第二章控制系统的动态数学模型
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严格讲： 所有系统都是非线性的
尽管线性系统的理论已经相当 成熟，但非线性系统的理论还远不 完善。另外，迭加原理不适用于非 线性系统，这给解非线性系统带来 很大不便。故我们尽量对所研究的 系统进行线性化处理，然后用线性 理论进行分析。
线性化条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通
其中：Fs
F F 2 2
x
y
Fs
arctan FFxy
例如：
G ss2 其:中 sjr s2r2 2
j
S平面
jGy G(s)平面
2
4
0
0
Gx
一、拉氏变换定义：
对于函数 xt ，满足下列条件
1、当 t 0时， xt0; 当t 0时， xt在每个有限区 续间
e 2、 xt td t ， 0
动 力滑 台FitkyotfyotFM i(t) y ot
即： M y otfyotkyotFit
yo(t)
k
M
Fi(t)
f
例2 电路网络
ui
u C i1t
R1
i 2 t
it R 2
根 据 基 尔 霍 夫 定 律 和 欧姆 定 律 ， 有
o
i1t i2 t it
1
ui t uo t R1i2 t 2
若 忽 略 电化 枢为 电： 感 ， 可 简
RaJd2 do 2ttRafKTKeddottKTeit
若电枢电感、都 电忽 枢略 电， 阻可进为 一： 步简化
Keddotteit
列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入 及输出信号，每个环节列写一个方程；
2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化；
过切线法进行线性化，求其增量 方程
根据牛顿第： 二定律，有
Titmsginotlm2ld2do 2tt
这是一个非线性微分方 程，
o ( t ) 将 sin o在 o 0 附近用
l
台劳级数展开，得：
m T i( t )
P 1 5 单图 摆2 - 5 单 摆
sin o
o
o3
3!
o5
5!
对于一个控制系统，在一定的输 入作用下有些什么运动规律，我们不 仅希望了解其稳态情况，更重要的是 了解其动态过程。如果能将物理系统 在信号传递过程中的这一动态特性用 数学表达式描述出来，就得到了组成 物理系统的数学模型。
建立控制系统的数学模型，并
在此基础上对控制系统进行分析、 综合，是控制工程的基本方法。
—一种解线性微分方程的简便方法
是分析工程控制系统的基本数学方法
微分方程 （时间域）
拉氏变换 拉氏反变换
代数方程 （复数域）
传递函数
复习复变量和复变函数
复数有实部和虚部，两部分都是常数。
如： 2 j5 复变量指复数的实部或虚部中含有变量。
如： s j
复变函数 Fs 是 s 的函数，也有实部和虚 部。如：F s F x jF y F s F s
机械控制工程基础
主讲教师：王国荣
第二章 控制系统的动态数学模型
2-1、基本环节数学模型 2-2、数学模型的线性化 2-3、拉氏变换和拉氏反变换 2-4、传递函数以及典型环节的传递函数 2-5、系统函数方框图及其简化 2-6、系统信号流图及梅逊公式 2-8、绘制实际物理系统的函数方框图
第二章 控制系统的数学模型
当 o很小时，可忽略高阶小 量，则
sin o o 可近似为线性方程 :
m 2d l2 d o 2 tt m og t lT it
线性化步骤：
1. 找出静态工作点（工作点不同， 所得方程系数也不同）
2. 在工作点附近展开成台劳级数 3. 略去高阶项，得到关于增量的线
性化方程
§2-3 拉氏变换及反变换
即：
RCduo(t) dt
ui(t)
例3 电枢控制式直流电动机
Ra
La
f
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
ei(t)
em
o (t)
T
J
ia if= 常 数
根据电磁感应定律，有
其中根 其 根，eKP中 据 据 m1e3e—TtK图根 i， 磁 — 2基 t-tT4— 电K反 据 场 枢— 尔 KR Te电 控d牛 制对 aTt电 势霍 idio直ata顿 常 载 tt流机 ft夫 电数d第 流 动力 Ld机o作 定 at二 t线 d矩 d用 a律 i定 圈 ttJ常 ， 定 d律 ， 的 2ed数 有 律 m to定 2有 tt， 律有
1 c
i1 t
dt
R1i2
t
3
uo t R2it
