高中数学第一章解三角形课时作业1正弦定理新人教B版必修013
高中数学第一章解三角形第1节正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课件新人教A版必修53
45°＝
23，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝75°，
b＝cssiinnCB＝ s6isnin607°5°＝ 3＋1； 当 C＝120°时，B＝15°， b＝cssiinnCB＝ s6insi1n2105°°＝ 3－1. ∴b＝ 3＋1，B＝75°，C＝60°或 b＝ 3 －1，B＝15°，C＝120°.
代入已知式子得
cos ksin
AA＝kcsoisn
BB＝kcsoisn
CC.
∴csoins
AA＝csoins
BB＝csoins
C C.
∴tan A＝tan B＝tan C.
又∵A、B、C∈(0，π)，
∴A＝B＝C.∴△ABC 为等边三角形．
法二：化边为角
由正弦定理得sina A＝sinb B＝sinc C.
提示：sina A＝sinb B＝sinc C
2．归纳总结，核心必记 (1)正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的
比相等，即 (2)解三角形
一般地，把三角形的三个角 A，B，C 和它 们的对边 a，b，c 叫做三角形的元素．已知 三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 解三角形．
[问题思考] (1)在△ABC 中 sin A＝sin B，则 A＝B 成立 吗？ (2)在△ABC 中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c 成立吗？ (3)在△ABC 中，若 A>B，是否有 sin A>sin B？ 反之，是否成立？
—————————[课堂归纳·感悟提升]————————— 1．本节课的重点是正弦定理的应用，难点是正
弦定理的推导．
2．本节课要牢记正弦定理及其常见变形：
(1)sina A＝sinb B＝sinc C＝2R(其中 R 为△ABC 外
版高中数学 第一章 解三角形 1.1.1 正弦定理(一)课件 新人教B版必修5.pptx
跟踪训练1 如图，锐角△ABC的外接圆O半径为R，角A，B，C所对的 边分别为a，b，c.求证：sina A ＝2R. 证明
13
类型二 用正弦定理解三角形
例2 已知△ABC，根据下列条件，解三角形：a＝20，A＝30°，C＝ 45°. 解答 ∵A＝30°，C＝45°，∴B＝180°－(A＋C)＝105°， 由正弦定理得 b＝assiinnAB＝20ssiinn3100°5°＝40sin(45°＋60°)＝10( 6＋ 2)， c＝assiinnAC＝20sisnin3405°°＝20 2， ∴B＝105°，b＝10( 6＋ 2)，c＝20 2.
A.直角三角形 C.锐角三角形
√B.等腰三角形
D.钝角三角形
由sin A＝sin C，知a＝c，∴△ABC为等腰三角形.
1 2 3 247
3.在△ABC中，已知BC＝ 5 ，sin C＝2sin A，则AB＝_2__5___.
答案 解析
由正弦定理，得 AB＝ssiinn CABC＝2BC＝2 5.
18
命题角度2 运算求解问题
例4
在△ABC中，A＝
π 3
，BC＝3，求△ABC的周长的最大值.
解答
19
反思与感悟
利用sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 或正弦定理的变形公式 a＝ksin A，b＝ ksin B，c＝ksin C(k>0)能够使三角形边与角的关系相互转化.
22
跟 踪 训 练 3 在 △ABC 中 ， 角 A 、 B 、 C 的 对 边 分 别 是 a 、 b 、 c ， 若 A∶B∶C＝1∶2∶3，求a∶b∶c的值. 解答
23
当堂训练
25
1. 在△ABC中，一定成立的等式是 答案 解析
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高二必修5
1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。
人教B版高中数学必修五《第一章 解三角形 本章小结》_13
《解三角形》单元复习课教学设计
图1 图2
在分析完这个问题之后，我们换个角度，继续思考这个问题.能否弱化已知
∆的某些性质？
ABC
学生探究后，可能出现的变式：
你去掉的已知是什么？提出了什
怎样解决这个问题？
∠=︒,c=
A
ABC中,60
系？
教师可利用几何画板进行动态演示. 变式2：在ABC
∆中,60
A
∠=︒,8
b=.
掉
3
7
c a =）
学生可能提出的问题：
我们发现去掉一个已知条件，虽
然三角形不能确定，但仍然能研究它的一
些性质，如果去掉两个已知条件还是否可
学生探究后，可能出现的变式：
∠=
∆中,A
ABC
的取值范围.
