2020高考理科数学模拟试题三

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2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷（理科）含解析

2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1.已知函数/(x)-2x,集合A=(x|/-(x)WO},B={x\f(x)W0},则AI~IB=()A.[-1,0]B.[-1,2]C.[0,1]D.(-8,1]U[2,+8)2.设7是虚数单位，若复数z=l+i,则2-+z2= Z3.4. 5. 6.A.1+i B.1-i C.-1-i D.一1+i命题w Vxe(0,1),e~x>lnx"的否定是(A.Vxe(o,1),e~x^：lnxB.3xo£(0,1),e~x o>ZwxoC.3xoG(0,1),e~x o<ZnxoD.3xoG(0,1),e-XoWlnx。

已知援i=J§，应=2,若如G-Q,则向量二+E在向量£方向的投影为（）在三角形ABC中,A.充分不必要C.充要R7木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（B-2「1C--2"sinA>sinB"是"tanA>tanB"的()条件B.必要不充分D.既不充分也不必要阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（I弓始］B.6A.111222~3A1.2())c.2-4D)7.)B. 48tt +9-、v 危A. 2471+9^/38.函数 j=cos2x - y/^inlx (xG[O, -^-])兀B. [0,—]oC. 48tt +18-/3的单调递增区间是(D. 144tt +18-/3兀A - T ]C [匹兰• 6，2x-4y+4<09.在平面直角坐标系中，若不等式组2x+y-10<0所表示的平面区域内存在点Go, jo),)c 「兀兀D.[—,—3 25x-2y+2》0使不等式xo+myo+lW 0成立，则实数钢的取值范围为()A. (— °°, — —]B. (- °°, -C. [4, +°°)D. (一 8, — 4]10. 已知函数/ (x) =e x ~1+x - 2的零点为初，若存在实数〃使x 2 - ax - a+3 = 0且\m - n\W1,则实数0的取值范围是()A. [2, 4]B. [2,方C, [?, 3]D. [2, 3]O O2 211. 已知双曲线E: %一土=1(0>°，力>°)满足以下条件：①双曲线E 的右焦点与抛物线y 2=4x 的焦点H 重合；②双曲线E 与过点P (4, 2)的幕函数f (x)=尸的图象交于点0 且该暴函数在点。

2020年高考模拟内蒙古高考数学模拟试卷(理科)(3月份) 含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．23．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．164．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y ＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．设复数z的共轭复数为，i为虚数单位，若z＝1﹣i，则（3+2）i＝（）A．﹣2﹣5i B．﹣2+5i C．2+5i D．2﹣5i【分析】把z＝1﹣i代入（3+2）i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由z＝1﹣i，得（3+2）i＝（3+2+2i）i＝（5+2i）i＝﹣2+5i．故选：B．2．已知集合M＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，若M∩N＝{x|0＜x＜1}，则m的值为（）A．1B．﹣1C．±1D．2【分析】可以求出M＝{x|﹣1＜x＜3}，从而可以根据M∩N＝{x|0＜x＜1}即可得出N＝{x|0＜x＜m}，从而得出m＝1．解：∵M＝{x|﹣1＜x＜3}，N＝{x|x2﹣mx＜0}，M∩N＝{x|0＜x＜1}，∴N＝{x|0＜x＜m}，∴m＝1．故选：A．3．已知等差数列{a n}中，S n为其前n项的和，S4＝24，S9＝99，则a7＝（）A．13B．14C．15D．16【分析】由已知结合等差数列的求和公式可求d，a1，然后结合等差数列的通项公式即可求解．解：因为S4＝24，S9＝99，，解可得，a1＝3，d＝2则a7＝a1+6d＝15．故选：C．4．如图所示，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角为θ，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，则飞镖落在小正方形内的概率是（）A．1﹣sin 2θB．C．1﹣sinθD．【分析】分别求出小正方形的面积及大正方形的面积，然后根据几何概率的求解公式即可．解：由题意可知，小正方形的边长为2（cosθ﹣sinθ），面积S1＝4（cosθ﹣sinθ）2＝4（1﹣sin2θ），大正方形的面积S＝2×2＝4，故镖落在小正方形内的概率P＝（1﹣sin2θ）．故选：A．5．函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】利用函数的奇偶性排除选项，通过函数的导数求解函数的极值点的个数，求出f（π）的值，推出结果即可．解：函数f（x）＝ln|x|+|sin x|（﹣π≤x≤π且x≠0）是偶函数排除A．当x＞0时，f（x）＝lnx+sin x，可得：f′（x）＝+cos x，令+cos x＝0，作出y＝与y＝﹣cos x图象如图：可知两个函数有一个交点，就是函数有一个极值点．f（π）＝lnπ＞1，故选：B．6．从6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为（）A．45种B．120 种C．30种D．63种【分析】6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．利用组合数的意义、乘法原理即可得出．解：6名女生3名男生中，选出3名学生组成课外小组，根据分层抽样要求，应选出2名女生，1名男生．∴不同的抽取方法数＝•＝45．故选：A．7．已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球表面积（）A．B．2C．4D．12π【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步利用几何体的表面积公式的应用求出结果．解：根据几何体的三视图，把几何体转换为：所以：该几何体的球心为O，R＝，．故选：D．8．设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，A在x轴上方，且满足|AF1|＝3|F1B|，，则A点位于（）A．第一象限B．第二象限C．y轴上D．都有可能【分析】设|BF2|＝k，题意开发其他的焦半径的值，再由余弦定理可得a与k的关系，进而可得|AF2|＝3k＝|AF1|，可得A在y轴上．解：设|BF1|＝k，则|AF1|＝3k由椭圆的定义可得：|AF2|＝2a﹣3k，|BF2|＝2a﹣k，|AB|＝4k，在△ABF2中，由余弦定理可得：|AB|2＝|AF2|2+|BF﹣2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B，即16k2＝（2a﹣3k）2+（2a﹣k）2﹣2（2a﹣3k）（2a﹣k），整理可得a＝3k，所以|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k，F1A⊥F2A，即△AF1F2为等腰直角三角形，所以A在y轴上，故选：C．9．已知函数，函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，从小到大依次为x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最大值为（）A．1+e B．4+e C．1﹣e D．1+2e【分析】作出函数f（x）的图象，结合题意，利用根与系数的关系利用函数的单调性得解．解：若函数y＝f（x）﹣a有四个不同的零点，则有a∈（1，e]，当x＞0时，f（x）＝x+﹣3≥2﹣3＝1，可得f（x）在x＞2递增，在0＜x＜2处递减，由f（x）＝，x≤0，x＜﹣1时，f（x）递减；﹣1＜x＜0时，f（x）递增，可得x＝﹣1处取得极小值1，作出f（x）的图象，以及直线y＝a，可得＝＝＝，即有x1+1+x2+1＝0，可得x1+x2＝﹣2，x3，x4是方程﹣3＝a的两根，即x2﹣（3+a）x+4＝0的两个根，∴x3+x4＝3+a，则x1+x2+x3+x4＝﹣2+3+a＝a+1≤e+1，故最大值为e+1，故选：A．10．O为△ABC内一点，且，若B，O，D三点共线，则t的值为（）A．B．C．D．【分析】根据即可得出，而根据B，O，D三点共线，可设，从而可得出，这样根据平面向量基本定理即可得出，解出t即可．解：由得，，∴，∵B，O，D三点共线，∴可设，且，∴，∴，解得．故选：D．11．已知F1、F2分别是双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过点F2与双曲线的一条渐近线平行的直线交叉双曲线另一条渐近线于点M，若点M在以线段F1F2为直径的圆内，则双曲线离心的取值范围是（）A．（，+∞）B．（2，+∞）C．（，2）D．（1，2）【分析】确定M，F1，F2的坐标，进而由•＜0，结合a、b、c的关系可得关于ac的不等式，利用离心率的定义可得范围．解：设直线方程为y＝（x﹣c），与双曲线（a＞0，b＞0）联立，可得交点坐标为P（，﹣）∵F1（﹣c，0），F2（c，0），∴＝（﹣，），＝（，），由题意可得•＜0，即＜0，化简可得b2＜3a2，即c2﹣a2＜3a2，故可得c2＜4a2，c＜2a，可得e＝＜2，∵e＞1，∴1＜e＜2故选：D．12．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x），且当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0．则（）A．B．9f（3）＞f（1）C．D．【分析】构造函数g（x）＝x2f（x），结合已知条件及导数与单调性关系可判断g（x）的单调性及奇偶性，从而可求解．解：令g（x）＝x2f（x），当x＞0时，xf′（x）+2f（x）＜0，则g′（x）＝2xf（x）+x2f′（x）＝x[2f（x）+f′（x）]＜0即g（x）在（0，+∞）上单调递减，因为f（﹣x）＝f（x），所以g（﹣x）＝（﹣x）2f（﹣x）＝x2f（x）＝g（x）即g（x）为偶函数，根据偶函数的对称性可知，g（x）在（﹣∞，0）上单调递增，g（e）＞g（3），所以＝，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．设x，y满足，则z＝2x+y的最小值为﹣6．【分析】由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．解：由x，y满足作出可行域如图，化目标函数z＝2x+y为y＝﹣2x+z，由图可知，当直线y＝﹣2x+z过B（﹣2，﹣2）时直线在y轴上的截距最小，z最小z＝﹣2×2﹣2＝﹣6．故答案为：﹣6．14．在等比数列{a n}中，已知a2+a4＝8，a6+a8＝4，则a10+a12+a14+a16＝3．【分析】由已知结合等比数列的通项公式可求公比q，然后结合等比数列的性质即可求解．解：设等比数列的公比为q，则，解可得q4＝，所以a10+a12+a14+a16＝+（a6+a8）q8＝8×＝3．故答案为：3．15．“砥砺奋进的五年”，首都经济社会发展取得新成就．自2012年以来北京城乡居民收入稳步增长．随着扩大内需，促进消费等政策的出台，居民消费支出全面增长，消费结构持续优化升级，城乡居民人均可支配收人快速增长，人民生活品质不断提升．右图是北京市2012﹣2016年城乡居民人均可支配收人实际增速趋势图（例如2012年，北京城镇居民收人实际增速为7.3%，农村居民收人实际增速为8.2%）．从2012﹣2016五年中任选两年，则至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率为．【分析】设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，利用列举法能出至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率．解：设至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超7%为事件B，这五年中任选两年，有（2012，2013），（2012，2014），（2012，2015），（2012，2016），（2013，2014），（2013，2015），（2013，2016），（2014，2015），（2014，2016），（2015，2016）共10种情况，其中至少有一年农村和城镇居民实际收入增速均超过7%的为前9种情况，所以至少有一年农村和城镇居民收入实际增速均超过7%的概率P（B）＝，故答案为：．16．在棱长为a的正方体内有一个和各面都相切的球，过正方体中两条互为异面直线的棱的中点作直线，则该直线被球面截在球内的弦长为．【分析】由题意画出图形，利用直线与圆的位置关系及垂径定理求解．解：如图，M，N是正方体中两条互为异面直线的棱的中点，直线MN与球O的表面交于E，F两点，连接MO，并延长交于P，则P为对棱的中点，取EF的中点G，则OG∥PN，且OG＝＝．在Rt△OGE中，OE＝，则EF＝2EG＝2．故答案为：．三、解答题（共5小题，满分60分）17．已知，2sin x），＝（sin，，函数．（1）求函数f（x）的零点；（2）已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且f（A）＝2，△ABC 的外接圆半径为，求△ABC周长的最大值．【分析】（1）根据向量数量积的定义求出f（x），结合零点的定义进行求解即可．（2）根据条件先求出A和a的大小，结合余弦定理，以及基本不等式的性质进行转化求解即可．解：（1）f（x）＝＝2cos x sin（x﹣）+2sin x cos（x﹣）＝2sin（2x﹣），由f（x）＝0得2x﹣＝kπ，k∈Z，得x＝+，即函数的零点为x＝+，k∈Z．（2）∵f（A）＝2，∴f（A）＝2sin（2A﹣）＝2，得sin（2A﹣）＝1，即2A﹣＝2kπ+，即A＝kπ+，在三角形中，当k＝0时，A＝，满足条件，∵△ABC的外接圆半径为，∴＝2，即a＝2×＝3，由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc≥＝（b+c）2﹣（b+c）2＝（b+c）2，即（b+c）2≤4×9＝36，即b+c≤6当且仅当b＝c时取等号，则a+b+c≤9，即三角形周长的最大值为9．18．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，EDBF是矩形，DE ＝a，平面EDBF⊥平面ABCD．（1）若a＝1，求证：AE⊥CF；（2）若二面角A﹣EF﹣B的余弦值为，求a的值．【分析】（1）根据勾股定理判断AD⊥BD，AE⊥EF，AE⊥EC，得到AE⊥平面EFC，最后得出结论；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF 和平面DEFB的法向量，利用夹角公式列方程，求出a．解：（1）连接AC，在三角形ABD中AB＝2，AD＝1，∠BAD＝60°，由余弦定理得BD＝，AD2+BD2＝AB2，故AD⊥BD，EDBF是矩形，DE＝1，平面EDBF⊥平面ABCD，故BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF＝，AE2+EF2＝AF2，故AE⊥EF，由AC＝，EC＝，AE＝，得AE2+EC2＝AC2，故AE⊥EC，EC∩EF＝E，所以AE⊥平面EFC，FC⊂平面EFC，所以AE⊥FC；（2）以D为原点，DA，DB，DE分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A（1，0，0），E（0，0，a），F（0，），，设平面AEF的法向量为，由，得，平面DEFB的法向量为，由cos＜＞＝，得a＝．19．设动圆P（圆心为P）经过定点（0，2），被x轴截得的弦长为4，P的轨迹为曲线E．（1）求曲线E的方程；（2）直线l：y＝x+m（m∈R）与曲线E交于不同的两点A、B，线段AB的垂直平分线与y轴交于点M，若tan∠AMB＝﹣2，求m的值．【分析】（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，根据题意列出方程组化简即可得到曲线E的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立直线l与抛物线方程，利用韦达定理求出C的坐标为（2，4+m），利用弦长公式求出|AB|＝4，所以|AC|＝2，又y0＝6+m，所以|MC|＝，再利用二倍角的正切公式求出tan，所以tan∠AMC＝＝＝，即可解出m的值．解：（1）设动圆P的圆心为（x，y），半径为r，被x轴截得的弦长为|AB|，依题意得：，化简整理得：x2＝4y，∴曲线E的方程为：x2＝4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），线段AB的中点坐标C（x3，y3），M（0，y0），联立方程，整理得：，∴△＝16×2+4×4m＝32+16m＞0，∴m＞﹣2，∴，x1x2＝﹣4m，，∴，y3＝4+m，∴线段AB的中点C的坐标为（2，4+m），又|AB|＝＝＝4，∴|AC|＝2，又AB的垂直平分线方程为：y﹣（4+m）＝﹣，∴y0＝6+m，∴|MC|＝，∵CM垂直平分AB，∴∠AMB＝2∠AMC，又tan∠AMB＝＝﹣2，解得tan或﹣（舍去），∴在Rt△AMC中，tan∠AMC＝＝＝，∴m＝0，满足m＞﹣2，∴m的值为0．20．某种产品的质量以其质量指标值衡量，并依据质量指标值划分等级如表：M≥205质量指标值m m＜185185≤m＜205等级三等品二等品一等品从某企业生产的这种产品中抽取200件，检测后得到如右的频率分布直方图：（1）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定？（2）在样本中，按产品等级用分层抽样的方法抽取8件，再从这8件产品中随机抽取4件，求抽取的4件产品中，一、二、三等品都有的概率；（3）该企业为提高产品质量，开展了“质量提升月”活动，活动后再抽样检测，产品质量指标值X近似服从正态分布N（216，139），则“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了多少？【分析】（1）根据抽样调查数据，求得一等品所占比例的估计值为0.375，由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率，求得在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，然后利用古典概型概率计算公式求解；（3）求出“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值，再由“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），得质量指标的均值约为216，作差得答案．解：（1）根据抽样调查数据，一等品所占比例的估计值为0.260+0.090+0.025＝0.375．由于该估计值小于0.5，故不能认为该企业生产的这种产品符合“一等品至少要占全部产品50%”的规定；（2）由直方图知，一、二、三等品的频率分别为：0.375，0.5，0.125．故在样本中用分层抽样的方法抽取的8件产品中，一等品3件，二等品4件，三等品1件，再从这8件产品中抽取4件，一、二、三等品都有的情形由2种．①一等品2件，二等品1件，三等品1件．②一等品1件，二等品2件，三等品1件．P＝；（3）“质量提升月”活动前，该企业这种产品的质量指标值的均值约为：170×0.025+180×0.1+190×0.2+200×0.3+210×0.26+220×0.09+230×0.025＝200.4．“质量提升月”活动后，产品质量指标值X近似满足X～N（216，139），即质量指标的均值约为216．所以，“质量提升月”活动后的质量指标值的均值比活动前大约提升了15.6．21．已知函数f（x）＝x﹣2+ae x（e为自然对数的底数）（1）讨论f（x）的单调性；（2）设x1，x2是f（x）的两个零点，证明：x1+x2＞6．【分析】（1）对函数求导，然后结合导数与单调性的关系对a进行分类讨论确定导数符号，即可求解函数单调性；（2）由零点存在的条件，结合函数的性质，把所要证明的不等式转换为函数的单调性与大小关系的比较．解：（1）f′（x）＝1+ae x，当a≥0时，f′（x）＞0，则f（x）在R上单调递增，当a＜0时，令f′（x）＝0可得x＝ln（﹣），故函数的单调递增区间为（﹣），单调递减区间（ln（﹣），+∞），（2）证明：由f（x）＝0可得a＝，设g（x）＝，则，当x＜3时，g′（x）＜0，函数单调递减，当x＞3时，g′（x）＞0，函数单调递增，当x＝3时，g（x）取得最小值g（3）＝﹣，当x＞时，g（x）＜0，当x＜2时，g（x）＞0，不妨设x1＜x2，则x1∈（2，3），x2∈（3，+∞），所以6﹣x1＞3，且g（x）在（3，+∞）上单调递增，要证x1+x2＞6，只要证x2＞6﹣x1＞3，故只要证g（x2）＞g（6﹣x1），因为g（x1）＝g（x2）＝a，只要证g（x1））＞g（6﹣x1），即，即证（x1﹣4）+x﹣2＜0，令h（x）＝e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2，2＜x＜3，则h′（x）＝e2x﹣6（2x﹣7）+1，令m（x）＝h′（x），则m′（x）＝4e2x﹣6（x﹣3）＜0，所以m（x）在（2，3）上单调及，h′（x）＞h′（3）＝0，故h（x）在（2，3）上单调递增，h（x）＜h（3）＝0，即e2x﹣6（x﹣4）+x﹣2＜0，从而：x1+x2＞6．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.解答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为；在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）若a＝1，求C与l交点的直角坐标；（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a．【分析】（1）求出曲线C的普通方程和当a＝1时，直线l的普通方程，列方程组能求出C与l的交点的直角坐标．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，由此利用C上的点到l的距离的最大值为，能求出a．解：（1）∵曲线C的极坐标方程为，∴曲线C的普通方程为，∵直线l的参数方程为，∴当a＝1时，直线l的普通方程为x+y﹣2＝0．由解得或从而C与l的交点的直角坐标是．（2）直线l的普通方程是x+y﹣1﹣a＝0，故C上的点（2cos θ，sin θ）到l的距离为，当a≥﹣1时，d的最大值为．由题设得，所以当a＜﹣1时，d的最大值为.由题设得，所以．综上，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x﹣a|．（1）当a＝﹣2时，求不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）若a≤0，∃x∈（0，+∞）使f（x）≤a2﹣3成立，求a的取值范围．【分析】（1）当a＝﹣2时，利用绝对值不等式得f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）|＝3，即f（x）≤3的解集为R；再由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解之，即可得到不等式0＜f（x）≤3的解集；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，可求得f（x）＝|x﹣1|﹣x+a的最小值为f（1）＝a﹣1，解不等式a2﹣3≥a﹣1即可得到答案．解：（1）当a＝﹣2时，因为f（x）＝|x﹣1|﹣|x+2|≤|（x﹣1）﹣（x+2）＝3，|所以f（x）≤3的解集为R；由f（x）＞0，得|x﹣1|＞|x+2|，解得x＜﹣，故不等式0＜f（x）≤3的解集为（﹣∞，﹣）；（2）当a≤0，x∈（0，+∞）时，f（x）＝|x﹣1|﹣x+a＝，则f（x）min＝f（1）＝a﹣1，故a2﹣3≥a﹣1，解得：a≥2或a≤﹣1，又a≤0，所以a≤﹣1．所以a的取值范围是（﹣∞，﹣1]．。

2020年高考模拟重庆市直属校(3月)高考(理科)数学模拟测试卷含解析

2020年高考模拟高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A．2B．C．D．3．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A．15B．16C．17D．184．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣8B．﹣6C．1D．35．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A．B．C．D．6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝（）A．B．C．D．7．在直角坐标系xOy中，半径为lm的⊙C在t＝0时圆心C与原点O重合，⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y关于时间t（0≤t≤l，单位：s）的函数的图象大致为（）A．B．C．D．8．的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（）A．40B．30C．20D．109．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1．若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1＝（）A．B．C．D．11．设双曲线）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2＝a2与直线bx﹣ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．312．函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪{1}D．（﹣1，0）∪{1}二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且，则＝．14．已知函数f（x）＝3|x﹣a|（a∈R）满足f（x）＝f（4﹣x），则实数a的值为．15．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣2）S n﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，则数列的前2020项和T2020＝．16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝4，且BC边上的高为，求△ABC的周长．18．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．19．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得＝x i＝9.96，s＝＝≈0.19其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C 交于A，B两点．△ABF2的周长为，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：（Ⅱ）设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x﹣1，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由．请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围．参考答案一、选择题：（共12小题，每小题5分，共60分）1．设集合A＝{x|x2＜9}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣2，﹣1，0，1，2}D．{﹣2，﹣1，0}【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣3＜x＜3}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，∴A∩B＝{﹣2，﹣1，0，1，2}．故选：C．2．设（1+i）（a+bi）＝2，其中a，b是实数，i为虚数单位，则|3a+bi|＝（）A．2B．C．D．【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：由题意可知：，∴a＝1，b＝﹣1，∴3a+bi＝3﹣i，∴|3a+bi|＝|3﹣i|＝，故选：D．3．已知数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，则log2a9＝（）A．15B．16C．17D．18【分析】由等比数列的能项公式得2q2＝2×2q+16，且q＞0，解得q＝4，由此能求出log2a9的值．解：∵数列{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16，∴2q2＝2×2q+16，且q＞0，解得q＝4，∴log2a9＝＝17．故选：C．4．若实数x，y满足约束条件，则z＝x+y的最小值为（）A．﹣8B．﹣6C．1D．3【分析】由题意作平面区域，），从而求最小值解：由题意作平面区域如下，由解得，A（﹣4，﹣2），z＝x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值．故z＝x+y的最小值是﹣6，故选：B．5．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝＝10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m＝＝7，由此能求出所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率．解：我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》有着丰富多彩的内容，这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．现拟从这5部专著中选择2部作为学生课外兴趣拓展参考书目，基本事件总数n＝＝10，所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著包含的基本事件个数m＝＝7，则所选2部专著中至少有一部不是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为p＝＝．故选：B．6．如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，则＝（）A．B．C．D．【分析】推导出EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，由G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，得AF∥BG，从而＝＝．解：∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，ABCD为平行四边形，E，F分别在线段DB，DD1上，且，∴EF∥BD1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，∵G在CC1上且平面AEF∥平面BD1G，∴AF∥BG，∴＝＝．故选：B．7．在直角坐标系xOy中，半径为lm的⊙C在t＝0时圆心C与原点O重合，⊙C沿x轴以1m/s的速度匀速向右移动，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x，令y＝cos x，则y关于时间t（0≤t≤l，单位：s）的函数的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由特殊值法分析：令t＝0、、1，求出对应的y的值，据此分析即可得答案．解：根据题意，⊙C的半径为1，则其周长l＝2π，当t＝0时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝π，此时y＝cosπ＝﹣1；当t＝时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝，此时y＝cos＝﹣＜0；当t＝1时，⊙C被y轴所截的左方圆弧长记为x＝2π，此时y＝cos2π＝1；据此排除BCD；故选：A．8．的展开式中，各二项式系数和为32，各项系数和为243，则展开式中x3的系数为（）A．40B．30C．20D．10【分析】由题意利用二项式系数的性质求出n、m的值，再利用二项展开式的通项公式，求出展开式中x3的系数．解：∵的展开式中，各二项式系数和为2n＝32，∴n＝5．再令x＝1，可得各项系数和为（m+1）5＝243＝35，∴m＝2，则展开式中的通项公式为T r+1＝•m5﹣r•，令5﹣＝3，可得r＝4，故展开式中x3的系数为•2＝10，故选：D．9．设函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，如果，x1≠x2，且f（x1）＝f（x2），则f（x1+x2）＝（）A．B．C．D．【分析】由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得f（x）的解析式，再利用余弦函数的图象的对称性求得x1+x2的值，可得f（x1+x2）的值．解：根据函数f（x）＝cos（ωx+φ）（x∈R）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象，可得＝﹣，∴ω＝2．再根据五点法作图可得2•+φ＝﹣，∴φ＝﹣，∴f（x）＝cos（2x﹣）．如果，x1≠x2，则2x1﹣∈（﹣，），2x2﹣∈（﹣，），∵f（x1）＝f（x2），∴2x1﹣+（2x2﹣）＝0，∴x1+x2＝，则f（x1+x2）＝cos（﹣）＝cos＝﹣cos＝﹣，故选：B．10．已知三棱锥P﹣ABC的四个顶点在球O的球面上，球O的半径为4，△ABC是边长为6的等边三角形，记△ABC的外心为O1．若三棱锥P﹣ABC的体积为则PO1＝（）A．B．C．D．【分析】由题意可得：S△ABC＝＝9，O1A＝2，O1O＝2．设点P到平面BAC的高为h，由＝×h×9，解得h．可得点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，即可得出．解：由题意可得：S△ABC＝＝9，O1A＝2，O1O＝2．设点P到平面BAC的高为h，由＝×h×9，解得h＝4．∴点P所在小圆⊙O2（⊙O1与⊙O2所在平面平行）上运动，OO2＝2．∴O2P＝2．∴PO1＝＝2．故选：D．11．设双曲线）的左顶点为A，右焦点为F（c，0），若圆A：（x+a）2+y2＝a2与直线bx﹣ay＝0交于坐标原点O及另一点E，且存在以O为圆心的圆与线段EF相切，切点为EF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】联立．⇒E（﹣，﹣），由OE＝OF，e＝．解：联立．⇒E（﹣，﹣），∵OE＝OF，∴，∴4a4＝c4⇒e＝．故选：B．12．函数f（x）＝，若关于x的方程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根，则a的取值范围是（）A．B．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C．（﹣∞，﹣1）∪{1}D．（﹣1，0）∪{1}【分析】利用导数先判断出函数f（x）的图象，条件可转化为关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），分情况讨论即可解：当x≥0时，f′（x）e1﹣x（1﹣x），所以当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，且f（0）＝0，当x→+∞时，f（x）→0，当x＜0时，f（x）单调递减，所以f（x）的图象如图所示：令t＝f（x），则由上图可知当t＝0或1时，方程t＝f（x）有两个实根；当t∈（0，1）时，方程t＝f（x）有3个实数根；当t∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，方程t＝f（x）有一个实数根，所以关于x的方程程f2（x）﹣af（x）+a﹣a2＝0有四个不等的实数根等价于关于t的方程t2﹣at+a﹣a2＝0有两个实数根t1＝0，t2＝1或t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞），当t1＝0，t2＝1时，a＝1，当t1∈（0，1），t2∈（﹣∞，0）∪（1，+∞）时，（02﹣a×0+a﹣a2）（12﹣a×1+a﹣a2）＜0，解得﹣1＜a＜0，综上所述，a∈（﹣1，0）∪{1}．故选：D．二、填空题：（共4小题，每小题5分，共20分）13．已知向量与的夹角为120°，且，则＝﹣5．【分析】由题意可得向量的模长，再直接代入数量积可得．解：因为向量与的夹角为120°，且，所以：||＝＝；则＝××cos120°＝10×（﹣）＝﹣5；故答案为：﹣5．14．已知函数f（x）＝3|x﹣a|（a∈R）满足f（x）＝f（4﹣x），则实数a的值为2．【分析】结合指数函数的性质，建立指数方程进行求解即可．解：∵f（x）＝f（4﹣x），∴函数关于x＝2对称，即f（a）＝f（4﹣a），即3|a﹣a|＝3|4﹣a﹣a|，即30＝3|4﹣2a|即|4﹣2a|＝0，得2a﹣4＝0，得a＝2，故答案为：215．设各项均为正数的数列{a n}的前n项和S n满足S n2﹣（n2+n﹣2）S n﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，则数列的前2020项和T2020＝．【分析】本题先对题干中的等式进行因式分解，根据题意可得S n的表达式，然后根据公式a n＝可计算出数列{a n}的通项公式，即可计算出数列的通项公式，然后运用裂项相消法即可计算出前2020项和T2020的值．解：依题意，由S n2﹣（n2+n﹣2）S n﹣2（n2+n）＝0，n∈N*，可得[S n﹣（n2+n）]（S n+2）＝0．∵数列{a n}的各项均为正数，∴S n＞0．∴S n＝n2+n，n∈N*．当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝n2+n﹣[（n﹣1）2+（n﹣1）]＝2n．∴a n＝2n，n∈N*．∴＝＝（﹣）．∴T2020＝++…+＝（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）＝（1﹣+﹣+…+﹣）＝（1﹣）＝．故答案为：．16．设抛物线y2＝2x的焦点为F，准线为1，弦AB过点F且中点为M，过点F，M分别作AB的垂线交l于点P，Q，若|AF|＝3|BF|，则|FP|•|MQ|＝．【分析】作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于K．设BH＝m，则AF＝3m，可得∠HKB＝，FK＝2，QM＝MK•tan30°＝4m×tan30°．＝，即可求解．解：如图，作BF⊥l于F，作AE⊥l于E，令准线于x轴交点为S，AB交准线于K．设BH＝m，则AF＝3m，∵，∴BK＝2m则sin∠HKB＝，∴∠HKB＝30°．∵，∴，∴，∴FK＝2．∴．QM＝MK•tan30°＝4m×tan30°．＝则|FP|•|MQ|＝．故答案为：．三、解答题：（共70分）17．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足．（Ⅰ）求角B的大小；（Ⅱ）若a＝4，且BC边上的高为，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由正弦定理，两角和到正弦函数公式化简已知等式可得sin A cos B＝sin B sin A，结合sin A＞0，可得cos B＝sin B，结合范围B∈（0，π），可求B的值．（Ⅱ）由已知可求c的值，在△ABC中，由余弦定理可求b到值，即可得解△ABC的周长．解：（Ⅰ）∵．∴由正弦定理可得：sin C＝sin B（cos A+sin A），∵sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B，∴可得：sin A cos B＝sin B sin A，∵A∈（0，π），sin A＞0，∴cos B＝sin B，∵B∈（0，π），∴tan B＝，B＝．（Ⅱ）如图，AD＝，B＝，则c＝AB＝＝2，又a＝4，在△ABC中，由余弦定理b2＝a2+c2﹣2ac cos B＝4，可得b＝2，可得△ABC的周长为a+b+c＝6+2．18．如图，四边形ABCD为平行四边形，点E在AB上，AE＝2EB＝2，且DE⊥AB．以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点F的位置，且∠FEB＝60°．（Ⅰ）求证：平面BFC⊥平面BCDE；（Ⅱ）若直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，求二面角E﹣DF﹣C的正弦值．【分析】（Ⅰ）由DE⊥AB，得DE⊥EB，DE⊥EF，从而DE⊥平面BEF，进而DE⊥BF，FB⊥EB，BF⊥平面BCDE，由此能证明平面BFC⊥平面BCDE．（Ⅱ）以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣C的正弦值．解：（Ⅰ）证明：∵DE⊥AB，∴DE⊥EB，DE⊥EF，∴DE⊥平面BEF，∴DE⊥BF，∵AE＝2EB＝2，∴EF＝2，EB＝1，∵∠FEB＝60°，∴由余弦定理得BF＝＝，∴EF2＝EB2+BF2，∴FB⊥EB，由①②得BF⊥平面BCDE，∴平面BFC⊥平面BCDE．（Ⅱ）解：以B为原点，BA为x轴，在平面ABCD中过点B作AB的垂线为y轴，BF 为z轴，建立空间直角坐标系，设DE＝a，则D（1，a，0），F（0，0，），＝（﹣1，﹣a，），∵直线DF与平面BCDE所成角的正切值为，∴直线DF与平面BCDE所成角的正弦值为，平面BCDE的法向量＝（0，0，1），∴|cos＜＞|＝＝＝，解得a＝2，∴D（1，2，0），C（﹣2，2，0），∴＝（0，2，0），＝（﹣1，﹣2，），设平面EDF的法向量＝（x，y，z），则，取z＝1，得＝（），同理得平面DFC的一个法向量＝（0，，2），∴cos＜＞＝＝，∴二面角E﹣DF﹣C的正弦值为sin＜＞＝＝．19．为了保障某治疗新冠肺炎药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，武汉某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量（单位：mg）．根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的主要药理成分含量服从正态分布N（μ，σ2）．在一天内抽取的20件产品中，如果有一件出现了主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查．（Ⅰ）下面是检验员在2月24日抽取的20件药品的主要药理成分含量：9.7810.049.9210.1410.049.2210.139.919.959.969.8810.019.989.9510.0510.059.9610.12经计算得＝x i＝9.96，s＝＝≈0.19其中x i为抽取的第i件药品的主要药理成分含量，i＝1，2，…，20．用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查？（Ⅱ）假设生产状态正常，记X表示某天抽取的20件产品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之外的药品件数，求P（X＝1）及X的数学期望．附：若随机变量Z服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣3σ＜Z＜μ+3σ）≈0.9974，0.997419≈0.95．【分析】（I）由＝9.96，s＝0.19．可得：＝9.96，＝0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分（9.22）含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）＝（9.39，10.53）之外的药品，即可判断出结论．（II）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，可得X～B（20，0.0026），可得P（X＝1），及其E（X）．解：（I）由＝9.96，s＝0.19．可得：＝9.96，＝0.19，由样品数据看出有一样药品的主要药理成分（9.22）含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）＝（9.39，10.53）之外的药品，因此需对本次的生产过程进行检查．（II）抽取的一件药品中其主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.9974，而主要药理成分含量在（μ﹣3σ，μ+3σ）之内的概率为0.0026，故X～B（20，0.0026），∴P（X＝1）＝0.997419×0.0026≈0.0494．X的数学期望E（X）＝20×0.0026≈0.052．20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线与C 交于A，B两点．△ABF2的周长为，且椭圆的离心率为．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程：（Ⅱ）设点P为椭圆C的下顶点，直线PA，PB与y＝2分别交于点M，N，当|MN|最小时，求直线AB的方程．【分析】（Ⅰ）由题意可得4a＝4，结合离心率即可求出c，再利用b2＝a2﹣c2即可求出b2，从而求出椭圆C的方程；（Ⅱ）点P（0，﹣1），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，则可知m≠﹣1，与椭圆方程联立，利用韦达定理可求|MN|＝6，当m＝0时，|MN|＝6，当m≠0时利用基本不等式求得|MN|的最小值为6＜6，在m＝1处取得，所以当|MN|最小时，直线AB的方程为：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0．解：（Ⅰ）由题意可得：4a＝4，，∴a＝，c＝1，∴b2＝a2﹣c2＝1，∴椭圆C的方程为：；（Ⅱ）点P（0，﹣1），F1（﹣1，0），设A（x1，y1），B（x2，y2），显然直线AB与x轴不重合，设直线AB的方程为：x＝my﹣1，则可知m≠﹣1，联立方程，消去y得：（m2+2）y2﹣2my﹣1＝0，∴，，直线PA的方程为：（y1+1）x﹣x1y﹣x1＝0，可得，同理，|MN|＝||＝3||＝3＝3＝6，当m＝0时，|MN|＝6，当m≠0时，|MN|＝6，由于m+∈（﹣∞，﹣2）∪[2，+∞），则，此时|MN|的最小值为6＜6，在m＝1处取得，综上所述，当|MN|最小时，直线AB的方程为：x＝y﹣1，即x﹣y+1＝0．21．已知函数f（x）＝e ax﹣x﹣1，且f（x）≥0．（Ⅰ）求a；（Ⅱ）在函数f（x）的图象上取定两点A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））（x1＜x2），记直线AB的斜率为k，问：是否存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立？若存在，求出x0的值（用x1，x2表示）；若不存在，请说明理由．【分析】（I）结合已知先对函数求导，然后结合已知导数可求函数的单调性，进而可求函数的最小值，解不等式可求；（II）结合直线的斜率公式及函数的性质及零点判定定理即可求解．解：（1）若a≤0，则对一切x＞0，f（x）＝）＝e ax﹣x﹣1＜0，不符合题意，若a＞0，f′（x）＝ae ax﹣1，令f′（x）＝ae ax﹣1＝0可得x＝，当x＜时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当x＞时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，故当x＝﹣时，函数取得最小值f（﹣）＝，由题意可得，有≥0①，令g（t）＝t﹣tlnt﹣1，则g′（t）＝﹣lnt，当0＜t＜1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当t＞1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，故当t＝1时，g（t）取得最大值g（1）＝0，当且仅当＝1即a＝1时①成立，综上a＝1；（II）由题意可知，k＝＝﹣1，令t（x）＝f′（x）﹣k＝e x﹣，则可知y＝t（x）在[x1，x2]上单调递增，且t（x1）＝[﹣（x2﹣x1）﹣1]，t（x2）＝[e﹣（x1﹣x2）﹣1]，由（I）可知f（x）＝e x﹣x﹣1≥0，x＝0时取等号，∴﹣（x2﹣x1）﹣1≥0，e﹣（x1﹣x2）﹣1≥0，∴t（x1）＜0，t（x2）＞0，由零点判定定理可得，存在x0∈（x1，x2），使得t（x0）＝0且，综上可得，存在x0∈（x1，x2），使f'（x0）＝k成立请从下面所给的22、23两题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，直线l的参数方程为（t为参数），直线l与曲线C交于M，N两点．（Ⅰ）若点P的极坐标为（2，π），求|PM|•|PN|的值；（Ⅱ）求曲线C的内接矩形周长的最大值．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）曲线C的极坐标方程为ρ2（cos2θ+3sin2θ）＝12，转换为直角坐标方程为．点P的极坐标为（2，π），转换为直角坐标为（﹣2，0）由于点P（﹣2，0）在直线l 上，所以直线l的参数方程为（t为参数），转化为（t为参数），所以代入曲线的方程为，整理得，所以|PM|•|PN|＝|t1t2|＝4．（Ⅱ）不妨设Q（），（），所以该矩形的周长为4（）＝16sin（）．当时，矩形的周长的最大值为16．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝x|x﹣a|，a∈R．（Ⅰ）当f（2）+f（﹣2）＞4时，求a的取值范围；（Ⅱ）若a＞0，∀x，y∈（﹣∞，a]，不等式f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，求a的取值范围．【分析】（1）求得关于a的不等式，由绝对值的意义，去绝对值，解不等式，求并集即可；（2）原不等式等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，运用家的孩子不等式的性质和二次函数的最值求法，分别求得最值，解不等式可得所求范围．解：（1）f（2）+f（﹣2）＞4，可得2|2﹣a|﹣2|2+a|＞4，即|a﹣2|﹣|a+2|＞2，则或或，解得a≤﹣2或﹣2＜a＜﹣1或a∈∅，则a的范围是（﹣∞，﹣1）；（2）f（x）≤|y+3|+|y﹣a|恒成立，等价为f（x）max≤（|y+3|+|y﹣a|）min，其中当x，y∈（﹣∞，a]，|y+3|+|y﹣a|≥|y+3+a﹣y|＝|a+3|＝a+3，当且仅当﹣3≤y≤a取得等号，而f（x）＝﹣x（x﹣a）＝﹣（x﹣）2+≤，当且仅当x＝a时取得等号．所以≤a+3，解得0＜a≤6．。

