初中数学分式方程增根
增根定义
增根定义增根（extraneous root ），在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根产生增根的来源对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
（1）分式方程增根举例（2）无理方程（3）非函数方程分式方程增根介绍在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根例： x/（x-2)-2/(x-2)=0解：去分母，x-2=0x=2但是X=2使X-2和X^2-4等于0,所以X=2是增根分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分式方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。
例如: 设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.非函数方程增根介绍在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。
例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。
存在一种解法：椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。
所以联立椭圆和圆的方程：(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*）因为有两个根，所以△>0∴△=(2b^2-a^2)>0∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二）而正解却是由（*）得x1=a x2=a·b^2/c^2∴0<x2<a∴（1/2）^(1/2)<e<1然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永远都>0 于是我们取e=1/2假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①与圆x^2+y^2-2x=0···②联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)有十字相乘 x1=2 x2=6显然此时 x2=6是增根将x2=6 带入①式 y^2= -24将x2=6 带入②式 y^2= -24将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。
初中数学分式方程增根与无解问题专题突破一（附答案详解）
初中数学分式方程增根与无解问题专题突破一（附答案详解）1．方程2223671x x x x x +=--+的根的情况，说法正确的是（的根的情况，说法正确的是（ ） A ．0是它的增根 B ．－1是它的增根C ．原分式方程无解D ．1是它的根2．下列结论正确的是（．下列结论正确的是（ ）A ．4131-=+y y 是分式方程是分式方程B ．方程1416222=--+-x x x 无解无解C ．方程x x xx x x +=+222的根为x=0D ．只要是分式方程，解时一定会出现增根．只要是分式方程，解时一定会出现增根3．分式方程 有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）。
A ．0B ．2C ．0或2D ．14．若分式方程有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．05．若分式方程21111x kx x +-=--有增根，则增根可能是（有增根，则增根可能是（ ）A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．06．若分式方程33x x -++1=m 有增根，则这个增根的值为（有增根，则这个增根的值为（ ）A ．1B ．3C ．－3D ．3或-37．如果解分式方程出现了增根，那么增根是（出现了增根，那么增根是（ ）A ．0B ．-1C ．3D ．18．关于的分式方程有增根，则的值为（的值为（ ）A． B． C． D．9．关于x的分式方程+3=有增根，则增根为（有增根，则增根为（ ）A．x=1 B．x=﹣1 C．x=3 D．x=﹣310．若关于的分式方程有增根，则的值是（的值是（ ）A．或 B． C． D．或11．若分式方程有增根,则k的值是_________.12．若分式方程有增根，则的值为_______．13．若分式方程有增根，则=_________14．分式方程有增根，则m＝_____________．15．若分式方程＝2有增根，则m的值为的值为 。
16．若分式方程有增根，则的值是_____17．若关于x的分式方程有增根，则m的值为_____．18．若关于x的分式方程有增根，则= ．19．用去分母的方法，解关于x 的分式方程的分式方程 8x x-＝2＋8m x -有增根，则m ＝ ．20．若关于x 的分式方程有增根，则m=________答案: 1．C解：方程两边同乘x(x+1)(x-1)，得3(x+1)-6x=7(x-1)， 解得：x=1， 检验：当x=1时，x(x+1)(x-1)=0，所以x=1不是原方程的解，原方程无解，故选C. 2．B解：A 、利用分式方程的定义判断即可得到结果；、利用分式方程的定义判断即可得到结果；B 、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解，即可做出判断；的解，即可做出判断；C 、分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验得到分式方程的解，即可做出判断；D 、分式方程不一定出现增根．、分式方程不一定出现增根．