第九章-平面图与图的着色课件
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建筑工程制图课件 第九章 建筑施工图(1概述总平)
通用详图中的定位轴线，应只画圆，不注写轴线 编号。
组合较复杂的平面图中定位轴线也可采用分区编号
折线形平面定位轴线的编号
圆形平面定位轴线的编号
圆形与弧形平面图中的定位轴线，其径向轴线应以角度进 行定位，其编号宜用阿拉伯数字表示，从左下角或-90°(若径向 轴线很密，角度间隔很小)开始，按逆时针顺序编写；其环向轴 线宜用大写拉丁字母表示，从外向内顺序编写
的顺序排列）通读一遍，对工程对象先有一个大概的了解。
（3）负责不同专业的技术人员，根据不同要求，重点深入地 阅读不同类别的图纸。阅读时，应按先整体后局部，先文字说 明后图样，先图形后尺寸等原则依次仔细阅读。同时应特别注 意各类图纸之间的联系，以避免发生矛盾而造成质量事故和经 济损失。
建筑施工图的有关规定GB50104—2010 1. 图线
总平面图中应标注出 新建建筑物的总长、总宽
及与周围房屋或道路的间
距。同时还应标注出新建
总图中的坐标 、标高、距离宜以 米为单位，并宜取 至小数点后两位，
房屋底层室内地面和室外 整平地面的绝对标高。
室外整平地坪 的绝对标高
不足时以“0”补齐
4、定位
新建建筑物可以根据原有的建筑物或道路来定位，也 可以根据坐标（测量坐标或施工坐标）来定位。
建房屋的平面形状、位置、朝向及其与周围环境的相互关系 。它是新建房屋的定位放线、土方施工以及施工现场布置的 依据，也是其他专业（如水、电、暖、煤气）的管线总平面 图规划布置的依据。
建筑施工图——总平面图
二、总平面图的内容 1、图名与比例 图名：总平面图 比例：1：500 ， 1：1000， 1：2000
4. 定位轴线及其编号
定位轴线是施工定位、放线的重要依据。凡是承重的墙、 柱、梁、屋架、基础等构件都要画上轴线并进行编号，以确定 其位置，这些轴线称为定位轴线。对于非承重的分隔墙、次要 承重构件等，一般采用附加轴线来定位，也可注明它们与附近 轴线的相关尺寸来确定。
组合较复杂的平面图中定位轴线也可采用分区编号
折线形平面定位轴线的编号
圆形平面定位轴线的编号
圆形与弧形平面图中的定位轴线，其径向轴线应以角度进 行定位，其编号宜用阿拉伯数字表示，从左下角或-90°(若径向 轴线很密，角度间隔很小)开始，按逆时针顺序编写；其环向轴 线宜用大写拉丁字母表示，从外向内顺序编写
的顺序排列）通读一遍，对工程对象先有一个大概的了解。
（3）负责不同专业的技术人员，根据不同要求，重点深入地 阅读不同类别的图纸。阅读时，应按先整体后局部，先文字说 明后图样，先图形后尺寸等原则依次仔细阅读。同时应特别注 意各类图纸之间的联系，以避免发生矛盾而造成质量事故和经 济损失。
建筑施工图的有关规定GB50104—2010 1. 图线
总平面图中应标注出 新建建筑物的总长、总宽
及与周围房屋或道路的间
距。同时还应标注出新建
总图中的坐标 、标高、距离宜以 米为单位，并宜取 至小数点后两位，
房屋底层室内地面和室外 整平地面的绝对标高。
室外整平地坪 的绝对标高
不足时以“0”补齐
4、定位
新建建筑物可以根据原有的建筑物或道路来定位，也 可以根据坐标（测量坐标或施工坐标）来定位。
建房屋的平面形状、位置、朝向及其与周围环境的相互关系 。它是新建房屋的定位放线、土方施工以及施工现场布置的 依据，也是其他专业（如水、电、暖、煤气）的管线总平面 图规划布置的依据。
建筑施工图——总平面图
二、总平面图的内容 1、图名与比例 图名：总平面图 比例：1：500 ， 1：1000， 1：2000
4. 定位轴线及其编号
定位轴线是施工定位、放线的重要依据。凡是承重的墙、 柱、梁、屋架、基础等构件都要画上轴线并进行编号，以确定 其位置，这些轴线称为定位轴线。对于非承重的分隔墙、次要 承重构件等，一般采用附加轴线来定位，也可注明它们与附近 轴线的相关尺寸来确定。
图的平面性与图的着色问题
图的平面性与图的着色问题在图论中，图的平面性与图的着色问题是两个重要的研究方向。
图的平面性指的是一种特殊的图的布局方式，使得图的边不相交。
而图的着色问题是指如何给图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
本文将分别介绍图的平面性和图的着色问题，并对其进行详细讨论。
