初三二次函数与相似三角形

【例1】 如图，抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B （3，0）两点，与y 轴交于点C （0，－3），设抛物线的

顶点为D ．

（1）求该抛物线的解析式与顶点D 的坐标；

（2）以B 、C 、D 为顶点的三角形是直角三角形吗？为什么？

（3）探究坐标轴上是否存在点P ，使得以P 、A 、C 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请指出符合条件的点P 的位置，并直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．

例题精讲

二次函数与相似三角形

【例2】如图，抛物线y＝ax2＋bx＋1与x轴交于两点A（－1，0），B（1，0），

与y轴交于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）过点B作BD∥CA与抛物线交于点D，求四边形ACBD的面积；

（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，过M作MN⊥x轴于点N，使以A、M、N为顶点的三角形与△BCD相似？若存在，则求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【例3】如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以AB所在直线为x轴，过C点的直线为y轴建立平面直角坐标系，此时，A点坐标为（－1，0），B点坐标为（4，0）．

（1）试求点C的坐标；

（2）若抛物线y＝ax2＋bx＋c过△ABC的三个顶点，求抛物线的解析式；

（3）点D（1，m）在抛物线上，过点A的直线y＝－x－1交（2）中的抛物线于点E，那么在x 轴上点B的左侧是否存在点P，使以P、B、D为顶点的三角形与△ABE相似？若存在，求出P 点坐标；若不存在，说明理由．

【例4】如图，在平面直角坐标系xO y中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k．所得抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D．

（1）求h、k的值；

（2）判断△ACD的形状，并说明理由；

（3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM与△ABC相似．若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．

【例5】如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．

（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；

（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为（x1，y1）、（x2，y2）．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S＝36时点A1的坐标；

（3）在图1中，设点D坐标为（1，3），动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴

．．．围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．

图1

图2

【例6】如图，抛物线经过A（4，0），B（1，0），C（0，－2）三点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）P是抛物线上一动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

【例7】如图，二次函数的图象经过点D(0

，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得的线段

AB的长为6.

(1)求二次函数的解析式；

(2)在该抛物线的对称轴上找一点P，使P A+PD最小，求出点P的坐标；

(3)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

【例8】如图所示，抛物线2

()

y x m

=--的顶点为A，其中0

m>．

（1）已知直线l

：y=，将直线l沿x轴向（填“左”或“右”）平移

个单位（用含m的代数式）后过点A；

（2）设直线l平移后与y轴的交点为B，若动点Q在抛物线对称轴上，问在对称轴左侧的抛物线上是否存在点P，使以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似，且相似比为2？若存在，求出m的值，并写出所有符合上述条件的P点坐标；若不存在，说明理由．

【例9】如图，已知点A()

y mx mx n

=++上．

B，都在抛物线22

10

-，和点()

24

（1）求m n

、；

''为（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A'，点B的对应点为B'，若四边形AABB 菱形，求平移后抛物线的表达式；

'、、（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB'的交点为C，试在x轴上找一个点D，使得以点B C D 为顶点的三角形与ABC

△相似．