解：A 、4131-=+y y 是一元一次方程，错误；是一元一次方程，错误；B 、方程1416222=--+-x x x ， 去分母得：（x ﹣2）22﹣16=x 22﹣4，整理得：x 2﹣4x+4﹣16=x 2﹣4， 移项合并得：﹣4x=8，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解，正确；是增根，分式方程无解，正确；C 、方程x x xx x x+=+222，去分母得：2x=x ，解得：x=0，经检验x=0是增根，分式方程无解，错误；是增根，分式方程无解，错误；D 、分式方程解时不一定会出现增根，错误，故选B3．C解：方程两边通乘以x （x-2）得x=2（x-2）+m ，解得x=4-m ，由于有增根，所以4-m=0或4-m=2．故选C4．A 解：∵原方程有增根，解：∵原方程有增根，∴最简公分母（x+1）（x ﹣1）=0，解得x=﹣1或1， 当x=﹣1，k=﹣2+2=0．而当k=0时，原方程为﹣1=0，此时方程无解．故x=1，故选：A ．5．C 解：∵原方程有增根，∴最简公分母(x+1)(x−1)=0，解得x=−1或1，∴增根可能是：±1.故选：C.6．C解：∵分式方程33x x -++1=m 有增根，∴x+3=0，∴x=-3，即-3是分式方程的增根，故选C 7．C解：∵原方程有增根，∴最简公分母(x −3)=0，解得x =3，故选：C.8．C解：∵关于的分式方程有增根∴x-1=0解得x=1 原方程两边同乘以x-1可得m-3=x-1把x=1代入可得m=3.故选：C.9．A解：方程两边都乘（x ﹣1），得7+3（x ﹣1）=m ，∵原方程有增根，∴最简公分母x ﹣1=0，解得x=1，当x=1时，m=7，这是可能的，符合题意．故选：A ．10．A解：解：∵∵关于x 的分式方程有增根，有增根， ∴是方程 的根，的根， 当11．-1解：方程两边都乘（x-3），得，得1-2（x-3）=-k，∵方程有增根，∴最简公分母x-3=0，即增根是x=3，把x=3代入整式方程，得k=-1．故答案为：-1．12．1解：方程的两边都乘以（x-3），得x-2-2（x-3）=m，化简，得m=-x+4，原方程的增根为x=3，把x=3代入m=-x+4，得m=1，故答案为：1．13．1解:∵分式方程有增根，∴x=2,把x=2代入x-m=1中得：m=1.故答案是：1.14．3解:分式方程去分母得：x+x﹣3=m， 根据分式方程有增根得到x﹣3=0，即x=3， 将x=3代入整式方程得：3+3﹣3=m，则m=3，故答案为：3．15．－1解：先对原方程去分母，再由方程无解可得，再代入去分母后的方程求解即可. 方程＝2去分母得因为分式方程＝2有增根，所以所以，解得.16．0解:∵分式方程有增根，∴∴x=2是方程1+3（x-2）=a+1的根，∴a=0．故答案是：0．17．±解:方程两边都乘x-3，得x-2（x-3）=m 2，∵原方程增根为x=3，∴把x=3代入整式方程，得m=±．18．1解:方程两边同乘以x （x-1）得，x （x-a ）-3（x-1）= x （x-1）， 整理得，(-a-2)x+3=0， ∵关于x 的分式方程存在增根，∴x （x-1）=0，∴x=0或x=1，把x=0代入(-a-2)x+3=0得，a 无解；把x=1代入(-a-2)x+3=0,解得a=1；∴a 的值为1．19．8解:方程两边都乘（x-8），得，得X=2(x-8)+m ，∵原方程有增根，∵原方程有增根，∴最简公分母x-8=0，解得x=8．当x=8时，m=820．-1解:方程两边都乘(x −2)，得1=−m +x −2，∵原方程有增根，∴最简公分母(x −2)=0，解得x =2，当x =2时，m =−1，故答案为−1.i时，解得：当时，解得：故选：A.。
《分式方程的根、增根》
《分式方程的根、增根》课题组核心成员梁艳云涂爱玲王莉秦佳敏1.概念背景分析分式的概念选自湘教版八年级上册第一章《分式》1.5节《可化为一元一次方程的分式方程》的内容，分式方程的解和增根是在学完分式概念，一元一次方程、分式方程的解法的基础上学习的，是对方程的进一步研究。
讨论分式方程转化为整式方程的思想、增根及增根产生的原因，不仅适用于解可化为一元一次的分式方程，同样也适用于解一般的分式方程。
本节内容是对整式和一元一次方程等知识点进一步拓展和深化。
2.教学目标2.1 理解分式方程的解（根）的意义。
2.2了解分式方程的增根，并理解产生增根的原因，掌握分式方程验根的方法。
2.4通过解分式方程转化为解整式方程的过程，渗透化归的数学思想方法。
3.教学重难点3.1 重点：理解分式方程的解（根），了解从“分式方程”到“整式方程”的转化过程。
3.2 难点：理解分式方程产生增根的原因。
3.3关键：解分式方程的关键是把分式方程转化为整式方程。
认识分式方程与变形后的整式方程中未知数取值范围的不同，这是理解分式方程产生增根原因的关键所在，并理解验根的方法。
4.教学设计环节1：概念导入问题1：什么叫方程？什么叫分式方程？下列式子中哪些是分式方程？①−8x+1=5②26410x x++=③2x+1+3x−1=6x2−1④x+23=x+15⑤4x+1x+2答：①③是分式方程，这些方程中的分母都含有未知数。
以下我们用①③作为例子深入研究。
问题2：什么是分式方程的解？分式方程的解：可以使得分式方程左右两边相等的解。
1x =，135x =-是分式方程①的解（根）吗？你是怎么知道的？答：1x =不是分式方①的解，将1x =代入到分式方程①中发现，左右两边不相等； 135x =-是分式方程①的解（根），把解代入到原方程中，左右两边相等，就是方程的解。
设计说明：问题1从之前学习的方程概念入手，进行学习，让学生更容易进入探索状态。
联系方程到分式方程，从分式到分式方程，将分式、方程的概念进行整合，学生通过知识迁移的方式，新的知识点很容易建立。
分式方程增根问题八年级数学