2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)

2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。

2020年陕西省高考数学三模试卷(理科)(有答案解析)

2020年陕西省高考数学三模试卷（理科）题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知复数z满足（1-i）z=1+i，则复数z=（）A. 1+iB. 1-iC. iD. -i2.设集合A={x|-1≤x≤2，x∈N}，集合B={2，3}，则A∪B等于（）A. {-1，0，1，2，3}B. {0，1，2，3}C. {1，2，3}D. {2}3.若向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，则x=（）A. 1B. 2C. 3D. 44.已知tan（α+）=-2，则tan（）=（）A. B. C. -3 D. 35.我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，即杨辉三角，这是数学史上的一个伟大成就，在“杨辉三角”中，第n行的所有数字之和为2n-1，若去除所有为1的项，依次构成数列2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，…则此数列的前15项和为（）A. 110B. 114C. 124D. 1256.若正数m，n满足2m+n=1，则+的最小值为（）A. 3+2B. 3+C. 2+2D. 37.执行如图所示的程序框图，则输出S的值为ln5，则在判断框内应填（）A. i≤5？B. i≤4？C. i＜6？D. i＞5？8.已知在三棱锥P-ABC中，PA=PB=BC=1，AB=，AB⊥BC，平面PAB⊥平面ABC，若三棱锥的顶点在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.9.一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是（）A. B. C. D.10.函数y=-2sin x的图象大致是（）A. B.C. D.11.已知双曲线与抛物线y2＝8x有一个公共的焦点F，且两曲线的一个交点为P，若|PF|＝5，则双曲线的离心率为（）A. 2B. 2C.D.12.已知函数f（x）=ln x-ax2，若f（x）恰有两个不同的零点，则a的取值范围为（）A. （，+∞）B. [．+∞）C. （0，）D. （0，]二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设x，y满足约束条件，则z=x-2y的最小值是______．14.设S n为等比数列{a n}的前n项和，8a2-a5=0，则=______．15.（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为______．16.曲线y=2ln x在点（e2，4）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为______.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab．（Ⅰ）求角C的值；（Ⅱ）若c=2，且△ABC为锐角三角形，求a+b的取值范围．18.已知某种细菌的适宜生长温度为10℃-25℃，为了研究该种细菌的繁殖数量y（单位：个）随温度x（单位：℃）变化的规律，收集数据如下：温度x/℃12141618202224繁殖数量y/个2025332751112194对数据进行初步处理后，得到了一些统计量的值，如表所示：1866 3.8112 4.3142820.5其中k i=ln y i，=（Ⅰ）请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断y=bx+a与y=ce dx哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（Ⅱ）根据（1）的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程（结果精确到0.1）；（Ⅲ）当温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据（u i，v i）（i=1，2，3，…，n），其回归宜线v=βu+a的斜率和截距的最小二成估计分别为β=，，参考数据：e5.5≈245．19.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=2，∠ABC=∠DBC=120°，E，F分别为AC，DC的中点（Ⅰ）求证：EF⊥BC；（Ⅱ）求二面角E-BF-C的余弦值20.已知椭圆（a＞b＞0）的右焦点为F2（3，0），离心率为e．（Ⅰ）若，求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线y=kx与椭圆相交于A，B两点，M，N分别为线段AF2，BF2的中点．若坐标原点O在以MN为直径的圆上，且，求k的取值范围．21.已知函数f（x）=e x-x2-1．（1）若函数g（x）=，x∈（0，+∞），求函数g（x）的极值；（2）若k∈Z，且f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，求k的最大值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R）．以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．（Ⅰ）求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；（Ⅱ）已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且||=2||，求实数a的值．23.已知函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，且f（x）=x2+2x．（Ⅰ）解关于x的不等式g（x）≥f（x）-|x-1|；（Ⅱ）如果对∀x∈R，不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|恒成立，求实数c的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：由题设（1-i）z=1+i得z==故选：C．由复数的除法进行变行即可求出复数的除法与乘法是复数的基本运算2.答案：B解析：解：∵A={0，1，2}，B={2，3}，∴A∪B={0，1，2，3}．故选：B．可以求出集合A，然后进行并集的运算即可．考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算．3.答案：A解析：解：向量=（1，1），=（-1，3），=（2，x）满足（3+）•=10，可得（2，6）•（2，x）=10，可得4+6x=10，解得x=1．故选：A．利用向量的坐标运算以及数量积的运算法则化简求解即可．本题考查向量的坐标运算，向量的数量积的应用，考查计算能力．4.答案：A解析：【分析】本题主要考查两角差的和的正切公式的应用，属于基础题．由题意利用两角差的和的正切公式，求得tan（）=tan[（α+）+]的值．【解答】解：∵tan（α+）=-2，∴tan（）=tan[（α+）+]===-，故选：A．5.答案：B解析：解：数列的前15项为2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，6，15，20，15，6，可得此数列的前15项和为2+3+3+4+6+4+5+10+10+5+6+15+20+15+6=4-2+8-2+16-2+32-2+64-2=（4+8+16+32+64）-10=114．故选：B．由题意写出数列的前15项计算可得所求和．本题考查数列在实际问题中的运用，考查数列的求和，以及运算能力，属于基础题．6.答案：A解析：解：∵2m+n=1，则+=（+）（2m+n）=3+，当且仅当时取等号，即最小值3+2，故选：A．由题意可得，+=（+）（2m+n），展开后利用基本不等式可求．本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是对应用条件的配凑．7.答案：B解析：解：∵ln（1+）=ln=ln（i+1）-ln i，∴i=1时，S=ln2-ln1=ln2，i=2时，S=ln2+ln3-ln2=ln3，i=3时，S=ln3+ln4-ln3=ln4，i=4，S=ln4+ln5-ln4=ln5，此时i=5不满足条件，输出S=ln5，即条件为i≤4？，故选：B．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用条件进行模拟运算是解决本题的关键．8.答案：B解析：【分析】求出P到平面ABC的距离，AC为截面圆的直径，由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，求出R，即可求出球的表面积．本题考查球的表面积，考查学生的计算能力，求出球的半径是关键．属于中档题．【解答】解：由题意，AC为截面圆的直径，AC==，设球心到平面ABC的距离为d，球的半径为R，∵PA=PB=1，AB=，∴PA⊥PB，∵平面PAB⊥平面ABC，∴P到平面ABC的距离为．由勾股定理可得R2=（）2+d2=（）2+（-d）2，∴d=0，R2=，∴球的表面积为4πR2=3π．故选：B．9.答案：D解析：解：①中线段为虚线，②正确，③中线段为实线，④正确，故选：D．根据空间几何体的三视图的画法结合正方体判断分析．本题考查了空间几何体的三视图的画法，属于中档题，空间想象能力．10.答案：C解析：解：当x=0时，y=0-2sin0=0故函数图象过原点，可排除A又∵y'=故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．根据函数的解析式，我们根据定义在R上的奇函数图象必要原点可以排除A，再求出其导函数，根据函数的单调区间呈周期性变化，分析四个答案，即可找到满足条件的结论．本题考查的知识点是函数的图象，在分析非基本函数图象的形状时，特殊点、单调性、奇偶性是我们经常用的方法．11.答案：A解析：【分析】根据抛物线和双曲线有相同的焦点求得p和c的关系，根据抛物线的定义可以求出P的坐标，代入双曲线方程与p=2c，b2=c2-a2，联立求得a和c的关系式，然后求得离心率e．本题主要考查了双曲线，抛物线的简单性质．考查了学生综合分析问题和基本的运算能力．解答关键是利用性质列出方程组．【解答】解：∵抛物线y2=8x的焦点坐标F（2，0），p=4，∵抛物线的焦点和双曲线的焦点相同，∴p=2c，c=2，∵设P（m，n），由抛物线定义知：|PF|=m+=m+2=5，∴m=3．∴P点的坐标为（3，），∴，解得：，c=2，则双曲线的离心率为2，故选：A．12.答案：C解析：解：f（x）=ln x-ax2，可得f′（x）=-2ax，①a≤0时，f′（x）＞0函数是增函数，不可能有两个零点，②0＜a时，令f′（x）=-2ax=0，解得x=，当0时，f′（x）＞0函数是增函数，当x＞时，f′（x）＜0函数是减函数，f（x）的最大值为：f（）=ln-a（）2=-，f（x）恰有两个不同的零点，当x→0+时，f（x）→-∞，当x→+∞时，f（x）→-∞，所以-＞0，解得a∈（0，）．故选：C．利用函数的导数，求解函数的最大值大于0，结合函数的单调性，判断零点的个数即可．本题考查函数的零点问题，渗透了转化思想，分类讨论思想的应用，是一道难题．13.答案：-2解析：解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，化目标函数z=x-2y为y=x-．联立，解得：C（0，1）．由图可知，当直线y=x-过C（0，1）时直线在y轴上的截距最大，z有最小值，等于0-2×1=-2．故答案为：-2．由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．14.答案：解析：解：∵8a2-a5=0，∴q3==8，∴q=2，则==，故答案为：．由已知结合等比数列的性质可求q3=，进而可求q，然后结合等比数列的求和公式，代入即可求解．本题主要考查了等比数列的性质及求和公式的简单应用，属于基础试题．15.答案：-26解析：解：由（1-x）6的展开式的通项得：T r+1=（-x）r，则（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，故答案为：-26．由二项式定理及二项式展开式的通项公式得：（1+）（1-x）6展开式中x3的系数为（-1）3+（-1）5=-26，得解．本题考查了二项式定理、二项式展开式的通项公式及分类讨论思想，属中档题．16.答案：e2解析：解：根据题意，曲线y=2ln x，其导数y′=，则x=e2处的切线的斜率k=y′=，则切线的方程为y-4=（x-e2），即y=x+2，x=0，y=2，切线与y轴的交点坐标为（0，2），y=0，x=-e2，切线与y轴的交点坐标为（-e2，0），则切线与坐标轴所围三角形的面积S=×2×|-e2|=e2；故答案为：e2根据题意，求出y=2ln x的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率k=y′=，进而可得切线的方程，求出切线与x轴、y轴交点的坐标，由三角形面积公式计算可得答案．本题考查利用导数计算曲线的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．17.答案：解：（Ⅰ）△ABC中，（a+b+c）（a+b-c）=3ab，∴a2+b2-c2=ab，由余弦定理得，cos C==；又∵C∈（0，π），∴C=；（Ⅱ）由c=2，C=，根据正弦定理得，====，∴a+b=（sin A+sin B）=[sin A+sin（-A）]=2sin A+2cos A=4sin（A+）；又∵△ABC为锐角三角形，∴，解得＜A＜；∴＜A+＜，∴2＜4sin（A+）≤4，综上，a+b的取值范围是（2，4]．解析：（Ⅰ）化简（a+b+c）（a+b-c）=3ab，利用余弦定理求得C的值；（Ⅱ）由正弦定理求出a+b的解析式，利用三角恒等变换化简，根据题意求出A的取值范围，从而求出a+b的取值范围．本题考查了三角恒等变换与正弦、余弦定理的应用问题，是中档题．18.答案：解：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，如图所示；由散点图可知，y=ce dx更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，即k=dx+ln c，由d==≈0.183≈0.2，ln c=3.8-0.183×18≈0.5．∴ln y=0.2x+0.5，则y关于x的回归方程为y=e0.5•e0.2x；（Ⅲ）当x=25时，计算可得y=e0.5•e5=e5.5≈245；即温度为25℃时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：（Ⅰ）绘出y关于x的散点图，由散点图判断y=ce dx更适合作为回归方程类型；（Ⅱ）把y=ce dx两边取自然对数，得ln y=dx+ln c，求出回归系数，写出回归方程；（Ⅲ）利用回归方程计算x=25时y的值即可．本题考查了线性回归方程的应用问题，也考查了数学转化思想与计算能力，是中档题．19.答案：证明：（Ⅰ）证法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．由△ABC≌△DBC可证出△EOC≌△FOC．所以∠EOC=∠FOC=，即FO⊥BC．又EO⊥BC，∴BC⊥平面EFO，又EF⊂平面EFO，∴EF⊥BC．证法二：由题意，以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y 轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系．则B（0，0，0），A（0，-1，），D（，-1，0），C（0，2，0）．E（0，，），F（，，0），∴=（，0，-），=（0，2，0），∴•=0．∴EF⊥BC．（2）解：解法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由平面ABC⊥平面BDC，从而EO⊥平面BDC，又OG⊥BF，由三垂线定理知EG⊥BF．∴∠EGO为二面角E-BF-C的平面角．在△EOC中，EO=EC=BC•cos30°=，由△BGO∽△BFC知，OG=•FC=，∴tan∠EGO==2，∴cos∠EGO=，即二面角E-BF-C的余弦值为．解法二：在图中，平面BFC的一个法向量为=（0，0，1）．设平面BEF的法向量为=（x，y，z），又=（，，0），=（0，，）．，取x=1，得=（1，-，1）．设二面角E-BF-C的大小为θ，且由题意知θ为锐角，则cos θ=|cos＜＞=||==，故．二面角E-BF-C的余弦值为．解析：（Ⅰ）法一：过E作EO⊥BC，垂足为O，连OF．证出△EOC≌△FOC．从而FO⊥BC．又EO⊥BC，进而BC⊥平面EFO，由此能证明EF⊥BC．法二：以B为坐标原点，在平面DBC内过B作垂直BC的直线为x轴，BC所在直线为y轴，在平面ABC内过B作垂直BC的直线为z轴，建立空间直角坐标系．利用向量法能证明EF⊥BC．（2）法一：过O作OG⊥BF，垂足为G，连EG．由三垂线定理知EG⊥BF．∠EGO为二面角E-BF-C 的平面角．由此能求出二面角E-BF-C的余弦值．法二：求出平面BFC的一个法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能求出二面角E-BF-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：（Ⅰ）由题意得，得．（2分）结合a2=b2+c2，解得a2=12，b2=3．（3分）所以，椭圆的方程为．（4分）（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，（6分）依题意，OM⊥ON，易知，四边形OMF2N为平行四边形，所以AF2⊥BF2，（7分）因为，，所以．（8分）即，（9分）将其整理为k2=-=-1-（10分）因为，所以，12≤a2＜18．（11分）所以，即．（13分）解析：（Ⅰ）由题意得，得，由此能求出椭圆的方程．（Ⅱ）由得（b2+a2k2）x2-a2b2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2）．所以，依题意OM⊥ON知，四边形OMF2N为矩形，所以AF2⊥BF2，因为，，所以．由此能求出k的取值范围．本题考查椭圆方程的求法和直线与椭圆位置关系的综合运用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．21.答案：解：（1）函数f（x）=e x-x2-1，则f′（x）=e x-2x，又g（x）=，x∈（0，+∞），则g′（x）==；设y=e x-x-1，则y′=e x-1＞0在x∈（0，+∞）上恒成立，即y=e x-x-1在x＞0时单调递增；所以y=e x-x-1＞0；令g′（x）＞0，可得x＞1，令g′（x）＜0，可得0＜x＜1；所以g（x）的单调增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）；所以函数g（x）的极小值为g（1）=e-2，无最大值；（2）不等式f（x）+（3x2+x-3k）≥0对任意x∈R恒成立，即为e x+x2+x--1≥0对任意x恒成立，即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立；设h（x）=e x+x2+x-，则h′（x）=e x+x+，易知h′（x）在R上单调递增，h′（-1）=-＜0，h′（0）=＞0，则存在唯一的x0∈（-1，0），使h′（x0）=0，即+x0+=0；当x＜x0时，h′（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞x0时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，所以h（x）min=h（x0）=++x0-；又h′（x0）=0，则h（x0）=（--x0）++x0-=（-x0-3），又x0∈（-1，0），则h（x0）∈（-1，-），即k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，所以k≤h（x0），由k max=-1，得出k的最大值为-1．解析：（1）根据题意，对函数g（x）=求导数，利用导数判断g（x）的单调性，并求g（x）的极值；（2）根据题意化为k≤e x+x2+x-对任意x∈R恒成立，构造函数，利用导数求该函数的最小值即可．本题考查了利用导数研究函数的单调性与极值问题，也考查了不等式恒成立问题，也考查了构造法与转化思想，是难题．22.答案：解：（I）∵曲线C1过点P（a，1），其参数方程为（t为参数，a∈R），∴曲线C1的普通方程为x-y-a+1=0，∵曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ+4cosθ-ρ=0．∴曲线C2的极坐标方程为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，∴x2+4x-x2-y2=0，即曲线C2的直角坐标方程为y2=4x．（说明：化简不对，但准确写出互化公式得1分）（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，要有两个不同的交点，则，即a＞0，由韦达定理有，∵||=2||，∴，或=-2，当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=2t2，，解得a=，a=，符合题意，∴实数a的值为．当时．根据直线参数方程的几何意义可知t1=-2t2，，解得a=，a=＞0，符合题意，∴实数a的值为．综上，a的值为或．解析：（I）由曲线C1参数方程能求出曲线C1的普通方程；曲线C2的极坐标方程化为ρ2cos2θ+4ρcosθ-ρ2=0，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．（2）设A、B两点所对应参数分别为t1，t2，联解，得，由此能求出实数a的值．本题考查极坐标方程化普通方程，韦达定理，直线参数方程的几何意义，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．23.答案：（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲解：（Ⅰ）∵函数f（x）和g（x）的图象关于原点对称，∴g（x）=-f（-x）=-（x2-2x），∴g（x）=-x2+2x，x∈R．∴原不等式可化为2x2-|x-1|≤0．上面不等价于下列二个不等式组：…①，或…②，由①得，而②无解．∴原不等式的解集为．…（5分）（Ⅱ）不等式g（x）+c≤f（x）-|x-1|可化为：c≤2x2-|x-1|．作出函数F（x）=2x2-|x-1|的图象（这里略）．由此可得函数F（x）的最小值为，∴实数c的取值范围是．…（10分）解析：先将M，N化简，再计算交集或并集，得出正确选项本题考查二次函数图象与性质．。

2020年高考理科数学模拟试题含答案及解析5套)

绝密★启用前2020年高考模拟试题（一）理科数学时间：120分钟分值：150分注意事项：1、本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2、回答第Ⅰ卷时，选出每小题的答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3、回答第Ⅱ卷时，将答案填写在答题卡上，写在试卷上无效。

4、考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知a ，b 都是实数，那么“22a b >”是“22a b >”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．抛物线22(0)x py p =>的焦点坐标为（）A ．,02p ⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,08p ⎛⎫⎪⎝⎭C ．0,2p ⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,8p ⎛⎫ ⎪⎝⎭3．十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有（）A ．24种B ．16种C ．12种D ．10种4．设x ，y 满足约束条件36020 0,0x y x y x y ⎧⎪⎨⎪+⎩---≤≥≥≥，则目标函数2z x y =-+的最小值为（）A ．4-B ．2-C ．0D ．2 5．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就．书中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”，若某“阳马”的三视图如图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该“阳马”最长的棱长为（） A ．5 B ．34C ．41D ．526．()()()()sin ,00,xf x x x=∈-ππ大致的图象是（）A ．B ．C ．D ．此卷只装订不密封级姓名准考证号考场号座位号7．函数()sin cos (0)f x x x ωωω=->ω的取值不可能为（） A ．14B ．15 C ．12D ．348．运行如图所示的程序框图，设输出数据构成的集合为A ，从集合A 中任取一个元素a ，则函数ay x =，()0,x ∈+∞是增函数的概率为（） A ．35B ．45C ．34D ．37开始输出y结束是否3x =-3x ≤22y x x=+1x x =+9．已知A ，B 是函数2xy =的图象上的相异两点，若点A ，B 到直线12y =的距离相等，则点A ，B 的横坐标之和的取值范围是（） A ．(),1-∞-B ．(),2-∞-C ．(),3-∞-D ．(),4-∞-10．在四面体ABCD 中，若AB CD ==，2AC BD ==，AD BC ==，则四面体ABCD 的外接球的表面积为（） A ．2π B ．4πC ．6πD ．8π11．设1x =是函数()()32121n n n f x a x a x a x n +++=--+∈N 的极值点，数列{}n a 满足11a =，22a =，21log n n b a +=，若[]x 表示不超过x 的最大整数，则122320182019201820182018b b b bb b ⎡⎤+++⎢⎥⎣⎦=（）A ．2017B ．2018C ．2019D ．202012[]0,1上单调递增，则实数a 的取值范围（） A ．()1,1- B ．()1,-+∞C ．[]1,1-D ．(]0,+∞第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13．命题“00x ∃>，20020x mx +->”的否定是__________．14．在ABC △中，角B2π3C =，BC =，则AB =__________．15．抛物线24y x =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，且满足4AFBF =，点O 为原点，则AOF △的面积为__________．16．已知函数()()2cos2cos0222xxxf x ωωωω=+>的周期为2π3，当π03x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，函数()()g x f x m=+恰有两个不同的零点，则实数m 的取值范围是__________．三、解答题：共70分。

全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷含答案解析 (3)

全国卷Ⅰ新高考理科数学仿真模拟试卷一、选择题(共12题，每题5分，共60分)1．如图,已知R是实数集,集合A={x|lo g12(x-1)>0},B={x|2x-3x<0},则阴影部分表示的集合是A.[0,1]B.[0,1)C.(0,1)D.(0,1] 2．已知复数z满足1+iz=(1-i)2,则复数z的虚部是A.-12B.12C.12i D.-12i3．设a=log32,b=log52,c=log23,则A.a>c>bB.b>c>aC.c>b>aD.c>a>b4．已知向量a和向量b的夹角为30°,|a|=2,|b|=√3,则向量a和向量b的数量积a·b= A.1 B.2 C.3 D.45．函数f(x)=x 2|x|e x的大致图象是A. B.C.D.6．我国古代有着辉煌的数学研究成果,其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》,有丰富多彩的内容,是了解我国古代数学的重要文献.这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期.某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容,则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为A.35B.710C.45D.9107．若l 1,l 2,l 3表示三条不同的直线,则下列命题正确的是A.l 1⊥l 2,l 2⊥l 3⇒l 1∥l 3B.l 1⊥l 2,l 2∥l 3⇒l 1⊥l 3C.l 1∥l 2∥l 3⇒l 1,l 2,l 3共面D.l 1,l 2,l 3共点⇒l 1,l 2,l 3共面8．若执行如图的程序框图,则输出i 的值等于A.2B.3C.4D.59．已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n 2-9=4(S n -n ),数列{1a n ·a n+1}的前n 项和为T n ,则T 10=A.13B.17C.235D.22510．已知椭圆C :x 2m+y 2m -4=1(m >4)的右焦点为F ,点A (-2,2)为椭圆C 内一点.若椭圆C 上存在一点P ,使得|PA |+|PF |=8,则m 的取值范围是A.(6+2√5,25]B.[9,25]C.(6+2√5,20]D.[3,5]11．已知定义在[0,π4]上的函数f (x )=sin(ωx -π6)(ω>0)的最大值为ω3,则正实数ω的取值个数最多为A.4B.3C.2D.112．已知三棱锥S-ABC 中,AB ⊥BC ,AB =BC =2,SA =SC =2√2,二面角B-AC-S 的大小为2π3,则三棱锥S-ABC 的外接球的表面积为A.124π9B.105π4C.105π9D.104π9第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题(共4题，每题5分，共20分)13．过点M(2,0)作函数f(x)=e x(x-6)的图象的切线,则切线的方程为. 14．已知在等比数列{a n}中,a n>0且a3+a4=a1+a2+3,记数列{a n}的前n项和为S n,则S6-S4的最小值为.15．某统计调查组从A,B两市各随机抽取了6个大型商品房小区调查空置房情况,并记录他们的调查结果,得到如图所示的茎叶图.已知A市被调查的商品房小区中空置房套数的平均数为82,B市被调查的商品房小区中空置房套数的中位数为77,则x-y=.16．已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,准线与x轴的交点为Q,双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一条渐近线被抛物线截得的弦为OP,O为坐标原点.若△PQF为直角三角形,则该双曲线的离心率等于.三、解答题(共7题，共70分)17．(本题12分)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(Ⅰ)求∠A;(Ⅱ)求AC边上的高.18．(本题12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,D为BC的中点,AB=AC,BC1⊥B1D.求证:(1)A1C∥平面ADB1;(2)平面A1BC1⊥平面ADB1.19．(本题12分)2018年11月27日~28日,2018“未来信息通信技术国际研讨会”在北京召开,本届大会以“5G应用生态与技术演进”为主题,全球5G大咖齐聚一堂,进行了深入探讨.为了给5G手机的用户提供更好的服务,我国的移动、联通、电信三大运营商想通过调查了解现有4G手机用户对传输速度的满意度,随机抽取了100名手机用户进行调查评分(满分100分,单位:分),其频数分布表如下所示.(1)作出频率分布直方图,并求这100名4G 手机用户评分的平均数(同一组中的评分用该组区间的中点值作代表);(2)以样本的频率作为概率,认为评分“不低于80分”为“满意度高”,现从所有4G 手机用户中随机抽取5名用户进行进一步访谈,用X 表示抽出的5名用户中“满意度高”的人数,求X 的分布列和数学期望.20．(本题12分)已知椭圆C :x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为√32, 且过点A (2,1).(1)求椭圆C 的方程;(2) 若P ,Q 是椭圆C 上的两个动点,且使∠PAQ 的角平分线总垂直于x 轴, 试判断直线PQ 的斜率是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由.21．(本题12分)已知函数f (x )=e x -a ln(x -1).(其中常数e=2.718 28…是自然对数的底数) (1)若a ∈R ,求函数f (x )的极值点个数;(2)若函数f (x )在区间(1,1+e -a )上不单调,证明:1a +1a+1>a .请考生在第 22、23 三题中任选二道做答，注意：只能做所选定的题目。

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年黑龙江省大庆一中高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．22．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．33．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．34．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．102410246．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．18．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣21012．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（共4小题）.13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题）.1．设集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜0}，若A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，则实数m＝（）A．﹣6B．6C．5D．2【分析】推导出3是方程x2﹣x+m＝0的一个根，从而32﹣3+m＝0，由此能求出结果．解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣x+m＜8}，A∪B＝{x|﹣2＜x＜3}，所以32﹣3+m＝0，解得m＝﹣6，故选：A．2．已知（2+i）（a+i）＝5+5i，则实数a＝（）A．0B．1C．2D．3【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简等式左边，再由复数相等的条件列式求得a 值．解：∵（2+i）（a+i）＝2a﹣1+（a+2）i＝5+4i，∴，解得a＝3，故选：D．3．已知双曲线与椭圆的焦点相同，则该双曲线的离心率为（）A．B．C．D．3【分析】求出椭圆的焦点坐标，得到双曲线的焦点坐标，然后求解a，即可求解双曲线的离心率．解：椭圆的焦点坐标为（2，4），（﹣2，0），所以4＝a+a﹣2，解得a＝5，离心率，故选：A．4．设f（x）是定义在R上的奇函数，且在区间（﹣∞，0]上单调递增，则（）A．f（log23）＜f（log32）＜f（log2）B．f（log2）＜f（log23）＜f（log32）C．f（log2）＜f（log32）＜f（log23）D．f（log32）＜f（log2）＜f（log23）【分析】先判断括号内的大小关系，再借助于单调性即可得到结论．解：由题意知，函数f（x）在定义域R上单调递增，由可得，故选：C．5．为庆祝中华人民共和国成立70周年，2019年10月1日晚，金水桥南，百里长街成为舞台，3290名联欢群众演员跟着音乐的旋律，用手中不时变幻色彩的光影屏，流动着拼组出五星红旗、祖国万岁、长城等各式图案和文字．光影潋滟间，以《红旗颂》《我们走在大路上》《在希望的田野上》《领航新时代》四个章节，展现出中华民族从站起来、富起来到强起来的伟大飞跃．在每名演员的手中都有一块光影屏，每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，则每块屏可以表示出不同图案的个数为（）A．2048B．21024C．10242D．10241024【分析】根据乘法原理解题．解：每块屏有1024颗灯珠，若每个灯珠的开、关各表示一个信息，根据乘法原理可得表示出不同图案的个数为2×2×…×2＝21024，故选：B．6．已知等差数列{a n}中，a2＝2，前5项的和S5满足15＜S5＜25，则公差d取值范围为（）A．B．（1，4）C．（1，3）D．【分析】利用等差数列的求和公式、不等式的解法即可得出．解：∵S5＝5a2+d＝5a1+10d＝2（2﹣d）+10d＝10+5d，∴15＜5d+10＜25，解得1＜d＜3．故选：C．7．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例．根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形ABCD中，△ABC满足“勾3股4弦5”，且AB＝3，E为AD上一点，BE⊥AC．若＝λ+μ，则λ+μ的值为（）A．B．C．D．1【分析】建立平面直角坐标系，进而利用向量的坐标表示，设，由可得，再由，利用坐标表示建立方程组求解即可．解：由题意建立如图所示直角坐标系，，设，所以，解得．所以解得故选：B．8．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为（）A．0B．C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：由程序框图可知，n＝1，；n＝7；；n＝5，，n＝7，S＝0；n＝9，；所以周期为8，又2020＝8×252+4，故选：D．9．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱AA1，C1D1，DD1的中点，AB＝AA1＝2AD，则异面直线EF与BG所成角的大小为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】建立平面直角坐标系，根据题意写出各点坐标，得出的坐标，代入数量积公式运算，可得两个向量互相垂直，进一步确定异面直线EF与BG所成角的大小．解：如图，以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系D﹣xyz，设AD＝1，则E（1，0，1），F（0，2，2），G（0，0，1），B（1，4，0），，所以，故选：C．10．将函数的图象向左平移个单位长度，然后再将所得图象上所有点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（）A．B．C．D．【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将的图象向左平移个单位长度，得到的图象，然后横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象，故选：D．11．已知，则a4＝（）A．21B．42C．﹣35D．﹣210【分析】先把原式化简，再根据二项式的特点，求解即可．解：因为，a4即为（x﹣1）7展开式中x4的系数，故选：C．12．已知函数f（x）＝，若方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．【分析】由题意，方程方程f（x）＝mx+m﹣恰有四个不相等的实数根，等价于y＝f （x）与y＝mx+m﹣恰有4个交点，求出直线y＝mx+m﹣与y＝lnx相切时m的值及过原点时m的值，即可求出m的取值范围．解：画出函数f（x）的图象如图中实线部分所示，方程恰有四个不相等的实数根，而是斜率为m，过定点的直线，设切点坐标为（a，ln（a+1）），＝，又点在切线上，代入可解得a＝﹣2，当直线过原点，即图中l2，所以当时，两函数的图象有4个不同的交点．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知实数x，y满足约束条件，则的取值范围为．【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，转化求解即可．解：作出不等式组表示的可行域如图所示，表示可行域内的点与原点连线的斜率，，k OB＝3，点B不在可行域内，故的取值范围为．故答案为：．14．已知函数f（x）＝2sin2x+a sin2x的最大值为3，则实数a的值为±1．【分析】由已知利用二倍角的三角函数公式，两角和的正弦函数公式，正弦函数的性质即可求解．解：因为，其中，所以f（x）的最大值为，解得a＝±1．故答案为：±1．15．记数列{a n}的前n项和为S n满足S n+1＝4S n+2．且a1＝2，b n＝log2a n，则数列{b n}的前n 项和T n＝n2．【分析】由S n+1＝4S n+2，可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2，两式相减可得a n+1＝4a n（n ≥2）．利用等比数列的通项公式可得a n，进而得出b n，利用等差数列的求和公式即可得出T n．解：由S n+1＝4S n+2①可得，当n≥2时，S n＝4S n﹣1+2②，①﹣②得S n+1﹣S n＝4•（S n﹣S n﹣1），即a n+3＝4a n（n≥2）．又a1＝5，所以a2＝3S3+2＝3a1+2＝8，则a5＝4a1，所以，b n＝log3a n＝2n﹣1，故答案为：n2．16．已知圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+2a2＝0．当C的面积最大时，实数a的值为﹣1；若此时圆C关于直线：l2：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞0）对称，则的最大值为．【分析】化圆的方程为标准方程，求得圆的半径，利用二次函数求最值可得圆的半径的最大值，即可得到圆面积最大时的a值；再由圆心在直线上可得关于m与n的等式，然后利用基本不等式求最值．解：圆C：x2+y2+2（a﹣1）x﹣12y+8a2＝0的方程可化为[x+（a﹣1）]2+（y﹣6）2＝﹣a8﹣2a+37，当a＝﹣1时，﹣a2﹣2a+37取得最大值38，此时圆C的半径最大，面积也最大；∵圆C关于直线l：mx+ny﹣6＝0（m＞0，n＞8）对称，又m＞0，n＞0，当且仅当时，即时取等号，即的最大值为．故答案为：﹣1；．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分17．在平面四边形ABCD中，∠BAD＝60°，∠BCD＝120°，AB＝3，AD＝2．（1）若CD＝1，求BC；（2）求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）在△ABD中，由余弦定理可求BD的值，再根据余弦定理即可求出BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．在△BCD中，由正弦定理可求BC，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S△BCD＝sin（2θ+30°）﹣，结合范围0°＜θ＜60°，利用正弦函数的性质可求S△BCD的最大值，即可求出四边形ABCD 面积的最大值．解：（1）在△ABD中，因为AB＝3，AD＝2，∠BAD＝60°，则：BD8＝AB2+AD2﹣2AB•AD•cos∠BAD＝9+7﹣2×3×2×＝2在△BCD中，因为BD＝，CD＝1，∠BCD＝120°，即7＝BC8+1+BC，（2）设∠CBD＝θ，则∠CDB＝60°﹣θ．所以S△BCD＝BD•BC•sin∠CBD＝sin（60°﹣θ）sinθ＝（cosθ﹣sinθ）sinθ＝（sin2θ+cos2θ﹣）＝sin（7θ+30°）﹣，∴S△BCD≤，∴四边形ABCD面积的最大值为+＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，△ABD与△PBD都是边长为2的等边三角形，△BCD 为等腰直角三角形，∠BCD＝90°，．（1）证明：BD⊥PA；（2）若M为PA的中点，求平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）取BD中点O，证明BD⊥平面POA，从而可得BD⊥PA；（2）建立空间坐标系，求出两半平面的法向量，计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（1）证明：设BD的中点为O，连接OP，OA．因为△ABD，△PBD为等边三角形，所以BD⊥AO，且BD⊥PO．所以BD⊥平面PAO，又PA⊂平面PAO，（2）解：因为△ABD，△PBD的边长为2，所以，又因为PO⊥BD，AO⊥BD，故OA，OB，OP两两垂直，则，，B（0，1，0），D（0，﹣1，8），C（﹣1，0，0），，设平面BMD的一个法向量为＝（x1，y1，z1），则，设平面BMD的一个法向量为＝（x2，y2，z2），则，∴cos＜＞＝＝＝，所以平面BMD与平面PBC所成锐二面角的余弦值为．19．已知抛物线C：x2＝4y，过点D（0，2）的直线l交C于A，B两点，过点A，B分别作C的切线，两切线相交于点P．（1）记直线PA，PB的斜率分别为k1，k2，证明k1，k2为定值；（2）记△PAB的面积为S△PAB，求S△PAB的最小值．【分析】（1）设A，B的坐标分别为，．利用抛物线方程求解函数的导数，设出直线方程与抛物线联立，利用韦达定理转化证明即可．（2）设P点坐标为（x，y），求出切线PA的方程，切线PB的方程，求出|AB|，点P 到直线AB的距表示三角形的面积，求解S△PAB的最小值．（1）证明：因为A，B两点在曲线x2＝4y上，故设A，B的坐标分别为，【解答】．因为，所以，则，．所以，所以k1k2为定值．由（1）知切线PA的方程为①①﹣②得；①×x2﹣﹣②×x1得．由（1）知x＝2k，y＝﹣2，所以P点坐标为（2k，﹣2），因为点P到直线AB的距离．因为k2+3≥2，所以当k＝0时，S△PAB的最小值为．20．甲、乙、丙三人参加竞答游戏，一轮三个题目，每人回答一题为体现公平，制定如下规则：①第一轮回答顺序为甲、乙、丙；第二轮回答顺序为乙、丙、甲；第三轮回答顺序为丙，甲、乙；第四轮回答顺序为甲、乙、丙；…，后面按此规律依次向下进行；②当一人回答不正确时，竞答结束，最后一个回答正确的人胜出．已知，每次甲回答正确的概率为，乙回答正确的概率为，丙回答正确的概率为，三个人回答每个问题相互独立．（1）求一轮中三人全回答正确的概率；（2）分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率；（3）记P n为甲在第n轮胜出的概率，Q n为乙在第n轮胜出的概率，求P n与Q n，并比较P n与Q n的大小．【分析】（1）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（2）由题意，利用相互独立事件的概率乘法公式，计算求得结果．（3）先求出前7种情况，总结规律，得出结论．解：（1）设一轮中三人全回答正确为事件M，则．（2）甲在第一轮胜出的概率为；故甲在第二轮胜出的概率为×（××）×＝＝；（3）由（2）知；＝；P3＝×＝．…．当n＝3k+1（k∈N*）时，；同理可得，当n＝3k（k∈N*）时，；当n＝3k+2（k∈N*）时，．当n＝3k+2（k∈N*）时，P n＜Q n．21．已知函数f（x）＝ae x（a∈R）．（1）当a＝1时，求函数f（x）的图象在点x＝0处的切线方程；（2）若g（x）＝ln（x+b），当a≥1，b≤2时，证明：f（x）＞g（x）．【分析】（1）代入a的值，求出f（0），f′（0），求出切线方程即可；（2）结合a，b的范围，问题转化为可证e x＞ln（x+2）成立，设h（x）＝e x﹣ln（x+2），根据函数的单调性证明即可．【解答】（1）解：当a＝1时，f（x）＝e x．因为f'（x）＝e x，所以f'（0）＝1，f（2）＝1．即x﹣y+1＝0．当b≤2时，ln（x+b）≤ln（x+2），设h（x）＝e x﹣ln（x+2），则，又因为，，即．当x∈（x0，+∞）时，h'（x）＞0．又因为，ln（x0+2）＝﹣x0，所以当x∈（﹣2，+∞）时h（x）＞0，即e x＞ln（x+7）．所以当a≥1，b≤2时，f（x）＞g（x）．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsinθtanθ＝2．（1）求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程；（2）若C1与C2交于M，N两点，点P的极坐标为，求|PM|2+|PN|2的值．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用一元二次方程根和系数的关系式的应用求出结果．解：（1）由曲线C1的参数方程消去参数t可得，曲线C1的普通方程为4x﹣3y﹣8＝0．由x＝ρcosθ，y＝ρsinθ可得，曲线C2的直角坐标方程为y2＝2x（x≠0）．所以点P在曲线C1上．将曲线C6的参数方程（t为参数）代入y2＝2x，设点M，N对应的参数分别为t1，t2，则，．所以．一、选择题23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤2的解集；（2）若关于x的不等式f（x）＞|a+2|的解集不是空集，求实数a的取值范围．【分析】（1）根据f（x）≤2，利用零点分段法，求出不等式的解集即可；（2）问题转化为f（x）max＞|a+2|，得到关于a的不等式，解出即可．解：（1）由题意得|x﹣1|﹣2|x+2|≤2．①当x≥1时，不等式|x﹣2|﹣2|x+1|≤2可化为x﹣1﹣2x﹣4≤2，解得x≥﹣5，所以x≥1．②当﹣1≤x＜1时，不等式|x﹣1|﹣5|x+1|≤2可化为1﹣x﹣2x﹣2≤7，解得x≥﹣1，所以﹣1≤x＜1．③当x＜﹣1时，不等式|x﹣1|﹣2|x+3|≤2可化为1﹣x+2x+2≤2，解得x≤﹣2，所以x＜﹣1．（2）由（1）知，对于任意x∈R，f（x）≤2，且当x＝﹣1时取等号，关于x的不等式f（x）＞|a+7|的解集不是空集，所以实数a的取值范围为（﹣4，0）．。

