数学建模：卫星和飞船的跟踪测控推荐

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数学建模历年试题及论文

拟合、规划图论、层次分析、整数队论、图论微分方程、优化非线性规划非线性规划随机模拟、图论多目标优化、非线性规划图论、组合优化随机优化、计算机模拟 0-1规划、图论
2000 2000 B题钢管订购和运输缺 2000 C题飞越北极缺 2000 D题空洞探测缺 2001 A题血管的三维重建数据曲线拟合、曲面重建缺多目标规划 2001 B题公交车调度缺 2001 2001 C题基金使用计划缺 2001 D题公交车调度缺 2002 A题车灯线光源的优化设计非线性规划 Y 2002 B题彩票中的数学单目标决策 Y 2002 2002 C题车灯线光源的计算 Y 2002 D题赛程安排 Y 2003 A题 SARS的传播微分方程、差分方程 Y 2003 B题露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题 Y 2003 2003 C题 SARS的传播缺 2003 D题抢渡长江 Y 2004 A题奥运会临时超市网点设计数据统计分析、数据处理、优化缺 2004 B题电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化缺 2004 2004 C题饮酒驾车缺 2004 D题公务员招聘缺 2005 A题长江水质的评价和预测数据聚类、模糊评判、主成分分析、多目标决策缺 2005 B题 DVD在线租赁数据多目标规划缺 2005 2005 C题雨量预报方法的评价数据缺 2005 D题 DVD在线租赁数据缺 2006 A题出版社的资源配置数据线性规划、多目标规划 Y 2006 B题艾滋病疗法的评价及疗效的预测回归、线性规划数据 Y 2006 2006 C题易拉罐形状和尺寸的最优设计缺 2006 D题煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制数据缺 2007 A题中国人口增长预测数据微分、差分方程 Y 2007 B题乘公交，看奥运数据图论、0-1 规划、动态规划 Y 2007 2007 C题手机“套餐”优惠几何数据 Y

卫星和飞船的跟踪测控

Vol.28No.2Feb.2012赤峰学院学报（自然科学版）Journal of Chifeng University （Natural Science Edition ）1问题的提出卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控.测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域,在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，如神州七号飞船发射和运行过程中测控站的分布如图1所示：请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，具体问题如下：1.1在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？1.2如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H 的球面S 上运行,考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行过程中相继两圈的经度有一些差异，问至少应该建立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？1.3收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，分析这些测控站点对该卫星所能测控的范围,2问题的分析2.1对题1的分析，由题意可建立直观的平面几何图形(图1)，利用已知角α，R ，h 表示出角θ，则2π2θ就为所建的最少测控站个数.2.2对题2的分析，尽管按题目的假设，卫星或飞船的运行轨迹形成了球环区域，且与赤道表面有固定夹角，并在球面上运行.但由于地球有自转，从而地球上的测控站也在运动，由运动的相对性可以将地球看做是静止的，那么球面S 相对地球向相反的方向运动.从而卫星或飞船的运行轨道扫过的区域就是球面S 上的一个球环，即球面S 上下各去掉一个球冠的剩余部分.而每一个测控站能监控到的区域是以测控站为顶点，87度角为半顶角的圆锥体与球环相交得到球面S 上的一个球冠.为了用最少测控站对卫星或飞船可能飞卫星和飞船的跟踪测控王秀琴（集宁师范学院数学系，内蒙古乌兰察布012000）摘要：问题1可化为一个平面几何问题，用简单的计算即可.对于问题2我们做了如下分析：尽管按题目的假设卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角且在球面S 上运行，但由于地球有自转，从而地球上的测控站也在转动.由于运动是相对的，我们将地球看作是静止的，则球面S 就是以相反的方向作转动，从而卫星或飞船的运行轨道扫过的区域就是球面S 上的一个球环，而球面S 上下各去掉一个球冠的剩余部分，而每一个测控站能监控到的区域是以测控站为顶点，87度为半顶角的一个圆锥体与球环相交得到球面S上的一个球冠，从而问题归结为用尽量少的球冠来覆盖球环的问题.将问题转化为一个空间解析几何问题经复杂的计算得到了每个测控站监测球环的有效测控角，从而可知需要测控站的最少个数.关键词：最小覆盖；有效测控角；球环；球冠中图分类号：V556文献标识码：A 文章编号：1673-260X （2012）02-0138-03图片来源/jrzg/2008-09/24/con -tent_1104882.htm图1第28卷第2期（上）2012年2月138--行的区域全部覆盖达到全程跟踪测控，即问题归结为用尽量少的球冠来覆盖球环的问题.则需要把测控站都建在赤道上,两个相邻的测控站可以分别形成两个测控区域，这两个测控区域相交后可得到两个交点，这两个交点恰好在球环的上下边界处，才能全部覆盖球环区域，以达到全程跟踪测控的目的,即将问题转化为一个空间解析几何问题.由此可以作出图3，经过复杂的计算得到了每个测控站监测球环有效测控角，即平面A'OB'与平面AOB所形成二面角A'B'-O-AB的平面为覬则平面角得二倍就是有效测控的最大范围，可知2π2覬就是所建最少测控站个数.3模型的基本假设与参数说明3.1基本假设（1）卫星或飞船的运行轨道是圆.（2）测控站的选择不受地域等各种因素的限制，由于所求得最少测控站得个数，所以测控站选在赤道上建立.3.2参数说明α：监控站监控视角的一半；θ：测控区域所对地球圆心角的一半；γ：卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面的固定夹角；β：与固定夹角γ互余的角；覬：相邻两个侧空站的有效测控视角的一半h:地球表面到卫星或飞船轨道的高度；R：地球的半径；l：地球表面上一点G到点N的距离；s：卫星或飞船运行轨道上一点M到点N的距离；S：表示卫星或飞船运行的球面；K：表示测控站与卫星或飞船得运行轨道共面时所需测控站的最少个数；K'：表示测控站与卫星或飞船得运行轨道共面时所需测控站的个数；P：表示卫星或飞船得运行轨道与地球赤道平面由固定夹角时所需测控站的最少个数；P':表示卫星或飞船得运行轨道与地球赤道平面由固定夹角时所需测控站的个数；4模型的建立与问题的求解4.1对问题1的解答依据题意，有如下平面图：以球心O为圆心,R为半径的圆代表地球，R+h为半径的圆代表卫星或飞船运行的轨迹.根据图3有cosθ=R+LR+h（1）tanα=SL（2）由（2）变形得S=tanα（3）根据勾股定理得(R+h)2=(R+L)2+S2（4）将（3）代入（4）得(R+h)2=(R+h)2+(Ltanα)2（5）由（5）整理得(tanα2+1)L2+2RL-(2RH+h2)=0（6）由（6）解得L=-R±R2+(tan2+1)(2Rh+h2)姨由L≥0得L=-R+R2+(tan2+1)(2Rh+h2)姨(tan2+1)（7）将（7）代入（1）得cosθ=-R+-R+(R+1)2+tan2α(2Rh+h2)姨tan2α+1R+h（8）化解（8）得cosθ=Rtan2α+(R+h)2+tan2α(2Rh+h2)姨(R+h)(tan2α+1)（9）由（9）得，θ=arccos=Rtan2α+(R+h)2+tan2α(2Rh+h2)姨（10）则测控站的最少个数为K'=2π=π（11）当K'为整数时K=K'否则K=[K']+1（2）对问题2的解答以球面S和地球共圆中心为圆心，z轴垂直向上，赤道所在平面为xoy面，建立直角坐标系，则地球表面方程为x2+y2+z2=R2，球环S的方程为x2+y2+z2=(R+h)2，在图4中，AB 所在的球冠为一个测控站覆盖的区域，为此测控站建立在赤道与x轴的交点O'上，A'和B'相邻的两个测控站的交点，并且交点分别在球环的上下边界，C和C'分别为AB和A'B'的中点，则平面ABO和平面A'B'O构成的二面角就是有效测控角的一半，∠COC'为二面角的平面角，以下我们来求此角.由图4得x2+y2=tan2βz2x2+y2+z2=(h+R)姨2（13）解（13）得z2=(h+R)2（14）139--将（14）代入（13）得球环上边界方程；x 2+y 2=tan 2β(h+R)21+tan 2β（15）由图4得x 2+y 2=tan 2α(x-R)2x 2+y 2+z 2=(h+R)2（16）解（16）得，x=Rtan 2α±(h+R)2+tan2αR(2h+R)姨（17）将（17）代入（16）得，y 2+z 2=tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨-姨姨R2（18）由（15）和（18）联立得方程组，x 2+y 2=tan 2β(h+R)2y 2+z 2=tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨tan2α+1-姨姨R2姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨（19）化解（19）得，x 2-z 2=tan 2β(h+R)2-tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨tan2α+1-姨姨R2（20）将（14）和（20）联立得z 2=(h+R)2x 2-z 2=tan 2β(h+R)21+tan 2β-tan 2αRtan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨tan2α+1-姨姨R 2姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨（21）解（21）得A'的坐标为x'=(h+R)2-tan 2α(±(h+R)2+Rtan2α(2h+R)姨-R)2姨y'=tan 2α±(h+R)2+tan 2αR(2h+R)姨-R 姨2-(h+R)21+tan2β姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨姨由B'点与B 点关于x 轴对称可得B'(x',y')由C'点是B'点和B 点的中点可得C'(x',y')oc'=x'2+y'2姨由图3得cos γ=ocR+h（22）将（22）变形得oc=(R+h)cos γ即C((R+h)cos γ,0)由此开可以得cos 覬=o 姨c oc 姨姨'|o 姨c ||oc姨姨'|即覬=arccos1-tan 2α(±(h+R)2+Rtan2α(2h+R)姨-R)2(1+tan 2α)2(R+h)2姨所以侧控站最少个数为P'=2π2覬=π覬当P 为整数时P=P'否则P=[P']+1———————————————————参考文献：〔1〕刘承平.数学建模方法[M].北京：高等教育出版社,2002.〔2〕吕林根.解析几何[M].北京：高等教育出版社,2001.140--。