B C
sin C、sin sin
本环节中，教师布置了开放式探究性任务，学生分组、讨论、探究，学生自己提出问题，并且能够分析问题、解决问题.
设计意图：本道例题及变式是本节课的主线，通过与学生一起梳理本节课的内容，理清学生思路，培养学生的抽象概括能力和数学核心素养
7.板书设计
作业与拓展学习设计
探究性作业：。
人教新课标版数学高二-人教数学必修五第一章 解三角形
第一章解三角形本章规划《课程标准》和教科书把“解三角形”这部分内容安排在数学必修五的第一部分，位置相对靠后，在此内容之前学生已经学习了三角函数、平面向量、直线和圆的方程等与本章知识联系密切的内容，使这部分内容的处理有了比较多的工具，某些内容可以处理得更加简洁．教学中应加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固．要重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导．1.教学内容全章有三大节内容：第一大节：正弦定理和余弦定理，这一节通过初中已学过的三角中的边角关系，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”重点是正弦定理的概念和推导方法，体现了从特殊到一般的思想，并可以向学生提出用向量来证明正弦定理，这一点可以让学生探究．在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题”．设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学．比如对于余弦定理的证明，常用的方法是借助于三角形的方法，需要对三角形进行讨论，方法不够简洁，教科书则用了向量的方法，发挥了向量方法在解决问题中的威力．第二大节：应用举例，在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．学生往往不能把实际问题抽象成数学问题，不能把所学的数学知识应用到实际问题中去，对所学数学知识的实际背景了解不多，虽然学生机械地模仿一些常见数学问题解法的能力较强，但当面临一种新的问题时却办法不多，对于诸如观察、分析、归纳、类比、抽象、概括、猜想等发现问题、解决问题的科学思维方法了解不够．针对这些实际情况，本章重视从实际问题出发，引入数学课题，最后把数学知识应用于实际问题．第三大节：实习作业，适当安排一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对学生实习作业的指导，包括对实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．2.作用与地位本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论．学习数学的最终目的是应用数学，而如今比较突出的两个问题是，学生应用数学的意识不强，创造能力较弱．为解决此问题，教学中要用联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构．3.学习目标本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上．通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．4.重点和难点通过对三角形中边角关系的探索，证明正弦定理、余弦定理及其推论，并能应用它们解三角形．5.课时安排1.1正弦定理和余弦定理（3课时）1.2应用举例（4课时）1.3实习作业（1课时）本章复习（1课时）。
2021_2022高中数学第一章解三角形1
预习测评
1．在△ABC中，下列关系中一定成立的是( )
A．a>bsin A B. a＝bsin A
C．a<bsin A D．a≥bsin A
【答案】D 【解析】在△ABC 中，0<sin B≤1，故sin1 B≥1，∵sina A＝
b sin
B，∴a＝bssiinnBA，∴a≥bsin
A.
2．△ABC中，p：sin A<sin B和q：A<B推出情况是( )
解：解法一：(1)∵A>90°且 a>b， ∴有一解，即这样的三角形是唯一的． (2)∵asin B＝60× 23＝30 3，b＝48， ∴b<asin B，无解，即不存在这样的三角形． (3)∵a＝7，b＝5，A＝80°，∴a>b，有一解， 即这样的三角形是唯一的． (4)∵bsin A＝16× 22＝8 2，a＝14， ∴bsin A<a<b，有两解，即符合条件的三角形有两个．
来解决两类解斜三角形的问题：
(1)已知两角和任意一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角， 进而可求其他的边和角．
已知两边和其中一边的对角，不能唯一确定三角形 的形状，解这类三角形问题将出现无解、一解或两 解三种情况，应分情况给予讨论．
下面为已知a，b和A，用正弦定理求解三角形时的各
的错误，如第(1)问中没有考虑 c 边比 a 边大，在求得 sin A＝
asin c
C＝12后，得出角
A＝π6或56π；在第(2)问中又因为没有考虑
角 C 有两解，由 sin C＝csian A＝ 23，只得出角 C＝π3，所以角 B
＝π2，解得 b＝2，这样就出现丢解的错误．
高中数学第一章解三角形1.1正弦定理和余弦定理1.1.2余弦定理(2)课件新人教a必修5
1．1.2 余弦定理(二)
学习目标
1.熟练掌握余弦定理及其变形形式. 2.会用余弦定理解三角形. 3.能利用正弦、余弦定理解决有关三角形的恒等式化简、 证明及形状判断等问题．
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 已知两边及其中一边的对角解三角形
思考2
△ABC中，sin 2A＝sin 2B.则A，B一定相等吗？
答案
∵A，B∈(0，π)，∴2A,2B∈(0,2π)， ∴2A＝2B或2A＝π－2B， 即 A＝B 或 A＋B＝2π.
