离散数学 练习题及答案

命题逻辑
例1: 下面哪些语句是命题
十是一个整数. 真命题
北京是一个村庄. 假命题
我学英语或法语. 复合命题
如果天气好,我就去散步. 复合命题
向右看齐! 不是命题
您吃饭了吗? 不是命题
本命题是假的. 不是命题
例2：试以符号形式写出下列命题
1） 选小王或小李中的一人当班长。

P: 小王当班长。

Q: 小李当班长。

( P ∧ ⌝ Q) ∨ (⌝ P ∧ Q)
2） 小王是计算机系的学生，他生于1982年，他是一个好学生。

P: 小王是计算机系的学生。

Q: 他生于1982年。

R: 他是一名好学生。

P ∧ Q ∧ R
3） 只要我上街，我就去书店看看，除非我很累。

P: 我上街。

Q: 我去书店看看。

R: 我很累。

⌝ R →(P → Q)
例3 给出下列公式的真值表 成真指派：100，101，110，111
例4 试求下面公式的主析取（主合取）范式，并写出成真指派和成假指派。

()()P Q Q P ⌝→→⌝∨
例5 证明：P →Q ，⌝Q ∨R ，⌝R ，⌝S ∨P=>⌝S
证明：
(1) ⌝R 前提
(2) ⌝Q ∨R 前提
(3) ⌝Q （1），（2）
(4) P →Q 前提
(5) ⌝P （3），（4）
P
R Q P →→∧)(
(6) ⌝S ∨P 前提
(7) ⌝S （5），（6）
例6 证明：A ，A →B ，A →C ，B →(D → C) => D
证明：
（1） A 前提
（2） A →B 前提
（3） B (1)，(2)
（4） A →C 前提
（5） C (1)，(4)
（6） B →(D →⌝C) 前提
（7） D →⌝C (3)，(6)
（8） ⌝D (5)，(7)
例7 证明：⌝B ∨D ，(E →⌝F)→⌝D ，⌝E=>⌝B
证明：
(1) B 附加前提
(2) ⌝B ∨D 前提
(3) D （1），（2）
(4) (E →⌝F)→⌝D 前提
(5) ⌝(E →⌝F) （3），（4）
(6) E ∧⌝F （5）
(7) E （6）
(8) ⌝E 前提
(9) E ∧⌝E （7），（8）
例8 证明： 谓词逻辑
例1 符号化下列命题
不是所有的男人都比女人高。

M(x):x 是男人，W(x):x 是女人，H(x,y):x 比y 高。

P
Q Q P P Q →⇔∧∨→))(()))
,()(()((y x H y W y x M x →∀→⌝∀
例2 证明
集合
例1 求集合的幂集 例2 n 个元素的集合上，可以定义多少个关系？
设集合X,Y, |X|=m, |Y|=n ，可以定义多少个从X 到Y
的函数？ 例3 对任意两个集合A, B,试证 例4 判断关系的性质 例5 求关系的闭包 例6 设 A={1,2,3}, 求出A 上所有的等价关系
解：先求A 的各种划分：
设对应于 πi 的等价关系为R i ,则：
R 1={<1,1>,<2,2>,<3,3>} = I A
R 2={<1,2>,<2,1>} ∪ I A
R 3={<1,3>,<3,1>} ∪ I A
R 4={<2,3>,<3,2>} ∪ I A
R 5={<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,3>, <3,1>,<3,2>} ∪ I A
例7 画出哈斯图 1)(()()) 2)()() 1)3)() 4)() 3)5)() 2)4)6)() 5)x A x B x P A u B u US x B x P B u US A u T xA x EG ∀⌝→⌝→∀⌝⌝∃)(()()),()()a x A x B x x B x xA x ∀⌝→∀⌝⇒∃=⊆=}{)(φφx x P }
{φ)2(2
n B
A B A A -=⋂-)(}
,,,,,,,{1><><><><=c c b b b a a a R },,,{c b a X =}
,,,{><><=c b b a R ><⊆R c b a P },,,{
代数系统
例1 设集合S k={x | x∈I∧x≥k}, k≥ 0, 判断<S k ,+> 是否为半群, 其中+ 是普通的加法。

例2 设群<G,*>除单位元外每个元素的阶均为2，则<G,*>是交换群。

证明：
对任一a∈G，由已知可得a*a=e，即a-1=a。

对任意a,b∈G，因为a*b=(a*b)-1=b-1*a-1=b*a，所以运算*满足交换律。

从而＜G,*＞是交换群。

例3 任一有限半群一定在等幂元。

证明：
设<S,*>是一个有限半群。

任取a∈S，由于*满足结合律，我们有 {a,a2,a3,…,a n,…}⊆S
因为S是有限集合，故a,a2,a3,…,a n,…不可能两两不同。

从而一定存在正整数k,m,1≤k<m使得
a k=a m
令p=m-k，则由于*满足结合律，a k=a m= a p* a k。

对任意正整数q≥k，有
a q= a k * a k q- =（a p* a k）*a k q-= a p* a q（#）
若p=q，则元素a p就是一个等幂元。

否则因为p≥1，故存在正整数n 满足np≥k。

故利用（#）可得
a np= a p* a np= a p* (a p* a np)=a p2* a np= a p2*( a p* a np)
=a p3* a np=……= a np* a np
故a np就是S的一个等幂元。

例4 在一个群<G,*>中，若A和B 都是G的子群。

若A⋃B=G，则A=G或B=G。

证明：
用反证法证明。

若A≠G且B≠G，则有a∈A,a∉B且b∈B,b∉A。

因为A，B都是G 的子群，故a,b∈G，从而a*b∈G。

因为a∈A,所以a1-∈A。

若a*b∈A,则b= a1-*(a*b)∈A，这与a∉B 矛盾。

从而a*b∉A。

同理可证a*b∉B。

综合可得a*b∉A⋃B=G，这与已知矛盾。

从而假设错误，得证A=G 或B=G。

例5 在整除关系下，下确界即是最大公约数，上确界即是最小公倍数。

（1）偏序集S={1，2，3，4，6，12}是格。

（2）S={1，2，3，4，6，8，10，12}不是格；
事实上，因为6824S
∨=∉
（3）S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}不是格；
（4）S-{2,3,6,12,24,36}不是格；
因为231S
∧=∉。

图论
例一设T=<V,E>是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在两片树叶。

证明：用反证法证明。

设|V|=n。

因为T=〈V,E〉是一棵树，所以|E|=n-1。

由欧拉握手定理可得∑
∈V
v
deg(v)=2|E|=2n-2。

假设T中最多只有1片树叶，则∑
∈V
v
deg(v)≥2(n-1)+1>2n-2。

得出矛盾。

例2 在一个有n个顶点的G=<V,E>中，u,v∈V。

若存在一条从u到v的一条通路，则必有一条从u到v的长度不超过n-1的通路。

证明：
设v
0e
1
v
1
e
2
…e
l
v
l
是从u=v
到v=v
l
的长为l的通路。

若l≤n-1，则结论显然成立。

否则因为l+1>n，故v
0,v
1
,…,v
l
中必有一个顶点是重复出现的。

不妨设
v
i =v
j
(0≤i<j≤l)，则新通路v
e
1
v
1
e
2
…v
i
e
1+j
v
1+j
e
2
+j
v
2
+j
…e
l
v
l
是一条从u
到v的通路，且此通路长度比原通路长度至少少1。

若新通路的长度≤n-1，则结论得证。

否则对新通路重复上述过程，必可以得到一条从u到v的长为n-1的通路。