一、图的平面性（Planarity of Graphs）图的平面性是图论中一个经典的问题，研究的是如何将一个图画在平面上，使得图的边不相交。
具体而言，如果一个图可以被画在平面上，且不同边的交点只有顶点，那么我们称该图是一个平面图。
而对于不能在平面上画出来的图，则被称为非平面图。
定理1：一个图是平面图，当且仅当它不包含任何的子图同构于以下两种图之一：K5（五个没有共同边的顶点）或K3,3（六个节点，其中任意两个节点之间都有边相连但不交叉）。
这个定理被称为Kuratowski定理，它为我们判断一个图是否是平面图提供了一个有效的方法。
根据Kuratowski定理，我们可以使用该定理的逆否命题，即如果一个图中包含K5或K3,3，则该图一定是非平面图。
除了Kuratowski定理之外，还有一种判断图的平面性的方法，称为Euler公式。
Euler公式表达了平面图的顶点数、边数和面数之间的关系：V - E + F = 2其中V表示顶点数，E表示边数，F表示面数。
根据Euler公式，对于简单连接图（无环，无孤立点），如果它的顶点数大于等于3且边数大于等于3，且满足Euler公式，则该图是一个平面图。
二、图的着色问题（Graph Coloring）图的着色问题是指如何给一个图的顶点进行染色，使得相邻的顶点颜色不相同。
这里的相邻指的是有边相连的顶点。
在图论中，颜色通常表示为正整数，颜色数则表示为给定图所需的最小颜色数。
对于任意图G，G的最小颜色数被称为G的色数。
如果图G的色数为k，则称图G是可k着色的。
求解一个图的最小色数是一个复杂的问题，称为顶点着色问题（Vertex Coloring Problem），它是一个NP 完全问题。
图的染色ppt课件
9
❖ 定理6.4 二分图属于第一类图，即χ’(G )=Δ(G)
❖ 证 G为二分图，假定χ’(G )=Δ(G) +1，设α是一个 最优边染色，必有顶点u适合Cα(u) ＜ dG(u) 。u 显然满足引理6.2的条件，所以G包含一个长度为 奇数的回路。因而不是二分图，导出矛盾。故
χ’(G )=Δ(G) +1，χ’(G )=Δ(G)
χ(G )·α(G) ≥p
❖ 证明 设S是G的一个最大点独立集，|S|=α(G) ，令 S中的点染第1色，V(G)中其余p-α(G) 个点分别染
第2,3,…,p-α(G) +1色，这样得到G的一个正常p-
α(G) +1点染色，于是χ(G ) +α(G) ≤p+1
❖ 设χ(G ) =k，则V(G)可以划分成k个色组
显然这些边构成k2n的一个完美匹配f对每一个完美匹配着以不同的颜色按定义这种着色是正常的故k2n2n1又k2n2n2n1所以2n2n1把上图中的中心点及关联边去掉则我们得到一个图且从原来在中的正常的2n1边着色得到中的一个正常的2n1边着色
图的染色
四川师范大学数学与软件科学学院
周思波
精选ppt
1
边染色
到颜色集S={1,2,…,k}建立了一个映射β, Vi =β-1(i)。 如果在某个k点染色β中，任何两个同色点都不相邻，
即每个Vi都是点独立集，那么这个β就称为正常k-点 染色。若图G有正常k点染色，则称G为k点可染的，
简称为k可染色。
精选ppt
16
例子
v1 e1
v4
e2
e8 e7 v6 e9 e10
❖ 定理6.8 若G是k色的临界图，则k≤δ(G)+1
17平面图及图的着色
17.1 平面图的基本概念一、平面图及平面嵌入定义17.1如果图G能以这样的方式画在曲面S上，即除顶点处外无边相交，则称G可嵌入曲面S.若G可嵌入平面，则称G是可平面图或平面图。
画出的无边相交的图称为G的平面嵌入。
无平面嵌入的图称为非平面图。
K1(平凡图)，K2，K3，K4都是平面图，其中，K1，K2，K3本身就已经是平面嵌入，K4的平面嵌入为图17.1中(4)所示。
K5－e (K5删除任意一条边)也是平面图，它的平面嵌入可表示为图17.1中(5).完全二部图K1,n(n≥1), K2,n(n≥2),也都是平面图，其中标准画法画出的K1,n已经是平面嵌入，K2,3的平面嵌入可由图17.1中(6)给出。
图17.1中(1)，(2)，(3)分别为K4, K5－e, K2,3的标准画法。
请观看演示动画：(1)变(4)(2)变(5)(3)变(6)图17.1下文中所谈平面图，有时是指平面嵌入，有时则不是，这要看是研究平面图什么性质而定，请读者根据上下文加以区分。
当然有时也特别指出平面嵌入。