梳理
判断三角形形状，首先看最大角是钝角、直角还是锐角；其次看是否 有相等的边(或角)．在转化条件时要注意等价．
知识点三 证明三角形中的恒等式
(3)当A为锐角时，如图，以点C为圆心，以a为半径作圆，
三角形解的个数取决于a与CD和b的大小关系： ①当a<CD时，无解； ②当a＝CD时，一解； ③当CD<a<b时，则圆与射线AB有两个交点，此时B为锐角或钝角，此 时B的值有两个． ④当a≥b时，一解． (4)如果a>b，则有A>B，所以B为锐角，此时B的值唯一．
引申探究 将本例中的条件(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc改为(b2＋c2－a2)2＝b3c＋c3b－ a2bc，其余条件不变，试判断△ABC的形状． 解答
反思与感悟
(1)判断三角形形状，往往利用正弦定理、余弦定理将边、角关系相互转化， 经过化简变形，充分暴露边、角关系，继而作出判断． (2)在余弦定理中，注意整体思想的运用，如：b2＋c2－a2 ＝2bccos A，b2＋ c2＝(b＋c)2－2bc等等．
思考
前面我们用正弦定理化简过acos B＝bcos A，当时是把边化 成了角；现在我们学了余弦定理，你能不能用余弦定理把角 化成边？
(新课标)高中数学第1章解三角形1.1正弦定理和余弦定理第1课时正弦定理课时作业新人教B版必修5
2017春高中数学 第1章 解三角形 1。
1 正弦定理和余弦定理 第1课时 正弦定理 课时作业 新人教B 版必修5基 础 巩 固一、选择题 1．在△ABC 中，AB ＝3，∠A ＝45°,∠C ＝75°,则BC 等于错误!（ A )A ．3－ 3B ． 2C ．2D ．3＋错误!［解析］ 由正弦定理，得错误!＝错误!，即错误!＝错误!，∴BC ＝错误!＝错误!＝3－错误!.2．已知△ABC 的三个内角之比为A ︰B ︰C ＝3︰2︰1,那么对应的三边之比a ︰b ︰c 等于错误!（ D )A ．3︰2︰1B ．错误!︰2︰1C ．错误!︰错误!︰1D ．2︰错误!︰1 ［解析］ ∵⎩⎨⎧ A ︰B ︰C ＝3︰2︰1A ＋B ＋C ＝180°，∴A ＝90°，B ＝60°，C ＝30°.∴a ︰b ︰c ＝sin A ︰sin B ︰sin C ＝1︰错误!︰错误!＝2︰错误!︰1。
3．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝错误!，则sin B ＝错误!( B ）A ．错误!B ．错误!C ．错误!D ．1 ［解析］ 由正弦定理，得a sin A ＝错误!，∴错误!＝错误!，即sin B ＝错误!，选B ．4．在△ABC 中,三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若错误!＝错误!，则角B 的大小为错误!( B )A ．错误!B ．错误!C．错误!D．错误!［解析]由错误!＝错误!及错误!＝错误!，可得sin B＝cos B，又0<B<π,∴B＝错误!。
5．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量m＝(3，－1）,n＝(cos A,sin A），若m⊥n,且a cos B＋b cos A＝c sin C，则角A、B的大小分别为错误!（ C ）A．错误!，错误!B．错误!，错误!C．π3，错误!D．错误!，错误![解析]∵m⊥n,∴错误!cos A－sin A＝0,∴tan A＝错误!,则A＝错误!。
正弦定理和余弦定理
2 2 ∵ sinC＝ 1－ cos C＝ ， a＝ 3 2，∴ b＝ 2 3. 3
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
4．△ ABC 中，已知 b＝ 2 2，c＝ 2 6，C＝ 60° ，则 A＝ ________.
