求幂级数的和函数
求幂级数的和函数步骤
通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。
当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。
同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。
只有在将来，我们将对级数的和进行积分。
简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。
因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。
幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。
结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。
关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。
中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。
幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。
下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。
首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。
很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。
注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。
终点需要讨论。
注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。
目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。
导言：这个问题可以得到一个想法。
这是串联连接。
利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。
当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。
如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。
设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。
在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。
一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。
对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。
利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。
二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。
常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。
三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。
通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。
利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。
四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。
通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。
利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。
求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。
在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。
希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。
第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。
通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。
下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。
1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。
幂级数求和函数方法概括与总结
幂级数求和函数方法概括与总结常见幂级数求和函数方法综述引言级数是高等数学体系的重要组成部分，它是在生产实践和科学实验推动下逐步形成和发展起来的。
中国魏晋时期的数学家刘徽早在公元263年创立了“割圆术”，其要旨是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，从而求得圆的面积。
这种“割圆术”就已经建立了级数的思想方法，即无限多个数的累加问题。
而将一个函数展开成无穷级数的概念最早来自于14世纪印度的马徳哈瓦，他首先发展了幂级数的概念，对泰勒级数、麦克劳林级数、无穷级数的有理数逼近等做了研究。
同时，他也开始讨论判断无穷级数的敛散性方法。
到了19世纪，高斯、欧拉、柯西等各自给出了各种判别级数审敛法则，使级数理论全面发展起来。
中国传统数学在幂级数理论研究上可谓一枝独秀，清代数学家董祐诚、坎各达等运用具有传统数学特色的方法对三角函数、对数函数等初等函数幂级数展开问题进行了深入的研究。
而今，级数的理论已经发展的相当丰富和完整，在工程实践中有着广泛的应用，级数可以用来表示函数、研究函数的性质、也是进行数值计算的一种工具。
它在自然科学、工程技术和数学本身方面都有广泛的作用。
幂级数是一类最简单的函数项级数，在幂级数理论中，对给定幂级数分析其收敛性，求收敛幂级数的和函数是重要内容之一。
但很多人往往对这一内容感到困难。
产生这一问题的一个重要原因是教材对这一问题讨论较少，仅有的一两个例题使得我们对幂级数求和中的诸多类型问题感到无从下手。
事实上，求幂级数和函数的方法与技巧是多种多样的，一般要综合运用求导、拼凑、分解等来求解，因此它是一个难度较大、技巧较高的有趣的数学问题。
一、幂级数的基本概念（一）、幂级数的定义 [1] 1、设()(1,2,3)n u x n =是定义在数集E 上的一个函数列，则称12()()(),n u x u x u x x E ++++∈为定义在E 上的函数项级数，简记为1()n n u x ∞=∑ 。
2、具有下列形式的函数项级数200102000()()()()n nn n n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑称为在点0x 处的幂级数。
高等数学：第七讲 幂级数的和函数
s(x) ( an x n ) (an x n ) nan x n1 x R, R
n1
n1
n1
幂级数的和函数的求法
总结：当 n 在分母时，利用性质2，先求
导，后积分.
当 n 在分子时，利用性质1，先积
分，后求导.
例题2：
求幂级数 n1
1 n
xn
的和函数
S
(
x)
.
解
an
1 n
,
所以，收敛半径 R 1
f
x
x
s(t)dt
x
[
nt n1]dt
x nt n1dt xn
0
0
0
n1
n1
n1
因为： xn
x
n1 1 x
所以
S x
f
x
1
1 x2
x (1,1)
谢谢
un (x2 ) S2
n1
幂级数的和函数的概念xDSຫໍສະໝຸດ un(x) S xn1
我们称 S x 为函数项级数 un(x)的和函数，
此函数的定义域就是级数
un
(
x)
n的1 收敛域.
n1
特别地，当级数是幂级数anxn 时，它对
n0
应的和函数S x 称为幂级数的和函数.该函数
的定义域就是幂级数 anxn的收敛域.
