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安徽省江南十校2018届高三3月联考数学(理)试题 (5)
【题文】如图，在以A 、B 、C 、D 、E 、F 为顶点的五面体中，平面CDEF ⊥平面ABCD ，FC FB =，四边形ABCD 为平行四边形，且45BCD ∠=.（1）求证：CD BF ⊥；（2）若22AB EF ==，BC =BF 与平面ABCD 所成角为45°，求平面ADE 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值.【答案】解：（1）过F 作FO CD ⊥交CD 于O ，连接BO ，由平面CDEF ⊥平面ABCD ，得FO 平面ABCD ，因此FO OB ⊥.∴FB FC =，FO FO =，90FOC FOB ∠=∠=，∴FOC FOB ∆≅∆，∴OB OC =，由已知45DCB ∠=得BOC ∆为等腰直角三角形，因此OB CD ⊥，又CD FO ⊥， ∴CD ⊥平面FOB ，∴CD FB ⊥.（2）∵//AB CD ，AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴//AB 平面CDEF ， ∵平面ABEF 平面CDEF EF =，∴//AB EF ，由（1）可得OB ，OC ，OF 两两垂直，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，由题设可得45FBO ∠=，进而可得1,2,0A -（），1,0,0B （），0,1,0C （），0,1,0)D -（，(0,1,1)E -，(0,0,1)F ，设平面ADE 的法向量为111(,,)m x y z =，则00m AD m DE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即11100x y z -+=⎧⎨=⎩， 可取(1,1,0)m =，设平面BCF 的法向量为222(,,)n x y z =，则00n BC n CF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即222200x y y z -+=⎧⎨-+=⎩， 可取(1,1,1)n =， 则cos ,m nm n m n ⋅<>=⋅3==，【解析】 【标题】安徽省江南十校2018届高三3月联考数学（理）试题【结束】。
安徽省江南十校联考2017-2018学年高考数学一模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（理科）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．52．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．3．“a=0”是“函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件4．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．6．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S10=50，则数列{a n+a n+1}的前10项和为（）A．100 B．110 C．120 D．1307．设D是△ABC所在平面内一点，=2，则（）A．=﹣B．=﹣C．=﹣D．=﹣8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．89．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）10．若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣，2]C．[﹣1，2] D．[﹣，1]11．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）A．4π+16+4B．5π+16+4C．4π+16+2D．5π+16+212．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2017-2018学年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=．14．（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若存在唯一的正整数n使得不等式a n2﹣ta n﹣2t2≤0成立，则实数t的取值范围为．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．19．第31届夏季奥林匹克运动会将于2017-2018学年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．20．已知抛物线C：y2=2px经过点M（2，2），C在点M处的切线交x轴于点N，直线l1经过点N且垂直于x轴．（Ⅰ）求线段ON的长；（Ⅱ）设不经过点M和N的动直线l2：x=my+b交C于点A和B，交l1于点E，若直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，试问：l2是否过定点？请说明理由．21．已知函数f（x）=e x+ax2﹣2ax﹣1．（Ⅰ）当a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有﹣∞和+∞的区间）．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．2017-2018学年安徽省江南十校联考高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A={x|2x2﹣5x﹣3≤0}，B={x∈Z|x≤2}，则A∩B中的元素个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【考点】交集及其运算．【分析】求出A中不等式的解集确定出A，再由B，求出两集合的交集，即可做出判断．【解答】解：由A中不等式变形得：（2x+1）（x﹣3）≤0，解得：﹣≤x≤3，即A={x|﹣≤x≤3}，∵B={x∈Z|x≤2}={2，1，0，﹣1，…}，∴A∩B={0，1，2}，即有3个元素，故选：B．2．若复数z满足z（1﹣i）=|1﹣i|+i，则z的实部为（）A．B．﹣1 C．1 D．【考点】复数代数形式的混合运算．【分析】z（1﹣i）=|1﹣i|+i，化为z=，再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出．【解答】解：∵z（1﹣i）=|1﹣i|+i，∴z===+i，∴z的实部为．故选：A．3．“a=0”是“函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】先根据奇函数的定义判断出a=0时，为奇函数，再根据奇函数的定义判断当为奇函数时，a=0，故可以判断为充要条件．【解答】解：f（x）的定义域为{x|x≠0}，关于原点对称当a=0时，f（x）=sinx﹣，f（﹣x）=sin（﹣x）﹣（﹣）=﹣sinx+=﹣（sinx﹣）=﹣f（x），故f（z）为奇函数，当函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数时，f（﹣x）+f（x）=0又f（﹣x）+f（x）=sin（﹣x）﹣（﹣）+a+sinx﹣+a=2a，故a=0所以““a=0”是“函数f（x）=sinx﹣+a为奇函数”的充要条件，故选C4．已知l是双曲线C：﹣=1的一条渐近线，P是l上的一点，F1，F2是C的两个焦点，若•=0，则P到x轴的距离为（）A．B．C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得焦点坐标和一条渐近线方程，设P（m，m），运用向量的数量积的坐标表示，解方程可得m，进而求得P到x轴的距离．【解答】解：双曲线C：﹣=1的a=，b=2，c==，即有F1（﹣，0），F2（，0），设渐近线l的方程为y=x，且P（m，m），•=（﹣﹣m，﹣m）•（﹣m，﹣m）=（﹣﹣m）（﹣m）+（﹣m）2=0，化为3m2﹣6=0，解得m=±，则P到x轴的距离为|m|=2．故选：C．5．在平面直角坐标系xOy中，满足x2+y2≤1，x≥0，y≥0的点P（x，y）的集合对应的平面图形的面积为；类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y ≥0，z≥0的点P（x，y，z）的集合对应的空间几何体的体积为（）A．B．C．D．【考点】类比推理．【分析】类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即可得出结论．【解答】解：类似的，在空间直角坐标系O﹣xyz中，满足x2+y2+z2≤1，x≥0，y≥0，z≥0的点P（x，y）的集合对应的空间几何体的体积为球的体积的，即=，故选：B．6．在数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，S n为{a n}的前n项和．若S10=50，则数列{a n+a n+1}的前10项和为（）A．100 B．110 C．120 D．130【考点】数列的求和．【分析】由数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，可得此数列是等差数列，公差为2．数列{a n+a n+1}的前10项和=a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11=2S10+10d，即可得出．【解答】解：∵数列{a n}中，a n+1﹣a n=2，∴此数列是等差数列，公差为2．数列{a n+a n+1}的前10项和为：a1+a2+a2+a3+…+a10+a10+a11=2（a1+a2+…+a10）+a11﹣a1=2S10+10×2=120，故选：C．7．设D是△ABC所在平面内一点，=2，则（）A．=﹣B．=﹣C．=﹣D．=﹣【考点】向量加减混合运算及其几何意义．【分析】根据平面向量线性运算的几何意义用表示出．【解答】解：，，∴==．故选：D．8．执行如图所示的程序框图，如果输入的t=50，则输出的n=（）A．5 B．6 C．7 D．8【考点】循环结构．【分析】由已知中的程序框图可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量n的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】解：第一次运行后s=2，a=3，n=1；第二次运行后s=5，a=5，n=2；第三次运行后s=10，a=9，n=3；第四次运行后s=19，a=17，n=4；第五次运行后s=36，a=33，n=5；第六次运行后s=69，a=65，n=6；此时不满足s＜t，输出n=6，故选：B．9．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的最小正周期为4π，且对∀x∈R，有f（x）≤f（）成立，则f（x）的一个对称中心坐标是（）A．（﹣，0） B．（﹣，0）C．（，0）D．（，0）【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】由题意，利用周期公式可求．由f（x）≤f（）恒成立，结合范围|φ|＜，可求φ=，令=kπ（k∈Z），即可解得f（x）的对称中心，即可得解．【解答】解：由f（x）=sin（ωx+φ）的最小正周期为4π，得．因为f（x）≤f（）恒成立，所以f（x），即+φ=+2kπ（k∈Z），由|φ|＜，得φ=，故f（x）=sin（）．令=kπ（k∈Z），得x=2kπ﹣，（k∈Z），故f（x）的对称中心为（2kπ﹣，0）（k∈Z），当k=0时，f（x）的对称中心为（﹣，0），故选：A．10．若x，y满足约束条件，则z=y﹣x的取值范围为（）A．[﹣2，2] B．[﹣，2]C．[﹣1，2] D．[﹣，1]【考点】简单线性规划．【分析】由题意作平面区域，化简z=y﹣x为y=x+z，从而结合图象求解．【解答】解：由题意作平面区域如下，化简z=y﹣x为y=x+z，设l：y=x+z，故结合图象可知，当l过3x﹣y=0与x+y﹣4=0的交点（1，3）时，z取得最大值2；当l与抛物线y=x2相切时，z取得最小值，由，消去y得：x2﹣2x﹣2z=0，由△=4+8z=0，得z=﹣，故﹣≤z≤2，故选B．11．某几何体的三视图如图所示，其中侧视图的下半部分曲线为半圆弧，则该几何体的表面积为（）A．4π+16+4B．5π+16+4C．4π+16+2D．5π+16+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，由三视图求出几何元素的长度，由条件和面积公式求出各个面的面积，加起来求出几何体的表面积．【解答】解：由三视图可知该几何体是一个正三棱柱和一个半圆柱的组合体，三棱柱的两个侧面面积之和为2×4×2=16，两个底面面积之和为=2；半圆柱的侧面积为π×1×4=4π，两个底面面积之和为，所以几何体的表面积为，故选：D．12．已知函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，且对于b的所有可能取值f（x）的极小值恒大于0，则a的最小值为（）A．﹣e3B．﹣e2C．﹣e D．﹣【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】求函数的导数，根据函数存在极小值等价为f′（x）=﹣x+b=0有解，转化为一元二次方程，根据一元二次方程根与判别式△之间的关系进行转化求解即可．【解答】解：函数的定义域为（0，+∞），则函数的导数f′（x）=﹣x+b，若函数f（x）=alnx﹣x2+bx存在极小值，则f′（x）=﹣x+b=0有解，即﹣x2+bx+a=0有两个不等的正根，则，得b＞2，（a＜0），由f′（x）=0得x1=，x2=，分析易得f（x）的极小值点为x1，∵b＞2，（a＜0），∴x1==∈（0，），=f（x1）=alnx1﹣x12+bx1=alnx1﹣x12+x12﹣a=alnx1+x12﹣a，则f（x）极小值设g（x）=alnx+x2﹣a，x∈（0，），f（x）的极小值恒大于0等价为g（x）恒大于0，∵g′（x）=+x=＜0，∴g（x）在（0，）上单调递减，故g（x）＞g（）=aln﹣a≥0，得ln≤，即﹣a≤e3，则a≥﹣e3，故a的最小值为是﹣e3，故选：A二.填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．2017-2018学年1月1日我国全面二孩政策实施后，某中学的一个学生社团组织了一项关于生育二孩意愿的调查活动．已知该中学所在的城镇符合二孩政策的已婚女性中，30岁以下的约2400人，30岁至40岁的约3600人，40岁以上的约6000人．为了解不同年龄层的女性对生育二孩的意愿是否存在显著差异，该社团用分层抽样的方法从中抽取了一个容量为N的样本进行调查，已知从30岁至40岁的女性中抽取的人数为60人，则N=200．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义即可得到结论．【解答】解：由题意可得=，故N=200．故答案为：200．14．（2x﹣y）5的展开式中，x2y3的系数为﹣40．【考点】二项式定理．【分析】T r+1=（2x）5﹣r（﹣y）r，令r=3，即可得出．【解答】解：T r+1=（2x）5﹣r（﹣y）r，令r=3，可得：x2y3的系数为×22×（﹣1）3=﹣40．故答案为：﹣40．15．椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右顶点为A，经过原点的直线l交椭圆C于P、Q两点，若|PQ|=a，AP⊥PQ，则椭圆C的离心率为．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设点P在第一象限，由对称性可得|OP|==，推导出∠POA=60°，P（），由此能求出椭圆的离心率．【解答】解：不妨设点P在第一象限，由对称性可得|OP|==，∵AP⊥PQ，在Rt△POA中，cos∠POA==，∴∠POA=60°，∴P（），代入椭圆方程得：=1，∴a2=5b2=5（a2﹣c2），整理得2a=c，∴离心率e==．故答案为：．16．已知S n为数列{a n}的前n项和，a1=1，2S n=（n+1）a n，若存在唯一的正整数n使得不等式a n2﹣ta n﹣2t2≤0成立，则实数t的取值范围为﹣2＜t≤﹣1或≤t＜1．【考点】数列与不等式的综合．【分析】由题意求得数列{a n}的通项公式，将原不等式转化成n2﹣tn﹣2t2≤0，构造辅助函数f（x）=n2﹣tn﹣2t2，由题意可知f（1）≤0，f（2）＞0，即可求得t的取值范围．=﹣，【解答】解：当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1整理得=，又a1=1，故a n=n，不等式a n2﹣ta n﹣2t2≤0可化为：n2﹣tn﹣2t2≤0，设f（n）=n2﹣tn﹣2t2，由于f（0）=﹣2t2，由题意可得：，解得﹣2＜t≤﹣1或≤t＜1．故答案为：﹣2＜t≤﹣1或≤t＜1．三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤.17．如图，平面四边形ABCD中，AB=，AD=2，CD=，∠CBD=30°，∠BCD=120°，求（Ⅰ）∠ADB；（Ⅱ）△ADC的面积S．【考点】解三角形的实际应用．【分析】（I）在△BCD中由正弦定理解出BD，在△ABD中，由余弦定解出cos∠ADB；（II）代入三角形的面积公式计算．【解答】解：（Ⅰ）在△BCD中，由正弦定理得：，即，解得BD=3．在△ABD中，由余弦定理得：cos∠ADB===．∴∠ADB=45°．（Ⅱ）∵∠CBD=30°，∠BCD=120°，∴∠CDB=30°．∴sin∠ADC=sin（45°+30°）=，∴S△ACD=•CDsin∠ADC==．18．如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为2的正方形，四边形EFBD为等腰梯形，EF∥BD，EF=BD，平面EFBD⊥平面ABCD．（Ⅰ）证明：DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．【分析】（Ⅰ）根据线面平行的判定定理即可证明DE∥平面ACF；（Ⅱ）若梯形EFBD的面积为3，根据二面角平面角的定义作出二面角的平面角，结合三角形的边角关系即可求二面角A﹣BF﹣D的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）设AC，BD的交点为O，则O为BD的中点，连接OF，由EF∥BD，EF=BD，得EF∥OD．EF=OD，所以四边形EFOD为平行四边形，故ED∥OF，…又EF⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，所以DE∥平面ACF．…（Ⅱ）方法一：因为平面EFBD⊥平面ABCD，交线为BD，AO⊥BD，所以AO⊥平面EFBD，作OM⊥BF于M，连AM，∵AO⊥平面BDEF，∴AO⊥BF，又OM∩AO=O，∴BF⊥平面AOM，∴BF⊥AM，故∠AMO为二面角A﹣BF﹣D的平面角．…取EF中点P，连接OP，因为四边形EFBD为等腰梯形，故OP⊥BD，因为=•OP=3，所以OP=．由PF=，得BF=OF==，因为，所以OM==，故AM==，…所以cos=，故二面角A﹣BF﹣D的余弦值为．…19．