人 教 B 版 数 学
[答案]
90°
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
又由 b>a，知 B>A， ∴ 30° <B<180° ，∴ B＝ 90° . ∴ C＝ 180° －(A＋ B)＝ 180° － (30° ＋90° )＝60° . ∴ c＝ b2－ a2＝ 162－ 82＝ 8 3.
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
在△ ABC 中，a＝ λ，b＝ 3λ，∠ A＝ 45° ，则满足此 条件的三角形个数是( A． 0 C． 2 ) B． 1 D．无数个
解三角形
正弦定理的综合应用
[例 2] 在△ABC 中，已知∠ B＝ 60° ， tanAtanC＝ 2 ＋ 3，又知顶点 C 的对边 c 上的高为 4 3，求三角形三边 的长． [分析 ] 由已知件不难求出 tanA 和 tanC，从而求出 4 3 4 3 ∠ A 和∠ C，然后根据边 c＝ ＋ 进而问题得解． tanA tanB
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
人 教 B 版 数 学
必修⑤
第1章
1.1
第2课时
第1章
解三角形
一、选择题 1．在△ABC 中，a＝ 80，b＝ 100，A＝ 45° ，则此三 角形解的情况是( A．一解 C．一解或两解 ) B．两解 D．无解
【数学】第一章《解三角形复习》课件(新人教B版必修5)
A
A.
2 , B.
3 , C . 2， D .
5
4 6
1
本章知识框架图
正弦定理 解 三 角 形 余弦定理 应 用 举 例
课堂小结
1、正弦定理、余弦定理的简单应用； 2、利用正、余弦定理、三角形面积公式解
三角形问题；
3、解三角形的实际应用问题
练习
一、选择题：
2.在 A B C 中 ， A 60 ， a
A 6 , b 3, 则 A B C 解 得 情 况 是
C. 有两解，
A .无解， B. 有一解，
1、 在 Ａ Ｂ Ｃ 中 ， A C =
D. 不能确定 .
3 , A 45 , C 75 , 则 BC
变式 2、 已知 ABC 中 ， s inA : sin B : sin C 1 :
7:
3 , 那么 B 等于 150° ____
变式 3、 已知 ABC 中 ， b c) : (c a) : (a b) 4 : 5 : 6 , 那么 A 等于 ____ (
变式 4、 已知 ABC 中 ，a
必修5 解三角形复习
一、正弦定理及其变形：
a sin A b sin B
变 形
c sin C
2R
( R为 三 角 形 外 接 圆 半 径 ）
a 2 R sin A b 2 R sin B c 2 R sin C
(sin A (sin B (sin C
a 2R b 2R c 2R
) ) )
a : b : c sin A : sin B : sin C
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(第2课时)正弦定理和余弦定理bb高二数学
12/9/2021
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2
PART TWO
题型探究(tànjiū)
2021/12/9
第九页，共三十九页。
题型一 利用(lìyòng)正弦、余弦定理解三角形
例 1 在△ABC 中，若 ccos B＝bcos C，cos A＝23，求 sin B 的值.
A.锐角三角形
√ B.直角三角形 C.钝角(dùnjiǎo)三角形 D.不能确定
解析 由正弦定理知，sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR.
∴sin2A＋sin2B<sin2C可化为a2＋b2<c2，a2＋b2－c2<0.
a2＋b2－c2 ∴cos C＝ 2ab <0.
∴角C为钝角(dùnjiǎo)，△ABC为钝角三角形.
