高三数学一轮复习课时作业12 函数模型及其应用 文 北师大版
【北师大版】高三数学一轮复习：2-9函数模型及其应用
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第二章 第九节
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2.将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t分钟后甲桶中
剩余的水符合指数衰减曲线y＝aent.假设5分钟后甲桶和乙桶
的水量相等，若再过m分钟后甲桶中的水只有
a 8
，则m的值
为( )
A．7
B．8
C．9
D．10
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突破考点·速通关02
互动探究·各个击破
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第二章 第九节
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一次函数与二次函数模型
[例1] 某公司生产一种产品，每年需投入固定成本
0.5万元，此外每生产100件这样的产品，还需增加投入
0.25万元，经市场调查知这种产品年需求量为500件，产
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第二章 第九节
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解析：设定价为(90＋x)元，则每件商品利润为90＋x－ 80＝(10＋x)(元)，利润y＝(10＋x)(400－20x)＝20(x＋10)·(20 －x)＝－20(x－5)2＋4 500，当x＝5时，利润最大，故售价 定为95元．
答案：A
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品销售数量为t件时，销售所得的收入为
解析：令18a＝aent，即18＝ent，因为12＝e5n，故18＝e15n， 比较知t＝15，m＝15－5＝10.
答案：D
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3．设甲、乙两地的距离为a(a>0)，小王骑自行车以匀 速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又 以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返 回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为( )
高考数学大一轮总复习 第二章 函数、导数及其应用 计时双基练12 函数模型及其应用 文 北师大版
计时双基练十二 函数模型及其应用A 组 基础必做1．下表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，它最可能的函数模型是( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型解析 根据已知数据可知，自变量每增加1，函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型。
答案 A2．设甲、乙两地的距离为a (a >0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y 和所用的时间x 的函数图像为( )解析 注意到y 为“小王从出发到返回原地所经过的路程\”而不是位移，用定性分析法不难得到答案为D 。
答案 D3．(2015·辽宁五校联考)一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同)，汽车在时间t 内的路程为s ＝12t 2米，那么，此人( )A ．可在7秒内追上汽车B ．可在9秒内追上汽车C ．不能追上汽车，但期间最近距离为14米D ．不能追上汽车，但期间最近距离为7米解析 已知s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7。
当t＝6时，d 取得最小值7。
答案 D4．(2015·北京朝阳区模拟)某房地产公司计划出租70套相同的公寓房。
当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租。
设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用)。
要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( )A ．3 000元B ．3 300元C ．3 500元D ．4 000元解析 由题意，设利润为y 元，租金定为3 000＋50x 元(0≤x ≤70，x ∈N )。
高三数学一轮基础巩固函数模型及其应用含解析北师大版
【走向高考】2０16届高三数学一轮基础巩固第2章第9节函数模型及其应用北师大版一、选择题１．若一根蜡烛长２0cm,点燃后每小时燃烧5cm，则燃烧剩下的高度h(cm)与燃烧时间ｔ（小时)的函数关系用图像表示为（ )[答案] B［解析］根据题意得解析式为h＝2０－5t(0≤t≤4）,其图像为B.2.某产品的总成本ｙ(万元)与产量ｘ(台)之间的函数关系是y=３000+2０x-0．1x２(0<ｘ<２40,x∈N＊)，若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是( )A．100台Ｂ．1２０台C．1５0台ﻩＤ.180台[答案] C[解析] 设利润为f（x)(万元）,则f(x)=２5x-（３00０＋２０ｘ－０.1x2)=0.1x２＋5ｘ-3000≥0,又∵ｘ∈N*，∴x≥1５0.3．(文)(教材改编题)等边三角形的边长为x,面积为ｙ,则ｙ与x之间的函数关系式为（ )A．ｙ=x2B．y=＼f（１，2）ｘ2C．y＝错误!x２ﻩD.y＝错误!x２[答案] D[解析] y=错误!·ｘ·x·ｓin60°＝错误!x2.（理)２01０年７月1日某人到银行存入一年期款ａ元,若年利率为x，按复利计算，则到2０15年7月1日可取款( )A.ａ(1+x)5元B.ａ(1＋ｘ)６元C.a+(1＋ｘ)5元D.a(1+x5）元[答案] A[解析] 因为年利率按复利计算,一年后可取回a（1＋x)元,二年后可取回a（1+x)２元，…,所以到201５年7月1日可取款a(1＋x)5.4．某电信公司推出两种手机收费方式:A种方式是月租20元,B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时,这两种方式电话费相差( )A．10元 B.20元Ｃ.30元 D.＼f(４０,３)元[答案] Ａ[解析] 设Ａ种方式对应的函数解析式为S=k1t＋2０,Ｂ种方式对应的函数解析式为S=ｋ2t,当t=10０时,１０0k1＋20=100k2，∴ｋ2－k1=＼ｆ(1,5）,t＝1５０时,１５0k2－1５０k1－20＝150×＼f(1，５)－20=１0.5.(文)（原创题)《走向高考》系数丛书2０15年的销量比２013的销量增长44%,若每年的平均增长率相同(设为x)，则以下结论正确的是( )Ａ．x>22%B．x<２2%C.x=22%D．x的大小由第一年的销量确定[答案］B[解析］（1＋x)2=1＋44%,解得x=0.２<0.22.故选B.(理)某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位:万元)分别为L１＝5.06x－0．15x2和Ｌ2=2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售１5辆车，则能获得的最大利润为( )A．45．606 ﻩB.4５.6C．45.５6 D．4５．51[答案] B[解析] 依题意可设甲销售x辆,则乙销售(15－x)辆，∴总利润S＝５.06x-0．15x2＋2(1５－ｘ）=-０.15ｘ2＋3.0６x＋３0（x≥0).∴当x＝１0时，S max=4５.6（万元).６.我们知道，烟酒对人的健康有危害作用，从而我国加强对烟酒生产的宏观管理，除了应征税收外,还征收附加税,已知某种酒每瓶售价为7０元,不收附加税时,每年大约销售100万瓶;若每销售1０0元国家要征附加税x元(叫作税率x%）,则每年销售量将减少10x万瓶，如果要使每年在此项经营中所收取的附加税额不少于112万元，则x的最小值为( )A．2 B.6C.８D.10[答案］ A[解析] 依题意有：(１00-1０x )×7０×x100≥１12,∴2≤x ≤8. 二、填空题７.某出租车公司规定“打的”收费标准如下：3千米以内为起步价8元(即行程不超过3千米,一律收费8元),若超过3千米除起步价外，超过部分再按1.5元/千米收费计价,若某乘客再与司机约定按四舍五入以元计费不找零钱,该乘客下车时乘车里程数为7．4，则乘客应付的车费是_＿＿_____元．[答案] 1５[解析] 车费为8＋(7.4-３)×1．5=１４.6≈1５(元)．８.（2０14·东三校联考)为了保证信息安全，传输必须使用加密方式，有一种方式其加密、解密原理如下：明文错误!密文错误!密文错误!明文已知加密为y =a ｘ－2(x 为明文，y 为密文),如果明文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送，接受方通过解密得到明文“３”,若接受方接到密文为“14”，则原发的明文是____＿_＿_.[答案] ４［解析] 依题意y ＝a x－2中,当x ＝３时，ｙ=6，故6=ａ3-2，解得a =2.所以加密为y =２ｘ－2，因此,当y ＝14时,由14=2ｘ-２，解得x ＝4．9.某商家一月份至五月份累计销售额达3 860万元,预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增ｘ%，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等,若一月份至十月份销售总额至少达7 ０0０万元,则x 的最小值是＿_______.[答案] ２０［解析］ 由题意得,３ ８60＋5０0+[5０0(１+x %）+５00(１＋x ％)２]×2≥7 0０0, 化简得(x ％)２+3·x %-0.64≥0, 解得x %≥0.2,或x ％≤-3.2(舍去)． ∴x ≥２0，即x 的最小值为20. 三、解答题1０．某厂生产某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件,需另投入成本为Ｃ（x )万元，当年产量不足８0千件时,C (ｘ）=１３x 2+10x (万元);当年产量不少于80千件时，C (ｘ)＝５1x +错误!-1 450(万元).通过市场分析，若每件售价为500元时，该厂年内生产该商品能全部销售完.(1）写出年利润L (万元）关于年产量x （千件)的函数解析式； (２）年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？ ［解析] （1）当0<ｘ<８0,x ∈Ｎ＋时,L （x )＝错误!-错误!x 2-10x －２5０＝-13x 2+40ｘ－250; 当x ≥80,x ∈Ｎ+时,L (x )＝50０×1 0００x10 000－5１ｘ－＼ｆ(１0 0０0，x ）＋1 4５０-２50=1 ２00－错误!， ∴L (x )=错误!(2)当０<x <80,x ∈Ｎ＋时,L (x )=－错误!(x -６0)2＋９5０,∴当x ＝60时，Ｌ(x )取得最大值L (60)＝9５0． 当x ≥8０，x ∈N +时,Ｌ(x )=１ 2０0－错误!≤1 200-2错误!=1 2０0－20０＝1 000， ∴当x ＝10 000x，即x =1０0时，L (ｘ)取得最大值L (100)=1 000>9５０.综上所述,当x =100时，L (x )取得最大值1 000，即年产量为100千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大．一、选择题1．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料,如图,为降低消耗,开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图中阴影部分）备用，当截取的矩形面积最大时,矩形两边长x ,y 应为（ )A ．x =１5,ｙ＝12B ．x ＝12，ｙ＝1５C.x ＝14,y ＝１０ﻩD ．x ＝10，ｙ＝14 ［答案] Ａ[解析] 由三角形相似得＼f(24－y,24-8）=x2０，得ｘ＝错误!(２4-y )，∴S =xy ＝－＼f(5,4)(y －12)2＋18０, ∴当y =１2时，Ｓ有最大值,此时x ＝15.2．对函数f (x )＝3x 2+ax ＋b 作代换x =g (t ）,则总不改变ｆ（x )值域的代换是( ） A.g (t )＝log ＼f(１,2）t ﻩB.g （t )=(12)ｔC.g (t )＝(t －1)2D.g （t )=c ｏs t[答案] Ａ[解析] 只有A 中函数的值域与f (x )中ｘ的取值范围一致，即R ，所以只有A 中函数代换后ｆ(x )值域不变．二、填空题３．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.３mg/m Ｌ,在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时2５%的速度减少,为了保障交通安全,某地根据《道路交通安全法》规定:驾驶员血液中的酒精含量不得超过0．０９mg/mL ，那么,一个喝了少量酒后的驾驶员,至少经过______＿＿h ，才能开车？(精确到1h)[答案] 5[解析］ 设x h 后，血液中的酒精含量不超过0.09m ｇ／mL,则有0.3·(＼f(3,4))x≤0.0９,即(错误!)x≤0.3,估算或取对数计算得5h 后可以开车．４．里氏震级Ｍ的计算公式为:M ＝lg A －lg A 0，其中Ａ是测震仪记录的地震曲线的最大振幅,A 0是相应的标准地震的振幅.假设在一次地震中,测震仪记录的最大振幅是１ ０00,此时标准地震的振幅为0.001,则此次地震的震级为＿＿______级；9级地震的最大振幅是5级地震最大振幅的＿_______倍.［答案] 6 10 000[解析] 本题考查应用数学解决实际问题的能力． (1)M =lg1 0００－lg0.001=3+3=6.(2)设９级、5级地震最大振幅分别为A ９,A 5，则９=ｌg A 9－lg A 0,5=ｌg A ５－ｌｇA 0,两式相减得４=lg A 9－l ｇA ５=l ｇA 9A 5，即错误!=10４,所以9级地震最大振幅是5级地震最大振幅的1000０倍.三、解答题5.据气象中心观察和预测:发生于Ｍ地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度v （k ｍ/h)与时间t (h)的函数图像如图所示，过线段OC 上一点Ｔ(t,0)作横轴的垂线l ，梯形OABC 在直线l 左侧部分的面积即为t (ｈ)内沙尘暴所经过的路程ｓ(km).（1)当t =４时,求s 的值；(２)将s 随t 变化的规律用数学关系式表示出来;（3)若Ｎ城位于Ｍ地正南方向,且距M 地6５0km ，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到Ｎ城,如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N 城？如果不会,请说明理由．[分析] 认真审题,准确理解题意,建立函数关系． [解析］ （1)由图像可知,当t =４时,ｖ=3×4=12, ∴s =１２×４×12＝２4(ｋm)．(2)当0≤t ≤10时,ｓ＝12·t ·３t ＝＼ｆ(３,２)ｔ2,当1０<t ≤20时,s ＝＼f(１，2)×10×３０＋3０（t -1０)＝30ｔ-150；当２0＜t ≤35时,s ＝12×10×30＋１０×30＋(t -２0）×３0-错误!×(t -２0)×２(t -20）=－t 2＋70t －５５0.综上可知ｓ=错误!(３)∵t ∈[0,10]时,ｓm ａx ＝错误!×102=１50<65０.t ∈(１0，2０]时,s m ａx ＝3０×20-150=450＜6５０．∴当t ∈(20,35]时，令-t ２＋7０t -550＝650. 解得ｔ1＝30,t ２=40,∵2０<t ≤３5，∴t =３０, 所以沙尘暴发生３0h 后将侵袭到N 城.6．现有某种细胞1００个，其中有占总数错误!的细胞每小时分裂一次．即由１个细胞分裂成2个细胞,按这种规律发展下去,经过多少小时，细胞总数可以超过1010?(精确到小时)(参考数据：lg3≈0.４77,lg2≈0．301)[解析] 现有细胞100个，先考虑经过1、２、３、４个小时后的细胞总数, 1小时后,细胞总数为错误!×１００＋错误!×100×２=错误!×１00;2小时后，细胞总数为错误!×错误!×10０+错误!×错误!×１0０×2=错误!×1００； 3小时后，细胞总数为错误!×错误!×１00+错误!×错误!×100×２=错误!×10０; 4小时后,细胞总数为＼f(1,2)×278×100＋错误!×错误!×100×2＝错误!×10０； …可见,细胞总数y 与时间x (小时)之间的函数关系为:y ＝１0０×（＼f(３,2)）x ,x ∈N ，由100×(＼f(3,2）)x>1０10，得(＼f （３,2）)ｘ＞108， 两边取以10为底的对数，得x lg 错误!>８, ∴ｘ>错误!，∵错误!≈错误!≈45.4５，故经过46小时,细胞总数可以超过1010.。
