空间向量的概念空间向量的基本定理及其意义掌握
第1章1.2空间向量基本定理课件(人教版)
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+ − ＝ − − ，
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所 以 · ＝ 2 + 2 · 2 − − 2 ＝ 4 − 2 2 +
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· − · − · ＝ × 2 − × 2 + × 2 − ×2 － 0
01
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
1.2 空间向量基本定理
知识点一
问题式预习
任务型课堂
课后素养评价
空间向量基本定理
1．分向量
两两垂直
如果i，j，k是空间三个________的向量，那么对任意一个空间向量
xi＋yj＋zk
p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝__________．我们称
分向量
面都只由一种正多边形构成的多面体(各面都是全等的正多边
形)．数学家已经证明世界上面体、正八面体、正十二面体、正
二十面体．已知一个正八面体ABCDEF的棱长都是2
(如图)，P，Q分别为棱AB，AD的中点，则 · ＝
________．
1.2 空间向量基本定理
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+ + ＝－ − + .因为＝
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+ ，所以x＝－ ，＝ − ，＝ .
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问题式预习
空间向量知识点总结简单
空间向量知识点总结简单一、空间向量的概念空间向量是指在空间中既有方向，又有大小的有向线段，它通常用两个端点来确定。
空间向量与数集合相似，但它比数多了方向和长度属性，而且可以进行加法运算。
二、空间向量的表示1. 向量的表示：（1）向量的坐标表示：设 A、B 两个点在空间直角坐标系中的坐标分别为 (x1, y1, z1) 和(x2, y2, z2)，则向量 AB 可用有向线段 OA = (x2-x1, y2-y1, z2-z1) 表示。
（2）向量的分量表示：向量的三个分量包括它在 x 轴、y 轴和 z 轴上的投影。
2. 向量的线性运算：（1）向量的加法：两个向量的加法就是将其对应分量相加。
（2）向量的数乘：一个向量的数乘就是将其三个分量都乘以同一个实数。
（3）向量的减法：向量 C 是向量 A 减向量 B 的运算，其方向由 A 指向 B。
3. 向量的模：（1）向量的模长：在空间直角坐标系中，向量 (x, y, z) 的模长公式为√(x^2 + y^2 +z^2) 。
（2）单位向量：模长为 1 的向量称为单位向量。
三、向量的线运算1. 点积（数量积）：两个向量的点积定义为：A · B = |A| × |B| × cosθ，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角。
性质：点积满足交换律、分配律、结合律。
应用：点积可以用来判断两个向量的夹角、求向量的投影、求向量的模等。
2. 叉积（向量积）：两个向量的叉积定义为：A × B = |A| × |B| × sinθ × n，其中 |A| 和 |B| 分别为 A 和 B 的模长，θ 为 A 和 B 的夹角，n 为法向量。
性质：叉积不满足交换律，但满足分配律。
应用：叉积可以用来求向量的方向、求平行四边形或平行六面体的面积、求直线、平面的方程等。
四、空间向量的几何应用1. 平面向量的应用：（1）平行四边形面积公式：S = |A × B| = |A| × |B| × sinθ。
高考一轮复习 空间向量运算 知识点+例题+练习
1．空间向量的有关概念及定理(1)空间向量：在空间中，具有________和________的量叫做空间向量．(2)相等向量：方向________且模________的向量．(3)共线向量定理对空间任意两个向量a ，b (a ≠0)，b 与a 共线的充要条件是________________________．(4)共面向量定理如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在有序实数对(x ，y )，使得p ＝x a ＋y b ，推论的表达式为MP →＝xMA →＋yMB →或对空间任意一点O 有，OP →＝________________或OP →＝xOA →＋yOB →＋zOM →，其中x ＋y ＋z ＝____.(5)空间向量基本定理如果三个向量e 1，e 2，e 3不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组(x ，y ，z )，使得p ＝________________________，把{e 1，e 2，e 3}叫做空间的一个基底．2．空间向量的坐标表示及应用(1)数量积的坐标运算若a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a·b ＝__________________________________________________________________.(2)共线与垂直的坐标表示设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，若b ≠0，则a ∥b ⇔________⇔__________，________，______________，a ⊥b ⇔__________⇔________________________(a ，b 均为非零向量)．(3)模、夹角和距离公式设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则|a |＝a·a ＝________________________________，cos 〈a ，b 〉＝a·b |a||b|＝______________________________________________________. 若A (a 1，b 1，c 1)，B (a 2，b 2，c 2)，则|AB →|＝______________________________.3．利用空间向量证明空间中的位置关系若直线l ，l 1，l 2的方向向量分别为v ，v 1，v 2，平面α，β的法向量分别为n 1，n 2，利用向量证明空间中平行关系与垂直关系的基本方法列表如下： 平行 垂直直线 与直线 l 1∥l 2⇔v 1∥v 2⇔v 1＝λv 2(λ为非零实数)l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0 直线 与平面 ①l ∥α⇔v ⊥n 1⇔v ·n 1＝0②l ∥α⇔v ＝x v 1＋y v 2其中v 1，v 2为平面α内不共线向量，x ， y 均为实数l ⊥α⇔v ∥n 1⇔v ＝λn 1(λ为非零实数)平面 与平面 α∥β⇔n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ为非零实数)α⊥β⇔n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0自我检测1．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a ∥b ，则x ＝______________________，y ＝________.2．如图所示，在平行六面体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 为AC 与BD 的交点，若A 1B 1→＝a ，A 1D 1→＝b ，A 1A →＝c ，则B 1M →用a ，b ，c 表示为________．3．在平行六面体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，已知∠BAD ＝∠A ′AB ＝∠A ′AD ＝60°，AB ＝3，AD ＝4，AA ′＝5，则|AC ′→|＝________.4．下列4个命题：①若p ＝x a ＋y b ，则p 与a 、b 共面；②若p 与a 、b 共面，则p ＝x a ＋y b ；③若MP →＝xMA →＋yMB →，则P 、M 、A 、B 共面；④若P 、M 、A 、B 共面，则MP →＝xMA →＋yMB →.其中真命题是________(填序号)．5．A (1,0,1)，B (4,4,6)，C (2,2,3)，D (10,14,17)这四个点________(填共面或不共面).探究点一 空间基向量的应用例1 已知空间四边形OABC 中，M 为BC 的中点，N 为AC 的中点，P 为OA 的中点，Q 为OB 的中点，若AB ＝OC ，求证：PM ⊥QN .变式迁移1如图，在正四面体ABCD中，E、F分别为棱AD、BC的中点，则异面直线AF和CE所成角的余弦值为________．探究点二利用向量法判断平行或垂直例2两个边长为1的正方形ABCD与正方形ABEF相交于AB，∠EBC＝90°，点M、N分别在BD、AE上，且AN＝DM.(1)求证：MN∥平面EBC；(2)求MN长度的最小值．变式迁移2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平面BDE；(2)AM⊥面BDF.探究点三利用向量法解探索性问题例3如图，平面P AC⊥平面ABC，△ABC是以AC为斜边的等腰直角三角形，E，F，O分别为P A，PB，AC的中点，AC＝16，P A＝PC＝10.(1)设G是OC的中点，证明FG∥平面BOE；(2)在△AOB内是否存在一点M，使FM⊥平面BOE？若存在，求出点M到OA，OB的距离；若不存在，说明理由．变式迁移3已知在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D为A1C1的中点，E为B1C的中点．(1)求直线BE与A1C所成的角的余弦值；(2)在线段AA1上是否存在点F，使CF⊥平面B1DF？若存在，求出AF；若不存在，请说明理由．探究点三 利用向量法求二面角例3 如图，ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝BC ＝BA ＝1，AD ＝12，求面SCD 与面SBA 所成角的余弦值大小．变式迁移3 如图，在三棱锥S —ABC 中，侧面SAB 与侧面SAC 均为等边三角形，∠BAC ＝90°，O 为BC 中点．(1)证明：SO ⊥平面ABC ；(2)求二面角A —SC —B 的余弦值．探究点四综合应用例4如图所示，在三棱锥A—BCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD 是公共的斜边，且AD＝3，BD＝CD＝1，另一个侧面ABC是正三角形．(1)求证：AD⊥BC；(2)求二面角B－AC－D的余弦值；(3)在线段AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30°角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．变式迁移4 (2011·山东，19)在如图所示的几何体中，四边形ABCD为平行四边形，∠ACB＝90°，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，FG∥BC，EG∥AC，AB＝2EF.(1)若M是线段AD的中点，求证：GM∥平面ABFE；(2)若AC＝BC＝2AE，求二面角A－BF－C的大小．1、如图所示，已知ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，且AE ＝FC 1＝1.(1)求证：E 、B 、F 、D 1四点共面；(2)若点G 在BC 上，BG ＝23，点M 在BB 1上，GM ⊥BF ，垂足为H ，求证：EM ⊥平面BCC 1B 1.2、如图，四边形ABCD 是边长为1的正方形，MD ⊥平面ABCD ，NB ⊥平面ABCD ，且MD ＝NB ＝1，E 为BC 的中点．(1)求异面直线NE 与AM 所成角的余弦值；(2)在线段AN 上是否存在点S ，使得ES ⊥平面AMN ？若存在，求线段AS 的长；若不存在，请说明理由．3、如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值．4、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD ＝8.BC是⊙O的直径，AB＝AC＝6，OE∥AD.(1)求二面角B－AD－F的大小；(2)求直线BD与EF所成的角的余弦值．。
空间向量的知识点总结
空间向量的知识点总结空间向量是指空间中的一条具有方向和大小的有向线段，在数学上通常表示为箭头上有一个加粗的字母来表示。
一、空间向量的概念空间向量是指具有方向和大小的有向线段，它是向量的一种特殊形式。
它与平面向量类似，但是空间向量不仅有大小和方向，而且还有位置。
空间向量可以用某个点P到另一个点Q的有向线段来表示，表示为PQ→。
空间向量的大小可以通过计算两点之间的距离来得到，而它的方向可以通过计算两个点之间的夹角来得到。
二、空间向量的基本运算1、空间向量的加法设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，那么 a+b = (x1+x2, y1+y2, z1+z2)。
这表示a+b等于a与b的x、y、z分量分别相加得到的结果。
2、空间向量的数乘设空间向量a=(x,y,z)，k为实数，则ka=(kx,ky,kz)。
这表示空间向量a的每个分量都乘以k得到的结果。
3、空间向量的减法空间向量的减法定义为a-b=a+(-b)，即对b取反再进行加法操作。
4、空间向量的数量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a·b = x1x2+y1y2+z1z2。
这表示a·b等于a与b的x、y、z分量分别相乘并求和的结果。
5、空间向量的向量积设空间向量a=(x1,y1,z1)和 b=(x2,y2,z2)，则a×b = (y1z2-z1y2, z1x2-x1z2, x1y2-y1x2)。
这表示a×b等于a与b按照右手定则进行叉乘得到的结果。
三、空间向量的坐标表示空间向量可以用坐标表示。
设点A(a1,a2,a3)和点B(b1,b2,b3)，则AB向量可以表示为AB=(b1-a1,b2-a2,b3-a3)。
四、空间向量的运算律1、给定三个空间向量a，b，c，则有以下运算律：（1）加法交换律：a+b = b+a（2）加法结合律：(a+b)+c = a+(b+c)（3）数乘结合律：k(la) = (kl)a（4）分配律：k(a+b) = ka+kb2、空间向量的数量积定理给定三个空间向量a，b，c以及实数k，则有以下数量积定理：（1）数量积交换律：a·b = b·a（2）数量积结合律：a·(b+c) = a·b+a·c（3）数量积与数乘结合律：k(a·b) = (ka)·b = a·(kb)（4）对于a≠0，b≠0，有a·b=|a|·|b|·cosθ，其中|a|表示a的大小，θ表示a与b的夹角。
空间向量的定义和基本定理
空间向量的定义和基本定理一、空间向量的定义和基本定理1、空间向量与平面向量一样，在空间中，我们把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模。
2、空间向量基本定理（1）共线向量定理定理：对空间任意两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$($\boldsymbolb$≠0），$\boldsymbol a∥\boldsymbol b$的充要条件是存在实数$\lambda$，使$\boldsymbol a$=$λ\boldsymbol b$。
推论：如果$l$为经过已知点$A$且平行于已知非零向量$\boldsymbol a$的直线，那么对空间任一点$O$，点$P$在直线$l$上的充要条件是存在实数$t$，使$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\boldsymbol \alpha$①。
其中向量$\boldsymbol a$叫做直线$l$的方向向量。
在$l$上取$\overrightarrow{A B}=\boldsymbol a$，则①式可化为$\overrightarrow{O P}=\overrightarrow{O A}+t\overrightarrow{A B}$或$\overrightarrow{O P}=(1-t)\overrightarrow{O A}+t\o verrightarrow{O B}$②。
当$t=\frac{1}{2}$时，点$P$是线段$AB$的中点，则$\overrightarrow{OP}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{O A}+\overrightarrow{O B})$③。
①②式都叫做空间直线的向量表示，③式是线段$AB$的中点公式。
（2）共面向量定理定理：如果两个向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$不共线，那么向量$\boldsymbol p$与向量$\boldsymbol a$，$\boldsymbol b$共面的充要条件是存在唯一的有序实数对（$x$，$y$），使$\boldsymbol p$=$x\boldsymbol a$+$y\boldsymbol b$。
(完整)空间向量与立体几何知识点和习题(含答案),推荐文档