2020年高考理科数学模拟试题

2020年高考理科数学模拟试题作者：许少华来源：《广东教育·高中》2020年第04期一、選择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合A= {x│-2A. （0， 2）B. （-2， 4）C. （-2， 0）∪（2， 4）D. （-2， 0]∪[2， 4）2. 已知复数z1=2+i， z1·z2 =2-i，则复数z2的共轭复数为（）A. ■+■iB. -■-■iC. ■-■iD. -■+■i3. 设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）=2x+log2（x2+1）+a （a为常数），则f（1）=（）A. ■B. 1C. -1D. -■4. 据统计中国人民政治协商会议第十二届全国委员会到会委员有1500名，从中抽取150名对他们的年龄进行统计，其频率分布直方图如图，其中年龄在[30，40）的委员人数为30人，则估计年龄在[60，80）之间的委员人数为（）A. 150B. 200C. 225D. 2505. 已知双曲线C ∶ ■-■=1（a>0，b>0）的焦距为2c，焦点到双曲线的渐近线的距离为■，则双曲线C的离心率为（）A. 2B. 3C. ■D. ■6. 若？琢为锐角，且cos（+■）=■，则sin（+■）=（）A. ■B. ■C. ■D. ■7. 如图所示，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（）A. 点H是△A1BD的垂心B. AH垂直于平面CB1D1C. AH的延长线经过点C1D. 直线AH和BB1所成角为45°8. 若△ABC的三边长a，b，c满足a=4sinB，sin2AsinC=■且，则△ABC的面积为（）A. ■B. ■C. 25D. 249. 如图，ABCD为等腰梯形，若CD=■AB=4，且梯形面积为20，当E为BC中点，F，G 分别为DA的三等分点时，■·■ 的值为（）A. -■B. -■C. -■D. -■10. 已知函数f（x）=Asin（x+）（A>0，>0，A. （0，■）B. （■，■）C. （-■，■）D.（-■，■）11. 抛物线y=2x2一条弦的垂直平分线l的斜率为2，则l在y轴上截距的取值范围为（）A. （■，+∞）B.（■，+∞）C. （■，+∞）D.（■，+∞）12. 若函数f（x）=（cosx-sinx）（cosx+sinx）+3a（sinx-cosx）+（2a+1）x在（-■，0）上单调递增，则a的取值范围为（）A. [-1，■]B. [-1，■]C. [-1，■]D. [-■，1]二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.（1+x）3（1+■）3的展开式中，含■的项的系数是_______.14. 设点P（x， y）满足：x+y-3≤0，x-y+1≥0，x≥1，y≥1，则■的取值范围是_______.15. 已知A、B、C、D四点在半径为■的球面上，且AC=BD=5，AD=BC=■，AB=CD，则三棱锥D-ABC的体积是_______.16. 点P（2，2），圆C ∶ x2+y2-8y=0，过点P的动直线l与圆C交于A， B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点. 若OP=OM，则△POM的面积为_______.三、解答题：共70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答. 第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.（本小题满分12分）已知公比不为1的等比数列{an}的前 n项和为Sn，满足S6=■且a2， a4， a3成等差数列.（1）求等比数列 {an} 的通项公式.（2）设数列{bn}满足bn=nan，求数列{bn}的前n项和为Tn .18.（本小题满分12分）在三棱锥A-BCD中，AB=AD=BD=2，BC=DC=■，AC=2.（1）求证：面ABD⊥面BCD;（2）点P 在AC上，若二面角P-BD-A为60°，求■的值.19.（本小题满分12分）张先生家住H小区，他工作在C科技园区，从家开车到公司上班路上有L1， L2两条路线（如图），L1 路线上有A1， A2， A3三个路口，各路口遇到红灯的概率均为■;L2路线上有B1， B2两个路口，各路口遇到红灯的概率依次为■，■.（1）若走L1 路线，求最多遇到1次红灯的概率;（2）若走L2 路线，求遇到红灯次数X的数学期望;（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.20.（本小题满分12分）已知■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=2■，点P在椭圆上，tan∠PF2F1 =2且△PF1F2的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）点B（1，■）是椭圆上的一定点，B1， B2是椭圆上的两动点，且直线BB1与BB2关于直线x=1对称，试证：直线B1B2的斜率为定值.21.（本小题满分12分）函数f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f （x）和y=g（x）的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.（1）求此平行线的距离;（2）若存在x使不等式■>■成立，求实数m的取值范围;（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差. 求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1：x=cos？兹，y=sin？兹（？兹为参数），曲线C2：x=■t-■，y=■（t为参数）.（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′. 写出C1′，C2′的参数方程. C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.23. 选修4-5：不等式选讲对于函数f（x）= ax2+bx+c（1）若f（x）>0的解集为{x│10的解集.（2）若在x=-1， 0， 1三点处的函数值的绝对值均不大于1，则x∈[-1， 1]时，求证：ax+b≤2.2020年全国高考理科数学模拟试题参考答案一、选择题1. D. A={x│-22. A. 由z1=2+i，z1·z2=2-i？圯z2=■=■-■i所以，复数z2的共轭复数为■+■i .3. D. 由f（x）为定义在R上的奇函数，可知f（0）=1+a = 0，∴ a=-1. 于是f（-1）=■+1-1=■，∴ f（1）=-■.4. C. 年龄在[30，40）的委员人数为30人，所占频率为■=10b，所以b=0.02，根据频率分布直方图知（0.005+2a+0.015+0.02+0.04）×10=1，解得a=0.01，所以年龄在[60，80]之间的频率为（0.01+0.005）×10=0.15，估计年龄在[60，80]之间的委员人数为1500×0.15=225.5. B. 不妨设右焦点F2（c，0），渐进线方程为l ∶ bx-ay=0，则点F2（c， 0）到l ∶ bx-ay=0的距离为■=b，则b=■？圯9b2=8c2？圯e=3.6. A. 由cos（+■）=■？sin（+■）=■.于是sin（+■）=2sin（+■）cos（+■）=2×■×■=■.cos（+■）= cos2（+■）-sin2（+■）=■，sin（+■）=sin[（+■）-■]=sin（+■）cos■-cos（+■）sin■=■.7. C. 在A中，△A1BD为等边三角形，所以三心合一.∵AB=AA1=AD，∴ H到△A1BD 各顶点的距离相等，即H为外心垂心，∴ A正确;∵CD1∥BA1 ，CB1∥DA1，CD1∩CB1=C，∴平面CD1B1∥平面A1BD. ∴ AH⊥平面CB1D1，∴ B正确;连AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴ AC1⊥BD同理AC1⊥BA1. ∴ AC1⊥平面A1BD. ∴ A、H、C1三点共线，∴ C正确.8. B. 由a2=abcos C+bccosA？圯a2=ab·■+bc·■，得a=b？圯sinA=sinB.由a=4sinB 2RsinA=4sinB 2RsinA=4sinA R=2.sin2AsinC=■ sinAsinBsinC=■.那么△ABC的面积S=■absinC=■（2RsinA）（2RsinB）sinC=2×22×■=■.9. C. 由CD=■AB=4及面积为20可得梯形的高为4. 以AB为x轴，AB的中垂线为y建立直角坐标系，则A（-3， 0），B（3， 0），E（■， 2），G（-■，■），F（-■，■）.那么■=（-■，■），■=（■，■），于是■·■=-■×■+■×■=-■.10. C. 由图像知A=2，T= 4[■-（-■）]=4 ，那么■= 4 ，=■，所以f（x）=2sin（■+ ）.又由f（-■）=0，即2sin（-■+ ）=0結合（1）若走L1 路线，求最多遇到1次红灯的概率;（2）若走L2 路线，求遇到红灯次数X的数学期望;（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.20.（本小题满分12分）已知■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=2■，点P在椭圆上，tan∠PF2F1 =2且△PF1F2的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）点B（1，■）是椭圆上的一定点，B1， B2是椭圆上的两动点，且直线BB1与BB2关于直线x=1对称，试证：直线B1B2的斜率为定值.21.（本小题满分12分）函数f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f （x）和y=g（x）的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.（1）求此平行线的距离;（2）若存在x使不等式■>■成立，求实数m的取值范围;（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差. 求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1：x=cos？兹，y=sin？兹（？兹为参数），曲线C2：x=■t-■，y=■（t为参数）.（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′. 写出C1′，C2′的参数方程. C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.23. 选修4-5：不等式选讲对于函数f（x）= ax2+bx+c（1）若f（x）>0的解集为{x│10的解集.（2）若在x=-1， 0， 1三点处的函数值的绝对值均不大于1，则x∈[-1， 1]时，求证：ax+b≤2.2020年全国高考理科数学模拟试题参考答案一、选择题1. D. A={x│-22. A. 由z1=2+i，z1·z2=2-i？圯z2=■=■-■i所以，复数z2的共轭复数为■+■i .3. D. 由f（x）为定义在R上的奇函数，可知f（0）=1+a = 0，∴ a=-1. 于是f（-1）=■+1-1=■，∴ f（1）=-■.4. C. 年龄在[30，40）的委员人数为30人，所占频率为■=10b，所以b=0.02，根據频率分布直方图知（0.005+2a+0.015+0.02+0.04）×10=1，解得a=0.01，所以年龄在[60，80]之间的频率为（0.01+0.005）×10=0.15，估计年龄在[60，80]之间的委员人数为1500×0.15=225.5. B. 不妨设右焦点F2（c，0），渐进线方程为l ∶ bx-ay=0，则点F2（c， 0）到l ∶ bx-ay=0的距离为■=b，则b=■？圯9b2=8c2？圯e=3.6. A. 由cos（+■）=■？sin（+■）=■.于是sin（+■）=2sin（+■）cos（+■）=2×■×■=■.cos（+■）= cos2（+■）-sin2（+■）=■，sin（+■）=sin[（+■）-■]=sin（+■）co s■-cos（+■）sin■=■.7. C. 在A中，△A1BD为等边三角形，所以三心合一.∵AB=AA1=AD，∴ H到△A1BD 各顶点的距离相等，即H为外心垂心，∴ A正确;∵CD1∥BA1 ，CB1∥DA1，CD1∩CB1=C，∴平面CD1B1∥平面A1BD. ∴ AH⊥平面CB1D1，∴ B正确;连AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴ AC1⊥BD同理AC1⊥BA1. ∴ AC1⊥平面A1BD. ∴ A、H、C1三点共线，∴ C正确.8. B. 由a2=abcos C+bccosA？圯a2=ab·■+bc·■，得a=b？圯sinA=sinB.由a=4sinB 2RsinA=4sinB 2RsinA=4sinA R=2.sin2AsinC=■ sinAsinBsinC=■.那么△ABC的面积S=■absinC=■（2RsinA）（2RsinB）sinC=2×22×■=■.9. C. 由CD=■AB=4及面积为20可得梯形的高为4. 以AB为x轴，AB的中垂线为y建立直角坐标系，则A（-3， 0），B（3， 0），E（■， 2），G（-■，■），F（-■，■）.那么■=（-■，■），■=（■，■），于是■·■=-■×■+■×■=-■.10. C. 由图像知A=2，T= 4[■-（-■）]=4 ，那么■= 4 ，=■，所以f（x）=2sin（■+ ）.又由f（-■）=0，即2sin（-■+ ）=0结合（1）若走L1 路线，求最多遇到1次红灯的概率;（2）若走L2 路线，求遇到红灯次數X的数学期望;（3）按照“平均遇到红灯次数最少”的要求，请你帮助张先生从上述两条路线中选择一条最好的上班路线，并说明理由.20.（本小题满分12分）已知■+■=1（a>b>0）的左、右焦点分别为F1，F2，F1F2=2■，点P在椭圆上，tan∠PF2F1 =2且△PF1F2的面积为4.（1）求椭圆的方程.（2）点B（1，■）是椭圆上的一定点，B1， B2是椭圆上的两动点，且直线BB1与BB2关于直线x=1对称，试证：直线B1B2的斜率为定值.21.（本小题满分12分）函数f（x）=a·ex，g（x）=lnx-lna，其中a为常数，且函数y=f （x）和y=g（x）的图像在其与坐标轴的交点处的切线互相平行.（1）求此平行线的距离;（2）若存在x使不等式■>■成立，求实数m的取值范围;（3）对于函数y=f（x）和y=g（x）公共定义域中的任意实数x0，我们把f（x0）-g（x0）的值称为两函数在x0处的偏差. 求证：函数y=f（x）和y=g（x）在其公共定义域内的所有偏差都大于2.（二）选考题：共10分. 请考生在第22、23题中任选一题作答. 如果多做，则按所做的第一题计分.22.（本题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线C1：x=cos？兹，y=sin？兹（？兹为参数），曲线C2：x=■t-■，y=■（t为参数）.（Ⅰ）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数;（Ⅱ）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1′，C2′. 写出C1′，C2′的参数方程. C1′与C2′公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说明你的理由.23. 选修4-5：不等式选讲对于函数f（x）= ax2+bx+c（1）若f（x）>0的解集为{x│10的解集.（2）若在x=-1， 0， 1三点处的函数值的绝对值均不大于1，则x∈[-1， 1]时，求证：ax+b≤2.2020年全国高考理科数学模拟试题参考答案一、选择题1. D. A={x│-22. A. 由z1=2+i，z1·z2=2-i？圯z2=■=■-■i所以，复数z2的共轭复数为■+■i .3. D. 由f（x）为定义在R上的奇函数，可知f（0）=1+a = 0，∴ a=-1. 于是f（-1）=■+1-1=■，∴ f（1）=-■.4. C. 年龄在[30，40）的委员人数为30人，所占频率为■=10b，所以b=0.02，根据频率分布直方图知（0.005+2a+0.015+0.02+0.04）×10=1，解得a=0.01，所以年龄在[60，80]之间的频率为（0.01+0.005）×10=0.15，估计年龄在[60，80]之间的委员人数为1500×0.15=225.5. B. 不妨设右焦点F2（c，0），渐进线方程为l ∶ bx-ay=0，则点F2（c， 0）到l ∶ bx-ay=0的距离为■=b，则b=■？圯9b2=8c2？圯e=3.6. A. 由cos（+■）=■？sin（+■）=■.于是sin（+■）=2sin（+■）cos（+■）=2×■×■=■.cos（+■）= cos2（+■）-sin2（+■）=■，sin（+■）=sin[（+■）-■]=sin（+■）cos■-cos（+■）sin■=■.7. C. 在A中，△A1BD为等边三角形，所以三心合一.∵AB=AA1=AD，∴ H到△A1BD 各顶点的距离相等，即H为外心垂心，∴ A正确;∵CD1∥BA1 ，CB1∥DA1，CD1∩CB1=C，∴平面CD1B1∥平面A1BD. ∴ AH⊥平面CB1D1，∴ B正确;连AC1，则AC1⊥B1D1，∵B1D1∥BD，∴ AC1⊥BD同理AC1⊥BA1. ∴ AC1⊥平面A1BD. ∴ A、H、C1三点共线，∴ C正确.8. B. 由a2=abcos C+bccosA？圯a2=ab·■+bc·■，得a=b？圯sinA=sinB.由a=4sinB 2RsinA=4sinB 2RsinA=4sinA R=2.sin2AsinC=■ sinAsinBsinC=■.那么△ABC的面积S=■absinC=■（2RsinA）（2RsinB）sinC=2×22×■=■.9. C. 由CD=■AB=4及面积为20可得梯形的高为4. 以AB为x轴，AB的中垂线为y建立直角坐标系，则A（-3， 0），B（3， 0），E（■， 2），G（-■，■），F（-■，■）.那么■=（-■，■），■=（■，■），于是■·■=-■×■+■×■=-■.10. C. 由图像知A=2，T= 4[■-（-■）]=4 ，那么■= 4 ，=■，所以f（x）=2sin（■+ ）.又由f（-■）=0，即2sin（-■+ ）=0结合。

2020-2021学年天津市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

天津市高考数学三模试卷（理科）一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．12．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．24．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是______（用数字作答）．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为______cm3．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是______．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为______．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为______．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为______．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题(每题5分，共40分)1．复数z满足=i（i为虚数单位），则|z|等于（）A．2 B．C．D．1【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，代入复数模的公式得答案．【解答】解：∵=i，∴1+z=i﹣zi，则（1+i）z=﹣1+i，∴，∴|z|=1．故选：D．2．若实数x，y满足条件：，则的最大值为（）A．0 B．C． D．【考点】简单线性规划．【分析】设z=，作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=，则y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，则由图象知当直线经过点时，直线的截距最大，此时z最大，由得，即A（1，），此时z=×1+=2，故选：C3．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为（）A．1 B．C．D．2【考点】程序框图．【分析】根据已知的程序框图可得，该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，利用对数的运算法即可得解．【解答】解：模拟程序的运行过程，可得S=0，n=3执行循环体，M=，S=log2=2﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=4，M=，S=log2+log2=log25﹣log23，不满足条件S∈Q，执行循环体，n=5，M=，S=log2+log2+log2=log26﹣log23，…不满足条件S∈Q，执行循环体，n=11，M=，S=log212﹣log23=log24=2，满足条件S∈Q，退出循环，输出S的值为2．故选：D．4．设命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为（）A．∀n∈N，n2＞2n B．∃n∈N，n2≤2n C．∀n∈N，n2≤2n D．∃n∈N，n2=2n【考点】命题的否定．【分析】利用特称命题的否定是全称命题写出结果即可．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以命题P：∃n∈N，n2＞2n，则￢P为：∀n∈N，2n≤2n．故选：C．5．如图，在直角△ABC中，AB⊥BC，D为BC的中点，以AB为直径作圆O，分别交AC、AD于点E，F，若AF=3，FD=1，则AE等于（）A．B．C．D．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】运用圆的切线的性质和切割线定理，求得BD=2，再由勾股定理，求得AB，AC的值，再由切割线定理，可得CB2=CE•CA，即可得到所求值．【解答】解：由AB⊥BC，可得DB为切线，由切割线定理可得，BD2=DF•DA，由AF=3，FD=1，可得BD2=1×（1+3）=4，解得BD=2，在直角三角形ABD中，AB===2，在直角三角形ABC中，AC===2，由BC为切线，可得CB2=CE•CA，即有16=（2﹣AE）•2，解得AE=．故选：B．6．已知双曲线C的左右焦点分别为F1、F2，且F2恰为抛物线y2=8x的焦点．设A为双曲线C与该抛物线的一个交点，若△AF1F2是以AF1的底边的等腰三角形，则双曲线C的离心率为（）A．1+B．1+C．D．【考点】抛物线的简单性质．【分析】求出抛物线的焦点坐标，即可得到双曲线c的值，利用抛物线与双曲线的交点以及△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，结合双曲线a、b、c关系求出a的值，然后求出离心率．【解答】解：抛物线的焦点坐标（2，0），所以双曲线中，c=2，因为双曲线C与该抛物线的一个交点为A，若△AF1F2是以AF1为底边的等腰三角形，由抛物线的定义可知，抛物线的准线方程过双曲线的左焦点，所以=2c，c2=a2+b2=4，解得a=2+，双曲线的离心率e==1+．故选：B．7．已知f（x）=2x+2﹣x，f（m）=3，且m＞0，若a=f（2m），b=2f（m），c=f（m+2），则a，b，c 的大小关系为（）A．c＜b＜a B．a＜c＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c【考点】函数的值．【分析】可得f（m）=2m+2﹣m=3，2m＞2，从而化简比较大小．【解答】解：∵f（m）=2m+2﹣m=3，m＞0，∴2m=3﹣2﹣m＞2，∴b=2f（m）=2×3=6，a=f（2m）=22m+2﹣2m=（2m+2﹣m）2﹣2=7，c=f（m+2）=2m+2+2﹣m﹣2=4•2m+2﹣m＞8，∴b＜a＜c；故选D．8．已知y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，当函数y=f（x ﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，则实数k的数值范围是（）A．（0，6﹣）B．（6﹣，2）C．（，6﹣）D．（，2﹣）【考点】分段函数的应用；函数的图象；函数零点的判定定理．【分析】画出函数y=f（x﹣1）的图象，可得y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，求出函数图象交点为4个时的临界值，可得答案．【解答】解：∵y=f（x）是定义在R上的奇函数，且f（x）=，∴函数y=f（x﹣1）的图象如下图所示：y=k（x﹣2）+表示过（2，）点斜率为k的直线，由图可得：y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象最多有5个交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）至多有5个零点，当k=时，直线y=k（x﹣2）+过原点，此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；当k=6﹣时，直线y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象抛物线部分相切，此时y=k（x﹣2）+与y=f（x﹣1）的图象有4交点，即函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）有4个零点；故当函数y=f（x﹣1）﹣﹣k（x﹣2）（其中k＞0）的零点个数取得最大值时，k∈（，6﹣），故选：C．二、填空题(每小题5分，共30分)9．的展开式中x8的系数是（用数字作答）．【考点】二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于8，求得r的值，即可求得展开式中的x8的系数．【解答】解：由于的展开式的通项公式为T r+1=••，令15﹣=8，求得r=2，故开式中x8的系数是•=，故答案为：．10．一个几何体的三视图如图所示（单位cm），则该几何体的体积为6+cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r=．利用球的体积计算公式与三棱柱的体积计算公式．【解答】解：由三视图可知：该几何体由两部分组成，上面是一个半球，下面是一个正三棱柱．设底面正三角形的内切球的半径为r，则r==1．∴该几何体的体积=13+=+6．故答案为：6+．11．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．则|CA|=．则|PA|的取值范围是．故答案为：．12．如图，在边长为1的正方形OABC内取一点M，则点M恰好落在阴影内部的概率为．【考点】几何概型．【分析】欲求所投的点落在阴影部分内部的概率，须结合定积分计算阴影部分平面区域的面积，再根据几何概型概率计算公式易求解．【解答】解：根据题意，正方形OABC的面积为1×1=1，而阴影部分的面积为==，∴在边长为1的正方形OABC内取一点M，点M恰好落在阴影内部的概率为．故答案为：．13．在△ABC中，A=，AB=，B的角平分线BD=，则BC的长为．【考点】余弦定理．【分析】在△ABD中使用正弦定理求出∠ADB，得出∠ABD，从而得出∠ABC，∠ACB，再在△ABC 中使用正弦定理计算BC．【解答】解：在△ABD中，由正弦定理得，即，解得sin∠ADB=．∴∠ADB=45°，∴∠ABD=15°，∠ABC=30°．∴∠C=30°，在△ABC中，由正弦定理得，即，解得BC=．故答案为：．14．在边长为2的正方形ABCD中，动点M和N分别在边BC和CD上，且=，=，则•的最小值为﹣1 ．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】建立平面直角坐标系，求出•关于λ的函数，利用基本不等式得出最小值．【解答】解：以CB，CD为坐标轴建立平面直角坐标系如图：则A（2，2），B（2，0），M（2﹣2λ，0），N（0，2﹣）．∴=（﹣2λ，﹣2），=（﹣2，）．∴•=4λ﹣=4λ+1+﹣5﹣5=﹣1．当且仅当4λ+1=即λ=时取等号．故答案为：﹣1．三、解答题(本题共6题，共80分)15．已知函数f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，x∈R．（1）求函数f（x）的最小正周期和最大值；（2）求函数f（x）在[，]上的单调区间．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）由三角函数诱导公式及二倍角公式，辅助角公式化简f（x），由此得到最值与周期．（2）由f（x）解析式得到单调增减区间，由此得到在[，]上的单调性．【解答】解：（1）∵f（x）=sin（x﹣）sinx﹣cos2x，=cosxsinx﹣cos2x=sin2x﹣cos2x﹣，=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小正周期为T=π，f（x）的最大值为1﹣．（2）由（1）可知，f（x）在[﹣，]上的单调递增，在[，]上的单调递减，而[，]⊆[﹣，]，[，]⊆[，]．∴函数f（x）在[，]上的单调递增，在[，]上的单调递减．16．某商场五一期间搞促销活动，顾客购物满一定数额可自愿进行以下游戏，花费10元从1，2，3，4，5，6中挑选一个点数，然后掷骰子3次，若所选的点数出现，则先退还顾客10元，然后根据所选的点数出现的次数，每次再额外给顾客10元奖励；若所选的点数不出现，则10元不再退还．（Ⅰ）某顾客参加游戏，求该顾客获奖的概率；（Ⅱ）计算顾客在此游戏中的净收益X的分布列与数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；离散型随机变量及其分布列．【分析】（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，由事件A与事件B为对立事件，能求出该顾客获奖概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．【解答】解：（Ⅰ）设“顾客所选噗数出现”为事件A，“顾客所选点数不出现”为事件B，∵事件A与事件B为对立事件，∴该顾客获奖概率为P（A）=1﹣P（B）=1﹣（）3=．（Ⅱ）依题意，随机变量X的所有可能取值为﹣10，10，20，30，P（X=﹣10）=（）3=，P（X=10）==，P（X=20）=，P（X=30）=（）3=，∴X的分布列为：X ﹣10 10 20 30P∴E（X）=+10×++30×=﹣．17．如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，点D，E分别在棱PB、PC上，PA=AB=2，∠ABC=60°，∠BCA=90°，且DE∥BC．（Ⅰ）求证：BC⊥平面PAC；（Ⅱ）当点D为PB的中点时，求AD与平面PAC所成角的正切值；（Ⅲ）是否存在点E使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角？并说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面所成的角．【分析】（Ⅰ）以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BC⊥平面PAC．（Ⅱ）求出平面PAC的一个法向量，设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|，由此能求出AD与平面PAC所成角的正切值．（Ⅲ）设存在点E，且，求出平面ADE的一个法向量和平面PDE的法向量，由此能求出存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．【解答】证明：（Ⅰ）如图，以A为原点，过A在平面ABC内作AB的垂线为x轴，AB为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），B（0，2，0），C（，，0），P（0，0，2），=（，，0），=（0，0，2），设平面PAC的一个法向量为=（x，y，z），则，则，取y=﹣1，得=（），∵=（，﹣，0）=，∴∥，∴BC⊥平面PAC．解：（Ⅱ）∵D为PB的中点，D（0，1，1），∴=（0，1，1），∵平面PAC的一个法向量为=（），设AD与平面PAC所成角为θ，则sinθ=|cos＜＞|===，∴cosθ==，tanθ==，∴AD与平面PAC所成角的正切值为．（Ⅲ）设存在点E，且，则，∴E（），D（0，2λ，2﹣2λ），λ∈（0，1），∴=（），=（，0），设平面ADE的一个法向量为=（a，b，c），则，取y=1，得=（），设平面PDE的法向量=（x1，y1，z1），则，取x1=，得=（），∵二面角A﹣DE﹣P为直二面角，∴==0，解得，∴存在点E（），使得二面角A﹣DE﹣P为直二面角．18．设椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B 的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为．（1）求椭圆的离心率；（2）设点C的坐标为（﹣a，0），N为线段BC的中点，点N关于直线AB的对称点的纵坐标为，求椭圆E的方程．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（Ⅰ）由题意M（），从而得a=，由此能求出椭圆的离心率．（Ⅱ）由a=b，得直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由此能求出椭圆E的方程．【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E的方程为+=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上．满足|BM|=2|AM|，直线0M的斜率为，∴M（），整理，得a=，∴c==2b，∴椭圆的离心率e===．（Ⅱ）由（Ⅰ）得a=b，则直线AB的方程为+=1，由B（0，b），C（﹣，0），得N（﹣，），设点N关于直线AB的对称点S的坐标为（x1，），由线段NS的中点T的坐标为（，），∵点T在直线AB上，且k NS•k AB=﹣1，∴，解得，∴a=3，∴椭圆E的方程为=1．19．已知数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，若{a n}为等比数列，且a1=2，b3=6+b2．（Ⅰ）求a3及数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）设c n=﹣，n∈N*，记数列{c n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）若S k≥S n恒成立，求正整数k的值．【考点】数列的求和；数列与不等式的综合．【分析】（I）设等比数列{a n}的公比为q，由b3=6+b2．可得b3﹣b2=6．由数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，n≥2时，利用递推关系可得：a n=，可得a3==8．利用等比数列的通项公式可得a n．进而得到b n．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，利用等比数列的前n项和公式及其}的前n项和为S n．“裂项求和”方法可得数列{cn（ii）n≤4时，c n＞0．当n≥5时，c n=＜0，即可得出．【解答】解：（I）设等比数列{a n}的公比为q，∵b3=6+b2．∴b3﹣b2=6．∵数列{a n}和{b n}满足a1a2…a n=（），n∈N*，∴n≥2时，a1a2…a n﹣1=，可得：a n=，∴a3===8．又a1=2，∴8=2q2，解得q=2（﹣2舍去）．∴a n=2×2n﹣1=2n．∴（）=21+2+…+n=，∴b n=n（n+1）．（Ⅱ）（i）c n=﹣=﹣=﹣，∴数列{c n}的前n项和为S n=﹣=﹣．（ii）c1=0，c2=，c3=，c4=﹣=．当n≥5时，c n=．由﹣=＜0，∴c n＜0．若S k≥S n恒成立，∴k=4．20．已知函数f（x）=x2+ax+1，g（x）=e x（其中e为自然对数的底数）．（Ⅰ）若a=1，求函数y=f（x）•g（x）在区间[﹣2，0]上的最大值；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，求实数k的取值范围；（Ⅲ）若对任意的x1，x2∈[0，2]，x1≠x2，不等式|f（x1）﹣f（x2）|＜|g（x1）﹣g（x2）|均成立，求实数a的取值范围．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（Ⅱ）若a=﹣1，关于x的方程f（x）=k•g（x）有且仅有一个根，即k==，有且只有一个根，令h（x）=，可得h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，进而可得当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根；（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，a≤2﹣2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）a=1时，y=（x2+x+1）e x，y′=（x+1）（x+2）e x，令y′＞0，解得：x＞﹣1或x＜﹣2，令y′＜0，解得：﹣2＜x＜﹣1，∴函数y=f（x）•g（x）在[﹣2，﹣1]递减，在[﹣1，0]递增，而x=﹣2时，y=，x=0时，y=1，故函数在[﹣2，0]上的最大值是1；（Ⅱ）由题意得：k==有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=，故h（x）在（﹣∞，1）上单调递减，（1，2）上单调递增，（2，+∞）上单调递减，所以h（x）极大=h（2）=，h（x）极小=h（1）=，因为h（x）在（2，+∞）单调递减，且函数值恒为正，又当x→﹣∞时，h（x）→+∞，所以当k＞或0＜k＜时，k=h（x）有且只有一个根．（Ⅲ）设x1＜x2，因为g（x）=e x在[0，2]单调递增，故原不等式等价于|f（x1）﹣f（x2）|＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，所以g（x1）﹣g（x2）＜f（x1）﹣f（x2）＜g（x2）﹣g（x1）在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，即，在x1、x2∈[0，2]，且x1＜x2恒成立，则函数F（x）=g（x）﹣f（x）和G（x）=f（x）+g（x）都在[0，2]单调递增，则有，在[0，2]恒成立，当a≥﹣（e x+2x）恒成立时，因为﹣（e x+2x）在[0，2]单调递减，所以﹣（e x+2x）的最大值为﹣1，所以a≥﹣1；当a≤e x﹣2x恒成立时，因为e x﹣2x在[0，ln2]单调递减，在[ln2，2]单调递增，所以e x﹣2x的最小值为2﹣2ln2，所以a≤2﹣2ln2，综上：﹣1≤a≤2﹣2ln2．。