4
将2、 3、 4分 别 代 1， 入并 整 理 得
R1CdduottR1R 2R2 uotR1Cdduittuit
i2(t)
ui(t) i1(t)
C
a
uo(t)
R
+
u i1
a (t (t)
)0 i2 (t
)
ui(t) Cduo(t)
R
dt
其 — 正 中实
则 可 定 xt的 义拉 氏 变 XS换
XSLxt
e xt stdt 0
象函数
原函数
复变量 量纲 t 1
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1t
1
1t
0 1
t0 t 0
0
t
L1t0 1tesd t t1 sest 01 s
e it R a ia t L a d d a ti te m t T t K T ia t emtKeddott
Ttfdd ottJd2 d o 2 tt
将上面四个方程联立，可得
L a J d 3 d o 3 t tL a f R a J d 2 d o 2 t tR a f K T K e d d o t K tT e i t
微分方程 （时间域）
拉氏变换
拉氏反变换
代数方程 （复数域）
方块图 传递函数 信号流图
数学模型的形式 ➢ 时间域：微分方程（连续系统）
差分方程（离散系统） 状态方程
➢ 复数域：传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统）
➢ 频率域：频率特性
§2-1 基本环节数学模型
例1 质量-弹簧-阻尼系统
牛顿 yo(t) 第二定 F律 M： a工件
3. 将各环节方程式联立，消去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
单输入、单输出系统微分方程的
一般形式：
ax ax a a 0 ont 1 on1t n1x ot nxot
bx bx b b 0
imt 1
im1t m1x it mxit
其中n： m
§2-2 数学模型的线性化
尽管线性系统的理论已经相当 成熟，但非线性系统的理论还远不 完善。另外，迭加原理不适用于非 线性系统，这给解非线性系统带来 很大不便。故我们尽量对所研究的 系统进行线性化处理，然后用线性 理论进行分析。
线性化条件：
1. 非线性因素对系统影响很小 2. 系统变量只发生微小偏移，可通
其中：Fs
F F 2 2
x
y
Fs
arctan FFxy
例如：
G ss2 其:中 sjr s2r2 2
j
S平面
jGy G(s)平面
2
4
0
0
Gx
一、拉氏变换定义：
对于函数 xt ，满足下列条件
1、当 t 0时， xt0; 当t 0时， xt在每个有限区 续间
e 2、 xt td t ， 0
动 力滑 台FitkyotfyotFM i(t) y ot
即： M y otfyotkyotFit
yo(t)
k
M
Fi(t)
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例2 电路网络
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u C i1t
R1
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根 据 基 尔 霍 夫 定 律 和 欧姆 定 律 ， 有
o
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1
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若 忽 略 电化 枢为 电： 感 ， 可 简
RaJd2 do 2ttRafKTKeddottKTeit
若电枢电感、都 电忽 枢略 电， 阻可进为 一： 步简化
Keddotteit
列写系统微分方程的一般步骤：
1. 将系统划分环节，确定各环节的输入 及输出信号，每个环节列写一个方程；
2. 根据物理定律或通过实验得出的物理 规律列写各环节的原始方程，并适当 简化，线性化；
过切线法进行线性化，求其增量 方程
根据牛顿第： 二定律，有
Titmsginotlm2ld2do 2tt
这是一个非线性微分方 程，
o ( t ) 将 sin o在 o 0 附近用
l
台劳级数展开，得：
m T i( t )
P 1 5 单图 摆2 - 5 单 摆
sin o
o
o3
3!
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5!