由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．，取直线l的方向向量a，则向量及一个向量a，那么经过点A以向量用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：的方向向量分别是a，b，平面α ，β 的法向量分别是，k∈R；0；0；，k∈R；k∈R；＝0．用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：，b是两条异面直线，过空间任意一点分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂．理解直线的方向向量与平面的法向量．．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得RS k PQ =如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．PA 1， ∴),34,0,0()2,00(32321===AA AP ⋅)同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(2要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，，2，0)，＝(2，2，0)，＝(－1，1，4)，＝(－1，EF AK OG 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)C (0，2，0)，N (2，2，1)．),1,0,2(),2,1,0(=CN 所成的角为θ ，则CN ,52||||cos ==⋅CN AM CN AM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ．B P ∥MA ，B Q ∥NC ，所成的角．6,522=+==QC PC PQ Q空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，取A 1B 1的中点D ，则，连接AD ，C ⋅))2,2,0(a a D ),2,0,0(),0,,0(),0,0,231a AA a AB a ==,011=⋅AA DC 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，PB的中点D，连接CD，作AE⊥PB于E．，PA⊥AC，2，∴CD⊥PB．DC夹角的大小就是二面角A－PB－C的大小．,0(),0,0,2(),0,-==CP CB ＝(a 1，a 2，a 3)，(b 1，b 2，b 3)．＝1，得).0,2,1(-=a 得取b 3＝1，得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 3如图建立空间直角坐标系．，由已知可得A (0，0，0)，),0,23,0(),0,23,21(a C a a B -),0,0,21(),,0,0a BC a =∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ．,0PAC ．的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点．⋅)21,43,0(),21,3a a E a a ⊥平面PAC ，(B)θ ＞ϕ(D)θ ＜ϕ中，E，F，G，H分别为所成角的大小是______．6，且对角线与底面所成角的余弦值为D1中，AA1＝2AB，则异面直线1本文下载后请自行对内容编辑修改删除，的底面是直角梯形，∠BAD＝90°，，PA⊥底面ABCD，PD所成的角为θ ，则cosθ ＝______．C1D1中，AA1＝2AB＝4，点平面角的余弦值．中，底面ABCD是边长为OA的中点，N为BC的中点．OCD；所成角的大小．平面角的余弦值．习题1和平面α ，下列命题正确的是( α (B)若a ∥α (B)38000(D)4000cm 2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为( )(C)223本文下载后请自行对内容编辑修改删除，C11；平面角的余弦值．PA⊥AB，PA⊥AC，AB⊥AC MAB；C ；ABB 1；的体积．中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面SD ＝2．点M 在侧棱SC 上，∠的中点；的平面角的余弦值．练习1-3D ．42本文下载后请自行对内容编辑修改删除，，0)，E (0，2，1)，A 1).4∴A 1C ⊥BD ，A 1C ,0=⊥平面DBE ．是平面DA 1E 的法向量，则，得n ＝(4，1，－2)．14，,22(),0,22,0(-D P =-=),2,22,0(OD OP n ＝(x ，y ，z )，则⋅OP n 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，是CA 和平面α 所成的角，则∠，CO ＝1．3=AO ABO ＝∠BAO ＝45°，∴=AO BO ).1,0,0(),0,3,0(),C A ).1,3,0(-=AC 是平面ABC 的一个法向量，取x ＝1，得=+=-,03,033z y y x 1=n 是平面β 的一个法向量．AB 1＝E ，连接DE ．四边形A 1ABB 1是正方形，是BC 的中点，∴DE ∥A 平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面⊄解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1，⋅-)1,0,21(),01B 是平面A 1BD 的一个法向量，,01=D B 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1).0=1234是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN 平面A 1ABB 1，∴MN ⊄MH ．MH ∥A 1B 1，，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴的体积==⋅⋅∆3111MH S V B BC A (，0，0)，则B (22，),12,12,2(λλ++--=BM 故.60 >=BM |.BA BM =解得λ ＝,)12()1222λλ+++-的中点．，0，0)得AM 的中点22(G 本文下载后请自行对内容编辑修改删除，。
空间向量的基本定理
空间向量的基本定理空间向量的基本定理是高中数学中的一个重要内容，它涉及到空间向量的表示、运算和应用。
本文将从以下几个方面介绍空间向量的基本定理：一、空间向量的概念和性质1.1 空间向量的定义空间向量是指空间中具有大小和方向的量，它可以用一个有向线段来表示。
有向线段的起点叫做向量的始点，终点叫做向量的终点，箭头表示向量的方向。
用字母 a, b, c 等表示向量，用 AB 表示以 A 为始点，B 为终点的向量。
1.2 空间向量的相等如果两个向量的长度相等且方向相同，那么这两个向量就是相等的。
相等的向量可以用平行移动的方法来判断，即如果一个向量平行移动后与另一个向量重合，那么这两个向量就是相等的。
例如，AB 和 CD 是相等的，因为 AB 平行移动后与 CD 重合。
1.3 空间向量的线性运算空间向量可以进行加法、减法和数乘三种线性运算，它们遵循以下法则：加法交换律：→a +→b =→b +→a加法结合律：(→a +→b )+→c =→a +(→b +→c )减法定义：→a −→b =→a +(−→b )数乘交换律：k →a =→ak 数乘结合律：(k 1k 2)→a =k 1(k 2→a )数乘分配律：(k 1+k 2)→a =k 1→a +k 2→a 和 k (→a +→b )=k →a +k →b空间向量的加法和减法可以用三角形法则或平行四边形法则来进行几何表示。
空间向量的数乘可以理解为对向量的长度和方向进行缩放，即数乘后的向量与原向量平行，长度为原长度与数乘因子的乘积，方向由数乘因子的正负决定。
例如，2→a 是 →a 的两倍长且同方向的向量，−12→b 是 →b 的一半长且反方向的向量。
二、空间坐标系和空间向量的坐标表示2.1 空间直角坐标系为了在空间中确定任意一点或任意一个向量的位置，我们需要建立一个参照系。
在数学中，我们常用空间直角坐标系来作为参照系。
空间直角坐标系由三条互相垂直且相交于原点 O 的坐标轴组成，分别称为 x 轴、y 轴和 z 轴。
空间向量(知识点梳理)
-@>% )一空间向量的概念1.空间向量的有关概念及线性运算(1)空间向量的定义:在空间内具有大小和方向的量叫作空间向量.(2)空间向量的表示:空间向量可用有向线段来表示.(3)零向量:起点与终点重合的向量叫作零向量.(4)空间向量的模(或长度):表示空间向量的有向线段的长度叫作向量的模(或长度).(5)共线向量(或平行向量):基线互相平行或重合的向量叫作共线向量(或平行向量).(6)共面向量:向量所在的直线与平面平行或在平面内,称向量与平面平行,平行于同一平面的向量叫作共面向量.(7)空间向量的加法㊁减法㊁数乘向量运算的定义㊁92.空间向量的有关定理(1)共线向量定理:对空间向量aң,bң(bңʂ0ң),aңʊbң的充要条件是存在实数k,使aң=k bң.推论:①对于空间任一点O,点P在直线A B上的充要条件是存在实数t,使O Pң=(1-t)O Aң+t O Bң或O Pң=xO Aң+y O Bң(其中x+y=1).②如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量aң的直线,那么对任一点O,点P在直线l上的充要条件是存在实数t,满足关系式O Pң=O Aң+t aң,该方程称为直线方程的向量表达式.(2)共面向量定理:如果两个向量aң,bң不共线,则向量cң与向量aң,bң共面的充要条件是存在唯一的一对实数x,y,使cң=x aң+y bң.推论:空间一点P位于平面A B C内的充要条件是:存在有序实数对x,y,使C Pң=xC Aң+y C Bң,或对空间任一定点O,有O Pң=O Cң+xC Aң+y C Bң,该式称为平面C A B的向量表示式.(3)空间向量分解定理:如果三个向量aң,bң,cң不共面,那么对于空间任意一个向量pң,存在唯一的有序实数组x,y,z,使pң=x aң+y bң+z cң.其中不共面的三个向量aң,bң,cң叫作空间的一个基底,每一个向量aң,bң,cң叫8作基向量.3.空间向量的数量积(1)两个向量的夹角:对于两个非零向量aң,bң,在空间任取一点O,作O Aң=aң,O Bң=bң,则øA O B叫作向量aң,bң的夹角,记作<aң,bң>.注意:两个向量的夹角的取值范围是:0ɤ<aң,bң>ɤπ.(2)两个向量的数量积的定义:aң㊃bң=|aң||bң|㊃c o s<aң,bң>.二空间向量的坐标运算若向量aң=(a1,a2,a3),bң=(b1,b2,b3),则有:(1)aң+bң=(a1+b1,a2+b2,a3+b3);(2)aң-bң=(a1-b1,a2-b2,a3-b3);(3)λaң=(λa1,λa2,λa3);(4)aң㊃bң=a1b1+a2b2+a3b3;(5)距离公式:|aң|=aң2=a21+a22+a23;(6)夹角公式:c o s<aң,bң>=a1b1+a2b2+a3b3a21+a22+a23㊃b21+b22+b23;9(7)aңʊbң(bңʂ0ң)⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λɪR)或aңʊbң(bң与三条坐标轴都不平行)⇔a1b1=a2b2=a3b3;(8)aңʅbң⇔a1b1+a2b2+a3b3=0.三利用空间向量证明空间中的位置关系1.直线的方向向量与平面的法向量(1)直线的方向向量:基线和直线平行的向量叫作这条直线的方向向量.(2)平面的法向量:基线和平面垂直的向量叫作这个平面的法向量.2.利用空间向量证明空间中的位置关系(1)证明直线与直线平行的方法是:若直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,则l1ʊl2⇔vң1ʊvң2.(2)证明直线与平面平行的方法有两种:若直线l 的方向向量为vң,平面α内的两个不共线向量是vң1和vң2,平面α的法向量为nң,则有:①lʊα⇔存在实数x,y,使vң=x vң1+y vң2;②lʊα⇔vңʅnң.(3)证明平面与平面平行的方法是将其转化为直线与直线平行或直线与平面平行,然后利用向量方法证明.也可以用如下方法:若平面α和β的法向量分别为nң1和0010 n ң2,则αʊβ⇔n ң1ʊn ң2.(4)证明直线与直线垂直的方法是:若直线l 1和l 2的方向向量分别为v ң1和v ң2,则l 1ʅl 2⇔v ң1ʅv ң2.(5)证明直线与平面垂直的方法是:若直线l 的方向向量为v ң,平面α的法向量为n ң,则l ʅα⇔v ңʊn ң.(6)证明平面与平面垂直的方法是:若平面α和β的法向量分别为n ң1和n ң2,则αʅβ⇔n ң1ʅn ң2.四利用空间向量求空间角1.有关角的概念(1)空间角主要包括两条异面直线所成的角㊁直线与平面所成的角㊁二面角.(2)斜线与平面所成的角:平面的一条斜线和它在这个平面内的射影的夹角叫作斜线和平面所成的角.规定:若一条直线与一个平面平行或在平面内,则这条直线和平面所成的角为0;若一条直线与一个平面垂直,则这条直线和平面所成的角为π2.因此,斜线和平面所成的角的范围是0,π2();直线和平面所成的角的范围是0,π2[].(3)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面二面角的平面角:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,在两个半平面内分别作射线O Aʅl,O Bʅl,则øA O B叫作二面角α-l-β的平面角.直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角,互相垂直的两个平面相交所形成的二面角就是直二面角.二面角的取值范围是[0,π].(4)最小角原理:斜线和平面所成的角,是斜线和这个平面所有直线所成角中的最小的角.(5)从角的顶点出发的一条直线,如果它和这个角的两条边所成的角相等,那么它在这个角所在平面内的射影是这个角的平分线.这个结论常用于确定一条直线在一个平面内的射影.(6)利用射影面积公式:S'=S㊃c o sθ,也可以求一些二面角的大小.2.利用空间向量求空间角的方法(1)若异面直线l1和l2的方向向量分别为vң1和vң2,它们所成的角为θ,则c o sθ=|c o s<vң1,vң2>|.(2)利用空间向量求直线与平面所成的角,可以有两种办法:一是分别求出直线和它在平面内的射影直线的方向向量,转化为求两个方向向量的夹角(或其补02(3)利用空间向量方法求二面角,也有两种办法:一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量,则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求:设二面角的两个面的法向量分别为nң1和nң2,则二面角的大小等于<nң1,nң2>(或π-<nң1,nң2>).五利用空间向量求点到平面的距离1.定义一个点到它在一个平面内的正射影的距离叫作这个点到平面的距离.2.求法一是根据定义,按照作(或找) 证 求的步骤求解;二是利用空间向量,首先求出平面的单位法向量nң0,再任意找一个从该点出发的平面的斜线段对应的向量vң,则点到平面的距离为d=|nң0㊃vң|.10。
(完整版)空间向量知识点归纳总结(经典)
空间向量与立体几何知识点归纳总结一．知识要点。
1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）向量具有平移不变性2. 空间向量的运算。
定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。
OB OA AB a b =+=+u u u r u u u r u u u r v r ;BA OA OB a b =-=-u u u r u u u r u u u r r r ;()OP a R λλ=∈u u u r r运算律：⑴加法交换律：a b b a ϖϖϖρ+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a ϖϖϖϖρϖ++=++⑶数乘分配律：b a b a ϖϖϖϖλλλ+=+)(运算法则：三角形法则、平行四边形法则、平行六面体法则 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，a ρ平行于b ρ，记作b a ρϖ//。
（2）共线向量定理：空间任意两个向量a ρ、b ρ（b ρ≠0ρ），a ρ//b ρ存在实数λ，使a ρ＝λb ρ。
（3）三点共线：A 、B 、C 三点共线<=>λ=<=>)1(=++=y x OB y OA x OC 其中（4）与a 共线的单位向量为a ±4. 共面向量（1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。
说明：空间任意的两向量都是共面的。
（2）共面向量定理：如果两个向量,a b r r 不共线，p r与向量,a b r r 共面的条件是存在实数,x y 使p xa yb =+r r r。
（3）四点共面：若A 、B 、C 、P 四点共面<=>AC y AB x AP +=<=>)1(=++++=z y x OC z OB y OA x OP其中5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c r r r不共面，那么对空间任一向量p r ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++r r r r。
空间向量与立体几何的知识点总结
空间向量与立体几何空间向量及其线性运算知识点一空间向量的概念1．定义：在空间，具有大小和方向的量叫做空间向量．2．长度或模：向量的大小．3．表示方法：①几何表示法：空间向量用有向线段表示；②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起点是A，终点是B，也可记作AB，其模记为|a|或|AB|.4．几类特殊的空间向量名称定义及表示零向量长度为0的向量叫做零向量，记为0单位向量模为1的向量称为单位向量相反向量与向量a长度相等而方向相反的向量，称为a的相反向量，记为 -a共线向量(平行向量)如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a，都有0∥a相等向量方向相同且模相等的向量称为相等向量注意：空间中的任意两个向量都可以平移到同一个平面内，成为同一平面内的两个向量．知识点二空间向量的线性运算空间向量的线性运算加法a＋b＝OA＋AB＝OB减法a－b＝OA－OC＝CA数乘当λ>0时，λa＝λOA＝PQ；当λ<0时，λa＝λOA＝MN；当λ＝0时，λa＝0运算律交换律：a＋b＝b＋a；结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c，λ(μa)＝(λμ)a；分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb.共线向量与共面向量知识点一 共线向量1．空间两个向量共线的充要条件对于空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 2．直线的方向向量在直线l 上取非零向量a ，我们把与向量a 平行的非零向量称为直线l 的方向向量． 知识点二 共面向量 1．共面向量如图，如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合，那么称向量a 平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内，那么称向量a 平行于平面α.平行于同一个平面的向量，叫做共面向量．2．向量共面的充要条件如果两个向量a ，b 不共线，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x ，y )，使p ＝x a ＋y b .推论：1.已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，存在有序实数对(x ，y )，满足关系AC y AB x OA OP ++=，则点P 与点A ，B ，C 共面。
