第二章1被控过程的数学模型-单容多容

但是，由于它们缺乏数学方程的解析性质，要直接 利用它来进行系统的分析和设计往往比较困难，必要和可 能时，可以对它们进行一定的数学处理来得到参量模型的 形式。
2.1 概述
参量形式：
当数学模型是采用数学方程式来描述时，称为参量模型。 参量模型按其讨论域可分为时域模型、复数域模型和频域 模型。
时域模型包括微分方程、差分方程等，其特点是具有 直观、准确的优点，不足之处是当系统的结构改变或某个 参数变化时，就要重新列写并求解微分方程。 (a) 微分方程
解: 最终求解的数学模型
是h和Q1的关系。
依据：动态能量平衡。
（指单位时间内流入与流出能量之差 等于被控过程内能量存储量的变化量。）
(1) 动态能量平衡:
增量形式:
(2)
2.2 物理机理方法建模
(3)
将（3）式带入（2）式，可得微分方程：
dh (4) T dt h KQ1
2.2 物理机理方法建模
自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程的阶跃响应图
无自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡状 态被破坏后，若无操作人员或仪表的干预，依 靠自身能力不能恢复平衡的过程。
2.2 物理机理方法建模
例1：右图为单容液位过程，液位高度h为被控量，液体体积 流量Q1为控制量，阀1的开度控制Q1，由阀2控制Q2。 建立该过程的数学模型。
导每个环节的频率特性，而是以 j代替 s 求取。
反之把频率特性中 j 换成 s ，就可得到该环节或
系统的传递函数。
2.1 概述
建立数学模型的方法：
物理机理方法建模
根据过程的内在机理，运用已知的静态和动态的能量（物料）平衡关 系，用数学推理的方法建立数学模型。
实验辨识 （系统辨识和参数估计法）
第二章 被控过程的数学模型
2.1 概述
数学模型
用数学的方法来描述系统输出量与输入量之间的关系， 这种系统特性的数学描述就称为系统的数学模型。
由于在过渡过程中，系统的输出（即被控变量）随时 间而变化，因而在描述系统特性的数学模型中不仅会出现 这些变量本身，而且也包含这些变量的各阶导数，所以， 系统特性方程式是微分方程式，它是表示系统数学模型最 基本的形式。
2.1 概述
建立数学模型的意义 在研究与分析一个控制系统时，不仅要定性地了解系统的工 作原理及特性，而且还要定量地描述系统的动态性能。
设计控制系统和整定调节器的参数。
尤其实现生产过程的最优控制，不充分掌握数学模型，无法最优设计。
指导生产工艺及其设备的设计。
可以确定有关因素对整个被控过程的影响，起到指导作用。
根据过程输入、输出的实验测试数据，通过辨识和参数估计建立过程 的数学模型。
混合法
首先通过机理分析确定过程模型的结构形式，然后利用实验测试数据 来确定模型中各参数的大小。
2.2 采用物理机理方法建模
(1) 单容过程的建模
只有一个存储容量的过程。自衡单容过程和无自衡单容过程。
自衡过程：被控过程在扰动作用下，平衡 状态被破坏后，无需操作人员或仪表的干 预，依靠自身能够恢复平衡的过程。
式中 an , an1 , , a1 , a0 及 bm , bm1 , , b1 , b0 分别为与系统 结构和参数有关的常系数。它们与系统的特性有关， 一般需要通过系统的内部机理分析或大量的实验数 据处理才能得到。
2.1 概述
(b) 传递函数 复数域模型包括系统传递函数和结构图，传递函数不
对于线性连续的控制系统，通常用常系数线性微分方
程式来描述，如果以r(t)表示输入量，C (t)表示输出量，
则系统特性可用下列微分方程式来描述：
2.1 概述
anc (n) (t) an1c (n1) (t) a1c(t) a0c(t) bm r (m) (t) bm1r (m1) (t) b1r (t) b0 r(t)
执行器和调节阀数学模型 Ka (s) = 1 / ( 0.1s + 1 ) T0
PID 调节器的数学模型 Wc (s) = P +I /s +D·s
P：比例增益，I：积分系数，D：微分系数
y(t) = P·e(t) + I·∫e(t) ·dt + D·de(t)/dt
K0 / ( T0 sK+0 1 )
对被控过程进行数学模型仿真研究。
可以获取代表或逼近真实过程的大量数据，为控制系统设计和调试提供大 量所需信息，降低设计成本和加快设计进度。
这些都离不开数学模型。
2.1 概述
过程数学模型的两种描述形式：
非参量形式和参量形式
非参量形式
用曲线或数据表格表示。可以通过记录实验结果得到， 有时也可以通过计算得到，它的特点是形象、清晰，比较 容易看出其定性的特征。
（1）
2.2 物理机理方法建模
散失热量Q2为：
（2）
式中，Kr-传热系数，A-面积，T2-室内温度。 保温材料的热阻：
（3）
将(2)(3)带入(1)，用增量表示，微分方程为：
(4)
2.2 物理机理方法建模
3 过程控制系统其他环节的数学模型
检测仪表数学模型 Km (s) = 1 / ( 0.1s + 1 )
2）传递函数仅与系统自身的结构和参数有关， 与系统输入量形式无关；
3）传递函数与微分方程有相通性，可相互转换；
4）传递函数是系统单位脉冲响应的拉氏变换。
2.1 概述
传递函数列写大致步骤： 方法一：列写系统的微分方程； 消去中间变量； 在零初始条件下取拉氏变换； 求输出与输入拉氏变换之比； 方法二：列写系统中各元件的微分方程； 在零初始条件下求拉氏变换； 整理拉氏变换后的方程组，消去中间变量； 整理成传递函数的形式；
2.1 概述
(c) 频率特性 频域模型主要描述系统的频率特性，应用频率
特性在实际工作中不需要进行大量的计算，就能 比较迅速地分析系统中各个参量对系统性能的影 响以及可以直接研究闭环系统的稳定性，而不必 求出系统的特征根。
将传递函数中 s换成 j ，即为频率特性。因此，
如果已知各个环节的传递函数，就不需要逐一推
2.1 概述
零初始条件： 输入及其各阶导数在t =0-时刻均为0； 输出及其各阶导数在t =0-时刻均为0。
形式上记为：
G(s)

C(s) R(s)

b0 s m a0 s n
b1sm1 an
2.1 概述
传递函数的性质： 1）传递函数是复变量s的有理真分式函数；
一阶惯性环节
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仅可以表征系统的动态特性，而且可以用来研究系统的结 构或参数变化对系统性能的影响。
线性定常系统的传递函数定义为零初始条件下，输出 量（响应函数）的拉普拉斯变换与输入量（输入函数）的 拉普拉斯变换之比。拉普拉斯变换为：
F (s) L[ f (t)] f (t)est dt 0
传递函数三要素： 线性定常系统； 零初始条件； 输出与输入的拉氏变换之比。
带有纯时延的单容过程：
若以Q0为控制量，阀门1变化后，Q0流经长度为L的管道 后进入贮罐，液位才能变化。
Τ0：指纯时延时间。Q0流经为L的管道需要时间。
2.2 物理机理方法建模
单容过程的阶跃响应
无时延的阶跃响应
有时延阶跃响应
2.2 物理机理方法建模
例2 右图为由电炉和加热容器组成的温度过程。容器内水温 T1保持恒定，为被控参数，即输出量。电炉连续给水供热 Q1为输入量（控制参数）。盛水容器向室内散发热量Q2， 室温为T2，试建立温度过程的数学模型。