2013届高三北师大版文科数学一轮复习课时作业(12)函数模型及其应用)
课时作业(十二) [第12讲 函数模型及其应用][时间：45分钟 分值：100分]1．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t ＝0表示中午12时，其后t 值取为正，则上午8时的温度是( )A ．8℃B ．112℃C ．58℃D ．18℃2则x ，y A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋bD ．y ＝a ＋b x3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )4．某工厂生产一种仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器的每台售价P (元)与每月生产量x 台的关系为P ＝500－x .为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器的台数为________．(注：利润＝销售收入－总成本)5．下列所给4个图像中，与所给3件事吻合最好的顺序为( )图K12－1(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学；(2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速．A ．(1)(2)(4)B ．(4)(2)(3)C ．(1)(2)(3)D ．(4)(1)(2)6．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图像表示为( )图K12－2图K12－37．有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用材料隔成三个面积相等的矩形(如图K12－3)，则围成的矩形场地的最大面积为( )A ．1000 m 2B ．2000 m 2C ．2500 m 2D ．3000 m 2 8．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：则下列说法中正确的是( )①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a 8，则m 的值为( ) A ．7 B ．8 C ．9 D ．1010．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml ，那么，该人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)11．[2011·滨州模拟] 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．12．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．13．如图K12－4所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法：图K12－4(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活收入增长最快的一年是2008年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；(4)虽然2010年生活收入指数增长缓慢，但由于生活价格指数略有降低，因而人民生活有较大的改善． 其中说法正确的是________(填写标号即可)．14．(10分)某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图K12－5(1)，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？图K12－515．(13分)运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km(50≤x ≤100)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝⎛⎭⎫2＋x 2360 L ，司机的工资是每小时14元．(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．16．(12分)[2011·江苏卷] 请你设计一个包装盒，如图K12－6所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．图K12－6课时作业(十二)【基础热身】1．A [解析] 因为t ＝0表示中午12时，则上午8时为t ＝－4，代入函数即可得到A.2．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．B [解析] 画出函数的大致图像，如图所示，当x ∈(4，＋∞)时，指数函数图像位于二次函数图像的上方，二次函数图像位于对数函数图像的上方，故g (x )>f (x )>h (x )．4．200 [解析] 利润y ＝(500－x )x －100x －20000＝－(x －200)2＋20000，所以当x ＝200时，y 有最大值．【能力提升】5．D [解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应选图像(4)；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像(1)；最后加速，故应选图像(2)．6．B [解析] 根据题意得解析式h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图像为B.7．C [解析] 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如题图，则4x ＋3y ＝200.又S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2500，∴当x ＝25时，S max ＝2500.8．D [解析] 买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100>2.8100，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3＞2.1，故卖1大包盈利多．9．D [解析] 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10. 10．5 [解析] 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/ml ，则有0.3·⎝⎛⎭⎫34x ≤0.09，即⎝⎛⎭⎫34x ≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车．11．0.6,1,0.8 [解析] 函数模型y ＝lg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝2.4，①ab ＝0.6，②x ＝3a ＋5b ＋8c ，③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧5a ＝3b ，ab ＝0.6时等号成立， 解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值．12．20 [解析] 由题意知，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2，依题意有3860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7000，化简得(x %)2＋3×x %－0.64≥0，解得x %≥0.2或x %≤－3.2(舍去)，∴x ≥20，即x 的最小值为20.13．(1)(2)(4) [解析] 本题是一个图表信息题，题中只给出一份统计图，利用统计图中所含的信息去分析．由题意，“生活收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活收入指数”在2008～2009年最陡，故(2)正确；“生活价格指数”在2008年～2009年最陡，故在2008年上涨速度最快，故(3)不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确．14．[解答] (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元．依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图(1)，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15. 由图(2)，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6.∴k 2＝45， 故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设公司利润为y 万元，由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)． ∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10， ∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8， 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元．15．[解答] (1)行车所用时间为t ＝130x ，y ＝130x ×2×⎝⎛⎭⎫2＋x 2360＋14×130x，x ∈[50,100]， 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立． 故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．【难点突破】16．[解答] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800，所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )，由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0.所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。
2020大一轮高考总复习文数(北师大版)课时作业提升：12 函数模型及其应用 Word版含解析.doc
课时作业提升(十二)函数模型及其应用A组夯实基础1．下表是函数值y随自变量x变化的一组数据，它最可能的函数模型是()x 45678910y 15171921232527AC．指数函数模型D．对数函数模型解析：选A根据已知数据可知，自变量每增加1函数值增加2，因此函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．2．某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况.加油时间加油量(L)加油时的累计里程(km)2017年5月1日1235 0002017年5月15日4835 600在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为()A．6 L B．8 LC．10 L D．12 L解析：选B因为每次都把油箱加满，第二次加了48 L油，说明这段时间总耗油量为48 L，而行驶的路程为35 600－35 000＝600(km)，故每100千米平均耗油量为48÷6＝8(L)．3．(2018·柳州联考)设甲、乙两地的距离为a(a＞0)，小王骑自行车以匀速从甲地到乙地用了20分钟，在乙地休息10分钟后，他又以匀速从乙地返回到甲地用了30分钟，则小王从出发到返回原地所经过的路程y和其所用的时间x的函数图像为()解析：选D y为“小王从出发到返回原地所经过的路程”而不是位移，故排除A，C．又因为小王在乙地休息10分钟，故排除B，故选D．4．(2018·银川月考)国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11%纳税．若某人共纳税420元，则这个人的稿费为()A．3 000元B．3 800元C ．3 818元D ．5 600元解析：选B 由题意可建立纳税额y 关于稿费x 的函数解析式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，x ≤800，0.14(x －800)，800＜x ≤4 000，0.11x ，x ＞4 000.显然由0.14(x －800)＝420，可得x ＝3 800.5．用清水洗衣服，若每次能洗去污垢的34，要使存留的污垢不超过1%，则至少要洗的次数是(参考数据lg 2≈0.301 0)( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 设至少要洗x 次，则⎝⎛⎭⎫1－34x ≤1100， ∴x ≥1lg 2≈3. 322，因此需4次，故选B ．6．(2018·许昌检测)某类产品按工艺共分10个档次，最低档次产品每件利润为8元．每提高一个档次，每件利润增加2元．用同样工时，可以生产最低档次产品60件，每提高一个档次将少生产3件产品，则每天获得利润最大时生产产品的档次是( )A ．7B ．8C ．9D ．10解析：选C 由题意，当生产第k 档次的产品时，每天可获得利润为y ＝[8＋2(k －1)][60－3(k －1)]＝－6k 2＋108k ＋378(1≤k ≤10，k ∈N )，配方可得y ＝－6(k －9)2＋864，所以当k ＝9时，获得利润最大．选C ．7．某企业投入100万元购入一套设备，该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．为使该设备年平均费用最低，该企业需要更新设备的年数为( )A ．10B ．11C ．13D ．21解析：选A 设该企业需要更新设备的年数为x ，设备年平均费用为y ，则x 年后的设备维护费用为2＋4＋…＋2x ＝x (x ＋1)，所以x 年的平均费用为y ＝100＋0.5x ＋x (x ＋1)x ＝x ＋100x ＋1.5.由均值不等式得y ＝x ＋100x ＋1.5≥2x ·100x ＋1.5＝21.5，当且仅当x ＝100x，即x ＝10时取等号，所以选A ．8．(2018·唐山联考)拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．解析：∵m ＝6.5，∴[m ]＝6，则f (6.5)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.249．某生产厂商更新设备，已知在未来x (x >0)年内，此设备所花费的各种费用总和y (万元)与x 满足函数关系y ＝4x 2＋64，欲使此设备的年平均花费最低，则此设备的使用年限x 为________．解析：y x ＝4x ＋64x ≥24x ·64x ＝32，当且仅当4x ＝64x，即x ＝4时等号成立．答案：410．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A (a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A ．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A (t ≥0)，则A ＝t 2，∴D ＝at －t 2＝－⎝⎛⎭⎫t －12a 2＋14a 2.∴当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D 取得最大值．答案：14a 211．(2018·昆明月考)A ，B 两城相距100 km ，在两城之间距A 城x (km)处建一核电站给A ，B 两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(km)的平方与供电量(亿度)之积的0.25倍，若A 城供电量为每月20亿度，B 城供电量为每月10亿度．(1)求x 的取值范围；(2)把月供电总费用y 表示成x 的函数；(3)核电站建在距A 城多远，才能使供电总费用y 最少？ 解：(1)由题意知x 的取值范围为[10,90]． (2)y ＝5x 2＋52(100－x )2(10≤x ≤90)．(3)因为y ＝5x 2＋52(100－x )2＝152x 2－500x ＋25 000＝152⎝⎛⎭⎫x －10032＋50 0003， 所以当x ＝1003时，y min ＝50 0003.故核电站建在距A 城1003km 处，能使供电总费用y 最少．12．(2018·兰州质检)某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时两类产品的收益分别为0.125万元和0.5万元．