空间向量线性运算与基本定理
空间向量线性运算与基本定理要点一：空间向量的相关概念1.空间向量的定义：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
与平面向量一样，空间向量也用有向线段表示；记作：或。
（要注意印刷体用，而手写体为，要区分开）要点诠释：（1）空间中点的一个平移就是一个向量；（2）数学中讨论的向量与向量的起点无关，只与大小和方向有关，只要不改变大小和方向，空间向量可在空间内任意平移，故我们称之为自由向量。
2.空间向量的长度（模）：表示空间向量的有向线段的长度叫做向量的长度或模，记作或 3．空间向量的有关概念：零向量：长度为0或者说起点和终点重合的向量，记为。
规定：与任意向量平行。
单位向量：长度为1的空间向量，即.相等向量：方向相同且模相等的向量。
相反向量：方向相反但模相等的向量。
共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．平行于记作．共面向量：平行于同一个平面的向量，叫做共面向量。
要点诠释：①当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．①向量在空间中是可以平移的．空间任意两个向量都可以平移到同一个平面内，因此我们说空间任意两个向量是共面的． 要点二：空间向量的加减法1．加减法定义空间中任意两个向量都是共面的，它们的加、减法运算类似于平面向量的加减法．（如下图）．AB a a a ||AB ||a 00||1a ab b a //a b a b a b2．运算律交换律：结合律：要点诠释：（1）空间向量的运算是平面向量运算的延展，空间向量的加法运算仍然满足平行四边形法则和三角形法则．而且满足交换律、结合律，这样就可以自由结合运算，可以将向量合并；（2）向量的减法运算是向量加法运算的逆运算，满足三角形法则．（3）空间向量加法的运算的小技巧：①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量，即：因此，求空间若干向量之和时，可通过平移使它们转化为首尾相接的向量；①首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形，则它们的和为零向量，即：；要点三：空间向量的数乘运算1.定义：实数与空间向量的乘积仍是一个向量，称为向量的数乘运算．当＞0时，与方向相同；当＞0时，与方向相反；当=0时，=0．的长度是的长度的||倍．如右图所示．2.运算律．a b b a+=+()()a b c a b c++=++12233411n n nA A A A A A A A A A-++++=12233411n n nA A A A A A A A A A-+++++=λa aλλλa aλλa aλλaλa aλ分配律：(+)= +；结合律：(μ)= (μ)． 要点诠释：（1）实数与空间向量的乘积（①R ）为空间向量的数乘运算，空间向量的数乘运算可把向量伸长或缩短或改为反方向的向量，当0＜＜1时，向量缩短；当＞1时，向量伸长；当＜0时，改为反方向的向量．（2）注意实数与向量的积的特殊情况，当=0时，=0；当≠0时．若≠0时，有≠0．（3）实数与向量可以求积，但是不能进行加减运算，比如：+，－无意义． 要点四：共线定理1．共线向量的定义．与平面向量一样，如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作①．注意：0与任意向量是共线向量． 2．共线向量定理．空间任意两个向量、（≠），//的充要条件是存在实数，使．要点诠释：此定理可分解为以下两个命题：①①（≠0）存在唯一实数，使得=； ①存在唯一实数，使得=（≠0），则①． 注意: ≠0不可丢掉，否则实数就不唯一．3. 共线向量定理的用途： ①判定两条直线平行；（进而证线面平行） ①证明三点共线。
第一章 空间向量与立体几何(公式、定理、结论图表)--2023年高考数学必背知识手册(新教材)
第一章空间向量与立体几何（公式、定理、结论图表）1.空间向量基本概念空间向量：在空间,我们把具有大小和方向的量叫作空间向量.长度（模）：空间向量的大小叫作空间向量的长度或模,记为a 或AB.零向量：长度为0的向量叫作零向量,记为0 .单位向量：模为1的向量叫作单位向量.相反向量：与向量a 长度相等而方向相反的向量,叫作a 的相反向量,记为a.共线向量（平行向量）：如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫作共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行.相等向量：方向相同且模相等的向量叫作相等向量.2.空间向量的线性运算空间向量的线性运算包括加法、减法和数乘,其定义、画法、运算律等均与平面向量相同.3.共线、共面向量基本定理（1）直线l 的方向向量：在直线l 上取非零向量a ,与向量a平行的非零向量称为直线l 的方向向量.（2）共线向量基本定理：对任意两个空间向量=a b λ （0b ≠ ），//a b 的充要条件是存在实数λ，使=a b λ.（3）共面向量：如果表示向量a 的有向线段OA 所在的直线OA 与直线l 平行或重合,那么称向量a平行于直线l .如果直线OA 平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量,叫作共面向量.（4）共面向量基本定理:如果两个向量a ,b 不共线,那么向量p与向量a ,b 共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(),x y ,使p xa yb =+ .4.空间向量的数量积（1）向量的夹角：已知两个非零向量a ,b ,在空间任取一点O ,作,OA a OB b ==,则AOB ∠叫作向量a ,b 的夹角,记作,a b <> .如果,2a b π<>= ,那么向量,a b 互相垂直,记作a b ⊥ .（2）数量积定义：已知两个非零向量,a b ,则cos ,a b a b <> 叫作,a b的数量积,记作a b ⋅ .即a b ⋅= cos ,a b a b <> .（3）数量积的性质：0a b a b ⊥⇔⋅= 2cos ,a a a a a a a ⋅=⋅<>= .（4）空间向量的数量积满足如下的运算律：()()a b a bλλ⋅=⋅ a b b a⋅=⋅ (交换律):()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅（分配律).推论：()2222a ba ab b +=+⋅+，()()22a b a b a b+⋅-=- .（5）向量的投影向量：向量a 在向量b 上的投影向量c ：cos ,b c a a b b=<>向量a 在平面α内的投影向量与向量a 的夹角就是向量a所在直线与平面α所成的角.5.空间向量基本定理如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任意一个空间向量p.存在唯一的有序实数组(),,x y z .使得p xa yb zc =++ .6.基底与正交分解(1)基底:如果三个向量,,a b c 不共面,那么我们把{},,a b c 叫作空间的一个基底,,,a b c都叫作基向量.(2)正交分解:如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直.且长度都为1.那么这个基底叫作单位正交基底，常用{},,i j k表示.把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫作把空间向量进行正交分解.7.空间直角坐标系在空间选定点O 和一个单位正交基底{},,i j k.以点O 为原点，分别以,,i j k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x 轴.y 轴、z 轴,它们都叫作坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz ,O 叫作原点，,,i j k都叫作坐标向量,通过每两个坐标轴的平面叫作坐标平面.空间直角坐标系通常使用的都是右手直角坐标系.8.空间向量的坐标在空间直角坐标系Oxyz 中,,i j k为坐标向量.给定任一向量OA ,存在唯一的有序实数组(),,x y z ,使OA xa yb zc =++.有序实数组(),,x y z 叫作向量OA 在空间直角坐标系Oxyz 中的坐标.记作(),,OA x y z =.(),,x y z 也叫点A 在空间直角坐标系中的坐标.记作(),,A x y z .9.空间向量运算的坐标表示设()()111222,,,,,a x y z b x y z ==，则：（1）()121212,,a b x x y y z z +=+++，（2）()121212,,a b x x y y z z -=---，（3）()111,,a x y z λλλλ=.10.空间向量平行、垂直、模长、夹角的坐标表示（1）121212//,,a b a b x x y y z z λλλλ⇔=⇔===，（2）121212=0++0a b a b x x y y z z ⊥⇔⋅⇔=，（3）a == ，（4）cos ,a ba b a b ⋅== .11.空间两点间的距离公式设()()11112222,,,,,P x y z P xy z ，则12PP =.12.平面的法向量：直线l α⊥，取直线l 的方向向量a ，称a为平面的法向量.13.空间中直线、平面的平行（1）线线平行:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212////,l l u u R λ⇔⇔∃∈ 使得12u u λ=.（2）线面平行:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,l α⊄，则//0l u n u n α⇔⊥⇔⋅=.法2:在平面α内取一个非零向量a ,若存在实数x ,使得u xa =,且l α⊄，则//l α.法3:在平面α内取两个不共线向量,a b ,若存在实数,x y ，使得u xa yb =+,且l α⊄,则//l α（3）面面平行:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12////n n R αβλ⇔⇔∃∈ ，使得12n n λ=.14.空间中直线、平面的垂直（1）线线垂直:若12,u u 分别为直线12,l l 的方向向量,则1212120l l u u u u ⊥⇔⊥⇔⋅=.（2）线面垂直:设u 直线l 的方向向量,n 是平面α的法向量,则//l u n R αλ⊥⇔⇔∃∈ ，使得u n λ=.法2:在平面α内取两个不共线向量,a b,若0a u b u ⋅=⋅= .则l α⊥.（3）面面垂直:设12,n n 分别是平面,αβ的法向量，则12120n n n n αβ⊥⇔⊥⇔⋅=.15.用空间向量研究距离、夹角问题（1）点到直线的距离：已知,A B 是直线l 上任意两点,P 是l 外一点，PQ l ⊥，则点P 到直线l 的距离为PQ =(2)求点到平面的距离已知平面α的法向量为n,A 是平面α内的任一点，P 是平面α外一点,过点P 作则平面α的垂线l ，交平面α于点Q ,则点P 到平面α的距离为AP nPQ n⋅= .（3）直线与直线的夹角若12,n n 分别为直线12,l l 的方向向量，θ为直线12,l l 的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.(4)直线与平面的夹角设1n 是直线l 的方向向量,2n是平面α的法向量,直线与平面的夹角为θ.则121212sin cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.（5）平面与平面的夹角平面与平面的夹角：两个平面相交形成四个二面角,我们把这四个二面角中不大于90 的二面角称为这两个平面的夹角.若12,n n 分别为平面,αβ的法向量，θ为平面,αβ的夹角，则121212cos cos ,n n n n n n θ⋅=<>=.<解题方法与技巧>1．空间向量加法、减法运算的两个技巧(1)巧用相反向量：向量减法的三角形法则是解决空间向量加法、减法的关键，灵活运用相反向量可使向量首尾相接．(2)巧用平移：利用三角形法则和平行四边形法则进行向量加、减法运算时，务必注意和向量、差向量的方向，必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果．2．利用数乘运算进行向量表示的技巧(1)数形结合：利用数乘运算解题时，要结合具体图形，利用三角形法则、平行四边形法则，将目标向量转化为已知向量．(2)明确目标：在化简过程中要有目标意识，巧妙运用中点性质．3.在几何体中求空间向量的数量积的步骤1首先将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式.2利用向量的运算律将数量积展开，转化成已知模和夹角的向量的数量积.3根据向量的方向，正确求出向量的夹角及向量的模.4代入公式a·b ＝|a ||b |cos〈a ，b 〉求解.4.利用空间向量证明或求解立体几何问题时，首先要选择基底或建立空间直角坐标系转化为其坐标运算，再借助于向量的有关性质求解(证).5.求点到平面的距离的四步骤6.用坐标法求异面直线所成角的一般步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出两条异面直线的方向向量的坐标；(3)利用向量的夹角公式计算两条直线的方向向量的夹角；7.利用向量法求两平面夹角的步骤(1)建立空间直角坐标系；(2)分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量；(3)求两个法向量的夹角；(4)法向量夹角或其补角就是两平面的夹角(不大于90°的角)典例1：多选题（2023·全国·高三专题练习）在正三棱柱111ABC A B C -中，11AB AA ==，点P 满足1BP BC BB λμ=+，其中[]0,1λ∈，[]0,1μ∈，则（）A ．当1λ=时，1AB P △的周长为定值B ．当1μ=时，三棱锥1P A BC -的体积为定值C．当12λ=时，有且仅有一个点P，使得1A P BP⊥D．当12μ=时，有且仅有一个点P，使得1A B⊥平面1AB P【详解】P在矩形11BCC B内部（含边界）典例2：如图，直三棱柱111ABC A B C -的体积为4，1A BC 的面积为．(1)求A 到平面1A BC 的距离；(2)设D 为1AC 的中点，1AA AB =，平面1A BC ⊥平面11ABB A ，求二面角A BD C --的正弦值．由（1）得2AE =，所以12AA AB ==，1A B =则()()()()10,2,0,0,2,2,0,0,0,2,0,0A A B C ,所以AC 则()1,1,1BD = ，()()0,2,0,2,0,0BA BC ==,设平面ABD 的一个法向量(),,m x y z = ，则m BD m BA ⎧⋅⎨⋅⎩可取()1,0,1m =-，设平面BDC 的一个法向量(),,n a b c = ，则n BD n BC ⎧⋅⎨⋅⎩可取()0,1,1n =-r，则11cos ,222m n m n m n⋅===⨯⋅，所以二面角A BD C --的正弦值为213122⎛⎫-= ⎪⎝⎭.典例3：已知直三棱柱111ABC A B C -中，侧面11AA B B 为正方形，2AB BC ==，E ，F 分别为AC 和1CC 的中点，D 为棱11A B 上的点．11BF A B ⊥（1）证明：BF DE ⊥；（2）当1B D 为何值时，面11BB C C 与面DFE 所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）证明见解析；（2）112B D =【分析】（1）方法二：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明线线垂直；（2）方法一：建立空间直角坐标系，利用空间向量求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案；【详解】（1）[方法一]：几何法因为1111,//BF AB AB AB ⊥，所以BF AB ⊥．又因为1AB BB ⊥，1BF BB B ⋂=，所以AB ⊥平面11BCC B ．又因为2AB BC ==，构造正方体1111ABCG A B C G -，如图所示，()()(0,0,0,2,0,0,0,2,0B A C ∴由题设(),0,2D a （02a ≤≤因为()(0,2,1,1BF DE ==- 所以()012BF DE a ⋅=⨯-+ [方法三]：因为1BF A B ⊥(1BF ED BF EB BB B ⋅=⋅++ 1122BF BA BC BF ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭1cos 2BF BC FBC =-⋅∠+作1BH F T ⊥，垂足为H ，因为面角的平面角．设1,B D t =[0,2],t ∈1B T =典例4：如图，四面体ABCD 中，,,AD CD AD CD ADB BDC ⊥=∠=∠，E 为AC 的中点．(1)证明：平面BED ⊥平面ACD ；(2)设2,60AB BD ACB ==∠=︒，点F 在BD 上，当AFC △的面积最小时，求CF 与平面ABD 所成的角的正弦值．。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第7章 空间向量及其应用
师生共研
例 1 已知 A，B，C 三点不共线，对平面 ABC 外的任一点 O，若点 M 满 足O→M＝13(O→A＋O→B＋O→C). (1)判断M→A，M→B，M→C三个向量是否共面；
解 由题知O→A＋O→B＋O→C＝3O→M， 所以O→A－O→M＝(O→M－O→B)＋(O→M－O→C)， 即M→A＝B→M＋C→M＝－M→B－M→C， 所以M→A，M→B，M→C共面.
