高三数学一轮复习教学案集合

集合

（一）集合的含义与表示

1．了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.

2．能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题。

（二）集合间的基本关系

1．理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集.

2．在具体情境中，了解全集与空集的含义.

（三）集合的基本运算

1．理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集。

2．理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集.

3．能使用韦恩图（Venn）表达集合的关系及运算。

根据考试大纲的要求，结合2009年高考的命题情况，我们可以预测2010年集合部分在选择、填空和解答题中都有涉及，高考命题热点有以下两个方面：一是集合的运算、集合的有关述语和符号、集合的简单应用等作基础性的考查，题型多以选择、填空题的形式出现；二是以函数、方程、三角、不等式等知识为载体，以集合的语言和符号为表现形式，结合简易逻辑知识考查学生的数学思想、数学方法和数学能力，题型常以解答题的形式出现.

第1课时 集合的概念

一、集合

1．集合是一个不能定义的原始概念，描述性定义为：某些指定的对象 就成为一个集合，简称 ．集合中的每一个对象叫做这个集合的 ．2．集合中的元素属性具有：

(1) 确定性； (2) ； (3) ．

3．集合的表示法常用的有 、 和韦恩图法三种，有限集常用 ，无限集常用 ，图示法常用于表示集合之间的相互关系．二、元素与集合的关系

4．元素与集合是属于和 的从属关系，若a 是集合A 的元素，记作 ，若a 不是集合B 的元素，记作 ．但是要注意元素与集合是相对而言的．三、集合与集合的关系

5．集合与集合的关系用符号 表示．

6．子集：若集合A 中 都是集合B 的元素，就说集合A 包含于集合B （或集合B 包含集合A ），记作 ．

7．相等：若集合A 中 都是集合B 的元素，同时集合B 中 都是集合A 的元素，就说集合A 等于集合B ，记作 ．

8．真子集：如果 就说集合A 是集合B 的真子集，记作 ．

9．若集合A 含有n 个元素，则A 的子集有 个，真子集有 个，非空真子集有 个．

10．空集∅是一个特殊而又重要的集合，它不含任何元素，∅是任何集合的 ，∅是任何非空集合的 ，解题时不可忽视∅．

例1.

已知集合8|

6A x N N x ⎧⎫

=∈∈⎨⎬-⎩⎭

，试求集合A 的所有子集.解：由题意可知6x -是8的正约数，所以 6x -可以是1,2,4,8；相应的x 为

2,4,5，即{}2,4,5A =.

∴A 的所有子集为,{2},{4},{5},{2,4},{2,5},{4,5}{2,4,5}φ.

变式训练1.若a,b ∈R,集合{}1,,0,,,b a b a b a

⎧⎫+=⎨⎬⎩

⎭

求b-a 的值.

解：由{}1,,0,,b a b a b a

⎧⎫+=⎨⎬⎩

⎭

可知a ≠0，则只能a+b=0，则有以下对应关系：

1a b b

a a

b +=⎧⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩

①或 01a b b a b a

⎧⎪+=⎪=⎨⎪⎪=⎩ ②由①得1

,1

a b =-⎧⎨=⎩符合题意；②无解.所以b-a=2.例2. 设集合2

{2,3,23}U a a =+-，{|21|,2}A a =-，{5}U C A =，求实数a 的值.解：此时只可能2235a a +-=，易得2a =或4-。当2a =时，{2,3}A =符合题意。

当4a =-时，{9,3}A =不符合题意，舍去。故2a =。

变式训练2：（1）P ＝{x|x2－2x －3＝0}，S ＝{x|ax ＋2＝0}，S ⊆P ，求a 取值？（2）A ＝{－2≤x ≤5}，B ＝{x|m ＋1≤x ≤2m －1}，B ⊆A,求m 。

解：（1）a ＝0,S ＝∅，∅⊆P 成立 a ≠0，S ≠∅，由S ⊆P ，P ＝{3，－1}得3a ＋2＝0，a ＝－

23或－a ＋2＝0，a ＝2； ∴a 值为0或－2

3

或2.（2）B ＝∅，即m ＋1>2m －1,m<2 ∴∅A 成立.

B≠∅，由题意得121

21521m m m m +≤-⎧⎪

-≤+⎨⎪≥-⎩

得2≤m≤3

∴m<2或2≤m≤3 即m ≤3为取值范围.注：（1）特殊集合∅作用，常易漏掉

例3. 已知集合A={x|mx2-2x+3=0，m ∈R}.（1）若A 是空集，求m 的取值范围；（2）若A 中只有一个元素，求m 的值；

（3）若A 中至多只有一个元素，求m 的取值范围.解： 集合A 是方程mx2-2x+3=0在实数范围内的解集.(1)∵A 是空集，∴方程mx2-2x+3=0无解.

∴Δ=4-12m<0,即m>13

.

（2）∵A 中只有一个元素，∴方程mx2-2x+3=0只有一个解.

若m=0，方程为-2x+3=0，只有一解x=32

;

若m ≠0，则Δ=0，即4-12m=0,m=13

.

∴m=0或m=13

.

(3)A 中至多只有一个元素包含A 中只有一个元素和A 是空集两种含义，根据（1）、（2）的结果，

得m=0或m ≥13

.

变式训练3.（1）已知A={a+2，（a+1）2，a2+3a+3}且1∈A ，求实数a 的值；（2）已知M={2，a ，b}，N={2a ，2，b2}且M=N ，求a ，b 的值.解：（1）由题意知：

a+2=1或(a+1)2=1或a2+3a+3=1，

∴a=-1或-2或0，根据元素的互异性排除-1，-2,∴a=0即为所求.

（2）由题意知,22a a b b =⎧⎨=⎩或201

2a a b b b a =⎧=⎧⇒⎨⎨==⎩⎩或00a b =⎧⎨=⎩或14,12a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩根据元素的互异性得01a b =⎧⎨=⎩或1

4

1

2

a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=

⎪⎩即为所求.例4. 若集合A ＝{2，4，32

27a a a --+}，B ＝{1，a ＋1，2

22a a -+，2

1(38)2

a a -

--、3237a a a +++ }，且A ∩B ＝{2，5}，试求实数a 的值．

解:∵А∩В＝{2，5}，∴2∈A 且5∈A ，

则3

2

27a a a --+＝5⇒(a －2)(a －1)(a ＋1)＝0，

∴a ＝－1或a ＝1或a ＝2．

当a ＝－1时，B ＝{1，0，5，2，4}，与A ∩B ＝{2，5}矛盾，∴a ≠－1．当a ＝1时，B ＝{1，2，1，5，12}，与集合中元素互异性矛盾，∴a ≠1．当a ＝2时，B ＝{1，3，2，5，25}，满足A ∩B ＝{2，5}．故所求a 的值为2．

变式训练4.已知集合A ＝{a ，a ＋d ，a ＋2d}，B ＝{a ，aq ，2

aq }，其中a ≠0，若A ＝B ，求q 的值

解：∵A ＝B

∴(Ⅰ)⎪⎩⎪⎨⎧=+=+22aq d a aq d a 或 (Ⅱ) ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+aq

d a aq

d a 22由(Ⅰ)得q ＝1，由(Ⅱ)得q ＝1或q ＝－21

．当q ＝1时，B 中的元素与集合元素的互异性矛盾，

∴q ＝－2

1