(完整)四年级奥数之最值问题

四年级奥数之最值问题

知识点睛：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称之为“最大最小问题”。“最大”、“最小”是我们所熟悉的两个概念，多年来各级数学竞赛中经常会

出现求最值问题，解决办法有：

一、枚举法

例1一把钥匙只能开一把锁，现在有4把钥匙4把锁。但不知哪把钥匙开哪把锁，最多要试多少次就能配好全部的钥匙和锁？

（北京市第三届“迎春杯”数学竞赛试题）

分析与解开第一把锁，按最坏情况考虑试了3把还未成功，则第4把不用试了，它一定能打开这把锁，因此需要3次。同样的道理开第二把锁最多试2次，开第三把锁最多试1次，最后一把锁则不用再试了。这样最多要试的次数为：3＋2＋1=6（次）。

二、综合法

例2x3=84A（x、A均为自然数）。A的最小值是______。（1997年南通市数学通讯赛试题）

分析与解根据题意，84A开立方的结果应为自然数，于是我们可以把84分解质因数，得84=2×2×3×7，因此x3=2×2×3×7×A，其中A的质因数至少含有一个2、两个3、两个7，才能满足上述要求。

即A的最小值为（2×3×3×7×7=）882。

三、分析法

例3一个三位数除以43，商是a，余数是b，（a、b均为自然数），a＋b 的最大值是多少？

（广州市五年级数学竞赛试题）

分析与解若要求a＋b的最大值，我们只要保证在符合题意之下，a、b尽可能大。由乘除法关系得

43a＋b=一个三位数

因为b是余数，它必须比除数小，即b＜43b的最大值可取42。

根据上面式子，考虑到a不能超过23。（因为24×43＞1000，并不是一个三位数）

当a=23时，43×23＋10=999，此时b最大值为10。

当a=22时，43×22＋42=988，此时b最大值为42。

显然，当a=22，b=42时，a＋b的值最大，最值为22+42=64。

四、公式法

例4两个自然数的和为18，那么，这两个自然数的积的最大值为多少？（广州市小学数学竞赛试题）

我们经常说的一句话就是"和一定，差小积大，差大积小"那么到底应该如何准确理解并应用它解决实际问题呢？

A＋B＝C

和一定，指的是A与B的和是不变的，为C。

差小积大，'差'指的是A和B的差距，A和B差距越小，乘积越大；

差大积小，理解方法同上，A和B差距越大，乘积越小。

所以，当a=b=9时，这两个自然数的积最大。为91。

五、图表法

例5某公共汽车从起点站开往终点站，中途共有9个停车站。如果这辆公共汽车从起点站开出，除终点站外，每一站上车的乘客中从这一站到以后的每一

站正好各有一位乘客上下车。为了使每位乘客都有座位。那么这辆汽车至少应有座位多少个？

（北京市“迎春杯”数学竞赛试题）

分析与解根据题意，每站下车的乘客数最少要等于该站后面的车站数，列表如下：

从表中可以看出，车上乘客最多时，是在第五站乘客上下车后的人数，此时人数为

（10＋9＋8＋7＋6）-（1＋2＋3＋4）=30（人）

所以这辆汽车至少应有座位30个。

最大最小问题，涉及面广，判断最值的方法较多，上面所列举的仅是几种常

见的解题方法。

巩固练习:

1．a、b是1、2、3、…、99、100中的两个不同的数，求（a+b）÷（a-b）的最大值．

2．有40枚棋子分别放入8个盒子里，要使每个盒子里都有棋子，那么其中的一个盒子里，最多能有多少棋子？

3．一把钥匙只能开一把锁，现有10把钥匙和10把锁，最多要试验多少次就能配好全部的钥匙和锁？

4．将5、6、7、8、9、0这6个数字填入下面算式中，使乘积最大．

□□□×□□□

5．把12分解为两个自然数的和，使它们的积最大，求这个最大值．

6．100名村民代表选举村委会主任，有三位候选人甲、乙、丙，每人只能选他

们中的一个人不能弃权，前80票中，甲得到38票，乙得到32票，丙得到10票，规定谁的票最多谁当选，甲若要当选，最少还需要多少张票？

7．数字和等于23的最小偶数是多少？

8．从十位数7677782980中划去5个数字，使剩下的5个数字（先后顺序不改变）组成的五位数最小．这个最小的五位数是

9．下面是一个乘法等式．问：当乘积最大时，所填的四个数字的和是多少？

□□×5=□□

10．现有10对钥匙和锁混放在一起，不知道哪把钥匙配哪把锁．至多要试开多

少次，可把它们全部配成对．

11．一个五位数与9的和是没有重复数字的最小五位数，则原来五位数的个位数字是什么？

12．如果各位数字都是1的某个整数能被33333整除，那么该整数中1的个数最少有多少个？

13．将1，2，3，4，5，6，7，8这八个数字填入下面算式的八个“□”内（每

个数字只能用一次），使得数最小，其最小得数是_________.

□□．□□-□□．□□

14．有9颗钢珠，其中8颗一样重，另有一颗比这8颗略轻，用一架天平最少称几次，可以找到那颗较轻的钢珠？

15．用2、3、4、5、6、7这6个数字组成两个不同的三位数，要使这两个三位

数的乘积最大，则这两个三位数是多少？

16．现有一批树苗，如果每排20棵，最后余下5棵；如果每排7棵，最后剩下2棵，这批树苗最少有多少棵？

17．袋子里装18个大小相同的彩色木球，其中红球3个，黄球5个，绿球10个，现在一次从中任意取出N个，使这N个彩球中，保证至少有5个同色，请问：N的最小值是多少？

18．在多位数464748495051中划去6个数字，使剩下的数字（先后顺序不变）

组成的六位数最大．这个最大的六位数是多少？

19．一个自然数N各位数字之和是300，要使N最小，N应当是几位数？它的首位数应当是几？

20．四年级有学生若干名，若7人一行最后余3人；若11人一行最后余5人．四年级最少有学生多少人？

21．有A、B、C共3人，从地点P到地点Q的距离为3千米，每个人可以每小时3千米的速度步行．在地点P有两辆自行车，如果使用自行车，速度可达到每小

时15千米，但每辆自行车只能一个人骑．问怎样才能在最短的时间内使三人都

到达地点Q？

22、用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，问这个鸡窝的面积最大是多少？

23、用60米长的铁板围成一个长方形鸡窝，现在要借助一个墙角，问这个鸡窝

的面积最大是多少？