___a_21＋__a_22_＋__a_23__
夹角 余弦值
cos〈a，b〉＝ a·b (a≠0，b≠0) |a||b|
cos〈a，b〉＝ a1b1＋a2b2＋a3b3 __a_21_＋__a_22_＋__a_23·__b__21＋__b_22_＋__b_23 _
5.空间位置关系的向量表示 (1)直线的方向向量 直线的方向向量是指和这条直线平行(或在这条直线上)的有向线段所表 示的向量，一条直线的方向向量有无数个. (2)平面的法向量 直线l⊥平面α，取直线l的方向向量，则这个向量叫做平面α的法向量.显 然一个平面的法向量有无数个，它们是共线向量.
数量积 共线 垂直 模
向量表示 a·b
a＝λb(b≠0，λ∈R) a·b＝0(a≠0，b≠0)
|a|
坐标表示 __a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_ _a_1_＝__λ_b_1_，_a_2_＝__λ_b_2_，__a_3＝__λ_b_3_ __a_1b_1_＋__a_2_b_2＋__a_3_b_3_＝__0_
表示 0
a＝b a的相反向量为－a
共线向量 共面向量
表示空间向量的有向线段所在的直 线互相_平__行__或__重__合__的向量
平行于同一个_平__面__的向量
空间向量的概念与运算
§7.6空间向量的概念与运算学习目标1.了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示，掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直.3.理解直线的方向向量及平面的法向量，能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理．知识梳理1．空间向量的有关概念名称定义空间向量在空间中，具有大小和方向的量相等向量方向相同且模相等的向量相反向量方向相反且模相等的向量共线向量表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量(或平行向量)共面向量平行于同一个平面的向量2.空间向量的有关定理(1)共线向量定理：对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.(2)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝x a＋y b.(3)空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝x a＋y b＋z c，{a，b，c}叫做空间的一个基底．3．空间向量的数量积及运算律(1)数量积非零向量a，b的数量积a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．(2)空间向量的坐标表示及其应用设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)．向量表示 坐标表示 数量积 a·b a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3 共线a ＝λb (b ≠0，λ∈R ) a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3 垂直 a ·b ＝0 (a ≠0，b ≠0)a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0模 |a |a 21＋a 22＋a 23夹角余弦值 cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |(a ≠0，b ≠0)cos 〈a ，b 〉＝ a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3a 21＋a 22＋a 23·b 21＋b 22＋b 234.空间位置关系的向量表示(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a 的有向线段所在直线与直线l 平行或重合，则称此向量a 为直线l 的方向向量．(2)平面的法向量：直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则向量a 为平面α的法向量． (3)空间位置关系的向量表示位置关系向量表示 直线l 1，l 2的方向向量分别为n 1，n 2 l 1∥l 2 n 1∥n 2⇔n 1＝λn 2(λ∈R ) l 1⊥l 2 n 1⊥n 2⇔n 1·n 2＝0 直线l 的方向向量为n ，平面α的法向量为m ，l ⊄αl ∥α n ⊥m ⇔n ·m ＝0 l ⊥α n ∥m ⇔n ＝λm (λ∈R ) 平面α，β的法向量分别为n ，m α∥β n ∥m ⇔n ＝λm (λ∈R ) α⊥βn ⊥m ⇔n ·m ＝0常用结论1．在平面中，A ，B ，C 三点共线的充要条件是：OA →＝xOB →＋yOC →(其中x ＋y ＝1)，O 为平面内任意一点．2．在空间中，P ，A ，B ，C 四点共面的充要条件是：OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(其中x ＋y ＋z ＝1)，O 为空间中任意一点． 思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × )(2)若直线a 的方向向量和平面α的法向量平行，则a ∥α.( × )(3)在空间直角坐标系中，在Oyz 平面上的点的坐标一定是(0，b ，c )．( √ ) (4)若a ·b <0，则〈a ，b 〉是钝角．( × ) 教材改编题1．若{a ，b ，c }为空间向量的一个基底，则下列各项中，能构成空间向量的一个基底的是( ) A ．{a ，a ＋b ，a －b } B ．{b ，a ＋b ，a －b } C ．{c ，a ＋b ，a －b } D ．{a ＋b ，a －b ，a ＋2b } 答案 C解析 ∵λa ＋μb (λ，μ∈R )与a ，b 共面． ∴A ，B ，D 不正确．2.如图，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 为A 1C 1与B 1D 1的交点．若AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，则下列向量中与BM →相等的向量是( )A ．－12a ＋12b ＋cB.12a ＋12b ＋c C ．－12a －12b ＋cD.12a －12b ＋c 答案 A解析 由题意，根据向量运算的几何运算法则， BM →＝BB 1—→＋B 1M —→＝AA 1—→＋12(AD →－AB →)＝c ＋12(b －a )＝－12a ＋12b ＋c .3．设直线l 1，l 2的方向向量分别为a ＝(－2,2,1)，b ＝(3，－2，m )，若l 1⊥l 2，则m ＝________. 答案 10解析 ∵l 1⊥l 2，∴a ⊥b ， ∴a ·b ＝－6－4＋m ＝0，∴m ＝10.题型一 空间向量的线性运算例1 如图所示，在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，设AA 1—→＝a ，AB →＝b ，AD →＝c ，M ，N ，P 分别是AA 1，BC ，C 1D 1的中点，试用a ，b ，c 表示以下各向量：(1)AP →；(2)A 1N —→；(3)MP →＋NC 1—→. 解 (1)∵P 是C 1D 1的中点， ∴AP →＝AA 1—→＋A 1P —→＝AA 1—→＋A 1D 1—→＋D 1P —→ ＝AA 1—→＋AD →＋12DC →＝a ＋c ＋12AB →＝a ＋c ＋12b .(2)∵N 是BC 的中点， ∴A 1N —→＝A 1A —→＋AB →＋BN → ＝－a ＋b ＋12BC →＝－a ＋b ＋12AD →＝－a ＋b ＋12c .(3)∵M 是AA 1的中点， ∴MP →＝MA →＋AP →＝12A 1A —→＋AP →＝－12a ＋(a ＋c ＋12b )＝12a ＋12b ＋c . 又NC 1—→＝NC →＋CC 1—→＝12BC →＋AA 1—→＝12AD →＋AA 1—→＝12c ＋a . ∴MP →＋NC 1—→＝⎝⎛⎭⎫12a ＋12b ＋c ＋⎝⎛⎭⎫12c ＋a ＝32a ＋12b ＋32c .如图，在三棱锥O －ABC 中，M ，N 分别是OA ，BC 的中点，G 是△ABC 的重心，用基向量OA →，OB →，OC →表示OG →，则下列表示正确的是( )A.14OA →＋12OB →＋13OC →B.12OA →＋12OB →＋12OC → C ．－16OA →＋13OB →＋13OC →D.13OA →＋13OB →＋13OC → 答案 D解析 MG →＝MA →＋AG →＝12OA →＋23AN →＝12OA →＋23(ON →－OA →)＝12OA →＋23⎣⎡⎦⎤12(OB →＋OC →)－OA →＝－16OA →＋13OB →＋13OC →.OG →＝OM →＋MG →＝12OA →－16OA →＋13OB →＋13OC →＝13OA →＋13OB →＋13OC →.思维升华 用基向量表示指定向量的方法 (1)结合已知向量和所求向量观察图形．(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中．(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来．跟踪训练1 (1)(2022·宁波模拟)如图，在三棱锥O －ABC 中，点P ，Q 分别是OA ，BC 的中点，点D 为线段PQ 上一点，且PD →＝2DQ →，若记OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，则OD →等于( )A.16a ＋13b ＋13cB.13a ＋13b ＋13cC.13a ＋16b ＋13c D.13a ＋13b ＋16c解析 OD →＝OP →＋PD →＝12OA →＋23PQ →＝12OA →＋23(OQ →－OP →) ＝12OA →＋23OQ →－23OP → ＝12OA →＋23×12(OB →＋OC →)－23×12OA → ＝16OA →＋13OB →＋13OC → ＝16a ＋13b ＋13c . (2)在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若AF →＝xAD →＋yAB →＋zAA 1—→，则x －y ＋z 等于( )A.12 B ．1 C.32 D ．2 答案 B解析 AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DD 1—→＋D 1C 1—→)＝AD →＋12(AA 1—→＋A 1B 1—→)＝AD →＋12(AA 1—→＋AB →)＝AD →＋12AB →＋12AA 1—→，则x ＝1，y ＝12，z ＝12，则x －y ＋z ＝1.题型二 空间向量基本定理及其应用例2 已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，若点M 满足OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)．(1)判断MA →，MB →，MC →三个向量是否共面； (2)判断点M 是否在平面ABC 内．解 (1)由题知OA →＋OB →＋OC →＝3OM →， 所以OA →－OM →＝(OM →－OB →)＋(OM →－OC →)， 即MA →＝BM →＋CM →＝－MB →－MC →， 所以MA →，MB →，MC →共面．(2)方法一 由(1)知，MA →，MB →，MC →共面且基线过同一点M ， 所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而点M 在平面ABC 内． 方法二 因为OM →＝13(OA →＋OB →＋OC →)＝13OA →＋13OB →＋13OC →， 又因为13＋13＋13＝1，所以M ，A ，B ，C 四点共面，从而M 在平面ABC 内． 教师备选如图所示，已知斜三棱柱ABC －A 1B 1C 1，点M ，N 分别在AC 1和BC 上，且满足AM →＝kAC 1—→，BN →＝kBC →(0≤k ≤1)．判断向量MN →是否与向量AB →，AA 1—→共面．解 因为AM →＝kAC 1—→，BN →＝kBC →， 所以MN →＝MA →＋AB →＋BN → ＝kC 1A —→＋AB →＋kBC →＝k (C 1A —→＋BC →)＋AB →＝k (C 1A —→＋B 1C 1—→)＋AB → ＝kB 1A —→＋AB →＝AB →－kAB 1—→＝AB →－k (AA 1—→＋AB →) ＝(1－k )AB →－kAA 1—→，所以由共面向量定理知向量MN →与向量AB →，AA 1—→共面． 思维升华 证明空间四点P ，M ，A ，B 共面的方法 (1)MP →＝xMA →＋yMB →；(2)对空间任一点O ，OP →＝OM →＋xMA →＋yMB →；(3)对空间任一点O ，OP →＝xOM →＋yOA →＋zOB →(x ＋y ＋z ＝1)； (4)PM →∥AB →(或P A →∥MB →或PB →∥AM →)．跟踪训练2 (1)(多选)(2022·武汉质检)下列说法中正确的是( ) A ．|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件 B ．若AB →，CD →共线，则AB ∥CDC ．A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，则P ，A ，B ，C四点共面D ．若P ，A ，B ，C 为空间四点，且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)，则λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件 答案 CD解析 由|a |－|b |＝|a ＋b |，可得向量a ，b 的方向相反，此时向量a ，b 共线，反之，当向量a ，b 同向时，不能得到|a |－|b |＝|a ＋b |，所以A 不正确；若AB →，CD →共线，则AB ∥CD 或A ，B ，C ，D 四点共线，所以B 不正确； 由A ，B ，C 三点不共线，对空间任意一点O ， 若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC →，因为34＋18＋18＝1，可得P ，A ，B ，C 四点共面，故C 正确； 若P ，A ，B ，C 为空间四点， 且有P A →＝λPB →＋μPC →(PB →，PC →不共线)， 当λ＋μ＝1时，即μ＝1－λ， 可得P A →－PC →＝λ(PB →＋CP →)， 即CA →＝λCB →，所以A ，B ，C 三点共线，反之也成立，即λ＋μ＝1是A ，B ，C 三点共线的充要条件，所以D 正确．(2)已知A ，B ，C 三点不共线，点O 为平面ABC 外任意一点，若点M 满足OM →＝15OA →＋45OB →＋25BC →，则点M ________(填“属于”或“不属于”)平面ABC . 答案 属于解析 ∵OM →＝15OA →＋45OB →＋25BC →＝15OA →＋45OB →＋25(OC →－OB →)＝15OA →＋25OB →＋25OC →，∵15＋25＋25＝1， ∴M ，A ，B ，C 四点共面． 即点M ∈平面ABC .题型三 空间向量数量积及其应用例3 如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E ，F ，G 分别是AB ，AD ，CD 的中点，计算：(1)EF →·BA →.(2)求异面直线AG 和CE 所成角的余弦值． 解 设AB →＝a ，AC →＝b ，AD →＝c . 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， (1)EF →＝12BD →＝12c －12a ，BA →＝－a ，EF →·BA →＝⎝⎛⎭⎫12c －12a ·(－a ) ＝12a 2－12a ·c ＝14. (2)AG →＝12(AC →＋AD →)＝12b ＋12c ，CE →＝CA →＋AE →＝－b ＋12a ，cos 〈AG →，CE →〉＝AG →·CE →|AG →||CE →|＝⎝⎛⎭⎫12b ＋12c ·⎝⎛⎭⎫－b ＋12a ⎝⎛⎭⎫12b ＋12c 2·⎝⎛⎭⎫12a －b 2＝－1232×32＝－23，由于异面直线所成角的范围是⎝⎛⎦⎤0，π2， 所以异面直线AG 与CE 所成角的余弦值为23.教师备选已知MN 是正方体内切球的一条直径，点P 在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则PM →·PN →的取值范围为( )A.[]0，4B.[]0，2C.[]1，4D.[]1，2 答案 B解析 设正方体内切球的球心为O ， 则OM ＝ON ＝1，PM →·PN →＝()PO →＋OM →·()PO →＋ON→＝PO →2＋PO →·()OM →＋ON →＋OM →·ON →， ∵MN 为球O 的直径，∴OM →＋ON →＝0，OM →·ON →＝－1， ∴PM →·PN →＝PO →2－1， 又P 在正方体表面上移动，∴当P 为正方体顶点时，||PO →最大，最大值为3；当P 为内切球与正方体的切点时，||PO →最小，最小值为1， ∴PO →2－1∈[]0，2，即PM →·PN →的取值范围为[]0，2.