外力做的功
（2017北大博雅）03、如图，有一等腰三棱镜，底角为θ，从侧面沿平行于底边的方向射入一光束，其折射后在底面发生全反射并从另一个侧面射出。
已知三棱镜的材料的折射
率为2，求θ满足的条件。
（2017北大博雅）04、长度分别为L1和L2的两根不可伸长的细绳悬挂着质量分别为m1和m2的两个小球，处于静止状态，如图所示，中间小球突然受到一水平方向的冲击力，瞬间获得水平向右的速度v，求此时两绳中的拉力。
（2017北大博雅）05、一平行板电容器，面积为S，板间距为d，与电动势为U的恒定电源串联，现将一厚度为d，面积为S、相对介电常数为ε的电介质插入极板之间，求该过程中外力做的功。
（2017北大博雅）06、如图，真空中有四块完全相同且彼此相近的大金属板A、B、C、D平行放置，表面涂黑（可看成黑体），最外侧两块板的热力学温度各维持T1和T4，且T1>T4。
当达到热稳定时，求B板的温度。
(完整)北京大学2017年博雅计划试题
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北京大学2017年博雅计划试题一、请将下文的空白处补全一个人为什么要成为一个作家汪曾祺我年轻时写过诗,后来很长时间没有写。
我对于诗只有一点很简单的想法.一个是希望能吸收( 1 )影响（新诗本是外来形式，自然要吸收外国的，——西方的影响）.一个是最好要讲一点韵律.诗的语言总要有一点（ 2 ），这样才便于记诵,不能和散文完全一样.我的散文大都是记叙文。
间发( 3 ），也是夹叙夹议。
我写不了像伏尔泰、叔本华那样闪烁着智慧的论著,也写不了蒙田那样渊博而优美的谈论人生哲理的( 4 )。
我也很少写纯粹的（ 5 ）。
我觉得散文的感情要适当（ 6 ）。
感情过于洋溢，就像老年人写情书一样，自己有点不好意思。
我读了一些散文，觉得有点感伤主义.我的散文大概继承了一点明清散文和五四散文的传统。
有些篇可以看出张岱和龚定庵的痕迹。
我只写短篇小说，因为我只会写短篇小说.或者说，我只熟悉这样一种对生活的思维方式.我没有写过长篇,因为我不知道长篇小说为何物。
长篇小说当然不是篇幅很长的小说，也不是说它有繁复的人和事，有纵深感,是一个具有历史性的长卷……这些等等。
我觉得长篇小说是另外一种东西。
什么时候我摸得着长篇小说是什么东西,我也许会试试，我没有写过中篇（外国没有“中篇”这个概念)。
我的小说( 7 ）的一篇大约是一万七千字。
有人说，我的某些小说，比如《大淖记事》，稍为抻一抻就是一个中篇.我很奇怪:为什么要抻一抻呢？( 8 ）,就会失去原来的完整,原来的匀称，就不是原来那个东西了。
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2017年北京大学博雅计划数学试题分析选择题共20小题（51题至70题）；在每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确的代号填在表格中，选对得5分，选错扣1分，不选得0分.51.已知实数,a b 满足：22(4)(1)5(21)a b ab ，则1(b a a 的值为（ ） A.32 B.52 C.72D.前三个答案都不对 51.解：由22(4)(1)5(21)a b ab ，展开，得222241090.a b b a ab 配方，得22(3)(2)0ab a b ，从而3ab ，12b a ，从而117(3.22b b a ab a a 故选C.52.函数21()|2||||1|2f x x x x，[1,2]x 上的最大值与最小值的差所在的区间是（ ）A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.前三个答案都不对52.B 53.不等式组2||1,3||5,y x y x所表示的平面区域的面积为（ ） A.6 B.335 C.365 D.前三个答案都不对 53.C 54.π3π(1cos cos55 的值为（ ）A.1B.114C.1D.前三个答案都不对 54.解：π3ππ2ππ2ππ2π(1cos cos)(1cos cos 1cos cos cos cos .55555555令π2πcos cos 55x ，π2πcos cos 55y ， 则222π4πcos 1cos 1π2π12ππ155cos cos (cos cos )55222552xy y ，从而12x ，即π2π1cos cos .552 又因为2π4πsin sin π2π155cos cos π2π5542sin sin 55，从而 原式11111.244故选B. 55.在圆周上逆时针摆放了4个点A 、B 、C 、D .已知1BA ，2BC ，3BD ，ABD DBC ，则该圆的直径为（ ）A.B.C. D.前三个答案都不对55.D56.已知三角形中线长度分别为9、12、15，则该三角形的面积为（ ）57.已知x 为实数，使得2、x 、2x 互不相同，且其是有一个数恰为别一个数的2倍，则这样的x 的个数为（ ）A.3B.4C.5D.