分式方程增根问题一、选择题1．分式方程=有增根,则m 的值为A 、0和3B 、1C 、1和﹣2D 、3 2．已知x 的方程2+11a x x x =--有增根,则a 的值是 A ．1 B ． -1 C ．0 D ．23．若分式方程a x a x =-+1无解,则a 的值是 A.－１ B. 1 C. ±1 D.-2 4．若分式方程2321--=+-x x a x 有增根,则a 的值是 A.5 B.0 C.6 D.35．分式方程()()2111+-=--x x m x x 有增根,则m 的值为 A 、0和1 B 、1 C 、1和－2 D 、36．若分式方程244x a x x =+--有增根,则a 的值为 A ．4 B ．2 C ．1 D ．0 7．分式方程11x x --=()()12m x x -+有增根,则m 的值为 A 、0和3B 、1C 、1和﹣2D 、3 8．分式方程=--11x x )2)(1(+-x x m 有增根,则m 的值为 A. 0和3B. 1C. 1和－2D. 3 9．若分式方程5156-=+--x k x x 其中k 为常数产生增根,则增根是 A.x=6 B.x=5 C.x=k D.无法确定 10．解x 的方程113-=--x m x x 产生增根,则常数m 的值等于 A.-2 B.-1 C.1 D.2二、填空题 11．x 的分式方程244212+=---x k x x 有增根x =-2,那么k= .12．已知x 的分式方程a 1=1x 2-+有增根,则a= . 13．方程133m x x =+++1若有增根,则增根一定是_________． 14．若x 的方程2x m 2x 22x ++=--有增根,则m 的值是 15．若x 的方程2221+-=--x m x x 产生增根,那么m 的值是 . 16．若分式方程244x a x x =+--有增根,则a 的值为______________． 17．若解分式方程4x m 4x 1x +=+-产生增根,则m ＝________． 18．若x 的分式方程8128-++=-x m x x 有增根,则m = ． 19．若x 的分式方程113-=--x m x x 产生增根,则m 的值为 ． 20．若x 的分式方程131=---x x a x 有增根,则a = ． 21．若分式方程：有增根,则k= ． 22．若解分式方程441+=+-x m x x 产生增根,则=m ________； 23．用去分母的方法,解x 的分式方程 8x x -＝2＋8m x -有增根,则m ＝ ． 24．若去分母解分式方程x-3x －2=x-3m 时有增根,则m 的值为 ______． 25．如果x 的分式方程0111=----x x x m 有增根,则m 的值为 ．三、解答题26．已知x 的分式方程2233x m x x -=--没有解,则m 可以取什么值27．已知x 的方程xa x x x x x =---+2)2(42无解,求a 的值参考答案1．A2．A3．C4．D5．D6．A7．A8．A9．B10．A 11．1 12．1;13．x=-3 14．0; 15．1 答案4 17．5- 18．719．-2 20．1 21．122．-5 23．824．3=m 25．226．.3±=m27．a=-2。
初中数学分式方程增根与无解问题专题突破五(含答案详解)
初中数学分式方程增根与无解问题专题突破五（附答案详解）1．若分式方程有增根，则m 的值为______．2．已知分式方程12322k x x -+=--有增根，则k=___________．3．若关于x 的分式方程有增根，则m =________。
4．如果﹣3是分式方程的增根，则a= ．5．若关于x 的分式方程1322m x x x -=---有增根，则实数m 的值是 ．6．若关于x 的分式方程有增根，则m 的值为____________．7．若关于x 的分式方程113-=--x m x x 产生增根，则m 的值为 ．8．若分式方程2+=有增根，则k=______．9．如果分式方程8778=----x k x x 有增根，则k 的值为 ．10．若关于x 的分式方程有增根，则m 的值为__________．11．当m = 时，分式方程x x x x m x x 1112+=++-+无解.12．如果解关于x 的分式方程2122m x x x-=--时出现增根，那么m 的值为_____________13．已知关于x 的分式方程.(1)若方程的增根为x ＝2，求a 的值；(2)若方程有增根，求a 的值；(3)若方程无解，求a 的值．14．已知关于x 的分式方程， (1)若方程的增根为x=1，求m 的值(2)若方程有增根，求m 的值(3)若方程无解，求m 的值．15．若解关于x 的分式方程234222+=-+-x x mx x 会产生增根，求m 的值。
16．小华想复习分式方程，由于印刷问题，有一个数“？”看不清楚：. （1）她把这个数“？”猜成5，请你帮小华解这个分式方程；（2）小华的妈妈说：“我看到标准答案是：方程的增根是，原分式方程无解”，请你求出原分式方程中“？”代表的数是多少？17．当k 为何值时，分式方程有增根？18．已知分式方程有增根，求k 的值。
19．判断：只要是分式方程，一定出现增根. （ ）20．已知关于x 的分式方程1x x -－1=(1)(2)m x x -+，求： (1)m 为何值时，这个方程的解为x=2？(2)m 为何值时，这个方程有增根？答案1．-2解:方程两边都乘（x-2），得x-2（x-2）=-m∵原方程增根为x=2，∴把x=2代入整式方程，得m=-2，故答案为：-2．2．1解:方程两边都乘以(x−2)得，x=73k-，∵分式方程有增根，∴x−2=0，解得x=2，∴2=73k-，解得a=1.故答案为：1.3．解：根据关于x的方程有增根，可知x-3=0，增根为x=3，原方程化为整式方程为2=（x-3）-m，代入x=3可得m=-2．4．3解：去分母得：a﹣2x+2a=3，由分式方程有增根是﹣3，把x=﹣3代入a﹣2x+2a=3，可得：a﹣6+2a=3，解得：a=3；故答案为：35．1.解：方程两边同乘以x-2，可得m=x-1-3（x-2），解得m=-2x+5，因分式方程13 22m xx x-=---有增根，可得x=2，所以m=1.6．m=1解:去分母得：，方程的增根只能是，∴，解得：．故答案为：．7．-2解:方程两边都乘（x-1），得x-3=m，∵最简公分母为（x-1），∴原方程增根为x=1，∴把x=1代入整式方程，得m=--28．1解:方程两边同乘以(x－2)，得2(x－2)＋1－kx＝－1因原方程的增根只能是x＝2，将x＝2代入上式，得1－2k＝－1，k＝1.9．1解：方程两边都乘（x﹣7），得x ﹣8+k=8（x ﹣7），∵原方程有增根，∴最简公分母x ﹣7=0，即增根为x=7，把x=7代入整式方程，得k=1．10．2解：因为，所以x-2（x-2）=m ，又关于x 的分式方程的增根是x=2，所以把x=2代入x-2（x-2）=m 得m=2．