思维升华 由向量数量积的定义知，要求a 与b 的数量积，需已知|a |，|b |和〈a ，b 〉，a 与b 的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使a·b 计算准确． 跟踪训练3 如图所示，在四棱柱ABCDA 1B 1C 1D 1中，底面为平行四边形，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°.(1)求AC 1的长； (2)求证：AC 1⊥BD ；(3)求BD 1与AC 夹角的余弦值． (1)解 记AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ， 则|a |＝|b |＝|c |＝1，〈a ，b 〉＝〈b ，c 〉＝〈c ，a 〉＝60°， ∴a ·b ＝b ·c ＝c ·a ＝12.|AC 1—→|2＝(a ＋b ＋c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2(a ·b ＋b ·c ＋c ·a ) ＝1＋1＋1＋2×⎝⎛⎭⎫12＋12＋12＝6， ∴|AC 1—→|＝6，即AC 1的长为 6. (2)证明 ∵AC 1—→＝a ＋b ＋c ，BD →＝b －a ， ∴AC 1—→·BD →＝(a ＋b ＋c )·(b －a ) ＝a ·b ＋|b |2＋b ·c －|a |2－a ·b －a ·c ＝0. ∴AC 1—→⊥BD →，∴AC 1⊥BD .(3)解 BD 1—→＝b ＋c －a ，AC →＝a ＋b ， ∴|BD 1—→|＝2，|AC →|＝3， BD 1—→·AC →＝(b ＋c －a )·(a ＋b ) ＝b 2－a 2＋a ·c ＋b ·c ＝1.∴cos 〈BD 1—→，AC →〉＝BD 1—→·AC →|BD 1—→||AC →|＝66.∴AC 与BD 1夹角的余弦值为66.题型四 向量法证明平行、垂直例4 如图，在四棱锥P －ABCD 中，P A ⊥底面ABCD ，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝AP ＝2，AB ＝1，点E 为棱PC 的中点．证明：(1)BE ⊥DC ； (2)BE ∥平面P AD ； (3)平面PCD ⊥平面P AD .证明 依题意，以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B (1,0,0)，C (2,2,0)，D (0,2,0)，P (0,0,2)．由E 为棱PC 的中点，得E (1,1,1)．(1)BE →＝(0,1,1)， DC →＝(2,0,0)， 故BE →·DC →＝0， 所以BE ⊥DC .(2)因为AB ⊥AD ，又P A ⊥平面ABCD ， AB ⊂平面ABCD ，所以AB ⊥P A ，P A ∩AD ＝A ，P A ，AD ⊂平面P AD ， 所以AB ⊥平面P AD ，所以AB →＝(1,0,0)为平面P AD 的一个法向量， 而BE →·AB →＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0， 所以BE ⊥AB ， 又BE ⊄平面P AD ， 所以BE ∥平面P AD .(3)由(2)知平面P AD 的法向量AB →＝(1,0,0)， PD →＝(0,2，－2)， DC →＝(2,0,0)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·PD →＝0，n ·DC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0，2x ＝0， 令y ＝1，可得n ＝(0,1,1)为平面PCD 的一个法向量． 且n ·AB →＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0， 所以n ⊥AB →.所以平面P AD ⊥平面PCD . 教师备选如图，已知AA 1⊥平面ABC ，BB 1∥AA 1，AB ＝AC ＝3，BC ＝25，AA 1＝7，BB 1＝27，点E 和F 分别为BC 和A 1C 的中点．(1)求证：EF ∥平面A 1B 1BA ； (2)求证：平面AEA 1⊥平面BCB 1.证明 因为AB ＝AC ，E 为BC 的中点，所以AE ⊥BC . 因为AA 1⊥平面ABC ，AA 1∥BB 1，所以以过E 作平行于BB 1的垂线为z 轴，EC ，EA 所在直线分别为x 轴、y 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系．因为AB ＝3，BE ＝5， 所以AE ＝2，所以E (0,0,0)，C (5，0,0)， A (0，2,0)，B (－5，0,0)，B 1(－5，0,27)． A 1(0,2，7)，则F ⎝⎛⎭⎫52，1，72. (1)EF →＝⎝⎛⎭⎫52，1，72，AB →＝(－5，－2,0)，AA 1→＝(0，0，7)．设平面AA 1B 1B 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AA 1—→＝0，所以⎩⎨⎧－5x －2y ＝0，7z ＝0，取⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝5，z ＝0，所以n ＝(－2，5，0)．因为EF →·n ＝52×(－2)＋1×5＋72×0＝0，所以EF →⊥n .又EF ⊄平面A 1B 1BA ， 所以EF ∥平面A 1B 1BA . (2)因为EC ⊥平面AEA 1，所以EC →＝(5，0,0)为平面AEA 1的一个法向量． 又EA ⊥平面BCB 1，所以EA →＝(0,2,0)为平面BCB 1的一个法向量． 因为EC →·EA →＝0，所以EC →⊥EA →， 故平面AEA 1⊥平面BCB 1.思维升华 (1)利用向量法证明平行、垂直关系，关键是建立恰当的坐标系(尽可能利用垂直条件，准确写出相关点的坐标，进而用向量表示涉及到直线、平面的要素)．(2)向量证明的核心是利用向量的数量积或数乘向量，但向量证明仍然离不开立体几何的有关定理．跟踪训练4 如图，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面P AD ⊥底面ABCD ，且P A ＝PD ＝22AD ，设E ，F 分别为PC ，BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面P AD ； (2)平面P AB ⊥平面PDC .证明 (1)如图，取AD 的中点O ，连接OP ，OF .因为P A ＝PD ，所以PO ⊥AD .又侧面P AD ⊥底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，PO ⊂平面P AD ，所以PO ⊥平面ABCD .又O ，F 分别为AD ，BD 的中点， 所以OF ∥AB .又四边形ABCD 是正方形， 所以OF ⊥AD . 因为P A ＝PD ＝22AD ， 所以P A ⊥PD ，OP ＝OA ＝a2.如图，以O 为坐标原点，OA ，OF ，OP 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则A ⎝⎛⎭⎫a 2，0，0，F ⎝⎛⎭⎫0，a2，0， D ⎝⎛⎭⎫－a 2，0，0，P ⎝⎛⎭⎫0，0，a 2， B ⎝⎛⎭⎫a 2，a ，0，C ⎝⎛⎭⎫－a2，a ，0. 因为E 为PC 的中点， 所以E ⎝⎛⎭⎫－a 4，a 2，a4. 易知平面P AD 的一个法向量为 OF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0， 因为EF →＝⎝⎛⎭⎫a 4，0，－a 4，OF →·EF →＝⎝⎛⎭⎫0，a 2，0·⎝⎛⎭⎫a4，0，－a 4＝0. 且EF ⊄平面P AD ，所以EF ∥平面P AD . (2)因为P A →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2， CD →＝(0，－a ，0)，所以P A →·CD →＝⎝⎛⎭⎫a2，0，－a 2·(0，－a ，0)＝0， 所以P A →⊥CD →， 所以P A ⊥CD .又P A ⊥PD ，PD ∩CD ＝D ，PD ，CD ⊂平面PDC ，所以P A ⊥平面PDC .又P A ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面PDC .课时精练1．已知a ＝(2,1，－3)，b ＝(0，－3,2)，c ＝(－2,1,2)，则a ·(b ＋c )等于( ) A ．18 B ．－18 C ．3 2 D ．－3 2 答案 B解析 因为b ＋c ＝(－2，－2,4)， 所以a ·(b ＋c )＝－4－2－12＝－18.2．已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若OP →＝xOA →＋yOB →＋zOC →(x ，y ，z ∈R )，则“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的( ) A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 B解析 由x ＋y ＋z ＝1，得P ，A ，B ，C 四点共面，当P ，A ，B ，C 四点共面时，x ＋y ＋z ＝1，显然不止2，－3,2.故“x ＝2，y ＝－3，z ＝2”是“P ，A ，B ，C 四点共面”的充分不必要条件． 3．已知空间向量a ＝(1,0,1)，b ＝(1,1，n )，且a·b ＝3，则向量a 与b 的夹角为( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 A解析 由题意，a ·b ＝1＋0＋n ＝3， 解得n ＝2，又|a |＝1＋0＋1＝2，|b |＝1＋1＋4＝6， 所以cos 〈a ，b 〉＝a·b |a ||b |＝32×6＝32，又〈a ，b 〉∈[0，π]， 所以a 与b 的夹角为π6.4．直线l 的一个方向向量为(2,1,1)，平面α的一个法向量为(4,2,2)，则( ) A ．l ∥α B ．l ⊥α C ．l ∥α或l ⊂αD ．l 与α的位置关系不能判断 答案 B解析 直线l 的一个方向向量为(2,1,1)，平面α的一个法向量为(4,2,2)， 显然它们共线，所以l ⊥α.5．(多选)已知空间三点A (1,0,3)，B (－1,1,4)，C (2，－1,3)，若AP →∥BC →，且|AP →|＝14，则点P 的坐标为( ) A ．(4，－2,2) B ．(－2,2,4) C ．(－4,2，－2) D ．(2，－2,4)答案 AB解析 因为B (－1,1,4)，C (2，－1,3)， 所以BC →＝(3，－2，－1)， 因为AP →∥BC →，所以可设AP →＝λBC →＝(3λ，－2λ，－λ)， 因为|AP →|＝(3λ)2＋(－2λ)2＋(－λ)2＝14， 解得λ＝±1，所以AP →＝(3，－2，－1)或AP →＝(－3,2,1)， 设点P (x ，y ，z )，则AP →＝(x －1，y ，z －3)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧ x －1＝3，y ＝－2，z －3＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3，y ＝2，z －3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝－2，z ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝2，z ＝4.所以点P 的坐标为(4，－2,2)或(－2,2,4)．6．(多选)已知空间中三点A (0,1,0)，B (2,2,0)，C (－1,3,1)，则下列结论正确的有( ) A.AB →与AC →是共线向量B ．与AB →共线的单位向量是(1,1,0) C.AB →与BC →夹角的余弦值是－5511D ．平面ABC 的一个法向量是(1，－2,5) 答案 CD解析 对于A ，AB →＝(2,1,0)，AC →＝(－1,2,1)，不存在实数λ，使得AB →＝λAC →， 所以AB →与AC →不是共线向量，所以A 错误；对于B ，因为AB →＝(2,1,0)，所以与AB →共线的单位向量为⎝⎛⎭⎫255，55，0或⎝⎛⎭⎫－255，－55，0，所以B 错误；对于C ，向量AB →＝(2,1,0)，BC →＝(－3,1,1)， 所以cos 〈AB →，BC →〉＝AB →·BC →|AB →||BC →|＝－5511，所以C 正确；对于D ，设平面ABC 的法向量是n ＝(x ，y ，z )， 因为AB →＝(2,1,0)，AC →＝(－1,2,1)， 所以⎩⎪⎨⎪⎧n ·AB →＝0，n ·AC →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，－x ＋2y ＋z ＝0.令x ＝1，则n ＝(1，－2,5)，所以D 正确．7．已知a ＝(x ，1,1)，b ＝(－2,2，y )，a ·b ＝0，则2x －y ＝________. 答案 2解析 因为a ＝(x ，1,1)，b ＝(－2,2，y )，a ·b ＝0，所以－2x ＋2＋y ＝0,2x －y ＝2.8．已知点A (－1,1,0)，B (1,2,0)，C (－2，－1,0)，D (3,4,0)，则AB →在CD →上的投影向量为________． 答案 ⎝⎛⎭⎫32，32，0解析 由已知得AB →＝(2,1,0)，CD →＝(5,5,0)， ∴AB →·CD →＝2×5＋1×5＋0＝15， 又|CD →|＝52，∴AB →在CD →上的投影向量为AB →·CD →|CD →|·CD →|CD →|＝1552×CD →52＝310CD →＝⎝⎛⎭⎫32，32，0. 9．如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M ，N 分别是A 1B 1，A 1A 的中点．(1)求BN →的长；(2)求cos 〈BA 1—→，CB 1—→〉的值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .(1)解 以C 为坐标原点，CA ，CB ，CC 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，如图．B (0,1,0)，N (1,0,1)， ∴BN →＝(1，－1,1)，∴|BN →|＝12＋(－1)2＋12＝ 3.(2)解 ∵A 1(1,0,2)，B (0,1,0)，C (0,0,0)， B 1(0,1,2)，∴BA 1—→＝(1，－1,2)，CB 1—→＝(0,1,2)， ∴BA 1—→·CB 1—→＝3，|BA 1—→|＝6，|CB 1—→|＝ 5. ∴cos 〈BA 1—→，CB 1—→〉＝BA 1—→·CB 1—→|BA 1—→||CB 1—→|＝3010.(3)证明 ∵C 1(0,0,2)，M ⎝⎛⎭⎫12，12，2， ∴A 1B —→＝(－1,1，－2)，C 1M —→＝⎝⎛⎭⎫12，12，0， ∴A 1B —→·C 1M —→＝－12＋12＋0＝0.∴A 1B —→⊥C 1M —→， ∴A 1B ⊥C 1M .10.如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E ，F 分别是AB ，PB 的中点．(1)求证：EF ⊥CD ；(2)在平面P AD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB .(1)证明 如图，以D 为坐标原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD ＝a ，则D (0,0,0)，A (a ，0,0)，B (a ，a ，0)， C (0，a ，0)，E ⎝⎛⎭⎫a ，a2，0，P (0,0，a )， F ⎝⎛⎭⎫a 2，a 2，a 2.EF →＝⎝⎛⎭⎫－a 2，0，a 2，DC →＝(0，a ，0)． 因为EF →·DC →＝0，所以EF →⊥DC →，即EF ⊥CD . (2)解 设G (x ，0，z )， 则FG →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2， CB →＝(a ，0,0)，CP →＝(0，－a ，a )， 若使GF ⊥平面PCB ，则需FG →·CB →＝0， 且FG →·CP →＝0，由FG →·CB →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(a ，0,0) ＝a ⎝⎛⎭⎫x －a 2＝0，得x ＝a2， 由FG →·CP →＝⎝⎛⎭⎫x －a 2，－a 2，z －a 2·(0，－a ，a ) ＝a 22＋a ⎝⎛⎭⎫z －a 2＝0，得z ＝0.所以G 点坐标为⎝⎛⎭⎫a 2，0，0， 即G 为AD 的中点时，GF ⊥平面PCB .11．(多选)(2022·山东百师联盟大联考)下面四个结论正确的是( )A ．向量a ，b (a ≠0，b ≠0)，若a ⊥b ，则a·b ＝0B ．若空间四个点P ，A ，B ，C ，PC →＝14P A →＋34PB →，则A ，B ，C 三点共线 C ．