第31届夏季奥林匹克运动会将于2017-2018学年8月5日﹣21日在巴西里约热内卢举叶图比较两国代表团获得的金牌数的平均值及分散程度（不要求计算出具体数值，给出结论即可）；（Ⅱ）甲、乙、丙三人竞猜今年中国代表团和俄罗斯代表团中的哪一个获得的金牌数多（假设两国代表团获得的金牌数不会相等），规定甲、乙、丙必须在两个代表团中选一个，已知甲、乙猜中国代表团的概率都为，丙猜中国代表团的概率为，三人各自猜哪个代表团的结果互不影响．现让甲、乙、丙各猜一次，设三人中猜中国代表团的人数为X，求X的分布列及数学期望EX．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）作出两国代表团获得的金牌数的茎叶图，通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值，俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．（Ⅱ）由已知得X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和EX．【解答】解：（Ⅰ）两国代表团获得的金牌数的茎叶图如下通过茎叶图可以看出，中国代表团获得的金牌数的平均值高于俄罗斯代表团获得的金牌数的平均值；俄罗斯代表团获得的金牌数比较集中，中国代表团获得的金牌数比较分散．… （Ⅱ）由已知得X 的可能取值为0，1，2，3，设事件A 、B 、C 分别表示甲、乙、丙猜中国代表团，则P （X=0）=P （）P （）P （）=（1﹣）2（1﹣）=，P （X=1）==+（1﹣）2×=，P （X=2）==（）2（1﹣）+C（）（1﹣）（）=，P （X=3）=P （A ）P （B ）P （C ）=（）2（）=，EX==．…20．已知抛物线C ：y 2=2px 经过点M （2，2），C 在点M 处的切线交x 轴于点N ，直线l 1经过点N 且垂直于x 轴． （Ⅰ）求线段ON 的长；（Ⅱ）设不经过点M 和N 的动直线l 2：x=my +b 交C 于点A 和B ，交l 1于点E ，若直线MA 、ME 、MB 的斜率依次成等差数列，试问：l 2是否过定点？请说明理由． 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题． 【分析】（Ⅰ）先求出p 的值，然后求出在第一象限的函数，结合函数的导数的几何意义求出N 的坐标即可求线段ON 的长；（Ⅱ）联立直线和抛物线方程进行削元，转化为关于y 的一元二次方程，根据根与系数之间的关系结合直线斜率的关系建立方程进行求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）由抛物线y 2=2px 经过点M （2，2），得22=4p ， 故p=1，c 的方程为y 2=2x …C在第一象限的图象对应的函数解析式为y=，则′=，故C在点M处的切线斜率为，切线的方程为y﹣2=（x﹣2），令y=0得x=﹣2，所以点N的坐标为（﹣2，0），故线段ON的长为2 …（Ⅱ）l2恒过定点（2，0），理由如下：由题意可知l1的方程为x=﹣2，因为l2与l1相交，故m≠0由l2：x=my+b，令x=﹣2，得y=﹣，故E（﹣2，﹣）设A（x1，y1），B（x2，y2）由消去x得：y2﹣2my﹣2b=0则y1+y2=2m，y1y2=﹣2b …直线MA的斜率为==，同理直线MB的斜率为，直线ME的斜率为因为直线MA、ME、MB的斜率依次成等差数列，所以+=2×=1+，即=1+=1+，…整理得：，因为l2不经过点N，所以b≠﹣2所以2m﹣b+2=2m，即b=2故l2的方程为x=my+2，即l2恒过定点（2，0）…21．已知函数f（x）=e x+ax2﹣2ax﹣1．（Ⅰ）当a=时，讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设函数g（x）=f′（x），讨论g（x）的零点个数；若存在零点，请求出所有的零点或给出每个零点所在的有穷区间，并说明理由（注：有穷区间指区间的端点不含有﹣∞和+∞的区间）．【考点】利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．【分析】（Ⅰ）求得当a=时的f（x）的导数，由导数的单调性，讨论x＞0，x＜0，即可得到所求单调性；（Ⅱ）由条件可得g（x）=2ax﹣2a，g′（x）=e x+2a，对a讨论：a=0，a＞0，分①1﹣2a＜0，即a＞时，②1﹣2a=0，即a=时，③1﹣2a＞0，即0＜a＜时，a＜0，分①ln（﹣2a）﹣2＜0，即﹣＜a＜0时，②ln（﹣2a）﹣2=0，即a=﹣时，③ln（﹣2a）﹣2＞0，即a＜﹣时，运用导数判断单调性以及函数零点存在定理，即可判断零点的个数．【解答】解：（Ⅰ）当a=时，f′（x）=e x+x﹣1，易知f′（x）在R上单调递增，且f′（0）=0，因此，当x＜0时，f′（x）＜0；当x＞0时，f′（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增；（Ⅱ）由条件可得g（x）=2ax﹣2a，g′（x）=e x+2a，（i）当a=0时，g（x）=e x＞0，g（x）无零点；（ii）当a＞0时，g′（x）＞0，g（x）在R上单调递增，g（0）=1﹣2a，g（1）=e＞0，①若1﹣2a＜0，即a＞时，g（0）=1﹣2a＜0，g（x）在（0，1）上有一个零点；②若1﹣2a=0，即a=时，g（0）=0，g（x）有一个零点0；③若1﹣2a＞0，即0＜a＜时，g（）=e﹣1＜0，g（x）在（，0）上有一个零点；（iii）当a＜0时，令g′（x）＞0，得x＞ln（﹣2a）；令g′（x）＜0，得x＜ln（﹣2a）．所以g（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））单调递减，在（ln（﹣2a），+∞）单调递增，g（x）min=g（ln（﹣2a））=2a[ln（﹣2a）﹣2]；①若ln（﹣2a）﹣2＜0，即﹣＜a＜0时，g（x）＞0，g（x）无零点；②若ln（﹣2a）﹣2=0，即a=﹣时，g（2）=0，g（x）有一个零点2；③若ln（﹣2a）﹣2＞0，即a＜﹣时，g（1）=e＞0，g（ln（﹣2a））＜0，g（x）在（1，ln（﹣2a））有一个零点；设h（x）=e x﹣x2（x≥1），则h′（x）=e x﹣2x，设u（x）=e x﹣2x，则u′（x）=e x﹣2，当x≥1时，u′（x）≥e﹣2＞0，所以u（x）=h′（x）在[1，+∞）单调递增，h′（x）≥h′（1）=e﹣2＞0，所以h（x）在[1，+∞）单调递增，h（x）≥h（1）=e﹣1，即x＞1时，e x＞x2，故g（x）＞x2+2ax﹣2a，设k（x）=lnx﹣x（x≥1），则k′（x）=﹣1=≤0，所以k（x）在[1，+∞）单调递减，k（x）≤k（1）=﹣1＜0，即x＞1时，lnx＜x，因为a＜﹣时，﹣2a＞e2＞1，所以ln（﹣2a）＜﹣2a，又g（﹣2a）＞（﹣2a）2+2a（﹣2a）﹣2a=﹣2a＞0，g（x）在（ln（﹣2a），﹣2a）上有一个零点，故g（x）有两个零点．综上，当a＜﹣时，g（x）在（1，ln（﹣2a））和（ln（﹣2a），﹣2a）上各有一个零点，共有两个零点；当a=﹣时，g（x）有一个零点2；当﹣＜a≤0时，g（x）无零点；当0＜a＜时，g（x）在（，0）上有一个零点；当a=时，g（x）有一个零点0；当a＞时，g（x）在（0，1）上有一个零点．四.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，过⊙O外一点E作⊙O的两条切线EA、EB，其中A、B为切点，BC为⊙O的一条直径，连CA并延长交BE的延长线于D点．（Ⅰ）证明：BE=DE；（Ⅱ）若AD=3AC，求AE：AC的值．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（Ⅰ）作出辅助线，根据AB⊥OE，AB⊥CD，可得OE∥CD，又O为BC的中点，得E为BD的中点，即可证得结论；（Ⅱ）设AC=t（t＞0），由射影定理，根据三角形中的知识，即可求得比值．【解答】证明：（Ⅰ）连接AB、OE，∵EA、EB为圆O的切线，∴OE垂直平分AB，又∵BC为圆O的直径，∴AB⊥CD，∴OE∥CD，又O为BC的中点，故E为BD的中点，∴BE=ED …解：（Ⅱ）设AC=t（t＞0），则AD=3t，CD=4t，在Rt△BCD中，由射影定理可得：BD2=DA•DC=12t2，∴BD=2t，在Rt△ABD中，AE=BD=t．∴AE：AC=．…[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知在极坐标系中，A（3，），B（3，），圆C的方程为ρ=2cosθ．（1）求在平面直角坐标系xOy中圆C的标准方程；（2）已知P为圆C上的任意一点，求△ABP面积的最大值．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可得圆的直角坐标方程；（2）求得A，B的直角坐标，即可得到直线AB的方程；求得AB的距离和圆C和半径，求得圆C到直线AB的距离，由圆C上的点到直线AB的最大距离为d+r，运用三角形的面积公式，即可得到所求最大值．【解答】解：（1）由ρ=2cosθ，可得：ρ2=2ρcosθ，所以x2+y2=2x故在平面直角坐标系中圆的标准方程为：（x﹣1）2+y2=1 …（2）在直角坐标系中A（0，3），B（，）所以|AB|==3，直线AB的方程为：x+y=3所以圆心到直线AB的距离d==，又圆C的半径为1，所以圆C上的点到直线AB的最大距离为+1故△ABP面积的最大值为S==…[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x|﹣|2x﹣1|，记f（x）＞﹣1的解集为M．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）已知a∈M，比较a2﹣a+1与的大小．【考点】不等关系与不等式．【分析】（I ）f （x ）=|x |﹣|2x ﹣1|=，由f （x ，由f （x ）＞﹣1，可得：或或，解出即可得出．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a ＜2，可得：a 2﹣a +1﹣==g （a ）．对a 分类讨论：当0＜a ＜1时，当a=1时，当1＜a ＜2时，即可得出．【解答】解：（I ）f （x ）=|x |﹣|2x ﹣1|=，由f （x ）＞﹣1，可得：或或，解得0＜x ＜2，∴M=（0，2）．（Ⅱ）由（Ⅰ）知：0＜a ＜2，∵a 2﹣a +1﹣==g （a ）．当0＜a ＜1时，g （a ）＜0，∴a 2﹣a +1＜；当a=1时，g （a ）=0，∴a 2﹣a +1=；当1＜a ＜2时，g （a ）＞0，∴a 2﹣a +1＞；综上所述：当0＜a ＜1时，∴a 2﹣a +1＜；当a=1时，a 2﹣a +1=；当1＜a ＜2时，a 2﹣a +1＞．2017-2018学年8月23日。
【名校模拟】2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z2=12+16i，则z的模为（）A．20 B．12 C．D．2．θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．C．D．3．已知全集为R，集合A={x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]4．不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．5．直线l过抛物线E：y2=8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13 B．C．D．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π7．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24] C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24]8．函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．9．平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．10．已知x，y满足，z=xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2 B．k≤2 C．k≥﹣2 D．11．向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2 B．C．1 D．412．y=f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是．14．已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|=．15．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x=2，类似地可得到：=．16．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12.00分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．18．（12.00分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．19．（12.00分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AA1=A1C=AB，A1B=A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．20．（12.00分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．21．（12.00分）设．（1）g（x）=f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知复数z满足z2=12+16i，则z的模为（）A．20 B．12 C．D．【分析】设z=a+bi，由复数z满足z2=12+16i，列方程组求出a2=16，b2=4，由此能求出z的模．【解答】解：设z=a+bi，∵复数z满足z2=12+16i，∴a2+2abi+b2i2=12+16i，∴（a2﹣b2）+2abi=12+16i，∴，解得a2=16，b2=4，∴z的模|z|===2．故选：C．【点评】本题考查复数的模的求法，考查复数的代数形式的运算法则等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．2．θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ=（）A．B．C．D．【分析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求出sinθ和cosθ的值，可得sinθ﹣cosθ的值．【解答】解：∵θ为第三象限角，=，∴tanθ==2，再根据sin2θ+cos2θ=1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ=﹣，cosθ=﹣，∴sinθ﹣cosθ=﹣，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．3．已知全集为R，集合A={x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B=（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]【分析】解出A，B，然后进行补集、交集的运算．【解答】解：A={x|2＜x＜4}，B={x|0＜x≤3}；∴∁R A={x|x≤2，或x≥4}；∴（∁R A）∩B=（0，2]．故选：C．【点评】考查描述法表示集合的概念，以及交集、补集的运算．4．不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．【分析】由题意画出图形，再由测度比为面积比得答案．【解答】解：作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为，区域N得面积为．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为．故选：A．【点评】本题考查几何概型，正确画出区域M，N是关键，是中档题．5．直线l过抛物线E：y2=8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13 B．C．D．【分析】先确定直线的方程，再求出积分区间，确定被积函数，由此利用定积分可求直线l与抛物线围成的封闭图形面积．【解答】解：抛物线y2=8x的焦点坐标为（2，0），∵直线l过抛物线C：y2=8x的焦点且与x轴垂直，∴直线l的方程为x=2，∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为2）dx=4=．故选：C．【点评】本题考查封闭图形的面积，考查直线方程，解题的关键是确定直线的方程，求出积分区间，确定被积函数．6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π【分析】根据三视图知该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S=4×22+2π•12+π•12+π•1•2=16+5π．故选：A．【点评】本题考查了利用三视图求几何体表面积的应用问题，是基础题．7．阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24] C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24]【分析】分析程序的运行过程知该程序运行后输出y的值，讨论x∈[﹣2，1）和x∈[1，4]时，求出y的取值范围．【解答】解：分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[﹣2，1）时，3x2+2∈[2，14]，y=2（3x2+2）﹣4∈[0，24]；当x∈[1，4]时，y=2x﹣4∈[﹣2，4]；∴输出y的取值范围是[﹣2，24]．故选：D．【点评】本题考查了程序框图中的选择结构应用问题，是基础题．8．函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用三角恒等变换化简f（x）的解析式，再利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：∵函数=sinx（sinx+cosx）=•sin2x+sinxcosx=•+sin2x=+（sin2x﹣cos2x）=+•sin（2x﹣），把f（x）的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y=g（x）=+•sin（2x﹣2m﹣）的图象，而g（x）为偶函数，∴2m+=kπ+，k∈Z，∴m=，故选：D．【点评】本题主要考查三角恒等变换，诱导公式的应用，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于中档题．9．平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．【分析】讨论平面α内有n个点，n=3，n=4不成立，进而得到n的最小值为5，再求m的最大值，即可得到所求最小值．