收敛区间 (1,1)
由性质2得
Sx (
1 xn )
( 1 xn )
x n 1
n1 n
n1 n
n1
由例1得： xn1
1
所以
n1
1 x
S
x
x 0
S
'(t)dt
幂级数求和及其应用
幂级数求和及其应用摘要本文在学习了幂级数及幂级数求和的基本性质基础上，对幂级数的求和问题引进了8种方法，对幂级数的应用问题主要介绍了在数学和物理上的8个应用。
本文先从幂级数求和的两种最基本和最简单的方法入手，在这两种方法的基础上紧接着引进基本初等函数等方法，实现由简单到复杂，由具体到抽象，由一般到特殊的过度，进而运用高等数学的其他知识和通过查阅大量资料，简单的介绍了构造函数方程的三种方法，最后重点介绍了幂级数在数学和物理上的8个实际应用，即数学上的4个应用和物理学上的四个应用。
关键词：幂级数；和函数；收敛区间Several Methods about the Sum of Power SeriesAbstract.This paper study the power series and the power series summation, the basic properties of the foundation, on the power series and introduced the summation of 8 method, the power series of the application of mainly introduced in mathematical and physical eight applications. This paper first from the power series summation of two of the most basic and the simplest method of the two methods in based on the introduction of basic elementary function then and other methods, the realization from simple to complex, from the concrete to the abstract, from common to special excessive, and then use the higher mathematics knowledge and the other by consulting a large number of material, simple introduces structural function equation of the three methods, finally introduced the power series in mathematics and physics of the eight practical application, namely mathematical four application and physics on the four applications.key words：power series; And functions; Convergence interval目录摘要 (I)Abstract (II)前言 (2)1.幂级数求和的方法 (2)1.1逐项微分法 (2)1.2逐项积分法 (4)1.3拆项组合法 (5)1.4部分和极限法 (6)1.5 基本初等函数法 (7)1.6代数方程法【8】 (8)1.7微分方程法【9】 (9)1.8逐级递推法 (10)2.幂级数的应用 (12)2.1幂级数在数学上的应用 (12)2.2幂级数在物理学中的应用 (14)结束语 (16)参考文献 (17)前言幂级数及其求和是数学分析中最重要的内容之一，在高等数学中也有着广泛的应用，而幂级数的收敛及其求和也是高等数学中的难点之一，因此对幂级数的收敛及其求和的研究不仅有着重要的理论意义，还有着重大的实践意义，无论是在高等数学中还是在科学计算中，不管是在经济管理还是在实际生活中都有着广泛的应用. 本文讨论幂级数的结构为1n n n a x ∞=∑，通过举具体例子，引进了幂级数求和的8种方法，最后主要介绍了幂级数在数学和物理学中的应用，包括4个数学上的应用和4个物理学上的应用。
求幂级数的和函数
在高等数学中,求幂级数的和函数的一般步骤是什么?_ ：通常,首先求出幂级数的收敛半径,收敛区间如果幂级数有n、(n+1)等系数时,需要先将级数逐项积分,约掉这些系数,就可能化为几何级数了,然后求其和.当然,与积分对应的,一定记得将来对这个级数的和再求导数.同理,如果幂级数有1/n、1/(n+1)等系数时,需要先将级数逐项求导,也是为了约掉这些系数,化为几何级数,然后求其和.只是将来对这个级数的和再求积分.总之,有一次求导,将来就要对应一次积分,反之也一样.因为我们可以把求导和积分看成逆运算,这样做的目的是要将级数还原.【幂级数和函数求法的和函数怎么求?】：答案是1/[(1-x)^2] 采用先逐项求积分,再求导数即可解决. 具体过程见我刚做的图片:【什么叫函数展开成幂级数以及计算方法】：当x=0 时,S(0)=0.当x≠0 时,S(x) = ∑ n^2*x^n = x∑ [(n+1)n-n]*x^(n-1),S(x)/x = ∑ (n+1)n*x^(n-1) - ∑ n*x^(n-1)= [∑ x^(n+1)]'' - [∑ x^n]'= [x^2/(1-x)]'' - [x/(1-x)]' = 2/(1-x)^3- 1/(1-x^2) = (1+x)/(1-x)^3,得S(x) = x(1+x)/(1-x)^3,已包含了x=0 的情况.