安徽省合肥市2020届高三高考数学(理科)三模试卷及答案解析

安徽省合肥市2020届高三高考数学（理科）三模试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.已知R 为实数集，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则()R C A B =（）A.{}23x x << B.{}23x x ≤<C.{}023x x x <≤<或D.{}023x x x ≤≤<或2.若复数z 1，z 2在复平面内对应的点关于原点对称，z 1＝1+i ，则12z z ⋅＝（） A.﹣2B.﹣2iC.2D.2i3.在新冠肺炎疫情联防联控期间，某居委会从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，协助小区保安做好封闭管理和防控宣传工作.若每个小区安排2人，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为（） A.59B.49C.445D.21354.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的一个顶点到一条渐近线的距离为2a ，则双曲线的离心率为（）C.2D.35.“关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是（） A.113a << B.12a ≥C.213a << D.112a ≤<6.已知tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭＝（）A.19C.137.公元前1650年的埃及莱因德纸草书上载有如下问题：“十人分十斗玉米，从第二人开始，各人所得依次比前人少八分之一，问每人各得玉米多少斗？”在上述问题中，第一人分得玉米（）A.10101010887⨯-斗B.9101010887⨯-斗C.8101010887⨯-斗 D.91070881⨯-斗 8.已知△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a +b ＝2c cos B ，则2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为（）A. B.3C. D.49.某校高一年级研究性学习小组利用激光多普勒测速仪实地测量复兴号高铁在某时刻的速度，其工作原理是：激光器发出的光平均分成两束射出，在被测物体表面汇聚，探测器接收反射光．当被测物体横向速度为零时，反射光与探测光频率相同．当横向速度不为零时，反射光相对探测光会发生频移p 2sin f νϕλ=，其中v 为测速仪测得被测物体的横向速度，λ为激光波长，φ为两束探测光线夹角的一半，如图，若激光测速仪安装在距离高铁1m 处，发出的激光波长为1550nm （1nm ＝10﹣9m ），测得某时刻频移为9.030×109（1/h ），则该时刻高铁的速度约等于（）A.320km/hB.330km/hC.340km/hD.350km/h10.在长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AD ＝6，AA 1＝2，M 为棱BC 的中点，动点P 满足∠APD ＝∠CPM ，则点P 的轨迹与长方体的面DCC 1D 1的交线长等于（）A.23πB.πC.43π11.已知不等式e x ﹣x ﹣1＞m [x ﹣ln （x +1）]对一切正数x 都成立，则实数m 的取值范围是（）A.,3e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.（﹣∞，1]D.（﹣∞，e ]12.在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝G ，H 分别为直线BC ，CD 上的动点，AH 交DG 于点P .若2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），矩形ABCD 的对称中心M 关于直线AD 的对称点是点N ，则PMN 的周长为（）A.12B.16C.24λD.32λ第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）按年级分层抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a ＝_____．14.在544x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 2的系数为______. 15.已知数列{}n a 中n a n =，数列{}n b 的前n 项和21nn S =-．若数列n n a b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T M <对于n N *∀∈都成立，则实数M 的最小值等于_____．16.已知三棱锥A ﹣BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两垂直，其长度分别为a ，b ，c .点A 在底面BCD 内的射影为O ，点A ，B ，C ，D 所对面的面积分别为S A ，S B ，S C ，S D .在下列所给的命题中，正确的有______.（请写出所有正确命题的编号） ①三棱锥A ﹣BCD 外接球的表面积为（a 2+b 2+c 2）π； ②S A •S △BCO ＝S D 2； ③S A 3＜S B 3+S C 3+S D 3；④若三条侧棱与底面所成的角分别为α1，β1，γ1，则sin 2α1+sin 2β1+sin 2γ1＝1； ⑤若点M 是面BCD 内一个动点，且AM 与三条侧棱所成的角分别为α2，β2，γ2，则cos 2α2+cos 2β2+cos 2γ2＝1.三、解答题（题型注释）17.已知函数()cos (sin )f x x x x ωωω=+（ω＞0）. （1）求函数f （x ）的值域；（2）若方程f （x [0，π]上恰有两个实数解，求ω的取值范围. 18.如图，边长为2的等边ABC 所在平面与菱形11A ACC 所在平面互相垂直，11AC ，M 为线段AC 的中点.（1）求证：平面1BMC ⊥平面11A BC ；（2）求点C 到平面11A BC 的距离.19.某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X ，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.20.已知函数()x x f x e e ax -=--（e 为自然对数的底数），其中a ∈R. （1）试讨论函数f （x ）的单调性；（2）证明：22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是椭圆E ：2214x y +=上的动点，不经过点P 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点.（1）若直线l 经过坐标原点，证明：直线P A 与直线PB 的斜率之积为定值；（2）若0OA OB OP ++=，直线l 与直线PO 交于点Q ，试判断动点Q 的轨迹与直线P A 的位置关系，并说明理由.22.在平面直角坐标系中，直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0≤α＜π）．以坐标原点为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．曲线E 的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ﹣3＝0，直线m 与曲线E 交于A ，C 两点．（1）求曲线E 的直角坐标方程和直线m 的极坐标方程；（2）过原点且与直线m 垂直的直线n ，交曲线E 于B ，D 两点，求四边形ABCD 面积的最大值．23.已知函数()|22||1|f x x x =--+的最小值为m ．（1）求m 的值；（2）若0a b c m +++=，证明：2222420a b c b c ++-++．参考答案1.D【解析】1.先求得集合{|0R C A x x =≤或2}x ≥，再结合集合的交集运算，即可求解. 由题意，集合{}02A x x =<<，{}3B x x =<，则{|0R C A x x =≤或2}x ≥，所以()R C A B ={0x x ≤或23}x ≤<.故选：D. 2.B【解析】2.首先求2z ，再根据运算法则求12z z ⋅的值. 由条件可知21z i =--()()12112z z i i i ∴⋅=+--=-，故选：B 3.C【解析】3.基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，由此能求出每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区的概率.解：从辖区内A ，B ，C 三个小区志愿者中各选取2人，随机安排到这三个小区，每个小区安排2人，则基本事件总数222364233390C C C n A A =⋅=，每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排志愿者来自不同小区包含的基本事件个数为1111112221118m C C C C C C ==，则每位志愿者不安排在自己居住小区，且每个小区安排的志愿者来自不同小区的概率为：849045m P n ===，故选：C 4.D【解析】4.写出其中一条渐近线方程by x a=，整理成一般式0bx ay -=，顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离公式即可求解.渐近线方程为by x a=，即0bx ay -=，所以顶点(),0a 到直线0bx ay -=的距离2a d ==即12b c =，所以a c =离心率c e a ==故选：D 5.C【解析】5.首先根据题意得到221xxa =+，令2x t =，()111f t t =-+，再根据()f t 的范围结合选项即可得到答案.由题知：()212xxa +=，221xxa =+，令21x t =≥，()1111t f t t t ==-++，因为1t ≥，11012t <≤+，所以()1,12f t ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 故关于x 的方程()212xxa +=有实数解”的一个充分不必要条件是213a <<. 故选：C 6.B【解析】6.到1tan 3πα⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，进而注意到2tan tan 333πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，并利用两角和差的正切公式计算.11tan 3πα-⎛⎫⎪⎪=-=-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2tan tan 333πππαα+⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-==- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,故选：B. 7.B【解析】7.直接根据等比数列的求和公式求解即可．由题意可知，每人所得玉米数构成公比为78的等比数列；且数列的前10 项和为10；设首项为a ；则1071810718a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝=-⎭-；∴910101010110108878718a ⨯⨯==--. 故选：B ． 8.B【解析】8.应用余弦定理化角为边，然后变形后应用基本不等式可得最小值．由余弦定理得2222cos 22a c b a b c B c ac +-+==⨯，21c ab b⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴2113b a b c b a b a =+⎛⎫+ ⎭+⎝⎪≥=，当且仅当b a a b =即a b =时等号成立，所以2b c a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的最小值为3．故选：B ． 9.D【解析】9.先计算sin ϕ，再根据所给公式计算v 即可.3sin ϕ-==故99.03010⨯=即9.03=故349982.48v =≈米/小时350km /h ≈，故选：D 10.A【解析】10.根据∠APD ＝∠CPM ，求出在平面11DCC D 内P 点性质，确定其轨迹后可计算出交线长．显然在长方体1111ABCD A B C D -中，AD ⊥平面11DCC D ，PD ⊂平面11DCC D ，∴AD PD ⊥，同理MC PC ⊥，tan tan AD CMAPD CPM PD PC∠==∠=，因为M 是BC 中点，所以1122CM BC AD ==，∴2PD PC =，在平面11DCC D 内以DC 中x 轴，棱DC 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，如下图，则(3,0),(3,0)D C -，设(,)P x y ，由2PD PC =得2222(3)4(3)x y x y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得22(5)16x y -+=，所以P 为在以(5,0)H 为圆心，4为半径的圆上，由于14HC =<，因此该圆与11C D 交点，设交点为Q ，圆与CD 交于点K ，则P 点在侧面11DCC D 的轨迹就是圆弧QK ，作QN CD ⊥于N ，则12QN CC ==，又4HQ =，∴6QHN π∠=，QK 的长度为2463ππ⨯=，故选：A ．11.C【解析】11.设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，求出函数的导数，通过讨论m 的取值范围，结合函数的单调性判断.由题意可知，当0x >时，()1ln 10xe x m x x ----+>⎡⎤⎣⎦恒成立，设()()1ln 1xf x e x m x x =----+⎡⎤⎣⎦，则()1111xf x e m x ⎛⎫'=--- ⎪+⎝⎭，()()21x m f x e x ''=-+， ①当0m ≤时，()0f x ''>恒成立，()f x '∴单调递增，()00f '=，0x ∴>时，()()00f x f ''>=，()f x ∴单调递增，又()00f =，0x ∴>时，()()00f x f >=，符合题意，②0m >时，()()321x mf x e x '''=++，()0f x '''∴>恒成立，()f x ''单调递增，()01f m ''=- ，（ⅰ）当10m -≥，即01m <≤时，与①同理，符合题意；（ⅱ）当10m -<，即1m 时，()00f ''<，当x →+∞时，()0f x ''>，且()f x ''连续，∴由零点存在性定理可知，存在()00x ∈+∞,，使得()00f x ''=00x x ∴<<时，()0f x ''<，()f x '递减，又()00f '=，00x x ∴<<时，()0f x '<，()f x 递减，()00f =，00x x ∴<<时，()0f x <，不合题意，综上，m 的范围是(],1-∞. 故选：C 12.A【解析】12.分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立平面直角坐标系，利用点斜式可写出直线AH 的方程和直线DG 的方程，然后将其联立成方程组求出点P 的坐标，进一步得到点P 的坐标满足2211612x y +=，最后结合椭圆的定义，求得PMN 的周长.解：分别以MN 和AD 所在的直线为,x y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则(0,(0,(2,0),(2,0)A D M N --,因为2DH DC λ=，12CG CB λ=（0＜λ＜1），所以(8,(4,))H G λλ-，所以直线AH的方程为82y x x λλ=-=- 直线DG的方程为y x =+=+，联立这两条件直线方程可得点28(1P λλ+ 所以2222224222222222228()6412(1)412(1)111161216(1)12(1)(1)(1)λλλλλλλλλλλλ-+-+++++=+===++++即点P 的坐标满足2211612x y +=，所以点P 的轨迹是以O 为对称中心，,N M分别为左右焦点的椭圆，其中4,2a b c ===，则椭圆的定义可知，28PM PN a +==所以PMN 的周长为8412PM PN MN ++=+= 故选：A 13.480；【解析】13.根据分层抽样满足每个个体被抽到的概率是相等的，建立等量关系式，求得结果. 根据题意，由分层抽样方法得8027592528563517520563517a =++++++，解得480a =，故答案为：480. 14.﹣960【解析】14.把式子化为二项式，然后写出二项展开式通项公式，令x 的指数为2，求得项数后得系数．10544x x =⎛⎫ ⎪⎝-+⎭，10511010(2)rr r r r rr T C C x --+⎛==- ⎝，令52r ，3r =，所求系数为3310(2)960C -=-．故答案为：960-． 15.4【解析】15.由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，12n nb -=，则112n n n a n b -⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，利用错位相减法得到12442n n n T -+=-<，即可得出结论. 由数列{}n b 的前n 项和21nn S =-得，当2n ≥时，有()()11121212nn n n n n b S S ---=-=---=，当1n =时，有11211S b =-==也适合上式，故12n nb -=，n a n =，112n n n a n b -⎛⎫∴=⋅ ⎪⎝⎭，()0121111112312222n n T n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()12311111123222222nn T n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，由()()12-得：1231111111111211222222212nn n nn T n n -⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭-()1222nn ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，即12442n n n T -+=-<. 又n T M <对于n N *∀∈都成立，所以4M ≥,故实数M 的最小值等于4. 故答案为：4. 16.①②④⑤【解析】16.建立空间直角坐标系，利用坐标法可以得到⑤正确；当M 与O 重合时，注意线面角与线线角的关系，即可得到④正确；由'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，进而可得②正确；构造长方体，可得①正确；特殊排除可知③错误.如图所示建立空间直角坐标系，设(),,M x y z ,并构造如图所示的长方体.ABFC DGHE - 连接DO 并延长交BC 于O',则'AO BC ⊥，则AM =222222222222cos cos cos 1x y z AM AM AM αβγ⎛⎫⎪++=++= ⎪⎝⎭,故⑤正确；当M 与O 重合时，结论仍然正确，由于各侧棱与底面所成的角与侧棱与AO 所成的角互为余角，故④正确；由于'Rt O OA 与'Rt O AD 相似，∴2'O A O O O D '=⨯',∴2A BCOD S S S ⋅＝,故②正确；三棱锥A ﹣BCD 外接球的的直径是长方体ABFC DGHE -的对角线2222,,AH AH a b c =++外接球的表面积为()()2222242R R a b c πππ==++,故①正确；当1a b c ===时，33331128BCDS S S ⎛⎫==== ⎪⎝⎭，可得33338B C D S S S ++=，而33A S ==⎭3333A B C D S S S S >++,故③错误，综上，正确的是①②④⑤，故答案为：①②④⑤.17.（1）；（2）5463ω≤<．【解析】17.（1）利用二倍角公式和两角和的正弦公式化函数为一个角的一个三角函数形式，然后由正弦函数性质求得值域；（2）解方程()2f x =，由第二小的正数解[0,]π∈，第三小的正数解大于π可得出ω的范围．（1）2()cos (sin )sin cos f x x x x x x xωωωωωω==+)1sin 2cos 2122x x ωω=++sin(2)32x πω=++，因为sin(2)[1,1]3x πω+∈-，所以()f x的值域是22,]22．（2）()sin(2)3f x x πω=+=，sin(2)03x πω+=，23x k πωπ+=，显然0x ≠，32k x ππω-=，k Z ∈，因为方程在[0,]π上只有两个解，又0>ω，所以232332πππωπππω⎧-⎪≤⎪⎪⎨⎪-⎪>⎪⎩，解得5463ω≤<．18.（1）证明见解析；（2【解析】18.（1）首先根据四边形11A ACC为菱形，11AC 得到1ACC ∠△为等边三角形，从而易证1AC C M ⊥，AC BM ⊥，得到AC ⊥平面1BMC ，又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC ，再利用面面垂直的判定即可得到平面1BMC ⊥平面11A BC .（2）首先根据平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥得到1C M ⊥平面ABC .再以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，利用向量法求解点到面的距离即可.（1）因为四边形11A ACC 为菱形，所以11A C AC ⊥.又因为11AC =，所以160ACC ∠=，即1ACC ∠△为等边三角形. 因为11AC CC =，M 为线段AC 的中点，所以1AC C M ⊥. 因为AB BC =，M 为线段AC 的中点，所以AC BM ⊥.又因为1C M BM M =，所以AC ⊥平面1BMC .又因为11//AC A C ，所以11A C ⊥平面1BMC .又11A C ⊂平面11A BC ，所以平面1BMC ⊥平面11A BC . （2）因为平面11A ACC ⊥平面ABC AC =，且1C M AC ⊥，所以1C M ⊥平面ABC .以M 为原点，MB ，MC ，1MC 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：()0,1,0C，)B，(1C，(10,A -，则()110,2,0AC =，(1BC =-，(10,CC =-，设平面11A BC 的法向量(),,n x y z =，则1112030n AC y n BC ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1x =，则()1,0,1n = 所以点C到平面11A BC 的距离1322CC n d n⋅===. 19.（1）28天；（2）①分布列见解析，25；②56750000.【解析】19.（1）利用频率分布直方图求出轻度污染的天数，然后说明空气质量等级为优或良的天数；（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，求出概率，得到分布列，然后求期望；②甲不适宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310，然后求解概率即可.解:（1）由频率分布直方图可得，空气质量指数在(]90,110的天数为2天，所以估计空气质量指数在(]90,100的天数为1天，故在这30天中空气质量等级属于优或良的天数为28天.（2）①在这30天中，乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数共6天，∴()224230920145C P X C ===，()11624230481145C C P X C ⋅===，()262301229C P X C ===， ∴X 的分布列为∴2()012145145295E X =⨯+⨯+⨯=. ②甲不宜进行户外体育运动的概率为110，乙不宜进行户外体育运动的概率为310， ∴2223219375671010101050000P C C ⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⎪⎝⎭. 20.（1）答案见解析（2）证明见解析.【解析】20.（1）求导后，对a 分类讨论，利用导数符号可得函数的单调性；（2）根据1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，可得当*n N ∈且2n ≥时，111ln 11n n n n >--+，再利用裂项求和可证不等式. （1）因为()x xf x e e a -'=+-，且2x x e e -+≥，所以当2a ≤时，()0f x '≥，所以()f x 在R 上为增函数，当2a >时，由()0f x '>，得0x x e e a-+->，所以2()10x xe ae -+>，所以22()124x a a e ->-，所以22x ae ->或22xa e -<-，所以xe >xe <所以24ln2aa x 或24ln2aa x ，由()0f x '<，得0x x e e a -+-<，解得2244ln22a a aa x，所以()f x 在⎛⎝⎭上递减，在,ln ⎛-∞ ⎝⎭和⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭上递增. （2）由（1）知，当2a =时，()2x xf x e e x -=--在R 上为增函数，所以1()(ln )2ln g x f x x x x==--在(0,)+∞上为增函数，所以当*n N ∈且2n ≥时，13()(2)22ln 2ln 422g n g ≥=--=-=32ln 04e >，即12ln 0n n n-->，所以212211ln 1(1)(1)11n n n n n n n >==---+-+，所以211111ln 2ln 23ln 34ln 4ln ni i i n n==++++∑ 1111111121213131414111n n >-+-+-++--+-+-+-+ 111121n n =+--+2322(1)n n n n --=+，所以22132ln 2(1)ni n n i i n n =-->+∑. 21.（1）证明详见解析；（2）动点Q 的轨迹方程是2241x y +=，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.【解析】21.（1）根据对称性设点,A B 的坐标，再设()00,P x y ，代入斜率公式，化简即可；（2）由条件可知2OP OQ =-，利用点()00,P x y 的坐标满足220014x y +=，代入可得点Q 的轨迹方程，设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则由条件可知22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，然后分类讨论两种情况，当20y ≠和20y =，分别求直线PA 的方程，判断直线与曲线的位置关系.（1）设()00,P x y ，()11,A x y ，()11,B x y --1010PA y y k x x -=-，1010PB y y k x x --=-- ()()()()()222210101010222210101101144PA PB x x y y y y y y k k x x x x x x x x ------⋅=⨯===------，所以直线PA 与直线PB 的斜率之积为定值14-；（2）设(),Q x y ，()00,P x y0OA OB OP ++=，∴点O 是ABP △的重心，且2OA OB OQ +=，2OP OQ ∴=-，即02x x =-，02=-y y ，220014x y +=，即2241x y +=， ∴动点Q 的轨迹方程是2241x y +=设()22,B x y ，直线OB 与直线PA 交于点M ，则点M 为线段PA 的中点，且22,22xy M ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，①当20y ≠时，220022111414x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，两式相减得：()()22221010104x x y y -+-=，化简得1010210102144y y x x x x x y y y -+=-⋅=--+，1021024PAy y x k x x y -∴==--， ∴直线PA 的方程为2222242y x x y x y ⎛⎫+=-+ ⎪⎝⎭，整理得2224x x y y +=-，将2224x x y y +=-代入动点Q 的轨迹方程得()()2222222244410x y x x x y +++-=，（Δ）将222214x y +=代入（Δ），整理得2222440x x x x ++= ，222216160x x ∆=-=，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切；②当20y =时，()2,0B 或()2,0-，且PA k 不存在，即直线PA ⊥x 轴，若()2,0B ，则()00,P x y ，()00,A x y -，002,22x y Q +⎛⎫∴- ⎪⎝⎭ 2OP OQ =-，00222x x +∴=-⨯，解得：01x =-，同理可得，若()2,0B -，解得01x =，因此直线PA 的方程为1x =±，∴直线PA 与动点Q 的轨迹相切，综上所述，直线PA 与动点Q 的轨迹相切.22.（1）()2214x y ++=，()R θαρ=∈；（2）7【解析】22.（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用极径的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．（1）曲线E 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=，所以曲线E 的直角坐标方程为()2214x y ++=，因为直线m 的参数方程为 cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ≤<）所以tan y x α=⋅，所以直线m 的极坐标方程为()R θαρ=∈ ．（2）设点,A C 的极坐标分别为()()12,,,ραρα．由22cos 30θαρρθ=⎧⎨+-=⎩ 可得22cos 30ρρα+-=， 12122cos ,3ρραρρ∴+=-=-，12AC ρρ∴-＝＝同理得BD =设四边形ABCD 面积为S ，221cos 3sin 372S AC BD αα=⋅=≤+++=，当且仅当22cos 3sin 3αα+=+，即4πα=或3 4π时，等号成立，∴四边形ABCD 面积的最大值为7．23.（1）2m =-；（2）证明见解析；【解析】23. （1）写出分段函数解析式，画图求得函数最小值；（2）结合（1）可得2a b c ++=，然后配凑柯西不等式证明2222420a b c b c ++-++．（1）解：3,1()22113,113,1x x f x x x x x x x -<-⎧⎪=--+=--<⎨⎪-⎩，作出函数的图象如图：根据函数图象得，()f x 的最小值为2-，2m ∴=-；（2）证明：由（1）知，2a b c ++=，22222222[(1)(2)](111)[1(1)1(2)1](1)9a b c a b c a b c ∴+-+++++-++=+++=， 222(1)(2)3a b c ∴+-++，当且仅当12a b c =-=+，2a b c ++=，即1a =，2b =，1c =-时等号成立， 2222420a b c b c ∴++-++．。

2020年高考模拟山西省临汾市高考数学第三次模拟试卷(理科) 含解析

2020年高考模拟高考数学第三次模拟试卷（理科）一、选择题1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx04．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+188．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4] 10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+112．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是．（把你认为正确命题的序号都填上）三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；（2）我们知道抛物线有性质：“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，则A∩B＝（）A．[﹣1，0]B．[﹣1，2]C．[0，1]D．（﹣∞，1]∪[2，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵函数f（x）＝x2﹣2x，集合A＝{x|f（x）≤0}，B＝{x|f'（x）≤0}，∴A＝{x|x2﹣2x≤0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{2x﹣2≤0}＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|0≤x≤1}．故选：C．2．设i是虚数单位，若复数z＝1+i，则+z2＝（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1﹣i D．﹣1+i【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可．解：复数z＝1+i，|z|＝，z2＝（1+i）2＝2i，则+z2＝＝＝1﹣i+2i＝1+i故选：A．3．命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是（）A．∀x∈（0，1），e﹣x≤lnxB．∃x0∈（0，1），e＞lnx0C．∃x0∈（0，1），e＜lnx0D．∃x0∈（0，1），e≤lnx0【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题，写出即可．解：全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“∀x∈（0，1），e﹣x＞lnx”的否定是：“∃x∈（0，1），e﹣x≤lnx”．故选：D．4．已知||＝，||＝2，若⊥（﹣），则向量+在向量方向的投影为（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】运用向量垂直的条件：数量积为0，以及向量的平方即为模的平方，和向量投影的概念，计算即可得到所求值．解：||＝，||＝2，若⊥（﹣），则•（﹣）＝0，即为•＝2＝3，（+）•＝•+2＝3+4＝7，则向量+在向量方向的投影为＝．故选：B．5．在三角形ABC中，“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要【分析】根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．解：sin A＞sin B⇔a＞b⇔π＞A＞B＞0，∵π＞A＞B＞0推不出tan A＞tan B，tan A＞tan B推不出π＞A＞B＞0，∴“sin A＞sin B”是“tan A＞tan B”的既不充分也不必要条件．故选：D．6．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为（）A．B．6C．D．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算变量n×S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：执行程序框图，可得S＝0，n＝2，满足条件，S＝，n＝4，满足条件，S＝＝，n＝6，满足条件，S＝+＝，n＝8，由题意，此时应该不满足条件，退出循环，输出S的值为＝．故选：D．7．木匠师傅对一个圆锥形木件进行加工后得到一个三视图如图所示的新木件，则该木件的体积为（）A．24π+9B．48π+9C．48π+18D．144π+18【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：由已知中的三视图知圆锥底面半径为，圆锥的高h＝，圆锥母线l＝，截去的底面弧的圆心角为120°，底面剩余部分的面积为S＝＝，故几何体的体积为：V＝，故选：C．8．函数y＝cos2x﹣sin2x（x∈[0，]）的单调递增区间是（）A．[0，]B．[0，]C．[，]D．[，]【分析】利用辅助角公式进行转化，结合三角函数的单调性进行求解即可．解：因为y＝cos2x﹣sin2x＝2cos（2x+），由2kπ﹣π≤2x+≤2kπ，k∈Z，解得2kπ﹣≤2x≤2kπ﹣，k∈Z，即kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，即函数的增区间为[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，所以当k＝1时，增区间为[，]，∵x∈[0，]，∴增区间为[，]，故选：D．9．在平面直角坐标系中，若不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，则实数m的取值范围为（）A．（﹣∞，﹣]B．（﹣∞，﹣]C．[4，+∞）D．（﹣∞，﹣4]【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据线性规划的知识，结合直线斜率与区域的关系进行求解即解：作出不等式对应的平面区域，如图所示：其中A（2，6），直线x+my+1＝0过定点D（﹣1，0），当m＝0时，不等式x+1≤0表示直线x+1＝0及其左边的区域，不满足题意；当m＞0时，直线x+my+1＝0斜率﹣＜0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0下方的区域，不满足题意；当m＜0时，直线x+my+1＝0的斜率﹣＞0，不等式x+my+1≤0表示直线x+my+1＝0上方的区域，要使不等式组所表示的平面区域内存在点（x0，y0），使不等式x0+my0+1≤0成立，只需直线x+my+1＝0的斜率﹣≤K AD＝2，解得m．综上可得实数m的取值范围为（﹣∞，﹣]，故选：B．10．已知函数f（x）＝e x﹣1+x﹣2的零点为m，若存在实数n使x2﹣ax﹣a+3＝0且|m﹣n|≤1，则实数a的取值范围是（）A．[2，4]B．[2，]C．[，3]D．[2，3]【分析】先对函数f（x）求导，然后结合导数与函数的性质可求m，代入不等式可求n 的范围，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，分离参数后结合对勾函数的性质可求．解：因为f（x）＝e x﹣1+x﹣2，且f（1）＝0，所以函数f′（x）＝e x﹣1+x﹣2单调递增且有唯一的零点为m＝1，所以|1﹣n|≤1，∴0≤n≤2，问题转化为：使方程x2﹣ax﹣a+3＝0在区间[0，2]上有解，即a＝＝＝x+1+﹣2，在区间[0，2]上有解，而根据“对勾函数”可知函数y＝x+1+﹣2，在区间[0，2]的值域为[2，3]，∴2≤a≤3，故选：D．11．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）满足以下条件：①双曲线E的右焦点与抛物线y2＝4x的焦点F重合；②双曲线E与过点P（4，2）的幂函数f（x）＝x a的图象交于点Q，且该幂函数在点Q处的切线过点F关于原点的对称点．则双曲线的离心率是（）A．B．C．D．+1【分析】先根据导函数的几何意义求出点Q的坐标，再代入双曲线方程结合c＝1，c2＝a2+b2，从而求出离心率．解：依题意可得，抛物线y2＝4x的焦点为F（1，0），F关于原点的对称点（﹣1，0），∵2＝4α，，所以，f'（x）＝，设Q，则，解得x0＝1，∴Q（1，1），可得，又c＝1，c2＝a2+b2，可解得a＝，故双曲线的离心率是，故选：B．12．已知函数f（x）＝xe1﹣x，若对于任意的x0∈（0，e]，函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．（1，e]B．（e﹣，e]C．（e﹣，e+]D．（1，e﹣]【分析】函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．利用导数可得，当x∈（0，e]，0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，分析知F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，可得当x∈（0，x1）时，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F（x）在（x1，e）上是减函数．结合∀x0∈（0，e]，方程lnx ﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，得F（x）max＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由此求得1＜a＜2e．解：函数g（x）＝lnx﹣x2+ax﹣f（x0）+1在（0，e]内都有两个不同的零点，等价于方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内都有两个不同的根．f′（x）＝e1﹣x﹣xe1﹣x＝（1﹣x）e1﹣x，∴当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；当x∈（1，e]时，f′（x）＜0，f（x）是减函数，因此0＜f（x）≤1．设F（x）＝lnx﹣x2+ax+1，F′（x）＝，若F′（x）＝0在（0，e）上无解，则F（x）在（0，e]上是单调函数，不合题意；F′（x）＝0在（0，e）有解，且易知只能有一个解．设其解为x1，当x∈（0，x1）时，F′（x）＞0，F（x）在（0，x1）上是增函数；当x∈（x1，e）时，F′（x）＜0，F（x）在（x1，e）上是减函数．∵∀x0∈（0，e]，方程lnx﹣x2+ax+1＝f（x0）在（0，e]内有两个不同的根，∴F（x）max ＝F（x1）＞1，且F（e）≤0．由F（e）≤0，即lne﹣e2+ae+1≤0，解得a≤e﹣．由F（x）max＝F（x1）＞1，即＞1，∴＞0．∵，∴，代入＞0，得＞0．设m（x）＝lnx+x2﹣1，m′（x）＝＞0，∴m（x）在（0，e）上是增函数，而m（1）＝ln1+1﹣1＝0，由＞0，可得m（x1）＞m（1），得1＜x1＜e．由在（1，e）上是增函数，得1＜a＜2e．综上所述1＜a≤e﹣，故选：D．二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上．）13．（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为3．【分析】由二项式定理及展开式的通项公式即可求解．解：由（1﹣x）6展开式的通项为：T r+1＝（﹣1）r x r；得（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x2的系数为+（﹣2）＝3．故答案为：3．14．我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》提出了“三斜求积术”．他把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜．三斜求积术就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相减后余数的一半，自乘而得一个数，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那个数，相减后余数被4除，所得的数作为“实”，1作为“隅”，开平方后即得面积．所谓“实”、“隅”指的是在方程px2＝q中，p为“隅”，q为“实”．即若△ABC的大斜、中斜、小斜分别为a，b，c，则S2＝[a2c2﹣（）2]．已知点D是△ABC 边AB上一点，AC＝3，BC＝2，∠ACD＝45°，tan∠BCD＝，则△ABC的面积为．【分析】由已知结合两角和的三角公式及同角平方关系可求cos∠ACB，然后结合余弦定理可求AB，代入已知公式即可求解．解：因为tan∠ACB＝tan（∠ACD+∠BCD）＝＝﹣，所以cos∠ACB＝﹣，由余弦定理可知AB2＝AC2+BC2﹣2AC•BC cos∠ACB，＝＝16，即AB＝4，根据“三斜求积术”可得S2＝＝，所以S＝．故答案为：15．过直线y＝kx+7上一动点M（x，y）向圆C：x2+y2+2y＝0引两条切线MA，MB，切点为A，B，若k∈[1，4]，则四边形MACB的最小面积S∈[，]的概率为【分析】求出圆的圆心与半径，利用四边形面积的最小值求出MC的最小值，利用点到直线的距离求解即可．解：连接MC，由圆的切线性质可知，AC⊥MA，BC⊥MB，又因为圆C：x2+y2+2y＝0的圆心C（0，﹣1），半径r＝1，所以S MACB＝2△MAC＝2×＝MA＝，要使得四边形MACB的面积最小，则MC最小，即当CM垂直直线y＝kx+7时，满足题意，此时|MC|min＝，S MACB的最小值为，又因为1≤k≤4，解可得，，故所求的概率为：．故答案为：．16．三棱锥S﹣ABC中，点P是Rt△ABC斜边AB上一点．给出下列四个命题：①若SA⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的四个面都是直角三角形；②若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，则三棱锥S﹣ABC的外接球体积为32；③若AC＝3，BC＝4，SC＝，S在平面ABC上的射影是△ABC内心，则三棱锥S﹣ABC的体积为2；④若AC＝3，BC＝4，SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的最大角为60°．其中正确命题的序号是①②③．（把你认为正确命题的序号都填上）【分析】①由线面垂直的判定定理与性质定理即可判断；②三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，进而求出外接球的半径，即可得解；③由线面垂直的判定定理可知SO⊥平面ABC，所以SO⊥OC，再结合勾股定理以及内切圆的半径公式可求得SO＝1，最后利用三棱锥的体积公式即可得解；④因为SA⊥平面ABC，所以直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A点重合，再在△SCA中，求出tan∠ASC即可得解．解：对于①，因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AC，SA⊥AB，SA⊥BC，又BC⊥AC，所以BC⊥平面SAC，所以BC⊥SC，故四个面都是直角三角形，∴①正确；对于②，若AC＝4，BC＝4，SC＝4，SC⊥平面ABC，∴三棱锥S﹣ABC的外接球可以看作棱长为4的正方体的外接球，∴，，∴体积为，∴②正确；对于③，设△ABC内心是O，则SO⊥平面ABC，连接OC，则有SO2+OC2＝SC2，又内切圆半径，所以，SO2＝SC2﹣OC2＝3﹣2＝1，故SO＝1，∴三棱锥S﹣ABC的体积为，∴③正确；对于④，若SA＝3，SA⊥平面ABC，则直线PS与平面SBC所成的角最大时，P点与A 点重合，在Rt△SCA中，，∴∠ASC＝45°，即直线PS与平面SBC所成的最大角为45°，∴④不正确，故答案为：①②③．三、解答题（共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足a4+a6＝18，S11＝121．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（a n+3）2n，数列{b n}的前n项和为T n，求T n．【分析】（1）设数列{a n}的公差为d，运用等差数列的通项公式和求和公式，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）求得b n＝（n+1）•2n+1，运用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，化简可得所求和．解：（1）设数列{a n}的公差为d，a4+a6＝18，可得2a1+8d＝18，即a1+4d＝9，S11＝121，可得11a1+×11×10d＝121，即a1+5d＝11，解得a1＝1，d＝2，可得a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；（2）由（1）可知b n＝（a n+3）2n＝（n+1）•2n+1，数列{b n}的前n项和为T n＝2•22+3•23+…+（n+1）•2n+1，2T n＝2•23+3•24+…+（n+1）•2n+2，两式作差，得﹣T n＝8+23+24+…+2n+1﹣（n+1）•2n+2＝8+﹣（n+1）•2n+2，化简可得T n＝n•2n+2．18．某小学为了了解该校学生课外阅读的情况，在该校三年级学生中随机抽取了50名男生和50名女生进行调查，得到他们在过去一整年内各自课外阅读的书数（本），并根据统计结果绘制出如图所示的频率分布直方图．如果某学生在过去一整年内课外阅读的书数（本）不低于90本，则称该学生为“书虫”．（1）根据频率分布直方图填写下面2×2列联表，并据此资料，在犯错误的概率不超过5%的前提下，你是否认为“书虫”与性别有关？男生女生总计书虫非书虫总计附：K2＝P（k2≥k）0.250.150.100.050.025k 1.323 2.072 2.706 3.814 5.024（2）从所抽取的50名女生中随机抽取两名，记“书虫”的人数为X，求X的分布列和数学期望．【分析】（1）由已知可得列联表，利用K2计算公式即可得出．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，利用超几何分布列计算公式即可得出．解：（1）由频率分布直方图可得，男生书虫、非书虫的人数分别为12，38，女生书虫、非书虫的人数分别为4，46，故得如下2×2列联表：男生女生总计书虫12416非书虫384684总计5050100根据列联表中数据可得：K2＝＝4.762．由于4.762＞3.841，所以在犯错误的概率不超过5%的前提下，可以认为“书虫”与性别有关．（2）由频率分布直方图可得女生“书虫”的人数为4，X的所有可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，故X的分布列为X012PX的数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．19．如图，己知边长为2的正三角形ABE所在的平面与菱形ABCD所在的平面垂直，且∠DAB＝60°，点F是BC的中点．（1）求证：BD⊥EF；（2）求二面角E﹣DF﹣B的余弦值．【分析】（1）取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．EO⊥平面ABCD．EO ⊥BD，由四边形ABCD为菱形，得BD⊥AC，BD⊥OF，由此能证明BD⊥平面EOF．从而BD⊥EF．（2）连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．推导出DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．利用向量法能求出二面角E﹣DF﹣B的余弦值．解：（1）证明：取AB的中点O，连结EO，OF，AC，由题意知EO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以EO⊥平面ABCD．因为BD⊂平面ABCD，所以EO⊥BD，因为四边形ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又因为OF∥AC，所以BD⊥OF，所以BD⊥平面EOF．又EF⊂平面EOF，所以BD⊥EF．（2）解：连结DO，由题意知EO⊥AB，DO⊥AB．又因为平面ABCD⊥平面ABE，所以DO⊥平面ABE，以O为原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．则O（0，0，0），E（，0，0），D（0，0，），F（0，，），B（0，1，0），＝（，0，﹣），＝（0，）．设平面DEF的一个法向量为＝（x，y，z），则，令x＝1，所以＝（1，，1）．又由（1）可知EO⊥平面ABCD，所以平面DFB的一个法向量为＝（1，0，0），设二面角E﹣DF﹣B的平面角为θ，则cosθ＝＝．20．已知F1，F2为椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P（1，）在椭圆上，且过点F2的直线l交椭圆于A，B两点，△AF1B的周长为8．（1）求椭圆E的方程；“过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F的弦AB满足|AF|+|BF|（2）我们知道抛物线有性质：＝|AF|•|BF|．”那么对于椭圆E，问否存在实数λ，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立，若存在求出λ的值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用椭圆的定义，结合三角形的周长，求出a，设出椭圆方程，代入点的坐标求解即可点的椭圆方程．（2）求出F2（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，与椭圆方程联立，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，不妨设y1＞0，y2＜0，求出|AF2|，|BF2|，通过，转化求解，推出|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，点的存在实数．解：（1）根据椭圆的定义，可得|AF1|+|AF2|＝2a，|BF1|+|BF2|＝2a，△AF1B的周长为4a＝8，得a＝2，所以，椭圆E的方程为：+＝1，将点P（1，）代入椭圆E的方程可得b＝，所以椭圆E的方程为+＝1．（2）由（1）可知c＝＝1，得F2（1，0），依题意可知直线l的斜率不为0，故可设直线l的方程为x＝my+1，由消去x，整理得（3m2+4）y2+6my﹣9＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1+y2＝，，不妨设y1＞0，y2＜0，|AF2|＝＝＝，同理|BF2|＝，所以＝＝＝•＝，即|AF2|+|BF2|＝|AF2|•|BF2|，所以存在实数，使得|AF2|+|BF2|＝λ|AF2|•|BF2|成立．21．已知函数f（x）＝e x﹣2+1．（1）求函数f（2x）在x＝1处的切线方程；（2）若不等式f（x+y）+f（x﹣y）≥mx对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，求实数m的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义即可求解；（2））根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y ﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，利用基本不等式得到对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，利用导数得到当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，所以m≤2，从而求得实数m的取值范围．解：（1）设t（x）＝f（2x）＝e2x﹣2+1，则t'（x）＝2e2x﹣2，当x＝1时，t（1）＝2，t'（1）＝2，∴函数f（2x）在x＝1 处的切线方程为：y﹣2＝2（x﹣1），即2x﹣y＝0；（2）根据题意可得e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx，对任意的x∈[0，+∞），y∈[0，+∞）都成立，当x＝0时，不等式即为e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥0，显然成立，当x＞0时，设g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2，则不等式e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2≥mx恒成立，即为不等式g（x）≥mx恒成立，∵g（x）＝e x+y﹣2+e x﹣y﹣2+2＝e x﹣2（e y+e﹣y）+2（当且仅当y＝0时取等号），∴由题意可得2e x﹣2+2≥mx，即有对x∈（0，+∞）恒成立，令h（x）＝，则h'（x）＝2×＝2×，令h'（x）＝0，即有（x﹣1）e x﹣2＝1，令m（x）＝（x﹣1）e x﹣2，则m'（x）＝e x﹣2+（x ﹣1）e x﹣2＝xe x﹣2，当x＞0 时，m'（x）＝xe x﹣2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上单调递增，又∵m（2）＝（2﹣1）e2﹣2＝1，∴（x﹣1）e x﹣2＝1有且仅有一个根x＝2，当x∈（2，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，当x∈（0，2）时，h'（x）＜0，h （x）单调递减，∴当x＝2 时，h（x）取得最小值，为h（2）＝，∴m≤2，∴实数m的取值范围（﹣∞，2]．请考生在第22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写清题号．[选修4-4坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）．以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．（Ⅰ）求直线l的普通方程，并把圆C的方程化为直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与圆C相交于A，B两点，求|AB|．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式的应用求出结果．解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为：．圆C的极坐标方程为ρ＝cos（）．转换为直角坐标方程为：．（Ⅱ）由于：直线l与圆C相交于A，B两点，故：圆心（）到直线的距离d＝，则：＝．[选修4-5不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+2|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2的解集；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1））利用函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，分段解不等式f（2x）﹣f（x﹣4）＞2即可；（2）当a＞0时，不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，利用绝对值不等式的意义，可得⇔，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，再解|2a﹣2|≥a+1即可．解：（1））函数f（2x）﹣f（x﹣4）＝|2x+2|﹣|x﹣2|＝，当x＜﹣1时，不等式即﹣x﹣4＞2，求得x＜﹣6，∴x＜﹣6；当﹣1≤x＜2时，不等式即3x＞2，求得x＞，＜x＜2；当x≥2时，不等式即x+4＞2，求得x＞﹣2，∴x≥2．综上所述，不等式的解集为{x|＞或x＜﹣6}．（2）当a＞0时，f（ax）+af（x）＝|ax+2|+a|x+2|＝|ax+2|+|ax+2a|≥|（ax+2）﹣（ax+2a|＝|2a﹣2|，∵不等式f（ax）+af（x）≥a+1恒成立，∴|2a﹣2|≥a+1，2a﹣2≥a+1或2a﹣2≤﹣1﹣a，解得a≥3或0＜a≤，∴实数a的取值范围为（0，]∪[3，+∞）．。

2019-2020学年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)(有答案)