【解答】解：∵不在同一条直线三点确定一个平面，∴至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立，当有五个点时成立．∴“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5，三个平面将空间分成m个平面，m的取值为4，6，7，8，即m的最大值为8，可得的最小值为．故选：C．【点评】本题考查满足条件的n的最小值的求法以及平面分空间的个数，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．10．已知x，y满足，z=xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2 B．k≤2 C．k≥﹣2 D．【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出目标函数的最值，利用基本不等式求解k的范围即可．【解答】解：x，y满足的可行域如图：z=xy，当x一定，y最大时，z最大，y一定则x最大时，z最大，所以，最大值一定在线段2x+y=3上取得，最小值在（0，1.5）处取得．z=x（3﹣2x）=﹣2x2+3x，x∈[0，1]，所以z的最大值为：=，最小值为：0，x2﹣kx+1≥0对x∈[0，]上恒成立，可得k≤，因为≥2，此时x=1，1∈，所以则k的取值范围为：k≤2．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，通过数形结合以及基本不等式在最值中的应用．11．向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2 B．C．1 D．4【分析】设=，=，=，求得∠MON=120°，∠MPN=60°，可得O，M，P，N四点共圆C，运用余弦定理和正弦定理，可得圆的直径，即为所求最大值．【解答】解：如图，设=，=，=，，，可得cos∠MON==﹣，即有∠MON=120°，又=﹣，=﹣，，可得cos∠MPN=，即∠MPN=60°，由∠MON+∠MPN=180°，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM=ON=2，MN==2，则圆C的直径为=4，可得最大值为4．故选：D．【点评】本题考查向量的加减运算和数量积的定义，以及夹角，考查四点共圆的判定和正弦定理的运用，属于中档题．12．y=f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．【分析】设g（x）=，可得g（x）在（2，+∞）上单调递减，即可比较大小．【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=，∵（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，∴（x﹣2）（（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，当x＞2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递减，当x＜2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，∴g（4）＜g（3）＜g（），∴＜＜∴f（4）＜2f（3）＜（2+4）f（），故选：C．【点评】本题考查了利用导数研究其单调性、构造函数法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是7920．【分析】根据二项式展开式的二次项系数求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中常数项．【解答】解：二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n=12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1=••=（﹣2）r••，令6﹣=0，解得r=4，∴展开式中常数项是T5=（﹣2）4•=16×=7920．故答案为：7920．【点评】本题考查了二项式展开式的通项公式以及二项式系数的应用问题，是基础题．14．已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|=．【分析】由题意知圆在第四象限内，设出两圆圆心的坐标，利用条件和根与系数的关系求得两圆圆心距|C1C2|的值．【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（1，﹣2），则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为（a，﹣a），（b，﹣b），由于两圆都过点（1，﹣2），则有=|a|，=|b|，∴a和b分别为（x﹣1）2+（x﹣2）2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣6x+5=0 的两个实数根，∴a+b=6，ab=5，∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=16，∴两圆心的距离|C1C2|=•|a﹣b|=4．故答案为：4．【点评】本题考查了直线和圆相切的性质，以及两点间的距离公式、根与系数的关系应用问题．15．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x=2，类似地可得到：=．【分析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．【解答】解：可以令=S（S＞0），可得（）+1=S，即，解得S=，故答案为：．【点评】本题考查类比推理的思想方法，考查从方法上类比，是一道基础题．16．△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．【分析】直接利用正弦定理求出2b=3c，进一步利用余弦定理求出b=3，c=2，进一步利用三角形的面积公式求出结果．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则：sinA=，所以：8sinAsinB=3sinC，解得：2b=3c，设：b=3x，c=2x，a=2y在△ABC中，利用余弦定理：cosA=﹣=，解得：y=2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2=﹣2cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：﹣2，所以：13x2=8x2+5，解得：x=1，所以：b=3，c=2，故：=，故答案为：【点评】本题考查的知识要点：余弦定理和正弦定理的应用，三角形面积公式的应用．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12.00分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）当n=1时，；当n≥2，=，可得，又∵当n=1时也成立，∴；（2），=，∴T n=，=．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．18．（12.00分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．【分析】（1）利用已知条件，直接完成2×2列联表．（2）根据表中数据，求出k2，即可判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关．（3）利用二项分布，转化求解期望与方差即可．【解答】解：（1）（2）由=，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴．【点评】本题考查离散型随机变量的期望与方差的求法，独立检验思想的应用，联列表的应用，考查计算能力．19．（12.00分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，AA1=A1C=AB，A1B=A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．【分析】（1）设AC，BD交于点O，∵可得AC⊥BD，A1O⊥BD，AC∩A1O=O，即BD⊥平面ACC1A1，平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）可得OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，求得平面OBB1的一个法向量和平面OB1C的一个法向量，即可．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B=A1D，O是BD的中点，∴A1O⊥BD，AC∩A1O=O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）解：∵AA1=A1C，O是AC的中点，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AA1=A1C=AB=2，由题得BD=2，，OA1=1，则，，B（0，1，0），A1（0，0，1），设是平面OBB 1的一个法向量，，，由，可得，设是平面OB 1C的一个法向量，则，=，由，可得，可得=，∴二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值为．【点评】题考查线面位置关系的证明，考查空间角等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想，是中档题．20．（12.00分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，求出D点坐标得出A，B坐标的关系，代入斜率公式求出直线AB的斜率得出直线方程；（2）设C，D坐标，讨论直线AB的斜率是否存在，联立方程组，计算|AB|，和O到AB的距离d，则S△ABC=3S△AOB，根据根与系数的关系化简得出结论．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），∵，=（﹣1，﹣），∴，故x1+x2=﹣1，y1+y2=﹣．将A，B带入椭圆方程中，可得，化简可得：，∴=，∴直线AB的方程为：y=﹣（x+）﹣，即x+2y+2=0．（2）证明：设C（m，n），则，①当直线AB的斜率不存在时，n=0，由题意可得C（2，0），，或C（﹣2，0），，，此时；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由（1），∴AB：，即直线AB：=，即3mx+4ny+6=0，⇒3x2+3mx+3﹣4n2=0，∴x1+x2=﹣m，，∵，==，O到AB的距离，∴×．为定值．∴S△ABC【点评】本题考查了椭圆的性质，直线与椭圆的位置关系，属于中档题．21．（12.00分）设．（1）g（x）=f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围．【分析】（1）由f'（x）=lnx﹣3ax+3a，g（x）=lnx﹣3ax+3a，x∈（0，+∞），，通过①g（x）在[1，2]上单调递增，②g（x）在[1，2]上单调递减，转化求解a 的范围．（2）由（1）知，①a≤0，②时，③时，④时，判断导函数的符号，函数的单调性，以及函数的极值，推出a的范围．【解答】解：（1）由f'（x）=lnx﹣3ax+3a，即g（x）=lnx﹣3ax+3a，x∈（0，+∞），，①g（x）在[1，2]上单调递增，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x ∈[1，2]恒成立，得；②g（x）在[1，2]上单调递减，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x ∈[1，2]恒成立，得，由①②可得a的取值范围为；（2）由（1）知，①a≤0，f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；②时，，又f'（x）在上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，上单调递增，f（x）在x=1处取得极小值，符合题意；③时，，f'（x）在（0，1）上单调递增，∴x∈（1，+∞）上单调递减，∴x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意；④时，，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x=1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得．【点评】本题考查函数的单调性以及函数的极值的求法，考查分类讨论以及转化思想的应用．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10.00分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【分析】（1）利用三角函数的基本关系式，转化求解参数方程的普通方程，化简极坐标方程为普通方程．（2）联立直线方程与抛物线方程，列出不等式组求解即可．【解答】解：（1）在曲线M中x2=cos2α+3sin2α，∴曲线M的普通方程为y=x2﹣1，x∈[﹣2，2]．在曲线中：．可得ρcosθ﹣ρsinθ=，∴曲线的直角坐标方程为；x﹣y=，即y=x﹣m．（2）联立，x∈[﹣2，2]有两解，令，在[﹣2，2]上有两解，∴，∴．【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查计算能力．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．【分析】（1）分别讨论x≥2，1＜x＜2，x≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得；（2）讨论m=0，m≠0，由绝对值不等式的性质可得f（x）≥4，再讨论x≥2，1＜x＜2，x≤1时，解不等式求并集可得范围．【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|≤x+3，可得①，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0，6]；（2）①当m=0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即对m恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥4，由x≥2，2x﹣3≥4，解得x≥，即为x≥；1＜x＜2，x﹣1+2﹣x≥4，解得x∈∅；x≤1时，3﹣2x≥4，解得x≤﹣；综上可得．【点评】本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，考查分类讨论思想方法和转化思想、运算能力，属于中档题．。
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)(解析版)
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24] 8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．412．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知复数z满足z2＝12+16i，则z的模为（）A．20B．12C．D．【解答】解：设z＝a+bi，∵复数z满足z2＝12+16i，∴a2+2abi+b2i2＝12+16i，∴（a2﹣b2）+2abi＝12+16i，∴，解得a2＝16，b2＝4，∴z的模|z|＝＝＝2．故选：C．2．（5分）θ为第三象限角，，则sinθ﹣cosθ＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵θ为第三象限角，＝，∴tanθ＝＝2，再根据sin2θ+cos2θ＝1，sinθ＜0，cosθ＜0，∴sinθ＝﹣，cosθ＝﹣，∴sinθ﹣cosθ＝﹣，故选：B．3．（5分）已知全集为R，集合A＝{x|﹣x2+6x﹣8＞0}，，则（∁R A）∩B＝（）A．（﹣∞，2]B．（﹣∞，3]C．（0，2]D．[2，3]【解答】解：A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|0＜x≤3}；∴∁R A＝{x|x≤2，或x≥4}；∴（∁R A）∩B＝（0，2]．故选：C．4．（5分）不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A．B．C．D．【解答】解：作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为，区域N得面积为．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为．故选：A．5．（5分）直线l过抛物线E：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A．13B．C．D．【解答】解：抛物线y2＝8x的焦点坐标为（2，0），∵直线l过抛物线C：y2＝8x的焦点且与x轴垂直，∴直线l的方程为x＝2，∴直线l与抛物线围成的封闭图形面积为2）dx＝4＝．故选：C．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A．16+5πB．16+3πC．20+4πD．20+5π【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S＝4×22+2π•12+π•12+π•1•2＝16+5π．故选：A．7．（5分）阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[﹣2，4]时，则输出y的范围是（）A．[﹣8，4]B．[0，24]C．[﹣2，4]∪（6，24]D．[﹣2，24]【解答】解：分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[﹣2，1）时，3x2+2∈[2，14]，y＝2（3x2+2）﹣4∈[0，24]；当x∈[1，4]时，y＝2x﹣4∈[﹣2，4]；∴输出y的取值范围是[﹣2，24]．故选：D．8．（5分）函数的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y ＝g（x）为偶函数，则m的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数＝sin x（sin x+cos x）＝•sin2x+sin x cos x＝•+sin2x＝+（sin2x﹣cos2x）＝+•sin（2x﹣），把f（x）的图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位后，得到y＝g（x）＝+•sin（2x﹣2m﹣）的图象，而g（x）为偶函数，∴2m+＝kπ+，k∈Z，∴m＝，故选：D．9．