12/9/2021
第二十七页，共三十九页。
核心(héxīn)素养之数学运算
HEXINSUYANGZHISHUXUEYUNSUAN
求三角形一角的值
典例 在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若(a2＋c2－b2)tan B
பைடு நூலகம்
＝ 3ac，则角 B 的值为
π A.6
√B.3π或23π
π C.3
1.正弦定理及常见变形
a (1)sin
b
c
A＝__s_i_n_B__＝__s_in__C__＝2R(其中
R
是△ABC_外__接__圆_的__半__径___)；
(bànjìng)
(2)a＝bssiinnBA＝cssiinnCA＝2Rsin A；
人教B版高中数学必修五 1.1正弦定理和余弦定理(5必修)
1.1正弦定理和余弦定理（数学5必修）1.2应用举例1.3实习作业[基础训练A 组]一、选择题（六个小题，每题5分，共30分）1．在△ABC 中，若0030,6,90===B a C ，则b c -等于（）A ．1B ．1-C ．32D ．32-2．若A 为△ABC 的内角，则下列函数中一定取正值的是（）A ．A sinB ．A cosC ．A tanD ．Atan 1 3．在△ABC 中，角A 、B 均为锐角，且,sin cos B A >则△ABC 的形状是（）A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等腰三角形4．等腰三角形一腰上的高是3，这条高与底边的夹角为060，则底边长=（）A ．2B ．23C ．3D ．32 5．在△ABC 中，若B a b sin 2=，则A 等于（）A ．006030或B ．006045或C ．0060120或D ．0015030或6．边长为5，7，8的三角形的最大角与最小角的和是（）A ．090B ．0120C ．0135D ．0150二、填空题（五个小题，每题6分，共30分）1． 在Rt △ABC 中，C=090，则B A sin sin 的最大值是_______________。
2．在△ABC 中，若=++=A c bc b a 则,222_________。
3．在△ABC 中，若====a C B b 则,135,30,200_________。
4．在△ABC 中，若sin A ∶sin B ∶sin C=7∶8∶13，则C=_____________。
5．在△ABC 中，,26-=AB ∠C=300，则AC+BC 的最大值是________。
三、解答题（四个小题，每题10分，共40分）1． 在△ABC 中，若,cos cos cos C c B b A a =+则△ABC 的形状是什么？2．在△ABC 中，求证：)cos cos (aA bB c a b b a -=-3．在锐角△ABC 中，求证：C B A C B A cos cos cos sin sin sin ++>++。
高中数学教学课例《解三角形正弦定理(第1课时)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
论，并且得到不同的证明方法。
进行这个活动，首先由教师进行正弦定理的几何方
法证明，这个方法是比较困难的，之后在学生理解的前
提下，引导学生思考，在解决几何问题的过程中，除了
使用纯几何理论的方法以外，我们还有哪些常用的方
能力，从班级学生的情况来看，对于这三个主要方法的 力分析
掌握不好，尤其是在信息整合上，从题目中获取得太少；
学生在课堂上的表现，缺少主动思考的能力，课堂上不
擅长记笔记和整合老师所讲的知识点和方法，效率低 下；学生合作学习氛围良好，可以做到积极讨论，分析 方法，互相帮助；学生主要的认知障碍在于知识点的记 忆模糊，不会前后联系形成系统，所以经常会出现纰漏。
理逻辑思维等核心素养，达到育人的目的。
高中数学教学课例《解三角形正弦定理（第 1 课时）》教学 设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《解三角形正弦定理（第 1 课时）》
称
正弦定理的主要学习内容为正弦定理的形式和应
用正弦定理解三角形。
教材分析
教学重点：正弦定理的内容和正弦定理解三角形的
应用
教学难点：正弦定理的证明
基本目标：掌握正弦定理（基本知识）、能利用正
法，促进学生想到处理几何问题的坐标法和向量法。之
后，让学生分组进行坐标法和向量法的证明，期间指导
学生在证明过程中遇到的理论和计算上的问题。
在整个课程中，通过课堂实践反馈出来的主要信息
包括以下几点：
1、学生基本学习能力差，主要表现在课前预习缺
乏思考，没有延展性；
2、数学知识的系统性和总结性不强，主要表现在，
课时作业12：§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形课时1正弦定理和余弦定理
§4.6正弦定理、余弦定理及解三角形课时1正弦定理、余弦定理一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．在△ABC 中，若sin A a ＝cos Bb ，则B 的值为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°2．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ， bc ＝4，则△ABC 的面积为( ) A.12 B ．1 C.3D ．23．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝3，cos A ＝13，则B ＝( )A.π4B.π3C.π6D.2π34．在△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝75°，∠B ＝45°，则AC ＝________.5．在△ABC 中，已知AB ＝3，A ＝120°，且△ABC 的面积为1534，则BC 边的长为________．二保高考，全练题型做到高考达标1．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边的长分别为a ，b ，c ， 若a sin A ＋b sin B <c sin C ，则△ABC 的形状是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形D ．