江西省九江市高考数学三模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣74．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=05．设Sn 是等差数列{an}的前n项和，若S672=2，S1344=12，则S2016=（）A．22 B．26 C．30 D．346．设x1=18，x2=19，x3=20，x4=21，x5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S值及其统计意义分别是（）A．S=2，即5个数据的方差为2B．S=2，即5个数据的标准差为2C．S=10，即5个数据的方差为10D．S=10，即5个数据的标准差为107．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π）满足f（n）=，则f（1）=（）8．已知函数f（n）（n∈N+A．97 B．98 C．99 D．1009．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．3211．若函数f（x）=cosx+axsinx，x∈（﹣，）存在零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1） D．（﹣∞，0）12．如图所示，已知椭圆C： =1（a＞b＞0），⊙O：x2+y2=b2，点A、F分别是椭圆C的左顶点和左焦点，点P是⊙O上的动点，且为定值，则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=_______．14．若函数f（x）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f（2x）•ln（2x+1）的定义域为_______．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =_______．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为_______．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17．在△ABC 中，三边a ，b ，c 所对应的角分别是A ，B ，C ，已知a ，b ，c 成等比数列．（1）若+=，求角B 的值；（2）若△ABC 外接圆的面积为4π，求△ABC 面积的取值范围．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x 1，y 1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x （元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y （件） b8483 807568已知变量x ，y 具有线性负相关关系，且x i =39，y i =480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a ，b 的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．19．如图所示，四棱锥P ﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠ABC=60°，PA=PC ，PB=PD=AB ．（1）求证：平面PAC ⊥平面ABCD ；（2）求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为（t 为参数，α∈（0，）），以原点O为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l 与曲线C 有且仅有一个公共点M ，求点M 的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．江西省九江市高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|x＜1}，N={x|2x＞1}，则M∩N=（）A．∅B．{x|x＜0} C．{x|x＜1} D．{x|0＜x＜1}【考点】交集及其运算．【分析】利用指数函数的单调性求出集合N中的解集；利用交集的定义求出M∩N．【解答】解：N={x|2x＞1}={x|x＞0}∵M={x|x＜1}，∴M∩N={X|0＜X＜1}故选D2．复数﹣在复平面内所对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】化简复数为：a+bi的形式，求出对应点的坐标即可．【解答】解：．对应点的坐标（）在第三象限．故选：C．3．在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=2，AC=4，E，F分别为AB，BC的中点，则=（）A．9 B．﹣9 C．7 D．﹣7【考点】平面向量数量积的运算．【分析】结合向量的加法与减法法则把表示出来，并根据向量的数量积运算法则计算即可．【解答】解：，故选：D．4．已知直线l经过圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l的距离为，则直线l的方程为（）A．x+2y+5=0 B．2x+y﹣5=0 C．x+2y﹣5=0 D．x﹣2y+3=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】求出圆C 的圆心C （1，2），设直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，由坐标原点到直线l 的距离为，求出直线的斜率，由此能求出直线l 的方程．【解答】解：圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心C （1，2），∵直线l 经过圆C ：x 2+y 2﹣2x ﹣4y=0的圆心，且坐标原点到直线l 的距离为，∴当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x=1，此时坐标原点到直线l 的距离为1，不成立；当直线l 的斜率存在时，直线l 的方程为y=k （x ﹣1）+2，且=，解得k=﹣，∴直线l 的方程为y=﹣（x ﹣1）+2，即x+2y ﹣5=0．故选：C ．5．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 672=2，S 1344=12，则S 2016=（） A ．22 B ．26 C ．30 D ．34 【考点】等差数列的前n 项和．【分析】由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，由此能求出S 2016．【解答】解：∵S n 是等差数列{a n }的前n 项和，S 672=2，S 1344=12，由等差数列的性质得S 672，S 1344﹣S 672，S 2016﹣S 1344成等差数列，得到：2×10=2+S 2016﹣12，解得S 2016=30．故选：C ．6．设x 1=18，x 2=19，x 3=20，x 4=21，x 5=22，将这五个数据依次输入如图所示的程序框进行计算，则输出的S 值及其统计意义分别是（）A ．S=2，即5个数据的方差为2B ．S=2，即5个数据的标准差为2C ．S=10，即5个数据的方差为10D ．S=10，即5个数据的标准差为10【考点】程序框图．【分析】算法的功能是求S=++…+的值，根据条件确定跳出循环的i 值，计算输出S的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=++…+的值，∵跳出循环的i值为5，∴输出S=×[（18﹣20）2+（19﹣20）2+（20﹣20）2+（21﹣20）2+（22﹣20）2]=×（4+1+0+1+4）=2．故选：A．7．如图所示，有一条长度为1的线段MN，其端点M，N在边长为3的正方形ABCD的四边上滑动，当点N绕着正方形的四边滑动一周时，MN的中点P所形成轨迹的长度为（）A．B．8+π C．D．12+π【考点】轨迹方程．【分析】根据题意判断出轨迹是四个角处的四个直角扇形与正方形的四条边上的四条线段组成，然后根据圆的周长公式进行计算即可求解．【解答】解：由题意，轨迹为四条线段加四个四分之一的圆．如图，四个角上的图形合起来刚好是一个半径为0.5的圆，周长为：2π×0.5=π，再加上四个边上滑动为四个等长的线段，长度均为2，合起来就是：2×4+π=8+π．故选：B．8．已知函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，则f（1）=（）+A．97 B．98 C．99 D．100【考点】函数的值．【分析】由已知条件，利用分段函数的性质推导出f（96）=f[f=97，由此能求出f（1）的值．【解答】解：∵函数f（n）（n∈N）满足f（n）=，+∴f=f[f=98，f（98）=f[f=97，f（97）=f[f=98，f（96）=f[f=97，依此类推，得f（99）=f（97）=…=f（1）=98．故选：B．9．高中数学联赛期间，某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间（每个标间至多住2人），则A、B入住同一标间的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出A、B入住同一标间包含的基本事件个数，由此能求出A、B入住同一标间的概率．【解答】解：某宾馆随机安排A、B、C、D、E五名男生入住3个标间，共有种情形，A、B入住同一标间有种情形，∴A、B入住同一标间的概率为．故选：B．10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则此多面体的体积等于（）A．B．16 C．D．32【考点】由三视图求面积、体积．【分析】如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ，即可得出．【解答】解：如图所示，该多面体的直观图为直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1截去一个三棱锥A ﹣A 1B 1C 1，即四棱锥A ﹣BB 1C 1C ， ∴．故选：C ．11．若函数f （x ）=cosx+axsinx ，x ∈（﹣，）存在零点，则实数a 的取值范围是（）A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（﹣∞，﹣1）D ．（﹣∞，0）【考点】函数零点的判定定理．【分析】确定函数是偶函数，a ＜0，f （x ）在上只有一个零点，即可得出结论．【解答】解：∵f （﹣x ）=cos （﹣x ）﹣axsin （﹣x ）=cosx+axsinx=f （x ）， ∴函数是偶函数，当a ≥0时，恒成立，函数无零点，当a ＜0时，，∴函数f （x ）在上单调递减，∵，∴f （x ）在上只有一个零点，由f （x ）是偶函数可知，函数恰有两个零点．故选：D ．12．如图所示，已知椭圆C ：=1（a ＞b ＞0），⊙O ：x 2+y 2=b 2，点A 、F 分别是椭圆C 的左顶点和左焦点，点P 是⊙O 上的动点，且为定值，则椭圆C 的离心率为（）A ．B ．C ．D ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】设P （x 1，y 1），由是常数，得，然后利用，转化为关于x 1 的方程，由系数相等可得a ，c 的关系式，从而求得椭圆C 的离心率．【解答】解：设F （﹣c ，0），c 2=a 2﹣b 2，设P （x 1，y 1），要使得是常数，则有，λ是常数，∵，∴，比较两边系数得b 2a 2=λ（b 2+c 2），a=λc，故c （b 2+a 2）=a （b 2+c 2），即2ca 2﹣c 3=a 3，即e 3﹣2e+1=0，即（e ﹣1）（e 2+e ﹣1）=0，又0＜e ＜1， ∴．故选：D ．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13．若二项展开式的第三项系数为80，则实数a=2．【考点】二项式定理的应用．【分析】由条件利用二项展开式的通项公式，求得实数a 的值．【解答】解：由题意可得二项展开式的第三项系数为，∴10a 3=80，解得a=2，故答案为：2．14．若函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，则函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由函数f （x ）的定义域为[﹣2，2]，可得f （2x ）的定义域为满足﹣2≤2x ≤2的x 的取值集合，再与2x+1＞0的解集取交集即可得到函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得．∴函数y=f （2x ）•ln（2x+1）的定义域为．故答案为：．15．已知数列{a n }各项均不为0，其前n 项和为S n ，且a 1=1，2S n =a n a n+1，则S n =．【考点】数列递推式．【分析】利用递推关系、等差数列的通项公式及其前n 项和公式即可得出．【解答】解：当n=1时，2S 1=a 1a 2，即2a 1=a 1a 2，∴a 2=2．当n ≥2时，2S n =a n a n+1，2S n ﹣1=a n ﹣1a n ，两式相减得2a n =a n （a n+1﹣a n ﹣1）， ∵a n ≠0，∴a n+1﹣a n ﹣1=2，∴{a 2k ﹣1}，{a 2k }都是公差为2的等差数列，又a 1=1，a 2=2， ∴{a n }是公差为1的等差数列， ∴a n =1+（n ﹣1）×1=n ， ∴S n =．故答案为：．16．如图所示，半径为1的球内切于正三棱锥P ﹣ABC 中，则此正三棱锥体积的最小值为8．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】设棱锥底面边长为a，高为h，作过棱锥的高和斜高的截面，根据三角形相似得出a，h的关系，代入棱锥的体积公式，利用导数求出体积的最小值．【解答】解：设正三棱锥P﹣ABC的底面边长AB=a，高为PO=h．设内切球球心为M，与平面PAC的切点为N，D为AC的中点，则MN⊥PD．DO==．MN=1，PM=h﹣1，∴PN===．∵Rt△PMN∽Rt△PDO，∴，即，∴a=．∴，，令V'=0得h=4，故当h=4时，．故答案为8．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，三边a，b，c所对应的角分别是A，B，C，已知a，b，c成等比数列．（1）若+=，求角B的值；（2）若△ABC外接圆的面积为4π，求△ABC面积的取值范围．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）由切化弦、两角和的正弦公式化简式子，由等比中项的性质、正弦定理列出方程，即可求出sinB，由内角的范围和特殊角的三角函数值求出B；（2）由余弦定理和不等式求出cosB的范围，由余弦函数的性质求出B的范围，由正弦定理和三角形的面积公式表示出△ABC面积，利用B的范围和正弦函数的性质求出△ABC面积的范围．【解答】解：（1）由题意得，，∵a，b，c成等比数列，∴b2=ac，○由正弦定理有sin2B=sinAsinC，∵A+C=π﹣B，∴sin（A+C）=sinB，得，即，由b2=ac知，b不是最大边，∴．（2）∵△ABC外接圆的面积为4π，∴△ABC的外接圆的半径R=2，由余弦定理b2=a2+c2﹣2accosB，得，又b2=ac，∴，当且仅当a=c时取等号，∵B为△ABC的内角，∴，由正弦定理，得b=4sinB，∴△ABC的面积，∵，∴，∴．18．某工厂为了对新研发的产品进行合理定价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得到一组检测数据（x1，y1）（i=1，2，…6）如表所示：试销价格x（元） 4 5 6 7 a 9 产品销量y（件） b 84 83 80 75 68已知变量x，y具有线性负相关关系，且xi =39， yi=480，现有甲、乙、丙三位同学通过计算求得其归直线方程分别为：甲y=4x+54；乙y=﹣4x+106；丙y=﹣4.2x+105，其中有且仅有一位同学的计算结果是正确的．（1）试判断谁的计算结果正确？并求出a，b的值；（2）若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过1，则该检测数据是“理想数据“，现从检测数据中随机抽取3个，求“理想数据“的个数ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．【分析】（1）xi =39， yi=480，x的和为39，y的和为480，解得a和b的值，并求得，，由x，y具有线性负相关关系，甲同学的不对，将，，代入验证，乙同学的正确；（2）分别求出有回归方程求得y值，与实际的y相比较，判断是否为“理想数据“，并求得ξ的取值，分别求得其概率，写出分布列和数学期望．【解答】解：（1）已知变量x，y具有线性负相关关系，故甲不对，且xi=39，4+5+6+7+a+9=39，a=8，y=480，b+84+83+80+75+68=480，b=90，i∵=6.5，=80，将，，代入两个回归方程，验证乙同学正确，故回归方程为：y=﹣4x+106；（2）X 4 5 6 7 8 9y 90 84 83 80 75 68y 92 88 84 80 76 72“理想数据“的个数ξ取值为：0，1，2，3；P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==．“理想数据“的个数ξ的分布列：X 0 1 2 3P =数学期望E（X）=0×+1×+2×+3×=1.5．19．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，PA=PC，PB=PD=AB．（1）求证：平面PAC⊥平面ABCD；（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定．【分析】（1）设AC与BD相交于点O，连接PO，根据三线合一得出PO⊥AC，PO⊥BD，故而PO⊥平面ABCD，得出平面PAC⊥平面ABCD；（2）以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立空间直角坐标系，设AB=2，求出和平面PCD的法向量，则|cos＜＞|即为所求．【解答】（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接PO，∵ABCD为菱形，∴O为AC，BD的中点．∵PA=PC，PB=PD，∴PO⊥AC，PO⊥BD．又AC∩BD=O，AC，BD⊂平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD，又PO⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABCD．（2）解：∵ABCD为菱形，∠ABC=60°，∴△ABC为正三角形，AC⊥BD，不妨设PB=PD=AB=2，则BO=，∴PO=1．以O为原点，以OB，OD，OP为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，∴P（0，0，1），B（，0，0），C（0，1，0），D（﹣，0，0）．∴=（，0，﹣1），=（0，1，﹣1），=（﹣，0，﹣1）．设平面PCD的法向量为=（x，y，z），则，即．令x=1得=（1，﹣，﹣）．∴cos＜＞===．∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为．20．如图所示，已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）的焦点为F ，过点F 垂直于x 轴的直线与抛物线C 相交于A ，B 两点，抛物线C 在A ，B 两点处的切线及直线AB 所围成的三角形面积为4．（1）求抛物线C 的方程；（2）设M ，N 是抛物线C 上异于原点O 的两个动点，且满足k OM •k ON =k OA •k OB ，求△OMN 面积的取值范围．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）求出A ，B 坐标，利用导数解出切线方程，求出切线与x 轴的交点，利用三角形的面积列方程解出p ；（2）计算k OA •k OB =﹣4，设出MN 方程，求出MN 与x 轴的交点，联立方程组，根据根与系数的关系计算|y M ﹣y N |，得出△OMN 面积S 关于t 的函数，解出函数的最值．【解答】解：（1）抛物线的焦点坐标为F （，0），∴，由，得，∴抛物线C 在A 处的切线斜率为1，由抛物线C 的对称性，知抛物线C 在B 处的切线卸斜率为﹣1， ∴抛物线过A 点的切线方程为y ﹣p=x ﹣，令y=0得x=﹣． ∴，解得p=2．∴抛物线C 的方程为y 2=4x ．（2）k OA =2，k OB =﹣2，∴k OA •k OB =﹣4，设，则，∴y 1y 2=﹣4．令直线MN 的方程为x=ty+n ，联立方程组消去x 得：y 2﹣4ty ﹣4n=0，则y 1y 2=﹣4n ，y 1+y 2=4t ，∵y 1y 2=﹣4，∴n=1．即直线MN 过点（1，0）． ∴．∵t 2≥0，∴S △OMN ≥2．综上所示，△OMN 面积的取值范围是[2，+∞）．21．已知函数f （x ）=x 2+ax ﹣lnx ，g （x ）=e x （a ∈R ）．（1）是否存在a 及过原点的直线l ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切？若存在，求a 的值及直线l 的方程；若不存在，请说明理由；（2）若函数F （x ）=在区间（0，1]上是单调函数，求a 的取值范围．【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】（1）求出f （x ），g （x ）的导数，设出切点，求得切线的斜率，运用点斜式方程可得切线的方程，即可判断存在a=e ﹣1及l ：y=ex ；（2）求出F （x ）的解析式和导数，令，求出导数，判断单调性，再对a 讨论，分a ≤2，a ＞2，判断h （x ）的单调性，进而得到F （x ）的单调性，即可得到所求范围．【解答】解：（1）g （x ）的导数为g'（x ）=e x ，设曲线y=g （x ）在点处切线过原点，则切线方程为，由点在切线上，可得，解得x 1=1，即有切线方程为y=ex ，设直线y=ex 与曲线y=f （x ）切于点（x 2，y 2），由f （x ）的导数为，可得，即有，又，则，可得，解得x 2=1，a=e ﹣1．故存在a=e ﹣1及l ：y=ex ，使得直线l 与曲线y=f （x ），y=g （x ）均相切．（2），，令，则，易知h'（x ）在（0，1]上单调递减，从而h'（x ）≥h'（1）=2﹣a ．①当2﹣a ≥0时，即a ≤2时，h'（x ）≥0，h （x ）在区间（0，1]上单调递增，由h （1）=0，可得h （x ）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x ）≤0在（0，1]上恒成立．即F （x ）在区间（0，1]上单调递减，则a ≤2满足题意；②当2﹣a ＜0时，即a ＞2时，由h'（1）=2﹣a ＜0，当x ＞0且x→0时，h'（x ）→+∞，故函数h'（x ）存在唯一零点x 0∈（0，1]，且h （x ）在（0，x 0）上单调递增，在（x 0，1）上单调递减，又h （1）=0，可得F （x ）在（x 0，1）上单调递增．注意到h （e ﹣a ）＜0，e ﹣a ∈（0，x 0），即有F （x ）在（0，e ﹣a ）上单调递减，这与F （x ）在区间（0，1]上是单调函数矛盾，则a ＞2不合题意．综合①②得，a 的取值范围是（﹣∞，2]．四.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]22．如图所示，直线AB 为圆O 的切线，切点为B ，点C 在圆O 上，∠ABC 的平分线BE 交圆O 于点E ，DB 垂直BE 交圆O 于点D ．（1）证明：DB=DC ；（2）设圆O 的半径为1，BC=，延长CE 交AB 于点F ，求线段BF 的长．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△DCE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（2）由（1）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到线段BF的长【解答】（1）证明：连接DE交BC于点G，由弦切角定理得，∠ABE=∠BCE．∵∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DE⊥BE，∴DE是直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（2）解：设DE与BC相交于点G，由（1）知，∠CDE=∠BDE，DB=DC，故DG是BC的中垂线．∵，∴．连接BO，∵圆O的半径为1，∴∠BOG=60°，∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°，∴CF⊥BF．，∴．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，α∈（0，）），以原点O 为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（1）若直线l与曲线C有且仅有一个公共点M，求点M的直角坐标；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，线段AB的中点横坐标为，求直线l的普通方程．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C 的直角坐标方程．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=0，解出即可得出点M的直角坐标．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．利用中点坐标公式即可得出．【解答】解：（1）曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，把ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，代入可得C的直角坐标方程为：x2﹣4x+y2=0，即（x﹣2）2+y2=4．把直线l的参数方程代入上式并整理得t2﹣6tcosα+5=0．令△=（6cosα）2﹣20=0，解得．∴点M的直角坐标为．（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2=6cosα．线段AB的中点对应的参数为．则，解得．∴直线l的普通方程为x﹣y+1=0．[选修4-5：不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x﹣1|﹣|x+1|．（1）求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，求实数x的取值范围．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，求不等式|f（x）|＜1的解集；（2）若不等式|a|f（x）≥|f（a）|对任意a∈R恒成立，分类讨论，转化为|f（x）|≥2，求实数x的取值范围．【解答】解：（1）x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2＜1，不成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|＜1，∴﹣＜x＜；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|＞1，不成立，综上所述不等式|f（x）|＜1的解集为{x|﹣＜x＜}；（2）a=0时，不等式成立，a≠0时，|f（x）|≥||1﹣|﹣|1+||∵||1﹣|﹣|1+||＜2，∴|f（x）|≥2，x＜﹣1时，f（x）=﹣x+1+x+1=2，成立；﹣1≤x≤1时，f（x）=﹣x+1﹣x﹣1=﹣2x，|﹣2x|≥2，∴x=±1；x＞1时，f（x）=x﹣1﹣x﹣1=﹣2，|f（x）|=2，成立，综上所述实数x的取值范围为{x|x≤﹣1或x≥1}．。

2020年高考数学(理科)全国2卷高考模拟试卷(3)

2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞） 2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√33．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（） A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（） A ．4√2B ．2√2C ．43√2 D ．34√26．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√347．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（）A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关 12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1 D ．x 29−y 216=1二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼条．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 km 处，最少费用为万元．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为 cm ．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a2+a3＝a5﹣b1，②a2•a3＝2a7，③S3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n}的公差d＞0，前n项和为S n，若_______，数列{b n}满足b1＝1，b2=1 3，a nb n+1＝nb n﹣b n+1．（1）求{a n}的通项公式；（2）求{b n}的前n项和T n．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n（单位：笼，n∈N），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X为一天的包子需求量，求X的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y为当天的利润（单位：元），求Y的分布列和数学期望．19．（12分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD为菱形，∠DAB＝60°，AB ＝2，△P AD为等边三角形，平面P AD⊥平面ABCD．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围． 21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|．（1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．2020年高考数学（理科）全国2卷高考模拟试卷（3）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）1．（5分）设集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}，则（） A ．A ∩B =(0，53] B ．A ∩B =(0，13] C ．A ∪B =(13，+∞)D ．A ∪B ＝（0，+∞）【解答】解：∵集合A ＝{x |x ＞0}，B ＝{x |log 2（3x ﹣2）＜2}， ∴B ＝{x |23＜x ＜2}，则A ∪B ＝（0，+∞），A ∩B ＝（23，2），故选：D ．2．（5分）已知i 是虚数单位，复数z 满足1−2i z=1+i ，则|z |＝（） A ．√52B ．3√22C ．√102D ．√3【解答】解：由1−2i z=1+i ，得z =1−2i1+i =(1−2i)(1−i)(1+i)(1−i)=−12−32i ，∴|z |＝|z |=√(−12)2+(−32)2=√102．故选：C ．3．（5分）在△ABC 中，“AB →•AC →=BA →•BC →”是“|AC →|＝|BC →|”（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【解答】解：因为在△ABC 中AB →•AC →=BA →•BC →等价于AB →•AC →−BA →•BC →=0等价于AB →•（AC →+BC →）＝0，因为AC →+BC →的方向为AB 边上的中线的方向．即AB 与AB 边上的中线相互垂直，则△ABC 为等腰三角形，故AC ＝BC ，即|AC|→=|BC →|，所以为充分必要条件．故选：C ．4．（5分）已知a ，b 是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥βB ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥βC ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥αD ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β【解答】解：A ．若a ∥α，b ∥β，a ∥b ，则α∥β，不正确，可能相交； B ．若α⊥β，a ⊥α，则a ∥β或a ⊂β，因此不正确； C ．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a ，则a ⊥α，正确；证明：设α∩β＝b ，α∩γ＝c ，取P ∈α，过点P 分别作m ⊥b ，n ⊥c ，则m ⊥β，n ⊥γ，∴m ⊥a ，n ⊥a ，又m ∩n ＝P ，∴a ⊥α． D ．若α∥β，a ∥α，则a ∥β或a ⊂β．故选：C ．5．（5分）三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，则三棱锥P ﹣ABC 的体积的最大值是（） A ．4√2B ．2√2C ．43√2D ．34√2【解答】解：由题意三棱锥P ﹣ABC 内接于半径为2的球中，P A ⊥平面ABC ，∠BAC =π2，BC ＝2√2，棱锥的高为P A ，可得16＝8+P A 2，所以P A ＝2√2，所以三棱锥的体积为：13×12×AB ×AC ×PA =√23•AB •AC ≤√23⋅AB 2+AC 22=4√23，当且仅当AB ＝AC ＝2时，三棱锥的体积取得最大值．故选：C ．6．（5分）抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点为F ，准线为l ，A ，B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =2π3．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MN||AB|的最大值是（）A ．√3B ．√32C ．√33D ．√34【解答】解：设|AF |＝a ，|BF |＝b ，A 、B 在准线上的射影点分别为Q 、P ，连接AQ 、BQ由抛物线定义，得|AF |＝|AQ |且|BF |＝|BP |，在梯形ABPQ 中根据中位线定理，得2|MN |＝|AQ |+|BP |＝a +b ．由余弦定理得|AB |2＝a 2+b 2﹣2ab cos 2π3=a 2+b 2+ab ，配方得|AB |2＝（a +b ）2﹣ab ，又∵ab ≤（a+b 2） 2，∴（a +b ）2﹣ab ≥（a +b ）2﹣（ a+b 2） 2=34（a +b ）2得到|AB |≥√32（a +b ）．所以|MN||AB|≤a+b2√32(a+b)=√33，即|MN||AB|的最大值为√33．故选：C ．7．（5分）函数f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x 的值域为（） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，√2+12]C ．[﹣1，√2−12]D ．[−1，√2]【解答】解：设sin x +cos x ＝t （−√2≤t ≤√2）所以：sinxcosx =t 2−12则：f （x ）＝sin x +cos x +sin x •cos x=t +t 2−12=12(t +1)2−1当t =√2时，函数取最大值：f(x)max =f(√2)=√2+12 当t ＝﹣1时，函数取最小值：f （x ）min ＝f （﹣1）＝﹣1 所以函数的值域为：[−1，√2+12] 故选：B ．8．（5分）函数f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x﹣1的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【解答】解：∵x 3+4＞0，∴x 3＞﹣4，解得x ＞−√43，∴函数的定义域为{x |x ＞−√43}，当x →−√43时，f （x ）→﹣∞，∴排除选项A ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f ′(x)=3x 2x 3+4−e x−1， f （0）＝ln （0+4）﹣e ﹣1＝ln 4﹣e ﹣1＞0，∴排除选项C ； ∵f （x ）＝ln （x 3+4）﹣e x ﹣1，∴f '（0）＝﹣e ﹣1＜0，即x ＝0在函数的单调递减区间内，∴排除选项D ．故选：B ．9．（5分）如图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ，A ＞0，ω＞0，0＜φ＜π2）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有的点（）A ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变【解答】解：由图可知A ＝1，T ＝π， ∴ω＝2，又−π6ω+φ＝2k π（k ∈Z ），∴φ＝2k π+π3（k ∈Z ），又0＜ϕ＜π2， ∴φ=π3，∴y ＝sin （2x +π3）．∴为了得到这个函数的图象，只需将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上的所有向左平移π3个长度单位，得到y ＝sin （x +π3）的图象，再将y ＝sin （x +π3）的图象上各点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变）即可．故选：A ．10．（5分）欲测量河宽即河岸之间的距离（河的两岸可视为平行），受地理条件和测量工具的限制，采用如下办法：如图所示，在河的一岸边选取A ，B 两个观测点，观察对岸的点C ，测得∠CAB ＝75°，∠CBA ＝45°，AB ＝120米，由此可得河宽约为（精确到1米，参考数据√6≈2.45，sin75°≈0.97）（）A ．170米B ．110米C ．95米D ．80米【解答】解：在△ABC 中，∠ACB ＝180°﹣75°﹣45°＝60°，由正弦定理得：AB sin∠ACB=AC sin∠ABC，∴AC =AB⋅sin∠ABC sin∠ACB=120×√22√32=40√6，∴S △ABC =12AB •AC •sin ∠CAB =12×120×40√6×sin75°≈5703.6， ∴C 到AB 的距离d =2S △ABC AB=2×5703.6120≈95．故选：C ．11．（5分）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是（） A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关【解答】解：频率是随机的，随实验而变化，但概率是唯一确定的一个值．故选：C ．12．（5分）已知双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2且斜率为247的直线与双曲线在第一象限的交点为A ，若(F 2F 1→+F 2A →)⋅F 1A →=0，则此双曲线的标准方程可能为（）A ．x 2−y 212=1B ．x 23−y 24=1C ．x 216−y 29=1D ．x 29−y 216=1【解答】解：若（F 2F 1→+F 2A →）•F 1A →=0，即为若（F 2F 1→+F 2A →）•（−F 2F 1→+F 2A →）＝0，可得AF 2→2=F 2F 1→2，即有|AF 2|＝|F 2F 1|＝2c ，由双曲线的定义可得|AF 1|＝2a +2c ，在等腰三角形AF 1F 2中，tan ∠AF 2F 1=−247，cos ∠AF 2F 1=−725=4c 2+4c 2−(2a+2c)22⋅2c⋅2c，化为3c ＝5a ，即a =35c ，b =45c ，可得a ：b ＝3：4，a 2：b 2＝9：16．故选：D ．二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）13．（5分）设函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，那么f （18）的值 9 ．【解答】解：∵函数f （x ）={x 2，0≤x ＜5f(x −5)，x ≥5，∴f （18）＝f （3×5+3）＝f （3）＝32＝9．故答案为：9．14．（5分）为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．利用统计与概率知识可以估计池塘中原来有鱼 400 条．【解答】解：为估计池塘中鱼的数量，负责人将50条带有标记的同品种鱼放入池塘，几天后，随机打捞40条鱼，其中带有标记的共5条．设池塘中原来有鱼n 条，则540=50n，解得n ＝400．故答案为：400．15．（5分）某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y 2与到车站的距离成正比，如果在距离车站10km 处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元，要使这两项费用之和最小，仓库应建立在距离车站 5 km 处，最少费用为 8 万元．【解答】解：设x 为仓库与车站距离，由题意可设y 1=k 1x，y 2＝k 2x ，把x ＝10，y 1＝2与x ＝10，y 2＝8分别代入上式得k 1＝20，k 2＝0.8， ∴y 1=20x ，y 2＝0.8x费用之和y ＝y 1+y 2＝0.8x +20x ≥2√20x ×0.8x =2×4＝8，当且仅当0.8x =20x ，即x ＝5时等号成立．当仓库建在离车站5km 处两项费用之和最小．最少费用为8万元．故答案为：5，8．16．（5分）如图，圆形纸片的圆心为O 半径为4cm ，该纸片上的正方形ABCD 的中心为O ，E ，F ，G ，H 为圆O 上的点，△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH 分别是以AB ，BC ，CD ，DA 为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以AB ，BC ，CD ，DA 为折痕折起△ABE 、△BCF 、△CDG 、△DAH ，使得E ，F ，G ，H 重合，得到一个四棱锥，当四棱锥体积取得最大值，正方形ABCD 的边长为165cm ．【解答】解：连接OG 交CD 于点M ，则OG ⊥DC ，点M 为CD 的中点，连接OC ， △OCM 为直角三角形，设正方形的边长为2x ，则OM ＝x ，由圆的半径为4，则MG ＝4﹣x ，设额E ，F ，G ，H 重合于点P ，则PM ＝MG ＝4﹣x ＞x 则0x ＜2，高PO =√(4−x)2−x 2=√16−8x ， V =13(2x)2√16−8x =8√23√2x 4−x 5，设y ＝2x 4﹣x 5，y ′＝8x 3﹣5x 4＝x 3（8﹣5x ），当0＜x ＜85时，y ′＞0，y ＝2x 4﹣x 5单调递增；当85＜x ＜2时，y ′＜0，y ＝2x 4﹣x 5单调递减，所以当x =85时，V 取得最大值，此时，2x =165．即正方形ABCD 的边长为165时，四棱锥体积取得最大值．三．解答题（共5小题，满分60分，每小题12分）17．（12分）在①a 2+a 3＝a 5﹣b 1，②a 2•a 3＝2a 7，③S 3＝15这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{a n }的公差d ＞0，前n 项和为S n ，若 _______，数列{b n }满足b 1＝1，b 2=13，a n b n +1＝nb n ﹣b n +1．（1）求{a n }的通项公式；（2）求{b n }的前n 项和T n ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【解答】解：若选①：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2．又∵a 2+a 3＝a 5﹣b 1，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n)．若选②：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2．又∵a 2•a 3＝2a 7，∴（2+d ）（2+2d ）＝2（2+6d ），∵d ＞0，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )．若选③：（1）∵a n b n +1＝nb n ﹣b n +1，∴当n ＝1时，a 1b 2＝b 1﹣b 2，∵b 1＝1，b 2=13，∴a 1＝2．又∵S 3＝15，∴d ＝3， ∴a n ＝3n ﹣1；（2）由（1）知：（3n ﹣1）b n +1＝nb n ﹣b n +1，即3nb n +1＝nb n ，∴b n+1=13b n ．又b 1＝1，所以数列{b n }是以1为首项，以13为公比的等比数列，∴bn=(13)n−1，T n =1−(13)n1−13=32(1−3−n )． 18．（12分）某包子店每天早晨会提前做好若干笼包子，以保证当天及时供应，每卖出一笼包子的利润为40元，当天未卖出的包子作废料处理，每笼亏损20元．该包子店记录了60天包子的日需求量n （单位：笼，n ∈N ），整理得到如图所示的条形图，以这60天各需求量的频率代替相应的概率．（Ⅰ）设X 为一天的包子需求量，求X 的数学期望．（Ⅱ）若该包子店想保证80%以上的天数能够足量供应，则每天至少要做多少笼包子？（Ⅲ）为了减少浪费，该包子店一天只做18笼包子，设Y 为当天的利润（单位：元），求Y 的分布列和数学期望．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，X 的数学期望为E(X)=16×1060+17×1560+18×2060+19×1060+20×560=17.75．（Ⅱ）因为P(n ≤18)=34＜0.8，P(n ≤19)=1112＞0.8，所以包子店每天至少要做19笼包子．（Ⅲ）当n ＝16时，Y ＝16×40﹣2×20＝600；当n ＝17时，Y ＝17×40﹣20＝660；当n ≥18时，Y ＝18×40＝720．所以Y 的可能取值为600，660，720，P(Y =600)=16，P(Y =660)=14，P(Y =720)=1−16−14=712．所以Y 的分布列为Y 600660720P1614712所以Y 的数学期望为E(Y)=600×16+660×14+720×712=685．19．（12分）如图所示，在四棱锥P ﹣ABCD 中，四边形ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，AB ＝2，△P AD 为等边三角形，平面P AD ⊥平面ABCD ．（1）求证AD ⊥PB ．（2）在棱AB 上是否存在点F ，使DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55？若存在，确定线段AF 的长度；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：取AD 中点O ，连接PO ，OB ，因为平面P AD ⊥平面ABCD ，△P AD 为等边三角形，O 为AD 的中点，所以PO ⊥平面ABCD ，PO ⊥AD因为四边形ABCD 为菱形，且∠DAB ＝60°，O 为AD 中点，所以BO ⊥AD因为PO ∩BO ＝O ，所以AD ⊥面PBO ，所以AD ⊥PB ；（2）解：在△OCD 中，OC =√1+4−2×1×2×(−12)=√7，∴PC =√10， ∴S △PCD =12×√10×√62=√152设A 到平面PCD 的距离为h ，则13×12×2×2×sin120°×√3=13×√152h ，∴h =2√155， ∵DF 与平面PDC 所成角的正弦值为2√55， ∴2√155DF=2√55，∴DF =√3，∴F 是AB 的中点，AF ＝1．20．（12分）已知椭圆C ：x 212+y 24=1，A 、B 分别是椭圆C 长轴的左、右端点，M 为椭圆上的动点．（1）求∠AMB 的最大值，并证明你的结论；（2）设直线AM 的斜率为k ，且k ∈（−12，−13），求直线BM 的斜率的取值范围．【解答】解：（1）根据椭圆的对称性，不妨设M （x 0，y 0），（﹣2√3＜x 0＜2√3，0＜y 0≤2），过点M 作MH ⊥x 轴，垂足为H ，则H （x 0，0）（0＜y 0≤2），于是又tan ∠AMH =|AH||MH|=x 0+2√3y 0，tan ∠BMH =|BH||MH|=2√3−x 0y 0， ∴tan ∠AMB ＝tan （∠AMH +∠BMH ）=tan∠AMH+tan∠BMH1−tan∠AMHtan∠BMH =4√3y 0x 02+y 02−12，因为点M （x 0，y 0）在椭圆C 上，所以x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以tan ∠AMB =−2√3y 0，而0＜y 0≤2，所以tan ∠AMB =−2√3y 0≤−√3，因为0＜∠AMB ＜π，所以∠AMB 的最大值为2π3，此时y 0＝2，即M 为椭圆的上顶点，由椭圆的对称性，当M 为椭圆的短轴的顶点时，∠AMB 取最大值，且最大值为2π3；（2）设直线BM 的斜率为k '．M （x 0，y 0），则k =0x 0+2√3，k '=0x 0−2√3，所以kk '=y 02x 02−12，又x 0212+y 024=1，所以x 02＝12﹣3y 02，所以kk '=−13．因为−12＜k ＜−13，所以k '∈（23，1）所以直线BM 的斜率的取值范围．（23，1）．21．（12分）已知函数f （x ）＝xlnx +λx 2，λ∈R ．（Ⅰ）若λ＝﹣1，求曲线f （x ）在点（1，f （1）处的切线方程；（Ⅱ）若关于x 的不等式f （x ）≤λ在[1，+∞）上恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当λ＝﹣1时，f （x ）＝xlnx +λx 2，则f ′（x ）＝lnx +1﹣2x ．故f ′（1）＝﹣1，又f （1）＝﹣1．故所求期限的方程为y ﹣（﹣1）＝﹣1•（x ﹣1），即x +y ＝0；（Ⅱ）由题意得，xlnx +λx 2≤λ在[1，+∞）上恒成立，设函数g （x ）＝xlnx +λ（x 2﹣1）．则g ′（x ）＝lnx +1+2λx ．故对任意x ∈[1，+∞），不等式g （x ）≤0＝g （1）恒成立， ①当g ′（x ）≤0，即lnx+1x≤−2λ恒成立时，函数g （x ）在[1，+∞）上单调递减，设r （x ）=lnx+1x ，则r ′（x ）=−lnxx2≤0， ∴r （x ）max ＝r （1），即1≤﹣2λ，解得λ≤−12，符合题意；②当λ≥0时，g ′（x ）≥0恒成立，此时函数g （x ）在[1，+∞）上单调递增，则不等式g （x ）≥g （1）＝0对任意x ∈[1，+∞）恒成立，不符合题意； ③当−12＜λ＜0时，设q （x ）＝g ′（x ）＝lnx +1+2λx ，则q ′（x ）=1x +2λ，令q （x ）＝0，解得x =−12λ＞1，故当x ∈（1，−12λ）时，函数g （x ）单调递增， ∴当x ∈（1，−12λ）时，g （x ）＞0成立，不符合题意，综上所述，实数λ的取值范围为（﹣∞，−12]．四．解答题（共1小题，满分10分，每小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy 中，参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．（Ⅰ）求曲线C 的普通方程及曲线D 的直角坐标方程；（Ⅱ）设M 、N 分别为曲线C 和曲线D 上的动点，求|MN |的最小值．【解答】解：（Ⅰ）参数方程{x =cosθy =sinθ（其中θ为参数）的曲线经过伸缩变换φ：{x′=2xy′=y 得到曲线C ：x 24+y 2=1；曲线D 的极坐标方程为ρsin(θ+π4)=3√102．转化为直角坐标方程为：x +y −3√5=0；（Ⅱ）设点P （2cos θ，sin θ）到直线x +y ﹣3√5=0的距离d =√5|√2=√5sin(θ+α)−3√5|√2，当sin （θ+α）＝1时，d min =√10．五．解答题（共1小题）23．已知函数f （x ）＝2|x |+|x ﹣2|．（1）解不等式f （x ）≤4；（2）设函数f （x ）的最小值为m ，若实数a 、b 满足a 2+b 2＝m 2，求4a 2+1b 2+1最小值．【解答】解：（1）当x ＜0时，则f （x ）＝﹣3x +2≤4，解得：−23≤x ＜0，当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≤4，解得：0≤x ≤2，当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2≤4，此时无解，综上，不等式的解集是{x |−23≤x ≤2}；（2）由（1）知，当x ＜0时，f （x ）＝﹣3x +2＞2，当0≤x ≤2时，则f （x ）＝x +2≥2，当x ＞2时，则f （x ）＝3x ﹣2＞4，故函数f （x ）的最小值是2，故m ＝2，即a 2+b 2＝4，则4a 2+1b 2+1=15（a 2+b 2+1）（4a 2+1b 2+1）第21页（共21页）=15[5+4(b 2+1)a 2+a 2b 2+1] ≥15（5+2√4(b 2+1)a 2⋅a 2b 2+1）≥95，当且仅当4(b 2+1)a 2=a 2b 2+1且a 2+b 2＝4，即a 2=103，b 2=23取“＝”，故4a 2+1b 2+1的最小值是95．。