现在就应该指出，在研究平面图理论中居重要地位的两个图，这就是完全图K5和完全二部图K3,3，它们都不是平面图(将由定理17.10的推论得到证明)。
还有两个非常显然的事实，用下面定理给出。
定理17.1若图G是平面图，则G的任何子图都是平面图。
由定理17.1立刻可知，K n(n≤4)和K1,n(n≥1)的所有子图都是平面图。
定理17.2若图G是非平面图，则G的任何母图也都是非平面图。
推论K(n≥5)和K3,n(n≥3)都是非平面图。
n本推论由K5，K3,3不是平面图及定理17.2得证。
还有一个明显的事实也用定理给出。
定理17.3设G是平面图，则在G中加平行边或环后所得图还是平面图。
本定理说明平行边和环不影响图的平面性，因而在研究一个图是否为平面图时可不考虑平行边和环。
二、平面图的面与次数定义17.2设G是平面图(且已是平面嵌入)，由G的边将G所在的平面划分成若干个区域，每个区域都称为G的一个面。
建筑工程制图第九章建筑施工图ppt课件
05
建筑剖面图解读与绘制技 巧
剖面图基本要素及表示方法概述
剖面图定义
剖面图是假想用一个或多个垂直于外墙轴线的铅 垂剖切面，将房屋剖开，所得的投影图。
剖面图基本要素
包括剖切位置、剖切符号、剖视方向、比例尺等 。
表示方法
通过线条、符号、文字等表示建筑物的内部构造 、分层情况、各部位的高度、宽度、材料等。
建筑施工图的绘制方法和技巧
建筑施工图的绘制需要遵循一定的规范和标准，掌握正确 的绘制方法和技巧对于提高制图效率和质量至关重要。
学员心得体会分享
通过学习建筑施工图，我更加深入地 了解了建筑工程设计的全过程，对于 未来从事相关工作具有很大的帮助。
我认为建筑施工图的学习需要注重实 践和应用，只有将理论知识与实际工 程相结合，才能更好地掌握相关技能 。
案例分析二
1 2
项目概况
该项目为一栋30层的高层住宅楼，总建筑面积约 5万平方米。
建筑施工图绘制流程
包括前期准备、方案设计、初步设计、施工图设 计等阶段，每个阶段都有不同的任务和要求。
3
剖析重点
通过剖析建筑施工图的绘制过程，了解高层住宅 楼的结构设计、设备配置、防火安全等方面的要 求和规范。
案例分析三
组成
封面、目录、设计说明、图纸（ 包括总平面图、平面图、立面图 、剖面图和详图等）、工程做法 表及门窗表等。
建筑施工图绘制规范及要求
• 规范：建筑施工图的绘制必须符合国家制图标准《房屋建筑制图统一标准》（GB/T50001-2017）和《总图制图标准》（ GB/T50103-2010）等规定。
建筑施工图绘制规范及要求
线条识别
粗实线表示新建建筑物的可见轮廓线，细实线表示原有建筑物、构筑物、道路 、围墙等，虚线表示规划拟建建筑物或构筑物，折断线表示外轮廓由几部分不 同平面组成。
课件：第九章 图的基本概念及其矩阵表示
29/128
定义：设图 G V ,图E,的 和同G ' 构 V ', E ', '。如果存
在双射f :V V ' 和双射g : E E ' , 使得对于任意 的e E ，v1,v2 V 都满足
' (g(e))
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e)v1,v2
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e) v1,v2
8/128
图的种类
(1) 如果 : E {{v1,v2} v1 V v2 V} ，则称 G V , E, 为 无向图。
(2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。
无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V 的元素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G 的结点数目称为图的阶。
注意，在计算无向图中结点的度时，自回路 要考虑两遍，因为自回路也是边。
16/128
例：计算下图中各结点度的度。
v3
dG (v1) 4 , dG (v2) dG (v3) 2
v1
v2
d
D
(v1
)
d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
2
d
D
(v1
)
0,
d
D
(v4
)
3
d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
d
D
(v4
)
1
