高考技巧大全之高中数学黄金解题模板：专题11 函数应用问题

【高考地位】应用题是指利用数学知识解决一些非数学领域中的问题，在近几年全国各地高考中经常出现。

数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，因而应用题的非数学背景是多种多样的，解应用题往往需要在陌生的情景中去理解、分析给出的有关问题，并舍弃与数学无关的非本质因素，通过抽象转化成相应的数学问题，或许正是这个原因让学生比较惧怕数学应用题。

在高考中要处理好函数应用题，学会数学建模分析的步骤和掌握数学建模的具体方法是关键.【方法点评】类型 解函数应用题的一般步骤使用情景：函数的实际应用问题解题模板：第一步 审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；第二步 建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；第三步 解模——求解数学模型，得到数学结论；第四步 还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；第五步 反思——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学结果对实际问题的合理性.例1 为了迎接世博会，某旅游区提倡低碳生活，在景区提供自行车出租．该景区有50辆自行车供游客租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超出6元，则每超过1元，租不出的自行车就增加3辆．为了便于结算，每辆自行车的日租金x （元）只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y （元）表示出租自行车的日净收入（即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得）。

（1）求函数()y f x =的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？【答案】（1）*2*50115(36,)368115(620,)x x x N y x x x x N ⎧-≤≤∈⎪=⎨-+-<≤∈⎪⎩，定义域为*{|320,}x x x N ≤≤∈；（2）11元．【解析】试题分析：（1）分36x ≤≤、620x <≤根据净收入与日租金的关系分段求得函数的解析式；（2）根据函数的单调性分段求得各段函数的最大值，从而求得自行车的日租金的定价．（2）对于*50115(36,)y x x x N =-≤≤∈，显然当6x =时，max 185y =（元）．对于22*348113681153()(620,)33y x x x x x N =-+-=--+<≤∈， 当1x =时，max 270y =（元）∵270185>，∴当每辆自行车的日租金定在11元时，才能使一日的净收入最多．考点：1、函数的解析式及定义域；2、函数的单调性．【思路点睛】（1）利用函数关系建立各个取值范围内的净收入与日租金的关系式，写出该分段函数，是解决该题的关键，注意实际问题中的自变量取值范围；（2）利用一次函数，二次函数的单调性解决该最值问题是解决本题的关键．注意自变量取值区间上的函数类型．应取每段上最大值的较大的即为该函数的最大值．例2 如图，某单位准备修建一个面积为600平方米的矩形场地（图中ABCD ）的围墙，且要求中间用围墙EF 隔开，使得图中ABEF 为矩形，EFDC 为正方形．已知围墙（包括EF ）的修建费用均为800元/米．设x AB =米，围墙（包括EF ）的修建总费用为y 元．（1）求出y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，围墙（包括EF ）的修建总费用y 最小？并求出y 的最小值．【答案】（1）)6100)(400(2400<<+=x xx y ；（2）当x 为20米时，y 最小，y 的最小值为96000元．【解析】试题分析：（1）借助题设条件建立方程求解；（2）借助题设运用基本不等式的知识探求．考点：基本不等式等有关知识在实际生活中的综合运用．【易错点晴】应用题是高中数学问题中的常见题型,也是高考常考题型之一．这类问题的解答思路是:一、仔细阅读问题中的文字叙述；二、理解题意搞清问题中的数量关系；三、构建合适的数学模型；四、运用数学知识进行分析和求解．本题以修建围墙的费用为背景设置的实际问题,其目的是考查基本不等式等有关知识的综合运用．求解时先阅读理解题意,再构建函数关系,最后再运用基本不等式求解,从而使得问题获解．例3 某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路．记两条相互垂直的公路为12l l 、，山区边界曲线为C ．计划修建的公路为l ，如图所示，,M N 为C 的两个端点，测得点M 到12l l 、的距离分别为5千米和40千米，点N 到12l l 、的距离分别为20千米和2．5千米，以12l l 、所在直线分别为,x y 轴，建立平面直角坐标系xOy ．假设曲线C 符合函数2a y x b=+（其中,a b 为常数）模型．（1）求,a b 的值；（2）设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t ．①请写出公路l 长度的函数解析式()f t ，并写出其定义域；②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．【答案】（1）10000a b =⎧⎨=⎩；（2）①()[]6243410,5,202f t t t t ⨯=+∈；②当102t =时，公路l 的长度最短，最短长度为153千米．【解析】试题解析：（1）由题意知，点,M N 的坐标分别为()()5,40,20,2.5．