2020-2021学年高考数学理科模拟检测试题及答案解析三

最新高考数学一模试卷（理科）一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．= ．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B= ．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a= ．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为（结果用反三角函数值表示）．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．7．已知，则cos（30°+2α）= ．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为．12．已知n∈N*，若，则n= ．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则= ．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．417．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．118．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．参考答案与试题解析一．填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．= ．【考点】极限及其运算．【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的概念及应用．【分析】分式的分子分母同时除以n2，利用极限的性质能求出结果．【解答】解：==．故答案为：．【点评】本题考查极限的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意极限性质的合理运用．2．设集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}，，则A∩B= {x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【考点】交集及其运算．【专题】对应思想；转化法；不等式的解法及应用；集合．【分析】化简集合A、B，再计算A∩B．【解答】解：集合A={x|x2﹣2x＞0，x∈R}={x|x＜0或x＞2，x∈R}，={x|﹣1≤x＜1，x∈R}，∴A∩B={x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．故答案为：{x|﹣1≤x＜0，x∈R}（或[﹣1，0））．【点评】本题考查了不等式的解法与应用问题，也考查了集合的化简与运算问题，是基础题目．3．若函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），则a= ．【考点】反函数．【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用互为反函数的性质即可得出．【解答】解：∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的反函数的图象过点（3，﹣1），∴3=a﹣1，解得a=．故答案为：．【点评】本题考查了互为反函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．已知一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，则这组数据的方差是 2 ．【考点】极差、方差与标准差．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】由一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，先求出m=10，由此能求出这组数据的方差．【解答】解：∵一组数据6，7，8，9，m的平均数是8，∴，解得m=10，∴这组数据的方差S2=[（6﹣8）2+（7﹣8）2+（8﹣8）2+（9﹣8）2+（10﹣8）2]=2．故答案为：2．【点评】本题考查一组数据的方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平均数、方差计算公式的合理运用．5．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为棱A1B1的中点，则异面直线AM与B1C所成的角的大小为arccos（结果用反三角函数值表示）．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】计算题；转化思想；向量法；空间角．【分析】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线AM与B1C所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为2，则A（2，0，0），M（2，1，2），B1（2，2，2），C（0，2，0），=（0，1，2），=（﹣2，0，2），设异面直线AM与B1C所成的角为θ，cosθ===．∴θ=．∴异面直线AM与B1C所成的角为arccos．故答案为：．【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．6．若圆锥的底面周长为2π，侧面积也为2π，则该圆锥的体积为．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．【专题】数形结合；综合法；立体几何．【分析】根据底面周长计算底面半径，根据侧面积计算母线长，再根据勾股定理求出圆锥的高，代入体积公式计算体积．【解答】解：∵圆锥的底面周长为2π，∴圆锥的底面半径r=1，设圆锥母线为l，则πrl=2π，∴l=2，∴圆锥的高h==．∴圆锥的体积V=πr2h=．故答案为：．【点评】本题考查了圆锥的结构特征，侧面积与体积计算，属于基础题．7．已知，则cos（30°+2α）= ．【考点】二阶矩阵；三角函数的化简求值．【专题】计算题；转化思想；综合法；矩阵和变换．【分析】由二阶行列式展开式得到cos（75°﹣α）=，再由诱导公式得cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]，由此利用二倍角公式能求出结果．【解答】解：∵，∴cos75°cosα+sin75°sinα=cos（75°﹣α）=，cos（30°+2α）=cos[180°﹣2（75°﹣α）]=﹣cos[2（75°﹣α）]=﹣[2cos2（75°﹣α）﹣1]=﹣[2×﹣1]=．故答案为：．【点评】本题考查三角函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二阶行列式展开式、诱导公式、倍角公式的性质的合理运用．8．某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的S值是．【考点】程序框图．【专题】计算题；图表型；数学模型法；算法和程序框图．【分析】模拟执行程序，依次写出每次循环得到的S，k的值，当k=2016时，不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值，从而得解．【解答】解：模拟执行程序，可得k=1，S=0满足条件k≤2015，S=，k=2满足条件k≤2015，S=+，k=3…满足条件k≤2015，S=++…+，k=2015满足条件k≤2015，S=++…++，k=2016不满足条件k≤2015，退出循环，输出S的值．由于S=++…++=1﹣﹣…+=1﹣=．故答案为：．【点评】本题主要考查了程序框图和算法，考查了循环结构和条件语句，用裂项法求S的值是解题的关键，属于基本知识的考查．9．过点P（1，2）的直线与圆x2+y2=4相切，且与直线ax﹣y+1=0垂直，则实数a的值为﹣．【考点】圆的切线方程．【专题】分类讨论；转化思想；综合法；直线与圆．【分析】先判断a≠0，可得要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0，再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，求得a的值．【解答】解：当a=0时，直线ax﹣y+1=0，即直线y=1，根据所求直线与该直线垂直，且过点P（1，2），故有所求的直线为x=1，此时，不满足所求直线与圆x2+y2=4相切，故a≠0．故要求的直线的斜率为，要求的直线的方程为y﹣2=（x﹣1），即x﹣ay+2a﹣1=0．再根据圆心O到x﹣ay+2a﹣1=0的距离等于半径2，可得=2，求得a=﹣，故答案为：﹣．【点评】本题主要考查直线和圆相切的性质，点到直线的距离公式，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．10．甲、乙、丙三人相互传球，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者将球等可能地传给另外两人中的任何一人．经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是．【考点】古典概型及其概率计算公式．【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计．【分析】利用列举法求出所有的传球方法共有多少种，找出第3次球恰好传回给甲的情况，由此能求出经过3次传球后，球仍在甲手中的概率．【解答】解：用甲→乙→丙→甲表示一种传球方法所有传球方法共有：甲→乙→甲→乙；甲→乙→甲→丙；甲→乙→丙→甲；甲→乙→丙→乙；甲→丙→甲→乙；甲→丙→甲→丙；甲→丙→乙→甲；甲→丙→乙→丙；则共有8种传球方法．第3次球恰好传回给甲的有两种情况，∴经过3次传球后，球仍在甲手中的概率是p=．故答案为：．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．11．已知直角梯形ABCD，AD∥BC，∠BAD=90°．AD=2，BC=1，P是腰AB上的动点，则的最小值为 3 ．【考点】平面向量数量积的运算．【专题】应用题；数形结合；向量法；平面向量及应用．【分析】先建立坐标系，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，设P（0，b）（0≤b≤1），根据向量的坐标运算和模的计算得到，=≥3，问题得以解决．【解答】解：如图，以直线AD，AB分别为x，y轴建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（0，1），C（1，1），D（2，0）设P（0，b）（0≤b≤1）则=（1，1﹣b），=（2，﹣b），∴+=（3，1﹣2b），∴=≥3，当且仅当b=时取等号，∴的最小值为3，故答案为：3．【点评】此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量模的求法，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力．12．已知n∈N*，若，则n= 4 ．【考点】二项式定理的应用．【专题】转化思想；综合法；二项式定理．【分析】由题意可得•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，由此求得n的值．【解答】解：∵n∈N*，若，则•2+•22+•23+…+•2n﹣1+•2n=40•2，即（1+2）n﹣1=80，∴n=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．13．对一切实数x，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为取整函数．若，n∈N*，S n为数列{a n}的前n项和，则= 100 ．【考点】数列的求和．【专题】转化思想；分类法；等差数列与等比数列．【分析】=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，即可得出S2009．【解答】解：=，n∈N*，当n=1，2，…，9时，a n=0；当n=10，11，12，…，19时，a n=1；…，∴S2009=0+1×10+2×10+…+199×10+200×10=10×=201000，则=100．故答案为：100．【点评】本题考查了取整函数、等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．14．对于函数y=f（x），若存在定义域D内某个区间[a，b]，使得y=f（x）在[a，b]上的值域也是[a，b]，则称函数y=f（x）在定义域D上封闭．如果函数（k≠0）在R上封闭，那么实数k的取值范围是（1，+∞）．【考点】函数的值域；函数的定义域及其求法．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由题意便知方程组至少有两个解，从而可得到至少有两个解，从而有k=1+|x|＞1，这样即求出k的取值范围．【解答】解：根据题意知方程至少有两个不同实数根；即至少有两个实数根；∴；∴k=1+|x|＞1；∴实数k的取值范围为（1，+∞）．故答案为：（1，+∞）．【点评】考查对一个函数在定义域上封闭的理解，清楚函数y=x的定义域和值域相同．二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，每题选对得5分，否则一律得零分．15．“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】根据三角函数的性质，利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论．【解答】解：若φ=时，y=sin（x+φ）=cosx 为偶函数；若y=sin（x+φ）为偶函数，则φ=+kπ，k∈Z；∴“函数y=sin（x+φ）为偶函数”是“φ=”的必要不充分条件，故选B．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用三角函数的性质是解决本题的关键，难度不大．16．下列四个命题：①任意两条直线都可以确定一个平面；②若两个平面有3个不同的公共点，则这两个平面重合；③直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c共面；④若直线l上有一点在平面α外，则l在平面α外．其中错误命题的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】空间中直线与平面之间的位置关系．【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离．【分析】两条异面直线不能确定一个平面；若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交；若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面；若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外．【解答】解：在①中，两条异面直线不能确定一个平面，故①错误；在②中，若两个平面有3个不共线的公共点，则这两个平面重合，若两个平面有3个共线的公共点，则这两个平面相交，故②错误；在③中，直线a，b，c，若a与b共面，b与c共面，则a与c不一定共面，如四面体S﹣ABC中，SA与AB共面，AB与BC共面，但SA与BC异面，故③错误；在④中，若直线l上有一点在平面α外，则由直线与平面的位置关系得l在平面α外，故④正确．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．17．已知圆M过定点（2，0），圆心M在抛物线y2=4x上运动，若y轴截圆M所得的弦为AB，则|AB|等于（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的简单性质．【专题】计算题；数形结合；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】画出图形，可根据条件设，并可得出圆M的半径，从而得出圆M的方程为，这样令x=0便可求出y，即求出A，B点的坐标，根据A，B点的坐标便可得出|AB|．【解答】解：如图，圆心M在抛物线y2=4x上；∴设，r=；∴圆M的方程为：；令x=0，；∴；∴y=y0±2；∴|AB|=y0+2﹣（y0﹣2）=4．故选：A．【点评】考查抛物线上的点和抛物线方程的关系，圆的半径和圆心，以及圆的标准方程，直线和圆的交点的求法，坐标轴上的两点的距离．18．已知数列{a n}的通项公式为，则数列{a n}（）A．有最大项，没有最小项B．有最小项，没有最大项C．既有最大项又有最小项D．既没有最大项也没有最小项【考点】数列的函数特性．【专题】探究型．【分析】把数列的通项公式看作函数解析式，令，换元后是二次函数解析式，内层是指数函数，由指数函数的性质可以求出t的大致范围，在求出的范围内分析二次函数的最值情况．【解答】解：令，则t是区间（0，1]内的值，而=，所以当n=1，即t=1时，a n取最大值，使最接近的n的值为数列{a n}中的最小项，所以该数列既有最大项又有最小项．故选C．【点评】本题考查了数列的函数特性，考查了换元法，解答此题的关键是由外层二次函数的最值情况断定n的取值，从而说明使数列取得最大项和最小项的n都存在，属易错题．三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．19．如图①，有一个长方体形状的敞口玻璃容器，底面是边长为20cm的正方形，高为30cm，内有20cm深的溶液．现将此容器倾斜一定角度α（图②），且倾斜时底面的一条棱始终在桌面上（图①、②均为容器的纵截面）．（1）要使倾斜后容器内的溶液不会溢出，角α的最大值是多少；（2）现需要倒出不少于3000cm3的溶液，当α=60°时，能实现要求吗？请说明理由．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】转化思想；数形结合法；立体几何．【分析】（1）根据题意画出图形，结合图形，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，且点F在线段AD上，用tanα表示出DF、AF，求出容器内溶液的体积，列出不等式求出溶液不会溢出时α的最大值；（2）当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，则点F在线段AB上，溶液纵截面为Rt △CBF，由此能求出倒出的溶液量，即可得出结论．【解答】解：（1）根据题意，画出图形，如图a所示，过C作CF∥BP，交AD所在直线于F，在Rt△CDF中，∠FCD=α，CD=20cm，DF=20tanα，且点F在线段AD上，AF=30﹣20tanα，此时容器内能容纳的溶液量为：S梯形ABCF•20=•20=（30﹣20tanα+30）•20•10=2000（6﹣2tanα）（cm3）；而容器中原有溶液量为20×20×20=8000（cm3），令2000（6﹣2tanα）≥8000，解得tanα≤1，所以α≤45°，即α的最大角为45°时，溶液不会溢出；（2）如图b所示，当α=60°时，过C作CF∥BP，交AB所在直线于F，在Rt△CBF中，BC=30cm，∠BCF=30°，BF=10cm，∴点F在线段AB上，故溶液纵截面为Rt△CBF，∵S△ABF=BC•BF=150cm2，容器内溶液量为150×20=300cm3，倒出的溶液量为（8000﹣3000）cm3＜3000cm3，∴不能实现要求．【点评】本题考查了棱柱的体积在生产生活中的实际应用问题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养，是综合性题目．20．已知x∈R，设，，记函数．（1）求函数f（x）取最小值时x的取值范围；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=2，，求△ABC的面积S 的最大值．【考点】平面向量数量积的运算；三角函数中的恒等变换应用；余弦定理．【专题】综合题；转化思想；向量法；综合法；解三角形．【分析】（1）先根据向量的数量积的运算，以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f（x）=，再根据正弦函数的性质即可求出答案；（2）先求出C的大小，再根据余弦定理和基本不等式，即可求出ab≤3，根据三角形的面积公式即可求出答案．【解答】解：（1）=．当f（x）取最小值时，，，k∈Z，所以，所求x的取值集合是．（2）由f（C）=2，得，因为0＜C＜π，所以，所以，．在△ABC中，由余弦定理c2=a2+b2﹣2abcosC，得3=a2+b2﹣ab≥ab，即ab≤3，所以△ABC的面积，因此△ABC的面积S的最大值为．【点评】本题考查了向量的数量积的运算和二倍角公式和两角和的正弦公式，余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，属于中档题．21．设函数f（x）=k•a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1）是奇函数．（1）求常数k的值；（2）若，且函数g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m的值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数奇偶性的性质．【专题】分类讨论；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）方法一、由奇函数的性质：f（0）=0，解方程可得k=1，检验成立；方法二、运用奇函数的定义，由恒等式的性质即可得到k=1；（2）求得a=3，即有g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，可得，h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，讨论对称轴和区间的关系，运用单调性，可得最小值，解方程可得m的值．【解答】（1）解法一：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，f（x）是奇函数，所以f（0）=k﹣1=0，即有k=1．当k=1时，f（x）=a x﹣a﹣x，f（﹣x）=a﹣x﹣a x=﹣f（x），则f（x）是奇函数，故所求k的值为1；解法二：函数f（x）=k•a x﹣a﹣x的定义域为R，由题意，对任意x∈R，f（﹣x）=﹣f（x），即k•a﹣x﹣a x=a﹣x﹣k•a x，（k﹣1）（a x+a﹣x）=0，因为a x+a﹣x＞0，所以，k=1．（2）由，得，解得a=3或（舍）．所以g（x）=32x﹣3﹣2x﹣2m（3x﹣3﹣x），令t=3x﹣3﹣x，则t是关于x的增函数，，g（x）=h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2，当时，则当时，，解得；当时，则当t=m时，，m=±2（舍去）．综上，．【点评】本题考查奇函数的定义和性质的运用，考查可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和二次韩寒说的对称轴和区间的关系，考查运算能力，属于中档题．22．在平面直角坐标系xOy内，动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为．（1）求动点P的轨迹C的方程；（2）若轨迹C上的动点N到定点M（m，0）（0＜m＜2）的距离的最小值为1，求m的值．（3）设点A、B是轨迹C上两个动点，直线OA、OB与轨迹C的另一交点分别为A1、B1，且直线OA、OB的斜率之积等于，问四边形ABA1B1的面积S是否为定值？请说明理由．【考点】椭圆的简单性质．【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设P（x，y），由两点间距离公式和点到直线距离公式能求出动点P的轨迹C的方程．（2）设N（x，y），利用两点间距离公式能求出m．（3）法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），由，得，由点A、B在椭圆C上，得，由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用点到直线的距离公式、椭圆的对称性，结合已知条件能求出四边形ABA1B1的面积为定值．法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，点A、B在椭圆C上，得．由此利用行列式性质及椭圆的对称性，能求出四边形ABA1B1的面积为定值．【解答】解：（1）设P（x，y），∵动点P到定点F（﹣1，0）的距离与P到定直线x=﹣4的距离之比为，∴由题意，，…化简得3x2+4y2=12，…∴动点P的轨迹C的方程为．…（2）设N（x，y），则=，﹣2≤x≤2．…①当0＜4m≤2，即时，当x=4m时，|MN|2取最小值3（1﹣m2）=1，解得，，此时，故舍去．…②当4m＞2，即时，当x=2时，|MN|2取最小值m2﹣4m+4=1，解得m=1，或m=3（舍）．…综上，m=1．（3）解法一：设A（x1，y1），B（x2，y2），则由，得，，，∵点A、B在椭圆C上，∴，，∴=，化简得．…①当x1=x2时，则四边形ABA1B1为矩形，y2=﹣y1，则，由，得，解得，，S=|AB|•|A1B|=4|x1||y1|=．…②当x1≠x2时，直线AB的方向向量为，直线AB的方程为（y2﹣y1）x﹣（x2﹣x1）y+x2y1﹣x1y2=0，原点O到直线AB的距离为∴△AOB的面积，根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积S=4S△AOB=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法二：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2），由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…直线OA的方程为y1x﹣x1y=0，点B到直线OA的距离，△ABA1的面积，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…解法三：设A（x1，y1），B（x2，y2），则A1（﹣x1，﹣y1），B1（﹣x2，﹣y2）由，得，…∵点A、B在椭圆C上，所以，，∴=，化简得．…△ABA1的面积=|x1y2﹣x2y1|，…根据椭圆的对称性，四边形ABA1B1的面积=2|x1y2﹣x2y1|，…∴=，∴．∴四边形ABA1B1的面积为定值．…【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的实数值的求法，考查四边形面积是否为定值的求法与证明，是中档题，解题时要认真审题，注意点到直线的距离公式、椭圆的对称性的合理运用．23．设复数z n=x n+i•y n，其中x n y n∈R，n∈N*，i为虚数单位，z n+1=（1+i）•z n，z1=3+4i，复数z n在复平面上对应的点为Z n．（1）求复数z2，z3，z4的值；（2）是否存在正整数n使得∥？若存在，求出所有满足条件的n；若不存在，请说明理由；（3）求数列{x n•y n}的前102项之和．【考点】数列的求和；复数代数形式的乘除运算．【专题】计算题；规律型；转化思想；等差数列与等比数列．【分析】（1）利用已知条件之间求解z2，z3，z4．（2）求出，利用复数的幂运算，求解即可．（3）通过，推出x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，得到x n+4y n+4=16x n y n，然后求解数列的和即可．【解答】本题，第1小题，第2小题，第3小题．解：（1）z2=（1+i）（3+4i）=﹣1+7i，z3=﹣8+6i，z4=﹣14﹣2i．…（算错一个扣，即算对一个得，算对两个得3分）（2）若∥，则存在实数λ，使得，故z n=λ•z1，即（x n，y n）=λ（x1，y1），…又z n+1=（1+i）z n，故，即（1+i）n﹣1=λ为实数，…故n﹣1为4的倍数，即n﹣1=4k，n=4k+1，k∈N．…（3）因为，故x n+4=﹣4x n，y n+4=﹣4y n，…所以x n+4y n+4=16x n y n，…又x1y1=12，x2y2=﹣7，x3y3=﹣48，x4y4=28，x1y1+x2y2+x3y3+…+x100y100=（x1y1+x2y2+x3y3+x4y4）+（x5y5+x6y6+x7y7+x8y8）+…+（x97y97+x98y98+x99y99+x100y100）=，…而，，…所以数列{x n y n}的前102项之和为1﹣2100+12×2100﹣7×2100=1+2102．…【点评】本题考查复数的基本运算，复数的代数形式混合运算，考查数列求和，考查计算能力．。

2020-2021学年安徽省合肥市高考数学三模试卷(理科)及答案解析

安徽省高考数学三模试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣20164．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=15．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．857．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥08．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．24210．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t=______．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为______．15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是______．16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+=______．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50] [50，60] [60，70] [70，80] [80，90] [90，100] 频数 3101215622（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z 服从正态分布N （μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P （Z ＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X 表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX ．附：若Z ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜Z ＜+σ）=0.6826，P （μ﹣2＜Z ＜μ+2σ）=0.9544．19．如图，直角三角形ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E 为线段BC 上一点，且BE=BC ，沿AC 边上的中线BD 将△ABD 折起到△PBD 的位置．（1）求证：PE ⊥BD ；（2）当平面PBD ⊥平面BCD 时，求二面角C ﹣PB ﹣D 的余弦值．20．已知椭圆E ： +=1（a ＞b ＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C ：x 2+y 2=r 2（0＜r＜b ）上任意一点作圆C 的切线与椭圆E 交于A ，B 两点，O 为坐标原点．（1）当r 为何值时，OA ⊥OB ；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．高考数学三模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每题5分）1．若集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}，集合N={0，4}，则M∪N=（）A．[0，4] B．[0，4）C．（0，4] D．（0，4）【考点】并集及其运算．【分析】求出集合的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可．【解答】解：集合M={x∈R|x2﹣4x＜0}=（0，4），集合N={0，4}，则M∪N=[0，4]，故选：A．2．设i为虚数单位，复数z=，则z的共轭复数=（）A．﹣1﹣3i B．1﹣3i C．﹣1+3i D．1+3i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简复数z，则z的共轭复数可求．【解答】解：z==，则=﹣1+3i．故选：C．3．在正项等比数列{a n}中，a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=（）A．2015 B．2016 C．﹣2015 D．﹣2016【考点】等比数列的通项公式．【分析】由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009，再利用对数的运算性质即可得出．【解答】解：由正项等比数列{a n}的性质可得：a1•a2016=a2•a2015=…=a1008•a1009=，则lga1+lga2+…+lga2016=lg（a1a2•…•a2015•a2016）==﹣2016．故选：D．4．已知双曲线﹣=1的焦距为10，一条渐近线的斜率为2，则双曲线的标准方程是（）A．﹣=1 B．﹣=1C．﹣=1 D．﹣=1【考点】双曲线的标准方程．【分析】由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，可得a，b的方程组，解得a，b，即可得到所求双曲线的标准方程．【解答】解：由题意可得2c=10，即c=5，由一条渐近线的斜率为2，可得=2，又a2+b2=25，解得a=，b=2，即有双曲线的方程为﹣=1．故选：A．5．直线m：x+（a2﹣1）y+1=0，直线n：x+（2﹣2a）y﹣1=0，则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，代入比较即可得出．【解答】解：在直线m：x+（a2﹣1）y+1=0上任取点P（x，y），则点P关于原点对称的点Q（﹣x，﹣y）在直线n上，∴﹣x+（2﹣2a）（﹣y）﹣1=0，化为x+（2﹣2a）y+1=0，与x+（a2﹣1）y+1=0比较，可得：a2﹣1=2﹣2a，解得a=﹣3或a=1．则“a=﹣3”是“直线m、n关于原点对称”的充分不必要条件．故选：A．6．执行如图的程序框图，若输入的m，n分别为204，85，则输出的m=（）A．2 B．7 C．34 D．85【考点】程序框图．【分析】执行程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，根据输入的m、n的值即可求出输出的值．【解答】解：执行如图的程序框图，是利用辗转相除法求m，n的最大公约数，当输入m=204，n=85时，输出的m=17．故选：B．7．若等差数列{a n}的公差d≠0，前n项和为S n，若∀n∈N*，都有S n≤S10，则（）A．∀n∈N*，都有a n＜a n﹣1B．a9•a10＞0C．S2＞S17D．S19≥0【考点】等差数列的前n项和；数列的函数特性．【分析】由∀n∈N*，都有S n≤S10，a10≥0，a11≤0，再根据等差数列的性质即可判断．【解答】解：∵∀n∈N*，都有S n≤S10，∴a10≥0，a11≤0，∴a9+a11≥0，∴S2≥S17，S19≥0，故选：D．8．设不等式组表示的平面区域为Ω，则当直线y=k（x﹣1）与区域Ω有公共点时，k的取值范围是（）A．[﹣2，+∞）B．（﹣∞，0] C．[﹣2，0] D．（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞）【考点】简单线性规划．【分析】画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，结合函数的图象求出k的范围即可．【解答】解：画出满足条件的平面区域，如图示：，由，解得B（2，0），显然y=k（x﹣1）恒过（1，0），k=0时，直线是AB，k＞0时，k→+∞，k＜0时，k的最大值是直线AC的斜率﹣2，故k∈（﹣∞，﹣2]∪[0，+∞），故选：D．9．（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是（）A．58 B．62 C．238 D．242【考点】二项式系数的性质．【分析】（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，进而得出．【解答】解：（2+）6的展开式中，T r+1==26﹣r．分别令=1，=3，解得r=2或r=6．∴（1﹣）（2+）6的展开式中，x项的系数是×1﹣2×=238．故选；C．10．某品牌饮料瓶可以近似看作是由一个半球和一个圆台组成，其三视图如图所示，该饮料瓶的表面积为（）A．81πB．125πC．（41+7）πD．（73+7）π【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．利用表面积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成，上面是一个半球，下面是一个圆台．该饮料瓶的表面积=++π×32=π．故选：C．11．甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率等于（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】先求出基本事件总数，再求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数，由此能求出甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率．【解答】解：甲、乙两名选手参加职工技能操作比赛，比赛项目由现场抽签决定，甲选手先从一个不透明的盒中摸出一小球，记下技能名称后放回盒中，再由乙选手摸球，若盒中4个小球分别贴了技能1号到4号的标签，则基本事件总数n=4×4=16，甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同包含的基本事件个数：m=1×3+2×2=7，∴甲未抽到技能1号，乙未抽到技能2号且甲乙比赛项目不同的概率p=．故选：D．12．关于x的不等式（x2+2x+2）sin≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），实数a的取值范围是（）A．[1，+∞） B．[2，+∞） C．[3，+∞） D．[4，+∞）【考点】其他不等式的解法．【分析】根据极限的思想=1，分离参数，即可得到a≥2×，即可求出答案．【解答】解：由于=1，∵x2+2x+2≤ax+a的解集为[﹣1，+∞），∴a≥2×≥2，∴实数a的取值范围为[2，+∞），故选：B．二、填空题（每题5分）13．已知=（1，t），=（t，4），若∥，则t= ±2 ．【考点】平行向量与共线向量；平面向量的坐标运算．【分析】根据平面向量的坐标表示与共线定理，列出方程即可求出结果．【解答】解：∵=（1，t），=（t，4），且∥，∴1×4﹣t2=0，解得t=±2．故答案为：±2．14．已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【分析】根据已知中函数的图象，可分析出函数的最值，确定A的值，分析出函数的周期，确定ω的值，将（，）代入解析式，结合，可求出ϕ值，进而求出函数的解析式．【解答】解：由图可得：函数函数y=Asin（ωx+ϕ）的最小值﹣|A|=﹣，令A＞0，则A=又∵，ω＞0∴T=π，ω=2∴y=sin（2x+ϕ）将（，）代入y=sin（2x+ϕ）得sin（+ϕ）=﹣1即+ϕ=+2kπ，k∈Z即ϕ=+2kπ，k∈Z∵∴∴故答案为：15．已知函数f（x）=，则不等式f（x）＞2的解集是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）．【考点】分段函数的应用．【分析】根据分段函数的表达式，分别讨论x≥1和x＜1，进行求解即可．【解答】解：若x≥1，由f（x）＞2得log2（x+1）＞2，得x+1＞4，即x＞3．若x＜1，则﹣x＞﹣1，2﹣x＞1，则由f（x）＞2得f（2﹣x）＞2，即log2（2﹣x+1）＞2，得log2（3﹣x）＞2，得3﹣x＞4，即x＜﹣1．综上不等式的解为x＞3或x＜﹣1，即不等式的解集为（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）16．已知数列{a n}满足：a1=2，（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，则+++…+= （3n﹣1）﹣2n ．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】化简可得[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，从而可得16+﹣=0，即+2=3（+2），从而求得数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，从而求和即可．【解答】解：∵（4a n+1﹣5）（4a n﹣1）=﹣3，∴[4（a n+1﹣1）﹣1][4（a n﹣1）+3]=﹣3，∴16（a n+1﹣1）（a n﹣1）+12（a n+1﹣1）﹣4（a n﹣1）=0，∴16+﹣=0，∴+2=3（+2），又∵+2=3，∴数列{+2}是以3为首项，3为公比的等比数列，∴+2=3n，故=3n﹣2；故+++…+=3﹣2+9﹣2+…+3n﹣2=﹣2n=（3n﹣1）﹣2n；故答案为：（3n﹣1）﹣2n．三、解答题17．如图，在△ABC中，∠B=，AC=2．（1）若∠BAC=θ，求AB和BC的长．（结果用θ表示）；（2）当AB+BC=6时，试判断△ABC的形状．【考点】三角形的形状判断．【分析】（1）根据正弦定理来求边AB、BC的长度；（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，结合和差化积公式得到θ的值，由此可以判定△ABC的形状为钝角三角形．【解答】解：（1）由正弦定理得：=，即=，所以BC=4sinθ．又∵∠C=π﹣﹣θ，∴sinC=sin（π﹣﹣θ）=sin（+θ）．∴=即=，∴AB=4sin（+θ）．（2）由AB+BC=6得到：4sin（+θ）+4sinθ=6，所以，8sin（+θ）×=6，整理，得sin（+θ）=．∵0＜+θ＜π，∴+θ=或+θ=，∴θ=，或θ=．∴△ABC是直角三角形．18．从某校的一次学料知识竞赛成绩中，随机抽取了50名同学的成绩，统计如下：组别[30，40][40，50][50，60][60，70][70，80][80，90][90，100]频数 3 10 12 15 6 2 2（Ⅰ）求这50名同学成绩的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频数分布表可以认为，本次学科知识竞赛的成绩Z服从正态分布N（μ，196），其中μ近似为样本平均数．①利用该正态分布．求P（Z＞74）；②某班级共有20名同学参加此次学科知识比赛，记X表示这20名同学中成绩超过74分的人数，利用①的结果，求EX．附：若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜+σ）=0.6826，P（μ﹣2＜Z＜μ+2σ）=0.9544．【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；众数、中位数、平均数．【分析】（Ⅰ）利用同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，即可求这50名同学成绩的样本平均数；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，即可得出结论；②设依题意知X～B（20，0.1587），即可求得EX．【解答】解：（Ⅰ）由所得数据列成的频数分布表，得：样本平均数=×（35×3+45×10+55×12+65×15+75×6+85×2+95×2）=60；（Ⅱ）①由（I）知，Z～N（60，196），从而P（60﹣14＜Z＜60+14）=0.6826，∴P（Z＞74）=（1﹣0.6826）=0.1587，②由①知，成绩超过74分的概率为0.1587，依题意知X～B（20，0.1587），∴EX=20×0.1587=3.174．19．如图，直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将△ABD折起到△PBD的位置．（1）求证：PE⊥BD；（2）当平面PBD⊥平面BCD时，求二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）取BD中点O，连结OE，PO，推导出OE⊥BD，PO⊥BD，从而BD⊥平面POE，由此能证明PE⊥BD．（2）以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角C﹣PB﹣D的余弦值．【解答】证明：（1）∵直角三角形ABC中，∠A=60°，∠ABC=90°，AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，∴DC=PD=PB=BD=2，BC=2，取BD中点O，连结OE，PO，∵OB=1，BE=，∴OE=，∴OE⊥BD，∵PB=PD，O为BD中点，∴PO⊥BD，又PO∩OE=O，∴BD⊥平面POE，∴PE⊥BD．解：（2）∵平面PBD⊥平面BCD，∴PO⊥平面BCD，如图，以O为原点，OE为x轴，OB为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，则B（0，1，0），P（0，0，），C（），=（0，﹣1，），=（），设平面PBC的法向量=（x，y，z），则，取y=，得=（3，），平面图PBD的法向量=（1，0，0），cos＜＞==，由图形知二面角C﹣PB﹣D的平面角是锐角，∴二面角C﹣PB﹣D的余弦值为．20．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，过圆C：x2+y2=r2（0＜r ＜b）上任意一点作圆C的切线与椭圆E交于A，B两点，O为坐标原点．（1）当r为何值时，OA⊥OB；（2）过椭圆E上任意一点P作（1）中所求圆的两条切线分别交椭圆于M，N，求△PMN面积的取值范围．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．【分析】（1）由椭圆的离心率为，短轴长为2，列出方程组，求出a，b，从而求出椭圆E的方程，当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，得到当r=时，OA⊥OB；当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，由此利用韦达定理、向量的数量积、直线与圆相切，结合已知条件能求出r的值．（2）OP⊥OM，OP⊥ON，OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得|MN|=2OM=4，同理，|OP|=，由此能求出△PMN面积的取值范围．【解答】解：（1）∵椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为2，∴，解得a=2，b=1，∴椭圆E的方程为．设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线AB的斜率不存在时，直线AB：x=±r，即x1=x2=±r，代入椭圆方程，得，=x1x2+y1y2==r2﹣（1﹣）=，∵0＜r＜1．∴当r=时，，即OA⊥OB，当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+n，由，得（1+4k2）x2+8knx+4n2﹣4=0，则，，∴=x1x2+y1y2=x1x2+（kx1+n）（kx2+n）=（1+k2）x1x2+kn（x1+x2）+n2==，∵直线l与圆C相切，∴=r，即n2=r2（1+k2），∴=，∵0＜r＜1，∴当r=时，=0，即OA⊥OB，综上，r=．（2）由（1）知OP⊥OM，OP⊥ON，∴OP⊥MN，且MN过原点O，当MN的斜率存在且不为0时，设MN：y=k1x，（k1≠0），由，得，，∴|MN|=2OM=2=4，同理，|OP|=2=2，∴S△PMN=|OP|•|MN|=4=4∈[，2），当MN与坐标轴垂直时，S△PMN=2，∴△PMN面积的取值范围是[，2]．21．已知函数f（x）=+alnx有极值点，其中e为自然对数的底数．（1）求a的取值范围；（2）若a∈（0，]，求证：∀x∈（0，2]，都有f（x）＜．【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出函数的导数，得到ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性求出a的范围即可；（2）求出函数的导数，令h（x）=ae x﹣x2，根据函数的单调性得到f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，从而f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，结合函数的单调性，证出结论即可．【解答】解：（1）f（x）=+alnx，f′（x）=，若函数f（x）=+alnx有极值点，则ae x﹣x2=0有解，显然a＞0，令m（x）=ae x﹣x2，（a＞0），则m′（x）=ae x﹣2x，m″（x）=ae x﹣2，令m″（x）＞0，解得：x＞ln，令m″（x）＜0，解得：x＜ln，∴m′（x）在（﹣∞，ln）递减，在（ln，+∞）递增，∴m′（x）min=m′（ln）=2﹣2ln＜0，解得：a＜，故0＜a＜；（2）f（x）=+alnx，f′（x）=，令h（x）=ae x﹣x2，则h′（x）=ae x﹣2x，0＜x≤1时，h′（x）≤ae﹣2＜0，由于h（a）=a（e a﹣a）＞0，h（1）=ae﹣1≤0，∴f（x）在（a，1）内有唯一极大值点x0，当a=时，f（x）有极大值点x=1，∴x∈（0，2]时，f（x）max≤max{f（1），f（x0）}，f（x0）=（a＜x0＜1），令ω（x）=，（a＜x＜1），则ω′（x）=﹣e﹣x（x﹣2）xlnx＜0，∴ω（x）＜ω（a）=＜，又f（1）=，∴max{f（1），f（x0）}＜．[选修4-1几何证明选讲]22．如图，⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P，E为⊙O上的一点，=，DE交AB于点F．（1）求证：PF•PO=PA•PB；（2）若PD=4，PB=2，DF=，求弦CD的弦心距．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）先证明△PDF∽△POC，再利用割线定理，即可证得结论；（2）设圆的半径为r，由△PDF∽△POC，可得半径为5，由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•解得CD=2，再由垂径定理和勾股定理，计算可得弦CD的弦心距．【解答】解：（1）证明：连接OC、OE，则∠COE=2∠CDE，∵=，∴∠AOC=∠AOE，∴∠AOC=∠CDE，∴∠COP=∠PDF，∵∠P=∠P，∴△PDF∽△POC∴=，∴PF•PO=PD•PC，由割线定理可得PC•PD=PA•PB，∴PF•PO=PA•PB．（2）设圆的半径为r，PD=4，PB=2，DF=，由△PDF∽△POC，可得=，即有PD•OC=PO•DF，即4r=（2+r），解得r=5．由切割线定理可得，PD•PC=PB•PA•即为4（4+CD）=2（2+2r），即有CD=r﹣3=5﹣3=2，则弦CD的弦心距为OH===2．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．已知曲线C：（α为参数），直线l：（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线C的极坐标方程，直线l的普通方程；（2）点A在曲线C上，B点在直线l上，求A，B两点间距离|AB|的最小值．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】（1）曲线C：（α为参数），利用cos2α+sin2α=1可得直角坐标方程，．利用ρ2=x2+y2，y=ρsinθ，即可化为直角坐标方程．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程．（2）利用点到直线的距离公式圆心C（0，2）到直线l的距离d．可得A，B两点间距离|AB|的最小值=d﹣r．【解答】解：（1）曲线C：（α为参数），可得直角坐标方程：x2+（y﹣2）2=4，展开可得：x2+y2﹣4y=0，可得极坐标方程：ρ2﹣4ρsinθ=0，即ρ=4sinθ．直线l：（t为参数），消去参数t可得普通方程：x﹣y﹣3=0．（2）圆心C（0，2）到直线l的距离d==．∴A，B两点间距离|AB|的最小值为﹣2．[选修4-5不等式选讲]24．已知函数f（x）=|x+m|+|2x+1|．（1）当m=﹣1时，解不等式f（x）≤3；（2）若m∈（﹣1，0]，求函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值．【考点】绝对值三角不等式；绝对值不等式的解法．【分析】（1）利用绝对值的几何意义，分类讨论解不等式f（x）≤3；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．【解答】解：（1）当m=﹣1时，不等式f（x）≤3，可化为|x﹣1|+|2x+1|≤3，x时，﹣x+1﹣2x﹣1≤3，∴x≥﹣1，∴﹣1≤x；﹣时，﹣x+1+2x+1≤3，∴x≤1，∴﹣；x≥1时，x﹣1+2x+1≤3，∴x≤1，∴x=1；综上所述，﹣1≤x≤1；（2）由题意，m=0时，函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积取得最大值．图象最低点的坐标是（﹣，），f（x）=1时，x=0或﹣，f（x）=3时，x=﹣或，∴函数f（x）=|x+m|+|2x+1|的图象与直线y=3围成的多边形面积的最大值为=．。

2020年江西省南昌市高考数学三模试卷(理科) (解析版)