dD (v1) 2
dD (v2 ) dD (v3 ) 3
d (v ) 4
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定理：在无向图中，所度有节点的度数之和等于边
定义：设图 G V ,图E,的 和同G ' 构 V ', E ', '。如果存
在双射f :V V ' 和双射g : E E ' , 使得对于任意 的e E ，v1,v2 V 都满足
' (g(e))
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e)v1,v2
f (v1 ), f (v2 ) 若 (e) v1,v2
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图的种类
(1) 如果 : E {{v1,v2} v1 V v2 V} ，则称 G V , E, 为 无向图。
(2) 如果 : E V V ，则称 G V , E, 为有向图。
无论是无向图还是有向图，都统称为图，其中V 的元素称为图G的结点，E的元素称为图G的边，图G 的结点数目称为图的阶。
注意，在计算无向图中结点的度时，自回路 要考虑两遍，因为自回路也是边。
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例：计算下图中各结点度的度。
v3
dG (v1) 4 , dG (v2) dG (v3) 2
v1
v2
d
D
(v1
)
d
D
(v2
)
d
D
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)
2
d
D
(v1
)
0,
d
D
(v4
)
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d
D
(v2
)
d
D
(v3
)
d
D
(v4
)
1
dD (v1) 2
dD (v2 ) dD (v3 ) 3
d (v ) 4
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定理：在无向图中，所度有节点的度数之和等于边
离散数学课件_9 树与平面图
1.概念:有向树,根树,树叶,内点,分支
点,层数,树高,祖先,后代,父亲,儿子,
兄弟,有序树,m叉树,完全m叉树,根子树,
左子树,右子树,带权二叉树,最优二叉
树,前缀,前缀码,二元前缀码,二叉树遍
历等;
4
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2019/12/4
第三节 有向树与根树(2)
2.定理: 设T是一棵根树，r是T的树根,则 对于T的任一顶点v,存在唯一的有向路 从r到v；
3.算法:最优二叉树的Huffman算法;
4.前缀码问题:前缀码与二叉树的对应关 系；
5.二叉树的遍历:三种遍历方法,即先根遍 历,中根遍历,后根遍历法.
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5 2019/12/4
第四节 平面图
平面图是很多实际问题的模型. 例如在 集成电路的布线设计中就遇到了平面图 的问题.
1.基本概念:平面图,平面嵌入,面,无限 面(外部面),内部面,边界,次数等;
第九章 树与平面图
树是一类结构较为简单的图，是用途极 为广泛的离散数学模型，特别是二叉树， 它在计算机科学中用得最多.因此在学习 时应很好地掌握好诸如树的充要条件、 生成树、最优生成树、根树、树的各种 算法、及二叉树的访问次序等内容.平面 图是实际背景很强的一类图，能用本章 介绍的方法判断一个图是否为平面图.
2.基本非平面图:K3,3与K5； 3.平面图的欧拉公式； 4.平面图的判定:库拉图斯基定理.
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6 2019/12ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ4
本章小结
本章我们介绍树与平面图，但以介绍树 为主.给出树的定义及树的充要条件， 生成树、最优生成树及最优生成树的克 鲁斯卡尔算法，特别是二叉树，我们讨 论 了 二 叉 树 的 Huffman 算 法 、 前 缀 码 、 二叉树的遍历等问题.最后介绍了一类 实际背景很强的一类图——平面图.