11．-2或0 解：方程xx x x m x x 1112+=++-+两边同时乘以x （(x+1)，整理得()()2211x m x -+=+;解得22m x --=；若关于x 的分式方程8128-++=-x m x x 无解，那么方程有增根，那么x(x+1)=0，得x=0或-1；所以22m x --==0或者22m x --==-1，解得m =-2或0 12．-4解:方程两边同乘以x-2得，m+2x=x-2，因分式方程2122m x x x-=--出现增根，所以x=2，把x=2代入m+2x=x-2得，m+4=0，解得m=-4.故答案为-4.13．（1）－2；（2）－2；（3）3或－2解：(1)原方程去分母并整理，得(3－a)x ＝10.因为原方程的增根为x ＝2，所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(2)因为原分式方程有增根，所以x(x －2)＝0.解得x ＝0或x ＝2.因为x ＝0不可能是整式方程(3－a)x ＝10的解，所以原分式方程的增根为x ＝2.所以(3－a)×2＝10.解得a ＝－2.(3)①当3－a ＝0，即a ＝3时，整式方程(3－a)x ＝10无解，则原分式方程也无解； ②当3－a≠0时，要使原方程无解，则由(2)知，此时a ＝－2.综上所述，a 的值为3或－2. 14．（1）m=-6;(2) 当x =﹣2时，m =1.5；当x =1时，m =﹣6；（3）m 的值为﹣1或﹣6或1.5 解：方程两边同时乘以（x +2）（x ﹣1），得2（x+2）+mx=x-1，整理得（m +1）x =﹣5，（1）∵x =1是分式方程的增根，∴1+m=﹣5，解得：m=﹣6；（2）∵原分式方程有增根，∴（x+2）（x﹣1）=0，解得：x=﹣2或x=1，当x=﹣2时，m=1.5；当x=1时，m=﹣6；（3）当m+1=0时，该方程无解，此时m=﹣1；当m+1≠0时，要使原方程无解，由（2）得：m=﹣6或m=1.5，综上，m的值为﹣1或﹣6或1.5．15．-4或6．解：方程两边都乘（x+2）（x-2），得2（x+2）+mx=3（x-2）∵最简公分母为（x+2）（x-2），∴原方程增根为x=±2，∴把x=2代入整式方程，得m=-4．把x=-2代入整式方程，得m=6．综上，可知m=-4或6．16．（1）;（2）原分式方程中“？”代表的数是-1.解:（1）方程两边同时乘以得解得经检验，是原分式方程的解.（2）设？为，方程两边同时乘以得由于是原分式方程的增根，所以把代入上面的等式得所以，原分式方程中“？”代表的数是-1.17．当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．解：方程两边同乘以x（x﹣1）得：6x=x+2k﹣5（x﹣1），又∵分式方程有增根，∴x（x﹣1）=0，解得：x=0或1，当x=1时，代入整式方程得：6×1=1+2k﹣5（1﹣1），解得：k=2.5，当x=0时，代入整式方程得：6×0=0+2k﹣5（0﹣1），解得：k=﹣2.5，则当k=2.5或﹣2.5时，分式方程有增根．18．k=1解:分式方程去分母得：2（x-2）+1-kx=-1由题意将x=2代入得：1-2k=-1解得：k=1故答案为k=119．错解：根据增根的定义即可判断.因为增根是使原方程的分母等于0的根，所以不是所有的分式方程都有增根，故本题错误. 20．（1）m=0. （2）m=3解：把分式方程去分母得：x+2=m。
15.3分式方程-增根(教案)-人教版八年级数学上册
举例：在去分母时，要注意将等式两边的每一项都乘以分母的最小公倍数，避免漏乘或乘错。
（3）解整式方程后的检验：学生在解整式方程后，容易忽视对解的检验。教师应强调检验的重要性，并教授具体的检验方法。
举例：求解分式方程$\frac{1}{x-2} = \frac{2}{x+1}$，解得$x=5$，需将$x=5$代入原方程检验是否成立。
1.教学重点
（1）理解增根的定义：增根是指使分式方程分母为零的根。这是本节课的核心概念，教师需通过实例讲解，使学生深刻理解增根的含义。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a}= \frac{2}{a}$，当$x=a$时，分母为零，此时$x=a$为增根。
（2）掌握求解含增根分式方程的方法：包括识别增根、去分母、求解整式方程、检验解等步骤。教师需详细讲解并举例说明每个步骤的操作方法。
2.教学难点
（1）增根的识别：对于初学者来说，判断何时会产生增根是一大难点。教师可通过列举不同类型的分式方程，帮助学生识别增根。
举例：分式方程$\frac{1}{x-a} + \frac{1}{x-b} = \frac{2}{x-c}$，增根可能为$x=a$、$x=b$或$x=c$。
（2）去分母过程中易出现的错误：在求解含增根分式方程时，去分母是关键步骤，但学生容易在此过程中出现错误。教师应详细讲解并强调注意事项。
五、教学反思
在本次教学过程中，我发现学生们对增根的概念和求解含增根分式方程的方法掌握程度有所不同。有些学生能够迅速理解并运用到实际题目中，但也有一些学生在识别增根和处理分母为零的情况时遇到困难。这让我意识到，在教学过程中，我们需要针对不同水平的学生进行有针对性的指导。
增根定义
增根定义增根（extraneous root ），在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根产生增根的来源对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。
当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。
（1）分式方程增根举例（2）无理方程（3）非函数方程分式方程增根介绍在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，（根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫做原分式方程的增根例： x/（x-2)-2/(x-2)=0解：去分母，x-2=0x=2但是X=2使X-2和X^2-4等于0,所以X=2是增根分式方程两边都乘以最简公分母化分式方程为整公分母的值不为0，则此解是分式方程的解，若最简公分母的值为0，则此解是增根。