（5分）平面α内有n个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α∥β，三个平面将空间分成m个平面，则的最小值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵不在同一条直线三点确定一个平面，∴至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立，当有五个点时成立．∴“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5，三个平面将空间分成m个平面，m的取值为4，6，7，8，即m的最大值为8，可得的最小值为．故选：C．10．（5分）已知x，y满足，z＝xy的最小值、最大值分别为a，b，且x2﹣kx+1≥0对x∈[a，b]上恒成立，则k的取值范围为（）A．﹣2≤k≤2B．k≤2C．k≥﹣2D．【解答】解：x，y满足的可行域如图：z＝xy，当x一定，y最大时，z最大，y 一定则x最大时，z最大，所以，最大值一定在线段2x+y＝3上取得，最小值在（0，1.5）处取得．z＝x（3﹣2x）＝﹣2x2+3x，x∈[0，1]，所以z的最大值为：＝，最小值为：0，x2﹣kx+1≥0对x∈[0，]上恒成立，可得k≤，因为≥2，此时x＝1，1∈，所以则k的取值范围为：k≤2．故选：B．11．（5分）向量，，满足：，，，则最大值为（）A．2B．C．1D．4【解答】解：如图，设＝，＝，＝，，，可得cos∠MON＝＝﹣，即有∠MON＝120°，又＝﹣，＝﹣，，可得cos∠MPN＝，即∠MPN＝60°，由∠MON+∠MPN＝180°，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM＝ON＝2，MN＝＝2，则圆C的直径为＝4，可得最大值为4．故选：D．12．（5分）y＝f（x）的导函数满足：当x≠2时，（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，则（）A．B．C．D．【解答】解：设g（x）＝，∴g′（x）＝，∵（x﹣2）（f（x）+2f'（x）﹣xf'（x））＞0，∴（x﹣2）（（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，当x＞2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（2，+∞）上单调递减，当x＜2时，（x﹣2）f'（x）﹣f（x））＞0，即g′（x）＞0，∴g（x）在（﹣∞，2）上单调递增，∴g（4）＜g（3）＜g（），∴＜＜∴f（4）＜2f（3）＜（2+4）f（），故选：C．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13．（5分）二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是7920．【解答】解：二项式展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n＝12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1＝••＝（﹣2）r••，令6﹣＝0，解得r＝4，∴展开式中常数项是T5＝（﹣2）4•＝16×＝7920．故答案为：7920．14．（5分）已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点（1，﹣2），则|C1C2|＝．【解答】解：两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点（1，﹣2），则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为（a，﹣a），（b，﹣b），由于两圆都过点（1，﹣2），则有＝|a|，＝|b|，∴a和b分别为（x﹣1）2+（x﹣2）2＝x2的两个实数根，即a和b分别为x2﹣6x+5＝0 的两个实数根，∴a+b＝6，ab＝5，∴（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab＝16，∴两圆心的距离|C1C2|＝•|a﹣b|＝4．故答案为：4．15．（5分）在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过确定出来x＝2，类似地可得到：＝．【解答】解：可以令＝S（S＞0），可得（）+1＝S，即，解得S＝，故答案为：．16．（5分）△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则△ABC面积为．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且，，，则：sin A＝，所以：8sin A sin B＝3sin C，解得：2b＝3c，设：b＝3x，c＝2x，a＝2y在△ABC中，利用余弦定理：cos A＝﹣＝，解得：y＝2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2＝﹣2cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：﹣2，所以：13x2＝8x2+5，解得：x＝1，所以：b＝3，c＝2，故：＝，故答案为：三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17．（12分）数列{a n}满足．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设，求{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）当n＝1时，；当n≥2，＝，可得，又∵当n＝1时也成立，∴；（2），＝，∴T n＝，＝．18．（12分）甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：．【解答】解：（1）（2）由＝，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴．19．（12分）平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，AA1＝A1C＝AB，A1B＝A1D．（1）证明：平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）设BD与AC交于O点，求二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值．【解答】（1）证明：设AC，BD交于点O，∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD，又∵A1B＝A1D，O是BD的中点，∴A1O⊥BD，AC∩A1O＝O，∴BD⊥平面ACC1A1，又∵BD⊂平面BDD1B1，∴平面ACC1A1⊥平面BDD1B1；（2）解：∵AA1＝A1C，O是AC的中点，∴OA1⊥AC，OA1，OA，OB两两垂直，以OA，OB，OA1分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系如图所示，设AA1＝A1C＝AB＝2，由题得BD＝2，，OA1＝1，则，，B（0，1，0），A1（0，0，1），设是平面OBB1的一个法向量，，，由，可得，设是平面OB1C的一个法向量，则，＝，由，可得，可得＝，∴二面角B﹣OB1﹣C平面角正弦值为．20．（12分）已知椭圆E：，点A、B、C都在椭圆E上，O为坐标原点，D为AB中点，且．（1）若点C的坐标为，求直线AB的方程；（2）求证：△ABC面积为定值．【解答】解：（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），∵，＝（﹣1，﹣），∴，故x1+x2＝﹣1，y1+y2＝﹣．将A，B带入椭圆方程中，可得，化简可得：，∴＝，∴直线AB的方程为：y＝﹣（x+）﹣，即x+2y+2＝0．（2）证明：设C（m，n），则，①当直线AB的斜率不存在时，n＝0，由题意可得C（2，0），，或C（﹣2，0），，，此时；②当直线AB的斜率存在时，n≠0，由（1），∴AB：，即直线AB：＝，即3mx+4ny+6＝0，⇒3x2+3mx+3﹣4n2＝0，∴x1+x2＝﹣m，，∵，＝＝，O到AB的距离，∴×．∴S△ABC为定值．21．（12分）设．（1）g（x）＝f'（x）在[1，2]上单调，求a的取值范围；（2）已知f（x）在x＝1处取得极小值，求a的取值范围．【解答】解：（1）由f'（x）＝lnx﹣3ax+3a，即g（x）＝lnx﹣3ax+3a，x∈（0，+∞），，①g（x）在[1，2]上单调递增，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得；②g（x）在[1，2]上单调递减，∴对x∈[1，2]恒成立，即对x∈[1，2]恒成立，得，由①②可得a的取值范围为；（2）由（1）知，①a≤0，f'（x）在（0，+∞）上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，x∈（1，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，∴f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；②时，，又f'（x）在上单调递增，∴x∈（0，1）时，f'（x）＜0，∴时，f'（x）＞0，∴f（x）在（0，1）上单调递减，上单调递增，f（x）在x＝1处取得极小值，符合题意；③时，，f'（x）在（0，1）上单调递增，∴x∈（1，+∞）上单调递减，∴x∈（0，+∞）时，f'（x）≤0，f（x）单调递减，不合题意；④时，，当时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）在x＝1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线M的参数方程为：（α为参数），曲线N的极坐标方程为．（1）求曲线M的普通方程与曲线N的直角坐标方程；（2）曲线M与曲线N有两个公共点，求m的取值范围．【解答】解：（1）在曲线M中x2＝cos2α+3sin2α，∴曲线M的普通方程为y＝x2﹣1，x∈[﹣2，2]．在曲线中：．可得ρcosθ﹣ρsinθ＝，∴曲线的直角坐标方程为；x﹣y＝，即y＝x﹣m．（2）联立，x∈[﹣2，2]有两解，令，在[﹣2，2]上有两解，∴，∴．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|．（1）解不等式：f（x）≤x+3；（2）不等式|m|•f（x）≥|m+2|﹣|3m﹣2|对任意m∈R恒成立，求x的范围．【解答】解：（1）|x﹣1|+|x﹣2|≤x+3，可得①，②⇒1＜x＜2，③⇒0≤x≤1，由①②③可得x∈[0，6]；（2）①当m＝0时，0≥0，∴x∈R；②当m≠0时，即对m恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴f（x）＝|x﹣1|+|x﹣2|≥4，由x≥2，2x﹣3≥4，解得x≥，即为x≥；1＜x＜2，x﹣1+2﹣x≥4，解得x∈∅；x≤1时，3﹣2x≥4，解得x≤﹣；综上可得．。
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷(理科)
2018年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数z满足z2=12+16i，则z的模为()A.20B.12C.2√5D.2√3【答案】C【考点】复数的模复数代数形式的乘除运算复数相等的充要条件【解析】设z=a+bi，由复数z满足z2=12+16i，列方程组求出a2=16，b2=4，由此能求出z的模．【解答】解：设z=a+bi，∵复数z满足z2=12+16i，∴a2+2abi+b2i2=12+16i，∴(a2−b2)+2abi=12+16i，∴{a2−b2=12,2ab=16,解得a2=16，b2=4，∴z的模|z|=√a2+b2=√16+4=2√5．故选C.2. θ为第三象限角，tan(θ−π4)=13，则sinθ−cosθ=()A.−35√5 B.−15√5 C.35√5 D.15√5【答案】B【考点】三角函数【解析】利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，求出sinθ和cosθ的值，可得sinθ−cosθ的值．【解答】∵θ为第三象限角，tan(θ−π4)=13=tanθ−11+tanθ，∴tanθ=sinθcosθ=2，再根据sin2θ+cos2θ=1，sinθ<0，cosθ<0，∴sinθ=−2√55，cosθ=−√55，∴sinθ−cosθ=−√55，3. 已知全集为R，集合A={x|−x2+6x−8>0}，B={x|log2x3≤0}，则(∁R A)∩B=()A.(−∞, 2]B.(−∞, 3]C.(0, 2]D.[2, 3]【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】解出A，B，然后进行补集、交集的运算．【解答】A={x|2<x<4}，B={x|0<x≤3}；∴∁R A={x|x≤2, 或x≥4}；∴(∁R A)∩B=(0, 2]．4. 不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M，函数y=√2−x2的图象与x轴所围成的区域为N．向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为（）A.π8B.π4C.2πD.π16【答案】A【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由题意画出图形，再由测度比为面积比得答案．【解答】作出不等式|x|+|y|≤2所表示的区域为M、函数y=√2−x2的图象与x轴所围成的区域为N如图．正方形区域M得面积为2√2×2√2=8，区域N得面积为12×π×(√2)2=π．由测度比为面积比，可得向M内随机投一个点，则该点落到N内概率为π8．5. 直线l过抛物线E:y2=8x的焦点且与x轴垂直，则直线l与E所围成的面积等于（）A.13B.113C.323D.283【答案】C【考点】直线与抛物线的位置关系【解析】此题暂无解析【解答】解：由题意，得直线l的方程为x=2，将y2=8x化为y=±2√2x．如图所示，由定积分的几何意义，得所求阴影部分面积为S=2∫22√2xdx=4√2∫x 1 22dx=4√2×(23x32)|2=4√2×23×2√2=323．故选C．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A.16+5πB.16+3πC.20+4πD.20+5π【答案】A【考点】由三视图求体积【解析】根据三视图知该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，画出图形结合图形求出它的表面积．【解答】根据几何体的三视图知，该几何体是正方体与半圆柱的组合体，其中正方体的上部挖去一个半球体，如图所示；则该几何体表面积为S=4×22+2π⋅12+π⋅12+π⋅1⋅2=16+5π．7. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序．当输入的x∈[−2, 4]时，则输出y的范围是（）A.[−8, 4]B.[0, 24]C.[−2, 4]∪(6, 24]D.[−2, 24]【答案】D【考点】程序框图【解析】分析程序的运行过程知该程序运行后输出y的值，讨论x∈[−2, 1)和x∈[1, 4]时，求出y的取值范围．【解答】分析程序的运行过程知，该程序运行后输出y的值；当x∈[−2, 1)时，3x2+2∈[2, 14]，y=2(3x2+2)−4∈[0, 24]；当x∈[1, 4]时，y=2x−4∈[−2, 4]；∴输出y的取值范围是[−2, 24]．8. 函数y=sinx∗sin(x+π3)的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后，得到y=g(x)为偶函数，则m的最小值为（）A.π12B.π2C.π3D.π6【答案】D【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换【解析】由题意利用三角恒等变换化简f(x)的解析式，再利用诱导公式，函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，得出结论．【解答】∵函数y=sinx∗sin(x+π3)=sinx(12sinx+√32cosx)=12⋅sin2x+√32sinxcosx=12⋅1−cos2x2+√34sin2x=14+12(√32sin2x−12cos2x)=14+12⋅sin(2x−π6)，把f(x)的图象沿x轴向右平移m(m>0)个单位后，得到y=g(x)=14+12⋅sin(2x−2m−π6)的图象，而g(x)为偶函数，∴ 2m +π6=kπ+π2，k ∈Z ，∴ m =π6，9. 平面α内有n 个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出α // β，三个平面将空间分成m 个平面，则nm 的最小值为（ ） A.37 B.57C.58D.38【答案】 C【考点】函数的最值及其几何意义 平面的基本性质及推论 【解析】讨论平面α内有n 个点，n =3，n =4不成立，进而得到n 的最小值为5，再求m 的最大值，即可得到所求最小值． 【解答】∵ 不在同一条直线三点确定一个平面， ∴ 至少有三个．当有三个点时，如果在平面β的异侧，则不成立；当四个点时，如果在平面β的异侧，且均平行于平面β，也不成立， 当有五个点时成立．∴ “这n 个点到平面β的距离均相等”是“α // β”的充要条件，则n 的最小值为5， 三个平面将空间分成m 个平面，m 的取值为4，6，7，8， 即m 的最大值为8， 可得nm 的最小值为58．10. 已知x ，y 满足{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3 ，z =xy 的最小值、最大值分别为a ，b ，且x 2−kx +1≥0对x ∈[a, b]上恒成立，则k 的取值范围为（ ） A.−2≤k ≤2 B.k ≤2C.k ≥−2D.k ≤14572【答案】B【考点】 简单线性规划 【解析】作出不等式组对应的平面区域，求出目标函数的最值，利用基本不等式求解k 的范围即可． 【解答】x ，y 满足{x ≥0x +2y ≥32x +y ≤3 的可行域如图：z =xy ，当x 一定，y 最大时，z 最大，y 一定则x最大时，z 最大，所以，最大值一定在线段2x +y =3上取得，最小值在(0, 1.5)处取得． z =x(3−2x)=−2x 2+3x ，x ∈[0, 1]，所以z 的最大值为：−2×(34)2+3×34=98，最小值为：0，x2−kx+1≥0对x∈[0, 98]上恒成立，可得k≤x+1x ，因为x+1x≥2，此时x=1，1∈[0,98brack，所以则k的取值范围为：k≤2．11. 向量m→，n→，p→满足：|m→|=|n→|=2，m→∗n→=−2，(m→−p→)∗(n→−p→)=12|m→−p→|∗|n→−p→|，则|p→|最大值为（）A.2B.√2C.1D.4【答案】D【考点】平面向量数量积的性质及其运算律【解析】设OM→=m→，ON→=n→，OP→=p→，求得∠MON=120∘，∠MPN=60∘，可得O，M，P，N四点共圆C，运用余弦定理和正弦定理，可得圆的直径，即为所求最大值．