全程跟踪卫星或飞船的测控站数量模型

Ａｂｓｒｃ：ｏｄｔｒｎｅｎｍｂｒｆｎｍｏｉｒｎｎｏｔｏｔｔｎｆｔｃｉｇｓｔｌｔｓｒｐｃｓｉｓｉｔａｔＴｅｅｍｉｅｔｕｅｎｔｉｇａｄｃｎｒｌａｉｓｒｋｎａｅｌｅａｅｈｐ，ｎｈｏｏｏｓｏｏａｉｏｓ
全程跟踪卫星或飞船的测控站数量模型
王积建王晓红，
（江工贸职业技术学院ａ基础部；ｂ图书馆，浙江温州３５０）浙．．２０３
［摘要］为了定全程跟踪卫星或飞船的测控站数量，在不考虑地球自确转影响和考虑地球自转影响的情况
ｂｔａｅｏｉｒｇｒｉｇａｄｒｇｄｎｌｕｎｅｏｅｒｔｔｏｆｔｅｅｒｈ．ｕｎｉｔｖｄｌｆｔｅｆｗｅｔｏｈｔｃｓｆｄｓｅａｄｎｎｅａｉｇｔｉｈｅｒｈｅｎｆｅｃｆｔｏａｉｎｏａｔａｑａｔａｉｅｍｏｅｅｓｈｈｔｏｈｏｏｔｒｎｎｄｃｎｒｔｔｏｆｒｃｉｇｓｔｌｉｅｒｓｃｓｉｙｇｏｅｒｃｍｅｈｏｓｉｓａｉｈｄ．ｎｎｍｎｉｏｉｇａｏｔｏｌｓａｉｎｓｏｔａｋｎａｅｌｔｓｏｐａｅｈｐｓｂｅｍｔｉｔｄｓｅｔｂｌｓｅＩａｄｔ，ｎｖｅｏＳｈｎｚｏＩ”ｍａｅｐｃｓｉ，ｈｅｓｏｉｒｎｎｏｔｏｔｔｎｓｎｅｅｓｐｅｅｔｄｄｉｉｏｎｉｉｗｆ” ｅｈｕＶＩｎｎｄｓａｅｈｐｔｅｆｗｅｔｍｎｔｉｇａｄｃｎｒｌｓａｉｅｄｄｉｒｓｎｅｏｏ

卫星和飞船跟踪测控的数学模型

ｓａｉｎｎｔｅｐｅｉｆｔｅｗｈｌ・ｏｒｒｃｉｇ．ｔｔｓｏｈｒｍｓｏｈｏｅｏｅｃｕｓｔａｋｎｅ
Ｋｅｏｄｓｙｗｒ：ｍｏｉｏｉｇ；ｌｃｓｅｓｉｔｉｕｉｎｎｔｒｎｏｕ￣ｂｔｄｓｒｂｔｏ
对于问题二，地球自转的影响下，星运行过程中星下点轨迹在地球表面形成一些 “ ” 型的轨在卫８字
迹，称地分布在赤道两边．虑到卫星星下点轨迹的密集程度问题，于星下点轨迹圈数较少的卫星，对考对
１问题分析
本文讨论的问题是２０年 “ ０９高教社” 杯全国大学生数学建模比赛ｃ．题卫星按运行状况可分为同步卫星与非同步卫星，同步卫星又分为同步静止卫星、倾斜轨道卫星而
和极地轨道同步卫星．于问题一，让测控站所在平面与卫星轨道共面，卫星只能在赤道上空运行，对要且只有同步轨道静止卫星符合条件．如果该卫星为非同步卫星，该卫星距离地球表面的高度处于一个范那围值，即在围绕地球运行的最小高度与最大高度之间．
Ｔｈｎｔｒｎｆｔｅｂｃｍｅｊｒｐｒｆｔｅｓｒｎｕｉｓｓｍ．Ｔｉｔｅｉａａｙｅｈｅｍｏｉｉｇｏｈｍｅｏｓａｍａｏａｔｏｈａｔｏａｔｙｔｏｃｅｈｓｈｓｎｌｓｄｔｅｓｌｃｓｏｖｎｂｅｔａｏｎｈａｔｏｕｆｍｏｉｇｏｊｃｓｒｕｄｔｅｅｒｈ，ａｄｅｔｂｉｅｉｌｉｉｒｕｉｎｍｏｅｏｎｔｒｇｎｓｌｈｄａｓａｓｍｐｉｅｄｓｉｔｄｌｆｍｏｉｉｆｄｔｂｏｏｎ