(1)分别写出两类产品的收益与投资额的函数关系；(2)若该家庭有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎样分配资金能使投资获得最大收益？其最大收益是多少万元？解：(1)设两类产品的收益与投资的函数分别为f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x . 由已知得f (1)＝18＝k 1，g (1)＝12＝k 2，所以f (x )＝18x (x ≥0)，g (x )＝12x (x ≥0)．(2)设投资债券产品为x 万元，则投资股票类产品为(20－x )万元． 依题意得y ＝f (x )＋g (20－x )＝x 8＋1220－x (0≤x ≤20)．令t ＝20－x (0≤t ≤25)， 则y ＝20－t 28＋12t ＝－18(t －2)2＋3，所以当t ＝2，即x ＝16时，收益最大，y max ＝3万元．B 组 能力提升1．已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t 1至t 4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t 4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是( )A ．40万元B ．60万元C ．120万元D ．140万元解析：选C 甲6元时该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t 2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40万元，乙4元时该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t 4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80万元，共获利40＋80＝120万元，故选C ．2．(2018·湖北八校联考)某人根据经验绘制了2018年春节前后，从12月21日至1月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图像，如图所示，则此人在12月26日大约卖出了西红柿________千克．解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎪⎨⎪⎧10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.答案：19093．一个容器装有细沙a cm 3，细沙从容器底下一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min 后剩余的细沙量为y ＝a e－bt(cm 3)，经过8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min ，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：当t ＝0时，y ＝a ，当t ＝8时，y ＝a e －8b＝12a ， ∴e －8b＝12，容器中的沙子只有开始时的八分之一时，即y ＝a e －bt ＝18a ，e －bt ＝18＝(e －8b )3＝e－24b，则t ＝24，所以再经过16 min.答案：164．某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月，预测上市初期和后期因供应不足使价格呈持续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌．现有三种价格模拟函数：①f (x )＝p ·q x ；②f (x )＝px 2＋qx ＋1；③f (x )＝x (x －q )2＋p (以上三式中p ，q 均为常数，且q >1)．(1)为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f (0)＝4，f (2)＝6，求出所选函数f (x )的解析式(注：函数定义域是[0,5]，其中x ＝0表示8月1日，x ＝1表示9月1日，以此类推)；(3)在(2)的条件下研究下面课题：为保证养殖户的经济效益，当地政府计划在价格下跌期间积极拓宽外销，请你预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌．解：(1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势，而中期又将出现价格连续下跌，所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )＝x (x －q )2＋p .(2)对于f (x )＝x (x －q )2＋p ，由f (0)＝4，f (2)＝6，可得p ＝4，(2－q )2＝1， 又q >1，所以q ＝3，所以f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)． (3)因为f (x )＝x 3－6x 2＋9x ＋4(0≤x ≤5)， 所以f ′(x )＝3x 2－12x ＋9， 令f ′(x )<0，得1<x <3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减，所以可以预测这种海鲜将在9月、10月两个月内价格下跌．5．(2018·汕头模拟)某工厂生产某种产品，每日的成本C (单位：万元)与日产量x (单位：t)满足函数关系式C ＝3＋x ，每日的销售额S (单位：万元)与日产量x 的函数关系式S ＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋k x －8＋5(0<x <6)，14(x ≥6)，已知每日的利润L ＝S －C ，且当x ＝2时，L ＝3. (1)求k 的值；(2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 解：(1)由题意，得L ＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋k x －8＋2(0<x <6)，11－x (x ≥6)，因为x ＝2时，L ＝3，所以3＝2×2＋k2－8＋2.解得k ＝18.(2)当0<x <6时，L ＝2x ＋18x －8＋2，所以L ＝2(x －8)＋18x －8＋18＝－⎣⎡⎦⎤2(8－x )＋188－x ＋18≤－22(8－x )·188－x＋18＝6.当且仅当2(8－x )＝188－x ，即x ＝5时取得等号．当x ≥6时，L ＝11－x ≤5. 所以当x ＝5时，L 取得最大值6.所以当日产量为5 t 时，每日的利润可以达到最大值6万元．。
2019年高考数学一轮复习课时分层训练12函数模型及其应用理北师大版
课时分层训练(十二) 函数模型及其应用A 组 基础达标一、选择题1．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( ) A ．118元 B ．105元 C ．106元D ．108元D [设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%a ，解得a ＝108，故选D.] 2．在某个物理试验中，测量得变量x 和变量y 的几组数据，如下表：【导学号：79140068】则对x ，y A ．y ＝2x B ．y ＝x 2－1 C ．y ＝2x －2D ．y ＝log 2xD [根据x ＝0.50，y ＝－0.99，代入计算，可以排除A ；根据x ＝2.01，y ＝0.98，代入计算，可以排除B ，C ；将各数据代入函数y ＝log 2x ，可知满足题意．]3．一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图294甲、乙所示．某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．图294给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )A ．①B ．①②C ．①③D ．①②③A [由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的12，所以0点到3点不出水，3点到4点也可能一个进水口进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低，4点到6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正确的是①.]4．某单位为鼓励职工节约用水，作出了以下规定：每位职工每月用水不超过10 m 3的，按每立方米m 元收费；用水超过10 m 3的，超过部分加倍收费．某职工某月缴水费16m 元，则该职工这个月实际用水为( ) A ．13 m 3B ．14 m 3C ．18 m 3D ．26 m 3A [设该职工用水x m 3时，缴纳的水费为y 元，由题意得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧mx (0＜x ≤10)，10m ＋(x －10)·2m (x ＞10)，则10m ＋(x －10)·2m ＝16m ， 解得x ＝13.]5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正常数)．公司决定从原有员工中分流x (0＜x ＜100，x ∈N ＋)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x %.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( ) A ．15 B ．16 C ．17D ．18B [由题意，分流前每年创造的产值为100t (万元)，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x )(1＋1.2x %)t (万元)，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，(100－x )(1＋1.2x %)t ≥100t ，解得0＜x ≤503.因为x ∈N ＋，所以x 的最大值为16.] 二、填空题6．西北某羊皮手套公司准备投入适当的广告费对其生产的产品进行促销．根据预算得羊皮手套的年利润L 万元与年广告费x 万元之间的函数解析式为L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x (x ＞0)．则当年广告费投入________万元时，该公司的年利润最大．4 [L ＝512－⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋8x ＝432－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫x －4x 2(x ＞0)．当x －4x ＝0，即x ＝4时，L 取得最大值21.5.故当年广告费投入4万元时，该公司的年利润最大．]7．某化工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少13，至少应过滤________次才能达到市场要求．(已知lg 2≈0.301 0，lg 3≈0.477 1)【导学号：79140069】8 [设过滤n 次才能达到市场要求，则2%⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n ≤0.1%，即⎝ ⎛⎭⎪⎫23n≤120，所以n lg 23≤－1－lg 2，所以n ≥7.39，所以n ＝8.]8．某食品的保鲜时间y (单位：小时)与储藏温度x (单位：℃)满足函数关系y ＝ekx ＋b(e ＝2.718…为自然对数的底数，k ，b 为常数)．若该食品在0 ℃的保鲜时间是192小时，在22 ℃的保鲜时间是48小时，则该食品在33 ℃的保鲜时间是________小时． 24 [由已知条件，得192＝e b，∴b ＝ln 192.又∵48＝e22k ＋b＝e22k ＋ln 192＝192e 22k＝192(e 11k )2，∴e 11k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4819212＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1412＝12.设该食品在33 ℃的保鲜时间是t 小时，则t ＝e 33k ＋ln 192＝192e 33k ＝192(e 11k )3＝192×⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝24.]三、解答题9．某企业生产A ，B 两种产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资成正比，其关系如图295(1)；B 产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图295(2)．(注：利润和投资单位：万元)(1) (2)图295(1)分别将A ，B 两种产品的利润表示为投资的函数关系式；(2)已知该企业已筹集到18万元资金，并将全部投入A ，B 两种产品的生产． ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？②问：如果你是厂长，怎样分配这18万元投资，才能使该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？[解] (1)f (x )＝0.25x (x ≥0)，g (x )＝2x (x ≥0)． (2)①由(1)得f (9)＝2.25，g (9)＝29＝6， 所以总利润y ＝8.25万元．②设B 产品投入x 万元，A 产品投入(18－x )万元，该企业可获总利润为y 万元． 则y ＝14(18－x )＋2x ，0≤x ≤18.令x ＝t ，t ∈[0,32]，则y ＝14(－t 2＋8t ＋18)＝－14(t －4)2＋172.所以当t ＝4时，y max ＝172＝8.5，此时x ＝16,18－x ＝2.所以当A ，B 两种产品分别投入2万元、16万元时，可使该企业获得最大利润，约为8.5万元．10．国庆期间，某旅行社组团去风景区旅游，若每团人数在30人或30人以下，飞机票每张收费900元；若每团人数多于30人，则给予优惠：每多1人，机票每张减少10元，直到达到规定人数75人为止．每团乘飞机，旅行社需付给航空公司包机费15 000元．(1)写出飞机票的价格关于人数的函数； (2)每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？ [解] (1)设旅行团人数为x ，由题得0<x ≤75(x ∈N ＋)， 飞机票价格为y 元，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，900－10(x －30)，30＜x ≤75，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1 200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社获利S 元，则S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，x (1 200－10x )－15 000，30＜x ≤75，即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15 000，0＜x ≤30，－10(x －60)2＋21 000，30＜x ≤75.因为S ＝900x －15 000在区间(0,30]上为单调增函数， 故当x ＝30时，S 取最大值12 000元， 又S ＝－10(x －60)2＋21 000在区间(30,75]上， 当x ＝60时，取得最大值21 000. 故当x ＝60时，旅行社可获得最大利润．B 组 能力提升11．将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10 A [∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4L 时，f (k )＝a ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5，故选A.]12．某房地产公司计划出租70套相同的公寓房．当每套房月租金定为3 000元时，这70套公寓能全租出去；当月租金每增加50元时(月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租．设租出的每套房子每月需要公司共100元的日常维修等费用(租不出的房子不需要花这些费用)．要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为( ) A ．3 000元 B ．3 300 C ．3 500元D ．4 000元B [设利润为y 元，租金定为(3 000＋50x )元(0≤x ≤70，x ∈N ＋)， 则y ＝(3 000＋50x )(70－x )－100(70－x ) ＝(2 900＋50x )(70－x ) ＝50(58＋x )(70－x )≤50⎝⎛⎭⎪⎫58＋x ＋70－x 22，当且仅当58＋x ＝70－x ，即x ＝6时，等号成立，故每套房月租金定为3 000＋300＝3 300(元)时，公司获得最大利润，故选B.]13．某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料(如图296)，为降低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片(如图阴影部分)备用，则截取的矩形面积的最大值为________．图296180 [依题意知：20－x 20＝y －824－8(0＜x ≤20,8≤y ＜24)，即x ＝54(24－y )，∴阴影部分的面积S ＝xy ＝54(24－y )·y ＝54(－y 2＋24y )＝－54(y －12)2＋180(8≤y ＜24)．∴当y ＝12时，S 取最大值180.]14．已知某物体的温度θ(单位：℃)随时间t (单位：min)的变化规律是θ＝m ·2t＋21－t(t ≥0且m ＞0)．(1)如果m ＝2，求经过多长时间物体的温度为5 ℃； (2)若物体的温度总不低于2 ℃，求m 的取值范围.【导学号：79140070】[解] (1)若m ＝2，则θ＝2·2t＋21－t＝2⎝⎛⎭⎪⎫2t ＋12t ，当θ＝5时，2t＋12t ＝52，令x＝2t ，x ≥1，则x ＋1x ＝52，即2x 2－5x ＋2＝0，解得x ＝2或x ＝12(舍去)，当x ＝2时，t ＝1.故经过1 min ，物体的温度为5 ℃.(2)物体的温度总不低于2 ℃等价于对于任意的t ∈[0，＋∞)，θ≥2恒成立，即m ·2t＋22t ≥2(t ≥0)恒成立，亦即m ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫12t －122t (t ≥0)恒成立．令y ＝12t ，则0＜y ≤1，故对于任意的y ∈(0,1]，m ≥2(y －y 2)恒成立，因为y －y 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫y －122＋14≤14，所以m ≥12. 因此，当物体的温度总不低于2 ℃时，m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.。
