函数导数与三角函数

函数，导数与三角函数
(时间：120分 满分：150分)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若1∈{a －3，
9a
2
－1，a 2＋1，－1}，则实数a 的值为( ) A ．0或4 B ．4 C.4
9
D ．4或4
9
2．(2012年高考天津卷)设x ∈R ，则“x >1
2”是“2x 2＋x －1>0”的( )
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
3．已知等比数列{a n }的公比q 为正数，且a 5·a 7＝4a 2
4，a 2＝1，则a 1＝( )
A.12
B.2
2
C. 2 D ．2 4．(2012年福州质检)将函数f (x )＝sin 2x (x ∈R)的图象向右平移π4个单位后，
所得到的图象对应的函数的一个单调递增区间是( )
A ．(－π
4，0)
B ．(0，π
2)
C ．(π2，3π4
)
D ．(
3π
4
，π) 5．(2012年济南模拟)如果实数x 、y 满足条件⎩⎨⎧x －y ＋1≥0，
y ＋1≥0，x ＋y ＋1≤0，
那么2x －y 的最
大值为( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－3
6．(2012年郑州模拟)给出30个数：1，2，4，7，11，…，要计算这30个数的和，现已给出了该问题的程序框图如图所示，那么框图中判断框①处和执行框②处应分别填入( )
A ．i ≤30？和p ＝p ＋i －1
B ．i ≤31？和p ＝p ＋i ＋1
C ．i ≤31？和p ＝p ＋I
D ．i ≤30？和p ＝p ＋i
7．已知函数f (x )＝sin x 在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－1，f (b )＝1，则cos
a ＋b
2
的值为( ) A ．0 B.
2
2
C ．1
D ．－1 8．(2012年惠州模拟)已知复数a ＋b i ＝2＋4i
1＋i
(a ，b ∈R)，则函数f (x )＝2sin (ax ＋π
6
)＋b 的图象的对称中心可以是( ) A ．(π6，0) B ．(－π18，1) C ．(－π
6，1)
D ．(π
9
，1)
9．(2012年高考山东卷)设命题p ：函数y ＝sin 2x 的最小正周期为π
2；命题q ：
函数y ＝cos x 的图象关于直线x ＝π
2
对称．则下列判断正确的是( )
A ．p 为真
B ．綈q 为假
C ．p ∧q 为假
D ．p ∨q 为真
10．在等差数列{a n }中，首项a 1＝120，公差d ＝－4，若S n ≤a n (n ≥2)，则n 的最小值为( )
A ．60
B ．62
C ．70
D ．72
11．(2012年南昌联考)已知函数f (x )的图象如图所示，f ′(x )是f (x )的导函数，
A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)
C．0<f′(3)<f′(2)<f(3)－f(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3)
12．(2012年高考湖北卷)定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的函数f(x)，如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f(a n)}仍是等比数列，则称f(x)为“保等比数列函数”．现有定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的如下函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝2x；③f(x)＝|x|；④f(x)＝ln|x|.
则其中是“保等比数列函数”的f(x)的序号为()
A．①②B．③④C．①③D．②④
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
13．数列{a n}满足a1＝2 012，a n＋1＋a n＋n2＝0，则a11＝________.
14．(2012年宝鸡中学月考)已知α，β∈(－π
2
，
π
2
)，且tan α，tan β是方程x2
＋6x＋7＝0的两个根，则α＋β＝________.
15．(2012年高考安徽卷)设向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，则|a|＝________．
16．观察下列等式：
12＝1，
12－22＝－3，
12－22＋32＝6，
12－22＋32－42＝－10，…
由以上等式推测到一个一般的结论：对于n∈N*，12－22＋32－42＋…＋(－
1)n＋1n2＝________.
三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或
17．(12分)已知f (x )是R 上的奇函数，且f (x ＋2)＝－f (x )．当－1≤x ≤1，f (x )＝x 3.
(1)求证：x ＝1是函数y ＝f (x )的一条对称轴； (2)当x ∈[1，5]时，求f (x )的表达式．
18．(12分)(2012年韶关模拟)数列{a n }对任意n ∈N *，满足a n ＋1＝a n ＋1，a 3＝2.
(1)求数列{a n }通项公式；
(2)若b n ＝(1
3
)a n ＋n ，求{b n }的通项公式及前n 项和．
.19．(12分)(2012年朝阳模拟)在锐角三角形ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 所对的边，且满足3a －2b sin A ＝0.
(1)求角B 的大小；
(2)若a ＋c ＝5，且a >c ，b ＝7，求AB →·AC
→的值． 20．(12分)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (6
5，0)，P (cos α，sin α)，其
中0≤α≤π
2
.
(1)若cos α＝56，求证：PA →⊥PO →； (2)若PA →∥PO
→，求sin (2α＋π4)的值．
21．(13分)(2012年广州高三模拟)f (x )＝sin 34x ·sin 34(x ＋2π)·sin 3
2(x ＋3π)在区
间(0，＋∞)内的全部极值点按从小到大的顺序排成数列{a n }(n ＝1，2，3…)
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝sin a n sin a n ＋1sin a n ＋2，求证：｛b n ｝为等比数列，并求b n
22．(13分)(2012年北京模拟)已知函数f (x )＝e x (x 2＋ax －a )，其中a 是常数． (1)当a ＝1时，求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；
(2)若存在实数k ，使得关于x 的方程f (x )＝k 在[0，＋∞)上有两个不相等的实数根，求k 的取值范围．。