求幂级数和函数具体步骤!_ ：解:设S=∑[(-1)^n][x^(n+1)]/[(n+1)2^(n+1)],两边对x求导,有S'=∑[(-1)^n][x^n]/2^(n+1)=(1/2)∑[(-1)^n][(x/2)^n,而在丨x/2丨<1时,∑[(-1)^n][(x/2)^n=1/(1+x/2)=2/(x+2),即S'=1/(x+2),∴S=∫dx/(2+x)=ln(x+2)+C.又,x=0时,S=0,∴C=-ln2,∴S=ln(1+x/2).供参考.求幂级数的和函数,求详细步骤! ：写的表达式有误, n 应该从1 开始(x^n)/[n(n+1)] = (x^n)/n - (x^n)/(n + 1) = (x^n)/n - (1/x)[x^(n+1)]/(n + 1)前一项的无穷级数和为ln|1-x|后一项的无穷级数和为(1/x)ln|1-x| - x所以原式= ln|1-x| - (1/x)[ln|1-x| - x] = ( 1- 1/x)ln|1-x| + 1幂级数的和函数怎么求_ ：如果只是一般的1,x,x^2…baix^n当然直接使用公式得到[x^(n+1)-1]/(x-1)如果有系数du1,zhi2x,3x^2,…,dao(n+1)x^n就先专进行积分得到x,x^2…x^(n+1)相加之后再求导,得到和函数同理x,1/2 x^2,…,1/n x^n之类的就先进行求导,相加之后再积属分...。
求幂级数的和函数
幂级数的和函数幂级数，是数学分析当中重要概念之一，是指在级数的每一项均为与级数项序号n相对应的以常数倍的（x-a）的n次方（n是从0开始计数的整数，a为常数）。
幂级数是数学分析中的重要概念，被作为基础内容应用到了实变函数、复变函数等众多领域当中。
步骤：•求出收敛域.•在收敛区间上利用已知无穷级数的和函数或者逐项积分、逐项求导的方法求出和函数.•利用和函数的连续性, 考察上一步求出的和函数与原来函数在端点处是否相等.方法：求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定会出错。
一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导e69da5e887aa62616964757a686964616f31333433623736公式：∞∞∑∑S′(x)=(anxn)′=nanxn−1n=0n=0且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
第十四章 幂级数
∞
∞
2x x2 , )′′ = = x( 3 (1 − x ) 1− x ∞ n( n + 1) 1 故∑ = s( ) = 8. n 2 2 n =1
n =1
n =1
x 的和函数 函数. 例 9 求幂级数 ∑ n + 1的和函数
∞ n=0
n
解
考虑级数
∞
x , ∑ n+1
∞ n=0
n
收敛域为[-1,1), 收敛域为
(2) 幂级数
a n x n 的和函数 s( x )在收敛区间 ∑
n=0
∞
( − R, R) 内可导 并可逐项求导任意次 内可导, 并可逐项求导任意次.
即s′( x) = (∑an x )′ = ∑
n n=0 n=0
∞
∞
= ∑nan xn−1. (an x )′
n
n=1
∞
收敛半径不变，但必须讨论端点 收敛半径不变，
(n = 0,1,2,L 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x − x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n= 0 ∞ f ( n ) ( 0) n 麦克劳林级数. ∑ n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n= 0
不一定. 不一定
−1 x2 e , x ≠ 0 例如 f ( x) = 0, x =0 (n) 点任意可导, 在x=0点任意可导 且 f (0) = 0 ( n = 0,1,2,L) 点任意可导 洛必达法则 1 x 1 lim lim − lim 1 =0 e x − 0 x = f ′( 0 ) = 比如 x → 0 x − 0 = x → 0 1 x → 0 2e x2 x
幂级数的运算
x
=
2
1 −
x
∫0x[ xs(
x)]′dx
=
∫0x
2
1 −
dx x
2
xs( x) = [− ln(2 − x)]0x = ln 2 − ln(2 − x)
∞
∑
1
1 n2n
x n−1
=
1 2
+
2
x ⋅ 22
+
L
x = 0时，s( x) = 1 . 2
s(
x)
=
−1 x 1
ln(1
−
x ), 2
=
x
∞
∑
2
x n
n−1
−1
=
xg( x)
g′(
x)
=
∞
∑
x n−2
2
=
1
1 −
x
( x < 1)
g(
x)
−
g(0)
=
∫0x
1
1 −
dx x
=
−
ln(1
−
x)
g( x) = − ln(1 − x)
h( x)
=
∞
∑
2
xn n+1
=
1 x
∞
∑
2
x n
n+1
+1
g(
x)
=
∞
∑
2
x n−1 n−1
=
− ln(1
4 2x
∞
∑
2
(
n2
1 − 1)2n
=
s(1) 2
=
5 8
−
关于求幂级数的和函数的探讨
关于求幂级数的和函数的探讨
田春红
【期刊名称】《数学学习与研究：教研版》
【年(卷),期】2016(000)009
【摘要】本文通过一个例子说明了求幂级数的和函数的方法,并介绍了用微分方程来求和函数.