【解答】如图，设OM→=m→，ON→=n→，OP→=p→，|m→|=|n→|=2，m→∗n→=−2，可得cos∠MON=−22×2=−12，即有∠MON=120∘，又PM→=m→−p→，PN→=n→−p→，(m→−p→)∗(n→−p→)=12|m→−p→|∗|n→−p→|，可得cos∠MPN=12，即∠MPN=60∘，由∠MON+∠MPN=180∘，可得O，M，P，N四点共圆C，在△MON中，OM=ON=2，MN=√4+4−2×2×2×(−12)=2√3，则圆C的直径为2√3sin120∘=4，可得|p→|最大值为4．12. y=f(x)的导函数满足：当x≠2时，(x−2)（f(x)+2f′(x)−xf′(x)）>0，则（）A.f(4)>(2√5+4)f(√5)>2f(3)B.f(4)>2f(3)>(2√5+4)f(√5)C.(2√5+4)f(√5)>2f(3)>f(4)D.2f(3)>f(4)>(2√5+4)f(√5)【答案】C【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】设g(x)=f(x)x−2，可得g(x)在(2, +∞)上单调递减，即可比较大小．【解答】设g(x)=f(x)x−2，∴g′(x)=(x−2)f′(x)−f(x)(x−2)2，∵(x−2)（f(x)+2f′(x)−xf′(x)）>0，∴(x−2)（(x−2)f′(x)−f(x)）<0，当x>2时，(x−2)f′(x)−f(x)）<0，即g′(x)<0，∴g(x)在(2, +∞)上单调递减，当x<2时，(x−2)f′(x)−f(x)）>0，即g′(x)>0，∴g(x)在(−∞, 2)上单调递增，∴g(4)<g(3)<g(√5)，∴f(4)4−2<f(3)3−1<√5)√5−2∴f(4)<2f(3)<(2√5+4)f(√5)，二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）二项式(√x−2x)n展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是________．【答案】7920【考点】二项式定理的应用二项式系数的性质【解析】根据二项式展开式的二次项系数求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式求得展开式中常数项．【解答】二项式(√x−2x)n展开式中，只有第7项的二次项系数最大，∴第7项是中间项，展开式共有13项，则n=12；∴二项式展开式的通项公式为T r+1=C12r⋅(√x)12−r⋅(−2x)r=(−2)r⋅C12r⋅x6−3r2，令6−3r2=0，解得r=4，∴展开式中常数项是T5=(−2)4⋅C124=16×12×11×10×91×2×3×4=7920．已知两个圆C1，C2与两坐标系都相切，且都过点(1, −2)，则|C1C2|=________．【答案】4√2【考点】圆与圆的位置关系及其判定【解析】由题意知圆在第四象限内，设出两圆圆心的坐标，利用条件和根与系数的关系求得两圆圆心距|C1C2|的值．【解答】两圆C1、C2都和两坐标轴相切，且都过点(1, −2)，则圆在第四象限内；设两个圆的圆心分别为(a, −a)，(b, −b)，由于两圆都过点(1, −2)，则有√(a−1)2+(−a+2)2=|a|，√(b−1)2+(−b+2)2=|b|，∴a和b分别为(x−1)2+(x−2)2=x2的两个实数根，即a和b分别为x2−6x+5=0的两个实数根，∴a+b=6，ab=5，∴(a−b)2=(a+b)2−4ab=16，∴两圆心的距离|C1C2|=√2⋅|a−b|=4√2．在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想．比如在√2+√2+√2+⋯中“…”即代表无限次重复，但原数中有个定数x，这可以通过√2+x=x确定出来x=2，类似地可得到：1+13+132+⋯+13n−1+⋯=________．【答案】32【考点】类比推理【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根），可得要求的式子．【解答】可以令1+13+132+⋯+13n−1+⋯=S(S>0)，可得13(1+13+132+⋯+13n−1+⋯)+1=S，即13S+1=S，解得S=32，△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且AD=√102，8asinB=3√15c，cosA=−14，则△ABC面积为________．【答案】3√154【考点】正弦定理【解析】直接利用正弦定理求出2b=3c，进一步利用余弦定理求出b=3，c=2，进一步利用三角形的面积公式求出结果．【解答】在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c．D是BC边的中点，且AD=√102，8asinB=3√15c，cosA=−14，则：sinA=√154，所以：8sinAsinB=3√15sinC，解得：2b=3c，设：b=3x，c=2x，a=2y在△ABC中，利用余弦定理：cosA=−14=4x2+9x2−4y22∗2x∗3x，解得：y=2x．在△ABD中，利用余弦定理：4x2=4x2+104−2∗2x∗√102cos∠BDA，在△ACD中，利用余弦定理：9x2=4x2+104−2∗2x∗√102cos∠ADC，所以：13x2=8x2+5，解得：x=1，所以：b=3，c=2，故：S△ABC=12∗2∗3∗√154=3√154，三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）数列{a n}满足a1+2a2+3a3+⋯+na n=2−n+22．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=a n(1+a n)∗(1+a n+1)，求{b n}的前n项和T n．【答案】当n=1时，a1=2−32=12；当n≥2，na n=2−n+22n −(2−n+12n−1)=n2n，可得a n=12n，又∵当n=1时也成立，∴a n=12n；b n=12n(1+12n)(1+12n+1)，=2n+1(2n+1)(2n+1+1)=2(12n+1−12n+1+1)，∴T n=2(12+1−122+1+122+1−123+1+⋯+12n+1−12n+1+1)，=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1．【考点】数列的求和【解析】（1）直接利用递推关系式求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】当n=1时，a1=2−32=12；当n≥2，na n=2−n+22n −(2−n+12n−1)=n2n，可得a n=12n，又∵当n=1时也成立，∴a n=12n；b n=12n(1+12n)(1+12n+1)，=2n+1(2n+1)(2n+1+1)=2(12n+1−12n+1+1)，∴T n=2(12+1−12+1+12+1−12+1+⋯+12+1−12+1)，=2(13−12n+1+1)=23−22n+1+1．甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为711，并且男生和女生不及格人数相等．（1）完成如下2×2列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X，求X的数学期望和方差．附：K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)．【答案】由K 2=110(40×20−30×20)260×50×70×40=1121≈0.524<2.706，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；由题意可知XB(3,411)，∴ EX =n ⋅p =1211，∴ DX =np(1−p)=3⋅411⋅711=84121． 【考点】 独立性检验离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 【解析】（1）利用已知条件，直接完成2×2列联表．（2）根据表中数据，求出k 2，即可判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关．（3）利用二项分布，转化求解期望与方差即可． 【解答】由K 2=110(40×20−30×20)260×50×70×40=1121≈0.524<2.706，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；由题意可知XB(3,411)，∴ EX =n ⋅p =1211，∴ DX =np(1−p)=3⋅411⋅711=84121．平行六面体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 为菱形，∠BAD =60∘，AA 1=A 1C =AB ，A 1B =A 1D ．（2）设BD 与AC 交于O 点，求二面角B −OB 1−C 平面角正弦值． 【答案】证明：设AC ，BD 交于点O ，∵ 底面ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，又∵ A 1B =A 1D ，O 是BD 的中点，∴ A 1O ⊥BD ，AC ∩A 1O =O ，∴ BD ⊥平面ACC 1A 1，又∵ BD ⊂平面BDD 1B 1，∴ 平面ACC 1A 1⊥平面BDD 1B 1；∵ AA 1=A 1C ，O 是AC 的中点，∴ OA 1⊥AC ，OA 1，OA ，OB 两两垂直， 以OA ，OB ，OA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设AA 1=A 1C =AB =2，由题得BD =2，AC =2√3，OA 1=1， 则A(√3,0,0)，C(−√3,0,0)，B(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， 设m →=(x,y,z)是平面OBB 1的一个法向量， OB →=(0,1,0)，BB 1→=AA 1→=(−√3,0,1)，由{m →⋅OB →=0m →⋅BB 1→=0 ⇒{y =0−√3x +z =0 ，可得m →=(1,0,√3)， 设n →=(x,y,z)是平面OB 1C 的一个法向量，则OC →=(−√3,0,0)，OB 1→=OB →+BB 1→=OB →+AA 1→=(0,1,0)+(−√3,0,1)=(−√3,1,1)， 由{n →⋅OC →=0n →⋅OB 1→=0 ⇒{−√3x =0−√3x +y +z =0 ，可得n →=(0,1,−1)， 可得cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√32⋅√2=−√64， ∴ 二面角B −OB 1−C 平面角正弦值为√64)=√104．【考点】平面与平面垂直二面角的平面角及求法 【解析】（1）设AC ，BD 交于点O ，∵ 可得AC ⊥BD ，A 1O ⊥BD ，AC ∩A 1O =O ，即BD ⊥平面ACC 1A 1，平面ACC 1A 1⊥平面BDD 1B 1；（2）可得OA 1，OA ，OB 两两垂直，以OA ，OB ，OA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，求得平面OBB 1的一个法向量和平面OB 1C 的一个法向量，即可． 【解答】证明：设AC ，BD 交于点O ，∵ 底面ABCD 为菱形，∴ AC ⊥BD ，ACC 1A 1，又∵ BD ⊂平面BDD 1B 1，∴ 平面ACC 1A 1⊥平面BDD 1B 1；∵ AA 1=A 1C ，O 是AC 的中点，∴ OA 1⊥AC ，OA 1，OA ，OB 两两垂直， 以OA ，OB ，OA 1分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示， 设AA 1=A 1C =AB =2，由题得BD =2，AC =2√3，OA 1=1， 则A(√3,0,0)，C(−√3,0,0)，B(0, 1, 0)，A 1(0, 0, 1)， 设m →=(x,y,z)是平面OBB 1的一个法向量， OB →=(0,1,0)，BB 1→=AA 1→=(−√3,0,1)，由{m →⋅OB →=0m →⋅BB 1→=0 ⇒{y =0−√3x +z =0 ，可得m →=(1,0,√3)， 设n →=(x,y,z)是平面OB 1C 的一个法向量，则OC →=(−√3,0,0)，OB 1→=OB →+BB 1→=OB →+AA 1→=(0,1,0)+(−√3,0,1)=(−√3,1,1)， 由{n →⋅OC →=0n →⋅OB 1→=0 ⇒{−√3x =0−√3x +y +z =0 ，可得n →=(0,1,−1)， 可得cos <m →,n →>=m →⋅n→|m →||n →|=√32⋅√2=−√64， ∴ 二面角B −OB 1−C 平面角正弦值为√64)=√104．已知椭圆E:x 24+y 23=1，点A 、B 、C 都在椭圆E 上，O 为坐标原点，D 为AB 中点，且CO →=2OD →．（1）若点C 的坐标为(1,32)，求直线AB 的方程；（2）求证：△ABC 面积为定值． 【答案】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，D(x 0, y 0)，∵ CO →=2OD →，CO →=(−1, −32)，∴ D(−12,−34)，故x 1+x 2=−1，y 1+y 2=−32．x 2y 2∴ k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−34×1kOD=−12，∴ 直线AB 的方程为：y =−12(x +12)−34，即x +2y +2=0． 证明：设C(m, n)，则D(−m 2,−n2)， ①当直线AB 的斜率不存在时，n =0，由题意可得C(2, 0)，A(−1,−32)，B(−1,32)或C(−2, 0)，A(1,−32)，B(1,32)， 此时S △ABC =12∗3∗3=92；②当直线AB 的斜率存在时，n ≠0，由（1）k AB =−34∗1k OC=−3m4n ，∴ AB:y +n2=−3m4n (x +m2)，即直线AB:y =−3m4nx −3m 2+4n 28n=−3m4n x −32n ，即3mx +4ny +6=0，{3mx +4ny +6=03x 2+4y 2=12 ⇒3x 2+3mx +3−4n 2=0， ∴ x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1−4n 23，∵ CO →=2OD →，|AB|=√1+9m 216n 2√m 2−4(1−4n 23)=√9m 2+16n 216n 2√4−43n 2−4+16n 23=12√9m 2+16n 2，O 到AB 的距离d =22，∴ S △ABC =3S △OAB =3×12×12√9m 2+16n 2√9m 2+16n 2=92． ∴ S △ABC 为定值．【考点】 椭圆的应用直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，代入椭圆方程，求出D 点坐标得出A ，B 坐标的关系，代入斜率公式求出直线AB 的斜率得出直线方程；（2）设C ，D 坐标，讨论直线AB 的斜率是否存在，联立方程组，计算|AB|，和O 到AB 的距离d ，则S △ABC =3S △AOB ，根据根与系数的关系化简得出结论． 【解答】设A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)，D(x 0, y 0)，∵ CO →=2OD →，CO →=(−1, −32)，∴ D(−12,−34)，故x 1+x 2=−1，y 1+y 2=−32．将A ，B 带入椭圆方程中，可得{x 124+y 123=1 ，∴ k AB =y 1−y 2x 1−x 2=−3(x 1+x 2)4(y 1+y 2)=−34×1kOD=−12，∴ 直线AB 的方程为：y =−12(x +12)−34，即x +2y +2=0． 证明：设C(m, n)，则D(−m 2,−n2)， ①当直线AB 的斜率不存在时，n =0，由题意可得C(2, 0)，A(−1,−32)，B(−1,32)或C(−2, 0)，A(1,−32)，B(1,32)， 此时S △ABC =12∗3∗3=92；②当直线AB 的斜率存在时，n ≠0，由（1）k AB =−34∗1k OC=−3m4n ，∴ AB:y +n2=−3m4n (x +m2)，即直线AB:y =−3m4nx −3m 2+4n 28n=−3m4n x −32n ，即3mx +4ny +6=0，{3mx +4ny +6=03x 2+4y 2=12 ⇒3x 2+3mx +3−4n 2=0， ∴ x 1+x 2=−m ，x 1x 2=1−4n 23，∵ CO →=2OD →，|AB|=√1+9m 216n 2√m 2−4(1−4n 23)=√9m 2+16n 216n 2√4−43n 2−4+16n 23=12√9m 2+16n 2，O 到AB 的距离d =22，∴ S △ABC =3S △OAB =3×12×12√9m 2+16n 2√9m 2+16n 2=92． ∴ S △ABC 为定值．设f(x)=xlnx −32ax 2+(3a −1)x ．（1）g(x)=f ′(x)在[1, 2]上单调，求a 的取值范围；（2）已知f(x)在x =1处取得极小值，求a 的取值范围． 【答案】由f ′(x)=lnx −3ax +3a ，即g(x)=lnx −3ax +3a ，x ∈(0, +∞)，g ′(x)=1x −3a ，①g(x)在[1, 2]上单调递增，∴ 1x −3a ≥0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1, 2]恒成立，得a ≤16；②g(x)在[1, 2]上单调递减，∴ 1x −3a ≤0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1, 2]由①②可得a 的取值范围为(−∞,16]∪[13,+∞)；由（1）知，①a ≤0，f ′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴ x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)在x =1处取得极小值，符合题意； ②0<a <13时，13a >1，又f ′(x)在(0,13a )上单调递增，∴ x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0， ∴ x ∈(1,13a )时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, 1)上单调递减，(1,13a )上单调递增， f(x)在x =1处取得极小值，符合题意；③a =13时，13a =1，f ′(x)在(0, 1)上单调递增，∴ x ∈(1, +∞)上单调递减， ∴ x ∈(0, +∞)时，f ′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；④a >13时，0<13a <1，当x ∈(13a ,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1, +∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴ f(x)在x =1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得a ∈(−∞,13)． 