卫星和飞船的跟踪测控大学生数学建模大赛C题优秀论文

卫星和飞船的跟踪测控摘要卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，本文通过对卫星或飞船运行过程中测控站需要的数目进行求解，从而实现能够对卫星或飞船进行全程跟踪测控的目标。

对于问题一，由于测控站都与卫星运行轨道共面，且测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，所以，我们首先考虑将卫星或者飞船的运行轨道理想化成圆形，建立其与地球共心的圆形轨道模型，此时，运用几何知识和正弦定理计算出至少应建立12个测控站。

但是，在现实中卫星或飞船的轨道为椭圆形状，接着我们又给出了质点运行轨道为椭圆时的数学模型计算得出需要建立测控站数目的区间为12至16个。

问题二，我们利用每个测控站测控的锥形区域与卫星或飞船轨道曲面相交的圆的内接多边形来覆盖整个卫星轨道曲面，就可以将需要这样内接多边形的个数近似的看作需要建立测控站的最少个数，这里我们只给出内接正四边形和正六边形两种数学模型，此时，计算出需要测控站的最少数目分别为60和67个。

问题三，通过网络查询得到神舟七号的观测站位置和数目，以及飞船运行的倾角和高度等相关数据。

通过线性拟合我们发现测控站的位置近似符合正弦曲线。

最后，我们给出了模型优缺点的分析和评价，并提出了模型的改进的方向。

关键字：卫星或飞船的跟踪测控；圆形轨道模型；圆锥测控模型；测控站点的数目1、问题重述1.1 背景资料现代航天工业中卫星和飞船的测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域。

在一个卫星或飞船的发射与运行过程中，往往有多个测控站联合完成测控任务，因此需要分析卫星或飞船的测控情况。

1.2 需要解决的问题问题一：在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控。

问题二：如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，且在离地面高度为H的球面S上运行。

全国大学生数学建模竞赛讲座课件

360 / n
* 87 arcsin( R sin 93 )
RH
n 360 / 2 *
离散优化问题。
如果m=3,n=18 因为测控范围是对称区间，可以考虑测控站
对称分布，即第一层的测控站分布在赤道上。
12 12.0378 ,
2 27.6419 ,
22 41.0123
不能全范围测控，全程测控需要的测控站数超过54个!
cos i cos cos( / 2) sin i sin cos *
则其数学模型为：
nin n m
s.t. f (i2,i, i ) 0,i 1, 2, , m i i1,2 *，i 2, , m i2 i ,i 1, 2, , m m2 2 *，11 1*,1* 1 1 **, m (2 * 1*) / *
卫星轨道椭圆方程：
x
y
a cos b sin
(0
2
)
地球球面圆方程：
x
y
c R cos R sin
(0
2
)
a R (H h) / 2,b a2 c2
向量：
PiQij (a cosij c R cosi,basinij Rsini ), OP (Rcos, Rsin)
1 sin2t sin
否则
先考虑相邻两层的测控范围，记
P1(R,i , i ), P2 (R,i , i )， P3(R,i / 2, i1)
20
Байду номын сангаас
15
10
5
0
-5
-10
-10
-5
P3
P12
P1
P2
P11
0
5

1996年全国大学生数学建模竞赛题目A题最优捕鱼策略B题节水

1996年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。

A题最优捕鱼策略.............................................................................................. 错误！未定义书签。

B题节水洗衣机................................................................................................ 错误！未定义书签。

1997年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。

A题零件的参数设计........................................................................................ 错误！未定义书签。

B题截断切割.................................................................................................... 错误！未定义书签。

1998年全国大学生数学建模竞赛题目...................................................................... 错误！未定义书签。

A题投资的收益和风险...................................................................................... 错误！未定义书签。

卫星和飞船的跟踪测控论文

卫星和飞船的跟踪测控摘要本文对问题中各种情况下应建立的测控站个数进行了模型构建、并采集资料，并分析了资料中所建测控站对卫星所能测控的范围。

首先，通过对文章仔细分析、并查阅相关资料和合理的假设，给所分析的问题提供了思路及依据，进而得到明确的答案和相关模型。

对于第一问，在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，我们想到使卫星或飞船飞的尽可能高，这样测控站测控范围就越大，测控站就越少，通过画图及正弦定理求出测控最大视角，再用︒360除以测控最大视角,可得至少应建立的测控站个数,用MATLAB 软件算得20个。

由于第二问中，卫星围绕地球转的同时，地球也再自转，卫星运行过程中并存在有经度差异，故此题过于复杂，我们对过程采用分解后再结合的方法，先假设地球不自转而卫星旋转，据画图及正弦定理可得测控最大视角2β。

在地球自转同时卫星也转动的时候，在卫星运转一周时间内，地球所在卫星旋转轨道平面内所走的距离可求得：t V C 11=。

通过画图分析得两个测控站的距离：︒=90βπR l 。

则由于地球自转而引起测控站多余的数目为：βπηR t V l C 1190︒=='。

卫星旋转w 周时其最大经度差为2π，由以上推论在同一纬度上增加的测控站个数βπβπη=='''22；则总的测控站数目为： H R R +︒-︒︒=93sin arcsin 8790η（R Vt πλcos 2-）（HR R s i i n +︒-︒+93arcsin 871π）在问题三中，我们通过查阅相关资料，并从中获得了有关神七运行的基本信息，通过对上述所建模型进行检验，得出的测控站的位置以及所测控的范围与实际情况基本吻合。

关键词：卫星、运行轨道、地球自转、经度差、测控站一、问题重述卫星和飞船在国民经济和国防建设中有着重要的作用，对它们的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要组成部分，理想的状况是对卫星和飞船（特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。

