高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题11 函数应用问题

【高考地位】

应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.

【方法点评】

类型 解函数应用题的一般步骤

使用情景：函数的实际应用问题

解题模板：第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；

第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模

型；

第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；

第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；

第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际

问题的合理

性.

例1 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

（1）求函数()y f x =的解析式及其定义域；

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？

【答案】（1）*2*50115(36,)368115(620,)

x x x N y x x x x N ⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩，定义域为*{|320,}x x x N ≤≤∈；（2）11元．

【解析】

试题分析：（1）分36x ≤≤、620x <≤根据净收入与日租金的关系分段求得函数的解析式；

（2）根据函数的单调性分段求得各段函数的最大值，从而求得自行车的日租金的定价．

（2）对于*50115(36,)y x x x N =-≤≤∈，显然当6x =时，max 185y =（元）．

对于22*348113681153()(620,)33

y x x x x x N =-+-=--+<≤∈， 当1x =时，max 270y =（元）∵270185>，

∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．

考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．

【思路点睛】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．

例2 如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD ）的围墙，且要求中间用围墙EF 隔开，使得图中ABEF 为矩形，EFDC 为正方形．已知围墙（包括EF ）的修建费用均为800元/米．设x AB =米，围墙（包括EF ）的修建总费用为y 元．

（1）求出y 关于x 的函数关系式；

（2）当x 为何值时，围墙（包括EF ）的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．

【答案】（1）)6100)(400(2400<<+

=x x

x y ；（2）当x 为20米时，y 最小，y 的最小值为96000元．

【解析】

试题分析：（1）借助题设条件建立方程求解；（2）借助题设运用基本不等式的知识探求．

考点：基本不等式等有关知识在实际生活中的综合运用．

【易错点晴】应用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一．这类问题的解答思路是:一、仔细阅读问题中的文字叙述；二、理解题意搞清问题中的数量关系；三、构建合适的数学模型；四、运用数学知识进行分析和求解．本题以修建围墙的费用为背景设置的实际问题,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用．求解时先阅读理解题意,再构建函数关系,最后再运用基本不等式求解,从而使得问题获解．

例3 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2．5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2a y x b

=

+（其中,a b 为常数）模型．

（1）求,a b 的值；

（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．

①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；

②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．

【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩

；（2）①()[]6

243410,5,202f t t t t ⨯=+∈；②当102t =时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．

【解析】

试题解析：

（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()()5,40,20,2.5．

将其分别代入2a y x b =+

，得4025 2.5400a b a b

⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩． （2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭

， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x '=-

， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝

⎭． 故()[]226224330003410,5,2022t f t t t t t ⨯⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

考点：导数及其应用．

【变式演练1】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）

的东偏南2cos θθ⎛= ⎝

方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45︒方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？