不确定2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定3．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，且(b －c )(sin B ＋sin C ) ＝(a －3c )sin A ，则角B 的大小为( ) A ．30° B ．45° C ．60°D ．120°4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，若c ＝1，B ＝45°， cos A ＝35，则b 等于( )A.53B.107C.57D.52145．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对边长分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，b ＝2a cos B ，c ＝1，则△ABC 的面积等于( ) A.32 B.34 C.36D.386．在△ABC 中，a ＝4，b ＝5，c ＝6，则sin 2Asin C＝________.7．在△ABC 中，如果cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，那么△ABC 的形状是________． 8．已知△ABC 中，AB ＝3，BC ＝1，sin C ＝3cos C ，则△ABC 的面积为________． 9．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝5，cos B ＝35.(1)求b 的值； (2)求sin C 的值．10．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知A ＝π4，b 2－a 2＝12c 2.(1)求tan C 的值；(2)若△ABC 的面积为3，求b 的值． 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．已知锐角A 是△ABC 的一个内角，a ，b ，c 是三角形中各角的对应边， 若sin 2A －cos 2A ＝12，则下列各式正确的是( )A ．b ＋c ＝2aB ．b ＋c <2aC ．b ＋c ≤2aD ．b ＋c ≥2a2．如图所示，在四边形ABCD 中，∠D ＝2∠B ，且AD ＝1，CD ＝3，cos ∠B ＝33. (1)求△ACD 的面积； (2)若BC ＝23，求AB 的长．参考答案一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．B【解析】 由正弦定理知：sin A sin A ＝cos Bsin B，∴sin B ＝cos B ，∴B ＝45°. 2．C【解析】 ∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4，∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝ 3.3．A【解析】因为cos A ＝13，所以sin A ＝1－19＝223，由正弦定理， 得4sin A ＝3sin B ，所以sin B ＝22，又因为b <a ，所以B <π2，B ＝π4. 4．2【解析】∠C ＝180°－75°－45°＝60°， 由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ，即6sin 60°＝AC sin 45°，解得AC ＝2. 5．7【解析】由S △ABC ＝1534得12×3×AC sin 120°＝1534，所以AC ＝5，因此BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝9＋25＋2×3×5×12＝49，解得BC ＝7.二保高考，全练题型做到高考达标 1．C【解析】 根据正弦定理可得a 2＋b 2<c 2.由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab<0，故C 是钝角． 2．C【解析】由正弦定理得b sin B ＝csin C ，∴sin B ＝b sin Cc ＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 3．A【解析】 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝csin C及(b －c )·(sin B ＋sin C )＝(a －3c )sin A得(b －c )(b ＋c )＝(a －3c )a ，即b 2－c 2＝a 2－3ac ，所以a 2＋c 2－b 2＝3ac ， 又因为cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ，所以cos B ＝32，所以B ＝30°.4．C【解析】因为cos A ＝35，所以sin A ＝1－cos 2A ＝1－⎝⎛⎭⎫352＝45，所以sin C ＝sin[180°－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝ 45cos 45°＋35sin 45°＝7210. 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得b ＝17210×sin 45°＝57.5．B【解析】 由正弦定理得sin B ＝2sin A cos B ，故tan B ＝2sin A ＝2sin π3＝3，又B ∈(0，π)，所以B ＝π3，又A ＝B ＝π3，则△ABC 是正三角形，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝12×1×1×32＝34.6．1【解析】由正弦定理得sin A sin C ＝ac ，由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，∵a ＝4，b ＝5，c ＝6， ∴sin 2A sin C ＝2sin A cos A sin C ＝2·sin Asin C·cos A ＝2×46×52＋62－422×5×6＝1.7．