卫星和飞船的测控站点设置

卫星和飞船的测控站点设置摘要本文主要针对卫星或飞船作地面测控时, 如何建立较少的测控站以达到全程跟踪测控的目的.当所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面时，我们在假设了所有测控站的测控能力相同之后，利用初等数学知识即刻解决了测控站的设置问题且得到了一个比较好的结果：取地球半径为km340、=，当卫星或飞船距离地面的高度取kmR6370800、km1000时，设置的测控点的个数分别为12、11、10、8、500、km400、kmkm7.当卫星或飞船的运行轨道与赤道平面有固定夹角且考虑地球自转时，我们给出了两种安置测控点的方法：第一种方法，当卫星在地球表面留下间距较大的投影曲线时，我们在每个曲线的正上方安置测控点，利用投影曲线的间距、投影球带宽和测控站的测控范围之间的关系，在卫星或飞船距离地面的高度和地球赤道面与卫星运行轨道面之间的夹角发生变化时，给出了不同情况下最优的测控点个数（见表2），并且得到了如下结论：当卫星高度一定的情况下，轨道与赤道面的夹角α越大，所需要的地面测控点越大；当轨道与赤道面的夹角α一定的情况下，所需要的地面测控点随高度的增大而减少；第二种方法，当卫星在地球表面留下的投影曲线间距很小时，我们利用投影球带面积与测控站的空间测控区域大小的关系，同样得到了一个最优的结果（见表三）.最后我们收集了神舟七号飞船的一些运行资料和发射时测控站的分部信息，并且利用这些信息分析了测控站点所能测控的范围,尤其是得到了陕西渭南测控站的测控面积是62⨯.108.0126km关键词：卫星测控；运行轨道；投影曲线；投影球带面；测控点；测控范围一物理背景及问题重述对卫星和飞船的发射和运行过程进行测控是航天系统的一个重要的组成部分,它主要是通过设置在地面的航天测控网对运载火箭和航天器的飞行轨道、飞行姿态等进行的跟踪和测控,目的是为了实时了解它们的飞行状况,以评价飞行任务的完成情况,及时掌握飞行的安全信息.卫星的地面测控由测控中心和分布在各地的测控台、站（测量船）进行.在卫星与运载火箭分离的一刹那,测控中心要根据各台站实时测得的数据,算出卫星的位置、速度和姿态参数,判断卫星是否入轨.入轨后,测控中心要立即算出其初轨根（参）数,并根据各测控台站发来的遥测数据,判断卫星上各种仪器工作是否正常,以便采取对策.这些工作必须在几分钟内完成.卫星在整个工作过程中,测控中心和各测控台站还有许多繁重的工作要做.其一是不断地对其速度姿态参数进行跟踪测量，不断地精化其轨道根数；其二是对星上仪器的工作状态进行测量、分析和处理；其三是接收卫星发回的科学探测数据；其四是由于受大气阻力、地球形状和日月等天体的影响，卫星轨道会发生振动而离开设计的轨道，因此要不断地对卫星实施轨道修正和管理.因此，地面测控是一件非常重要、非常精细和非常复杂的工作.本文就是要求我们对卫星或飞船地面测控时，如何用较少的测控点测控卫星或飞船且能达到较好测控效果，即飞船飞行的大部分区域能被测控得到.题目首先要求我们在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，用较少的测控站全程跟踪卫星或飞船；其次，当卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角,且考虑地球自转的情况下，用较少的测控站全程跟踪卫星或飞船；最后要求我们用已有的卫星或飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息讨论测控站点对卫星或飞船的测控范围.二模型假设为了考虑问题简单起见，我们做如下假设：A：认为地球是一个实心球体；1A：卫星或飞船的运行轨道为圆轨道；2A：卫星或飞船的运行过程不会出现任何故障；3A：每个测控站的所能测控的范围大小是相同的；4A：卫星或飞船的运行轨道不会发生变轨；5A：地球、卫星或飞船在各自运行轨道上为匀速运动；6A：卫星或飞船的运行轨道与赤道平面的夹角视为定值；7A：卫星或飞船运行时作为一个质点考虑；8A：在任何地方都可建测控站,不受非科技因素的影响；9A：各个测控站的测控范围大小相同；10A：卫星或飞船在发射过程中是一个匀加速过程.11三问题分析由于测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角3度的范围内测控效果不好，实际上每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角3度以上的空域，所以某一个测控点A的测控范围就是一个锥面的内部，（如下图）度角地球A图1当卫星进入阴影区域的上方时，就可以被我们测控到，否则我们测控不到卫星.对于第一个问题，当所有测控站与卫星或飞船的运行轨道共面时，我们只需要考虑用多少个这样的锥型监控设备（由于测控站和卫星共面，也可以说三角形监控设备）可以把卫星的整个飞行轨道覆盖（如下图）.卫星轨道地球图2对于第二个问题，既然轨道面和地球赤道面有一定的夹角，而且要考虑地球自转，所以，在地面测控时，我们看到的卫星运行轨线不在一个平面上（如下图，图片来源于文献[1]），图3因此不能用解决第一个问题的方法去设置测控点.我们想在卫星轨道线下方的的地面上布置测控点，这样的话我们可以完成对卫星的全程测控.对于第三个问题，我们主要利用各种手段去搜索飞船的运行资料和发射时测控站点的分布信息，然后由这些信息考察测控点对卫星或飞船的测控范围.四符号说明R：地球半径的平均值；M：地球的质量；m：卫星或飞船的质量；m：地球表面某物体的质量；1g：地球的重力加速度；h：测控站与卫星运行轨道共面时,卫星的离地高度；H：卫星运行轨道与赤道平面有夹角时,卫星离地高度；：某测控站的测控范围所对应弧的圆心角；1n ：测控站与卫星的运行轨道共面时,至少要建立的测控站的站点数；2n ：卫星的运行轨道与赤道平面有固定夹角时,至少要建立的测控站的站点数；T ：某卫星运行一圈的时间；j ∆：卫星从A 点正上方沿轨道运行，时间T 后到达B 的正上方，则j ∆表示A 、B 两点的经度差；l ：卫星从A 点正上方沿轨道运行，时间T 后到达同纬度B 的正上方，则l 表示A 、B 两点的纬线长；1ω：地球自转的角速度；2ω：某卫星的角速度； ω：A 地所在的纬度；2v ：某卫星的线速度；φ：地面测控站的测控范围； d ：卫星运行轨道的轨道数； S ：卫星运行轨道所在的球面.五问题一的模型建立与求解5.1 问题一模型的建立如图1所示,假设考虑每个测控站的测控范围与地平面夹角为 3以上的空域,求出测控范围所对应弧在半径为h R +时的圆心角θβ2=(如图),而整个运行轨道的圆心角是360,这样就得到测控站点的站点数.根据问题分析和下图,图4 再由正弦定理,我们可以得到如下表达式)218087sin(18093sin βππ-=+RR h ，如果π2除以β的商是整数，则βπ21=n ；如果π2除以β的商不是整数，则1]2[1+=βπn .5.2 问题一的模型求解对于上述模型取km R 6370=，然后给h 取不同的数值，得到了对应情况下的测控站点的个数.见下表h 1nkm 340 12 km 400 11 km 500 10 km 800 8 km 1000 7测控设备5.3、问题一模型的结果分析由上表我们很清楚的看到，当卫星高度升高的时候，所需要的地面测控站的个数随卫星高度的变大而减小.上述结论是合理的，这是因为地面测控设备的形状呈倒锥型，当卫星高度升高，测控设备的监测范围变大，此时所需要的测控点个数减少.六问题二模型的建立与求解6.1问题二模型的建立在本节中，我们设卫星轨道面与赤道面的夹角为 .针对问题二建立一个相对简单的模型.首先给一个名词以准确的定义定义1 正上方：给定一个球面'S上的一点A，称球面'S在A点的外法向量上的任意一点为点A的正上方.增加假设：A：假设赤道面方向是水平方向（如下图）.12图5由于地球自西向东自转，当卫星或飞船从地球上的某一点A的正上方沿轨道运行时间T后，一定回不到A的正上方，即卫星一定回到A的左侧且与A同纬度的B点，正是由于这个原因，才形成了图3.现在我们给一个比较简单、特殊的模型：既然卫星在运行时间T后回不到A点,我们假设地球自转一周后（卫星运行几周后）卫星也刚好回到A点, 此时卫星轨道线在地球上的投影如图3.