2020版高考数学一轮复习 课后限时集训12 函数模型及其应用 理(含解析)北师大版
课后限时集训(十二) 函数模型及其应用(建议用时：60分钟) A 组 基础达标一、选择题1．某新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x 之间关系的是( )A ．y ＝100xB ．y ＝50x 2－50x ＋100 C ．y ＝50×2xD ．y ＝100log 2 x ＋100C [根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数函数模型．故选C.] 2．某市生产总值连续两年持续增加．第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )A.p ＋q2B ．p ＋1q ＋1－12C.pqD ．p ＋1q ＋1－1D [设年平均增长率为x ，原生产总值为a ，则a (1＋p )(1＋q )＝a (1＋x )2，解得x ＝1＋p1＋q －1，故选D ．]3．(2017·北京高考)根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是(参考数据：lg 3≈0.48)( )A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093D [由题意，lg M N ＝lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80lg 10≈361×0.48－80×1＝93.28.又lg 1033＝33，lg 1053＝53，lg 1073＝73，lg 1093＝93， 故与MN最接近的是1093. 故选D ．]4．血药浓度(Pl a sm a Concen t r at ion)是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人使用该药物的说法中不正确的是( ) A ．首次服用该药物1单位约10分钟后，药物发挥治疗作用B ．每次服用该药物1单位，两次服药间隔小于2小时，一定会产生药物中毒C ．每间隔5.5小时服用该药物1单位，可使药物持续发挥治疗作用D ．首次服用该药物1单位3小时后，再次服用该药物1单位，不会发生药物中毒 D [结合图像易知A ，B ，C 均正确，D 选项中的描述会中毒，故选 D ．]5．某市家庭煤气的使用量x (m 3)和煤气费f (x )(元)满足关系f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧C ，0＜x ≤A ，C ＋B x －A ，x ＞A.已知某家庭2018年前三个月的煤气费如下表：月份 用气量 煤气费 一月份 4 m 34元 二月份 25 m 3 14元 三月份35 m 319元若四月份该家庭使用了20 m 3的煤气，则其煤气费为( ) A ．11.5元 B ．11元 C ．10.5元D ．10元A [根据题意可知f (4)＝C ＝4，f (25)＝C ＋B (25－A )＝14，f (35)＝C ＋B (35－A )＝19，解得A ＝5，B ＝12，C ＝4，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4，0＜x ≤5，4＋12x －5，x ＞5，所以f (20)＝4＋12(20－5)＝11.5，故选A.]二、填空题6．拟定甲、乙两地通话m 分钟的电话费(单位：元)由f (m )＝1.06(0.5[m ]＋1)给出，其中m ＞0，[m ]是不超过m 的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元．4．24 [∵m ＝6.5， ∴[6.5]＝6，∴f (6.5)＝1.06(0.5×6＋1)＝4.24.]7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.20 [设内接矩形另一边长为y ，则由相似三角形性质可得x 40＝40－y40，解得y ＝40－x ，所以面积S ＝x (40－x )＝－x 2＋40x ＝－(x －20)2＋400(0＜x ＜40)，当x ＝20时，S m ax ＝400.]8．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x (a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a 的最小值为________．5 [设投资乙商品x 万元(0≤x ≤20)，则投资甲商品(20－x )万元．利润分别为Q ＝a 2 x (a ＞0)，P ＝20－x 4，因为P ＋Q ≥5,0≤x ≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，0≤x ≤20时恒成立． (1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x ≤20时，分离参数a ≥x2，0＜x ≤20时恒成立，所以a ≥5，a 的最小值为 5.] 三、解答题9．网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成为商业的一个主要发展方向．某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式．根据几个月运营发现，产品的月销售x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x ＝3－2t ＋1函数关系式．已知网店每月固定的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，求该公司最大月利润是多少万元．[解] 由题知t ＝23－x－1，(1＜x ＜3)，所以月利润：y ＝⎝⎛⎭⎪⎫48＋t 2x x －32x －3－t ＝16x －t 2－3＝16x －13－x ＋12－3＝45.5－⎣⎢⎡⎦⎥⎤163－x ＋13－x ≤45.5－216＝37.5，当且仅当x ＝114时取等号，即月最大利润为37.5万元．10．某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得投资收益的范围是[10,100](单位：万元)．现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：资金y (单位：万元)随投资收益x (单位：万元)的增加而增加且资金不超过5万元，同时资金不超过投资收益的20%.(1)若建立函数模型y ＝f (x )制定奖励方案，请你根据题意，写出奖励函数模型应满足的条件；(2)现有两个奖励函数模型：(ⅰ)y ＝120x ＋1；(ⅱ)y ＝log 2x －2.试分析这两个函数模型是否符合公司要求． [解] (1)设奖励函数模型为y ＝f (x )， 则该函数模型满足的条件是： ①当x ∈[10,100]时，f (x )是增函数； ②当x ∈[10,100]时，f (x )≤5恒成立． ③当x ∈[10,100]时，f (x )≤x5恒成立．(2)(a )对于函数模型(ⅰ)y ＝120x ＋1， 它在[10,100]上是增函数，满足条件①；但当x ＝80时，y ＝5，因此，当x ＞80时，y ＞5，不满足条件②； 故该函数模型不符合公司要求．(b )对于函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2，它在[10,100]上是增函数，满足条件①，x ＝100时，y m ax ＝log 2 100－2＝2log 2 5＜5，即f (x )≤5恒成立．满足条件②，设h (x )＝log 2x －2－15x ，则h ′(x )＝log 2e x －15，又x ∈[10,100]，所以1100≤1x ≤110，所以h ′(x )＜log 2e 10－15＜210－15＝0，所以h (x )在[10,100]上是递减的， 因此h (x )＜h (10)＝log 210－4＜0， 即f (x )≤x5恒成立，满足条件③， 故该函数模型符合公司要求．综上所述，函数模型(ⅱ)y ＝log 2x －2符合公司要求．B 组 能力提升1．(2019·武汉检测)某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x －0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元C [设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x )辆，所以可得利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x )＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－110⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋110×2124＋32.因为x ∈[0,16]且x ∈N ，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．]2.(2018·山西一模)如图，R t △ABC 中，AB ⊥BC ，|AB |＝6，|BC |＝ 2.若其顶点A 在x 轴上运动，顶点B 在y 轴的非负半轴上运动．设顶点C 的横坐标非负，纵坐标为y ，且直线AB 的倾斜角为θ，则函数y ＝f (θ)的图像大致是( )A BC DA [当θ＝π时，y ＝2，排除B 和C ；当θ＝0时，y 取得最小值－2，排除D ，故选A.]3．某公司为激励创新，计划逐年增加研发资金投入，若该公司2018年全年投入的研发资金为300万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长10%，则该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是________．(参考数据：lg 1.1＝0.041，lg 2＝0.301)2026 [设从2018年后，第x 年该公司全年投入的研发资金为y 万元，则y ＝300×(1＋10%)x ，依题意得，300×(1＋10%)x ＞600，即1.1x＞2，两边取对数可得x ＞lg 2lg 1.1＝0.3010.041≈7.3，则x ≥8，即该公司全年投入的研发资金开始超过600万元的年份是2026年．]4．(2019·湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x (x ＞0)件产品的销售收入是R (x )＝－14x2＋500x (元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a 元进货后，又以每件b 元销售，且b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？并求P (x )的最大值； (2)求乐观系数λ的值；(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．[解] (1)依题意设总利润为L (x )，则L (x )＝－14x 2＋500x －100x －40 000＝－14x 2＋400x－40 000(x ＞0)，∴P (x )＝－14x 2＋400x －40 000x ＝－14x －40 000x ＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x ＝40 000x，即x ＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b ＝a ＋λ(c －a )，得λ＝b －ac －a. ∵b －a 是c －b ，c －a 的比例中项， ∴(b －a )2＝(c －b )(c －a )， 两边同时除以(b －a )2，得1＝c －a －b －a b －a ·c －a b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a b －a －1c －ab －a，∴1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1λ－1·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)．故乐观系数λ的值为5－12. (3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400.由b ＝a ＋λ(c －a )，结合(2)可得b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)， ∴b ＝100(5＋3)．故a 与b 的值分别为400,100(5＋3)．。
最新高考数学一轮复习课时规范练函数模型及其应用理北师大版