将其分别代入2a y x b =+，得4025 2.5400a b a b⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，解得10000a b =⎧⎨=⎩． （2）①由（1）知，()21000520y x x =≤≤，则点P 的坐标为21000,t t ⎛⎫ ⎪⎝⎭， 设在点P 处的切线l 交,x y 轴分别交于,A B 点，32000y x '=-， 则l 的方程为()2310002000y x t t t -=--，由此得233000,0,0,2t A B t ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． 故()[]226224330003410,5,2022t f t t t t t ⨯⎛⎫⎛⎫=+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点：导数及其应用．【变式演练1】在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O （如图）的东偏南2cos θθ⎛= ⎝方向300km 的海面P 处，并以20km/h 的速度向西偏北45︒方向移动，台风侵袭的范围为圆形区域，当前半径为60km ，并以10km/h 的速度不断增大，问几小时后该城市开始受到台风的侵袭？受到台风侵袭的时间有多少小时？【答案】12小时后该城市开始受到台风侵袭，受到台风侵袭的时间有12小时．【解析】试题分析：建立坐标系，设在时刻：()h t 台风中心()y x P ,的坐标进而可知此时台风侵袭的区域，根据题意可知其中()6010+=t t r ，若在t 时，该城市O 受到台风的侵袭，则有()()()222601000+≤-+-t y x ，进而可得关于t 的一元二次不等式，求得t 的范围，答案可得．答：12小时后该城市开始受到台风气侵袭，受到台风的侵袭的时间有12小时．考点：解三角形的实际应用．【变式演练2】计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X (年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米）都在40以上.其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年.将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．（Ⅰ）求在未来4年中，至多1年的年入流量超过120的概率；（Ⅱ）水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X 限制，并有如下关系； 年入流量X4080X << 80120X ≤≤ 120X > 发电机最多可运行台数 1 2 3若某台发电机运行，则该台发电机年利润为5000万元；若某台发电机未运行，则该台发电机年亏损800万元，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？【答案】（Ⅰ）根据题意先分别计算4080,80120,120X X X <<≤≤>的概率123,,P P P ，再根据二项分布原理计算0年、和1年年入流量超过120的概率即可；（Ⅱ）分别计算安装1台、2台、3台发电机时水电站利润的均值，比较它们的大小，可得到应安装2台发电机.【解析】试题分析：（Ⅰ）0.9477；（Ⅱ）2台.（Ⅱ）记水电站总利润为Y （单位：万元），由于水库年入流量总大于40，所以至少安装1台. ①安装1台发电机的情形：由于水库处入流量总大于40，所以一台发电机运行的概率为1，对应的年利润为5000Y =，150005000EY =⨯=，②安装2台发电机的情形：当4080X <<时，一台发电机运算，此时50008004200Y =-=，所以1(4200)(4080)0.2P Y P X P ==<<==；当80X ≥，两台发电机运行，此时5000210000Y =⨯=，因此23(10000)(40)0.8P Y P X P P ==≥=+=，此时Y 的分布列如下：Y 4200 10000P 0.2 0.842000.2100000.88840EY =⨯+⨯=.此时3(15000)(120)0.1P Y P X P ==>==，所以Y 的分布列如下：Y 3400 9200 15000P 0.2 0.7 0.1所以34000.292000.7150000.18620EY =⨯+⨯+⨯=综上，欲使水电站年利润的均值达到最大值，应安装2台发电机.考点：1.古典概型；2.二项分布；3.离散型随机变量的分布列与期望.【变式演练3】重庆某重点中学高一新生小王家在县城A 地，现在主城B 地上学。

周六小王的父母从早上8点从家出发，驾车3小时到达主城B 地，期间由于交通等原因，小王父母的车所走的路程s （单位：km ）与离家的时间t （单位：h ）的函数关系为)13(5)(--=t t t s 。

达到主城B 地后，小王父母把车停在B 地，在学校陪小王玩到16点，然后开车从B 地以h km /60的速度沿原路返回。

（1）求这天小王父母的车所走路程s （单位：km ）与离家时间t （单位：h ）的函数解析式；（2）在距离小王家60km 处有一加油站，求这天小王父母的车途经加油站的时间。

【答案】（1）⎪⎩⎪⎨⎧≤<-≤<≤≤--=)5.108(33060)83(150)30()13(5)(t t t t t t t s （2）小王父母这天途经该加油站的时间分别为9点和17点30分【解析】试题分析：（Ⅰ）根据题意，可得分段函数解析式，关键是确定返回时函数的解析式；（Ⅱ）利用分段函数解析式，建立方程，即可求得结论试题解析：（1）依题意得当30≤≤t 时，)13(5)(--=t t t s 。