九章节图
a 8
c 30 5
d 6
32
13 b
97
g
2
f 17
e
13 8 30 32
9 7
5
w 6
2
17
LT’(x)=min{LT(x), LT(t1)+W({t1,x})}。 把T’代为T,把P’代为P,把LT’(x)代为LT(x)， 重复步骤(2)。
例 求图9.9中从a到z的最短通路的长
b
1
a
2
4
c
7
d
2
5
3
z
6
1
e
b
1
a
2
4
d 2
3T(x)
abcdez
T={a}
1 4 ∞∞∞
T={a,b}
带权图中的最短通路
设G=(V,E,W)是一个带权图， 其W是边集E 到R+={x∊R│x>0} 的一个函数。 通常称 W(e)为边e的长度， 图G中一个通路的长度定义为通路中所经过的边的 长度之和。 设 v0,z∊V， 要求从 v0到z的最短通路的长。
Dijkstra算法的基本思想
先把V分成两个子集，
a b c d e fg L 13 8 13 19 21 20
狄克斯瑞 （Edsger Wybe Dijkstra， 1930-2002.08.02）
计算机编程艺术与科学创建人之一. 1930年出生在荷兰鹿特丹市，于 2002年8月6日在荷兰家中与世长辞 。他在欧洲和美国曾从事首次航空 和结构计算机模拟的工作。曾是开 发Algol的委员会成员。他编写了第 一个Algol 60编译器。 1972年，荣获 美国计算机协会的图灵奖。
电子课件-《机械制图(第三版) 》-A03-2612 制图-第九章
五、房屋建筑图的图例
由于建筑平、立、剖面图是采用小比例绘制的， 有些内容不可能按实际情况画出，因此，常采用 各种规定的图例来表示各种建筑构配件和建筑材 料。
在房屋建筑图中，对比例小于或等于1∶50的 平、剖面图，砖墙的剖面符号不画斜线；对比例 小于或等于1∶100 的平、剖面图，钢筋混凝土构 件(如柱、梁、板等)的建筑材料图例可不必画出， 而在底图上涂黑表示。
图9－1 建筑平面图、立面图和剖面图的形成
二、房屋建筑图的分类
1．图纸目录 2．设计总说明 3．建筑施工图 4 ．结构施工图 5 ．设备施工图
三、房屋建筑图的图示特点
1．图样的名称与配置 2．比例 3．图线
图9－2 传达室的建筑施工图
四、房屋建筑图的尺寸标注
在房屋建筑图上的尺寸应包括尺寸界线、尺 寸线、尺寸起止符号和尺寸数字。
第九章 房屋建筑图简介
§9－1 房屋建筑图概述 §9－2 读房屋建筑施工图
§9－1 房屋建筑图概述
一、房屋建筑图的基本图示方法 二、房屋建筑图的分类 三、房屋建筑图的图示特点 四、房屋建筑图的尺寸标注 五、房屋建筑图的图例 六、房屋建筑图中的常用符号
一、房屋建筑图的基本表达形式
1．平面图常用符号
1．定位轴线 2．标高符号 3．详图索引和详图标志符号 4．指北针
§9－2 读房屋建筑施工图
一、建筑平面图 二、建筑立面图 三、建筑剖面图
图论课件-图的顶点着色
AC
所以， (G) 4
7
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
注：对图的正常顶点着色，带来的是图的顶点集合的
一种划分方式。所以，对应的实际问题也是分类问题。 属于同一种颜色的顶点集合称为一个色组，它们彼此不 相邻接，所以又称为点独立集。用点色数种颜色对图G 正常着色，称为对图G的最优点着色。
若G1是非正则单图，则由数学归纳，G1是可Δ (G)顶点 正常着色的，从而，G是可Δ (G)正常顶点着色的。
(2) 容易证明：若G是1连通单图，最大度是Δ ，则
(G) (G)
15
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(3) Δ (G)≥3
11
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
(1), (v3 )=3
v1
v6
v5
(2),C(v4)=3,C C(v4) 1, 2, 4,5, k 1
(1), (v4 )=1
v2
(2),C(v5)=1,C C(v5) 2,3, 4,5, k 2
v
块
块
块
G -v
17
1
0.5 n 0
0.5
1 2 1.5 t1 0.5 00
1 0.8
0.6 0.4 x 0.2
由于G本身2连通，所以G-xn的每个仅含有一个割点的块 中均有点与xn邻接。设分属于H1与H2中的点x1与x2，它们与 xn邻接。由于x1与x2分属于不同块，所以x1与x2不邻接。又 因为Δ ≥3，所以G-｛x1, x2｝连通。
图论图着色
源自v2v1v0
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
v4
v5
(b)去掉v0后结点v1与v3处在 同一个连通分支中,v1 与v3有一通路，其中点的颜色红黄交替出现，它与 v0构成一回路C(同一个连通分支)，也就是约当曲线， 这时结点v2处在曲线的内部而结点v5则处在线的外 部，v2与v5的任何连线必与曲线C相交，与平面图的 条件矛盾。因此约当曲线C必然将黑白集中的结点分 成两个连通分支，使v2与v5分别处于两个连通分支中 （也就是v2与v5不连通）， v 于是问题回到(a)，可将v2 v v (或v5)所在的分支中的黑 v 白色对换，于是与v0邻接 v v 的5个结点也只着了4种颜 色， v0就可着第5种颜色。