前三个答案都不对 57.B 58.设整数a 、m 、n 满足 则这样的整数组(,,)a m n 的个数为（ ）A.0B.1C.2D.前三个答案都不对58.C59.设111123571111log πlog πlog πlog πS ，则不超过S ，且与S 最接近的整数为（ ）A.5B.4C.5D.前三个答案都不对59.A60.已知复数z 满足2z z是实数，则|i |z 的最小值等于（ ） A.3 B.2C.1D.前三个答案都不对 60.解：设复数i z a b ，从而 222222222(i)22i i ((i a b a b z a b a b a b z a b a b a b a b ， 由题意得222a b ，即在复平面内，复数z 对应的点在圆222a b 上运动，而|i |z 的几何意义是动点(,)P a b 到定点(0,1) 1.从而选D.61.已知正方形ABCD 的边长为1，1P 、2P 、3P 、4P 是正方形内部的4个点，使得1ABP 、2BCP 、3CDP 、4DAP 都是正三角形，则四边形1234PP P P 的面积等于（ ）A.2B.4C.18D.前三个答案都不对 61.解：以C 为坐标原点，CD ，CB 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系.由题意知11(,122P、21,22P、31(,)22P、41(1,)22P ，易知四边形1234PP P P为正方形，从而12342132411||||1)222P P P S PP P P 四边形P 选A.62.已知某个三角形的两条高线的长度分别为10和20，则它的第三条高线长度的取值区间为（ ） A.10(,5)3 B.20(5,3 C.20(,20)3D.前三个答案都不对 62.解：设ABC 的面积为S ，所求的第三条高线为长为h ，则三边长分别为210S ，220S ，2S h .则22.1020S S 由三角形的三边关系，得222,20102222010.S S S h S S Sh 解得20203h ，从而选C. 63.正方形ABCD 与点P 在同一个平面内，已知该正方形的边长为1，且222||||||PA PB PC ，则||PD 的最大值为（ ）A.2B.C.1D.前三个答案都不对63.解：以A 为坐标原点，AB 、AD 所在直线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系，则(0,0)A 、(0,1)B 、(1,1)C 、(0,1)D ，设(,)P x y ，由题意得2221x y y ，即22(1)2x y ，即动点P 在圆22(1)2x y 上运动.||PD 的长即为圆上动点P 到定点(0,1)D 的距离，易知D 距离圆心的距离为2，从而最大值为2选A.64. 方程43log (23)log (42)x x x x的实根个数为（ ） A.0 B.1 C.2 D.前三个答案都不对64.解：令43log (23)log (42)x x x x t ，从而234x x t ，423x x t，两式相加，得4343x x t t，令()43x x f x ，从而得()()f x f t .因为()f x 为增函数，从而.x t 所以原方程只有一个根，选B.65.使得2x x 和222x x都是整数的正实数x 的个数为（ ） A.1 B.2 C.无穷多 D.前三个答案都不对 65.解：因这2x x 为整数，故22(x x 必为整数，即2244x x 为整数，由于222x x 为整数，所以22x 为整数.从而2x 必为2的因数.从而21x 或22x .因为0x ，所以1x或x当1x 时，2x x为整数，满足题意；当x 2x x不是整数，不合题意，舍去. 故满足题意的实数x 只有 1.x 故选A. 66.满足4(())()f f x f x 的实系数多项式()f x 的个数为（ ）A.2B.4C.无穷多D.前三个答案都不对66.D67.使得327p p 为平方数，且不大于100的素数p 的个数为（ ）A.0B.1C.2D. 前三个答案都不对67.解：因为3227(7)p p p p ，因为若327p p 是平方数，由27p p 无整数解，从而7p 为平方数.若p 为个位数字，且p 为质数，从而p 所有可能的取值为2,3,5,7，因为平方数的个位数字只可能是0，1，4，5，6，9，检验知只有2符合题意；若p 为两位质数，则7p 必为偶数，因为两位平方数的未两位数字是0偶、1偶、4偶、9偶、25、6奇，从而7P 的未两位数字必是0偶、4偶、6奇三种情况.（1）若p 7 未两位是0偶的形式，则p 只能是13、23、53、73、83，而此时7p 不是平方数；（2）若p 7 未两位是偶4的形式，则p 只能是17、37、47、67、97，而此时7p 不是平方数；（3）若p 7 未两位是6奇的形式，则p 只能是29、89，检验知29符号题意.综上知2p 或29p ，满足条件的p 只有2个，故选C.68. 