课时规范练13 函数模型及其应用基础巩固组1.如图,下面的四个容器高度都相同,将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图像表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中不正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个2.在某个物理实验中,测得变量x和变量y的几组数据,如下表则对x,y最适合的拟合函数是()A.y=2xB.y=x2-1C.y=2x-2D.y=log2x3.某产品的总成本y(单位万元)与产量x(单位台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N+),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在t秒的路程为s=t2米,那么,此人()A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.企业投入100万元购入一套设备,该设备每年的运转费用是0.5万元,此外每年都要花费一定的维护费,第一年的维护费为2万元,由于设备老化,以后每年的维护费都比上一年增加2万元.为使该设备年平均费用最低,该企业年后需要更新设备.6.如图,动物园要建造一面靠墙的两间相同的矩形熊猫居室,如果可供建造围墙的材料总长是30 m.(1)用宽x(单位m)表示所建造的两间熊猫居室的面积y(单位m2);(2)怎么设计才能使所建造的熊猫居室面积最大?并求出每间熊猫居室的最大面积?7.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测服药后每毫升血液中的含药量y(单位μg)与时间t(单位h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效.求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组8.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子租不出去.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出去的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套公寓月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元9.已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示.假设某商人持有资金120万元,他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品,且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计).如果他在t4时刻卖出所有商品,那么他将获得的最大利润是()A.40万元B.60万元C.120万元D.140万元10.某商人购货,进价已按原价a扣去25%.他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的利润,则此商人经营这种货物的件数x与按新价让利总额y之间的函数关系式为.11.某企业生产A,B两种产品,根据市场调查与预测,A产品的利润与投资成正比,其关系如图①;B产品的利润与投资的算术平方根成正比,其关系如图②(注利润和投资单位万元).图①图②(1)分别将A,B两种产品的利润表示为投资的函数关系式;(2)已知该企业已筹集到18万元资金,并将全部资金投入到A,B两种产品的生产中.①若平均投入生产两种产品,可获得多少利润?②如果你是厂长,怎样分配这18万元投资,才能使该企业获得最大利润?其最大利润为多少万元?创新应用组12.(2018江苏苏北四市模拟,17)某艺术品公司欲生产一款迎新春工艺礼品,该礼品是由玻璃球面和该球的内接圆锥组成,圆锥的侧面用于艺术装饰,如图1.为了便于设计,可将该礼品看成是由圆O及其内接等腰三角形ABC绕底边BC上的高所在直线AO旋转180°而成,如图2.已知圆O的半径为10 cm,设∠BAO=θ,0<θ<,圆锥的侧面积为S cm2.(1)求S关于θ的函数关系式;(2)为了达到最佳观赏效果,要求圆锥的侧面积S最大.求S取得最大值时腰AB的长度.参考答案课时规范练13 函数模型及其应用1.A水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出,图①应该是匀速的,故下面的图像不正确,②中的变化率是越越慢的,正确;③中的变化规律是逐渐变慢再变快,正确;④中的变化规律是逐渐变快再变慢,也正确,故只有①是错误的.故选A.2.D根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B、C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.3.C设利润为f(x)万元,则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2)=0.1x2+5x-3 000(0<x<240,x∈N+).令f(x)≥0,得x≥150,∴生产者不亏本时的最低产量是150台.4.D已知s=t2,车与人的间距d=(s+25)-6t=t2-6t+25= (t-6)2+7.当t=6时,d取得最小值7.5.10由题意可知x年的维护费用为2+4+…+2x=x(x+1),所以x年的平均费用y==x++1.5,由基本不等式得y=x++1.5≥2+1.5=21.5,当且仅当x=,即x=10时取等号,所以该企业10年后需要更新设备.6.解 (1)设熊猫居室的宽为x(单位m),由于可供建造围墙的材料总长是30 m,两间熊猫居室的长为30-3x(单位m),所以两间熊猫居室的面积y=x(30-3x),又得0<x<10,于是y=-3x2+30x(0<x<10)为所求.(2)由(1)知,y=-3x2+30x=-3(x-5)2+75,二次函数图像开口向下,对称轴x=5,且x∈(0,10),当x=5时,所建造的熊猫居室面积最大,其中每间熊猫居室的最大面积为 m2.7.解 (1)根据所给的曲线,可设y=当t=1时,由y=4,得k=4,由=4,得a=3.则y=(2)由y≥0.25,得或解得≤t≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-=(h).8.B由题意,设利润为y元,租金定为(3 000+50x)元(0≤x≤70,x∈N),则y=(3 000+50x)(70-x)-100(70-x)=(2 900+50x)(70-x)=50(58+x)(70-x)≤50=204 800,当且仅当58+x=70-x,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B.9.C甲6元时该商人全部买入甲商品,可以买120÷6=20(万份),在t2时刻全部卖出,此时获利20×2=40(万元),乙4元时该商人买入乙商品,可以买(120+40)÷4=40(万份),在t4时刻全部卖出,此时获利40×2=80(万元),共获利40+80=120(万元),故选C.10.y=x(x∈N+)设新价为b,依题意,有b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)·25%,化简得b=a.∴y=b·20%·x=a·20%·x,即y=x(x∈N+).11.解 (1)设A,B两种产品都投资x万元(x≥0),所获利润分别为f(x)万元、g(x)万元,由题意可设f(x)=k1x,g(x)=k2,根据题图可得f(x)=0.25x(x≥0),g(x)=2(x≥0).(2)①由(1)得f(9)=2.25,g(9)=2=6,故总利润y=8.25(万元).②设B产品投入x万元,A产品投入(18-x)万元,该企业可获总利润为y万元,则y=(18-x)+2,0≤x≤18.令=t,t∈[0,3 ],则y=(-t2+8t+18)=-(t-4)2+.故当t=4时,y max==8.5,此时x=16,18-x=2.所以当A,B两种产品分别投入2万元、16万元时,可使该企业获得最大利润8.5万元.12.解 (1)设AO交BC于点D,过O作OE⊥AB,垂足为E,如下图.在△AOE中,AE=10cos θ,AB=2AE=20cos θ,在△ABD中,BD=AB·sin θ=20cos θ·sin θ,所以S=π·20sin θcos θ·20cos θ=400πsin θcos2θ,0<θ<.(2)要使侧面积最大,由(1)得,S=400πsin θcos2θ=400π(sin θ-sin3θ),设f(x)=x-x3(0<x<1),则f'(x)=1-3x2,由f'(x)=1-3x2=0,得x=,当x∈时,f'(x)>0,当x∈时,f'(x)<0,所以f(x)在区间上递增,在区间上递减,所以f(x)在x=时取得极大值,也是最大值,所以当sin θ=时,侧面积S取得最大值,此时等腰三角形的腰长AB=20cos θ=20=20=.即侧面积S取得最大值时,等腰三角形的腰AB的长度为 cm.。
适用于新教材2024版高考数学一轮总复习：函数模型及其应用课件北师大版
者数量和捕食者数量不会同时达到最大值和最小值,故选项C正确;当捕食
者数量最大时在图象最右端,x(t)∈(25,30),y(t)∈(0,50),此时二者总和
x(t)+y(t)∈(25,80),由图象可知存在点x(t)=10,y(t)=100, x(t)+y(t)=110,所以
并不是被捕食者数量与捕食者数量总和达到最大值时,捕食者数量也会达
反比例函数
k
f(x)= +b
x
为常数,k≠0)
二次函数
f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数
f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
对数函数
f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1)
幂函数
f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
第三章
第九节 函数模型及其应用
内
容
索
引
01
强基础 固本增分
02
研考点 精准突破
1.会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.
课标
解读
2.会比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“
对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义.
3.了解函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会
分类储存、分类投放和分类搬运,从而变成公共资源的一系列活动的总称.
分类的目的是提高垃圾的资源价值和经济价值,力争物尽其用.进行垃圾分
物种随时间变化的数量关系,其中箭头方向为
时间增加的方向.下列说法正确的是(
)
A.若在t1,t2时刻满足:y(t1)=y(t2),则x(t1)=x(t2)
高考数学一轮复习 12函数模型及其应用课时作业 文 北师大版
高考数学一轮复习 12函数模型及其应用课时作业 文 北师大版一、选择题1．某电信公司推出两种手机收费方式：A 种方式是月租20元，B 种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t (分钟)与打出电话费s (元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差( )A ．10元B ．20元C ．30元D.403元 解析：设A 种方式对应的函数解析式为S ＝k 1t ＋20B 种方式对应的函数解析式为S ＝k 2t当t ＝100时，100k 1＋20＝100k 2，∴k 2－k 1＝15，t ＝150时，150k 2－150k 1－20＝150×15－20＝10.答案：A2．由方程x |x |＋y |y |＝1确定的函数 y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上是( ) A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减D ．先减后增解析：①当x ≥0且y ≥0时，x 2＋y 2＝1， ②当x >0且y <0时，x 2－y 2＝1， ③当x <0且y >0时，y 2－x 2＝1， ④当x <0且y <0时，无意义． 由以上讨论作图如右，易知是减函数．答案：B3．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：根据汽车加速行驶s ＝12at 2(a >0)，匀速行驶s ＝vt ，减速行驶s ＝v 0t ＋12at 2(a <0)结合函数图象可知选A.答案：A4．若一根蜡烛长20cm ，点燃后每小时燃烧5cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)的函数关系用图象表示为( )解析：根据题意得解析式h ＝20－5t (0≤t ≤4)， 其图象为B. 答案：B5．图形M (如图所示)是由底为1，高为1的等腰三角形及高为2和3的两个矩形所构成的，函数S ＝S (a )(a ≥0)是图形M 介于平行线y ＝0及y ＝a 之间的那一部分面积，则函数S (a )的图象大致是( )解析：依题意，当a ≤1时，S (a )＝a 2－a2＋2a ＝－12a 2＋3a ；当1<a ≤2时，S (a )＝12＋2a ；当2<a ≤3时，S (a )＝12＋2＋a ＝a ＋52；当a >3时，S (a )＝12＋2＋3＝112，于是S (a )＝⎩⎪⎪⎨⎪⎪⎧－12a 2＋3a ，0<a ≤12a ＋12，1<a ≤2a ＋52，2<a ≤3112，a >3，由解析式可知选C. 答案：C6．（2011年湖北高考理10）放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象成为衰变，假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M （单位：太贝克）与时间t （单位：年）满足函数关系：()3002tM t M -=，其中M 为0=t 时铯137的含量，已知30=t 时，铯137的含量的变化率是2ln 10-（太贝克/年），则()=60M （ ）A. 5太贝克B. 2ln 75太贝克C. 2ln 150太贝克D. 150太贝克解析：因为()300/22ln 301tM t M -⨯-=，则()2ln 1022ln 3013030300/-=⨯-=-M M ，解得6000=M ，所以()302600t t M -⨯=，那么()150416002600603060=⨯=⨯=-M （太贝克），所以选D.答案：D 二、填空题7．将进货单价为80元的商品按90元一个售出时，能卖出400个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就要减少20个，为了赚得最大利润，每个售价应定为________元．答案：958．现有含盐7%的食盐水为200g ，需将它制成工业生产上需要的含盐5%以上且在6%以下(不含5%和6%)的食盐水，设需要加入4%的食盐水x g ，则x 的取值范围是________．解析：根据已知条件：设y ＝200×7%＋x 4%200＋x，令5%<y <6%，即(200＋x )5%<200×7%＋x ·4%<(200＋x )6%，解得100<x <400.答案：(100,400)9．某服装商贩同时卖出两套服装，卖出价为168元/套，以成本计算一套盈利20%，而另一套亏损20%，则此商贩________．(填赚或赔多少钱)解析：设盈利的那套服装成本价为x ， 则x ＋20%x ＝168，x ＝140元， 设亏损的那套服装成本价为y ， 则y －20%y ＝168，y ＝210元，所以商贩赔(210－168)－(168－140)＝14(元)． 答案：赔14元 三、解答题10．某种商品定价为每件60元，不加收附加税时每年大约销售80万件，若政府征收附加税，每销售100元要征税p 元(即税率为p %)，因此每年销售量将减少203p 万件．(1)将政府每年对该商品征收的总税金y (万元)，表示成p 的函数，并指出这个函数的定义域；(2)要使政府在此项经营中每年收取的税金不少于128万元，问税率p %应怎样确定？ (3)在所收税金不少于128万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则应如何确定p 值？解：(1)由题意，该商品年销售量为(80－203p )万件，年销售收入为60(80－203p )万元，故所求函数为y ＝60(80－203p )·p %.由80－203p >0，且p >0得，定义域为(0,12)．(2)由y ≥128，得60(80－203p )·p %≥128，化简得p 2－12p ＋32≤0，(p －4)(p －8)≤0，解得4≤p ≤8.故当税率在[4%,8%]内时，政府收取税金将不少于128万元．(3)当政府收取的税金不少于128万元时，厂家的销售收入为g (p )＝60(80－203p )(4≤p ≤8)．∴g (p )为减函数，∴[g (p )]max ＝g (4)＝3200(万元)．故当税率为4%时，厂家销售金额最大，且国家所收税金又不少于128万元．11．(2010年南京模拟)某投资公司投资甲、乙两个项目所获得的利润分别是P (亿元)和Q (亿元)，它们与投资额t (亿元)的关系有经验公式P ＝163t ，Q ＝18t .今该公司将5亿元投资这两个项目，其中对甲项目投资x (亿元)，投资这两个项目所获得的总利润为y (亿元)．求：(1)y 关于x 的函数表达式； (2)总利润的最大值．解：(1)根据题意，得y ＝163x ＋18(5－x )，x ∈[0,5]．(2)令t ＝3x ，t ∈[0，15]，则x ＝t 23，y ＝－t 224＋16t ＋58＝－124(t －2)2＋1924.因为2∈[0，15]，所以当3x ＝2，即x ＝43时，y 最大值＝1924.所以总利润的最大值是1924亿元．12．某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y ＝x 25－48x ＋8000，已知此生产线年产量最大为210吨．(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x(万元)．则y x ＝x 5＋8000x －48≥2x 5·8000x－48＝32，当且仅当x 5＝8000x，即x ＝200时取等号．∴年产量为200吨时，每吨平均成本最低为32万元． (2)设年获得总利润为R (x )万元， 则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8000＝－x 25＋88x －8000＝－15(x －220)2＋1680(0≤x ≤210)．∵R (x )在[0,210]上是增函数，∴x ＝210时，R (x )有最大值为－15(210－220)2＋1680＝1660.∴年产量为210吨时，可获得最大利润1660万元．。
新教材老高考适用2023高考数学一轮总复习第三章第九节函数模型及其应用pptx课件北师大版
x -300x+80 000,假设每处理一吨二氧化碳得到的化工产品的收入为200
2
元.