独立集特点 (1)图G的每一个结点构成一个独立集。 (2)极大独立集不是唯一的，它的基数不一定 是最大的，但它的元素数目已达到极限， 即不可能再加入其他结点而不破坏它的独 立性。 (3)最大独立集必然也是极大独立集而且元素 数目是最多的。 (4)任一完全图Kn的独立数I(Kn)＝1 (5)偶图G只有两个极大独立集，即是它的两 个互补结点子集V1和V2
v1 e1 c1 e3 c3 v3 v0 e2 c2 v2
定理6.4 若G是偶图，则 ψ e (G ) = Δ (最大结点次数) 证：设G的两个互补结点子集为Vl和V2，若|V1|<|V2|，则 在V1中增加一些结点成为V1’使|V1’|=|V2|， 对xi∈V1’及yj∈V2，若G中无边(xi，yj)，则增加一条 边(xi,yj)，通过以上的增添，图G=(V，E)成为图GΔ＝ (V’，E1’)， GΔ 是 Δ次正则偶图，（ 由定理5.4的推论可知）它 有一完美匹配M1，令E2’＝E1’一M1，得到图 G Δ-1＝ (V’，E2’)，则 G Δ-1是(Δ一1)次正则偶图，它也有一 完美匹配M2， 如此继续下去可以得到M1，M2,..., MΔ 个完美匹 配，每一个完美匹配可着一种颜色，使得到G的边 着 色，即 ψ e (G ) = Δ
图论中的图的着色与染色问题
图论中的图的着色与染色问题在图论中，图的着色与染色问题是一类经典的问题。
图的着色是指给图的每个顶点赋予一个颜色，要求相邻的顶点不能有相同的颜色；而图的染色是指给图的边赋予一个颜色，要求相邻的边不能有相同的颜色。
一、图的顶点着色图的顶点着色问题是图论中的经典问题之一。
给定一个无向图，要求为每个顶点分配一个颜色，使得任意两个相邻的顶点颜色不同。
这个问题的本质是将相邻的顶点划分到不同的颜色集合中。
解决图的顶点着色问题有多种算法，其中较为简单和常用的是贪心算法。
贪心算法按照某种规则为图的顶点逐个着色，每次着色时选择当前可用颜色的最小编号。
贪心算法的时间复杂度为O(n^2)，其中n 为图的顶点数。
二、图的边染色图的边染色问题是另一个经典的图论问题。
给定一个无向图，要求给每条边分配一个颜色，使得任意两条相邻的边颜色不同。
这个问题的目标是将相邻的边划分到不同的颜色集合中。
解决图的边染色问题的算法有多种，其中常用的是基于回溯法和深度优先搜索的算法。
回溯法通过递归地尝试为每条边分配颜色，并根据约束条件进行回溯，直到找到可行的解或者穷尽所有可能。
深度优先搜索则通过遍历图的边，逐个给边染色，当发现某条边与相邻边颜色相同时，回溯到前一条边重新选择颜色。
三、特殊图的着色与染色问题除了一般的图的着色与染色问题，还存在一些特殊类型的图，对应着特殊的着色与染色问题。
1. 树的着色与染色：在树中，任意两个顶点之间都只有一条路径，因此树的着色与染色问题可以简化为树的边染色问题。
树的边染色问题可以使用贪心算法解决，每次为某条边选择一个未使用的颜色，直到所有边都被染色。
2. 平面图的着色与染色：平面图是指可以画在平面上，且任意两条边最多只有一个公共顶点的图。
平面图的着色与染色问题是在满足平面图约束条件下对图进行着色或染色。
对于平面图的着色与染色问题，使用四色定理可以得到解，即任何平面图最多只需要四种颜色来着色或染色。
四、应用领域图的着色与染色问题在实际应用中具有广泛的应用。
建筑工程制图课件第九章建筑施工图
标注清晰准确
审核与审查
在标注尺寸和文字说明时，需要清晰、准 确地进行标注，以确保施工人员能够正确 理解图纸内容。
在完成施工图的绘制后，需要进行审核和 审查，以确保图纸的准确性和完整性，并 及时发现和纠正错误或遗漏。
03
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建筑施工图的阅读方法
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标注。
清晰性
要求图纸线条清晰，标 注清晰，易于阅读和理
解。
规范性
要求图纸符合制图规范 ，使用标准符号和标注
方法。
02
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建筑施工图的绘制方法
建筑施工图的绘制流程
准备工作
收集相关资料，了解建筑项目的规模、用途 、结构形式等信息，为绘制施工图提供基础 。
绘制轴线
根据建筑平面图，确定建筑物的轴线位置，并 绘制出相应的轴线。
绘制墙线
根据轴线位置，绘制出建筑物的墙线，包括外墙 和内墙。
绘制门窗
根据建筑平面图和立面图，确定门窗的位置和尺寸 ，并在施工图中绘制出来。
绘制楼梯
根据建筑平面图和剖面图，确定楼梯的位置和尺 寸，并在施工图中绘制出来。
标注尺寸和文字说明
根据需要，标注建筑物的尺寸、标高、文字说明等信息 ，以便施工人员理解和施工。
建筑施工图的绘制技巧
熟悉图纸规范
在绘制施工图之前，需要了解 相关的图纸规范，如建筑制图
图着色问题 ppt课件
例子 ：
图着色问题
邻接矩阵：B
1
0
1
1
1
C 1 1 0 0 1
D
0
1
0
0
1
E 0 1 1 1 0
色，要求每个顶点着一种颜色，并使相邻两顶点之间有着不同 的颜色，这个问题称为图的顶点着色问题。
边着色:给定无环图G=(V,E)，用m种颜色为图中的每条边着色，
要求每条边着一种颜色，并使相邻两条边有着不同的颜色，这 个问题称为图的边着色问题。
图着色问题
顶点着色问题的基本概念
m可着色：若一个图最少需要m种颜色才能使图中每条边连接的两个顶 点着不同的颜色，则称m为该图的色数。
图的着色问题
主讲人：XXX
图着色问题
内容