对于一个控制系统，在一定的输 入作用下有些什么运动规律，我们不 仅希望了解其稳态情况，更重要的是 了解其动态过程。如果能将物理系统 在信号传递过程中的这一动态特性用 数学表达式描述出来，就得到了组成 物理系统的数学模型。
建立控制系统的数学模型，并
在此基础上对控制系统进行分析、 综合，是控制工程的基本方法。
—一种解线性微分方程的简便方法
是分析工程控制系统的基本数学方法
微分方程 （时间域）
拉氏变换 拉氏反变换
代数方程 （复数域）
传递函数
复习复变量和复变函数
复数有实部和虚部，两部分都是常数。
如： 2 j5 复变量指复数的实部或虚部中含有变量。
如： s j
复变函数 Fs 是 s 的函数，也有实部和虚 部。如：F s F x jF y F s F s
机械控制工程基础
主讲教师：王国荣
第二章 控制系统的动态数学模型
2-1、基本环节数学模型 2-2、数学模型的线性化 2-3、拉氏变换和拉氏反变换 2-4、传递函数以及典型环节的传递函数 2-5、系统函数方框图及其简化 2-6、系统信号流图及梅逊公式 2-8、绘制实际物理系统的函数方框图
第二章 控制系统的数学模型
当 o很小时，可忽略高阶小 量，则
sin o o 可近似为线性方程 :
m 2d l2 d o 2 tt m og t lT it
线性化步骤：
1. 找出静态工作点（工作点不同， 所得方程系数也不同）
2. 在工作点附近展开成台劳级数 3. 略去高阶项，得到关于增量的线
性化方程
§2-3 拉氏变换及反变换
即：
RCduo(t) dt
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例3 电枢控制式直流电动机
Ra
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ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
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T
J
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根据电磁感应定律，有
其中根 其 根，eKP中 据 据 m1e3e—TtK图根 i， 磁 — 2基 t-tT4— 电K反 据 场 枢— 尔 KR Te电 控d牛 制对 aTt电 势霍 idio直ata顿 常 载 tt流机 ft夫 电数d第 流 动力 Ld机o作 定 at二 t线 d矩 d用 a律 i定 圈 ttJ常 ， 定 d律 ， 的 2ed数 有 律 m to定 2有 tt， 律有
1 c
i1 t
dt
R1i2
t
3
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4
将2、 3、 4分 别 代 1， 入并 整 理 得
R1CdduottR1R 2R2 uotR1Cdduittuit
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C
a
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R
+
u i1
a (t (t)
)0 i2 (t
)
ui(t) Cduo(t)
R
dt
其 — 正 中实
则 可 定 xt的 义拉 氏 变 XS换
XSLxt
e xt stdt 0
象函数
原函数
复变量 量纲 t 1
二、简单函数的拉氏变换
1. 单位阶跃函数 1t
1
1t
0 1
t0 t 0
0
t
L1t0 1tesd t t1 sest 01 s
e it R a ia t L a d d a ti te m t T t K T ia t emtKeddott
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将上面四个方程联立，可得
L a J d 3 d o 3 t tL a f R a J d 2 d o 2 t tR a f K T K e d d o t K tT e i t
微分方程 （时间域）
拉氏变换
拉氏反变换
代数方程 （复数域）
方块图 传递函数 信号流图
数学模型的形式 ➢ 时间域：微分方程（连续系统）
差分方程（离散系统） 状态方程
➢ 复数域：传递函数（连续系统） 脉冲传递函数（离散系统）
➢ 频率域：频率特性
§2-1 基本环节数学模型
例1 质量-弹簧-阻尼系统
牛顿 yo(t) 第二定 F律 M： a工件
3. 将各环节方程式联立，消去中间变量， 最后得到只含有输入、输出变量以及 参量的系统方程式。
单输入、单输出系统微分方程的
一般形式：
ax ax a a 0 ont 1 on1t n1x ot nxot
bx bx b b 0
imt 1
im1t m1x it mxit
其中n： m
§2-2 数学模型的线性化