例如: 设方程 A(x)=0 是(x)=0 的根,称 x=a 是方程的增根;如果x=b 是方程B(x)=0 的根但不是A(x)=0 的根,称x=b 是方程B(x)=0 的失根.非函数方程增根介绍在两非函数方程（如圆锥曲线）联立求解的过程中，增根的出现主要表现在定义域的变化上。
例如：若已知椭圆(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(a>b>0)，O为原点坐标，A为椭圆右顶点，若椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，求椭圆的圆心率的范围。
存在一种解法：椭圆上存在一点P，使OP⊥PA，即是以OA为直径画圆，要求与椭圆有除了A(a,0)以外的另外一个解。
所以联立椭圆和圆的方程：(x^2)/a^2+(y^2)/b^2=1(x-a/2)^2+y^2=(a/2)^2→x^2+y^2-ax=0→b^2·x^2+a^2(ax-x^2)-a^2·b^2=0 （*）因为有两个根，所以△>0∴△=(2b^2-a^2)>0∴e≠（1/2）^(1/2) （二分之根号二）而正解却是由（*）得x1=a x2=a·b^2/c^2∴0<x2<a∴（1/2）^(1/2)<e<1然而问题出在，无论怎么取，只要e≠(1/2）^(1/2)，好像△永远都>0 于是我们取e=1/2假设 a^2=4 b^2=3 c^2=1即可得椭圆(x^2)/4+(y^2)/3=1···①与圆x^2+y^2-2x=0···②联立即可得 x^2-8x+12=0 ···(*)有十字相乘 x1=2 x2=6显然此时 x2=6是增根将x2=6 带入①式 y^2= -24将x2=6 带入②式 y^2= -24将x2=6 带入(*)式 y^2=2x-x^2= -24可知这里的的确确是产生了一个增根，而且在解题过程中不能通过任何方式排除，这说明多个非函数方程联立求解时，方程本身无法限制x的取值。
八年级数学上册(人教课标)同步讲解：第十五章 认清“增根”和“无解”
分式方程的增根是由于把分式方程转化为整式方程时，去掉了原分式方程中分母不为的限制条件，从而扩大了未知数的取值范围，这样，整式方程的解可能使分式方程的分母为，分式方程无意义．因此，这个解虽然是变形后整式方程的解，但不是原分式方程的解，即为增根．可见，增根不是原分式方程的解，但却是分式方程去分母后所得整式方程的解．
分式方程无解分两种情况：一是原分式方程化为整式方程后，该整式方程无解；二是分式方程去分母后所得整式方程有解，但该解却是分式方程的增根．
可见，分式方程有增根与无解是完全不相同的，它们既有联系，又有区别．增根是无解的一种特殊情形，分式方程无解应从两个方面考虑．
一、利用分式方程有增根确定字母的值
解题妙招：解决此类问题的一般步骤是：①把分式方程化为整式方程；②求出使最简公分母为的未知数的值；③把未知数的值分别代入整式方程，求出字母系数的值．
例1 若分式方程无解，则的值为（）
A.或
B.
C.或
D.
解析：方程两边乘（x-1）（x+2），得x（x+2）-（x-1）（x+2）=m.
解得x=m-2.
令，解得或．
因为分式方程无解，将，分别代入x=m-2，得或．
所以或时，原分式方程无解．故选A．
二、利用分式方程无解求字母的值
解题妙招：解决此类问题，一定要从分式方程有增根和整式方程无解两个方面去考虑，以防出现漏解．例2 若关于的分式方程无解，则的值为．
解析：方程两边乘x（x-1），得x（x-a）-3（x-1）=x（x-1）.化简，得．
当整式方程无解时，则，解得．
当分式方程有增根时，则最简公分母，解得或．
①时，无解；②当时，．
所以当或a=时，原分式方程无解．故填或．。
分式方程中增根问题的探究(教案)
-难点3：针对实际问题，如速度、浓度等问题，学生需要根据实际情况构建分式方程，并注意避免增根。例如，在求解两个物体同时从不同地点出发，相向而行的问题时，学生需要建立正确的分式方程，并考虑到物体相遇时的时间不能为零。
五、教学反思
在今天的课堂上，我们探讨了分式方程中的增根问题。这个概念对学生来说可能有些抽象，但我发现通过实际例子的引导，学生们能够逐渐理解增根的含义及其在方程求解过程中的影响。我尝试了不同的教学方法，有一些收获和反思。
首先，我发现当学生们面对具体的分式方程时，他们能够更好地理解增根的概念。通过将抽象的理论与具体的案例结合起来，学生们能够看到增根是如何产生的，以及我们如何避免它们。这种方法有助于学生将理论知识与实际应用联系起来，增强了他们对知识点的记忆和理解。
（4）培养学生分析问题、解决问题的能力，特别是在面对含增根的分式方程时。
2.教学难点
（1）识别增根产生的具体原因，如分母为零的情况，以及如何通过变换避免；
（2）对于含增根的分式方程，如何进行有效求解，特别是在涉及到多个增根的情况下；
（3）在实际问题中，如何构建分式方程并避免增根问题。
举例：
-难点1：分析产生增根的原因，如对于方程$\frac{x}{x-2} = \frac{3}{x+1}$，学生需要理解当$x=2$或$x=-1$时，分母为零，从而导致增根。难点在于引导学生发现并排除这些值。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调增根的定义和避免增根的方法这两个重点。对于难点部分，我会通过举例和对比来帮助大家理解。
八年级数学上册《分式方程的增根》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解分式方程增根的概念，掌握增根产生的原因及条件。
2.学会运用分式方程的基本步骤，解决实际问题时能准确找出等量关系，列出分式方程。
3.能够运用图像法、代入法、消元法等方法求解分式方程的增根，并解释各种方法的适用场景。
4.掌握验证分式方程解的方法，提高解题的准确性和效率。
3.尝试解决以下提高拓展题：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x+2} = \frac{3}{x-3}$，求方程的增根。