很显然,卫星在地球自转第二周的时候在地球上的投影轨线和第一周重合,即为图3下面我们计算在这种情况下测控站的个数.vStep1 由[5,P54]求出卫星的线速度2H R g R v R GMm g m H R GMmH R mv +=⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+2211222)( Step2 计算出卫星运行一周所用的时间T222222)(22)(v H R T HR v H R v +==⇒+=⇒+=πωπωωStep3 若卫星在纬度为ω的A 地开始飞行,那么它经过一圈之后到达A 地的西边B 地,两地在同一纬度上,求两地之间的经度差j ∆11144006060242ωππω•=∆=⨯⨯=T jStep4 计算地面测控站的测控范围即蓝色测控设备的测控范围,示意图如图2图6平面示意图如下：即计算下图弧CEF 的长度C图 7由初等几何知识可以知道弧CEF 的长度))18093sin arcsin(18032()(2πππφH R R H R +--•+=Step5 计算出卫星的轨道数d ：在计算卫星的轨道数时，只需要用π2 除以经度差即：如果π2除以经度差是整数，则：jd ∆=π2；如果π2除以经度差不是整数，则)1]([2+∆=jd π.Step6 计算测控站的站点数2n在计算测控站的时候，我们要充分考虑轨道与赤道面得夹角α，当α固定时，轨道面是固定的，现在我们过轨道面的最高点和最低点作球面S 的截面，这样卫星的运行只在弧长为dk 的球带上运动. 因此我们只需要在球带对应的地球面上安排测控点，这样可以减少我们测控点的个数.S图8此时， α)(2H Rdk +=实际上我们在安排测控点的时候用的dk 的长度要小一些，这是因为：图9我们没有必要在球带边界对应的地面上安排测控点，只需要在离边界距离约为2φ的地方设置即可（如上图），这样实际我们需要的球带弧长为φ-dk （当φ<dk 时，我们安排一个测控点就可以了），所以⎪⎩⎪⎨⎧<≥+-+=φφφφαdk d dk H R d n ,,)1])(2([2，）（6.2 问题二模型的求解与分析我们对卫星距离地面高度H 和轨道面与赤道面的夹角α依次取值并用计算模拟（程序见附录）[6,P23]，得到了如下结果：表2αH 100π 50π10π 6π 4π 3π 52π 243 16 16 16 32 48 64 81 343 16 16 16 16 32 47 63 443 16 16 15 15 31 46 62 600 15 15 15 15 30 30 45 800 14 14 14 14 14 28 29 1000141414 14 14 27 27从表数据可以看出，当卫星高度一定的情况下，轨道与赤道面的夹角α越大，所需要的地面测控点越大；当轨道与赤道面的夹角α一定的情况下，所需要的地面测控点随高度的增大而减少.因此，我们的结果是合理的.但是，我们的模型具有一定的特殊性，即我们要求了地球自转一周后（卫星运行几周后）卫星也刚好回到A 点，换句话来讲，在地球上某些点的正上方没有卫星经过，并且这样的区域面积还是比较大的.而我们发射卫星是想让卫星尽可能多的扫面地面区域，因此这违背了发射卫星的初衷.下面对我们的模型做一下修改.6.3 问题二模型的改进本节我们不再假设地球自转一周后（卫星运行几周后）卫星回到A 点,此时,虽然卫星轨道在地球上的投影轨线之间有一定的空隙,但是很密集的分布于地球表面（如图）.图10我们可以假设密集轨线在地球表面投影之后形成一个球带曲面.下面我们只需要考虑如何设置测控站是得这些站点能够把投影球带面全部覆盖.当2βα≤时，问题与5.1一样，这里不再赘述.当2βα>时，我们计算图8中球带的有效表面积，即同理于step6中的分析，我们没有必要计算整个球带表面积，只需要计算圆心角为βα-2的球带面积，注意到球面S 的半径为H R +，利用文献[2,P304]中知识，球带的有效表面积)2sin()(42βαπ-+=H R S d又因为图7 中球冠CEFD 的表面积为)2cos 1)((2βπ-+=H R S g所以我们可以求出能覆盖有效球带的测控设备的个数为:1][2+=gdS S n6.4问题二修改模型求解与分析我们对卫星距离地面高度H 和轨道面与赤道面的夹角α依次取值并用计算模拟，得到了如下结果：注：表中出现的“/”表示在此处，2α≤.从表数据可以看出，当卫星高度一定的情况下，轨道与赤道面的夹角α越大，所需要的地面测控点越大；当轨道与赤道面的夹角α一定的情况下，所需要的地面测控点随高度的增大而减少.因此相对来讲还是比较合理的，但是我们也看到用上述方法得到的数据是比较粗糙的，不够精确，我们也有必要提出模型的改进方向.6.5 模型的进一步改进方向我们上述模型总的来讲是比较合理的，但是由于地面站点数量的限制，使得卫星或飞船的飞行过程不能被全程测控，比如“神七”有多个时间段不能被测控，这就要求我们设置地面站的时候要进行精心选择，努力保证飞行的安全可靠.因此这也是我们的模型需要有改进的地方.① 在第6.1节中，我们可以考虑不在卫星轨道正下方，而考虑在相交轨道投影线的交点上设置测控站，我们认为这样得到得结果是比较合理且是较优的.② 若以赤道面所在的面作为xoy 平面，以地球球心为坐标中心建立空间直角坐标系，则球面方程为R zyx2222=++由[7, P66]卫星轨道方程为⎪⎩⎪⎨⎧=+=++++)()R (22222cos sin H R H z y x z y αα 其中α为赤道面和卫星轨道面的夹角.有上述两个方程，根据地球自转和卫星运行，我们可以画出卫星飞行时在地球面上的形成的网格，进而可以把这些网格映射到球面S 上，这样我们可以计算出每条网格线的长度和网格线的结点坐标，进而可以确定地面测控站的位置, 这是我们将来努力的方向.七问题三的求解本节中，我们在网上主要搜集了神舟7号飞船的运行资料以及发射时测控站点的分布信息.发射时各测控点的分布信息如下表，其中各个地面站点的经纬度来源于[3], 发射时远望号的位置信息来源于[4].另外我们通过[4]搜索到了“神七”发射过程中测控站的一些信息，如下图就是一个地面测控站的测控范围示意图，利用该图，我们可以大概了解测控站的测控范围.进一步通过[8]我们还了解到，神舟七号的发射时间是2008年9月25日21点10分04秒988毫秒，发射的方向角为 4.42，经过178秒山西吕梁（E111，N37.5）测控站捕捉到飞船，且东风站仍然跟踪正常，第189秒陕西渭南测控站捕捉到飞船；另外，我们还获得了渭南失去飞船信号的时刻，以及飞船的运行速度，运行高度等资料.由上述信息, 我们至少可以知道陕西渭南站的测控范围.结合 6.1节中的step4，经计算，我们得到渭南站的测控区域的空间面积是62.8km.012610八参考文献[1] 徐莹，张有广,林明森，卫星高度计轨道设计的因素分析，《遥感技术与应用》，24（2）155-163，2009.[2]华东师范大学数学系，数学分析，北京，高等教育出版社，2001.[3]网友，中国城市经纬度查， /1034/1039/2004531-20027.html，2009-09-11.[4]霍柯,“神七”测控系统完成全部联试联调, /video/ 2008-09/24/content_10103463.htm，2009-09-11.[5]程守洙，江之水，普通物理学1(第五版)，北京：高等教育出版社，1998.[6]萧树铁，大学数学数学实验，北京，高等教育出版社，2003[7]马国强，贾兴琴，空间解析几何，河南，河南大学出版社，1995.[8]火鸟，直播神7发射全过程，/v_show/id_XNDQzMzIxNDA=.html，2009-09-11．附录：format longR=6370000;H=242000;w=pi/100;for i=1:800T=2*pi*(R+H)/R*sqrt((R+H*1000)/9.8); %卫星的周期c=2*pi/(24*3600); %地球的角速度d=T*c; %A,B间经度差s=d*(R+H*1000)*cos(w) ; %纬度为w的卫星上空相邻两周之间的距离（弧长）e=sin(93*pi/180);x=asin(e*R/(R+H*1000));huchang=2*(R+H*1000)*(pi/2-(3*pi/180)-x); %监控范围daoshu=2*pi/d; %卫星轨道数for j=2:0.5:100a=pi/j;%轨道倾斜角daikuan=(R+H)*a*2;%卫星运行上下带宽if meidaogeshu=daikuan/huchang>=1 %每个轨道对应的地面上放置的监测点数pp=(floor((daikuan-huchang)/huchang)+1)*daoshuelsepp=daoshuendendend。