【总页数】1页(P35-35)
【作者】田春红
【作者单位】南京航空航天大学金城学院,南京211156
【正文语种】中文
【中图分类】O173.1
【相关文献】
1.巧借原函数求函数的幂级数展开式
2.基于求幂级数和函数的方法研究
3.从求幂级数和函数的过程想到的
4.利用幂级数的和函数求常数项级数的和
5.浅谈求幂级数的和函数的方法
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幂级数教案
两个分界点关于原点对称（图7－4－1）.至此我们可得到如下重要推论:推论 1 如果幂级数 不是仅在一点收敛, 也不是在整个数轴上都收敛, 则必存在一个确定的正数 存在, 使得（1）当 时, 幂级数 绝对收敛； （2）当 时, 幂级数 发散；（3）当 时, 幂级数 可能收敛, 也可能发散.我们把此正数 称作幂级数的收敛半径. 称为幂级数的收敛区间.若幂级数的收敛域为 ,则),(R R -⊆⊆D ],[R R -即幂级数的收敛域是收敛区间与收敛端点的并集.4、 特别地, 如果幂级数只在 处收敛, 则规定收敛半径 , 此时的收敛域为只有一个点 ；如果幂级数对一切 都收敛, 则规定收敛半径 , 此时的收敛域为 . 5、 幂级数的收敛半径求法 定理2: 如果幂级数0nn n a x∞=∑系数满足 ∞→n lim |1n na a +|=ρ,则幂级数的收敛半径:R=1/, 0<,, 00, ρρρρ<+∞⎧⎪+∞=⎨⎪=+∞⎩证明:考察幂级数(3)的各项取绝对值所成的级数|a 0|+|a 1x|+|a 2x 2|+…+|a n x n|+ (5)这级数相邻两项之比为:||||11nn n n x x αα++=|n n αα1+|•|x|. 1) 如果∞→n lim |nn αα1+|=ρ(ρ≠0)存在,根据比值审敛法,则: 当ρ|x|<1即|x|<ρ1时,级数(5)收敛,从而级数(3)绝对收敛; 当ρ|x|>1即|x|>ρ1时,级数(4)发散,并且从某一个n 开始|a n+1x n+1|>|a n x n|,因此一般项 |a n x n|0所以 anxn 0, 从而级数(3)发散,于是收敛半径R= .3、 求幂级数∑=1n )1(n n+x n的收敛区间.解: 由于∞→n lim[nn n2)11(+]=e,因此R=1/e.当|x|=1/e 时,由于∞→n lim 2)11(n n+n e 1=∞→n lim n nen ])11([+=e -1/2因此级数的收敛区间为(-1/e,1/e).四、 幂级数的运算1. 设幂级数: a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n+…及 b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…分别在区间 (-R,R) 及 (-R ′,R ′) 内收敛, 对于这两个幂级数,可以进行下列四则运算:加法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)+(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=(a 0+b 0)+(a 1+b 1)x+(a 2+b 2)x 2+…+(a n +b n )x n+….减法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)- (b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=(a 0-b 0)+(a 1-b 1)x+(a 2-b 2)x 2+…+(a n -b n )x n+….根据收敛级数的基本性质,上面两式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.乘法: (a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…)(b 0+b 1x+b 2x 2+…+b n x n+…)=a 0b 0+(a 0b 1+a 1b 0)x+(a 0b 2+a 0b 2+a 2b 0)x 2+…+(a 0b n +a 1b n-1+…+ a n-1b 1+a n b 0)x n+…这是两个幂级数的柯西乘积,可以证明上式在(-R,R)与(-R ′,R ′)中较小的区间内成立.