(1)该公司二氧化碳月处理量为多少吨时,每吨的平均月处理成本最低,最
低平均成本是多少?
(2)该公司利用这种技术处理二氧化碳的最大月收益是多少?(月收益=月收
入-月处理成本)
解 (1)设每吨的平均处理成本为t元,
由已知得
所以
t=
=
1 80 000
x+
-300,x∈[300,600].
2
1 80 000
1
80 000
t=2x+ -300≥2 2 · -300=2
1 80 000
x=
,即
2
40 000-300=100,当且仅当
x=400 时,等号成立.
故当二氧化碳月处理量为400吨时,每吨的平均月处理成本取得最低值100
益为282万元.
时,△AMN 的面积为
1
f(t)= ×2×[t-(2t-2)]=2-t;当
2
1
f(t)=2×2×[(2t-4)-(t-2)]=t-2;当
1
f(t)=2·
2t·
t=t2;当
1<t≤2
2<t≤3 时,△AMN 的面积为
3<t≤4 时,△AMN 的面积为
2 ,0 ≤ ≤ 1,
2-,1 < ≤ 2,
C.y=max+n(m>0,a>1)
D.y=mlogax+n(m>0,a>0,a≠1)
)
答案
B
解析 由函图象可知符合条件的只有指数函数模型,并且m>0,0<a<1,故
高考数学(理,北师大版)一轮复习课件第12讲 函数模型及其应用(45张PPT)
元．
[答案] (22 800 2＋27 000)
[解析] 设水池总造价为 y 元，水池长度为 x 米，则 y ＝(12x＋24x00)×95＋12600×135≥2 12x×24x00×95＋ 200×135＝22 800 2＋27 000.
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第12讲 函数模型及其应用
双
向
—— 疑 难 辨 析 ——
[答案] (1)√ (2)√ (3)√
础
[解析] (1)根据二次函数性质知当 a>0 时，f(x)在[－2ba，
＋∞)上是增长的，其导函数 f′(x)＝2ax＋b，因此增长速度 是变化的．
(2)根据指数函数性质得，在 a>0，b>1 的情况下是增 长的，其导函数是 f′(x)＝(aln b)·bx，由于 aln b>0，故其增 长的速度很快，且底数越大增长越快．
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第12讲 函数模型及其应用
双
向 固
1．函数模型的增长特点
基
(1)使用函数模型描述不同变化：
础
函数模型是描述客观世界变化规律的基本数学模型，不
同的变化规律需要用不同的函数模型来描述，不同函数模型
的增长变化规律是不同的．
(2)指数函数、对数函数、幂函数模型的增长特点：
在区间(0，＋∞)上，尽管函数 y＝ax(a>1)，y＝logax(a>1) 和 y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，随着 x 的 增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来__越__快____，会超过并远远大
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第12讲 函数模型及其应用
双
向 固 基
2．常见函数模型 (1)二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，
【北师大版数学】步步高2012版大一轮复习课件：2.9_函数模型及其应用
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(1)分别将 A、B 两种产品的利润表示为投资的函数关系 分别将 、
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式； (2)已知该企业已筹集到 18 万元资金，并将全部投入 A， 已知该企业已筹集到 万元资金， ， B 两种产品的生产 两种产品的生产. 若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ①若平均投入生产两种产品，可获得多少利润？ ②问：如果你是厂长，怎样分配这 18 万元投资，才能使 如果你是厂长， 万元投资， 该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 该企业获得最大利润？其最大利润约为多少万元？ 思维启迪
(1)根据函数模型，建立函数解析式．(2)根据 根据函数模型，建立函数解析式． 根据 根据函数模型 资金分配情况，建立利润解析式． 资金分配情况，建立利润解析式．
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解
(1)设甲、乙两种产品分别投资 x 万元 ≥0)，所获 设甲、 万元(x≥ ， 设甲
老 师 都 说 好 !
新 课 标 资 源 网 Nhomakorabea探究提高
(1)在实际问题中， 在实际问题中， 在实际问题中 有很多问题的两变量之间
的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变 的关系是一次函数模型，其增长特点是直线上升 自变 或直线下降(自变量的系数小于 ， 量的系数大于 0)或直线下降 自变量的系数小于 0)，构 或直线下降 建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解． 建一次函数模型，利用一次函数的图像与单调性求解． (2)有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积问 有些问题的两变量之间是二次函数关系， 有些问题的两变量之间是二次函数关系 利润问题、产量问题等．构建二次函数模型， 题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利用 二次函数图像与单调性解决． 二次函数图像与单调性解决． (3)在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． 在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义域． 在解决二次函数的应用问题时
高考数学一轮复习练习 数学建模——函数模型及其应用
数学建模——函数模型及其应用基础巩固组1.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1 L汽油行驶的里程,下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下的燃油效率情况.下列叙述中正确的是()A.消耗1 L汽油,乙车最多可行驶5 kmB.以相同速度行驶相同路程,三辆车中,甲车消耗汽油最多C.甲车以80 km/h的速度行驶1小时,消耗10 L汽油D.某城市机动车最高限速80 km/h,相同条件下,在该市用丙车比用乙车更省油2.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收入不小于总成本)的最低产量是()A.100台B.120台C.150台D.180台3.某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3 000元时,这70套公寓能全租出去;当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍),就会多一套房子不能出租.设租出的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设租不出的房子不需要花这些费用).要使公司获得最大利润,每套房月租金应定为()A.3 000元B.3 300元C.3 500元D.4 000元4.一个人以6米/秒的速度去追赶停在交通灯前的汽车,当他离汽车25米时交通灯由红变绿,汽车开始变速直线行驶(汽车与人前进方向相同),汽车在时间t内的路程为s=1t2米,那么,此人()2A.可在7秒内追上汽车B.可在9秒内追上汽车C.不能追上汽车,但期间最近距离为14米D.不能追上汽车,但期间最近距离为7米5.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了(1.2x)%.若要保证产品A的年产值不减少,则最多能分流的人数是()A.15B.16C.17D.186.某化工厂生产一种溶液,按市场要求杂质含量不超过0.1%,若初时含杂质2%,每过滤一次可使杂质,至少应过滤次才能达到市场要求.(已知lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1)含量减少137.一个容器装有细沙a cm3,细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出,t min后剩余的细沙量为y=a e-bt cm3,经过8 min后发现容器内还有一半的沙子,则再经过 min,容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.某医药研究所开发的一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据监测:服药后每毫升血液中的含药量y(单位:μg)与时间t(单位:h)之间的关系近似满足如图所示的曲线.(1)写出第一次服药后y与t之间的函数解析式y=f(t);(2)据进一步测定:当每毫升血液中含药量不少于0.25 μg时,治疗有效,求服药一次后治疗有效的时间.综合提升组9.如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,若P处有一棵树与两墙的距离分别是4 m和a m(0<a<12).不考虑树的粗细,现用16 m长的篱笆,借助墙角围成一个矩形花圃ABCD,设此矩形花圃的最大面积为u,若将这棵树围在矩形花圃内,则函数u=f(a)(单位:m2)的图像大致是()10.某高校为提升科研能力,计划逐年加大科研经费投入.若该高校2018年全年投入科研经费1 300万元,在此基础上,每年投入的科研经费比上一年增长12%,则该高校全年投入的科研经费开始超过2 000万元的年份是(参考数据:lg 1.12≈0.05,lg 1.3≈0.11,lg 2≈0.30)()A.2020年B.2021年C.2022年D.2023年11.如图,直角边长为2 cm的等腰直角三角形ABC,以2 cm/s 的速度沿直线l向右运动,则该三角形与矩形CDEF重合部分面积y(单位:cm2)与时间t(单位:s)的函数关系(设0≤t≤3)为,y的最大值为.12.某沿海地区养殖的一种特色海鲜上市时间仅能持续5个月,预测上市初期和后期会因供应不足使价格呈持续上涨态势,而中期又将出现供大于求使价格连续下跌.现有三种价格模拟函数:①f(x)=p·q x;②f(x)=px2+qx+1;③f(x)=x(x-q)2+p(以上三式中p,q均为常数,且q>1).(1)为准确研究其价格走势,应选哪种价格模拟函数(不必说明理由)?(2)若f(0)=4,f(2)=6,求出所选函数f(x)的解析式(注:函数定义域是[0,5],其中x=0表示8月1日,x=1表示9月1日,以此类推);(3)在(2)的条件下预测该海鲜将在哪几个月内价格下跌.创新应用组13.声强级Y(单位:分贝)由公式Y=10lg I给出,其中I为声强(单位:W/m2).10-12(1)平常人交谈时的声强约为10-6 W/m2,求其声强级.(2)一般常人能听到的最低声强级是0分贝,求能听到的最低声强为多少?(3)比较理想的睡眠环境要求声强级Y ≤50分贝,已知熄灯后两位同学在宿舍说话的声强为5×10-7 W/m 2,问这两位同学是否会影响其他同学休息?参考答案课时规范练13 数学建模——函数模型及其应用1.D 从图中可以看出当乙车的行驶速度大于40 km/h 时的燃油效率大于5 km/L,故乙车消耗1 L 汽油的行驶路程可大于5 km,所以选项A 错误;由图可知以相同速度行驶相同路程甲车消耗汽油最少,所以选项B 错误;甲车以80 km/h 的速度行驶时的燃油效率为10 km/L,故行驶1小时的路程为80 km,消耗8 L 汽油,所以选项C 错误;当最高限速为80 km/h 且速度相同时丙车的燃油效率大于乙车的燃油效率,故用丙车比用乙车更省油,所以选项D 正确.2.C 设利润为f (x )万元,则f (x )=25x-(3 000+20x-0.1x 2)=0.1x 2+5x-3 000(0<x<240,x ∈N *).令f (x )≥0,得x ≥150,故生产者不亏本时的最低产量是150台.故选C .3.B 由题意,设利润为y 元,租金定为(3 000+50x )元(0≤x ≤70,x ∈N ),则y=(3 000+50x )(70-x )-100(70-x )=(2 900+50x )(70-x )=50(58+x )(70-x )≤5058+x+70-x 22=204 800,当且仅当58+x=70-x ,即x=6时,等号成立,故每月租金定为3 000+300=3 300(元)时,公司获得最大利润,故选B .4.D 已知s=12t 2,车与人的间距d=(s+25)-6t=12t 2-6t+25=12(t-6)2+7.当t=6时,d 取得最小值7.所以不能追上汽车,但期间最近距离为7米,故选D .5.B 由题意,分流前每年创造的产值为100t 万元,分流x 人后,每年创造的产值为(100-x )[1+(1.2x )%]t ,则{0<x <100,x ∈N *,(100-x )[1+(1.2x )%]t ≥100t , 解得0<x ≤503.因为x ∈N *,所以x 的最大值为16,故选B . 6.8 设至少过滤n 次才能达到市场要求,则2%1-13n ≤0.1%,即23n ≤120, 所以n lg 23≤-1-lg 2,解得n ≥7.39,所以n=8.7.16 当t=0时,y=a ,当t=8时,y=a e -8b =12a ,所以e -8b =12,容器中的沙子只有开始时的八分之一时,即y=a e -bt =18a ,e -bt =18=(e -8b )3=e -24b ,则t=24,所以再经过24-8=16(min),容器中的沙子只有开始时的八分之一.8.解 (1)根据所给的曲线,可设y={kt ,0≤t ≤1,(12) t -a ,t >1.当t=1时,由y=4,得k=4,由121-a =4,得a=3.则y={4t ,0≤t ≤1,(12) t -3,t >1.(2)由y ≥0.25,得{0≤t ≤1,4t ≥0.25或{t >1,(12) t -3≥0.25,解得116≤t ≤5.因此服药一次后治疗有效的时间为5-116=7916(h).9.B 设AD 的长为x m,则CD 的长为(16-x ) m,则矩形ABCD 的面积为x (16-x ) m 2.