函数()(1)(2)(3)f x x x x x 的最小值为（ ）A.1B.32C.2D.前三个答案都不对 68.解：令13[(1)(2)(3)]42t x x x x x ，从而3.2x t 所以22311319()()()(().222244f xg t t t t t t t 再令2221195[(()]2444m t t t ，从而254t m ， 于是2()()(1)(1)1 1.g th m m m m当0m ，即2t （此时322x ）时“＝”成立.从而选A. 69.动圆与两圆1:C 221x y 和2:C 22670x y x 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）A.双曲线B.双曲线的一支C.抛物线D.前三个答案都不对69.解：由圆2C 的方程22670x y x ，得22(3)2x y ，从而可知2C 的圆心为(3,0)，半径为2r ，从而可知1C 与圆2C 相外离.设动圆的圆心P ，从而212121||||1 1.PC PC r r r r 由双曲线的定义可知，动圆的圆心轨迹是双曲线靠近2C 的那支，即双曲线的右支，故选B.70.在ABC 中，4sin 5A ，4cos 13B ，则该三角形是（ ） A. 锐角三角形 B.钝角三角形 C.无法确定 D.前三个答案都不对70.解：4cos 13B ，得sin 13B ，由于4sin 5A 13 ，所以π2A B ，从而3sin 5A ，所以434cos cos()sin sin cos cos 0513513C A B A B A B ，从而C 为锐角，所以ABC 为锐角三角形. 故选A.总体评价1.保持了近几年北京大学博雅计划自主招生的几格（1）仍然是20道单选题，选对得5分，选错扣1分，不选得0分；（2）时间紧，题量大.三个小时内要完成语、数、外三科试题的解答，很少有学生完成；（3）D选项一律是“前三个答案都不对”.很具有迷惑性，有时候甚至比较棘手.例如第5题，答案数字不怎么完整.在考场时间紧张的情况下，是否相信自己的判断，对考生来说是一个考验；再如第9题，答案明显是个负数，但由于D选项的存在，在只有A选项为负整数的情况下仍然需要估算；（4）风格灵巧，强调多想少算.比如第1题，看出来配方的技巧就可以秒杀.如果硬算的话，可能比较造成悲剧；（5）不追求知识的全面覆盖.数论、函数、平面几何、三角等一向是北京大学各种自主招生考试中的高频考点.在2017年的自主招生考试中依然也是考查的重点. 而概率、统计、导数、立体几何等考点一向被北京大学冷落，2017年的这场考试也不例外；（6）经典试题有一定的重现率.比如第6题就是平面几何中的经典问题，第9题中用到对数运算公式等，这在北京大学的自主招生考试中也是屡见不鲜的.2.相对于近几年的北京大学的各场自主招生的相关考试而言，这份试卷的难度不高，在平均线以下；3.有较好的区分度，能够达到北京大学自主招选拔的目的.与高考试题的对比1.有些试题即使放在高考中也不是难题.比如第19题、第20题.这类题基本每份自主招生的试卷中都有，但一般来讲数量较少；2.有些试题的考点同时也是高考考查的重点，但相对高考而言，综合性较强.考生若想在有限的时间内顺利解决的话，得有很好的基本功. 比如第18题，如果做成四次函数求最值，将会十分麻烦.代数变形后进行换元，处理成二次函数才是解决此类问题的正途.再如第14题，每一步可能都不算难，用到的知识也是高考要求的，但步骤一多，考生可能就处理不好；3.一多半的试题或者为是高考重点要求的（如数论，同时也是自主招生考试中考查最多的知识点，但高考很少涉及），或者是在高考大纲范围内，但考查方法较为灵活（如12题，需要将多个高量之间的本质关系想清楚才能顺利解决）.对考生的启示1.有针对性的训练是有必要的.比如在高考中很少考到数论的相关问题，即使考到，最多无非是奇偶性、简单的整除之类常识性的知识，但自主招生考试对数论的要求却较高.事实上，数论的相关问题很容易体现出“多想少算”的特点，非常符合自主招生的选拔要求.再如平面几何，高中生很可能还比不上初中生，毕竟高考中的平面几何问题都非常简单.如果平时没有有针对性的训练，考场上遇到不熟悉的考点就很容易抓瞎，遇到那些虽然在高考大纲范围内，但风格不太一样的试题，也很难顺利解决.2.研习真题真的很重要往年的自主招生试题，全国高中数学联赛的试题，甚至自省的预赛题，都是很好的备考材料.平时练习多思考、多总结，考场上遇到原题或者改编题的可能性就会相当大.3.试题的难度在总体上会保持稳定2017年北京大学博雅计划的自主招生试题相对容易，这只是正常的波动.2018年可能会比2017年稍微难一些，但难度应该也不会太大，对此大家应该有心理准备.4.选择题的“考场技巧”平时需要多练最近两年北京大学的博雅计划自主招生考试全是选择题，必要的时候可能猜.事实上，一道试题即使不完全会，也不能空着.可能会有同学问：“选错不是倒扣1分吗？”可是如果我们从数学角度算算期望的话，一道试题随机选择的得分期望是0.5分.如果能排除两个错误选项的话，得分的期望值就会更高.。