已知向量a ＝(1,1，x )，b ＝(－3，x ，9)，若x <310，则〈a ，b 〉为钝角 D ．任意向量a ，b ，c 满足(a·b )·c ＝a·(b·c )答案 AB解析 由向量垂直的充要条件可得A 正确；∵PC →＝14P A →＋34PB →， ∴14PC →－14P A →＝34PB →－34PC →， 即AC →＝3CB →，∴A ，B ，C 三点共线，故B 正确；当x ＝－3时，两个向量共线，夹角为π，故C 错误；由于向量的数量积运算不满足结合律，故D 错误．12．(多选)(2022·重庆市第七中学月考)给出下列命题，其中为假命题的是( )A ．已知n 为平面α的一个法向量，m 为直线l 的一个方向向量，若n ⊥m ，则l ∥αB ．已知n 为平面α的一个法向量，m 为直线l 的一个方向向量，若〈n ，m 〉＝2π3，则l 与α所成角为π6C ．若两个不同的平面α，β的法向量分别为u ，v ，且u ＝(1,2，－2)，v ＝(－2，－4,4)，则α∥βD ．已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c答案 AD 解析 对于A ，由题意可得l ∥α或l ⊂α，故A 错误；对于B ，由图象可得，∠CAD ＝2π3，则∠DAB ＝π3，所以∠ADB ＝π6， 根据线面角的定义可得，l 与α所成角为π6，故B 正确； 对于C ，因为u ＝－12v ＝－12(－2，－4,4) ＝(1,2，－2)，所以u ∥v ，故α∥β，故C 正确；对于D ，当空间的三个向量a ，b ，c 不共面时，对于空间的任意一个向量p ，总存在实数x ，y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c ，故D 错误．13．(2022·杭州模拟)在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为A 1D 1，BB 1的中点，则cos ∠EAF ＝________；EF ＝________.答案 25 62解析 如图，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，∵正方体棱长为1，则E ⎝⎛⎭⎫0，12，1，F ⎝⎛⎭⎫1，0，12， ∴AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12，1，AF →＝⎝⎛⎭⎫1，0，12， EF →＝⎝⎛⎭⎫1，－12，－12，cos 〈AE →，AF →〉＝AE →·AF →|AE →||AF →|＝1252×52＝25， ∴cos ∠EAF ＝25， EF ＝|EF →|＝12＋⎝⎛⎭⎫－122＋⎝⎛⎭⎫－122＝62. 14.如图，已知四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面A 1B 1C 1D 1为平行四边形，E 为棱AB 的中点，AF →＝13AD →，AG →＝2GA 1—→，AC 1与平面EFG 交于点M ，则AM AC 1＝________.答案 213解析 由题图知，设AM →＝λAC 1—→(0<λ<1)，由已知AC 1—→＝AB →＋AD →＋AA 1—→＝2AE →＋3AF →＋32AG →，所以AM →＝2λAE →＋3λAF →＋3λ2AG →， 因为M ，E ，F ，G 四点共面，所以2λ＋3λ＋3λ2＝1， 解得λ＝213.15．已知O 点为空间直角坐标系的原点，向量OA →＝(1,2,3)，OB →＝(2,1,2)，OP →＝(1,1,2)，且点Q 在直线OP 上运动，当QA →·QB →取得最小值时，OQ →的坐标是______．答案 ⎝⎛⎭⎫43，43，83解析 因为点Q 在直线OP 上，所以设点Q (λ，λ，2λ)，则QA →＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB →＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA →·QB →＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)·(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6⎝⎛⎭⎫λ－432－23.即当λ＝43时，QA →·QB →取得最小值－23， 此时OQ →＝⎝⎛⎭⎫43，43，83.16.(2022·株州模拟)如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，∠ABC 和∠A 1AC 均为60°，平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD .(1)求证：BD ⊥AA 1；(2)在直线CC 1上是否存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，若存在，求出点P 的位置，若不存在，请说明理由．(1)证明 设BD 与AC 交于点O ，则BD ⊥AC ，连接A 1O ，在△AA 1O 中，AA 1＝2，AO ＝1，∠A 1AO ＝60°，所以A 1O 2＝AA 21＋AO 2－2AA 1·AO cos 60°＝3， 所以AO 2＋A 1O 2＝AA 21，所以A 1O ⊥AO .由于平面AA 1C 1C ⊥平面ABCD ，且平面AA 1C 1C ∩平面ABCD ＝AC ， A 1O ⊂平面AA 1C 1C ，所以A 1O ⊥平面ABCD . 以O 为坐标原点，OB ，OC ，OA 1所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则A (0，－1,0)，B (3，0,0)，C (0,1,0)，D (－3，0,0)，A 1(0,0，3)，C 1(0,2，3)．由于BD →＝(－23，0,0)，AA 1—→＝(0,1，3)，AA 1—→·BD →＝0×(－23)＋1×0＋3×0＝0，所以BD →⊥AA 1—→，即BD ⊥AA 1.(2)解 假设在直线CC 1上存在点P ，使BP ∥平面DA 1C 1，设CP →＝λCC 1—→，P (x ，y ，z )，则(x ，y －1，z )＝λ(0,1，3)．从而有P (0,1＋λ，3λ)，BP →＝(－3，1＋λ，3λ)．设平面DA 1C 1的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·A 1C 1—→＝0，n 1·DA 1—→＝0， 又A 1C 1—→＝(0,2,0)，DA 1—→＝(3，0，3)， 则⎩⎨⎧ 2y 1＝0，3x 1＋3z 1＝0，取n 1＝(1,0，－1)， 因为BP ∥平面DA 1C 1，所以n 1⊥BP →，即n 1·BP →＝－3－3λ＝0，解得λ＝－1，即点P 在C 1C 的延长线上，且|CP →|＝|CC 1—→|.。
空间向量与立体几何知识点和习题(含答案)
空间向量与立体几何【知识要点】1．空间向量及其运算： (1)空间向量的线性运算：①空间向量的加法、减法和数乘向量运算：平面向量加、减法的三角形法则和平行四边形法则拓广到空间依然成立．②空间向量的线性运算的运算律： 加法交换律：a ＋b ＝b ＋a ；加法结合律：(a ＋b ＋c )＝a ＋(b ＋c )；分配律：(λ ＋μ )a ＝λ a ＋μ a ；λ (a ＋b )＝λ a ＋λ b ． (2)空间向量的基本定理：①共线(平行)向量定理：对空间两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是存在实数λ ，使得a ∥λ b ．②共面向量定理：如果两个向量a ，b 不共线，则向量c 与向量a ，b 共面的充要条件是存在惟一一对实数λ ，μ ，使得c ＝λ a ＋μ b ．③空间向量分解定理：如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在惟一的有序实数组λ 1，λ 2，λ 3，使得p ＝λ 1a ＋λ 2b ＋λ 3c ．(3)空间向量的数量积运算：①空间向量的数量积的定义：a ·b ＝|a ｜|b ｜c os 〈a ，b 〉； ②空间向量的数量积的性质：a ·e ＝|a ｜c os ＜a ，e ＞；a ⊥b ⇔a ·b ＝0； |a |2＝a ·a ；|a ·b |≤|a ｜|b ｜． ③空间向量的数量积的运算律： (λ a )·b ＝λ (a ·b )； 交换律：a ·b ＝b ·a ；分配律：(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c ． (4)空间向量运算的坐标表示：①空间向量的正交分解：建立空间直角坐标系Oxyz ，分别沿x 轴，y 轴，z 轴的正方向引单位向量i ，j ，k ，则这三个互相垂直的单位向量构成空间向量的一个基底{i ，j ，k ｝，由空间向量分解定理，对于空间任一向量a ，存在惟一数组(a 1，a 2，a 3)，使a ＝a 1i ＋a 2j ＋a 3k ，那么有序数组(a 1，a 2，a 3)就叫做空间向量a 的坐标，即a ＝(a 1，a 2，a 3)．②空间向量线性运算及数量积的坐标表示： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ＋b ＝(a 1＋b 1，a 2＋b 2，a 3＋b 3)；a －b ＝(a 1－b 1，a 2－b 2，a 3－b 3)； λ a ＝(λ a 1，λ a 2，λ a 3)；a ·b ＝a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3． ③空间向量平行和垂直的条件：a ∥b (b ≠0)⇔a ＝λ b ⇔a 1＝λ b 1，a 2＝λ b 2，a 3＝λ b 3(λ ∈R )； a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0． ④向量的夹角与向量长度的坐标计算公式： 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则;||,||232221232221b b b a a a ++==++==⋅⋅b b b a a a;||||,cos 232221232221332211b b b a a a b a b a b a ++++++=>=<⋅b a b a b a在空间直角坐标系中，点A (a 1，a 2，a 3)，B (b 1，b 2，b 3)，则A ，B 两点间的距离是.)()()(||233222211b a b a b a AB -+-+-=2．空间向量在立体几何中的应用：(1)直线的方向向量与平面的法向量：①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量．由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定．②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系：设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ⇔a ∥b ⇔a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ⇔a ⊥b ⇔a ·b ＝0； ③l ∥α ⇔a ⊥u ⇔a ·u ＝0；④l ⊥α ⇔a ∥u ⇔a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥⇔u ∥v ⇔u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ⇔u ⊥v ⇔u ·v ＝0．(3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题：①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角．设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2π,0(∈θ则⋅=><⋅|||||||,cos |212121v v v v v v②直线和平面所成的角：直线和平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角．设直线a 的方向向量是u ，平面α 的法向量是v ，直线a 与平面α 的夹角为θ ，显然]2π,0[∈θ，则⋅=><⋅|||||||,cos |v u v u v u③二面角及其度量：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．记作α －l－β 在二面角的棱上任取一点O，在两个半平面内分别作射线OA⊥l，OB⊥l，则∠AOB 叫做二面角α －l－β 的平面角．利用向量求二面角的平面角有两种方法：方法一：如图，若AB，CD分别是二面角α －l－β 的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角AB与的夹角的大小．α －l－β 的大小就是向量CD方法二：如图，m1，m2分别是二面角的两个半平面α ，β 的法向量，则〈m1，m2〉与该二面角的大小相等或互补．(4)根据题目特点，同学们可以灵活选择运用向量方法与综合方法，从不同角度解决立体几何问题．【复习要求】1．了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示．2．掌握空间向量的线性运算及其坐标表示．3．掌握空间向量的数量积及其坐标表示；能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．4．理解直线的方向向量与平面的法向量．5．能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系．6．能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．【例题分析】例1如图，在长方体OAEB－O1A1E1B1中，OA＝3，OB＝4，OO1＝2，点P在棱AA1上，且AP＝2P A1，点S在棱BB1上，且B1S＝2SB，点Q，R分别是O1B1，AE的中点，求证：PQ∥RS．【分析】建立空间直角坐标系，设法证明存在实数k ，使得.RS k PQ =解：如图建立空间直角坐标系，则O (0，0，0)，A (3，0，0)，B (0，4，0)，O 1(0，0，2)，A 1(3，0，2)，B 1(0，4，2)，E (3，4，0)．∵AP ＝2P A 1， ∴),34,0,0()2,0,0(32321===AA AP ∴⋅)34,0,3(P同理可得：Q (0，2，2)，R (3，2，0)，⋅)32,4,0(S,)32,2,3(RS PQ =-=∴RS PQ //，又R ∉PQ ，∴PQ ∥RS ．【评述】1、证明线线平行的步骤： (1)证明两向量共线；(2)证明其中一个向量所在直线上一点不在另一个向量所在的直线上即可．2、本体还可采用综合法证明，连接PR ，QS ，证明PQRS 是平行四边形即可，请完成这个证明．例2 已知正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，E ，F 分别是棱A 1D 1，A 1B 1，D 1C 1，B 1C 1的中点，求证：平面AMN ∥平面EFBD ．【分析】要证明面面平行，可以通过线线平行来证明，也可以证明这两个平面的法向量平行．解法一：设正方体的棱长为4，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (4，0，0)，M (2，0，4)，N (4，2，4)，B (4，4，0)，E (0，2，4)，F (2，4，4)．取MN 的中点K ，EF 的中点G ，BD 的中点O ，则O (2，2，0)，K (3，1，4)，G (1，3，4)．MN ＝(2，2，0)，EF ＝(2，2，0)，AK ＝(－1，1，4)，OG ＝(－1，1，4)，∴MN ∥EF ，OG AK =，∴MN//EF ，AK//OG ，∴MN ∥平面EFBD ，AK ∥平面EFBD ， ∴平面AMN ∥平面EFBD ．解法二：设平面AMN 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)，平面EFBD 的法向量是 b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AN AM a a 得⎩⎨⎧=+=+-,042,0423231a a a a 取a 3＝1，得a ＝(2，－2，1)．由,0,0==⋅⋅BF DE b b 得⎩⎨⎧=+-=+,042,0423132b b b b 取b 3＝1，得b ＝(2，－2，1)．∵a ∥b ，∴平面AMN ∥平面EFBD ．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．例3 在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 是棱A 1B 1，B 1B 的中点，求异面直线AM 和CN 所成角的余弦值．解法一：设正方体的棱长为2，如图建立空间直角坐标系，则D (0，0，0)，A (2，0，0)，M (2，1，2)，C (0，2，0)，N (2，2，1)．