【考点】利用导数研究函数的极值 利用导数研究函数的单调性 【解析】（1）由f ′(x)=lnx −3ax +3a ，g(x)=lnx −3ax +3a ，x ∈(0, +∞)，g ′(x)=1x −3a ，通过①g(x)在[1, 2]上单调递增，②g(x)在[1, 2]上单调递减，转化求解a 的范围． （2）由（1）知，①a ≤0，②0<a <13时，③a =13时，④a >13时，判断导函数的符号，函数的单调性，以及函数的极值，推出a 的范围． 【解答】由f ′(x)=lnx −3ax +3a ，即g(x)=lnx −3ax +3a ，x ∈(0, +∞)，g ′(x)=1x −3a ，①g(x)在[1, 2]上单调递增，∴ 1x −3a ≥0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≤13x 对x ∈[1, 2]恒成立，得a ≤16；②g(x)在[1, 2]上单调递减，∴ 1x −3a ≤0对x ∈[1, 2]恒成立，即a ≥13x 对x ∈[1, 2]恒成立，得a ≥13，由①②可得a 的取值范围为(−∞,16]∪[13,+∞)；由（1）知，①a ≤0，f ′(x)在(0, +∞)上单调递增，∴ x ∈(0, 1)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减， x ∈(1, +∞)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，∴ f(x)在x =1处取得极小值，符合题意；∴ x ∈(1,13a )时，f ′(x)>0，∴ f(x)在(0, 1)上单调递减，(1,13a )上单调递增， f(x)在x =1处取得极小值，符合题意；③a =13时，13a =1，f ′(x)在(0, 1)上单调递增，∴ x ∈(1, +∞)上单调递减， ∴ x ∈(0, +∞)时，f ′(x)≤0，f(x)单调递减，不合题意；④a >13时，0<13a <1，当x ∈(13a ,1)时，f ′(x)>0，f(x)单调递增，当x ∈(1, +∞)时，f ′(x)<0，f(x)单调递减，∴ f(x)在x =1处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得a ∈(−∞,13)．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]已知曲线M 的参数方程为：{x =cosα−√3sinαy =2sin 2α−2√3sinαcosα （α为参数），曲线N 的极坐标方程为ρcos(θ+π4)=m ．（1）求曲线M 的普通方程与曲线N 的直角坐标方程；（2）曲线M 与曲线N 有两个公共点，求m 的取值范围． 【答案】在曲线M 中x 2=cos 2α+3sin 2α−2√3sinαcosα=1+2sin 2α−2√3sinαcosα=1+y ， ∴ 曲线M 的普通方程为y =x 2−1，x ∈[−2, 2]． 在曲线中：ρcos(θ+π4)=m ．可得ρcosθ−ρsinθ=√2m ，∴ 曲线的直角坐标方程为；x −y =√2m ，即y =x −√2m ．联立{y =x −√2my =x 2−1⇒x 2−x +√2m −1=0，x ∈[−2, 2]有两解， 令g(x)=x 2−x +√2m −1，在[−2, 2]上有两解， ∴ {△=1−4(√2m −1)>012∈[−2,2]g(2)=1+√2m ≥0g(−2)=5+√2m ≥0 ，∴ m ∈[−√22,5√28)．【考点】参数方程与普通方程的互化 圆的极坐标方程 【解析】（1）利用三角函数的基本关系式，转化求解参数方程的普通方程，化简极坐标方程为普通方程．（2）联立直线方程与抛物线方程，列出不等式组求解即可．在曲线M 中x 2=cos 2α+3sin 2α−2√3sinαcosα=1+2sin 2α−2√3sinαcosα=1+y ， ∴ 曲线M 的普通方程为y =x 2−1，x ∈[−2, 2]． 在曲线中：ρcos(θ+π4)=m ．可得ρcosθ−ρsinθ=√2m ，∴ 曲线的直角坐标方程为；x −y =√2m ，即y =x −√2m ．联立{y =x −√2my =x 2−1⇒x 2−x +√2m −1=0，x ∈[−2, 2]有两解， 令g(x)=x 2−x +√2m −1，在[−2, 2]上有两解， ∴ {△=1−4(√2m −1)>012∈[−2,2]g(2)=1+√2m ≥0g(−2)=5+√2m ≥0 ，∴ m ∈[−√22,5√28)． [选修4-5：不等式选讲]已知f(x)=|x −1|+|x −2|． （1）解不等式：f(x)≤x +3；（2）不等式|m|⋅f(x)≥|m +2|−|3m −2|对任意m ∈R 恒成立，求x 的范围． 【答案】|x −1|+|x −2|≤x +3，可得①{x ≥22x −3≤x +3 ⇒2≤x ≤6， ②{1<x <2x −1+2−x ≤x +3 ⇒1<x <2，③{x ≤13−2x ≤x +3 ⇒0≤x ≤1，由①②③可得x ∈[0, 6]；①当m =0时，0≥0，∴ x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立， |2m+1|−|2m−3|≤|(2m+1)−(2m −3)|=4，当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号， ∴ f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72，即为x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．绝对值不等式的解法与证明 不等式恒成立的问题 【解析】（1）分别讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，去掉绝对值，解不等式求并集可得； （2）讨论m =0，m ≠0，由绝对值不等式的性质可得f(x)≥4，再讨论x ≥2，1<x <2，x ≤1时，解不等式求并集可得范围． 【解答】|x −1|+|x −2|≤x +3，可得①{x ≥22x −3≤x +3 ⇒2≤x ≤6， ②{1<x <2x −1+2−x ≤x +3 ⇒1<x <2，③{x ≤13−2x ≤x +3 ⇒0≤x ≤1，由①②③可得x ∈[0, 6]；①当m =0时，0≥0，∴ x ∈R ；②当m ≠0时，即f(x)≥|2m +1|−|2m −3|对m 恒成立， |2m+1|−|2m−3|≤|(2m+1)−(2m −3)|=4，当且仅当2m ≥3，即0<m ≤23时取等号， ∴ f(x)=|x −1|+|x −2|≥4，由x ≥2，2x −3≥4，解得x ≥72，即为x ≥72； 1<x <2，x −1+2−x ≥4，解得x ∈⌀； x ≤1时，3−2x ≥4，解得x ≤−12； 综上可得x ∈(−∞,−12]∪[72,+∞)．。
安徽省江南十校2017-2018学年高考数学二模试卷(理科) Word版含解析
2017-2018学年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合M={x|x2≥x}，N={y|y=3x+1，x∈R}，则M∩N=（）A．{x|x＞1} B．{x|x≥1} C．{x|x≤0或x＞1}D．{x|0≤x≤1}2．已知复数z满足（i为虚数单位），则z在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知数列{a n}满足a1=15，a2=，且2a n+1=a n+a n+2．若a k•a k+1＜0，则正整数k=（）A．21 B．22 C．23 D．244．设点F是双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点，点F到渐近线的距离与双曲线的两焦点间的距离的比值为1：6，则双曲线的渐近线方程为（）A．2x±y=0 B．x±2y=0 C．x±3y=0 D．3x±y=05．在空间直角坐标系O﹣xyz中，已知某四面体的四个顶点坐标分别是A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），D（1，1，2），则该四面体的正视图的面积不可能为（）A．B．C． D．26．设A是由x轴、直线x=a（0＜a≤1）和曲线y=x2围成的曲边三角形区域，集合Ω={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}，若向区域Ω上随机投一点P，点P落在区域A内的概率为，则实数a的值是（）A．B．C．D．7．执行如图所示的程序框图，则输出的a的值是（）A．2 B．﹣C．﹣D．﹣28．若把函数y=sin（ωx﹣）的图象向左平移个单位，所得到的图象与函数y=cosωx 的图象重合，则ω的一个可能取值是（）A．2 B．C．D．9．设点P （x ，y ）在不等式组表示的平面区域上，则z=的最小值为（ ）A ．1B ．C ．2D ．10．对于平面向量，，给出下列四个：p 1：若＞0，则与的夹角为锐角；p 2：“||=||||”是“”的充要条件； p 3：当，为非零向量时，“”是“||=|||﹣|||”的必要不充分条件；p 4：若||=||，则||≥||． 其中的真是（ ）A ．p 1，p 3B ．p 2，p 4C ．p 1，p 2D ．p 3，p 411．已知直线l 是曲线C 1：y=x 2与曲线C 2：y=lnx ，x ∈（0，1）的一条公切线，若直线l 与曲线C 1的切点为P ，则点P 的横坐标t 满足（ ）A ．0＜t ＜B ．＜t ＜1C ．＜t ＜D ．＜t ＜12．已知点M ，N 是抛物线y=4x 2上不同的两点，F 为抛物线的焦点，且满足∠MFN=135°，弦MN 的中点P 到直线l ：y=﹣的距离为d ，若|MN |2=λ•d 2，则λ的最小值为（ ）A ．B ．1﹣C ．1+D ．2+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知函数则f （log 32）的值为______．14．已知（3x +）（2x ﹣）5的展开式中的各项系数和为4，则x 2项的系数为______．15．已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AD ⊥AB ，AB=2，AD=CD=1，将梯形ABCD 沿对角线AC 折叠成三棱锥D ﹣ABC ，当二面角D ﹣AC ﹣B 是直二面角时，三棱锥D ﹣ABC 的外接球的表面积为______．16．设数列{a n }满足a n =，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S=______．三、解答题（本大题共5小题，共70分） 17．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，且满足（2b ﹣a ）•cosC=c •cosA ． （Ⅰ）求角C 的大小；（Ⅱ）设y=﹣4sin 2+2sin （C ﹣B ），求y 的最大值并判断当y 取得最大值时△ABC 的形状．18．4月23日是世界读书日，为提高学生对读书的重视，让更多的人畅游于书海中，从而收获更多的知识，某高中的校学生会开展了主题为“让阅读成为习惯，让思考伴随人生”的实践活动，校学生会实践部的同学随即抽查了学校的40名高一学生，通过调查它们是喜爱读（Ⅱ）从被抽查的16名不喜欢读纸质书籍的学生中随机抽取2名学生，求抽到男生人数ξ的分布列及其数学期望E（ξ）．参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d．AC=AD=PD=PC，∠DAC=90°，M在PB上．（Ⅰ）若点M是PB的中点，求证：PA⊥平面CDM；（Ⅱ）在线段PB上确定点M的位置，使得二面角D﹣MC﹣B的余弦值为﹣．20．已知椭圆C； +=1（a＞b＞0）的离心率e=，过左焦点F1的直线与椭圆C相交于A，B两点，弦AB的中点坐标为（﹣，）（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）椭圆C长轴的左、右两端点分别为D，E，点P为椭圆上异于D，E的动点，直线l：x=﹣4与直线PD，PE分别交于M，N两点，试问△F1MN的外接圆是否恒过x轴上不同于点F1的定点？若经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．21．设函数f（x）=ln（x+1）﹣ax．（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的最大值；（Ⅱ）设函数g（x）=（x+1）f（x）+a（2x2+3x），若对任意x≥0都有g（x）≤0成立，求实数a的取值范围．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线，△ACD的外接圆交BC于E点．（Ⅰ）证明：=；（Ⅱ）若2AD=BD=AC，求的值．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]23．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，取相同的长度单位，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（Ⅰ）写出曲线C的直角坐标方程和直线l的普通方程．（Ⅱ）若P（3，），直线l与曲线C相交于M，N两点，求|PM|+|PN|的值．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|2x+|+a|x﹣|．（Ⅰ）当a=﹣1时，解不等式f（x）≤3x；（Ⅱ）当a=2时，若关于x的不等式2f（x）+1＜|1﹣b|的解集为空集，求实数b的取值范围．2016年安徽省江南十校高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
安徽省江南十校2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题Word版含解析
安徽省江南十校 2017-2018学年高一上学期期中考试数学试题第I 卷（共60分）一、选择题：本大题共 12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 项是符合题目要求的•1.已知集合层算说工口 ｛且:H 轴则实数屆-|（ ）A. 0B. 0 或 3C. 3D. 1 【答案】B所以「总：，1,经检验都符合题意 故选B2.函数嘗产尹“T 臼＞ :心'.I ：图象恒过的定点构成的集合是（ (0,1 ) } C. { (-1,0 ) } D. |：；耳【答案】C故选C【答案】C 三＞1,所以松垸|在整个定义域内单调递增；故 A 错;1 III -对于B ：在（-叫0）8亠呛上递减，如旳-1旳-】1（旳）二・丨 … 衍 时，有耳y OxJ 则不能说整个定义域内单调递减，故 B 错;对于C :在整个定义域内单调递减，故 C 对;故选C4. 若”臭■冷心於;■缭*贝则址号T （ A. 9 B. 17 C. 2 D. 3对于D:i)x) =x'*；］在匕如：；：递减，在嚣斗閱 递增，故D错;【解析】集合且 ， 所以 或=0A. {-1 ，-1}B. { 【解析】令x+仁0, 解得 x=-1， f ( -1) =a°-1=0 . ••• f ( x )恒过点(-1 , 0).3.下列四个函数中, 在整个定义域内单调递减的是（ A.B. D.【解析】对于A :因为【答案】D【解析]f(x) - 4斗” M呂_ 1) ■ f(K)■ 4孔” 3，令t - 2x-l 贝所以g(L) ■」t ； 13 21-1 ，则muT故选C5.已知；.L.-、0，且祁］,函数血）・圈/-1）的定义域为M,〔3 1啊（1 1）+ lo^（x 1）的定义域为，那么（）A.获丄閒B. ^1|：>："：".-■C. 汕门7-.巾D. M ' '■自【答案】B【解析】函数U*：.尚定义域为或V-〕|故w：m須gix） - log冷+ 1）< log/m 1啲定义域为｛；［：；故K （］宀呦则MUN」M，故选BV 4-6.对于函数的图象及性质的下列表述，正确的是（）x + 1A.图像上的纵坐标不可能为 1B. 图象关于点（1,1 ）成中心对称C.图像与轴无交点D. 图像与垂直于轴的直线可能有两个交点【答案】A【解析】函数「⑶----- -- 1 + - 因为一咖.］所以图像上的纵坐标不可能为1，x 1 比+ 1 k+ 】故A对；图像关于（-1,1 ）中心对称，故B错；当x=-2时，宓7 则图像与轴有交点，故C错；|说§是函数，所以对于任意一个值有唯一一个值对应，故D错，不可能一个x对应两个y值；故选A7.若血叩1, b媲Q,则( )A.「bB. :; ■- k'y - iC. ■: I-D. 牡■：」【答案】D[«W1 810932 = w = ^2 - 8； > 1* b = log样I四牡=器晋■器■ log； <1 I 故ab= ^2 * log；= 1ba.故选D8. 已知二次函数 辱比」是偶函数，若对任意实数 都有… •，则I ■.图像可能是（ ）【解析】二次函数”址=汩；/亠匕•亠』是偶函数则（；■ -IH ，图像关于y 轴对称，所以排除 A,D ；对任数a<0 .即排除B, 故选C【答案】A0 7 = O.49'01 > O.6-01 > 1 > 0.9°'3 > 0 T 故“ 7°"冋09° 勺即b c m < c故选AJ03 + 110. 已知函数f （x ）-xl g （—^）,则「（'刃是（ ）A.奇函数B. 偶函数C.既是奇函数也是偶函数 D. 非奇非偶函数所以 是奇函数所以函数咯咄为上凸函数，结合二次函数的性质可得实9.已知函数上茫 巴■ ]Uj ,记a = f(0.6_aL)T b = f(0.7 - f(0.9fl3)，则 大小关系是（ ）B.C.< a ■= b【解析】-|工丨讯工]；； 黑：冀二所以函数血衽R 上单调递减;B.意实数 都有故选A11.下列命题中，正确的有（）个①对应.一是映射，也是函数；X' I 1②若函数|（x -D的定义域是（1,2 ），则函数R2对的定义域为|0・；③幕函数与图像有且只有两个交点；y -X ”④当时，方程*_」_■］二：:恒有两个实根•A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】C【解析】对于①，对应：八刁只® Rfx-吟J 是映射，也是函数；符合映射，函数的定义，x' I 1|故①对；对于②若函数心-1）的定义域是（1,2），则y-1 E（O,l）^lxe（OJ）故函数心）的定义域为，故②对3对于③幕函数V的图像过（I」）.］-】」），b■/图像过所以两个图像有且只有两V - X P个交点；故③对；对于④当x t时，i|单调递增，且函数值大于1,所以当b"时，方程|于-1 -b = d只有一个实根•故④错；故选C 点睛：本题是命题判断题，考查了映射，函数的定义，抽象函数的定义域，幕函数的图像特征，及含函数与方程的零点问题，掌握基础知识，基本题型的处理方法即可12.不等式5K + I-3 2x> （-2/a对于任意的自然数X恒成立，则实数的取值范围是（）.I9J5X 19 i , 、A. B.I V-）C. （-2,2） D. S）【答案】B【解析】为偶数时,［：」、•匚上单调递增，所以当时, 为奇数时, -2K<0,所以―严5X U_3K2X=--------- =5\ (-2/.■S取得最小值2，故;1 * 2；/5,x，因为y _斗才+3在J亠T递减,•% I a |9所以当x=1时,^+ 2取得最大值.，所以 -< 8 < 2r ［2/ I2 2故选B点睛：本题考查了不等式恒成立问题，常采用变量分离，要注意分析变量前的系数的正负, 分离完以后转化为函数求最值，结合单调性即可第n 卷(非选择题 共90分)、填空题(每题 5分，满分20分，将答案填在答题纸上)【答案】4故答案为414.