（2）讨论分式方程$\frac{2x-3}{x-2} = \frac{3}{x-a}$的增根情况，其中$a$是常数。
4.小组合作完成以下题目：
（1）已知分式方程$\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x+1} = \frac{2}{x-2}$，求方程的增根。
（三）学生小组讨论，500字
在学生小组讨论的环节，我会将学生分成小组，每组分配一个具有挑战性的分式方程增根问题。小组成员需要共同探讨，找出问题的解法，并在讨论中分享各自的想法和推理过程。我会巡回指导，观察学生的讨论情况，适时给予提示和建议。
讨论结束后，每个小组选出代表进行汇报，展示他们的解题过程和最终答案。我会鼓励其他学生对展示的解法进行评价和提问，促进课堂上的交流和思维碰撞。
-引导学生从不同角度分析问题，培养学生的创新思维和解决问题的策略。
5.反思总结，提高认识
-在课程结束时，组织学生进行反思总结，回顾学习过程，提炼学习方法和经验。
-教师针对学生的学习情况，给予及时的反馈和指导，帮助学生明确自身的学习目标和方向。
8年级数学分式方程的增根
8年级数学分式方程的增根在解决8年级数学分式方程的问题时，我们首先需要了解什么是增根。
增根指的是在解的范围内，方程的根增加了。
假设我们有一个分式方程：\[ \frac{a}{x} + \frac{b}{x - d} = c \]其中，a、b、c和d都是已知的实数，x是未知数。
我们要找到方程中x的增根。
首先，我们可以通过通分的方法将方程转化为一个一元二次方程。
为了避免分母为0，我们要先确定方程的定义域。
根据题目中的条件，我们可以得出：\[ x \neq 0 \quad \text{（由于分数中有项a/x）} \]\[ x - d \neq 0 \quad \text{（由于分数中有项b/(x-d)）} \]解得：\[ x \neq 0 \quad \text{(1)} \]\[ x \neq d \quad \text{(2)} \]然后，我们进行通分，将方程化简为：\[ a(x - d) + bx = cx(x - d) \]展开并整理，得到一个一元二次方程：\[ cx^2 - (c + a)x + ad = 0 \]解这个一元二次方程，可以使用求根公式或配方法等方式。
假设解的根为x1和x2。
如果方程的两个根均在定义域内，且x1≠x2，则这个方程有增根。
总结起来，解决8年级数学分式方程的增根问题，我们需要进行以下步骤：1. 确定方程的定义域，排除分母为0的情况。
2. 将分式方程转化为一元二次方程。
3. 解一元二次方程，求得根x1和x2。
4. 判断根x1和x2是否在定义域内，且x1≠x2。
-如果满足条件，则方程有增根。
-如果不满足条件，则方程无增根。
分式方程的增根
分式方程的增根资料编号:202201282214 【自学指导】分式方程的解也叫作分式方程的根.在解分式方程时,要将分式方程转化为整式方程,可能会产生一个只适合整式方程但不适合分式方程的根,这种根称为增根.所以在解分式方程时一定要检验,即验根.增根表明分式方程无解.借助于课本和全品大讲堂（或分式固学案）,并认真阅读课本,弄清楚以下几个问题:1. 什么是分式方程的增根?2. 增根有什么特点?3. 增根意味着什么?4. 增根的应用.（见后面的专题）5. 有增根（无解）的分式方程的书写过程怎样?【重要知识点总结】使分式方程的最简公分母等于0的解,不是原分式方程的解,是增根.一般地,解分式方程时,去分母后所得整式方程的解可能使最简公分母为0,即产生增根,因此一定要检验:将整式方程的解代入最简公分母,如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解;否则,这个解不是原分式方程的解,也即原分式方程无解.重要的事情说三遍:解分式方程要检验,解分式方程要检验,解分式方程要:检验注意:（1）增根使最简公分母等于0.（2）增根表示原分式方程无解.（3）增根是去分母后所得整式方程的解,但不是原分式方程的解.（4）解分式方程可能会产生增根,因此一定要检验.分式方程的解法框图如下页所示.【例题讲解】为了保证本节课的学习效果,所选例题和作业题中的分式方程均产生增根.分式方程的解法框图例1. 解方程:12112-=-x x . 解: ()()11211-+=-x x x 方程两边同时乘以()()11-+x x 得:21=+x解这个整式方程得:1=x检验:把1=x 代入()()11-+x x 得:()()01111=-⨯+所以1=x 是增根,原分式方程无解.例2. 解方程:22121--=--xx x . 解:22121---=--x x x 方程两边同时乘以()2-x 得:()2211---=-x x解这个整式方程得:2=x检验:把2=x 代入()2-x 得: 022=-所以2=x 是增根,原分式方程无解.【作业】1. 解方程:14122-=-x x .2. 解方程:()()21311+-=--x x x x .。
初中资料数学中增根是什么意思
数学中增根是什么意思
增根是指让分式方程无意义的根。
比如分式方程2/(x-1)-1/(x-
1)=0，按分式方程的解法,解出来x=1,但x=1却使原方程没有意义,那
么x=1就是增根。
增根，是指方程求解后得到的不满足题设条件的根。
一元二次方
程与分式方程和其它以上者产生多解的方程在一定题设条件者下都可
能有增根。
在分式方程转化成整式梅西县方程的过程中，分式方程解
方程组的条件是使原方程分母不为零。
若整式方程的根使最简公分母
为0，（根使河凉方程成立，而在分式方程中分母为0）那么这个根叫
做将原分式方程的增根。
增根是针对分式方程、根式方程版等方程的，对于分式方权程，
去分母后；对于根式方程，去根号后，得到的方程的解，方程组若其
中有使得原方程无象征意义的解，则这个解是增根。
而指对无解指的是不能满足方程等式成立的解。
如果相当程度要说明无解与增根的关系，那么：当分式方程或根
式方程所有求出的解都是增根，没有其它解，那么方程无解。
所以无
解的范围比增根的范围大。
例如分式方程，解出两个解，一个是增根，另一个满足分式方程，那么分式方程就不是无解，但有增根。
分式方程增根分类举例(含答案)
与分式方程根有关的问题分类举例与分式方程的根有关的问题，在近年的中考试题中时有出现，现结合近年的中考题分类举例，介绍给读者，供学习、复习有关内容时参考。