2020年高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知（1+i）z＝i（i为虚数单位），在复平面内，复数z的共轭复数z对应的点在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．设集合A＝{x||x﹣a|＝1}，B＝{﹣1，0，b}（b＞0），若A⊆B，则对应的实数（a，b）有（）A．1对B．2对C．3对D．4对3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分345678910频数231063222设得分的中位数为m e，众数为m0，平均数为x，则（）A．m e＝m0＝x B．m e＝m0＜x C．m e＜m0＜x D．m0＜m e＜x 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．3πB．9πC．12πD．36π5．在△ABC中，D为线段AB上一点，且BD＝3AD，若CD→=λCA→+μCB→，则λμ=（）A．13B．3C．14D．46．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，c a+b+b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（）A．△ABC可能为正三角形B．角A，B，C为等差数列C．角B可能小于π3D．角B+C为定值7．已知函数f（x）＝2sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，所得图象关于x=π3对称，则实数m的最小值为（）A．π4B．π3C．3π4D．π8．函数f（x）＝（x−1x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0）的图象可能为（）A．B．C．D．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.17410．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝011．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+1212．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a+x−2(x≥0)a−x−2(x＜0)，若存在a∈[n，n+1]（n∈Z）使得方程f（x）＝g（x）有四个实根．则n的最大值为（）A．2B．1C．0D．﹣1二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)=．16．已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=32，AD=2，AA1=2√3，已知P是矩形ABCD内一动点，PA1与平面ABCD所成角为π3，设P点形成的轨迹长度为α，则tanα＝；当C1P的长度最短时，三棱锥D1﹣DPC的外接球的表面积为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a、b的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n＝P1（910）n﹣1+n−110（n＝1，2，3），其中P i表示第i个出场选手解密成功的概率，并且P1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立．①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列与数学期望．20．在直角坐标系xOy上取两个定点A1（−√6，0），A2（√6，0），再取两个动点N1（0，m），N2（0，n），且mn＝2．（Ⅰ）求直线A1N1与A2N2交点M的轨迹C的方程；（Ⅱ）过R（3，0）的直线与轨迹C交于P，Q，过P作PN⊥x轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若RP→=λRQ→（λ＞1），求证：NF→=λFQ→．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C：ρ＝4cosθ，以极点O为旋转中心，将曲线C逆时针旋转π3得到曲线C′．（Ⅰ）求曲线C’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C与曲线C′的公共部分面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知（1+i ）z ＝i （i 为虚数单位），在复平面内，复数z 的共轭复数z 对应的点在（） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，求出z 的坐标得答案．解：由（1+i ）z ＝i ，得z =i 1+i =i(1−i)2=12+12i ， ∴复数z 的共轭复数z 对应的点是(12，−12)，在第四象限．故选：D ．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2．设集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}，B ＝{﹣1，0，b }（b ＞0），若A ⊆B ，则对应的实数（a ，b ）有（） A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对【分析】解方程得集合A 有两元素，由A ⊆B 得A 中元素属于B ，可解出a ，b ．解：∵集合A ＝{x ||x ﹣a |＝1}＝{a ﹣1，a +1}⊆{﹣1，0，b }（b ＞0），若a ≤0，则a ﹣1＝﹣1，即a ＝0，所以b ＝1；若a ＞0，a ﹣1＝﹣1或a ﹣1＝0，则a ＝1，所以b ＝2，则{a =0b =1或{a =1b =2则对应的实数（a ，b ）有2对．故选：B ．【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系及应用，属于基础题．3．为了普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取30名学生参加环保知识竞赛，得分（10分制）的频数分布表如表：得分 3 4 5 6 7 8 9 10 频数231063222设得分的中位数为m e ，众数为m 0，平均数为x ，则（）A ．m e ＝m 0＝xB ．m e ＝m 0＜xC ．m e ＜m 0＜xD ．m 0＜m e ＜x【分析】由频率分步表求出众数、中位数和平均数，比较即可．解：由图知，众数是m 0＝5；中位数是第15个数与第16个数的平均值，由图知将数据从大到小排第15 个数是5，第16个数是6，所以中位数是m e =5+62=5.5；平均数是x =130×（2×3+3×4+10×5+6×6+3×7+2×8+2×9+2×10）≈6； ∴m 0＜m e ＜x ．故选：D ．【点评】本题考查了求出一组数据的众数、中位数、平均值的应用问题，是基础题． 4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A ．3πB ．9πC ．12πD ．36π【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4，再由圆锥体积公式求解．解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为一个圆锥的四分之一，其中圆锥的底面半径为3，高为4． ∴该几何体的体积为14×13π×32×4=3π．故选：A ．【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 5．在△ABC 中，D 为线段AB 上一点，且BD ＝3AD ，若CD →=λCA →+μCB →，则λμ=（）A ．13B ．3C ．14D ．4【分析】由已知结合向量的线性运算可分别求出λμ，从而可求．解：因为BD ＝3AD ，所以CD →=CB →+BD →=CB →+34BA →=CB →+34(CA →−CB →)=34CA →+14CB →，由CD →=λCA →+μCB →可得λ=34，μ=14，则λμ=3．故选：B ．【点评】本题考查了平面向量的线性运算的应用及平面向量基本定理的应用． 6．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，c a+b +b a+c=1，则下列说法不一定成立的是（） A ．△ABC 可能为正三角形 B ．角A ，B ，C 为等差数列 C ．角B 可能小于π3D ．角B +C 为定值【分析】化简ca+b+b a+c=1，利用余弦定理求出A 的值，再判断选项中的命题是否正确．解：△ABC 中，ca+b+b a+c=1，（a +c ）c +（a +b ）b ＝（a +b ）（a +c ）， c 2+b 2﹣a 2＝cb ，cos A =c 2+b 2−a 22cb =cb 2cb =12，A ∈（0，π）， A =π3， B +C ＝2A =2π3，所以B 、A 、C 成等差数列，B 错误．当a ＝b ＝c 时，△ABC 是正三角形，A 正确；由B +C =2π3知，选项C 、D 正确．故选：B ．【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了分析问题解决问题的能力，是中档题．7．已知函数f （x ）＝2sin 2ωx （ω＞0）的最小正周期为π，若将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象关于x =π3对称，则实数m 的最小值为（） A ．π4B ．π3C ．3π4D ．π【分析】先利用降幂公式将函数式化简为y ＝A cos （ωx +φ）+k 的形式，然后利用图象变换的规律求出变换后的解析式，最后利用函数的最值的性质求出m 的值．解：f （x ）＝﹣cos2ωx +1，由其最小正周期为π，∴ω＝1，所以f （x ）＝﹣cos2x +1，将其图象沿x 轴向右平移m （m ＞0）个单位，所得图象对应函数为y ＝﹣cos （2x ﹣2m ）+1，因为其图象关于x =π3对称，则有cos(2π3−2m)=±1，∴2π3−2m =kπ，k ∈Z ，解得m =π3−kπ2，由m ＞0，实数m 的最小值为π3．故选：B ．【点评】本题考查考生对正弦型三角函数的图象与性质（对称性、周期性、单调性）的掌握情况．考查考生对三角函数三种表征（零点、对称轴、单调性）的理解与转换．考查考生对三角函数的数形结合思想、基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力． 8．函数f （x ）＝（x −1x）cos x （﹣π≤x ≤π且x ≠0）的图象可能为（）A ．B ．C ．D ．【分析】由条件可得函数f （x ）为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据但是当x 趋向于0时，f （x ）＞0，结合所给的选项，得出结论．解：对于函数f（x）＝（1x−x）cos x（﹣π≤x≤π且x≠0），由于它的定义域关于原点对称，且满足f（﹣x）＝（−1x+x）cos x＝﹣f（x），故函数f（x）为奇函数，故它的图象关于原点对称．故排除A、B．当x＝π，f（x）＜0，故排除C，但是当x趋向于0时，f（x）＜0，故选：D．【点评】本题主要考查函数的奇偶性的判断，奇函数的图象特征，函数的定义域和值域，属于中档题．9．甲、乙两人进行象棋比赛，采取五局三胜制（不考虑平局，先赢得三场的人为获胜者，比赛结束）．根据前期的统计分析，得到甲在和乙的第一场比赛中，取胜的概率为0.5，受心理方面的影响，前一场比赛结果会对甲的下一场比赛产生影响，如果甲在某一场比赛中取胜，则下一场取胜率提高0.1，反之，降低0.1．则甲以3：1取得胜利的概率为（）A．0.162B．0.18C．0.168D．0.174【分析】先列出甲以3：1取得胜利的所有情况，再利用相互独立事件的乘法运算求解每种情况的概率，最后利用互斥事件概率的加法公式计算即可．解：甲以3：1取得胜利的所有情况为：赢赢输赢，赢输赢赢，输赢赢赢，对应的概率分别为：0.5×0.6×0.3×0.6＝0.054，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，0.5×0.4×0.5×0.6＝0.06，所以甲以3：1取得胜利的概率为：0.054+0.06+0.06＝0.174．故选：D．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率，互斥事件的概率，考查运算求解能力和分析问题，解决问题的能力．10．已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．若|F1F2|＝4|AB|，则C的渐近线方程为（）A．√3x±y=0B．x±√3y=0C．2x±y＝0D．x±2y＝0【分析】由双曲线的定义和内切圆的切线性质：圆外一点向圆引切线，则切线长相等，结合双曲线的定义，转化求解渐近线方程即可．解：双曲线C：x2a2−y2b2=1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M在C的右支上，MF1与y轴交于点A，△MAF2的内切圆与边AF2切于点B．与MF1的切点为N，如图：设AB＝n，MB＝m，BF2＝t，由双曲线的定义可知：m+2n+t﹣m﹣t＝2a，可得n ＝a，若|F1F2|＝4|AB|，所以2c＝4a，c＝2a，则b=√3a．所以双曲线的渐近线方程为：√3x±y＝0．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用圆的切线长相等，以及方程思想，考查运算能力，属于中档题．11．将正整数20分解成两个正整数的乘积有1×20，2×10，4×5三种，其中4×5是这三种分解中两数差的绝对值最小的．我们称4×5为20的最佳分解．当p×q（p≤q且p，q∈N+）是正整数n的最佳分解时，定义函数f（n）＝q﹣p，则数列{f（3n）}（n∈N+）的前100项和S100为（）A．350+1B．350﹣1C．350−12D．350+12【分析】先写出数列{f（3n）}（n∈N+）的前几项，根据前几项归纳出：f（32k﹣1）＝3k ﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f（32k）＝3k﹣3k＝0，再求出其前100项和．解：根据题意，知：f（3）＝3﹣1＝2，f（32）＝3﹣3＝0，f（33）＝32﹣3＝6，f（34）＝32﹣32＝0，…，f（32k﹣1）＝3k﹣3k﹣1＝2×3k﹣1，f （32k ）＝3k ﹣3k ＝0．∴数列{f （3n ）}（n ∈N +）的前100项和S 100为2×30+0+2×31+0+…+2×349+0＝2（30+31+32+…+349）＝2×1−3501−3=350﹣1．故选：B ．【点评】本题主要考查等比数列、及其数列的求和，属于中档题． 12．已知函数f(x)=ln(e|2x|−4+1)，g(x)={a +x −2(x ≥0)a −x −2(x ＜0)，若存在a ∈[n ，n +1]（n ∈Z ）使得方程f （x ）＝g （x ）有四个实根．则n 的最大值为（） A ．2B ．1C ．0D ．﹣1【分析】依题意，转化可得函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，且易发现函数F （x ）为偶函数，利用导数研究函数F （x ）的性质，作出函数图象，观察图象可得实数a 的取值范围，进而得到n 的最大值．解：令h(x)=f(x)−g(x)={ln(e 2x−4+1)−(x −2)−a ，x ≥0ln(e −2x−4+1)+(x +2)−a ，x ＜0，则h(x)={ln(e 2x−4+1e x−2)−a =ln(e x−2+e 2−x )−a ，x ≥0ln[(e −2x−4+1)(e x+2)]−a =ln(e −x−2+e x+2)−a ，x ＜0，依题意，函数F(x)={ln(e x−2+e 2−x )，x ≥0ln(e −x−2+e x+2)，x ＜0与直线y ＝a 有且仅有四个不同的交点，易知函数F （x ）为偶函数，故先研究x ≥0时的情况，当x ≥0时，F′(x)=e x−2−e 2−xe x−2+e 2−x，令F ′（x ）＜0，解得0≤x ＜2，令F ′（x ）＞0，解得x ＞2，故函数F （x ）在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，且F （x ）极小值＝F （2）＝ln 2，由偶函数的对称性，可作出函数F （x ）的图象，如下图所示，由图可知，a∈（ln2，ln（e﹣2+e2）），又0＜ln2＜1，2＜ln（e﹣2+e2）＜3，∴n的最大值为2．故选：A．【点评】本题考查函数与导数的综合运用，考查函数零点与方程根的关系，考查转化思想与数形结合思想，将问题转化为函数F（x）的图象与直线y＝a有且仅有四个不同的交点，进而通过数形结合确定实数a的取值范围是解题的关键，属于中档题．二．填空题：本题共4小题，每小题5分共20分．13．执行如图所示的框图程序，输出的结果S＝5．【分析】模拟程序的运行过程可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s＝0﹣1+2﹣3+…+10的值，可得s＝0﹣1+2﹣3+…+10＝（2+4+…+10）﹣（1+3+…+9）＝5．故答案为：5．【点评】本题主要考查伪代码（算法语句）的应用，属于基础题．14．已知函数f(x)=2|x|+x2，m=f(log213)，n=f(7−0.1)，p=f(log425)，则m，n，p的大小关系是p＞m＞n．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．解：∵f（x）＝2|x|+x2，则f（﹣x）＝2|﹣x|+（﹣x）2＝f（x），即f（x）为偶函数，因为x＞0时，f（x）＝2x+x2单调递增，m ＝f （log213）＝f （log 23），n ＝f （0.7﹣0.1），p ＝f （log 425）＝f （log 25），因为log 25＞2＞log 23＞1＞7﹣0.1＞0，故p ＞m ＞n 故答案为：p ＞m ＞n【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据函数奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键．15．已知sin(α+π6)=13，则cos(α−5π6)tan(π3−α)= −13 ．【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．解：已知sin(α+π6)=13．故：cos(α−5π6)tan(π3−α)=−cos[π−(α+π6)]1tan(α+π6)=−sin(α+π6)=−13．故答案为：−13．【点评】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，诱导公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．16．已知长方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，AB =32，AD =2，AA 1=2√3，已知P 是矩形ABCD内一动点，PA 1与平面ABCD 所成角为π3，设P 点形成的轨迹长度为α，则tan α＝ ﹣3√7 ；当C 1P 的长度最短时，三棱锥D 1﹣DPC 的外接球的表面积为 17π ．【分析】因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，所以可得AP ＝2，即P 点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆与矩形ABCD 的交点即DÊ，由矩形的边长可得DE ̂的值，进而求出它的正切值，当C 1P 的长度最短时，而C 1P =√CC 12+CP 2，所以当CP 最小时，C 1P 最小，而当A ，P ，C 1三点共线时，CP 最小，求出CP 的值，进而由余弦定理求出DP ，求出三角形DCP 的外接圆的半径，由DD 1⊥面CDP ，所以三棱锥D 1﹣DCP 的外接球的球心为过底面三角形DCP 的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，由外接球的半径，和高的一半，由勾股定理可得R 的值，进而求出外接球的表面积．解：在长方体的底面矩形ABCD 内一动点P ，连接AP ，因为PA 1与平面ABCD 所成角θ为π3，AA 1＝2√3，所以tan θ=AA 1AP =2√3AP =√3，所以AP ＝2，所以P点的轨迹为以A为圆心，以2为半径的圆，与底面矩形BC的交点为E，D，即P的轨迹为圆弧DÊ，连接AE，在△ABE中，cos∠EAB=ABAE =322=34，所以sin∠DAE＝cos∠EAB=34，所以arcsin∠DAE=3 4，所以α=DÊ=2•∠DAE，可得α为钝角，所以sinα＝sin（2arcsin∠DAE）＝2•34⋅√74=3√78，∴cosα=−18，所以tanα＝﹣3√7；当C1P的长度最短时，而C1P=√CC12+CP2，所以当CP最小时，C1P最小，而当A，P，C1三点共线时，CP＝AC﹣AP=√22+(32)2−2=12最小，连接DP，由于cos∠DCP=CDAC=32√2+(32)2=35，所以在三角形CDP中，由余弦定理可得DP=√CD2+CP2−2CD⋅CP⋅cos∠DCP=√9 4+14−2×32×12×35=4√1010，而sin∠DCP=45，设三角形CDP的外接圆的半径为r，则2r=DPsin∠DCP=4√101045=√102，所以r=√104，由DD1⊥面CDP，所以三棱锥D1﹣DCP的外接球的球心为过底面三角形DCP的外接圆的圆心的垂线与中截面的交点，设外接球的半径为R，则R2＝r2+（DD12）2=1016+3=174，所以外接球的表面积S＝4πR2＝17π．故答案为：﹣3√7，17π．【点评】本题考查求点的轨迹，及三棱锥的棱长与外接球的半径的关系和球的表面积公式，属于难题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分17．已知数列{a n}中，a1＝2，a n a n+1＝2pn+1（p为常数）．（Ⅰ）若﹣a1，12a2，a4成等差数列，求p的值；（Ⅱ）是否存在p，使得{a n}为等比数列？若存在，求{a n}的前n项和S n；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据条件求出a2和a4，然后由﹣a1，12a2，a4成等差数列，得到关于p的方程，再求出p即可；（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，可知数列的首项和公比均为正数，然后根据条件求出{a n}前n项和S n即可．解：（Ⅰ）∵a n a n+1＝2pn+1（p为常数），∴a n+1a n+2=2pn+p+1∴当n＝1时，a1a2=2p+1，∵a1＝2，∴a2=2p，∴a n+2a n=2p，∴a4=2p a2=(2p)2，∵a4=2p a2=(2p)2，∴a4﹣2＝a2，∴（2p）2﹣2＝2p，∴p＝1．（Ⅱ）若{a n}为等比数列，则由a1＞0，a2＞0，∴数列的首项和公比均为正数，设其公比为q，则q=2p2，∴2p2=a2a1=2p2，∴p＝2，∴a1＝2，q＝2，∴a n=2n故a n a n+1=22n+1，而2pn+1＝22n+1，∴p＝2时，{a n}为等比数列，∴{a n}的前n项和S n=2(1−2n)1−2=2n+1−2．【点评】本题考查了等比数列和等差数列的性质，等比数列的前n项和公式，考查了方程思想和转化思想，属中档题．18．三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝2，BC=√2，AC＝2，四边形ABB1A1为菱形，且∠ABB1＝60o，AC⊥CC1．（Ⅰ）求证：平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）求BB1与平面ABC的夹角正弦值．【分析】（Ⅰ）取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，由已知可得OA⊥BB1，再由BB1∥CC1，AC⊥CC1，得AC⊥BB1，得到BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO，求解三角形证明CO⊥AO．可得AO⊥平面BB1C1C，进一步得到平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，求出平面ABC的一个法向量m→，再求出BB1上的单位向量n→．由m→与n→所成角的余弦值可得BB1与平面ABC的夹角正弦值．【解答】（Ⅰ）证明：取BB1的中点O，连接AB1，OA，OC，在菱形ABB1A1中，∠ABB1＝60o，故三角形ABB1是等边三角形，则OA⊥BB1，OB＝1，OA=√3．又BB1∥CC1，AC⊥CC1，∴AC⊥BB1，又AO⊥BB1，且AO∩AC＝A，∴BB1⊥平面AOC，则BB1⊥CO．在Rt△BOC中，CO=√BC2−BO2=1，∴CO2+AO2＝AC2，故CO⊥AO．又CO∩BB1＝O，∴AO⊥平面BB1C1C．∵AO⊂平面ABB1A1，∴平面ABB1A1⊥平面BB1C1C；（Ⅱ）解：以O为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系．则A（√3，0，0），B（0，1，0），C（0，0，1），BA →=(√3，−1，0)，BC →=(0，−1，1)．设平面ABC 的一个法向量为m →=(x ，y ，z)．由{m →⋅BA →=√3x −y =0m →⋅BC →=−y +z =0，取x =√3，得m →=(√3，3，3)．设BB 1上的单位向量为n →=(0，1，0)．则BB 1与平面ABC 的夹角正弦值为|cos ＜m →，n →＞|=|m →⋅n →||m →|⋅|n →|=√217．【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19．在“挑战不可能”的电视节目上，甲、乙、丙三个人组成的解密团队参加一项解密挑战活动，规则是由密码专家给出题目，然后由3个人依次出场解密，每人限定时间是1分钟内，否则派下一个人.3个人中只要有一人解密正确，则认为该团队挑战成功，否则挑战失败．根据甲以往解密测试情况，抽取了甲100次的测试记录，绘制了如下的频率分布直方图．（1）若甲解密成功所需时间的中位数为47，求a 、b 的值，并求出甲在1分钟内解密成功的频率；（2）在“挑战不可能”节目上由于来自各方及自身的心理压力，甲，乙，丙解密成功的概率分别为P n ＝P 1（910）n ﹣1+n−110（n ＝1，2，3），其中P i 表示第i 个出场选手解密成功的概率，并且P 1定义为甲抽样中解密成功的频率代替，各人是否解密成功相互独立． ①求该团队挑战成功的概率；②该团队以P i 从小到大的顺序按排甲、乙、丙三个人上场解密，求团队挑战成功所需派出的人员数目X 的分布列与数学期望．【分析】（1）由甲解密成功所需时间的中位数为47，利用频率分布直方图的性质能求出a，b，由此能求出甲在1分钟内解密成功的频率．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，由此能求出该团队挑战成功的概率．②根据题意知X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列和E（X）．解：（1）甲解密成功所需时间的中位数为47，∴0.01×5+0.014×5+b×5+0.034×5+0.04×（47﹣45）＝0.5，解得b＝0.026，∴0.04×3+0.032×5+a×5+0.010×10＝0.5．解得a＝0.024．∴甲在1分钟内解密成功的频率是f＝1﹣0.01×10＝0.9．（2）①由题意及（1）可知第一个出场选手解密成功的概率为p1＝0.9，第二个出场选手解密成功的概率为p2＝0.9×910+110×1=0.91，第三个出场选手解密成功的概率为p3＝0.9×(910)2+110×2=0.929，∴该团队挑战成功的概率为p＝0.9+0.1×0.91+0.1×0.09×0.929＝0.999361．②由①知按P i从小到大的顺序的概率分别为p1，p2，p3，根据题意知X的可能取值为1，2，3，则P（X＝1）＝0.9，P（X＝2）＝（1﹣0.9）×0.91＝0.091，P（X＝3）＝（1﹣0.9）（1﹣0.91）＝0.009，∴团队挑战成功所需派出的人员数目X的分布列为：X 1 2 3 P0.90.0910.009E （X ）＝1×0.9+2×0.091+3×0.009＝1.109．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、互斥事件概率加法公式和相互独立事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．在直角坐标系xOy 上取两个定点A 1（−√6，0），A 2（√6，0），再取两个动点N 1（0，m ），N 2（0，n ），且mn ＝2．（Ⅰ）求直线A 1N 1与A 2N 2交点M 的轨迹C 的方程；（Ⅱ）过R （3，0）的直线与轨迹C 交于P ，Q ，过P 作PN ⊥x 轴且与轨迹C 交于另一点N ，F 为轨迹C 的右焦点，若RP →=λRQ →（λ＞1），求证：NF →=λFQ →．【分析】（I ）由直线方程的点斜式列出A 1N 1和A 2N 2的方程，联解并结合mn ＝2化简整理得方程，再由N 1、N 2不与原点重合，可得直线A 1N 1与A 2N 2交点的轨迹C 的方程；（II ）设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0，利用分析法进行证明．【解答】（I ）解：依题意知直线A 1N 1的方程为：y =6（x +√6）…①；直线A 2N 2的方程为：y =n√6（x −√6）…②设Q （x ，y ）是直线A 1N 1与A 2N 2交点，①、②相乘，得y 2=−mn6（x 2﹣6）由mn ＝2整理得：x 26+y 22=1∵N 1、N 2不与原点重合，可得点A 1，A 2不在轨迹M 上， ∴轨迹C 的方程为x 26+y 22=1（x ≠±√6）．（Ⅱ）证明：设l ：x ＝ty +3，代入椭圆方程消去x ，得（3+t 2）y 2+6ty +3＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），N （x 1，﹣y 1），可得y 1+y 2=−6t t 2+3且y 1y 2=3t 2+3， RP →=λRQ →，可得（x 1﹣3，y 1）＝λ（x 2﹣3，y 2），∴x 1﹣3＝λ（x 2﹣3），y 1＝λy 2，证明NF →=λFQ →，只要证明（2﹣x 1，y 1）＝λ（x 2﹣2，y 2），∴2﹣x 1＝λ（x 2﹣2），只要证明x 1−3x 2−3=−x 1−2x 2−2，只要证明2t 2y 1y 2+t （y 1+y 2）＝0，由y1+y2=−6tt2+3且y1y2=3t2+3，代入可得2t2y1y2+t（y1+y2）＝0，∴NF→=λFQ→．【点评】本题着重考查了动点轨迹的求法、椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系和一元二次方程根与系数的关系等知识，属于中档题．21．已知函数f(x)=alnx+12(a−1)x2+1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）当a＝﹣1时，对任意的x1，x2∈（0，+∞），且x1≠x2，都有|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数，通过①当a≥1时，②当0＜a＜1时，③当a≤0时，判断导函数的符号，判断函数的单调性即可．（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，求出导函数，令h(x)=lnx−x2−2x2，再求解导函数，判断函数的单调性．求出函数的最值，说明g（x）在（0，+∞）上单调递减．得到g（x1）+mx1＞g（x2）+mx2恒成立，设φ（x）＝g（x）+mx，则φ（x）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，然后转化求解m的范围即可．解：（Ⅰ）f′(x)=ax +(a−1)x=(a−1)x2+ax（x＞0）．①当a≥1时，f'（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a＜1时，f′(x)=(a−1)(x+√−aa−1)(x−√−a a−1) x，所以当x＞√−aa−1时，f'（x）＜0，当0＜x＜√−aa−1时，f'（x）＞0，所以f（x）在(0，√−aa−1)上单调递增，在(√−a a−1，+∞)上单调递减；③当a≤0时，f'（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，（Ⅱ）当a＝﹣1时，f（x）＝﹣lnx﹣x2+1，不妨设0＜x1＜x2，则|x1f(x2)−x2f(x1)x1−x2|＞mx1x2等价于|f(x2)x2−f(x1)x1|＞m(x2−x1)，考察函数g(x)=f(x)x，得g′(x)=lnx−x2−2x2，令h(x)=lnx−x2−2x2，h′(x)=5−2lnxx3，则x∈(0，e52)时，h'（x）＞0，x ∈(e 52，+∞)时，h '（x ）＜0，所以h （x ）在区间(0，e 52)上是单调递增函数，在区间(e 52，+∞)上是单调递减函数．故g′(x)≤g′(e 52)=12e5−1＜0，所以g （x ）在（0，+∞）上单调递减．从而g （x 1）＞g （x 2），即f(x 2)x 2＜f(x 1)x 1，故f(x 1)x 1−f(x 2)x 2＞m(x 2−x 1)，所以f(x 1)x 1+mx 1＞f(x 2)x 2+mx 2，即g （x 1）+mx 1＞g （x 2）+mx 2恒成立，设φ（x ）＝g （x ）+mx ，则φ（x ）在（0，+∞）上恒为单调递减函数，从而φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤0恒成立，故φ′（x ）＝g ′（x ）+m ≤12e 5−1+m ≤0，故m ≤1−12e 5．【点评】本题考查导数公式和导数运算法则以及恒成立的思想，考查考生灵活运用导数工具分析问题、解决问题的能力，综合考查考生的分类讨论思想以及逻辑推理能力、运算求解能力和推理论证能力．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C ：ρ＝4cos θ，以极点O 为旋转中心，将曲线C 逆时针旋转π3得到曲线C ′．（Ⅰ）求曲线C ’的极坐标方程；（Ⅱ）求曲线C 与曲线C ′的公共部分面积．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用及二次函数的性质的应用求出结果．解：（Ⅰ）设极点（ρ，θ）旋转之后的极点为（ρ′，θ′），故：{ρ′=ρθ′=θ+π3，代入ρ＝4cosθ，得到ρ′=4cos(θ′−π3)，得到ρ=4cos(θ−π3)．（Ⅱ）如图，两圆相交于点O和A，连接OA，AC，OC′，AC′．由于极径没有变，旋转的角为π3．显然四边形OC′AC为菱形，故∠OCA=2π3．所以S＝2S弓形OC′A＝2（S扇形OC′A﹣S△OC′A）=8π3−2√3．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．一、选择题23．已知f（x）＝k|x|+|x﹣1|．（Ⅰ）若k＝2，解不等式f（x）≤5．（Ⅱ）若关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|的充分条件是x∈[12，2]，求k的取值范围．【分析】（Ⅰ）k＝2时，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．然后分x＜0，0≤x ＜1，x≥1三类去绝对值求解，取并集得答案；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，分离参数k，可得k≤|x+1|+|x−1||x|在x∈[12，2]上恒成立，再由|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2，即可得到实数k的取值范围．解：（Ⅰ）若k＝2，不等式f（x）≤5可化为2|x|+|x﹣1|≤5．当x＜0时，有﹣2x﹣（x﹣1）≤5，即x≥−43，∴−43≤x＜0；当0≤x＜1时，有2x﹣（x﹣1）≤5，即x≤4，∴0≤x＜1；当x≥1时，有2x+（x﹣1）≤5，即x≤2，∴1≤x≤2．故原不等式的解集为[−43，2]；（Ⅱ）由题意，关于x的不等式f（x）≤|x+1|+|2x﹣2|在x∈[12，2]上恒成立，即k |x |≤|x +1|+|2x ﹣2|﹣|x ﹣1|在x ∈[12，2]上恒成立，∴k ≤|x+1|+|x−1||x|在x ∈[12，2]上恒成立， ∵|x+1|+|x−1||x|≥|x+1+x−1||x|=2|x||x|=2，等号在x +1，x ﹣1同号或其中一项为0时成立．∴k 的取值范围是（﹣∞，2]．【点评】本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论与数学转化思想方法，训练了绝对值不等式的应用，是中档题．。

2020年河南省洛阳市高考(理科)数学三模试卷 (解析版)