已知函数f(x) = | ____________________________ ，则满足方程的"直是【答案】或]|x<0l-3(x 4 1)-3【解析】R - 2} 3,所以或.解得 X--2或--lx故答案为x - - 2 或x -15.已知函数f(x)-x 2-(2a 图像上任意两点连线都与k 轴不平行，则实数的取值 范围是 ___________.【答案】樂空：或沁-_2| \2ba-】ba-1 3 9 【解析】由题意可知函数在［I.-］上是单调函数，所以轴或解得 或2 222故答案为迪f 或2- "2|\216.已知函数k 7…［』图像关于直线- 对称,当仝闵时，咔• i •是增函数，则不等式r(x 〔的解集为 __________ .【答案】【解析】原式【解析】由题意可知”■谕是偶函数，且在I底亠Q递增，所以讥霸得•即|| . ■丨.解得竽、吒二，所以不等式注补-讣：J 的解集为 故答案为点睛：本题考查了函数的对称性， 单调性的应用，由:一讼--目得到汨词需要进行平移变换, 注意方向即可，偶函数险:利用单调性来解决问题常转化为 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 .）17.已知心}为定义在R 上的奇函数，且k,是，欣）2X .⑴ 求|「胡时，函数的解析式；（2）写出函数 的单调区间（不需证明）. 【答案】⑴”毎;（2） 廐的单调递增区间是[-1,1];单调递减区间是（-®,- l]T [h 斗【解析】试题分析：（"任取x<0,则"刖，J ・f -（■才+魂-0，又认为 奇函数，"伏）■弋-旳 「十b 即得解，（2）分析单调性可得口 x ）的单调递增区间是[-1,1]； 单调递减区间是 丨| •. 试题解析：（1）任取k 也，则云两，汽i ： - :；1-：-其：-：■?-“；，又“閒为奇函数， 二 f （x ） ■弋• X ） ■ £ h 所以％ "•： Q 时，函数 f （x ） ■■ x" + 2x ；⑵的单调递增区间是[-1,1];单调递减区间是一]].[1 •讨. 18.已知集合[A = {xfy - V\-2 斗（x-?丹， 集合 B {x|0<x-l<4}，集合 :-11•:叮 C I-.；.（1）求集合 Em⑵若卜二二求实数的取值范围. 【答案】（1）八3）u （比习（2）<24【解析】试题分析：（1）解出集合丄匚 W"二I ；订，根据交集并集的运算可得解 （2）则限制集合B 与C 的左右端点的大小关系即得解，注意对应的端点是否能相等的问题 试题解析:.V,得:w II .SJ ,所以尾门^' . ；（2）由哄匸知弭X，所以2.o Q >-#由\171躯)= 10^(2^-!). 2⑴ 若疋;f ： : U ，求实数 的取值范围； ⑵解方程1紳申"TPk 电］(尸心一4)=\2 2 【答案】⑴ 环.*.| ；(2)頁-山品和【解析】试题分析：(1)因为 熄所以^<f_［<］，解指数不等式即得解(2 )原2方程可化为阿⑵…卩逊2”-】7=?令t = l 觸严川，则原方程化为©釦专，解得或 2 2 21-3,即1迪八或性m =解得x 即可•2 j试题解析：解：(1)因为I 唱2 -1)>(,，所以logiC^- l ）1l0g l （2!t -l ） -2]=3 ，则原方程化为：，解得Y -1或［;・工|,当""时, ，所以方程的解为％卜"］和M %.:［•20. 若函数「懐)是定义在R 上的奇函数，直>)是定义在R 上恒不为0的偶函数•记Og(x)(1)判断函数出 啲奇偶性;(2)若论乜阳=儿试求函数际:的值域• 【答案】 ⑴ 奇函数；(2)【解析】试题分析：(1)根据奇偶性的定义可得：x ： i.«：,、.匸小.所以f( - x) l(x)hf-x)・ _」可得h (用是奇函数• ( 2)+臥x) ■孑①•订(”刃壮(,g(・ X) g(x)即• r(N)+g(x) - 3 "②联立①②解得R&二-反解出肾-——-〔得“〔V ■■■■■即得解•1 -y19.已知函数1 C2,所以 ；(2)原方程可化为当 时,试题解析：(1)由函数k；是■上的奇函数，二心是上的偶函数知：丄土 \覽；、#二」m所以所以 是奇函数.g( - X ) g(x)(2)・他)+咖■弄①ift-xj+et-xj-a -"，即-ftx)+g(x)-3_"② 点睛：本题考查了函数奇偶性的定义，构造方程组求函数解析式，利用反解法求值域，注意 计算准确即可.21. 信息科技的进步和互联网商业模式的兴起，全方位地改变了大家金融消费的习惯和金融 交易模式，现在银行的大部分业务都可以通过智能终端设备完成，多家银行职员人数在悄然 减少.某银行现有职员320人，平均每人每年可创利20万元.据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员.1人，则留岗职员每人每年多.创利0.2万元，但银行需付下岗职员每人每年6万3元的生活费，并且该银行正常运转所需人数不得小于现有职员的，为使裁员后获得的经济效 4益最大，该银行应裁员多少人？此时银行所获得的最大经济效益是多少万元？ 【答案】8160万元【解析】试题分析：分析题意，设银行裁员耳人，所获得的经济效益为 万元，则13y -(320 - x)(20 卜 0.2x)-賦 _ ； + 38x + 600,根据题目条件 ^20320，又5 4k > ：7：几：：<>：-.瓷阚且卜勺匹，禾U 用二次函数轴与区间的位置关系分析单调性即得 的最小值. 试题解析：设银行裁员.人，所获得的经济效益为b 万元，贝叶+ 0 2x)-血■38x4 6400,由题意：*20-^3->220，又且遠 WN ,J 因为对称轴：kn 竄所以函数了 -亍八桃沁啊茏在［0,80］单调递增，所以：上■:：咒|时， ■ 即银行裁员*：.■人，所获得经济效益最大为 8160万元，9X - 1 nt * y + 1 Y ，则9 --—>0 9s 卜1 i-y联立①②解得由 ，所以答：银行应裁员80人时，所获经济效益最大为8160万元.22.已知定义域为，对任意飪尸対都有、：「“•・：，且当卜翊时，(1)试判断豐二的单调性，并证明；⑵若：■=■（①求的值；②求实数m的取值范围，使得方程曲-陶+ 3 3有负实数根•【答案】⑴ 是上的减函数；（2）①U L I；②M的取值范围|抽:"一训【解析】试题分析：（1）利用定义证明：任取”总逞计，且卜吩2RxJ - f（迪）-q（七-和+ 叼］-f（Xj）- f（x, - xp 1 站）-2 氓为）-f（也诂卜】，■■-七-勺-0. A眶-对-2，讥也）、:f（xj下结论（2［①先赋值x-y -o|求得U 再令:；i/> I可解得瞪目②方程_比亠竝j：m聖可化为y.j,又［；';•：；单调，所以只需I :有负实数根•对7］进行分类讨论，分k・,刑与T宁和两种情况•试题解析：解：（1）任取苴斗，且頁严，fifxj - ffxj - £［。
安徽省江南十校2018届高三冲刺联考(二模)理科数学试卷(含答案)
2018年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）理科数学第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知复数z 满足21216z i =+，则z 的模为（ ）A ．20B ．12C ．25D ．23 2.θ为第三象限角，1tan 43πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ-=（ ） A ．355-B ．155-C ．355D ．1553.已知全集为R ，集合2{|680}A x x x =-+->，2log 03x B x ⎧⎫=≤⎨⎬⎩⎭，则()R C A B =（ ）A ．(,2]-∞B ．(,3]-∞C ．(0,2]D ．[2,3] 4.不等式2x y +≤所表示的区域为M ，函数22y x =-的图象与x 轴所围成的区域为N .向M 内随机投一个点，则该点落到N 内概率为（ ） A ．8π B ．4π C ．2πD ．16π5.直线l 过抛物线E ：28y x =的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的面积等于（ ） A ．13 B ．113 C ．323 D ．2836.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（ ）A ．165π+B ．163π+C ．204π+D ．205π+7.阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的[2,4]x ∈-时，则输出y 的范围是（ ） A ．[8,4]- B ．[0,24] C ．[2,4](6,24]- D ．[2,24]-8.函数sin sin 3y x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭的图象沿x 轴向右平移(0)m m >个单位后，得到()y g x =为偶函数，则m 的最小值为（ ） A ．12π B ．2π C ．3π D ．6π 9.平面α内有n 个点（无三点共线）到平面β的距离相等，能够推出//αβ，三个平面将空间分成m 个平面，则nm 的最小值为（ ） A ．37 B ．57 C ．58 D ．3810.已知x ，y 满足02323x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，z xy =的最小值、最大值分别为a ，b ，且210x kx -+≥对[,]x a b ∈上恒成立，则k 的取值范围为（ ）A ．22k -≤≤B ．2k ≤C ．2k ≥-D ．14572k ≤ 11.向量m ，n ，p 满足：2m n ==，2m n ⋅=-，1()()2m p n p m p n p -⋅-=-⋅-，则p 最大值为（ ） A ．2 B ．2 C ．1 D ．412.()y f x =的导函数满足：当2x ≠时，(2)(()2'()'())0x f x f x xf x -+->，则（ ） A ．(4)(254)(5)2(3)f f f >+> B ．(4)2(3)(254)(5)f f f >>+ C ．(254)(5)2(3)(4)f f f +>> D ．2(3)(4)(254)(5)f f f >>+第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13.二项式2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中，只有第7项的二次项系数最大，则展开式中常数项是 ．14.已知两个圆1C ，2C 与两坐标系都相切，且都过点(1,2)-，则12C C = ．15.在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想.比如在222+++⋅⋅⋅中“...”即代表无限次重复，但原数中有个定数x ，这可以通过2x x +=确定出来2x =，类似地可得到：211111333n -+++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅= ．16.ABC ∆中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c .D 是BC 边的中点，且102AD =，8sin 315a B c =，1cos 4A =-，则ABC ∆面积为 ．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17.数列{}n a 满足12322322n n n a a a na ++++⋅⋅⋅+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1(1)(1)nn n n a b a a +=+⋅+，求{}n b 的前n 项和n T .18.甲乙两个班进行物理测试，其中女生60人，男生50人，从全部110人任取一人及格的概率为711，并且男生和女生不及格人数相等. （1）完成如下22⨯列联表及格 不及格合计 女 男 合计（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？ （3）从两个班有放回的任取3人，记抽取的3人中不及格人数为X ，求X 的数学期望和方差.附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.20()P K k ≥0.100 0.050 0.010 0.0010k 2.706 3.841 6.635 10.82819.平行六面体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为菱形，60BAD ∠=，11AA AC AB ==，11A B A D =.（1）证明：平面11ACC A ⊥平面11BDD B ；（2）设BD 与AC 交于O 点，求二面角1B OB C --平面角正弦值.20.已知椭圆E ：22143x y +=，点A 、B 、C 都在椭圆E 上，O 为坐标原点，D 为AB 中点，且2CO OD =. （1）若点C 的坐标为31,2⎛⎫⎪⎝⎭，求直线AB 的方程； （2）求证：ABC ∆面积为定值. 21.设23()ln (31)2f x x x ax a x =-+-. （1）()'()g x f x =在[1,2]上单调，求a 的取值范围； （2）已知()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围.请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22.选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线M 的参数方程为：2cos 3sin 2sin 23sin cos x y ααααα⎧=-⎪⎨=-⎪⎩（α为参数），曲线N 的极坐标方程为cos 4m πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线M 的普通方程与曲线N 的直角坐标方程； （2）曲线M 与曲线N 有两个公共点，求m 的取值范围. 23.选修4-5：不等式选讲 已知()12f x x x =-+-. （1）解不等式：()3f x x ≤+；（2）不等式()232m f x m m ⋅≥+--对任意m R ∈恒成立，求x 的范围.2018年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）理科数学参考答案一、选择题1-5: CBCAC 6-10: CDDCB 11、12：DC二、填空题13. 7920 14. 42 15.3216. 3154三、解答题17.解：（1）当1n =时，131222a =-=； 当2n ≥，1212222n n n n n na -++⎛⎫=--- ⎪⎝⎭2n n =，可得12n n a =， 又∵当1n =时也成立，∴12n na =； （2）112111122n n n n b +=⎛⎫⎛⎫++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1112112(21)(21)2121n n n n n +++⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭， ∴n T =22311111112212121212121n n +⎛⎫-+-+⋅⋅⋅+-⎪++++++⎝⎭1111222321321n n ++⎛⎫=-=- ⎪++⎝⎭.18.解：（1）及格不及格合计女 40 20 60 男 302050合计7040 110（2）由22110(40203020)60507040K ⨯-⨯=⨯⨯⨯110.524 2.70621=≈<，犯错误概率不超过0.1的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关； （3）由题意可知43,11XB ⎛⎫⎪⎝⎭，∴1211EX n p =⋅=，∴4784(1)31111121DX np p =-=⋅⋅=.19.（1）证明：设AC ，BD 交于点O ，∵底面ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，又∵11A B A D =，O 是BD 的中点，∴1A O BD ⊥，1AC AO O =，∴BD ⊥平面11ACC A ，又∵BD ⊂平面11BDD B ，∴平面11ACC A ⊥平面11BDD B ；（2）解：∵11AA A C =，O 是AC 的中点，∴1OA AC ⊥，1OA ，OA ，OB 两两垂直，以OA ，OB ，1OA 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系如图所示，设112AA A C AB ===，由题得2BD =，23AC =，11OA =，则(3,0,0)A ，(3,0,0)C -，(0,1,0)B ，1(0,0,1)A ，设(,,)m x y z =是平面1OBB 的一个法向量，(0,1,0)OB =，11(3,0,1)BB AA ==-，100300y m OB x z m BB ⎧=⎧⋅=⎪⎪⇒⎨⎨-+=⋅=⎪⎪⎩⎩，可得(1,0,3)m =， 设(,,)n x y z =是平面1OB C 的一个法向量，(3,0,0)OC =-，111OB OB BB OB AA =+=+(0,1,0)(3,0,1)(3,1,1)=+-=-，1030030n OC x n OB x y z ⎧⎧⋅=-=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-++=⎪⎪⎩⎩，可得(0,1,1)n =-， cos ,m n m n m n⋅<>=36422-==-⋅， ∴二面角1B OB C --平面角正弦值为2610144⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭.20.解：（1）设11(,)A x y ，22(,)B x y ，00(,)D x y ，∵2CO OD =，∴13,24D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，将A ，B 带入椭圆方程中，可得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩化简可得12121212()()()()043x x x x y y y y +-+-+=，∴121212123()4()AB y y x x k x x y y -+==--+31142OD k =-⨯=-，∴直线AB l 的方程为220x y ++=； （2）证明：设(,)C m n ，∴,22m n D ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， ①当直线AB 的斜率不存在时，0n =，由题意可得(2,0)C ，31,2A ⎛⎫--⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭或(2,0)C -，31,2A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，31,2B ⎛⎫⎪⎝⎭，此时193322ABC S ∆=⋅⋅=；②当直线AB 的斜率存在时，0n ≠，由（1）31344AB OC mk k n=-⋅=-， ∴AB ：3242n m m y x n ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，即直线AB ：2233448m m n y x n n +=--3342m x n n=--， 即3460mx ny ++=，2234603412mx ny x y ++=⎧⎨+=⎩2233340x mx n ⇒++-=， ∴12x x m +=-，212413n x x =-，∵2CO OD =，222294141163m n AB m n ⎛⎫=+-- ⎪⎝⎭ 22222916416441633m n n n n +=--+ 2219162m n =+， O 到AB 的距离226916d m n=+，1332ABC OAB S S ∆∆==⨯222216991622916m n m n ⨯+⨯=+.