卫星和飞船的跟踪测控模型

上投影所对应的圆心角２。根据图１，Ｂ中，，￣ＯＡ南＝得到＝ａｃｉｒｓｎ，而２＝从
盯一０— ａｃｉ２２ｒｎｓ
。故所需的测控站个数ｎ，为：（Ｈ）
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的一个重要组成部分，想的状况是对卫星和飞船（理特别是载人飞船）进行全程跟踪测控。测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，且在与地平面夹角３度的范围内测控效果不好，际上实
每个测控站的测控范围只考虑与地平面夹角３度以上的空域。在一个卫星或飞船的发射与运行过测控任务，神舟七号飞船发射和运行过程中测控站的分布。如
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况，体问题如下：具
（）１在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，少应该建立多少个测控站才能对其进至行全程跟踪测控？（）２如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤道平面有固定的夹角，在离地面高度为日的球面Ｓ上且
所能测控的范围。
２问题分析和模型假设
问题一，设卫星测控站分布在与卫星轨道共面的地球表面，假且卫星的运行轨道为圆。利用几何关系给出全部覆盖需要的测控站点数与卫星高度的关系。当卫星的运行轨道为椭圆，星运行轨道的一个焦点在卫

数学建模竞赛命题过程及题目分析

体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。
油位探针
油位探测装置
油位探针
油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图（b）横向偏转倾斜后正截面图
结合评奖对本科组选作A, B题的分析
• 本科组全国14108队参赛，送全国1393份论文，其中A题877 份（63%），B题516份（37%），其比例基本代表全部参赛队的情况.
• 获一等奖的210 队中A题133队，B题77队.
• A题获一等奖的队多数集中在重点高校：
北京17队（北航5、北大3、北邮3、清华2）
图3 储油罐截面示意图
油
注油口
位
出油管
探
针油浮子
1.2m
1.2m
油 α
0.4m 2.05m (a) 小椭圆油罐cm正面示意图
水平线
1.78m
Байду номын сангаас
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
附件1 实验数据
流水 C进油 D油位高
号
量/L 度/mm
采集时间
说明
2010-08-20 (1)罐体无变位进油，罐内
11
50 159.02
10:32:18 油量初值262L；
12
100 176.14
2010-08-20 (2)C列进油量是每次加入 10:33:18 50L油后的累加值
13
150 192.59
2010-08-20 (3)D列是原罐内初始油量加入 10:34:18 相应油量后油位高度值。

2009年数学建模竞赛C题全国一等奖论文

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：卫星和飞船的跟踪测试摘要卫星和飞船对国民经济和国民建设有重要的意义，对卫星的发射和运行测控是航天系统的重要部分，理想状况下是对其进行全程跟踪测控。

本文通过建立空间直角坐标系，得到了卫星或飞船飞行的参数方程，并利用Matlab软件模拟出卫星飞行的轨迹图，借助图形，对卫星和飞船的跟踪测控问题进行建模，得到了在不同情况下对卫星或飞船进行全程跟踪测控所需建立测控站数目的一般方法。

问题1:在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下，采用CAD制图法和解析三角形两种方法，分别计算出在所有测控站都与卫星或飞船运行轨道共面的情况下至少应建立12个测控站才能对其进行全程跟踪测控。

问题2:通过建立空间直角坐标系，给出卫星或飞船的运行轨道的参数方程。

同时，验证了其运行轨道在地球上的投影轨迹为一关于赤道平面对称的环形带状区域。

最后，给出对卫星或飞船可能飞行区域进行全部覆盖所需建立测控站的模型。

问题3:对于陆地上的观测点，通过对“神舟七号飞船”相关信息查询，进行几何角度的和长度计算，得出观测点能观测到的区域约为s,再计算出飞船可能飞行的面积，通过进一步的优化与计算得出陆地上的观测点能观测的区域为18.67%.关键词：轨道星下点测控点相对运动优化一、问题重述卫星和飞船对国民经济和国民建设有重要的意义，对卫星的发射和运行测控是航天系统的重要部分，理想状况下是对其进行全程跟踪测控。

测控设备只能观测到所在点切平面以上的空域，实际上每个测控站的范围只考虑与地面成3度以上的空域。

往往要有很多个测控站联合测控任务。

问题1:在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道共面的情况下至少应建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？问题2:如果一个卫星或飞船的运行与地球赤道有固定的夹角，且在离地面为H的球面S上进行。

全国大学生数学建模竞赛赛题综合评析

B题：高等教育学费标准探讨
社会热点
叶其孝、周义仓
开放性强、社会关注性强，突出数据来源的可靠性、结论解释的合理性
数据收集与处理、问题的分析与假设，初等数学方法、一般统计方法、多目标规划、回归分析、综合评价方法、灰色预测
2009年
A题：制动器试验台的控制方法分析
工业问题
方沛辰、刘笑羽
问题具体、专业性强，要花时间读懂、理解清楚问题
出版社的资源配置
孟大志
艾滋病疗法的评价及疗效的预测
边馥萍
易拉罐形状和尺寸的最优设计（C题）
叶其孝
煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制（D题）
韩中庚
2007年
中国人口增长预测
唐云
乘公交，看奥运
方沛辰、吴孟达
手机“套餐”优惠几何（C题）
韩中庚
体能测试时间安排（D题）
刘雨林
2008年
数码相机定位
谭永基
高等教育学费标准探讨
叶其孝、周义仓
地面搜索（C题）
肖华勇
NBA赛程的分析与评价（D题）
姜启源
2009年
制动器试验台的控制方法分析
方沛辰、刘笑羽
眼科病床的合理安排
吴孟达、毛紫阳
卫星和飞船的跟踪测控（C题）
周义仓
会议筹备（D题）
王宏健
2010年
储油罐的变位识别与罐容表标定
韩中庚
2010年上海世博会影响力的定量评估
杨力平
输油管的布置（C题）
1
6
8
付鹂
重庆大学
1
6
9
姜启源
清华大学
4
3
10
陈叔平
浙江大学、贵州大学
2
5
11