∴),1,0,2(),2,1,0(==CN AM设AM 和CN 所成的角为θ ，则,52||||cos ==CN AM CNAM θ∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52 解法二：取AB 的中点P ，CC 1的中点Q ，连接B 1P ，B 1Q ，PQ ，PC ． 易证明：B 1P ∥MA ，B 1Q ∥NC ，∴∠PB 1Q 是异面直线AM 和CN 所成的角． 设正方体的棱长为2，易知,6,52211=+===QC PC PQ Q B P B∴,522cos 11221211=-+=⋅Q B P B PQ Q B P B Q PB∴异面直线AM 和CN 所成角的余弦值是⋅52【评述】空间两条直线所成的角是不超过90°的角，因此按向量的夹角公式计算时，分子的数量积如果是负数，则应取其绝对值，使之成为正数，这样才能得到异面直线所成的角(锐角)．例4 如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的底面边长为a ，侧棱长为a 2，求直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小．【分析】利用正三棱柱的性质，适当建立空间直角坐标系，写出有关点的坐标．求角时有两种思路：一是由定义找出线面角，再用向量方法计算；二是利用平面ABB 1A 1的法向量求解．解法一：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，),2,0,0(1a A⋅-)2,2,23(1a a a C 取A 1B 1的中点D ，则)2,2,0(a aD ，连接AD ，C 1D ． 则),2,0,0(),0,,0(),0,0,23(1a AA a AB aDC ==-= ,0,0111==⋅⋅AA DC AB DC∴DC 1⊥平面ABB 1A 1，∴∠C 1AD 是直线AC 1与平面ABB 1A 1所或的角．),2,2,0(),2,2,23(1a aAD a a a AC =-= 23||||cos 111==∴⋅AD AC AD AC AD C ， ∴直线AC 1与平面ABB 1A 1所成角的大小是30°．解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (0，a ，0)，A 1(0，0，a 2)，)2,2,23(1a a a C -，从而⋅-===)2,2,23(),2,0,0(),0,,0(11a a a AC a AA a AB 设平面ABB 1A 1的法向量是a ＝(p ，q ，r )， 由,0,01==⋅⋅AA AB a a得⎩⎨⎧==,02,0ar aq 取p ＝1，得a ＝(1，0，0)． 设直线AC 1与平面ABB 1A 1所成的角为],2π,0[,∈θθ.30,21|||||||,cos |sin 111 ===〉〈=⋅θθa a a AC AC AC【评述】充分利用几何体的特征建立适当的坐标系，再利用向量的知识求解线面角；解法二给出了一般的方法，即先求平面的法向量与斜线的夹角，再利用两角互余转换．例5 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，AC ⊥BC ，P A ＝AC ＝1，2=BC ，求二面角A －PB －C 的平面角的余弦值．解法一：取PB 的中点D ，连接CD ，作AE ⊥PB 于E ． ∵P A ＝AC ＝1，P A ⊥AC ， ∴PC ＝BC ＝2，∴CD ⊥PB ． ∵EA ⊥PB ，∴向量EA 和DC 夹角的大小就是二面角A －PB －C 的大小．如图建立空间直角坐标系，则C (0，0，0)，A (1，0，0)，B (0，2，0)，P (1，0，1)，由D 是PB 的中点，得D ⋅)21,22,21( 由,3122==AB AP EB PE 得E 是PD 的中点，从而⋅)43,42,43(E ∴)21,22,21(),43,42,41(---=--=DC EA ∴⋅=>=<⋅33||||,cos DC EA DC EA DC EA 即二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅33 解法二：如图建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，)0,1,2(B ，C (0，1，0)，P (0，0，1)，).1,1,0(),0,0,2(),0,1,2(),1,0,0(-====CP CB AB AP设平面P AB 的法向量是a ＝(a 1，a 2，a 3)， 平面PBC 的法向量是b ＝(b 1，b 2，b 3)． 由,0,0==⋅⋅AB AP a a得⎪⎩⎪⎨⎧=+=,02,0213a a a 取a 1＝1，得).0,2,1(-=a 由0,0==⋅⋅CP CB b b 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=,0,02321b b b 取b 3＝1，得b ＝(0，1，1)．∴⋅-=>=<⋅33||||,cos b a b a b a∵二面角A －PB －C 为锐二面角，∴二面角A －PB －C 的平面角的余弦值是⋅=-33|33| 【评述】1、求二面角的大小，可以在两个半平面内作出垂直于棱的两个向量，转化为这两个向量的夹角；应注意两个向量的始点应在二面角的棱上．2、当用法向量的方法求二面角时，有时不易判断两个平面法向量的夹角是二面角的平面角还是其补角，但我们可以借助观察图形而得到结论，这是因为二面角是锐二面角还是钝二面角一般是明显的．例6 如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥底面ABC ，P A ＝AB ，∠ABC ＝60°，∠BCA ＝90°，点D ，E 分别在棱PB ，PC 上，且DE ∥BC ．(Ⅰ)求证：BC ⊥平面P AC ；(Ⅱ)当D 为PB 的中点时，求AD 与平面P AC 所成角的余弦值；(Ⅲ)试问在棱PC 上是否存在点E ，使得二面角A －DE －P 为直二面角?若存在，求出PE ∶EC 的值；若不存在，说明理由．解：如图建立空间直角坐标系．设P A ＝a ，由已知可得A (0，0，0)，).,0,0(),0,23,0(),0,23,21(a P a C a a B - (Ⅰ)∵),0,0,21(),,0,0(a BC a AP ==∴,0=⋅BC AP ∴BC ⊥AP ．又∠BCA ＝90°，∴BC ⊥AC ． ∴BC ⊥平面P AC ．(Ⅱ)∵D 为PB 的中点，DE ∥BC ，∴E 为PC 的中点． ∴⋅-)21,43,0(),21,43,41(a a E a a a D 由(Ⅰ)知，BC ⊥平面P AC ，∴DE ⊥平面P AC ，∴∠DAE 是直线AD 与平面P AC 所成的角． ∴),21,43,0(),21,43,41(a a AE a a a AD =-= ∴,414||||cos ==∠AE AD DAE即直线AD 与平面P AC 所成角的余弦值是⋅414 (Ⅲ)由(Ⅱ)知，DE ⊥平面P AC ，∴DE ⊥AE ，DE ⊥PE ， ∴∠AEP 是二面角A －DE －P 的平面角．∵P A ⊥底面ABC ，∴P A ⊥AC ，∠P AC ＝90°． ∴在棱PC 上存在一点E ，使得AE ⊥PC ，这时，∠AEP ＝90°，且⋅==3422AC PA EC PE 故存在点E 使得二面角A －DE －P 是直二面角，此时PE ∶EC ＝4∶3．注：本题还可以不建立空间直角坐标系，通过综合法加以证明，请试一试．练习1-3一、选择题：1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 是BB 1的中点，则二面角E －A 1D 1－D 的平面角的正切值是( ) (A)2(B)2(C)5(D)222．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，直线AD 1与平面A 1ACC 1所成角的大小是( ) (A)30° (B)45° (C)60° (D)90°3．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱与底面边长都相等，A 1在底面ABC 内的射影为△ABC 的中心，则AB 1与底面ABC 所成角的正弦值等于( ) (A)31 (B)32 (C)33 (D)32 4．如图，α ⊥β ，α ∩β ＝l ，A ∈α ，B ∈β ，A ，B 到l 的距离分别是a 和b ，AB 与α ，β 所成的角分别是θ 和ϕ，AB 在α ，β 内的射影分别是m 和n ，若a ＞b ，则下列结论正确的是( )(A)θ ＞ϕ，m ＞n (B)θ ＞ϕ，m ＜n (C)θ ＜ϕ，m ＜n(D)θ ＜ϕ，m ＞n二、填空题：5．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，G ，H 分别为AA 1，AB ，BB 1，B 1C 1的中点，则异面直线EF 与GH 所成角的大小是______． 6．已知正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值为33，则该正四棱柱的体积等于______．7．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则异面直线A 1B 与AD 1所成角的余弦值为______．8．四棱锥P －ABCD 的底面是直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，==BC AB AD 21，P A ⊥底面ABCD ，PD 与底面ABCD 所成的角是30°．设AE 与CD 所成的角为θ ，则cos θ ＝______． 三、解答题：9．如图，正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ＝4，点E 在CC 1上，且C 1E ＝3EC ．(Ⅰ)证明：A 1C ⊥平面BED ；(Ⅱ)求二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值．10．如图，在四棱锥O －ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，4π=∠ABC ，OA ⊥底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点．(Ⅰ)证明：直线MN ∥平面OCD ；(Ⅱ)求异面直线AB 与MD 所成角的大小．11．如图，已知直二面角α －PQ －β ，A ∈PQ ，B ∈α ，C ∈β ，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α 所成的角为30°．(Ⅰ)证明：BC ⊥PQ ；(Ⅱ)求二面角B －AC －P 平面角的余弦值．习题1一、选择题：1．关于空间两条直线a 、b 和平面α ，下列命题正确的是( ) (A)若a ∥b ，b ⊂α ，则a ∥α (B)若a ∥α ，b ⊂α ，则a ∥b (C)若a ∥α ，b ∥α ，则a ∥b (D)若a ⊥α ，b ⊥α ，则a ∥b 2．正四棱锥的侧棱长为23，底面边长为2，则该棱锥的体积为( ) (A)8(B)38(C)6 (D)23．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则直线AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) (A)46 (B)410 (C)22 (D)23 4．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何 体的体积是( )(A)3cm 34000 (B)3cm 38000 (C)2000cm 3 (D)4000cm 35．若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60° 的菱形，则该棱柱的体积等于( ) (A)2(B)22(C)23 (D)24二、填空题：6．已知正方体的内切球的体积是π34，则这个正方体的体积是______．7．若正四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的底面边长为1，AB 1与底面ABCD 成60°角，则直线AB 1和BC 1所成角的余弦值是______． 8．若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是______． 9．连结球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB 、CD 的长度分别等于3472、，每条弦的两端都在球面上运动，则两弦中点之间距离的最大值为______．10．已知AABC 是等腰直角三角形，AB ＝AC ＝a ，AD 是斜边BC 上的高，以AD 为折痕使∠BDC 成直角．在折起后形成的三棱锥A －BCD 中，有如下三个结论： ①直线AD ⊥平面BCD ； ②侧面ABC 是等边三角形；③三棱锥A －BCD 的体积是.2423a 其中正确结论的序号是____________．(写出全部正确结论的序号) 三、解答题：11．如图，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 是BC 的中点，AB ＝AA 1．(Ⅰ)求证：AD ⊥B 1D ；(Ⅱ)求证：A 1C ∥平面A 1BD ；(Ⅲ)求二面角B －AB 1－D 平面角的余弦值．12．如图，三棱锥P －ABC 中，P A ⊥AB ，P A ⊥AC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝2，AB ＝1，M 为PC 的中点．(Ⅰ)求证：平面PCB ⊥平面MAB ；(Ⅱ)求三棱锥P －ABC 的表面积．13．如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝AA 1＝2，M 、N 分别是A 1C 1、BC 1的中点．(Ⅰ)求证：BC 1⊥平面A 1B 1C ； (Ⅱ)求证：MN ∥平面A 1ABB 1； (Ⅲ)求三棱锥M －BC 1B 1的体积．14．在四棱锥S －ABCD 中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2=AD ，DC ＝SD＝2．点M 在侧棱SC 上，∠ABM ＝60°．(Ⅰ)证明：M 是侧棱SC 的中点；(Ⅱ)求二面角S －AM －B 的平面角的余弦值．练习1-3一、选择题：1．B 2．A 3．B 4．D 二、填空题：5．60° 6．2 7．54 8．42三、解答题：9．以D 为坐标原点，射线DA 为x 轴的正半轴，建立如图所示直角坐标系D －xyz ．依题设，B (2，2，0)，C (0，2，0)，E (0，2，1)，A 1(2，0，4)．),0,2,2(),1,2,0(==DB DE ).4,0,2(),4,2,2(11=--=DA C A(Ⅰ)∵,0,011==⋅⋅DE C A DB C A ∴A 1C ⊥BD ，A 1C ⊥DE ． 又DB ∩DE ＝D ，∴A 1C ⊥平面DBE ．(Ⅱ)设向量n ＝(x ，y ，z )是平面DA 1E 的法向量，则.,1DA DE ⊥⊥n n∴⎩⎨⎧=+=+.042,02z x z y 令y ＝1，得n ＝(4，1，－2)．⋅==⋅4214||||),cos(111C A C A C A n n n ∴二面角A 1－DE －B 平面角的余弦值为⋅4214 10．作AP ⊥CD 于点P ．如图，分别以AB ，AP ，AO 所在直线为x ，y ，z 轴建立坐标系．则A (0，0，0)，B (1，0，0)，)0,22,22(),0,22,0(-D P ，O (0，0，2)，M (0，0，1)，⋅-)0,42,421(N (Ⅰ)⋅--=-=--=)2,22,22(),2,22,0(),1,42,421(OD OP MN 设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则,0,0==⋅⋅OD OP n n即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=-.022222,0222z y x z y 取,2=z ，得).2,4,0(=n ∵,0=⋅n MN ∴MN ∥平面OCD ． (Ⅱ)设AB 与MD 所成的角为θ ，,3π,21||||||cos ),1,22,22(),0,0,1(=∴==∴--==⋅θθMD AB MD AB MD AB 即直线AB 与MD 所成角的大小为⋅3π11．(Ⅰ)证明：在平面β 内过点C 作CO ⊥PQ 于点O ，连结OB ．∵α ⊥β ，α ∩β ＝PQ ，∴CO ⊥α ． 又∵CA ＝CB ，∴OA ＝OB ．∵∠BAO ＝45°，∴∠ABO ＝45°，∠AOB ＝90°，∴BO ⊥PQ ，又CO ⊥PQ ， ∴PQ ⊥平面OBC ，∴PQ ⊥BC ．(Ⅱ)由(Ⅰ)知，OC ⊥OA ，OC ⊥OB ，OA ⊥OB ，故以O 为原点，分别以直线OB ，OA ，OC 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．∵CO ⊥α ，∴∠CAO 是CA 和平面α 所成的角，则∠CAO ＝30°． 不妨设AC ＝2，则3=AO ，CO ＝1．