等腰三角形【解析】∵cos(B ＋A )＋2sin A sin B ＝1，∴cos A cos B ＋sin A sin B ＝1，∴cos(A －B )＝1，在△ABC 中，A －B ＝0⇒A ＝B ，所以此三角形是等腰三角形． 8．32【解析】由sin C ＝3cos C 得tan C ＝3>0，所以C ＝π3.根据正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即1sin A ＝332＝2，所以sin A ＝12.因为AB >BC ，所以A <C ，所以A ＝π6，所以B ＝π2，即三角形为直角三角形， 故S △ABC ＝12×3×1＝32.9． 解：(1)因为b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝4＋25－2×2×5×35＝17，所以b ＝17.(2)因为cos B ＝35，所以sin B ＝45，由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得1745＝5sin C，所以sin C ＝41717.10． 解：(1)由b 2－a 2＝12c 2及正弦定理得sin 2B －12＝12sin 2C ，所以－cos 2B ＝sin 2C .① 又由A ＝π4，即B ＋C ＝3π4，得－cos 2B ＝sin 2C ＝2sin C cos C ，② 由①②解得tan C ＝2.(2)由tan C ＝2，C ∈(0，π)，得 sin C ＝255，cos C ＝55.因为sin B ＝sin(A ＋C )＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋C ， 所以sin B ＝31010.由正弦定理得c ＝22b3，又因为A ＝π4，12bc sin A ＝3，所以bc ＝62，故b ＝3.三上台阶，自主选做志在冲刺名校 1．C【解析】∵sin 2A －cos 2A ＝12，∴cos 2A ＝－12.∵0<A <π2，∴0<2A <π，∴2A ＝2π3，∴A ＝π3，由余弦定理得，a 2＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ≥(b ＋c )2－34(b ＋c )2＝b ＋c 24，∴4a 2≥(b ＋c )2，∴2a ≥b ＋c .2． 解：(1)因为∠D ＝2∠B ，cos ∠B ＝33， 所以cos ∠D ＝cos 2∠B ＝2cos 2∠B －1＝－13.因为∠D ∈(0，π)，所以sin ∠D ＝1－cos 2∠D ＝223. 因为AD ＝1，CD ＝3， 所以△ACD 的面积S ＝12AD ·CD ·sin ∠D ＝12×1×3×223＝ 2. (2)在△ACD 中，AC 2＝AD 2＋DC 2－2AD ·DC ·cos ∠D ＝12， 所以AC ＝2 3.因为BC ＝23，AC sin ∠B ＝AB sin ∠ACB ，所以23sin ∠B ＝AB sin π－2∠B ＝AB sin 2∠B ＝AB 2sin ∠B cos ∠B ＝AB233sin ∠B ，所以AB ＝4.。
2021年高中数学一轮复习·解三角形：第1节 正弦定理
A．
B．
【答案】D
C．
D．
（负值舍去），故选：A．
，
，则 A= （ ）
3
考点：正弦定理，余弦定理． 5．在△ABC 中，若
，则 等于（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】C 【解析】
试题分析：
，
，
，故选 C．
考点：三角函数的定义及特殊角的三角函数．
6．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c．a=15，b=10，A=60°，则 sinB=
A 为锐角
A 为钝角或直角
图形
关系式
解的个数 【典例讲解】
a＜bsin A 无解
a＝bsin A 一解
bsin A＜a＜ a≥b
b
两解
一解
a＞b 一解
a≤b 无解
【例一】
A．1 【答案】C
中，角 B．2
所对的边分别为 C．4
．若 D．6
，则边 （ ）
【解析】
，即
，解得 或
（舍去）．
【例二】在
中，角
的对边分别为
2R
2R
2R
面积公式 S＝1absin C＝1bcsin A＝1acsin B
2
2
2
【规律技巧】
已知两角一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．
已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的难点，应引
起注意．
已知两边和其中一边的对角，解三角形时，注意解的情况．如已知 a，b，A，则
理取舍，如本题中由正弦定理得到
进行取舍．
3．在
中，
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5．在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝ ，则sinB＝( )
A. B.
C. D．1
解析：根据正弦定理， ＝ ，则sinB＝ sinA＝ × ＝ B，C所对的边长分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )
A．直角三角形 B．锐角三角形
∴sinAcosA＋cos2B＝sin2B＋cos2B＝1.
答案：D
4．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A．b＝10，∠A＝45°，∠C＝70°
B．a＝30，b＝25，∠A＝150°
C．a＝7，b＝8，∠A＝98°
D．a＝14，b＝16，∠A＝45°
解析：A中已知两角及一边，只有一解；B中∠A是钝角，∴只有一解；C中∠A是钝角且a<b，∴无解；D中bsinA<a<b，∴有两解．
解析：∵A＝30°，B＝120°，∴C＝30°，
由 ＝ 可得a＝ ＝ ＝4 ，c＝a＝4 ，
∴a＋c＝8 .
答案：8
9．已知a、b、c分别是△ABC的三个内角A、B、C所对的边，若a＝1，b＝ ，A＋C＝2B，则sinA＝________.
解析：∵A＋C＝2B，又A＋B＋C＝180°，∴B＝60°，由 ＝ 可得：sinA＝ ＝ ＝ .