1. 已知分式方程有增根，求字母系数的值解答此类问题必须明确增根的意义：（1）增根是使所给分式方程分母为零的未知数的值。
（2）增根是将所给分式方程去分母后所得整式方程的根。
利用（1）可以确定出分式方程的增根，利用（2）可以求出分式方程有增根时的字母系数的值。
例1. （2000年潜江市）使关于x 的方程a x x a x 2224222-+-=-产生增根的a 的值是（ ） A. 2 B. －2C. ±2D. 与a 无关解：去分母并整理，得： ()a x 22401--=<>因为原方程的增根为x =2，把x =2代入<1>，得a 2=4所以a =±2故应选C 。
例2. （1997年山东省） 若解分式方程21112x x m x x x x+-++=+产生增根，则m 的值是（ ） A. －1或－2 B. －1或2C. 1或2D. 1或－2解：去分母并整理，得：x x m 22201---=<>又原方程的增根是x =0或x =-1，把x =0或x =－1分别代入<1>式，得：m =2或m =1故应选C 。
例3. （2001年重庆市）若关于x 的方程ax x +--=1110有增根，则a 的值为__________。
解：原方程可化为：()a x -+=<>1201又原方程的增根是x =1，把x =1代入<1>，得：a =-1故应填“-1”。
例4. （2001年鄂州市）关于x 的方程x x k x -=+-323会产生增根，求k 的值。
解：原方程可化为：()x x k =-+<>231又原方程的增根为x =3，把x =3代入<1>，得：k=3例5. 当k 为何值时，解关于x 的方程：()()()1151112x x k x x k x x -+-+=--只有增根x =1。
八年级数学上册《解分式方程关于增根的讨论》教案、教学设计
步骤2：利用换元法、消元法等方法求解方程。
步骤3：检验解是否满足原方程，若满足，则为原方程的解；若不满足，则为增根。
（三）学生小组讨论
1.教师将学生分成若干小组，每组4-6人，布置讨论任务。
任务1：请各小组讨论一下，如何判断一个分式方程是否存在增根？
任务2：请各小组分享一个含有增根的分式方程，并展示求解过程。
提问2：那么，我们学过哪些求解分式方程的方法呢？它们分别适用于什么类型的方程？
2.情境导入：教师创设一个生活情境，让学生在实际问题中感受分式方程的应用。
情境：小明的妈妈在超市购物，遇到了一个优惠活动。原价100元的商品，现在打8折。请同学们帮小明计算一下，他妈妈购买这个商品实际花费了多少钱？
通过这个情境，引导学生列出分式方程，为新课的学习打下基础。
2.学生在小组内展开讨论，教师巡回指导，解答学生的疑问。
3.各小组汇报讨论成果，教师点评并总结。
（四）课堂练习
1.教师设计具有层次性的练习题，让学生独立完成。
练习题1：求解下列分式方程，并判断是否存在增根。
练习题2：实际应用题，让学生在实际问题中运用所学知识。
2.学生在规定时间内完成练习题，教师对学生的解答进行点评和指导。
（五）总结归纳
1.教师引导学生回顾本节课所学知识，总结解分式方程关于增根的讨论。
总结1：增根的概念及判断方法。
总结2：求解含有增根的分式方程的步骤。
2.学生分享自己在课堂上的收获和感悟，教师给予鼓励和肯定。
3.教师布置课后作业，巩固本节课所学知识。
五、作业布置
1.基础巩固题：针对本节课所学的增根概念和求解方法，布置以下基础巩固题，要求学生在课后独立完成。
分式方程的增根与无解的区别与联系
龙源期刊网
分式方程的增根与无解的区别与联系
作者：王东
来源：《中学数学杂志(初中版)》2009年第03期
分式方程的增根与无解是分式方程中常见的两个概念,同学们在学习分式方程后,常常会对这两个概念混淆不清,认为分式方程无解和分式方程有增根是同一回事,事实上并非如此
分式方程有增根,指的是解分式方程时,在把分式方程转化为整式方程的变形过程中,方程的
两边都乘了一个可能使分母为零的整式,从而扩大了未知数的取值范围而产生的未知数的值;而分式方程无解则是指不论未知数取何值,都不能使方程两边的值相等.它包含两种情形:(一)原方程化去分母后的整式方程无解;(二)原方程化去分母后的整式方程有解,但这个解却使原方程的
分母为0,它是原方程的增根,从而原方程无解.现举例说明如下。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
本案例注重小组合作学习，让学生在小组内共同探讨问题、分享解题思路。这种合作学习方式有助于提高学生的沟通能力、团队协作能力和解决问题的能力。
4.注重反思与评价，提升学生自我认知
在教学过程中，我鼓励学生进行自我反思和同伴评价，使他们在反思中总结经验、发现不足，从而不断提升自己的认知水平和学习能力。
八年级数学上册《分式方程的增根》优秀教学案例
一、案例背景
《分式方程的增根》是八年级数学上册的一个重要教学内容，它既是对前面所学整式方程解法的巩固，也是对分式方程解法的拓展。在学生掌握了基本的分式方程解法后，本章节通过探究“增根”现象，旨在培养学生的逻辑思维能力和解决问题的策略。在教学过程中，我将以学生为主体，采用问题驱动法和合作学习法，让学生在自主探究和合作交流中，深刻理解增根的概念及其在分式方程中的应用，从而提高他们解决实际问题的能力。这个案例将结合教材内容，以生活实例引入分式方程的增根问题，引发学生的思考，使他们在实践中感受数学的魅力。
2.为每个小组分配不同的任务，要求他们通过合作解决问题，培养学生的团队协作精神。
3.引导学生在小组内分享解题思路和方法，提高他们的沟通能力。
4.对小组合作成果进行评价，鼓励优秀团队，激发学生的学习积极性。
（四）反思与评价
在教学过程中，我将关注学生的反思与评价：
1.鼓励学生在课后进行自我反思，总结学习过程中的优点和不足，形成持续改进的学习习惯。
在本章节的教学过程中，我将始终关注学生的全面发展，努力实现知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观的有机结合，为学生的成长奠定坚实的基础。
三、教学策略
（一）情景创设
为了让学生更好地理解分式方程的增根，我将创设以下教学情景：
初三数学增根是什么