∴ABC S ∆为定值.21.解：（1）由'()ln 33f x x ax a =-+， 即()ln 33g x x ax a =-+，(0,)x ∈+∞，1'()3g x a x=-， ①()g x 在[1,2]上单调递增，∴130a x -≥对[1,2]x ∈恒成立，即13a x ≤对[1,2]x ∈恒成立，得16a ≤； ②()g x 在[1,2]上单调递减，∴130a x -≤对[1,2]x ∈恒成立，即13a x ≥对[1,2]x ∈恒成立，得13a ≥，由①②可得a 的取值范围为11,,63⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭； （2）由（1）知，①0a ≤，'()f x 在(0,)+∞上单调递增，∴(0,1)x ∈时，'()0f x <，()f x 单调递减，(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，()f x 单调递增，∴()f x 在1x =处取得极小值，符合题意；②103a <<时，113a >，又'()f x 在1(0,)3a 上单调递增，∴(0,1)x ∈时，'()0f x <，∴11,3x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x >，∴()f x 在(0,1)上单调递减，11,3a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，()f x 在1x =处取得极小值，符合题意；③13a =时，113a=，'()f x 在(0,1)上单调递增，∴(1,)x ∈+∞上单调递减， ∴(0,)x ∈+∞时，'()0f x ≤，()f x 单调递减，不合题意；④13a >时，1013a <<，当1,13x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，'()0f x >，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <，()f x 单调递减，∴()f x 在1x =处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得1,3a ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭. 22.解：（1）在曲线M 中222cos3sin x αα=+223sin cos 12sin ααα-=+23sin cos 1y αα-=+，∴曲线M 的普通方程为21y x =-，[2,2]x ∈-. 在曲线中：由可得，∴曲线的直角坐标方程为；（2）联立221y x m y x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩2210x x m ⇒-+-=，[2,2]x ∈-有两解，令2()21g x x x m =-+-，在[2,2]-上有两解，∴14(21)01[2,2]2(2)120(2)520m g m g m ⎧∆=-->⎪⎪∈-⎪⎨⎪=+≥⎪⎪-=+≥⎩， ∴252,28m ⎡⎫∈-⎪⎢⎪⎣⎭. 23.解：（1）①226233x x x x ≥⎧⇒≤≤⎨-≤+⎩，②12123x x x x <<⎧⎨-+-≤+⎩12x ⇒<<，③1323x x x ≤⎧⎨-≤+⎩01x ⇒≤≤，由①②③可得[0,6]x ∈；（2）①当0m =时，00≥，∴x R ∈； ②当0m ≠时，即22()13f x m m≥+--对m 恒成立， 222213(1)(3)4m m m m +--≤+--=，当且仅当23m ≥，即203m <≤时取等号， ∴()124f x x x =-+-≥，解得17,,22x ⎛⎤⎡⎫∈-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭.。
安徽省江南十校2018届高三冲刺联考(二模)理科数学试卷(精编含解析)
2018年“江南十校”高三学生冲刺联考（二模）理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知复数满足，则的模为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：设出复数的代数形式，利用复数的乘方和复数相等求出复数，再利用模的计算公式进行求解．详解：设，则由，得，则，解得或，即．点睛：本题考查复数的乘方运算、复数相等及模的概念等知识，意在考查学生的基本运算能力．2. 为第三象限角，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先由两角和的正切公式求出，再利用同角三角函数基本关系式进行求解．详解：由，得，由同角三角函数基本关系式，得，解得又因为为第三象限角，所以，则．点睛：1.利用两角和差公式、二倍角公式进行三角恒等变形时，要优先考虑用已知角表示所求角，如：、；2.利用同角三角函数基本关系式中的“”求解时，要注意利用角的范围或所在象限进行确定符号．3. 已知全集为，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：利用一元二次不等式、对数不等式的解法化简两个集合，再利用集合的运算进行求解．详解：因为，，所以，即．点睛：本题考查一元二次不等式的解法、对数函数的单调性及集合的运算等知识，意在考查学生的基本运算能力．4. 不等式所表示的区域为，函数的图象与轴所围成的区域为.向内随机投一个点，则该点落到内概率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：先作出两个平面区域，再利用几何概型的概率公式进行求解．详解：不等式表示的区域是对角线为的正方形，其面积为；函数的图象与轴所围成的区域是半径为的半圆，面积为；则向内随机投一个点，则该点落到内的概率为．点睛：本题考查几何概型的概率公式等知识，意在考查数形结合思想的应用能力和基本计算能力．5. 直线过抛物线：的焦点且与轴垂直，则直线与所围成的面积等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先作出直线和抛物线围成的平面区域，再利用定积分的几何意义进行求解．详解：由题意，得直线的方程为，将化为，由定积分的几何意义，得所求部分分面积为．点睛：本题考查抛物线的几何性质、定积分的几何意义等知识，意在考查学生的数形结合思想的应用能力和基本计算能力．6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体表面积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先根据三视图想象出空间几何体的结构特征，再利用有关表面积的计算公式进行求解．详解：由三视图可知该几何体是由一个棱长为2的正方体（且在上半部分挖去一个半径为1的半球）和一个半圆柱（底面半径为1，母线长为2，且轴截面与正方体的一个侧面重合）则该几何体的表面积为．点睛：本题考查空间几何体的三视图、组合体的表面积公式等知识，意在考查空间想象能力．7. 阅读如图所示程序框图，运行相应的程序.当输入的时，则输出的范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：利用程序框图和分段函数进行求解．详解：当时，，则；当时，；综上所述，输出的范围为．点睛：本题考查程序框图等知识，意在考查分类讨论思想的应用能力和基本计算能力．8. 函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到为偶函数，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用二倍角公式和辅助角公式化简函数表达式，再利用三角函数的图象变换得到，再利用诱导公式、三角函数的奇偶性进行求解．详解：，将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，因为，所以，即，即正数的最小值为．点睛：1.本题的易错点在将的图象沿轴向右平移个单位后，得到的图象，往往出现错误结果（），要注意左右平移的单位仅仅对于自变量“”而言；2.研究三角函数的奇偶性，要牢记“为奇函数，为偶函数”，再利用诱导公式进行合理转化．9. 平面内有个点（无三点共线）到平面的距离相等，能够推出，三个平面将空间分成个平面，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：先利用空间几何体的结构特征得到的最小值和的最大值，进而求出的最小值．详解：平面内有个点（无三点共线）到平面的距离相等，能够推出，则的最小值为5；三个平面将空间分成个平面，则的最大值为8，则的最大值为．点睛：本题考查空间几何体的结构特征等知识，意在考查学生的空间想象能力．10. 已知，满足，的最小值、最大值分别为，，且对上恒成立，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：先作出不等式组表示的平面区域，利用消元法和二次函数求出的最值，再分离参数，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值问题．详解：作出表示的平面区域（如图所示），显然的最小值为0，当点在线段上时，；当点在线段上时，；即；当时，不等式恒成立，若对上恒成立，则在上恒成立，又在单调递减，在上单调递增，即，即．点睛：本题考查不等式组和平面区域、不等式恒成立问题等知识，意在考查学生的逻辑思维能力、数形结合思想的应用能力和化归能力．11. 向量，，满足：，，，则最大值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】分析：先利用平面向量的数量积公式得到的夹角和的夹角，再利用圆的性质进行求解．详解：因为，，所以的夹角为，因为，所以的夹角为；作（如图1、图2所示），则，由图象，得的最大值为4．图1 图2点睛：解决本题的关键是利用平面向量的数量积定义判定的夹角和的夹角互补且为二倍关系，所以借助圆周角和圆心角的关系、圆内接四边形的性质进行判定，再利用圆的直径是最长的弦进行求解．12. 的导函数满足：当时，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】分析：构造函数，求导，利用导数的符号变化确定函数的单调性，进而比较大小．详解：令，则，因为当时，，所以当时，即函数在上单调递减，则，即，即．点睛：利用导数研究函数的单调性时，往往要根据题意合理构造函数，如本题中，一要结合“当时，”，二要结合选项“”的变形“”，进而构造函数，这需要学生多积累、多总结．第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置）13. 二项式展开式中，只有第项的二次项系数最大，则展开式中常数项是__________．【答案】【解析】分析：先根据二项式系数的性质得到展开式的项数和次数，再利用二项展开式的通项进行求解．详解：因为二项式展开式中，只有第项的二次项系数最大，所以展开式共有13项，即，则的展开式的通项为令，得，即展开式中常数项是．点睛：本题考查二项式定理等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．14. 已知两个圆，与两坐标系都相切，且都过点，则__________．【答案】【解析】分析：先根据两圆与坐标系都相切，确定两圆的圆心在直线上，再利用两圆都过进行求解．详解：由题意，得圆的圆心在射线上，设圆的方程为，因为圆过点，所以，解得或，即，则．点睛：本题考查圆的方程、直线和圆的位置关系等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．15. 在《九章算术》方田章圆田术（刘徽注）中指出：“割之弥细，所失弥之，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”注述中所用的割圆术是一种无限与有限转化思想.比如在中“...”即代表无限次重复，但原数中有个定数，这可以通过确定出来，类似地可得到：__________．【答案】【解析】分析：利用所给例子和类比思想进行求解．详解：利用类比思想，令，解得．点睛：本题考查类比思想等知识，意在考查学生的类比推理能力．16. 中，角，，所对边分别为，，.是边的中点，且，，，则面积为__________．【答案】【解析】分析：先利用同角三角函数基本关系式求出，再利用正弦定理得到边边关系，再利用余弦定理求出边长，再利用三角形的面积公式进行求解．详解：因为，因为，由正弦定理及，得，即，即，在中，由余弦定理，得，分别在中，由余弦定理，得：，，两式相加化简，得，，则．点睛：利用正弦定理和余弦定理解三角形，往往有以下题型：①在中，已知角和边，利用正弦定理处理；②在中，已知边和角，利用正弦定理处理；③在中，已知边，利用余弦定理处理；④在中，已知边和角，利用余弦定理处理．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内）17. 数列满足.（1）求数列的通项公式；（2）设，求的前项和.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用进行求解；（2）先利用（1）结果求出，再利用裂项抵消法进行求解．详解：（1）当时，；当，，可得，又∵当时也成立，∴；（2），∴.点睛：1.利用数列的通项和前项和的关系求解时，要注意为分段函数，不要忘记验证“”的情形；2.裂项抵消法是重要的求和方法，其主要适用题型为：①求数列的前项和，即；②求数列的前项和，即；③求数列的前项和，即．18. 甲乙两个班进行物理测试，其中女生人，男生人，从全部人任取一人及格的概率为，并且男生和女生不及格人数相等.（1）完成如下列联表（2）根据表中数据，能否在犯错误的概率不超过的前提下认为物理成绩及格与学生性别有关？（3）从两个班有放回的任取人，记抽取的人中不及格人数为，求的数学期望和方差.附：.【答案】（1）见解析（2）没有（3），∴【解析】分析：（1）根据题意填写列联表即可；（2）利用列联表和所给公式求值，再利用临界值表进行判定；（3）先判定该分布为二项分布，再利用二项分布的期望公式和方差公式进行求解．详解：（1）（2）由，犯错误概率不超过的前提下，没有足够的证据说明物理成绩及格与性别有关；（3）由题意可知，∴，∴.点睛：本题考查列联表、独立性检验思想、二项分布的期望与方差等知识，意在考查学生逻辑思维能力和基本计算能力．19. 平行六面体中，底面为菱形，，，.（1）证明：平面平面；（2）设与交于点，求二面角平面角正弦值.【答案】（1）见解析（2）.【解析】分析：（1）设，交于点，利用菱形的对角线相互垂直、等腰三角形的“三线合一”证得线线垂直，再利用线面垂直、面面垂直的判定定理进行证明；（2）利用线线间的垂直关系建立空间直角坐标系，写出点的坐标，分别求出两个平面的法向量，利用法向量间的夹角公式进行求解．详解：（1）证明：设，交于点，∵底面为菱形，∴，又∵，是的中点，∴，，∴平面，又∵平面，∴平面平面；（2）解：∵，是的中点，∴，，，两两垂直，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系如图所示，设，由题得，，，则，，，，设是平面的一个法向量，，，，可得，设是平面的一个法向量，，，，可得，，∴二面角平面角正弦值为.点睛：本题考查空间中垂直关系的转化、空间向量在立体几何中的应用，意在考查学生的空间想象能力和基本计算能力．20. 已知椭圆：，点、、都在椭圆上，为坐标原点，为中点，且.（1）若点的坐标为，求直线的方程；（2）求证：面积为定值.【答案】（1）（2）见解析【解析】分析：（1）先利用求出，再利用点差法进行求解；（2）先讨论直线不存在斜率时的情况，再设出直线的方程，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系、点到直线的距离公式和三角形的面积公式进行证明．详解：（1）设，，，∵，∴，将，代入椭圆方程中，可得化简可得，∴，∴直线的方程为；（2）证明：设，∴，①当直线的斜率不存在时，，由题意可得，，或，，，此时；②当直线的斜率存在时，，由（1），∴：，即直线：，即，，∴，，∵，，到的距离，.∴为定值.点睛：1.当研究直线和圆锥曲线的中点弦问题时，往往利用“点差法”进行处理，可减少运算量，提高解题速度，即“代点、作差、与中点坐标公式、直线的斜率公式相联系”；2.在设直线方程时，要注意根据题意考虑是否需要讨论“直线的斜率不存在“的特殊情形．21. 设.（1）在上单调，求的取值范围；（2）已知在处取得极小值，求的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）求导得到，再求导，将在区间上单调转化为或进行求解；（2）利用（1）结果，通过讨论的取值研究导函数的符号变化，进而验证何时在处取得极小值．详解：（1）由，即，，，①在上单调递增，∴对恒成立，即对恒成立，得；②在上单调递减，∴对恒成立，即对恒成立，得，由①②可得的取值范围为；（2）由（1）知，①，在上单调递增，∴时，，单调递减，时，，单调递增，∴在处取得极小值，符合题意；②时，，又在上单调递增，∴时，，∴时，，∴在上单调递减，上单调递增，在处取得极小值，符合题意；③时，，在上单调递增，∴上单调递减，∴时，，单调递减，不合题意；④时，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，∴在处取得极大值，不符合题意；综上所述，可得.点睛：本题考查导数与函数的单调性、极值间的关系等知识，意在考查学生的分类讨论思想的应用能力和复杂的数学运算能力．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时请写清题号.22. 选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线的参数方程为：（为参数），曲线的极坐标方程为. （1）求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；（2）曲线与曲线有两个公共点，求的取值范围.【答案】（1），.（2）【解析】分析：（1）利用同角三角函数基本关系式、二倍角公式消参到曲线的普通方程，再利用两角和的余弦公式和互化公式进行求解；（2）联立直线和抛物线方程，得到关于的一元二次方程，利用二次方程的根的分布进行求解．详解：（1）在曲线中，∴曲线的普通方程为，.在曲线中：由可得，∴曲线的直角坐标方程为；（2）联立，有两解，令，在上有两解，∴，∴.点睛：本题考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程间的互化、直线和抛物线的位置关系等知识，意在考查学生的数学化简能力和基本计算能力．23. 选修4-5：不等式选讲已知.（1）解不等式：；（2）不等式对任意恒成立，求的范围.【答案】（1）（2）【解析】分析：（1）利用零点分段讨论法进行求解；（2）分离参数，将不等式恒成立转化为求函数的最值问题，再利用三角不等式求最值，进而利用零点分段讨论法求出的范围．详解：（1）①，②，③，由①②③可得；（2）①当时，，∴；②当时，即对恒成立，，当且仅当，即时取等号，∴，解得.点睛：本题考查绝对值不等式的解法、不等式恒成立问题，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．。