由正弦定理 ＝ ＝ ，得b＝ ＝ ＝ ，a＝ ＝2 .
12．在△ABC中，a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A.
(1)求cosA的值；
(2)求c的值．
解：(1)因为a＝3，b＝2 ，∠B＝2∠A，
所以在△ABC中，由正弦定理得 ＝ .
所以 ＝ .故cosA＝ .
(2)由(1)知，cosA＝ ，所以sinA＝ ＝ .
答案：A
2．在△ABC中，已知a＝3，B＝60°，cosA＝ ，则b＝( )
A. B.
C. D.
解析：∵0<A<π，cosA＝ ，∴sinA＝ ，由正弦定理得b＝ ＝ ＝ .故选C.
答案：C
3．在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝ b，则角A等于( )
A. B.
C. D.
答案：D
5．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ＝ ＝ ，试判断△ABC的形状．
解：由正弦定理 ＝ ＝ ＝2R，
得a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
代入 ＝ ＝ 中，得
＝ ＝ ，
即 ＝ ＝ ，
∴tanA＝tanB＝tanC，即A＝B＝C.
因此△ABC为等边三角形．
(1)求角C的大小；
(2)若sinB＝cos2B，且c＝3，求a，b的值．
解：(1)∵p∥q，∴ ＝ .
∴tanC＝ .又∵C∈(0，π)，∴C＝ .
(2)∵sinB＝cos2B＝1－2sin2B，∴2sin2B＋sinB－1＝0.
∴sinB＝ 或sinB＝－1.
∵B∈ ，∴sinB＝ .
∴B＝ .∴A＝ .
答案：
10．在△ABC中，B＝45°，AC＝ ，cosC＝ ，求BC的长．
解：由cosC＝ ，得sinC＝ ＝ .
sinA＝sin(180°－45°－C)＝ (cosC＋sinC)＝ .
由正弦定理，得BC＝ ＝ ＝3 .
11．已知a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，p＝(cosC，sinC)，q＝(1， )，且p∥q.
解析：∵2asinB＝ b，∴2sinAsinB＝ sinB.
∵sinB≠0，∴sinA＝ .
∵A∈ ，∴A＝ .故选A.
答案：A
4．已知△ABC中，a＝x，b＝2，∠B＝45°，若三角形有两解，则x的取值范围是( )
A．x>2 B．x<2
C．2<x<2 D．2<x<2
解析：∵满足条件的三角形有两解，∴asinB<b<a，即xsin45°<2<x，解得2<x<2 .
又因为∠B＝2∠A，所以cosB＝2cos2A－1＝ .
所以sinB＝ ＝ .
在△ABC中，sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝ .
所以c＝ ＝5.
A．4 B．2
C. D.
解析：由正弦定理得 ＝ ，即 ＝ ，解得AC＝2 .
答案：B
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则sinAcosA＋cos2B＝( )
A．－ B.
C．－1 D．1
解析：∵根据正弦定理 ＝ ＝2R，得a＝2RsinA，b＝2RsinB，∴acosA＝bsinB可化为sinAcosA＝sin2B.
C．钝角三角形 D．不确定
解析：∵ ＝ ＝ ，∴sinBcosC＋sinCcosB＝sinAsinA，
即sin(B＋C)＝sin2A，即sinA＝1，∴A＝ ，故选A.
答案：A
7．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶3∶5，则 的值为________．
解析： ＝ ＝ ＝－ .
答案：－
8．在△ABC中，A＝30°，B＝120°，b＝12，则a＋c＝____________.
课时作业(一) 正弦定理
A 组
(限时：10分钟)
1．在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ ，B＝60°，那么A＝( )
A．45° B．135°
C．45°或135° D．60°
解析：由正弦定理可得sinA＝ ，但a<b，所以A<B，故A只能是锐角45°.
答案：A
2．在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝3 ，则AC＝( )
B 组
(限时：30分钟)
1．在△ABC中，AB＝ ，A＝45°，C＝75°，则BC等于( )
A．3－ B.
C．2 D．3＋
解析：在△ABC中，由正弦定理，得 ＝ ，
∴BC＝ ·sin45°.
又∵sin75°＝sin(30°＋45°)＝sin30°cos45°＋cos30°sin45°＝ ，
∴BC＝ × ＝3－ .