因为要将点P 围在矩形ABCD 内,所以a ≤x ≤12.当0<a ≤8时,当且仅当x=8时,u=64;当8<a<12时,u=a (16-a ).画出函数图像可得其形状与B 选项接近,故选B .10.C 若2019年是第1年,则第n 年全年投入的科研经费为1 300×1.12n 万元,由1 300×1.12n >2 000,可得lg 1.3+n lg 1.12>lg 2,所以n ×0.05>0.19,得n>3.8,所以第4年,即2022年全年投入的科研经费开始超过2 000万元,故选C .11.y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,2-12(2t -4)2,2<t ≤32 如题图,当0≤t<1时,重叠部分面积y=12×2t ×2t=2t 2;当1≤t ≤2时,重叠部分为直角三角形ABC ,重叠部分面积y=12×2×2=2(cm 2); 当2<t ≤3时,重叠部分为梯形,重叠部分面积y=S △ABC -12(2t-4)2=2-12(2t-4)2=-2t 2+8t-6. 综上,y={2t 2,0≤t <1,2,1≤t ≤2,-2t 2+8t -6,2<t ≤3,故可得y 的最大值为2.12.解 (1)因为上市初期和后期价格呈持续上涨态势,而中期又将出现价格连续下跌,所以在所给出的函数中应选模拟函数f (x )=x (x-q )2+p.(2)对于f (x )=x (x-q )2+p ,由f (0)=4,f (2)=6,可得p=4,(2-q )2=1,又q>1,所以q=3,所以f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5).(3)因为f (x )=x 3-6x 2+9x+4(0≤x ≤5),所以f'(x )=3x 2-12x+9, 令f'(x )<0,得1<x<3.所以函数f (x )在(1,3)内单调递减,所以可以预测这种海鲜将在9月,10月两个月内价格下跌. 13.解 (1)当声强为10-6 W/m 2时,由公式Y=10lgI 10-12,得Y=10lg 10-610-12=10lg 106=60(分贝).(2)当Y=0时,由公式Y=10lg I 10-12,得10lgI 10-12=0.所以I10-12=1,即I=10-12 W/m 2,则最低声强为10-12 W/m 2.(3)当声强为5×10-7 W/m 2时,声强级为Y=10lg 5×10-710-12=10lg(5×105)=50+10lg 5(分贝),因为50+10lg 5>50,故这两位同学会影响其他同学休息.。
2020版高考数学一轮复习课时作业12《 函数模型及应用》(含解析)
课时作业12函数模型及应用一、选择题1.下表显示出函数值y随自变量x变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是(A)x 45678910y 15171921232527A.C.指数函数模型D.对数函数模型解析：由表中数据知x，y满足关系y＝13＋2(x－3).故为一次函数模型.2.某文具店出售羽毛球拍和羽毛球，球拍每副定价20元，羽毛球每个定价5元，该店制定了两种优惠方法：①买一副球拍赠送一个羽毛球；②按总价的92%付款.现某人计划购买4副球拍和30个羽毛球，两种方法中，更省钱的一种是(D)A.不能确定B.①②同样省钱C.②省钱D.①省钱解析：方法①用款为4×20＋26×5＝80＋130＝210(元)，方法②用款为(4×20＋30×5)×92%＝211.6(元)，因为210<211.6，故方法①省钱.3.一个人以6 m/s的速度去追停在交通灯前的汽车，当他离汽车25 m时，交通灯由红变绿，汽车以1 m/s2的加速度匀加速开走，那么(D)A.人可在7 s内追上汽车B.人可在10 s内追上汽车C.人追不上汽车，其间距最少为5 mD.人追不上汽车，其间距最少为7 m解析：设汽车经过t 秒行驶的路程为s 米，则s ＝12t 2，车与人的间距d ＝(s ＋25)－6t ＝12t 2－6t ＋25＝12(t －6)2＋7，当t ＝6时，d 取得最小值为7.4.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( D )A.p ＋q 2B.(p ＋1)(q ＋1)－12C.pqD.(p ＋1)(q ＋1)－1解析：设第一年年初生产总值为1，则这两年的生产总值为(p ＋1)(q ＋1).设这两年生产总值的年平均增长率为x ，则(1＋x )2＝(p ＋1)(q ＋1)，解得x ＝(p ＋1)(q ＋1)－1.故选D.5.李冶(1192—1279)，真定栾城(今河北省石家庄市)人，金元时期的数学家、诗人，晚年在封龙山隐居讲学，数学著作多部，其中《益古演段》主要研究平面图形问题：求圆的直径、正方形的边长等.其中一问：现有正方形方田一块，内部有一个圆形水池，其中水池的边缘与方田四边之间的面积为13.75亩，若方田的四边到水池的最近距离均为二十步，则圆池直径和方田的边长分别是(注：240平方步为1亩，圆周率按3近似计算)( B )A.10步，50步B.20步，60步C.30步，70步D.40步，80步解析：设圆池的半径为r 步，则方田的边长为(2r ＋40)步，由题意，得(2r ＋40)2－3r 2＝13.75×240，解得r ＝10或r ＝－170(舍)，所以圆池的直径为20步，方田的边长为60步.故选B.6.放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素，其含量不断减少，这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯137的衰变过程中，其含量M (单位：太贝克)与时间t (单位：年)满足函数关系：M (t )＝M 02－t 30 ，其中M 0为t ＝0时铯137的含量.已知t ＝30时，铯137含量的变化率是－10ln2(太贝克/年)，则M (60)＝( D )A.5太贝克B.75ln 2太贝克C.150ln 2太贝克D.150太贝克 解析：由题意M ′(t )＝M 02－t 30 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2，M ′(30)＝M 02－1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－130ln2＝－10ln2，∴M 0＝600，∴M (60)＝600×2－2＝150.故选D.二、填空题7.某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是108元.解析：设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.8.某人根据经验绘制了2017年春节前后，从1月21日至2月8日自己种植的西红柿的销售量y (千克)随时间x (天)变化的函数图象，如图所示，则此人在1月26日大约卖出了西红柿1909千克.解析：前10天满足一次函数关系，设为y ＝kx ＋b ，将点(1,10)和点(10,30)代入函数解析式得⎩⎨⎧ 10＝k ＋b ，30＝10k ＋b ，解得k ＝209，b ＝709，所以y ＝209x ＋709，则当x ＝6时，y ＝1909.9.已知某驾驶员喝了m 升酒后，血液中酒精的含量f (x )(毫克/毫升)随时间x (小时)变化的规律近似满足表达式f (x )＝⎩⎨⎧ 5x －2，0≤x ≤1，35·⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，x >1，《酒后驾车与醉酒驾车的标准及相应的处罚》规定：驾驶员血液中酒精含量应不超过0.02毫克/毫升.则此驾驶员至少要过4小时后才能开车.(精确到1小时)解析：驾驶员醉酒1小时血液中酒精含量为5－1＝0.2，要使酒精含量≤0.02毫克/毫升，则35⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ≤0.02，∴x ≥log 330＝1＋log 310>1＋log 39＝3，故至少要4个小时后才能开车.三、解答题10.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本y (万元)与年产量x (吨)之间的函数关系式可以近似地表示为y＝x 25－48x ＋8 000，已知此生产线年产量最大为210吨.(1)求年产量为多少吨时，生产每吨产品的平均成本最低，并求最低成本；(2)若每吨产品平均出厂价为40万元，那么当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？解：(1)每吨平均成本为y x (万元).则y x ＝x 5＋8 000x －48≥2x 5·8 000x －48＝32，当且仅当x 5＝8 000x ，即x ＝200时取等号.所以年产量为200吨时，每吨产品的平均成本最低，为32万元.(2)设年获得总利润为R (x )万元，则R (x )＝40x －y ＝40x －x 25＋48x －8 000＝－x 25＋88x －8 000＝－15(x －220)2＋1 680(0≤x ≤210).因为R (x )在[0,210]上是增函数，所以x ＝210时，R (x )有最大值，为－15(210－220)2＋1 680＝1 660.所以年产量为210吨时，可获得最大利润1 660万元.11.某地近年来持续干旱，为倡导节约用水，该地采用了“阶梯水价”计费方法，具体方法：每户每月用水量不超过4吨的每吨2元；超过4吨而不超过6吨的，超过4吨的部分每吨4元；超过6吨的，超出6吨的部分每吨6元.(1)写出每户每月用水量x (吨)与支付费用y (元)的函数关系；(2)该地一家庭记录了去年12个月的月用水量(x ∈N *)如下表：1元)；(3)今年干旱形势仍然严峻，该地政府号召市民节约用水，如果每个月水费不超过12元的家庭称为“节约用水家庭”，随机抽取了该地100户的月用水量作出如下统计表：解：(1)y 关于x 的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ，0≤x ≤4，4x －8，4<x ≤6，6x －20，x >6.(2)由(1)知：当x＝3时，y＝6；当x＝4时，y＝8；当x＝5时，y＝12；当x＝6时，y＝16；当x＝7时，y＝22.所以该家庭去年支付水费的月平均费用为112×(6×1＋8×3＋12×3＋16×3＋22×2)≈13(元).(3)由(1)和题意知：当y≤12时，x≤5，所以“节约用水家庭”＝77%，据此估计该地“节约用水家庭”的比例为77%. 的频率为7710012.(2017·北京卷)三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点A i的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数，点B i的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数，i＝1,2,3.①记Q i为第i名工人在这一天中加工的零件总数，则Q1，Q2，Q3中最大的是Q1；②记p i为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则p1，p2，p3中最大的是p2.解析：①设线段A i B i的中点为C i(x i，y i)，则Q i＝2y i(i＝1,2,3).因此只需比较C1，C2，C3三个点纵坐标的大小即可.不难发现y1最大，所以Q 1最大.②由题意，知p i ＝y i x i(i ＝1,2,3).故只需比较三条直线OC 1，OC 2，OC 3的斜率即可，发现p 2最大.13.牛奶保鲜时间因储藏时温度的不同而不同.假定保鲜时间y (单位：h)与储藏温度x (单位：℃)间的关系为指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0).若牛奶在0 ℃的冰箱中，保鲜时间约是192 h ，而在22 ℃的厨房中，保鲜时间约是42 h.(1)写出保鲜时间y 关于储藏温度x 的函数解析式.(2)如果把牛奶分别储藏在10 ℃和5 ℃的两台冰箱中，哪一台冰箱储藏牛奶保鲜时间较长？为什么？(参考数据：22732≈0.93)解：(1)保鲜时间y 与储藏温度x 间的关系符合指数型函数y ＝k ·a x (k ≠0)，则⎩⎨⎧ ka 0＝192，ka 22＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ k ＝192，a ＝22732≈0.93，故所求函数解析式为y ＝192×0.93x .(2)设f (x )＝192×0.93x ，因为f (x )是减函数，且10>5，所以f (10)<f (5)，所以把牛奶储藏在5 ℃的冰箱中，牛奶保鲜时间较长.尖子生小题库——供重点班学生使用，普通班学生慎用14.我们定义函数y ＝[x ]([x ]表示不大于x 的最大整数)为“下整函数”；定义y ＝{x }({x }表示不小于x 的最小整数)为“上整函数”；例如[4.3]＝4，[5]＝5；{4.3}＝5，{5}＝5.某停车场收费标准为每小时2元，即不超过1小时(包括1小时)收费2元，超过一小时，不超过2小时(包括2小时)收费4元，以此类推.若李刚停车时间为x 小时，则李刚应付费为(单位：元)( C )A.2[x ＋1]B.2([x ]＋1)C.2{x }D.{2x }解析：如x ＝1时，应付费2元，此时2[x ＋1]＝4,2([x ]＋1)＝4，排除A 、B ；当x ＝0.5时，付费为2元，此时{2x }＝1，排除D ，故选C.15.某地西红柿从2月1日起开始上市，通过市场调查，得到西红柿种植成本Q (单位：元/100 kg)与上市时间t (单位：天)的数据如下表：Q 与上市时间t 的变化关系.Q ＝at ＋b ，Q ＝at 2＋bt ＋c ，Q ＝a ·b t ，Q ＝a ·log b t .利用你选取的函数，求得：(1)西红柿种植成本最低时的上市天数是120；(2)最低种植成本是80(元/100 kg).解析：根据表中数据可知函数不单调，所以Q ＝at 2＋bt ＋c ，且开口向上，对称轴t ＝－b 2a ＝60＋1802＝120，代入数据⎩⎪⎨⎪⎧ 3 600a ＋60b ＋c ＝116，10 000a ＋100b ＋c ＝84，32 400a ＋180b ＋c ＝116，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝－2.4，c ＝224，a ＝0.01.所以西红柿种植成本最低时的上市天数是120，最低种植成本是14 400a ＋120b ＋c ＝14 400×0.01＋120×(－2.4)＋224＝80.。
高考数学一轮复习第二章函数2.9函数模型及其应用课件文北师大版3
出租车票价与路程之间的关系,就是分段函数.