在Rt △OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，∴.3==AO BO∴).1,0,0(),0,3,0(),0,0,3(),0,0,0(C A B O).1,3,0(),0,3,3(-=-=AC AB设n 1＝(x ，y ，z )是平面ABC 的一个法向量，由⎪⎩⎪⎨⎧==⋅⋅,0,0AC AB n n 得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-,03,033z y y x 取x ＝1，得)3,1,1(1=n ． 易知n 2＝(1，0，0)是平面β 的一个法向量．设二面角B －AC －P 的平面角为θ ，∴,55||||cos 2121==⋅⋅n n n n θ 即二面角B －AC －P 平面角的余弦值是⋅55 习题1一、选择题：1．D 2．B 3．A 4．B 5．B 二、填空题： 6．324 7．438．9π 9．5 10．①、②、③ 三、解答题：11．(Ⅰ)证明：∵ABC －A 1B 1C 1是正三棱柱，∴BB 1⊥平面ABC ，∴平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ．∵正△ABC 中，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ， ∴AD ⊥B 1D ．(Ⅱ)解：连接A 1B ，设A 1B ∩AB 1＝E ，连接DE ． ∵AB ＝AA 1， ∴ 四边形A 1ABB 1是正方形，∴E 是A 1B 的中点，又D 是BC 的中点，∴DE ∥A 1C ．∵DE ⊂平面A 1BD ，A 1C ⊄平面A 1BD ，∴A 1C ∥平面A 1BD ．(Ⅲ)解：建立空间直角坐标系，设AB ＝AA 1＝1， 则⋅-)1,0,21(),0,23,0(),0,0,0(1B A D 设n 1＝(p ，q ，r )是平面A 1BD 的一个法向量， 则,01=⋅AD n 且,011=⋅D B n 故.021,023=-=-r P q 取r ＝1，得n 1＝(2，0，1)．同理，可求得平面AB 1B 的法向量是).0,1,3(2-=n 设二面角B －AB 1－D 大小为θ ，∵,515||||cos 2121==⋅n n n n θ∴二面角B －AB 1－D 的平面角余弦值为⋅51512．(Ⅰ)∵P A ⊥AB ，AB ⊥AC ，∴AB ⊥平面P AC ，故AB ⊥PC ．∵P A ＝AC ＝2，M 为PC 的中点，∴MA ⊥PC ．∴PC ⊥平面MAB ， 又PC ⊂平面PCB ，∴平面PCB ⊥平面MAB ．(Ⅱ)Rt △P AB 的面积1211==⋅AB PA S ．Rt △P AC 的面积.2212==⋅AC PA S Rt △ABC 的面积S 3＝S 1＝1．∵△P AB ≌△CAB ，∵PB ＝CB ，∴△PCB 的面积.632221214=⨯⨯==⋅MB PC S ∴三棱锥P －ABC 的表面积为S ＝S 1＋S 2＋S 3＋S 4＝.64+13．(Ⅰ)∵ABC －A 1B 1C 1是直三棱柱，∴BB 1⊥平面A 1B 1C 1，∴B 1B ⊥A 1B 1．又B 1C 1⊥A 1B 1，∴A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴BC 1⊥A 1B 1． ∵BB 1＝CB ＝2，∴BC 1⊥B 1C ，∴BC 1⊥平面A 1B 1C ．(Ⅱ)连接A 1B ，由M 、N 分别为A 1C 1、BC 1的中点，得MN ∥A 1B ， 又A 1B ⊂平面A 1ABB 1，MN ⊄平面A 1ABB 1，∴MN ∥平面A 1ABB 1．(Ⅲ)取C 1B 1中点H ，连结MH ．∵M 是A 1C 1的中点，∴MH ∥A 1B 1，又A 1B 1⊥平面BCC 1B 1，∴MH ⊥平面BCC 1B 1，∴MH 是三棱锥M －BC 1B 1的高， ∴三棱锥M －BC 1B 1的体积⋅=⨯⨯⨯==⋅⋅∆321421313111MH S V B BC 14．如图建立空间直角坐标系，设A (2，0，0)，则B (2，2，0)，C (0，2，0)，S (0，0，2).(Ⅰ)设)0(>=λλMC SM ， 则),12,12,2(),12,12,0(λλλλλ++--=++BM M 又.60,),0,2,0( >=<-=BM BA BA 故,60cos ||||.BA BM BA BM =即,)12()12()2(14222λλλ+++-+-=+解得λ ＝1． ∴M 是侧棱SC 的中点．(Ⅱ)由M (0，1，1)，A (2，0，0)得AM 的中点⋅)21,21,22(G 又),1,1,2(),1,1,0(),21,23,22(-=-=-=AM MS GB ∴,,,0,0AM MS AM GB AM MS AM GB ⊥⊥∴==⋅⋅∴cos〉MS ,G B 〈等于二面角S －AM －B 的平面角． ,36||||),cos(-==MS GB MS GB MS GB 即二面角S －AM －B 的平面角的余弦值是－36．。
空间向量知识点总结
空间向量知识点总结空间向量是高中数学中的重要内容，它为解决立体几何问题提供了一种全新的思路和方法。
下面我们来对空间向量的相关知识点进行一个系统的总结。
一、空间向量的基本概念1、空间向量的定义在空间中，具有大小和方向的量称为空间向量。
2、空间向量的表示空间向量可以用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
向量通常用小写字母加箭头表示，如\（＼vec{a}＼）。
3、空间向量的模空间向量\（＼vec{a}＼）的模（长度）记作\（｜＼vec{a}｜＼），其计算公式为\（｜＼vec{a}｜＝＼sqrt{a_1^2 ＋ a_2^2 ＋ a_3^2}＼）（假设\（＼vec{a} ＝（a_1, a_2, a_3)＼））。
4、零向量长度为\（0\）的向量称为零向量，记作\（＼vec{0}＼），其方向是任意的。
5、单位向量模为\（1\）的向量称为单位向量。
若\（＼vec{a}＼）是非零向量，则与\（＼vec{a}＼）同向的单位向量为\（＼frac{＼vec{a}｝｛｜＼vec{a}｜｝＼）。
6、相等向量长度相等且方向相同的向量称为相等向量。
7、相反向量长度相等但方向相反的向量称为相反向量。
二、空间向量的运算1、加法空间向量的加法满足三角形法则和平行四边形法则。
设\（＼vec{a}＼）、＼（＼vec{b}＼）为两个空间向量，则它们的和向量\（＼vec{c} ＝＼vec{a} ＋＼vec{b}＼）。
2、减法空间向量的减法是加法的逆运算，＼（＼vec{a} ＼vec{b} ＝＼vec{a} ＋（＼vec{b}）＼）。
3、数乘运算实数\（＼lambda\）与空间向量\（＼vec{a}＼）的乘积\（＼lambda\vec{a}＼）仍然是一个向量。
当\（＼lambda ＞ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）同向；当\（＼lambda ＜ 0\）时，＼（＼lambda\vec{a}＼）与\（＼vec{a}＼）反向；当\（＼lambda ＝0\）时，＼（＼lambda\vec{a} ＝＼vec{0}＼）。
空间向量
空间向量一．知识回顾： 1. 向量的的基本概念：（1）空间向量：像位移、力、速度、加速度这样既有大小又有方向的量；（2）共线向量或平行向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，那么这些向量叫做共线向量或平行向量； 注意：零向量与任意向量共线；（3）单位向量：长度为1的向量；（4）共面向量：能够平移到同一平面内的向量；（5）基向量：如果三个向量123,,e e e 不共面，那么空间的每一个向量都可由123,,e e e 线性表示。
我们把{123,,e e e }称为空间的一个基底，123,,e e e 叫做基向量；如果空间一个基底两两互相垂直，那么基底叫做正交基底。
特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常{,,}i j k ；（6）方向向量：把直线l 上的向量(0)e e ≠以及与e 共线的非零向量叫做直线l 的方向向量； （7）法向量：如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n α⊥，此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量；2. 两点间的距离公式：12PP =3. 空间两点的中点坐标公式：121212(,,)222x x y y z z +++ 4. 向量的线性运算：加法、减法、数乘，其运算律：（1）a b b a +=+ （2）()()a b c a b c ++=++ （3）()a b a b λλλ+=+ 5.共线向量定理：对空间任意两个向量,(0)a b a ≠，b 与a 共线的充要条件是存在实数λ，使b a λ=123123(,,),(,,)a a a a b b b b ==空间向量平行的坐标表示： 112233(0),,()a b a b a b a b a R λλλλ≠⇔===∈5. 共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，那么向量p 与向量,a b 共面的充要条件是存在有序实数组(,)x y ，使得p xa yb =+（向量p 可以由两个的向量,a b 线性表示） 7.空间向量基本定理：如果三个向量123,,e e e 不共面，那么对空间任一向量p 存在唯一的有序实数组(,,)x y z ，使123p xe ye ze =++8.空间向量的坐标：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任意一个向量a ，根据空间向量基本定理，存在 唯一的有序实数组(,,)x y z ，使a x i yj z k=++，有序实数组(,,)x y z 叫做向量a 在空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作：(,,)a x y z =，当空间向量a 的起点移至 坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。
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复 习
·(
a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb.
数 学
新
(4)共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，则向量
课 标
)
版
p与向量a，b共面的充要条件是存在实数对(x，y)，使p＝xa
＋yb.
专题五 立体几何
2．两个向量的数量积
《
向量a，b的数量积：a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
走 向
高
向量的数量积的性质：
复 习
·(
数
a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3；
学 新
课
a∥b⇔a＝λb⇔a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；
标 版
)
a⊥b⇔a·b⇔a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》
(3)平面的法向量
二 轮
专
如果表示向量a的有向线段所在的直线垂直于平面α，
考 》
二
①若e是单位向量，则a·e＝|a|cos〈a，e〉；
轮 专
题
②a⊥b⇔a·b＝0；
复 习
·(
数
③|a|2＝a·a＝a2.
学 新
课
标
版
)
专题五 立体几何
向量的数量积满足如下运算律：
《
①(λa)·b＝λ(a·b)；
走 向
高
②a·b＝b·a(交换律)；
考 》
二
③a·(b＋c)＝a·b＋a·c(分配律)．
习 数
学
·(
＋yO→B＋zO→C.
新 课
标
版
)
专题五 立体几何
4．空间向量的坐标运算
《
设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，
走 向
高
则a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)；
考 》
二
a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3)；
轮 专 题
λa＝(λa1，λa2，λa3)；
题 复
习
·(
则称这个向量垂直于平面α，记作a⊥α.
数 学
如果a⊥α，那么向量a叫做平面α的法向量．
新 课
标
版
)
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
《
走
[例1] (2011·扬州大学附中)在正方体ABCD－
向 高 考
》
A1B1C1D1中，给出以下向量表达式：①(A→1D1－A→1A)－A→B；
《 走
向
的线性运算及其表示；掌握空间向量的数量积及坐标表示，
高 考
》
能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直．
二 轮
专
2．理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语
题 复
习
·(
言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系；能用向量方 数
学
法证明有关线面关系的一些定理；能用向量方法解决线线、
新 课
线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
1．了解空间向量的概念、空间向量的基本定理及其意
义；掌握空间向量的正交分解及坐标表示；掌握空间向量
·(
)
专题五 立体几何
1．共线向量与共面向量
《
(1)如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行
走 向
高
或重合，则这些向量叫共线向量或平行向量．
考 》
二
(2)平行于同一个平面的向量叫做共面向量．
轮 专
题
(3) 共 线 向 量 定 理 ： 对 空 间 任 意 两 个 向 量 a ， b(b≠0) ，
·(
避免出现方向错误．
数
学
新 课
标
版
)
பைடு நூலகம்
专题五 立体几何
《
走
向
高
(2010·广东理，10)若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c
考 》
二
＝(1,1,1)，满足条件(c－a)·(2b)＝－2，则x＝______.
轮 专
题
[答案] 2
复 习
·(
数
[解析] c－a＝(1,1,1)－(1,1，x)＝(0,0,1－x)．
学 新 课
标
B→1D1≠B→D1，所以选 A.
)
版
专题五 立体几何
《
[评析] 用已知向量表示未知向量，以及进行向量表
走 向
高
达式的化简时，一定要注意结合实际图形，以图形为指导
考 》
是解题的关键，同时注意首尾相接的向量和向量的化简方
二 轮
专
法，以及从同一个点出发的两个向量的差向量的运算法则，
题 复
习
)
标 版
问题中的作用．
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
·(
)
专题五 立体几何
1．本部分内容在高考中所占分数大约在5%－10%.
《
2．从命题形式上看，试题以多面体为载体，在直线、
走 向
高
平面、多面体的交汇处命题．分步设问：分设3小题左右，
考 》
轮 专
题
复
习
·(
数 学 新 课 标 版
)
专题五 立体几何
3．空间向量基本定理
《
如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，
走 向
高
存在有序实数组{x，y，z}，使p＝xa＋yb＋zc.
考 》
二
轮
推论：设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任
专 题
复
一点P，都存在唯一的有序实数组{x，y，z}，使 O→P ＝xO→A
诸小题之间有一定的梯度．第一小问重点考查运用空间向
二 轮
专
量讨论线线、线面、面面的位置关系，后面几问重点考查
题 复
习
·(
运用空间向量来求异面直线所成的角、二面角，证明线线 数
学
平行、线面平行和证明异面直线垂直和线面垂直等立体几
新 课
何基本问题，其解题思路都是“作——证——求”，强调作图、
)
标 版
证明和计算相结合．
二 轮
专
②(B→C＋B→B1)－D→1C1；③(A→D－A→B)－2D→D1；④(B→1D1＋A→1A)
题 复 习
·(
数
＋D→D1.其中能够化简为向量B→D1的是( )
学 新
课
A．①②
B．②③
标 版
)
C．③④
D．①④
专题五 立体几何
[分析] 根据空间向量的运算法则化简即可判定．
《
走
[答案] A
向 高
专题五 立体几何
3．在新课标的试题中，为了突出对向量工具作用的考
查，试题所考查的多面体一般都是直棱柱、正棱锥，或有
《 走
向
一条棱与底面垂直的多面体或者是有一个面与底面垂直的
高 考
》
多面体，尤其是侧重对含有正方体一角的多面体考查．
二 轮
专
题
复
习
·(
数 学 新 课 标 版
)
专题五 立体几何
《 走 向 高 考 》 二 轮 专 题 复 习 数 学 新 课 标 版
考
》
[解析]
①中(A→1D1－A→1A)－A→B＝A→D1－A→B===B→D1；②中
二 轮 专
题
(B→C＋B→B1)－D→1C1＝B→C1－D→1C1＝B→D1；③中(A→D－A→B)－2D→D1
复 习
数
·(
＝B→D－2D→D1≠B→D1；④中(B→1D1＋A→1A)＋D→D1＝B→1D＋D→D1＝