初三数学增根是什么增根，数学名词。
是指在分式方程化为整式方程的过程中，若整式方程的根使最简公分母为0，根使整式方程成立，而在分式方程中分母为0那么这个根叫做原分式方程的增根。
来源对于分母的值零时，这个分数并无意义，所以不容许分母为0，即为本身就暗含着分母不为零的条件。
当把分式方程转变为整式方程以后，这种管制中止了，换言之，方程中未知数的值范围不断扩大了，如果转变后的整式方程的木恰好就是原方程未知数的允许值之外的值，那么就可以发生增根。
1分式方程2无理方程3非函数方程分式介绍增根举例增根举例举例x/x-2-2/x-2=0求解：回去分母，x-2=0x=2但是x=2并使分母等同于0无意义,所以x=2就是减根。
例如设立方程ax=0就是由方程bx=0变形单单的,如果这两个方程的木完全相同包含重数,那么表示这两个方程等价.如果x=a就是方程ax=0的根但不是bx=0的木,表示x=a就是方程的增根;如果x=b就是方程bx=0的根但不是ax=0的木,表示x=b就是方程bx=0的失根。
网知识扩展:增根的不可忽视性许多人解方程时，获得了增根，比如说能量就是负值，通常的人都会将这个忽略掉，但这些值就是挺令人波乃耶的。
知名的物理学家狄拉克利用相对论、量子力学找寻粒子的能量时，他辨认出某个粒子的能量和其动量密切有关，即e^2=p^2+m^2p 为动量，m为粒子的质量，Champsaure=±p^2+m^2^1/2,你确实想要留存正根，因为你晓得能量不能就是负值，但数学家们说狄拉克，你无法忽略负值，因为数学说我存有两个根，你无法随便失掉。
后来事实证明，第二个根，也就是为负数的那个根，正是理论的关键：世界上既有粒子，也存有反粒子。
负能量就是用以表述什么就是反粒子的。
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初三数学上册期末复习—分式方程的解专项训练
1.若分式方程
＝1有增根，则m 的值为_______．
2．若方程有增根,则.
3．若关于x 的方程=3有增根，则m=_______．
4．若解分式方程产生增根，则_______
5．已知分式方程产生增根，则m=_______．
6．已知分式方程有增根，则m 为______． 7．如果方程
有增根，那么
的值为_______．
8．若分式方程的增根，那么增根是______，
这时
_______．
9．若分式方程
有增根，则m 的值为______．
10．若分式方程有增根，则m=____，
它的增根是_______
11．分式方程=
有增根，则m 为_______
12．若分式方程x
x kx -=--+
21
212有增根，则k=_________ 13．若分式方程
13
2
3+-=-x x m 有增根，则m=_________． 14．若分式方程
x
x x x m x x 1
1122+=
++-+有增根,则m=_______． 15．若方程
有增根，则=________．
16．若关于的分式方程
无解，则a=______．
17．若关于x 的方程无解，则为_________
18．若方程无解，则．
19．若分式方程无解，则为_______
20．如果分式方程无解，则m=_________
21．若分式方程
12
4
2+-=-x x ax 无解，则a 的值是______．
22．若方程无解，则m=_________
23．若方程
无解，则m=_________． 24．要使方程无解，则a=_________．
25．若关于x 的方程x
m
x x 21051-=--无解,则m=_________． 26．若分式方程
211=---x
m
x x 无解，则m 的值是_________． 27．若关于的分式方程
无解，则_________． 28．已知分式方程－=0无解，则a =_______．
29．关于的分式方程的解为正数，则的
取值范围是___________．
30．关于x 的方程
的解是正数，则a 的取值范围
是________
31．若关于x 的分式方程
11
2=--x a
x 的解为正数，那么字母a 的取值范围是__________．
32．已知关于的方程的解是正数，则m 的取
值范围为______________．
33．若关于x 的方程的解是正数，则x 的
取值范围是____________．
34．关于的方程的解为正数，那么的取值范
围是___________．
35．关于x 的方程的解是负数，则a 的取值范围
是_____________． 36．已知关于x 的分式方程
11
2
=++x a 的解是非正数，则a 的取值范围是_______________．
37．已知关于的方程的解是负数，则m 的取
值范围为________
参考答案
一、填空题
1、-1
2、5
3、；
4、-5
5、
6、2
7、-1
8、
9、2
10、m =3，x=1 （每空各2分）
11、0和3 12、m=2
13、
14、2
解
答：
解：方程两边都乘（x﹣3），得
m=2+（x﹣3），
∵方程有增根，
∴最简公分母x ﹣3=0，即增根是x=3，
把x=3代入整式方程，得m=2．
故答案为2．
15、m=-2或m=1
解:∵,∴
2x2-(m+1)=(x+1)2,2x2-m-1=x2+2x+1,x2-2x-m-2=0,
欲使原方程有增根,需x=0或x=-1,当x=0时,02-2×0-m-2=0,
∴m=-2,当x=-1时,(-1)2-2×(-1)-m-2=0,∴m=1,故m=-2或m=1．
点拨:此题运用方程增根的意义使问题得以解决,这种方法经
常使用, 应要熟练掌握．
16、4；
17、
18、3
19、1或—2
20、1
21、4
22、-5
23、－1
24、2或1
25、1____
26、-4
27、
28、点拨：原方程可化为，方程两边都
乘，得，解得，∵方程无解，
∴，∴，∴，解得．
分式方程无解的情况就是出现了增根，而这个增根产生的原因就是在
从分式方程转化为整式方程时方程两边都乘了个0，据此可以得出增
根的值，从而可以求得未知字母的值．
29、-1
30、-2或1
31、-1或0或
32、m ＞2且m≠3
33、答案：a<-1 且a≠-2;
34、a＞1且a≠2
35、
36、m<8且m4。
37、
38、a＜6且a≠4
39、
40、a≤－1且a≠－2。