2.分段函数主要是每一段上自变量变化所遵循的规律不同,可以
先将其作为几个不同问题,将各段的规律找出来,再将其合在一起.
要注意各段变量的范围,特别是端点.
-19考点1
考点2
考点3
考点4
对点训练2一个工厂生产某种产品每年需要固定投资100万元,此
)
(4)f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,恒有h(x)<f(x)<g(x).
(
)
(5)“指数爆炸”是指数型函数y=a·bx+c(a>0,b>1)增长速度越来越
快的形象比喻. (
)
-6知识梳理
考点自诊
2.一个工厂生产一种产品的总成本y(单位:万元)与产量x(单位:台)
售总收入-年总投资)
-20考点1
考点2
考点3
考点4
解 (1)当x≤20时,y=(33x-x2)-x-100=-x2+32x-100;
当x>20时,y=260-100-x=160-x.
- 2 + 32-100,0 < ≤ 20,
故 y=
(x∈N+).
160-, > 20
(2)当0<x≤20时,y=-x2+32x-100=-(x-16)2+156,
解题心得应用函数模型 y=x+ 的关键点:
(1)明确“对勾”函数是正比例函数 f(x)=ax 与反比例函数 g(x)=
叠加而成的.
(2)解决实际问题时,一般可以直接建立
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[时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．某物体一天中的温度T 是时间t 的函数T (t )＝t 3－3t ＋60，时间单位是小时，温度单位是℃，t ＝0表示中午12时，其后t 值取为正，则上午8时的温度是( )A ．8℃ B．112℃ C．58℃ D．18℃2则x ，y )A ．y ＝a ＋bxB ．y ＝a ＋b xC ．y ＝ax 2＋b D ．y ＝a ＋bx3．f (x )＝x 2，g (x )＝2x ，h (x )＝log 2x ，当x ∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列选项中正确的是( )A ．f (x )>g (x )>h (x )B ．g (x )>f (x )>h (x )C ．g (x )>h (x )>f (x )D ．f (x )>h (x )>g (x )4．某工厂生产一种仪器的固定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入100元．已知该仪器的每台售价P (元)与每月生产量x 台的关系为P ＝500－x .为使该厂每月所获利润最大，则该厂每月生产这种仪器的台数为________．(注：利润＝销售收入－总成本)能力提升5．下列所给4图K12－1(1)我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； (2)我骑着车一路以常速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间；(3)我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速． A ．(1)(2)(4) B ．(4)(2)(3)C ．(1)(2)(3)D ．(4)(1)(2)6．若一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，则燃烧剩下的高度h (cm)与燃烧时间t (小时)图K12－图K12－37．有一批材料可以围成200 m 长的围墙，现用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，且内部用材料隔成三个面积相等的矩形(如图K12－3)，则围成的矩形场地的最大面积为( )A ．1000 m 2B ．2000 m 2C ．2500 m 2D ．3000 m 28．已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元．某食品加工厂对饼干采用两种包装，其包装费用、销售价格如下表所示：①买小包装实惠；②买大包装实惠；③卖3小包比卖1大包盈利多；④卖1大包比卖3小包盈利多．A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④9．将甲桶中的a 升水缓慢注入空桶乙中，t 分钟后甲桶中剩余的水符合指数衰减曲线y ＝a e nt .若5分钟后甲桶和乙桶的水量相等，又过了m 分钟后甲桶中的水只有a8，则m 的值为( )A ．7B ．8C ．9D ．1010．司机酒后驾驶危害他人的安全，一个人喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3 mg/ml ，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少，为了保障交通安全，某地根据《道路交通安全法》规定：驾驶员血液中的酒精含量不得超过0.09 mg/ml ，那么，该人至少经过________小时才能开车．(精确到1小时)11．[2011·滨州模拟] 鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童准备在山东省体育中心体育场举行一场足球义赛，预计卖出门票2.4万张，票价有3元、5元和8元三种，且票价3元和5元的张数的积为0.6.设x 是门票的总收入，经预算，扣除其他各项开支后，该俱乐部的纯收入为函数y ＝lg2x ，则这三种门票的张数分别为________万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大．12．某商家一月份至五月份累计销售额达3860万元，预测六月份销售额为500万元，七月份销售额比六月份递增x %，八月份销售额比七月份递增x %，九、十月份销售总额与七、八月份销售总额相等．若一月份至十月份销售总额至少达7000万元，则x 的最小值是________．13．如图K12－4所示是一份统计图表，根据此图表得到的以下说法：(1)这几年人民生活水平逐年得到提高；(2)人民生活收入增长最快的一年是2008年；(3)生活价格指数上涨速度最快的一年是2009年；(4)虽然2010年生活收入指数增长缓慢，但由于生活价格指数略有降低，因而人民生活有较大的改善．其中说法正确的是________(填写标号即可)．14．(10分)某公司计划投资A 、B 两种金融产品，根据市场调查与预测，A 产品的利润与投资量成正比例，其关系如图K12－5(1)，B 产品的利润与投资量的算术平方根成正比例，其关系如图(2)(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别将A 、B 两种产品的利润表示为投资量的函数关系式；(2)该公司有10万元资金，并全部投入A 、B 两种产品中，问：怎样分配这10万元投资，才能使公司获得最大利润？其最大利润为多少万元？K1215．(13分)运货卡车以每小时x km 的速度匀速行驶130 km(50≤x ≤100)．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360 L ，司机的工资是每小时14元． (1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低？并求出最低费用的值．难点突破16．(12分)[2011·江苏卷] 请你设计一个包装盒，如图K12－6所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 、B 、C 、D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E 、F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．课时作业(十二)【基础热身】1．A [解析] 因为t ＝0表示中午12时，则上午8时为t ＝－4，代入函数即可得到A.2．B [解析] 由表格数据逐个验证，知模拟函数为y ＝a ＋b x .3．B [解析] 画出函数的大致图像，如图所示，当x ∈(4，＋∞)时，指数函数图像位x )>f (x )>h (x )．4．200 [解析] 20000，所以当x ＝200时，y 有最大值．【能力提升】5．D [解析] 离家不久发现自己作业本忘在家里，回到家里，这时离家的距离为0，故应选图像(4)；途中有一段时间交通堵塞，则这段时间与家的距离必为一定值，故应选图像(1)；最后加速，故应选图像(2)．6．B [解析] 根据题意得解析式h ＝20－5t (0≤t ≤4)，其图像为B.7．C [解析] 设三个面积相等的矩形的长、宽分别为x 米、y 米，如题图，则4x ＋3y＝200.又S ＝3xy ＝3x ·200－4x 3＝x (200－4x )＝－4(x －25)2＋2500，∴当x ＝25时，S max ＝2500.8．D [解析] 买小包装时每克费用为3100元，买大包装时每克费用为8.4300＝2.8100元，而3100>2.8100，所以买大包装实惠．卖3小包的利润为3×(3－1.8－0.5)＝2.1(元)，卖1大包的利润是8.4－1.8×3－0.7＝2.3(元)．而2.3＞2.1，故卖1大包盈利多． 9．D [解析] 令18a ＝a e nt ，即18＝e nt ，因为12＝e 5n ，故18＝e 15n ，比较知t ＝15，m ＝15－5＝10.10．5 [解析] 设x 小时后，血液中的酒精含量不超过0.09mg/ml ，则有0.3·⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.09，即⎝ ⎛⎭⎪⎫34x ≤0.3，估算或取对数计算得5小时后，可以开车． 11．0.6,1,0.8 [解析] 函数模型y ＝lg2x 已给定，因而只需要将条件信息提取出来，按实际情况代入，应用于函数即可解决问题．设3元、5元、8元门票的张数分别为a 、b 、c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＋c ＝2.4，①ab ＝0.6，②x ＝3a ＋5b ＋8c ，③①代入③有x ＝19.2－(5a ＋3b )≤19.2－215ab ＝13.2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 5a ＝3b ，ab ＝0.6时等号成立，解得a ＝0.6，b ＝1，所以c ＝0.8.由于y ＝lg2x 为增函数，即此时y 也恰有最大值．12．20 [解析] 由题意知，一月份至十月份的销售总额为3860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2，依题意有3860＋500＋[500(1＋x %)＋500(1＋x %)2]×2≥7000，化简得(x %)2＋3×x %－0.64≥0，解得x %≥0.2或x %≤－3.2(舍去)，∴x ≥20，即x 的最小值为20.13．(1)(2)(4) [解析] 本题是一个图表信息题，题中只给出一份统计图，利用统计图中所含的信息去分析．由题意，“生活收入指数”减去“生活价格指数”的差是逐年增大的，故(1)正确；“生活收入指数”在2008～2009年最陡，故(2)正确；“生活价格指数”在2008年～2009年最陡，故在2008年上涨速度最快，故(3)不正确；由于“生活价格指数”略呈下降，而“生活收入指数”曲线呈上升趋势，故(4)正确．14．[解答] (1)设投资x 万元，A 产品的利润为f (x )万元，B 产品的利润为g (x )万元． 依题意可设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x ，由图(1)，得f (1)＝0.2，即k 1＝0.2＝15. 由图(2)，得g (4)＝1.6，即k 2×4＝1.6.∴k 2＝45， 故f (x )＝15x (x ≥0)，g (x )＝45x (x ≥0)． (2)设B 产品投入x 万元，则A 产品投入10－x 万元，设公司利润为y 万元，由(1)得y ＝f (10－x )＋g (x )＝－15x ＋45x ＋2(0≤x ≤10)． ∵y ＝－15x ＋45x ＋2＝－15(x －2)2＋145，0≤x ≤10， ∴当x ＝2，即x ＝4时，y max ＝145＝2.8， 因此当A 产品投入6万元，B 产品投入4万元时，该公司获得最大利润，为2.8万元．15．[解答] (1)行车所用时间为t ＝130x ，y ＝130x ×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋x 2360＋14×130x ，x ∈[50,100]， 所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝2340x ＋1318x ，x ∈[50,100]． (2)y ＝2340x ＋1318x ≥2610，当且仅当2340x ＝1318x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立． 故当x ＝1810时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．【难点突破】16．[解答] 设包装盒的高为h (cm)，底面边长为a (cm)，由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x 2＝2(30－x )，0＜x ＜30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )， 由V ′＝0得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′＞0；当x ∈(20,30)时，V ′＜0. 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12，即包装盒的高与底面边长的比值为12.。