问题来源 基本概念 常用算法 回溯法 程序演示
图着色问题
问题来源——四色问题
• 图的着色问题是由地图的着色问题引申而来的：用m种颜色为地 图着色，使得地图上的每一个区域着一种颜色，且相邻区域颜 色不同。
• 四色问题：“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界 的国家着上不同的颜色。”
求m的问题称为图的m可着色优化问题。
独立集：对图G=(V,E)，设S是V的一个子集，其中任意两个顶点在G中 均不相邻，则称S为G的一个独立集。 最大独立集：如果G不包含适合|S'|＞|S|的独立集S'，则称S为G的最
大独立集。
极大覆盖：设K是G的一个独立集，并且对于V-K的任一顶点v，K+v都 不是G的独立集，则称K是G的一个极大覆盖。 极小覆盖：极大独立集的补集称为极小覆盖。
图着色问题
问题处理：如果把每一个区域收缩为一个顶点，把相邻两个区域用一 条边相连接，就可以把一个区域图抽象为一个平面图。 例：图（a）所示的区域图可抽象为图（b）所表示的平面图。区域用 城市名表示，颜色用数字表示，则图中表示了不同区域的不同着色问 题。
高二立体几何第九章(二面角)课件(PPT 18页)
复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
l
A
l
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
B
β
Q
B PαlOAA平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
1.在平面几何中"角"是怎样定义的？ 1.在平面几何中" 是怎样定义的？ 在平面几何中 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。
2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"异面直线所成的角 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, 直线a 是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' O,分别引直线 b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 （或直角）叫做异 b,我们把相交直线a' b'所成的锐角 或直角） 我们把相交直线 面直线所成的角。 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的？ 在立体几何中,"直线和平面所成的角 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 做这条直线和这个平面所成的角。 做这条直线和这个平面所成的角。
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从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。 二面角 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的面。 这两个半平面叫做二面角的面 这条直线叫做二面角的棱。 二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面。
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B PαlOAA平面角由射线--点--射线构成。 射线构成。
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部面。
单连通区域是指能够收缩到一个点的区域
5
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f3
f2 v
f1
u
f4
0
1
3
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4
5
平面图的每个内部面都是G的某个圈围成的单连通区 域。
没有圈的图没有内部面，只有一个外部面。
6
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
如果用V表示多面体的顶点,用E表示棱，用F表示 面数。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图 有p个顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
11
3、最大(极大)可平面图
一个图称为最大可平面图，如果这个可平面图再 加入一条边，新图必然是不可平面的。
观察下面两个图，他1不是最大可平面图 图2是最大可平面图
12
4、最大(极大)平面图的性质
q=10≤3p-6=9,这是不成立的
所以K5不是可平面图。
最大可平面图
17
4、最大(极大)平面图的性质
如果K3,3是平面图 在偶图中每个圈的长至少为4
如果K3,3是平面图 K3,3应满足q≤2p-4 K3,3中p=6,q=9 9≤8
K3,3不是平面图
K33
18
4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.6 每个平面图G中顶点度的最小值不超过5,即 (G)≤5
