“垂径定理”的应用

“垂径定理”与解题思路分析

垂径定理及其推论是“圆”一章最先出现的重要定理，它是证明圆内线段、弧、角相等关系及直线垂直关系的重要依据，也是学好本章的基础，在学习中要注意以下几点：

一.圆的辆对称是垂径定理的理论基础

同学们在小学就已经知道了把圆沿着它的任意一条直径对折，直径两边的两个半圆就会重合在一起。因此，课本首先通过一张圆形纸片沿着一条直径对折，直径两侧的两个半圆能重合这一事实，指出圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴，然后利用这一性质给出了垂径定理，并利用圆的对称性证明。所以，圆的轴对称性是垂径定理的理论基础。

二.垂径定理及其推论的题设与结论之间的内在联系

在垂径定理（推论）中，一是隐含着一条直线；二是该直线具有以下性质：(1)经过圆心，(2)垂直于弦，(3)平分这条弦，(4)平分这条弦所对的劣弧，(5)平分这条弦所对的优弧。垂径定理可以简记为：

由于垂径定理本身的结论有多个，因此在构造逆命题时也会有多个，这就需要掌握构造逆命题的技巧。例如：以(1)、(3)为条件的逆命题为：如果过圆心的一条直线平分该圆内的一条弦（不是直径），那么这条直线垂直于弦，且平分弦所对的弧。类似地，同学们一定会分别写出以(1)和(4)、(1)和(5)、(2)和(3)、(2)和(4)、(2)和(5)、(3)和(4)、(3)和(5)、(4)和(5)为条件的逆命题。由于一条直线如果具备上述五条性质中的任何两条时，这条直线唯一确定，所以，上述九个逆命题都是真命题，它们都是垂径定理的推论。

垂径定理连同推论在内共十条定理。对于这十条定理，同学们切不可死记硬背，关键要抓住它们的特点，即一条直线具有上面所说的五条性质中的任何两性质，就有其余三条性质（具有性质(1)、(3)时，所说的弦不是直径，这是因为如果这里的弦是直径的话，两条直径总是互相平分的，但它们未必垂直）。

三.灵活应用垂径定理及其推论解题

垂径定理及其推论，主要应用于研究直径与同圆中的弦、弧之间的垂直平分关系，其内容虽然简单，但要能灵活应用却非易事。现举例说明。

1、利用垂径平分弦所对的弧构成相等的圆周角

例1. 已知如图1，△ABC内接于⊙O，BD⊥AO交AC于D，求证：AB·BC=BD·AC。

图1

思路分析：欲证AB·BC=BD·AC

即证，

需证△BAD∽△CAB，已有公共角∠BAD=∠BAC，还需证圆周角∠ABD=∠C，则需证明

，

显然延长BD交△ABC的外接圆于E，运用垂径垂直平分弦所对的弧即可得证。

2、利用垂径垂直平分弦，构成等分线段

例2.如图2，AB是⊙O的直径，AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，求证：CE=DF。

思路分析：过O作OH⊥CD，即得证。图2 例3.已知如图3，AB是⊙O的直径，弦CD在AB一侧，CE⊥CD于E，DF⊥CD于F。

求证：AE=BF。

思路分析：此题是圆和直角梯形，且点O是AB的中点，由此联想梯形基本辅助线，

故作OG⊥CD于G，再联系垂径垂直平分弦有OE=OF，故AE=BF。图3

3、利用垂径垂直弦，构造成特殊四边形

例4.如图4，半径为10cm的⊙O中，弦AB⊥CD于E，AB=CD=16cm，求OE的长。

思路分析：把OE放到三角形或特殊四边形才有利于计算。

故作OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，图4 EGOF为正方形，得OE。

4、利用垂径垂直弦，构造特殊三角形

例5.如图5，⊙O的弦AB>CD，AB、CD的弦心距分别为OM和ON，

求证：OM

思路分析：连结OA，OC，图5

在Rt△OAM和Rt△OCN中得到

，因为AB>CD，则，

又OA=OC，从而OM

5、利用垂径是过圆心的直径，构造成勾股定理

例6. 如图6，⊙O是△ABC的外接圆，D是的中点，BD交AC于E，CD，O 到AC的距离为1，求⊙O的半径。

思路分析：欲求半径R，须过D作⊙O直径DG，

则FG=R+1，DF=R－1，利用勾股定理、相交弦定理和垂径定理

可得到，

故，图6

由此解得R=3。