除法:++++++++++n n n n x b x b x b b x x x 22102210αααα=c 0+c 1x+c 2x 2+…+c n x n+…,假设b 0≠0.为了决定系数c 0,c 1,c 2,…,c n …,可以将级数∑∞=0n nn xb 与∑∞=0n n nx c相乘,并令乘积中各项系数分别等于级数∑∞=0n n nx α中同次幂的系数,即得: a 0=b 0c 0,a 1=b 1c 0+b 0c 1,a 2=b 2c 0+b 1c 1+b 0c 2,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯由这些方程就可以顺序地求出c 0,c 1,c 2,…c n ,….相除后所得幂级数∑∞=0n n nx c的收敛区间可能比原来两级数收敛区间小.2. 幂级数的和函数性质: 性质1:设幂级数∑∞=0n n nx α的收敛半径为R(R>0),则其和函数s(x)在区间(-R,R)内连续；如果幂级数在x=R(或x=-R)也收敛,则和函数s(x)在x=R 处左连续（或在x=-R 处有连续）. 性质2:设幂级数∑∞=0n n nx α的和函数s(x)在收敛区间(-R,R)内是可导的,且有逐项求导公式:10()()()nnn n n n n n n S x a x a x na x ∞∞∞-==='''===∑∑∑其中|x|<R, 逐项求导后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 性质3:设幂级数∑∞=0n n nx α的和函数s(x)在收敛区间 (-R,R)内是可积的,且有逐项积分公式:其中|x|<R,逐项积分后得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径. 例8 求幂级数n x n n n ∑∞=--01)1(的和函数及数项级数n n n 1)1(01∑∞=--的和. 解 由例2 （1）的结果知, 幂级数 的收敛域为 , 设其和函数为 , 即+-++-+-=-nx x x x x x s nn 1432)1(432)(，)1,1(-∈x 则由逐项可导性, 得+-+-+-='--112)1(1)(n n x x x x sxx +=--=11)(11两边积分, 即得幂级数得和函数为⎰+=+=xx dx xx s 0)1ln(11)(再令和函数中的 , 可得到数项级数 的和为 . 例9 求幂级数 的收敛区间及和函数. 解 （1）由 , 得到收敛半径 .当 时, 级数为 , 一般项不趋于０, 因此它发散； 当 时, 级数为 , 一般项不趋于０, 它也发散； 所以幂级数 的收敛区间为 . （2）用传统方法求和函数 设和函数为:两边由０到 积分, 得错误!未找到引用源。
求幂级数的和函数时应注意的几个问题
［］ １ 同济大学应 用数学 系编． 积分 ［ ． 微 ］北京 ： 高等教育 出版社 ， ０ ８ ２ ２年 月． ０ ［］ ２ 同济大学应用数学系编． 高等数学 ［ ］北京 ： ． 高等教育出版社 ， ０ 年 ７ ２ ２ ０ 月．
解 因雨 塞一ｎ （，故 为１： （）， 一１ １ｈＥ １． ）
ａｃａ ＝ （ ｒｔ ） ｒｔｎｘ ａｃａ ＝
急 ｎ＋１
２
２ｌ ｎ ＋
（） ３
因级 丑 收 ， ａａ 在 ±处 续 以 ）应 为数 敛函 ｒｎ １连 ， （式 为 数 ｃ ｔｘ 所３
Ｓ ＝ ｃ ㈤ ＝ ＝ ， ， ，
逐 项积 分后所 得 的幂级 数和原 级数 有相 同 的收敛 半径．
（） 数∑ａ 的 数ｓ ） 收 ２ 幂级 ｎ 和函 （ 在其 敛区间 一 ，） 可 并且 逐项 公式 （ ＲＲ 内 导， 有 求导 ｓ ＝Ｅ ｎ ＝∑ （ ） ） ∑ａ （ ］ 。 ＝∑ｎ 一 。 ∈（ Ｒ— ， 一 ，） Ｒ
ａｔ ｒ ａ ｘ＝ ｃｎ
于是 ）…
＋
一
棚
㈠
一
川
＋
（） ４
主
ｎ
＝
ｈ＝ ຫໍສະໝຸດ ｌ －＋ 一
， －
因此
＝
－ ）一－ １一＿． ］＝ ７ １ ＂
由 ２见 不（的立围展 （， 法 ）幂数开求 等 例可 ， 将 ）成范扩为 ）无由 的级展式 ｝ 若 ３ ４则
的和．
的和．
［ 分析］ 幂级数展开有直接法与间接法 ， 一般考察间接法展开 ， 即通过适当的恒等变形、 求导
或积分等， 转化为可利用 已知幂级数展开的情形・ 本题可先求导 ， 再利用ｒ
＋… 即可 ， 然后取 为某特殊值 ， 得所求级数 的和．
幂级数与函数
x [3,3).