图1 推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
15
4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.4 若G是任一有p个顶点q条边的可平面图 p≥3,则q≤3p-6,若G是2-连通的且没有三角形,则 q≤2p-4
1、因为当平面图中每个面都是三角形时其边数最 多，由推论9.1.2,则q≤3p-6,
2
9.1 平面图及欧拉公式 本节主要内容
1、平面图的定义 2、平面图的面数、顶点数、
边数之间的关系。 3、最大(极大)可平面图 4、最大(极大)平面图的性质
3
1、平面图的定义
平面图
v
u
可平面图
v
u
平面图
定义9.1.1 图G称为被嵌入平(曲)面S内,如果G的图 解已画在平面S上,而且任何两条边均不相交(除顶点 外),已嵌入平面的图称为平面图。
V-E+F=2 定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个 顶点、q条边、f个面，则：p-q+f=2
f3
f2 v
f1
u
f4
如图：顶点数4 边数6 面数4
7
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
定理9.1.1(欧拉公式) 如果一个平面连通图有p个顶点、 q条边、f个面，则：p-q+f=2
q=n(p-2)/(n-2)
f1
f2 f3
f4
图G
如图有4个长为4的面，边数为8，顶点数为6 8=4(6-2)/(4-2)
10
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且 每个面都是由长为n的圈围成的，则
q=n(p-2)/(n-2) 证： 因为G的每个面都是长为n的圈围成的 并且G的每条边都在G的两个面上 q=fn/2 f=2q/n p-q+2q/n=2 q=n(p-2)/(n-2)
2、若G是2-连通的且没有三角形,则G中任意顶点 都在一个圈上, 已知没有三角形,所以圈的长都是4时边数最多,
所以q≤2p-4
16
4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.5 K5与K3,3都不是可平面图 证：
利用推论9.1.4,任意(p,q)平面图都满足
q≤3p-6,这里p≥3
对于k5来说： p=5, q=10;
在一个非极大平 面图中加边， 观察极大可平 面图每个面的 边数的特点。
最大可平面图
推论9.1.2 设G是一个有p个顶点q条边的最大 可平面图,则G的每个面都是三角形,
q=3p-6,p≥3。
13
4、最大(极大)平面图的性质
证:若G的一个面不是三角形,
(1)、假如有两点不相邻，则在此面中把不
相邻的两顶点连接起来，不影响平面性。 矛盾，因此不可能有两点不相邻。
v2 v1
(2)假如圈上每两点都相邻;
v3
...
若v1,v3和v2,v4在G中都邻接,我们可
以看到这两个边不可能不相交;
v4
综合以上情况,极大平面图的每个面都 是三角形。
14
4、最大(极大)平面图的性质
推论9.1.3 设G是一个(p,q)可平面连通图,而且G的 每个面都是一个长为4的圈围成的，则：q=2p-4
G-x有p个顶点，q-1条边，f-1个面 由归纳假设 p-(q-1)+(f-1)=2 p-q+f=2 因此面数是f时也成立。
f3
x
f1
f2 v
u
f4
f3
f2 v
f1
u
f4
9
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
推论9.1.1 若平面连通图G有p个顶点q条边且每个面 都是由长为n的圈围成的，则
仍然用推论9.1.4,q≤3p-6 如果G的每个顶点的度大于5,也就是≥6 那么所有顶点的度数和大于或等于6p 由欧拉定理,2q≥6p,即q≥3p
不满足推论9.1.4,q≤3p-6
每个平面图G中顶点度的最小值不超过5, 即(G)≤5
19
4、最大(极大)平面图的性质
如果一个图可以嵌入平面，则称此图是可平面的。
4
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
平面图的内部面与外部面
f3
f2 v
f1
u
f4
灰色环不是单连通区域
定义9.1.2 平面图把平面分成了若干个区域，这些区
域都是单连通的，称之为G的面，其中无界的那个连
通区域称为G的外部面，其余的单连通区域称为G的内
证：对面数用归纳法
当f=1时，G没有内部面
所以G中无圈，G是树； p假如对q一+f切=1不+超1=过f-1个面 的平面连2 通图欧拉公式成立， 现证f个面时的情况。
0
1
3
2
4
5
只有一个面的平面 连通图（树）
8
2、平面图的面数、顶点数、边数之间的关系。
f≥2,G至少有一个内部面，从而G中有一个圈，
从这个圈上去掉一条边x， 则打通了两个面，
第九章：平面图与图的着色
9.1 平面图及其欧拉公式
9.2 非哈密顿平面图
9.3 库拉托斯基定理、对偶图
9.4 图的顶点着色
9.5 图的边着色
v
u
平面图
1
第九章：平面图与图的着色
平面图的定义，性质，顶点着色和 边着色。
内容
除了顶点外，其他位 置边不相交的图
建模 电路图，地图，各种建筑平面图的建 模。本章对平面图的一般性质进行讨论。 图的顶点着色应用广泛。