数学建模与计算方法在航空航天中的应用

数学建模与计算方法在航空航天中的应用随着航空航天技术的不断发展，数学建模与计算方法在其中的应用越来越广泛。

数学建模是指将实际问题用数学语言和符号表达出来，通过数学方法求解问题的过程。

而计算方法则是指利用计算机等工具进行求解的方法。

在航空航天领域，数学建模与计算方法的应用涉及到多个方面，下面我们就来具体了解一下。

首先，在航空航天设计中，数学建模与计算方法是必不可少的。

例如，在飞机设计中，需要进行气动力学计算，通过数学建模得到飞机在不同飞行状态下的气动力学特性，进而进行优化设计。

在火箭发动机设计中，需要进行燃烧室内流场分析，通过数学建模得到燃烧室内的流场分布和温度分布，进而确定燃烧室的结构和材料。

这些都需要数学建模和计算方法的支持。

其次，在航空航天控制领域，数学建模与计算方法也扮演着重要角色。

例如，在导弹控制中，需要进行导弹的动力学建模和控制器设计，通过数学建模和计算方法得到导弹的运动状态和控制器参数，进而实现导弹的精确控制。

在卫星控制中，需要进行卫星的姿态控制和轨道控制，通过数学建模和计算方法得到卫星的运动状态和控制器参数，进而实现卫星的精确控制。

此外，在航空航天安全领域，数学建模与计算方法也具有重要作用。

例如，在飞机事故分析中，需要进行事故原因的分析和模拟重现，通过数学建模和计算方法得到事故发生时的各种参数和状态，进而确定事故原因和改进措施。

在航天器轨道安全分析中，需要进行轨道碰撞分析和避让决策，通过数学建模和计算方法得到轨道碰撞时的各种参数和状态，进而确定避让措施和轨道修正方案。

总之，数学建模与计算方法在航空航天领域中具有广泛应用，涉及到多个方面。

航空航天技术的不断发展离不开数学建模和计算方法的支持，只有不断完善和提高这些方法的应用效果和精度，才能更好地推动航空航天技术的发展。

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目

2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题制动器试验台的控制方法分析汽车的行车制动器（以下简称制动器）联接在车轮上，它的作用是在行驶时使车辆减速或者停止。

制动器的设计是车辆设计中最重要的环节之一，直接影响着人身和车辆的安全。

为了检验设计的优劣，必须进行相应的测试。

在道路上测试实际车辆制动器的过程称为路试，其方法为：车辆在指定路面上加速到指定的速度；断开发动机的输出，让车辆依惯性继续运动；以恒定的力踏下制动踏板，使车辆完全停止下来或车速降到某数值以下；在这一过程中，检测制动减速度等指标。

假设路试时轮胎与地面的摩擦力为无穷大，因此轮胎与地面无滑动。

为了检测制动器的综合性能，需要在各种不同情况下进行大量路试。

但是，车辆设计阶段无法路试，只能在专门的制动器试验台上对所设计的路试进行模拟试验。

模拟试验的原则是试验台上制动器的制动过程与路试车辆上制动器的制动过程尽可能一致。

通常试验台仅安装、试验单轮制动器，而不是同时试验全车所有车轮的制动器。

制动器试验台一般由安装了飞轮组的主轴、驱动主轴旋转的电动机、底座、施加制动的辅助装置以及测量和控制系统等组成。

被试验的制动器安装在主轴的一端，当制动器工作时会使主轴减速。

试验台工作时，电动机拖动主轴和飞轮旋转，达到与设定的车速相当的转速(模拟实验中，可认为主轴的角速度与车轮的角速度始终一致)后电动机断电同时施加制动，当满足设定的结束条件时就称为完成一次制动。

路试车辆的指定车轮在制动时承受载荷。

将这个载荷在车辆平动时具有的能量（忽略车轮自身转动具有的能量）等效地转化为试验台上飞轮和主轴等机构转动时具有的能量，与此能量相应的转动惯量(以下转动惯量简称为惯量)在本题中称为等效的转动惯量。

试验台上的主轴等不可拆卸机构的惯量称为基础惯量。

飞轮组由若干个飞轮组成，使用时根据需要选择几个飞轮固定到主轴上，这些飞轮的惯量之和再加上基础惯量称为机械惯量。

例如，假设有4个飞轮，其单个惯量分别是：10、20、40、80 kg·m2，基础惯量为10 kg·m2，则可以组成10，20，30，…，160 kg·m2的16种数值的机械惯量。

全国大学生数学建模竞赛的历年真题

全国大学生数学建模竞赛的历年赛题（1992年—2011年）1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）(D)钻井布局问题2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）(D)公交车调度问题2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(C)车灯线光源的计算问题(D)球队的赛程安排问题（清华：姜启源）2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(C)SARS的传播问题(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华：谢金星等）(C)雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）(D)DVD在线租赁问题2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年: (A)中国人口增长预测问题(B) 乘公交，看奥运问题(C) 手机“套餐”优惠几何问题(D) 体能测试时间安排问题2008年：(A) 数码相机定位问题(B) 高等教育学费标准探讨问题(C) 地面搜索问题(D) NBA赛程的分析与评价问题2009年：(A) 制动器试验台的控制方法分析问题(B) 眼科病床的合理安排问题(C) 卫星和飞船的跟踪测控问题(D) 会议筹备问题2010年：(A) 储油罐的变位识别与罐容表标定问题(B) 2010年上海世博会影响力的定量评估问题(C) 输油管的布置问题(D) 对学生宿舍设计方案的评价问题2011年：(A) 城市表层土壤重金属污染分析问题(B) 交巡警服务平台的设置与调度问题(C) 企业退休职工养老金制度的改革问题(D) 天然肠衣搭配问题问题。

卫星或飞船的跟踪测控模型设计

的最大整数。
问题１在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨：道共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对其进行全程跟踪测控？
问题２如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球：
３问题的解答
（）１问题１的解答
在此问题中．了简化计算．为我们认为绕地球运
作者简介：徐昕（９２）女，南岳阳人，教授，南师范大学在读博士研究生，究方向为微分方程。杨１７一，湖副湖研
・
１３・８
杨徐昕，曾玉华，成夏炎：星或飞船的跟踪测控模型设计卫
故Ａ０Ｃ＝ＴＡＣＤＡ１一一
ｈｐ／ｗ．ｖｎｒ２０ — ９４ｃｎｅｔｌ８２ｔ：ｗｗｇ．／ｚ０８０／／ｏｔ＿４８．ｔ／ｏｃｊ￣２ｎ１０
ｈ。ｔｍ）
请利用模型分析卫星或飞船的测控情况．具体
问题如下：
与地球球面交点的经度差异的绝对值；一不超过［］
２模型的假设
为了便于建立相关模型，我们假设：地球是一个标准的几何球体；忽略影响测控站布置的地理因素
和其他因素：不考虑地球公转的影响；把卫星或飞船看成一个质点；星在太空中运行速度大小不变。卫符号说明：地球自转的周期；一卫星或飞一船在轨道运行的周期：一卫星或飞船离地平引力常数，小等于６６￣０Ｇ大．１７