例 2 求 nx
n 1
n 1
的收敛域与和函数, 并求
n
n 1
n 1 2
.
解
an1 n1 (1) lim lim 1, R 1. n an n n
当x 1时, 原幂级数成为 n, 发散;
n( n 1) 例 4 求 的和. n 2 n 1
方法: 通过恒等变形或遂项求导或遂项求积把原级 数化为可求和的级数(等比级数).
x x2 x3 xn 例1 求 的和函数. 2 3 n 1 3 2 3 3 3 n 3 an1 n3 n 1 解 lim lim , R 3. n 1 n an n ( n 1) 3 3 1 当x 3时, 原幂级数成为 , 发散; n 1 n ( 1) n 当x 3时, 原幂级数成为 , 收敛. n1 n 收敛域为[3, 3).
1 1 1 1 1 例4 讨论级数 1 的敛散性 . 3 4 5 6 2 如果收敛，说明是条件收敛还是绝对收敛 .
2. 求幂级数的收敛半径与收敛域
3. 求幂级数的和函数 4. 求数项级数的和
例1 判断级数敛散性 :
n 1( n
n
n
1 n
1 n ) n
;
ln( n 2) 例2 判断级数敛散性 : (a 0). 1 n 1 ( a ) n n
( 1)n 例3 判断级数 是否收敛？如果收敛， n 1n ln n 是条件收敛还是绝对收敛？
( 1)n 是交错 级数, 由莱布尼茨定理： n1 n ln n 1 1 lim lim n 0, ln n n n ln n n 1 n
专题17 级数求和
⎝ n=0
⎠ ⎝ n=0
⎠
=
⎜⎜⎝⎛
x2 1− x
⎟⎟⎠⎞″
+
⎜⎛ ⎝
1
x −
x
⎟⎞′ ⎠
=
⎜⎛ ⎝
−
(
x
+
1)
+
1
1 −
x
⎟⎞″ ⎠
+
⎜⎛ ⎝
−1
+
1
1 −
x
⎟⎞′ ⎠
= 3−x (1 − x)3
x ∈ (−1,1).
∑∞
【例 4】求幂级数
xn 的收敛域及和函数.
n=1 n(n +1)
【解】 易求得该幂级数收敛域为[−1,1] .
x)
∫ ∫ ∫ S(x) =
x S′(t)dt =
x
ln(1+ t)dt −
x
ln(1− t)dt
0
0
0
= (1+ x) ln(1+ x) + (1− x)ln(1− x)
又 S(1) = lim S(x) = 2ln 2, S(−1) = lim S(x) = 2ln 2,
x→1−
x →−1+
所以
∑∞
令 S(x) =
xn
n=1 n(n + 1)
当 0 < x ≤ 1时，
x ∈[−1,1] . 当 x = 0 时， S(x) = 0 .