历年数学建模题目

历年数学建模题目
以下是部分历年的数学建模题目：
1. 1992年：施肥效果分析问题、实验数据分解问题。

2. 1993年：非线性交调的频率设计问题、足球排名次问题。

3. 1994年：逢山开路问题、锁具装箱问题。

4. 2002年：车灯线光源的优化设计、彩票中的数学、车灯线光源的计算（大专组）、赛程安排（大专组）。

5. 2003年：SARS的传播、露天矿生产的车辆安排、奥运会临时超市网点设计、电力市场的输电阻塞管理、饮酒驾车、公务员招聘。

6. 2005年：出版社的资源配置、艾滋病疗法的评价及疗效的预测、易拉罐形状和尺寸的最优设计、煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制。

7. 2008年：数码相机定位、高等教育学费标准探讨、地面搜索、NBA赛程的分析与评价。

8. 2009年：制动器试验台的控制方法分析、眼科病床的合理安排、卫星和飞船的跟踪测控、会议筹备。

以上信息仅供参考，如需历年数学建模题目，建议查阅数学建模论坛或相关网站获取。

历年全国赛数学建模题目

目录1996年全国大学生数学建模竞赛题目 (2)A题最优捕鱼策略 (2)B题节水洗衣机 (2)1997年全国大学生数学建模竞赛题目 (3)A题零件的参数设计 (3)B题截断切割 (4)1998年全国大学生数学建模竞赛题目 (5)A题投资的收益和风险 (5)B题灾情巡视路线 (6)1999创维杯全国大学生数学建模竞赛题目 (7)A题自动化车床管理 (7)B题钻井布局 (8)C题煤矸石堆积 (9)D题钻井布局（同 B 题） (9)2000网易杯全国大学生数学建模竞赛题目 (10)A题 DNA分子排序 (10)B题钢管订购和运输 (12)C题飞越北极 (15)D题空洞探测 (15)2001年全国大学生数学建模竞赛题目 (17)A题血管的三维重建 (17)B题公交车调度 (18)C题基金使用计划 (20)D题公交车调度 (20)2002高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (21)A题车灯线光源的优化设计 (21)B题彩票中的数学 (21)C题车灯线光源的计算 (23)D题赛程安排 (23)2003高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (24)A题 SARS的传播 (24)B题露天矿生产的车辆安排 (28)C题 SARS的传播 (29)D题抢渡长江 (30)2004高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (31)A题奥运会临时超市网点设计 (31)B题电力市场的输电阻塞管理 (35)C题饮酒驾车 (39)D题公务员招聘 (39)2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (42)A题: 长江水质的评价和预测 (42)B题： DVD在线租赁 (43)C题雨量预报方法的评价 (44)D题： DVD在线租赁 (45)2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (46)A题: 出版社的资源配置 (46)B题: 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 (46)C题: 易拉罐形状和尺寸的最优设计 (47)D题: 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制 (48)2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (53)A题：中国人口增长预测 (53)2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (56)A题数码相机定位 (56)B题高等教育学费标准探讨 (57)C题地面搜索 (57)2009高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 (59)A题制动器试验台的控制方法分析 (59)B题眼科病床的合理安排 (60)C题卫星和飞船的跟踪测控 (61)D题会议筹备 (61)2010全国高教社杯数学建模题目 (65)A题储油罐的变位识别与罐容表标定 (65)B题 2010年上海世博会影响力的定量评估 (66)A题最优捕鱼策略为了保护人类赖以生存的自然环境,可再生资源(如渔业、林业资源)的开发必须适度.一种合理、简化的策略是,在实现可持续收获的前提下,追求最大产量或最佳效益.考虑对某种鱼(鳀鱼)的最优捕捞策略:假设这种鱼分四个年龄组,称1龄鱼,…,4龄鱼,各年龄组每条鱼的平均重量分别为 5.07,11.55,17.86,22.99(g),各年龄组鱼的自然死亡率为0.8(1/年),这种鱼为季节性集产卵繁殖,平均每条4龄鱼的产卵量为1.109× (个),3龄鱼的产卵量为这个数的一半,2龄鱼和1龄鱼不产卵,产卵和孵化期为每年的最后4个月,卵孵化并成活为1龄鱼,成活率(1龄鱼条数与产卵总量n之比)为1.22× /(1.22× +n).渔业管理部门规定,每年只允许在产卵孵化期前的8个月内进行捕捞作业.如果每年投入的捕捞能力(如渔船数﹑下网次数等)固定不变,这时单位时间捕捞量与各年龄组鱼群条数成正比,比例系数不妨称捕捞强度系数.通常使用13mm网眼的拉网,这种网只能捕3龄鱼和4龄鱼,其两个捕捞强度系数之比为0.42:1.渔业上称这种方式为固定努力量捕捞.1)建立数学模型分析如何实现可持续捕获(即每年开始捕捞时鱼场中各年龄组鱼群不变),并且在此前提下得到最高的年收获量(捕捞总重量).2)某渔业公司承包这种鱼的捕捞业务5年,合同要求5年后鱼群的生产能力不能受到太大破坏. 已知承包时各年龄组鱼群的数量分别为:122,29.7,10.1,3.29(×条),如果任用固定努力量的捕捞方式,该公司应采取怎样的策略才能使总收获量最高.(北京师范大学刘来福提供)B题节水洗衣机我国淡水资源有限,节约用水人人又责,洗衣在家庭用水中占有相当大的份额,目前洗衣机已相当普及,节约洗衣机用水十分重要.假设在放入衣服和洗涤剂后洗衣机的运行过程为:加水-漂水-脱水-加水-漂洗-脱水-…-加水-漂洗-脱水(称"加水-漂洗-脱水"为运行一轮).请为洗衣机设计一种程序(包括运行多少轮﹑每轮加水量等),使得在满足一定洗涤效果的条件下,总用水量最少.选用合理的数据进行计算,对照目前常用的洗衣机的运行情况,对你的模型和结果做出评价.A题零件的参数设计一件产品由若干零件组装而成，标志产品性能的某个参数取决于这些零件的参数。

卫星和飞船的跟踪测控模型

度值，一经度值，地一地球自转角速度，一卫
星自转角速度，一测控站测控时问的一半。ｔ
（）在所有测控站都与卫星或飞船的运行轨道１共面的情况下至少应该建立多少个测控站才能对
其进行全程跟踪测控？（）如果一个卫星或飞船的运行轨道与地球赤２道平面有固定的夹角，在离地面高度为日的球面且Ｓ上运行。考虑到地球自转时该卫星或飞船在运行
／Ｃ …ｃ（＿Ｄｓ＿Ｏｉｎ
）。
利用三角形中三角之和等于１０可知：８。
０＝１０一ＯＤ一（０）＝８。Ｃ９。＋
９一ｃ（０卢ｓｉｎ
３０。６１０。Ｒ
第一作者简介：程红萍（９１）女，１７一，陕西大荔人，讲师，硕士。研究
方向：高等数学、数学建模。Ｅｍｉ：ｈｎｈｎｐｇ２０＠１３ｃｍ。－ａｌｃｅｇｏｇｉ＿０５６．ｏｎ
与地球赤道平面有固定的夹角，在离地面高度为且日的球面ｓ上运行的情况下对卫星测控。方案一，
夹角３度以上的空域。
过程中相继两圈的经度有一些差异，至少应该建问
立多少个测控站才能对该卫星或飞船可能飞行的
区域全部覆盖以达到全程跟踪测控的目的？（）收集我国一个卫星或飞船的运行资料和发３射时测控站点的分布信息，析这些测控站点对该分

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