∑ ∑ ∑ ∑ ∞
S(x) =
xn
= ∞ x n − ∞ x n = − ln(1 − x) − 1 ∞ x n+1
n=1 n(n + 1) n=1 n n=1 n + 1
求幂级数的和函数步骤
一、函数项级数的基本概念与收敛域的求解方法1、函数项级数相关的基本概念设函数u n(x)在集合D⊂R上有定义，称为D上的函数序列(或函数列). 称为定义在集合D上的函数项级数.如果对于任意一点x∈I⊂D，均存在u(x)，使得则称函数序列{ u n(x)}在点x处收敛，u(x)称为函数序列{ u n(x)}的极限函数，I称为函数序列{ u n(x)}收敛域.如果对于任一点x∈I⊂D，均存在S(x)，使得则称x为函数项级数的收敛点，I称为该函数项级数的收敛域，并且称函数S(x)为I上的函数项级数的和函数.若用S n(x)表示函数项级数前n项的和，即则称S n(x)为函数项级数前n项部分和函数. 并称为收敛域上的余项函数，并且有如果对于任一点x∈I⊂D，级数发散，则为函数项级数的发散点，I称为该函数项级数的发散域.2、函数项级数收敛域求解思路与步骤因为函数项级数的收敛域其实就是由所有收敛点构成的，而对于每个收敛点对应的函数项级数的收敛性的判定，其实对应的就发散区间+发散的端点=发散域 .二、幂级数的基本概念与收敛域的求解方法1、幂级数相关的基本概念幂级数是形式最简单，应用最广泛的一类函数项级数，是各项由幂函数组成的函数项级数. 幂级数的一般形式为特别令，则有其中a0,a1,…,a k,…都是实常数，称之为幂级数的系数．通过简单的变换x-x0=t，可以将幂级数的一般形式(1)转换为形式(2)．因此只需要讨论幂级数(2)的形式. 对于该级数也称为麦克劳林级数.2、求一般幂级数收敛域的基本步骤幂级数作为一类特殊的函数项级数，也适用于函数项级数收敛域的计算方法与步骤.一般的幂级数的收敛域的计算步骤为：第一步：借助于正项级数的比值审敛法或根值审敛法求收敛区间，即由令ρ(x)<1，解不等式求得幂级数的收敛区间。
第二步：借助于常值级数收敛性的判定方法判定幂级数在区间端点对应的常值级数的收敛性。
第三步：收敛区间加上收敛的端点构成幂级数的收敛域：收敛区间+收敛的端点=收敛域3、阿贝尔定理基于常值级数收敛性判定的比较审敛法，容易得到如下结论：定理1：(1) 若幂级数(1)在点x=a(a≠0)处收敛，则它对于满足不等式|x|<|a|的一切x都绝对收敛；(2) 若幂级数(1)在点x=a处发散，则它对于满足不等式|x|>|a|的一切x都发散．定理2：如果幂级数(1)既有不等于零的收敛点，又有发散点，则必存在唯一的正数R(0<R<+∞)，使得当x<|R|时，该幂级数绝对收敛；当x>|R|时，该幂级数发散．并称正数R称为幂级数(1)的收敛半径，而以原点为中心的对称区间(-R,R)称为幂级数(1)的收敛区间．通过判定收敛区间端点x=±R处的敛散性，容易计算得到幂级数(1)收敛域与发散域.规定：当幂级数(1)只在x=0处收敛时，规定其收敛半径R=0；当它在整个数轴上都收敛时，规定其收敛半径R=+∞．4、求标准幂级数收敛域的一般步骤标准幂级数是指幂级数项的指数是连续增长的正整数的级数，即展开后形式的级数，对于这样的级数由如下直接的收敛半径、收敛区间和收敛域计算方法与步骤：(1) 收敛半径：(2) 收敛区间即为(-R,R).(3) 判断端点x=±R的收敛性，收敛区间+收敛的端点=收敛域，发散区间+发散的端点=发散域 .【注】该步骤不适用于缺项的幂级数，如只有奇次幂或只有偶次幂的幂级数. 它们收敛域的计算适用于一般幂级数收敛域的计算方法与步骤，即函数项级数的判定方法.三、幂级数的运算性质1、幂级数的加减运算性质2、幂级数逐项可导，逐项可积性质（幂级数的和函数的连续性）幂级数的和函数S(x)在其收敛域上连续．反复应用上述结论可得：幂级数的和函数S(x)在其收敛区间(-R,R)内具有任意阶导数．3、三个最基本函数的麦克劳林级数及其收敛域四、求幂级数和函数的基本步骤第一步：求收敛域.【注1】这一步也可以放在第二步后.第二步：通过换元，将幂级数转换为具有麦克劳林级数结构的级数表达式，即第三步：借助收敛域内幂级数的加减运算、逐项求导、逐项积分的解析性质，通过设幂级数和函数，对其两端分别进行求导、或积分运算将其转换为已知和函数的幂级数表达式。
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求幂级数的和函数
求幂级数的和函数
幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0
求幂级数的和函数的方法，通常是：
1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2113
2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定
5261出错。
扩展资料
幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
柯西准则
级数的收敛问题是级数理论的基本问题。
从级数的收敛概念可知，级数的敛散性回是借助于其部分和数列Sm的敛散性来定义的。
因此可从数列收敛的柯西准则得出级数收敛的柯西准则：∑un收敛<=>任意给定正数ε，必有自然数N，当n>N，对一切自然数p，有|答u[n+1]+u[n+2]+…+u[n+p]|<ε，即充分靠后的任意一段和的绝对值可任意小。