2020年河南省洛阳市高考数学三模试卷（理科）一、选择题（共12小题）. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（） A ．−23B ．−43C ．25D ．453．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（） A ．2B ．1C ．√3D ．√24．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（） A ．1B ．√2C ．2D ．2√27．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973． A ．2.718 B ．6.827C ．8.186D ．9.5459．（2x +1）（x 3√x）5的展开式中x 3系数为（） A ．180B ．90C ．20D ．1010．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（） A ．（0，√3] B ．（1，√3] C ．（√32，32）D ．（12，√32）11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√312．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x +lnx+1x，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF →=2FB →，则直线l 的斜率为．16．如图，在三棱锥A ﹣BCD 中，AB ＝CD ＝2，AC ＝BD =√3，BC ＝AD =√5，E ，F 分别是AB ，CD 的中点．若用一个与直线EF 垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC ，AD ，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n}的首项a1＝1，其前n项和为S n，且满足S n+1＝2S n+n+1．（1）求证：数列{a n+1}是等比数列；（2）令b n＝n（a n+1），求数列{b n}的前n项和T n．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．19．已知平面内动点P与点A（﹣2，0），B（2，0）连线的斜率之积为−3 4．（1）求动点P的轨迹E的方程；（2）过点F（1，0）的直线与曲线E交于P，Q两点，直线AP，AQ与直线x＝4分别交于M，N两点．求证：以MN为直径的圆恒过定点．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．21．设函数f（x）＝lnx，g（x）＝a（x﹣1）．（1）若对任意x∈（0，+∞），f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值集合；（2）设x n＝n2（n∈N*），点A n（x n，f（x n）），点A n+1（x n+1，f（x n+1）），直线A n A n+1的斜率为k n，求证：k1+k2+…+k n＜2（n∈N*）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为{x=√3cosαy=sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12．（1）求曲线C的普通方程和直线l的直角坐标方程；（2）已知点A（2，1），点B为曲线C上的动点，求线段AB的中点M到直线l的距离的最大值．并求此时点B的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c是正实数，且a+b+2c＝1．（1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a2+b2+c2≥16．参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A ＝{x |x−1x+2＞0}，集合B ＝{x |﹣5≤2x +1≤3}，则集合A ∩B ＝（）A ．[﹣3，﹣2）B ．（﹣2，1）C ．RD ．∅【分析】可以求出集合A ，B ，然后进行交集的运算即可．解：∵A ＝{x |x ＜﹣2，或x ＞1}，B ＝{x |﹣3≤x ≤1}， ∴A ∩B ＝[﹣3，﹣2）．故选：A ．2．已知直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则tan2α＝（） A ．−23B ．−43C ．25D ．45【分析】根据两直线垂直求出sin α与cos α的关系，计算tan α的值，再求tan2α的值．解：直线l 1：x sin α+2y ﹣1＝0，直线l 2：x ﹣y cos α+3＝0，若l 1⊥l 2，则sin α﹣2cos α＝0，即sin α＝2cos α，所以tan α＝2，所以tan2α=2tanα1−tan 2α=2×21−22=−43．故选：B ．3．已知复数z 满足|z |＝1，则|z ﹣1+√3i |的最小值为（） A ．2B ．1C ．√3D ．√2【分析】满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，再利用数形结合法即可求出结果．解：满足|z |＝1的复数z ，在以原点为圆心，以1为半径的圆上，|z ﹣1+√3i |表示复数z 在复平面内对应的点Z 到点A （1，−√3）的距离，如图所示：由OA ＝2，利用点圆的位置关系，|z ﹣1+√3i |的最小值为2﹣1＝1，故选：B ．4．已知m ，n 为两条不同直线，α，β为两个不同平面，则下列结论正确的为（） A ．α∥β，m ∥α，则m ∥βB ．m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥βC ．m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α⊥βD ．m ⊥α，m ∥n ，α∥β，则n ⊥β【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系，逐一核对四个选项得答案．解：对于A ，若α∥β，m ∥α，则m ∥β或m ⊂β，故A 错误；对于B ，若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β或α与β相交，只有加上条件m 与n 相交时，才有结论α∥β，故B 错误；对于C ，若m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，则 α∥β或α与β相交，故C 错误；对于D ，若m ⊥α，m ∥n ，则n ⊥α，又α∥β，则n ⊥β，故D 正确．故选：D ．5．已知f （x ）是偶函数，且在（0，+∞）上单调递增，则函数f （x ）可以是（） A ．f （x ）＝x 4﹣2x 2 B ．f （x ）=e x +e −x2 C ．f （x ）＝x sin xD ．f （x ）=13x 2+cos x【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与在区间（0，+∞）上的单调性，综合即可得答案．解：根据题意，依次分析选项：对于A ，f （x ）＝x 4﹣2x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝x 4﹣2x 2＝f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）＝4x 3﹣4x ＝4x （x 2﹣1），在区间（0，1）上，f ′（x ）＜0，f （x ）为减函数，不符合题意；对于B ，f （x ）=e x +e −x 2，其定义域为R ，有f （﹣x ）=e x +e −x2=f （x ），是偶函数，其导数f ′（x ）=e x −e −x2，在区间（0，+∞）上，f ′（x ）＞0，f （x ）为增函数，符合题意；对于C ，f （x ）＝x sin x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）＝（﹣x ）sin （﹣x ）＝x sin x ＝f （x ），是偶函数，有f （π2）=π2＞0，但f （3π2）=−3π2＜0，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；对于D ，（x ）=13x 2+cos x ，其定义域为R ，有f （﹣x ）=13（﹣x ）2+cos （﹣x ）=13x 2+cos x＝f （x ），是偶函数，有f （0）＝1，f （π3）=π227+12＜1，在（0，+∞）上不是增函数，不符合题意；故选：B ．6．已知圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为（） A ．1B ．√2C ．2D ．2√2【分析】根据题意，分析圆C 的半径，由直线与圆的位置关系可得圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离，由平行线间的公式计算直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0之间的距离，分析可得圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离，由直线与圆的位置关系分析可得答案．解：根据题意，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4的半径r ＝2，圆C ：（x ﹣a ）2+y 2＝4（a ≥2）与直线x ﹣y +2√2−2＝0相切，则圆心C 到直线x ﹣y +2√2−2＝0的距离为2，直线x ﹣y +2√2−2＝0与x ﹣y ﹣4＝0平行，两条平行直线的距离d =√2−2−(−4)|1+1=2+√2，又由圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交，则圆心C 到直线x ﹣y ﹣4＝0的距离d ′=√2，则圆C 与直线x ﹣y ﹣4＝0相交所得弦长为2×√4−2=2√2；故选：D ．7．已知函数f （x ）＝sin x +cos x 的导函数为g （x ），则下列结论中错误的是（） A ．函数f （x ）与g （x ）有相同的值域和周期 B ．函数g （x ）的零点都是函数f （x ）的极值点C ．把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，就可以得到函数g （x ）的图象D ．函数f （x ）和g （x ）在区间（−π4，π4 ）上都是增函数【分析】求出函数f （x ）的导函数g （x ），再分别判断f （x ）、g （x ）的值域、极值点和零点，图象平移和单调性问题．解：函数f （x ）＝sin x +cos x ，∴g （x ）＝f '（x ）＝cos x ﹣sin x ，对于A ，f （x ）=√2sin （x +π4），g （x ）=−√2sin （x −π4），两函数的值域相同，都是[−√2，√2]，周期也相同；A 正确；对于B ，若x 0是函数g （x ）的零点，则x 0−π4=k π，k ∈Z ；解得x 0＝k π+π4，k ∈Z ；，f （x 0）=√2sin （k π+π4+π4）＝±√2， ∴x 0也是函数f （x ）的极值点，B 正确；对于C ，把函数f （x ）的图象向左平移π2个单位，得f （x +π2）＝sin （x +π2）+cos （x +π2）＝cos x ﹣sin x ＝g （x ），∴C 正确；对于D ，x ∈（−π4，π4）时，x +π4∈（0，π2），f （x ）是单调增函数，x −π4∈（−π2，0），g （x ）是单调递减函数，D 错误．故选：D ．8．若某单位员工每月网购消费金额（单位：元）近似地服从正态分布N （1000，5002），现从该单位任选10名员工，记其中每月网购消费金额恰在500元至2000元之间的人数为ξ，则ξ的数学期望为（）参考数据：若随机变量X 服从正态分布N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ≤μ+σ）＝0.6827，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9545，P （μ﹣3σ＜X ≤μ+3σ）＝0.9973．A ．2.718B ．6.827C ．8.186D ．9.545【分析】先根据已知数据，求出P （500＜X ≤1500）和P （0＜X ＜2000），然后利用正态分布曲线的特点得P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.8186，而随机变量ξ～B （10，0.8186），最后由二项分布的数学期望求解即可．解：∵X ～N （1000，5002），∴P （500＜X ≤1500）＝0.6827，P （0＜X ＜2000）＝0.9545，∴P （500＜X ＜2000）＝P （500＜X ≤1500）+P （1500＜X ＜2000）＝0.6827+0.9545−0.68272=0.8186，而随机变量ξ～B （10，0.8186）， ∴E （ξ）＝10×0.8186＝8.186．故选：C ． 9．（2x +1）（x √x ）5的展开式中x 3系数为（） A ．180B ．90C ．20D ．10【分析】求出（x x ）5展开式的含x 2与x 3项的系数，再计算（2x +1）（x x）5的展开式中x 3的系数．解：（x x）5展开式的通项公式为 T r +1=∁5r •x r•（√x）5﹣r ＝35﹣r •∁5r •x3r−52；令3r−52=2，解得r ＝3；令3r−52=3，解得r 不存在；故（2x +1）（x √x）5的展开式中x 3系数为：2×∁53•35﹣3＝180．故选：A ．10．已知锐角三角形△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．且b ＝2a sin B ，则cos B +sin C 的取值范围为（） A ．（0，√3]B ．（1，√3]C ．（√32，32）D ．（12，√32）【分析】由已知结合正弦定理进行化简可求sin A ，进而可求A ，结合锐角三角的条件可求B 的范围，然后结合和差角公式及辅助角公式进行化简后结合正弦函数的性质即可求解．解：因为b ＝2a sin B ，由正弦定理可得，sin B ＝2sin A sin B ，因为sin B ≠0，故sin A =12，因为A 为锐角，故A =π6，由题意可得，{0＜B ＜12π0＜5π6−B ＜12π，解可得，13π＜B ＜12π，则cos B +sin C ＝cos B +sin （5π6−B ）=√32sinB +32cosB=√3sin （B +13π）∈(√32，32)．故选：C ． 11．设双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点分别为F 1，F 2，离心率为e ，P在双曲线E 的右支上，且PF 1⊥PF 2，Q 为线段PF 1，与双曲线E 左支的交点，若∠PQF 2＝30°，则e 2＝（） A ．7﹣2√3B ．1+√3C ．2√3−1D ．72√3【分析】设PF 2＝m ，根据条件得PQ =√3m ，QF 2＝2m ，结合双曲线性质PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ，进行整理可得m ＝2（√3−1）a ，再由勾股定理PF 12+PF 22＝F 1F 22，得到（7﹣2√3）a 2＝c 2即可．解：因为PF 1⊥PF 2，∠PQF 2＝30°，所以PQ =√3PF 2，QF 2＝2PF 2，不妨设PF 2＝m ，则PQ =√3m ，QF 2＝2m ，根据双曲线定义：PF 1﹣PF 2＝2a ，QF 2﹣QF 1＝2a ，由PF 1﹣PF 2＝2a 得PF 1＝2a +m ，由QF 2﹣QF 1＝2a ，得QF 1＝2m ﹣2a ，又因为QF 1＝PF 1﹣PQ ，即有2m ﹣2a ＝2a +m −√3m ，所以m ＝2（√3−1）a ，在Rt △PF 1F 2中，PF 12+PF 22＝F 1F 22，即（2a +m ）2+m 2＝4c 2，代入得[2a +2（√3−1）a ]2+4（√3−1）2a 2＝4c 2，整理得（7﹣2√3）a 2＝c 2，则e 2=c 2a2=7﹣2√3，故选：A ．12．已知函数f （x ）={3x −x 3，x ≤0xe x+lnx+1x ，x ＞0，若关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根，则实数m 的取值范围是（） A ．（﹣2，1e +1 ）B ．（﹣2，0 ）∪（ 0，1e+1 ） C ．(−32，2e+1e 2+e) D ．（ −32，0 ）∪（ 0，2e+1e 2+e）【分析】利用导数得到函数f （x ）的单调性和极值，画出函数f （x ）的大致图象，令t ＝f （x ），则t 2﹣mt ﹣1＝0，由△＞0可知方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，再利用二次函数的图象和性质列出不等式组即可求出实数m 的取值范围．解：当x ≤0时，f （x ）＝3x ﹣x 3，则f '（x ）＝3﹣3x 2＝3（1﹣x ）（1+x ），令f '（x ）＝0得：x ＝﹣1，∴当x ∈（﹣∞，﹣1）时，f '（x ）＜0，f （x ）单调递减；当x ∈（﹣1，0）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增，且f （﹣1）＝﹣2，f （0）＝0，当x ＞0时，f （x ）=x e x +lnx+1x ，则f '（x ）=1−x e x +−lnx x2，显然f '（1）＝0， ∴当x ∈（0，1）时，f '（x ）＞0，f （x ）单调递增；当x ∈（1，+∞）时，f '（x ）＜0，f（x ）单调递减，且f （1）=1e+1，故函数f （x ）的大致图象如图所示：，令t ＝f （x ），则关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0化为关于t 的方程t 2﹣mt ﹣1＝0， ∵△＝m 2+4＞0，∴方程t 2﹣mt ﹣1＝0有两个不相等的实根，设为t 1，t 2，由韦达定理得：t 1+t 2＝m ，t 1t 2＝﹣1＜0，不妨设t 1＞0，t 2＜0， ∵关于x 的方程f 2（x ）﹣mf （x ）﹣1＝0恰好有6个不相等的实根， ∴由函数f （x ）的图象可知：0＜t 1＜1+1e，﹣2＜t 2＜0，设g （t ）＝t 2﹣mt ﹣1，则{ g(−2)＞0g(0)＜0g(1+1e )＞0，解得：−32＜m ＜2e+1e 2+e，故选：C ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知向量a →，b →满足：a →=（1，√3），|b →|=√2，（a →−b →）⊥b →，则向量a →，b →的夹角为π4．【分析】根据平面向量的数量积，求出向量a →、b →夹角的余弦值，再求夹角大小．解：a →=（1，√3），所以|a →|=√12+(√3)2=2，又|b →|=√2，（a →−b →)⊥b →⊥b →，所以a →•b →−b →2=0，所以a →•b →=b →2=2，设向量a →，b →的夹角为θ，则cos θ=a →⋅b→|a →|×|b →|=2×2=√22，又θ∈[0，π]，所以θ=π4．故答案为：π4．14．已知非负实数x ，y 满足{x −y −1≥02x +y −4≤0，则z =y+1x+1的最大值是 58．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z =y+1x+1的几何意义进行求解即可．解：z =y+1x+1的几何意义是可行域内的点与（﹣1，﹣1）连线的斜率，作出不等式组对应的平面区域如图：则由图象知PA 的斜率最大，由{x −y −1=02x +y −4=0，解得A （53，23）则PA 的斜率k =23+153+1=58，k 的最大值为58，故答案为：58．15．已知直线l 经过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F ，l 与C 交于A ，B 两点，其中点A 在第四象限，若AF→=2FB→，则直线l的斜率为﹣2√2．【分析】求得抛物线的焦点和准线方程，设直线l的方程为x＝my+1，联立直线方程和抛物线的方程，运用韦达定理，再由向量共线的坐标表示，可得y1，y2的关系，消去y1，y2，可得m的值，进而得到所求直线的斜率．解：y2＝4x的焦点F（1，0），设直线l的方程为x＝my+1，联立y2＝4x，可得y2﹣4my﹣4＝0，设A，B的纵坐标分别为y1，y2（y1＜0，y2＞0），则y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4，①又AF→=2FB→，可得﹣y1＝2y2，即y1＝﹣2y2，②由①②可得m＜0，y1＝8m，y2＝﹣4m，﹣32m2＝﹣4，解得m=−√24，则直线l的斜率为﹣2√2，故答案为：﹣2√2．16．如图，在三棱锥A﹣BCD中，AB＝CD＝2，AC＝BD=√3，BC＝AD=√5，E，F分别是AB，CD的中点．若用一个与直线EF垂直的平面去截该三棱锥．与棱AC，AD，BD，BC分别交于M，N，P，Q四点，则四边形MNPQ面积的最大值为√32．【分析】把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，由已知可得四边形MNPQ为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN|+|PQ|＝|AB|＝2．求出PN与PQ所成角，代入三角形面积公式，再由基本不等式求最值．解：把三棱锥A﹣BCD放置在长方体中，如图，∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点，且平面MNPQ ⊥EF ，可知MN ∥PQ ，PN ∥QM ，则四边形MNPQ 为平行四边形，再由平行线截线段成比例，可得|PN |+|PQ |＝|AB |＝2．由已知可求得作侧面两条对角线所成锐角为60°，则∠NPQ ＝60°．∴S 四边形MNPQ ＝|PN |•|PQ |•sin60°≤√32⋅(|PN|+|PQ|2)2=√32．当且仅当PN |＝|PQ |＝1时上式等号成立． ∴四边形MNPQ 面积的最大值为√32．故答案为：√32．三、解答题：本大题共6个小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知数列{a n }的首项a 1＝1，其前n 项和为S n ，且满足S n +1＝2S n +n +1．（1）求证：数列{a n +1}是等比数列；（2）令b n ＝n （a n +1），求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）先由S n +1＝2S n +n +1⇒S n ＝2S n ﹣1+n ，两式相减得a n +1＝2a n +1，进而证明结论；（2）由（1）可得a n +1＝2n ，∴b n ＝n •2n ，再利用错位相减法求出T n 即可．解：（1）证明：∵S n +1＝2S n +n +1①， ∴当 n ≥2 时，S n ＝2S n ﹣1+n ②，由①一②得，a n +1＝2a n +1，n ≥2，∴a n +1+1＝2a n +1+1，n ≥2，即a n +1+1＝2（a n +1），n ≥2．又a 1+a 2＝2a 1+2，a 1＝1，∴a 2＝3，则a 2+1＝2（a 1+1）也适合，∴数列{a n+1}是以a1+1＝2为首项，公比为2的等比数列；（2）解：由（1）知a n+1＝2n，∴b n＝n•2n．∴T n＝1×21+2×22+3×23+4×24+…+（n﹣1）•2n﹣1+n•2n③，∴2T n＝1×22+2×23+3×24+4×25+（n﹣1）•2n+n•2n+1④，由③﹣④得：﹣Tn＝1×21+1×22+1×23+…+1×2n﹣n•2n+1＝（1﹣n）•2n+1﹣2，∴T n＝（n﹣1）•2n+1+2．18．如图．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD为正方形，AB=√2，AA1＝3，E为棱AA1上一点，AE＝1，F为棱B1C1上任意一点C．（1）求证：BE⊥EF；（2）求二面角C﹣B1E﹣C1的余弦值．【分析】（1）先根据勾股定理可得BE⊥B1E，结合长方体的性质可得BE⊥B1C1，进而可证BE⊥平面B1C1E，再由线面垂直的性质得证；（2）建立空间直角坐标系，求出平面CB1E及平面B1C1E的一个法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：∵AE＝1，A1E＝2，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1E=√A1E2+A1B12=√6，BE=√AE2+AB2=√3，∴B1B2=B1E2+BE2，即BE⊥B1E，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，B1C1⊥平面A1ABB1，BE⊂平面A1ABB1，∴BE⊥B1C1，又B1E∩B1C1＝B1，∴BE⊥平面B1C1E，又无论点F位置如何，EF⊂平面B1C1E，∴BE ⊥EF ；（2）如图所示，分别以DA ，DC ，DD 1为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则B 1（√2，√2，3），E （√2，0，1），C （0，√2，0），B （√2，√2，0），CB 1→=（√2，0，3），EB 1→=（0，√2，2），设平面CB 1E 的法向量为n →=（x ，y ，z ），∴{n →⋅CB 1→=0n →⋅EB 1→=0，即{√2x +3z =0√2y +2z =0，令z =√2，则x ＝﹣3，y ＝﹣2，可得平面CB 1E 的一个法向量为n →=(−3，−2，√2)，由（1）可知，BE ⊥平面B 1C 1E ，所以平面B 1C 1E 的一个法向量BE →=(0，−√2，1)， ∴cos ＜BE →，n →＞=BE →，⋅n→|BE →|⋅|n →|=3√23×√15=√105，即二面角C ﹣B 1E ﹣C 1的余弦值√105．19．已知平面内动点P 与点A （﹣2，0），B （2，0）连线的斜率之积为−34．（1）求动点P 的轨迹E 的方程；（2）过点F （1，0）的直线与曲线E 交于P ，Q 两点，直线AP ，AQ 与直线x ＝4分别交于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆恒过定点．【分析】（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34可得关于x ，y 的关系式，得到动点P 的轨迹E 的方程；（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，得到关于x 的一元二次方程，写出根与系数的关系，再写出直线APD 方程，求得M ，N 的坐标，结合根与系数的关系得到|MN |，求出线段MN 中点的坐标，可得以MN 为直径的圆的方程，求出以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．验证当PQ ⊥x 轴时成立，可得以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．解：（1）设点P 的坐标为（x ，y ），则由k PA ⋅k PB =−34，得y x+2⋅yx−2=−34，整理得x 24+y 23=1（ x ≠±2），即动点P 的轨迹E 的方程为x 24+y 23=1（ x ≠±2）；证明：（2）当PQ 的斜率存在时，设PQ 的方程为y ＝k （x ﹣1），与曲线E 的方程联立，消去y 得（3+4k 2）x 2﹣8k 2x ﹣4k 2﹣12＝0．设P （x 1，y 1），Q （x 2，y 2），则x 1+x 2=8k23+4k2，x 1x 2=4k 2−123+4k2．直线AP 的方程为y y 1=x+2x 1+2，令x ＝4，得y =6y 1x 1+2，即M(4，6y 1x 1+2)，同理N(4，6y 2x 2+2)． ∴|MN|=6y2x 2+2−6y1x 1+2 ＝6|k[(x 2−1)(x 1+2)−(x 1−1)(x 2+2)]x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=18|k(x 2−x 1)x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|，|x 2﹣x 1|=√(x 1+x 2)2−4x 1x 2=√64k2(3+4k 2)2−4×4k 2−123+4k2=12√1+k 23+4k 2|x 1x 2+2(x 1+x 2)+4|=|4k 2−123+4k 2+2×8k 23+4k 2+4|=36k 23+4k 2． ∴|MN |=6√1+k 2|k|．线段MN 中点的纵坐标为12（6y 1x 1+2+6y 2x 2+2）=3k ⋅(x 1−1x 1+2+x 2−1x 2+2）=−3k．故以MN 为直径的圆的方程为：（x ﹣4）2+(y +3k )2=9(1+k 2)k2．令y ＝0得：（x ﹣4）2＝9，解得x ＝1或x ＝7．此时以MN 为直径的圆过点D （1，0）和E （7，0）．当PQ ⊥x 轴时，P(1，32)，Q(1，−32)，M(4，3)，N(4，−3)．则以MN 为直径的圆的方程为（x ﹣4）2+y 2＝9，也过点D ，E ． ∴以MN 为直径的圆恒过点D （1，0）和E （7，0）．20．某地为鼓励群众参与“全民读书活动”，增加参与读书的趣味性．主办方设计这样一个小游戏：参与者抛掷一枚质地均匀的骰子（正方体，六个面上分别标注1，2，3，4，5，6六个数字）．若朝上的点数为偶数．则继续抛掷一次．若朝上的点数为奇数，则停止游戏，照这样的规则进行，最多允许抛掷3次．每位参与者只能参加一次游戏．（1）求游戏结束时朝上点数之和为5的概率；（2）参与者可以选择两种方案：方案一：游戏结束时，若朝上的点数之和为偶数，奖励3本不同的畅销书；若朝上的点数之和为奇数，奖励1本畅销书．方案二：游戏结束时，最后一次朝上的点数为偶数，奖励5本不同的畅销书，否则，无奖励．试分析哪一种方案能使游戏参与者获得更多畅销书奖励？并说明判断的理由．【分析】（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．然后求解概率即可．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，求出概率得到分布列，然后求解期望．通过比较E（X），E（Y），推出选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励．解：（1）设事件A：只抛掷1次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件B：抛掷2次就结束游戏且朝上点数之和为5，事件C：掷3次结束游戏且朝上点数之和为5，事件A，B，C彼此互斥．则P(A)=16，P(B)=16×16+16×16=118，P(C)=16×16×16=1216，游戏结束时朝上点数之和为5，即事件A+B+C，其概率为P（A+B+C）=16+118+1216=49216．（2）方案一：设获得奖励畅销书的本数为X，P（x＝3）=18，P（x＝1）=78，则X的分布列为：X31P187 8E（X）＝3×18+1×78=54．方案二：设获得奖励畅销书的本数为YP（X＝5）=18，P（x＝0）=78，则Y的分布列为：Y 5P1878E （Y ）＝5×18+0×78=58，∵E （X ）＞E （Y ），∴选择方案一能使游戏参与者获得更多畅销书奖励． 21．设函数f （x ）＝lnx ，g （x ）＝a （x ﹣1）．（1）若对任意x ∈（0，+∞），f （x ）≤g （x ）恒成立，求a 的取值集合；（2）设x n ＝n 2（n ∈一、选择题*），点A n （x n ，f （x n ）），点A n +1（x n +1，f （x n +1）），直线A n A n +1的斜率为k n ，求证：k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．【分析】（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ），求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到a 的取值即可；（2）求出k n ，结合ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2，得到k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ，不等式放缩证明即可．解：（1）令F （x ）＝f （x ）﹣g （x ）， F （x ）＝lnx ﹣a （x ﹣1），F ′（x ）=1x −a =1−axx，……（1分）若a ≤0时，当x ＞1 时，lnx ﹣a （x ﹣1）＞0，不符合题意…… 若a ＞0，F ′（x ）＞0得0＜x ＜1a，F ′（x ）＜0得x ＞1a， ∴F （x ）在(0，1a)上递增，在（1a，+∞）上递减……∴F （x ）max ＝F （1a）＝ln 1a−a(1a−1)=−lna +a −1≤0⋯⋯令ϕ（x ）＝﹣ln x +x −1，ϕ′(x)=−1x +1=x−1x， ∴ϕ（x ）在（0，1）上递减，在（1，+∞）上递增 ∴ϕ（x ）≥ϕ（1）＝0，∴ϕ（a ）≥0…… ∴ϕ（a ）＝0，a ＝1，故a 的取值集合为{1}……（2）由题意知，点A n （n 2，lnn 2），点A n +1（（（n +1）2，ln （n +1）2）， k n =ln(n+1)2−lnn 2(n+1)2−n 2=ln(1+2n+1n2)2n+1⋯⋯由（1）知，当a ＝1时，lnx ≤x ﹣1（x ＞0），∴ln （1+2n+1n 2）＜2n+1n 2⋯⋯ ∴k n ＜2n+1n 22n+1=1n 2，∴k 1+k 2+⋯+k n ＜112+122+⋯12n ⋯⋯ 而112+122+132+⋯+1n 2≤11+11×2+12×3+⋯+1(n−1)n＝1+（1−12）+（12−13）+…+（1n−1−1n）＝2−1n ＜2，……∴k 1+k 2+…+k n ＜2（n ∈N *）．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号后的方框涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程] 22．在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为{x =√3cosαy =sinα（α为参数），以坐标原点O为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ+π6）=12．（1）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）已知点A （2，1），点B 为曲线C 上的动点，求线段AB 的中点M 到直线l 的距离的最大值．并求此时点B 的坐标．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及正弦型函数的性质的应用求出结果．解：（1）曲线C 的参数方程为{x =√3cosαx =sinα（α为参数），可得x3=cosαy =sinα两边平方相加得：(3)2+y 2＝1，即曲线C 的普通方程为：x 23+y 2＝1．由ρsin(θ+π6)=12可得√32ρsinθ+12ρcosθ=12即直线l 的直角坐标方程为x +√3y −1=0．（2）A （2，1），设点B (√3cosα，sinα)，则点M (2+√3cosα2，1+sinα2)，点M 到直线l 的距离d =|2+√3cosα2+√3(1+sinα)2−1|2=|√32cosα+√32sinα+√322=|√62sin(α+π4)+√32|2．当sin(α+π4)=1时，的最大值为√6+√34．即点M 到直线l 的距离的最大值为√6+√34，此时点的坐标为(√62，√22）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1．（1）求1a +1b+1c的最小值；（2）求证：a 2+b 2+c 2≥16．【分析】（1）根据a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1，可得1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ），然后利用基本不等式求出1a+1b+1c的最小值即可；（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2，再结合a +b +2c ＝1，即可证明a 2+b 2+c 2≥16成立．解：（1）∵a ，b ，c 是正实数，且a +b +2c ＝1．所以1a +1b+1c=（1a+1b+1c）（a +b +2c ）=b a +a b +2c a +a c +2c b +bc+4≥6+4√2，当且仅当a =b =√2c ，即a =b =2−√22，c =√2−12时等号成立，∴1a+1b+1c的最小值为6+4√2．（2）由柯西不等式可得（12+12+22）（a 2+b 2+c 2）≥（a +b +2c ）2＝1，即a 2+b 2+c 2≥16，当且仅当1a=1b=2c，即a =b =16，c =13时等号成立，∴a 2+b 2+c 2≥16成立．。

2020年高考模拟陕西省汉中市部分学校高考(理科)数学(3月份)模拟测试试卷解析版

2020年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题1．设集合A＝{y|y＝5x+1}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，+∞）C．（1，2]D．[1，2]2．已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．13．已知m＞1，，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a4．函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．5．我国古代数学家对圆周率π的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”．在割圆术求π的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为（）（附：）A．3.13B．3.12C．3.064D．3.1826．已知双曲线C的一个焦点为（0，5），且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，3）到焦点F的距离为4，直线l过M（0，3）且与C交于A，B两点，|BF|＝5，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝（）A．B．C．D．8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．1439．在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则＝（）A．9B．C．6D．10．在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）A．B．C．D．11．已知函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2log73）B．（﹣2，﹣2log53）C．（﹣2log53，﹣1）D．（﹣log73，﹣）12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF不平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等二、填空题13．设a1＝2，a n+1＝，b n＝||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n＝．14．函数f（x）＝的定义域为．15．函数f（x）＝在x＝处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则该切线在y轴上的截距为．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为．三、解答题17．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝2，（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，且数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜9．18．2019年12月以来，发现多起病毒性病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P（0＜p＜1），某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X（0≤X≤a），假设每位密切接触者不再接触其他患者．（Ⅰ）求一天内被感染人数为X的概率P（X）与a、p的关系式和X的数学期望；（Ⅱ）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n（n≥2）．（i）求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln（1+p）﹣．当p取最大值时，计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a＝10）（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，E 为PA的中点，点F在PD上，EF⊥平面PCD，M在DC的延长线上，且（1）证明：EF∥平面PBM；（2）过点C作BD的平行线，与直线AB相交于点G，当点Q在线段CG上运动时，二面角E﹣DQ﹣A能否等于60°？请说明理由．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P为W的上顶点，点Q在W上，＝7，且•＝﹣．（1）求W的方程；（2）已知过原点的直线l1与椭圆W交于C，D两点，垂直于l1的直线l2过F1且与椭圆W交于M，N两点，若|CD|2＝6|MN|，求．21．已知，g（x）＝a（x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），证明：a＞e2且x1x2＜x1+x2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（β为参数），将曲线C1上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C2的极坐标方程和l的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与l，C2分别交于A，B两点（异于极点），定点M（14，0），求△MAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤；（Ⅱ）（a+）+（b+）+（c+）≥10．参考答案一、选择题1．设集合A＝{y|y＝5x+1}，，则A∩B＝（）A．（1，2）B．（﹣1，+∞）C．（1，2]D．[1，2]解：∵A＝（1，+∞），B＝（﹣1，2]，∴A∩B＝（1，2]．故选：C．2．已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1B．﹣C．D．1【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．3．已知m＞1，，，，则（）A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜a＜c D．b＜c＜a【分析】利用指数函数、对数函数幂函数的单调性即可得出．解：当m＞1时，由对应函数的性质可知a＜0，0＜b＜1，c＞1，则a＜b＜c成立．故选：A．4．函数图象的大致形状是（）A．B．C．D．【分析】根据条件先判断函数的奇偶性，和对称性，利用f（1）的值的符号是否对应进行排除即可．解：＝•sin x，则f（﹣x）＝•sin（﹣x）＝•（﹣sin x）＝•sin x＝f（x），则f（x）是偶函数，则图象关于y轴对称，排除B，D，由f（x）＝0，得1﹣e x＝0或sin x＝0，得x＝kπ，k∈Z，即当x＞0时，第一个零点为π，当x＝1时，f（1）＝•sin1＜0，排除A，故选：C．5．我国古代数学家对圆周率π的近似值做出过杰出的贡献，魏晋时期的数学家刘徽首创用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，称为“割圆术”．在割圆术求π的方法中，若使用正三十二边形，则圆周率的近似值为（）（附：）A．3.13B．3.12C．3.064D．3.182【分析】圆的内接正多边形的面来逼近圆面积，由，得，解：设正三十二边形的外接圆半径为r，三十二个小等腰三角形顶角为，，圆的内接正多边形的面来逼近圆面积由，得，故选：B．6．已知双曲线C的一个焦点为（0，5），且与双曲线的渐近线相同，则双曲线C的标准方程为（）A．B．C．D．【分析】由已知是双曲线的方程可得渐近线的方程，设双曲线C的方程可得渐近线的方程，由题意可得a，b的关系，再由焦点的坐标可得a，b的值即求出双曲线C的方程．解：双曲线的渐近线方程为：y＝x，由题意设双曲线C的方程为：﹣＝1，由焦点坐标（0，5）可得a2+b2＝25，①渐近线的方程为：y＝x再由C与双曲线的渐近线相同，所以＝，②，由①②可得a2＝5，b2＝20，所以双曲线C的方程为：﹣＝1，故选：D．7．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点P（m，3）到焦点F的距离为4，直线l过M（0，3）且与C交于A，B两点，|BF|＝5，若|AM|＝λ|BM|，则λ＝（）A．B．C．D．解：由题可知3+＝4，得＝1，∴p＝2，故抛物线C的方程为x2＝4y．∵|BF|＝5，∴B点的坐标为（±4，4），当B点的坐标为（4，4）时，直线l的方程为y＝，与x2＝4y联立可得x2﹣x﹣12＝0，解得x＝4 或x＝﹣3，∴A点的坐标为（﹣3，），∴，∴，同理，当B点的坐标为（﹣4，4）时，，故选：B．8．秦九韶是我国南宋时期的数学家，他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法，至今仍是比较先进的算法．如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例，若输入n，x的值分别为3，3，则输出v的值为（）A．16B．18C．48D．143【分析】由题意，模拟程序的运行，依次写出每次循环得到的i，v的值，当i＝﹣1时，不满足条件i≥0，跳出循环，输出v的值为48．解：初始值n＝3，x＝3，程序运行过程如下表所示：v＝1i＝2，v＝1×3+2＝5i＝1，v＝5×3+1＝16i＝0，v＝16×3+0＝48i＝﹣1，不满足条件，跳出循环，输出v的值为48．故选：C．9．在边长为3的等边△ABC中，点E满足，则＝（）A．9B．C．6D．【分析】由得＝2（﹣），即＝+，代入即可求解解：由得＝2（﹣），即＝+，则＝+•＝×3×3+×3×3×cos60°＝6．故选：C．10．在古装电视剧《知否》中，甲、乙两人进行一种投壶比赛，比赛投中得分情况分“有初”“贯耳”“散射”“双耳”“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”，“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜．假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，乙的投掷水平与甲相同，且甲、乙投掷相互独立．比赛第一场，两人平局；第二场，甲投了个“贯耳”，乙投了个“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（）A．B．C．D．解：由题可知：筹数2456100P甲要想贏得比赛，在第三场比赛中，比乙至少多得三筹．甲得“四筹”，乙得“零筹”，甲可赢，此种情况发生的概率；甲得“五筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率；甲得“六筹”，乙得“零筹”或“两筹”，甲可赢，此种情况发生的概率；甲得“十筹”，乙得“零筹”或“两筹”、“四筹”、“五筹”、“六筹”，甲都可蠃，此种情况发生的概率，故甲获胜的概率，故选：D．11．已知函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，且当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1，若函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，则实数k的取值范围是（）A．（1，2log73）B．（﹣2，﹣2log53）C．（﹣2log53，﹣1）D．（﹣log73，﹣）【分析】把函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，转化为k log3x＝﹣h（x）有3个不同根，画出函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象，转化为关于k的不等式组求解．解：由函数f（x）＝log3x的图象与函数g（x）的图象关于直线y＝x对称，得g（x）＝3x，函数h（x）是最小正周期为2的偶函数，当x∈[0，1]时，h（x）＝g（x）﹣1＝3x﹣1，函数y＝k•f（x）+h（x）有3个零点，即k log3x＝﹣h（x）有3个不同根，画出函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象如图：要使函数y＝k log3x与y＝﹣h（x）的图象有3个交点，则k＜0，且，即﹣2＜k＜﹣2log53．∴实数k的取值范围是（﹣2，﹣2log53）．故选：B．12．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF不平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等【分析】在A中，若D1D⊥AF，则DD1⊥平面AEF，从而CC1⊥EF，不成立；在B中，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，推导出平面A1GO∥平面AEF，从而A1G∥平面AEF；在C中，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，则EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，从而截面即为梯形AEFD1，进而；在D中，记点C 与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，由，，得以h1≠h2．解：在A中，若D1D⊥AF，又因为D1D⊥AE且AE∩AF＝A，所以DD1⊥平面AEF，所以DD1⊥EF，所以CC1⊥EF，不成立，故A错误；在B中，如图所示，取B1C1的中点Q，连接A1Q，GQ，由条件可知：GQ∥EF，A1Q∥AE，且GQ∩A1Q＝Q，EF∩AE＝E，所以平面A1GO∥平面AEF，又因为A1G⊂平面A1GQ，所以A1G∥平面AEF，故B错误；在C中，如图所示，连接D1F，D1A，延长D1F，AE交于点S，因为E，F为C1C，BC的中点，所以EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，所以截面即为梯形AEFD1，又因为，，所以，所以，故C正确；在D中，记点C与点G到平面AEF的距离分别为h1，h2，因为，又因为，所以h1≠h2，故D错误．故选：C．二、填空题：共4小题，每小题5分.13．设a1＝2，a n+1＝，b n＝||，n∈N*，则数列{b n}的通项公式b n＝2n+1，n∈N*．解：a1＝2，a n+1＝，b n＝||，n∈N，当n＝1时，b1＝＝4＝22，a2＝＝，当n＝2时，b2＝＝8＝23，a3＝＝，当n＝3时，b3＝||＝16＝24，a4＝＝，则b3＝32＝24，由此猜想b n＝2n+1，用数学归纳法证明，①当n＝1时，成立，②假设当n＝k时成立，即b k+1＝2k+2，∵a k+1＝，b k＝||，∴b k+1＝||＝||＝||＝2b k＝2k+2，故当n＝k+1时猜想成立，由①②可知，b n＝2n+1，n∈N*．故答案为：2n+1，n∈N*．14．函数f（x）＝的定义域为（0，4]．解：由2﹣log2x≥0，得log2x≤2，解得0＜x≤4．∴函数f（x）＝的定义域为（0，4]．故答案为：（0，4]．15．函数f（x）＝在x＝处的切线与直线x﹣y+1＝0垂直，则该切线在y轴上的截距为﹣1．解：因f′（x）＝cos（x﹣）﹣a sin x，由题意得f′（）＝1﹣a＝﹣1，解得a＝2，又f（）＝1﹣a＝﹣1，则f（x）在x＝处的切线方程为y+1＝﹣（x﹣），令x＝0得y＝﹣1，则该切线在y轴上的截距为﹣1．故答案为：﹣1．16．在三棱锥P﹣ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，D为AC的中点，PD⊥平面ABC，且PD＝8，则三棱锥P﹣ABC的外接球的表面积为260π．【分析】由已知利用正弦定理可求△ABC的外接圆的半径r，设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，解得d＝1，R2＝65，即可得解三棱锥P﹣ABC 的外接球的表面积．解：在△ABC中，AB＝BC＝8，∠ABC＝120°，所以△ABC的外接圆的半径，结合图形分析：圆心到D点的距离为4，另设三棱锥P﹣ABC的外接球球心到平面ABC的距离为d，设外接球的半径为R，则△O1OB中，82+d2＝R2，直角梯形O1ODP中，PD2＝42+（8﹣d）2＝R2，解得d＝1，R2＝65，所以S＝4πR2＝260π，故答案为：260π．三、解答题：共6个大题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．数列{a n}是首项为1，公差不为0的等差数列，且a1，a2，a5成等比数列；数列{b n}的前n项和为S n，且b1＝2，（n∈N*）．（Ⅰ）求a n，b n；（Ⅱ）若c n＝a n•b n，且数列{c n}的前n项和为T n，证明：T n＜9．【分析】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由已知列式求得d，则等差数列的通项公式可求．再由数列递推式求得数列{b n}的通项公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）得，然后利用错位相减法求数列{c n}的前n项和为T n，即可证明T n＜9．【解答】（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d（d≠0），由a1，a2，a5成等比数列，得（1+d）2＝1×（1+4d），解得d＝0（舍去）或d＝2．则a n＝2n﹣1．∵b1＝2，，当n＝1时，，解得；当n≥2时，，有，即（n≥2），又，则；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得．则，两边乘以，得．两式相减得＝＝．∴＜9得证．18．2019年12月以来，发现多起病毒性病例，并迅速在全国范围内开始传播，专家组认为，本次病毒存在人与人之间的传染，可以通过与患者的密切接触进行传染．我们把与患者有过密切接触的人群称为密切接触者，每位密切接触者被感染后即被称为患者．已知每位密切接触者在接触一个患者后被感染的概率为P（0＜p＜1），某位患者在隔离之前，每天有a位密切接触者，其中被感染的人数为X（0≤X≤a），假设每位密切接触者不再接触其他患者．（Ⅰ）求一天内被感染人数为X的概率P（X）与a、p的关系式和X的数学期望；（Ⅱ）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天的潜伏期内患者无任何症状，为病毒传播的最佳时间，设每位患者在被感染后的第二天又有2位密切接触者，从某一名患者被感染，按第1天算起，第n天新增患者的数学期望记为E n（n≥2）．（i）求数列{E n}的通项公式，并证明数列{E n}为等比数列；（ⅱ）若戴口罩能降低每位密切接触者患病概率，降低后的患病概率p′＝ln（1+p）﹣．当p取最大值时，计算此时p'所对应的E6'值和此时p对应的E6值，根据计算结果说明戴口罩的必要性．（取a＝10）（结果保留整数，参考数据：ln5≈1.6，ln3≈1.1，ln2≈0.7）【分析】（Ⅰ）由题意X～B（a，p），由此能求出一天内被感染人数为X的概率P（X）与a、p的关系式和X的数学期望．（Ⅱ）（i）第n天被感染人数为（1+ap）n﹣1，第n﹣1天被感染人数为（1+ap）n﹣2，从而E n＝（1+ap）n﹣1﹣（1+ap）n﹣2＝ap（1+ap）n﹣2．由此能证明{E n}是以ap为首项，1+ap为公比的等比数列．（ii）令f（p）＝ln（1+p）﹣，则f′（p）＝，f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，推导出E6＞E6'，从而戴口罩很有必要．解：（Ⅰ）由题意X～B（a，p），则P（X）＝，EX＝ap．（Ⅱ）（i）第n天被感染人数为（1+ap）n﹣1，第n﹣1天被感染人数为（1+ap）n﹣2，由题目中均值定义得：E n＝（1+ap）n﹣1﹣（1+ap）n﹣2＝ap（1+ap）n﹣2．∴＝1+ap，且E1＝ap，∴{E n}是以ap为首项，1+ap为公比的等比数列．（ii）令f（p）＝ln（1+p）﹣，则f′（p）＝，∴f（p）在（0，）上单调递增，在（，1）上单调递减，f（p）max＝f（）＝ln＝ln3﹣ln2﹣≈1.1﹣0.7﹣0.3＝0.1．则当a＝10，E n＝10p（1+10p）n﹣2，E6'＝10×0.1（1+10×0.1）4≈1.46，E6＝10×0.5（1+10×0.5）4≈25.31，∵E6＞E6'，∴戴口罩很有必要．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是边长为2的正方形，，E 为PA的中点，点F在PD上，EF⊥平面PCD，M在DC的延长线上，且（1）证明：EF∥平面PBM；（2）过点C作BD的平行线，与直线AB相交于点G，当点Q在线段CG上运动时，二面角E﹣DQ﹣A能否等于60°？请说明理由．【分析】（1）记PB的中点为H，连接EH，过F作FK∥DM交PM于K，连接HK，由已知结合求解三角形可得四边形EFKH是平行四边形，得EF∥HK，再由线面平行的判定可得EF∥平面PBM；（2）由已知证明证明PO⊥平面ABCD并求得PO＝4．以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，分别求出平面EDQ与平面ABCD的一个法向量，由两法向量求出二面角E﹣DQ﹣A的余弦值，由余弦值大于即可得到二面角E﹣DQ﹣A不可能为60°．【解答】（1）证明：记PB的中点为H，连接EH，过F作FK∥DM交PM于K，连接HK，则EH∥AB，且．∵EF⊥平面PCD，∴EF⊥PD．在△PAD中，，AD＝2，求得，，又，则，∵，∴KF＝1，∵EH＝FK，且AB∥EH∥CD∥FK，∴四边形EFKH是平行四边形，得EF∥HK，又HK⊂平面PBM，EF⊄平面PBM，∴EF∥平面PBM；（2）解：EF⊥平面PCD，∴EF⊥CD，而ABCD是正方形，∴CD⊥AD．∵EF与AD显然是相交直线，∴CD⊥平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD．记AD的中点为O，则PO⊥平面ABCD，且PO＝4．以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，则，D（0，1，0），设Q（a，3﹣a，0），2≤a≤4，∴，．设平面EDQ的一个法向量为，则，令y＝4，得．平面ABCD的一个法向量为，设二面角E﹣DQ﹣A的大小是φ，则cosφ＝|cos＜＞|＝．∵2≤a≤4，∴，则，∴，∵，∴φ＜60°，即二面角E﹣DQ﹣A不可能为60°．20．已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，点P为W的上顶点，点Q在W上，＝7，且•＝﹣．（1）求W的方程；（2）已知过原点的直线l1与椭圆W交于C，D两点，垂直于l1的直线l2过F1且与椭圆W交于M，N两点，若|CD|2＝6|MN|，求．【分析】（1）根据向量的坐标运算，求得Q点坐标，代入椭圆方程，再由•＝﹣．即可求得a和b的值，求得W的方程；（2）根据题意可知，直线l2存在且不为0，设直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得|MN|，同理求得|CD|，根据题意，即可求得直线l2的斜率，因此可以求得△F2CD的面积．解：（1）设椭圆W的焦距为2c，因为＝7，所以Q的坐标为．因为Q在W上，将代入，得．又因为•＝﹣，所以，所以c2﹣b2＝2．又因为a2＝b2+c2，所以a2＝4，b2＝1，因此W的方程为；（2）当直线l2的斜率不存在时，|CD|＝2，|MN|＝4，不符合题意；当直线l2的斜率为0时，|CD|＝4，|MN|＝1，也不符合题意．可设直线l2的方程为，联立方程组，消去y，整理得，则，．所以．由得或所以．又因为|CD|2＝6|MN|，所以，解得k2＝2，所以，因为F2到直线CD的距离，所以．21．已知，g（x）＝a（x+1）．（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当a＞0时，若关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），证明：a＞e2且x1x2＜x1+x2．【分析】（1）先求导，根据导数的几何意义即可求出切线方程；（2）根据关于x的方程f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根可得e x＝a（x﹣1）（x≠1）得方程存在两个正实数根x1，x2，构造函数h（x）＝e x﹣ax+a，利用导数求出函数的零点，再令α＝x1﹣1，β＝x2﹣1，则，变形整理得．要证x1x2＜x1+x2，则只需证αβ＜1，根据斜率的意义结合导数和函数最值的关系即可证明．【解答】（1）解：∵，∴f（0）＝1，f'（0）＝3，∴曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为3x﹣y+1＝0．（2）证明：由f（x）+g（x）＝0存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2），整理e x＝a（x﹣1）（x≠1）得方程存在两个正实数根x1，x2（x1＜x2）．由a＞0，知x2＞x1＞1，令h（x）＝e x﹣ax+a，则h'（x）＝e x﹣a，当x＞lna时，h'（x）＞0，h（x）在（lna，+∞）上单调递增；当x＜lna时，h'（x）＜0，h（x）在（0，lna）上单调递减．所以h（x）min＝h（lna）＝2a﹣alna．因为h（x）＝e x﹣ax+a有两个零点，即2a﹣alna＜0，得a＞e2．因为实数x1，x2是e x＝a（x﹣1）的两个根，从而．令α＝x1﹣1，β＝x2﹣1，则，变形整理得．要证x1x2＜x1+x2，则只需证αβ＜1，即只要证（0＜α＜1＜β），结合对数函数y＝lnx的图象可知，只需要证（α，lnα），两点连线的斜率要比（α，lnα），（β，lnβ）两点连线的斜率小即可．因为，所以只要证，整理得（0＜α＜1）．令（0＜x＜1），则，所以g（x）在（0，1）上单调递减，即g（x）＞g（1）＝0，所以（0＜α＜1）成立，故x1x2＜x1+x2成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（β为参数），将曲线C1上的所有点的横坐标缩短为原来的，纵坐标缩短为原来的后得到曲线C2，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C2的极坐标方程和l的直角坐标方程；（2）在极坐标系中，射线与l，C2分别交于A，B两点（异于极点），定点M（14，0），求△MAB的面积．【分析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换的应用求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．解：（1）将曲线C1：（β为参数），消去β得x2+y2＝9，后得曲线C2：，化为极坐标方程为．直线l的极坐标方程为，即ρcosθ+ρsinθ﹣6＝0，所以l的直角坐标方程为x+y﹣6＝0．（2）M到射线的距离．因为，，所以，[选修4-5：不等式选讲]23．已知a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1．证明：（Ⅰ）ab+bc+ac≤；（Ⅱ）（a+）+（b+）+（c+）≥10．【分析】（Ⅰ）运用重要不等式和三个数的完全平方公式，可得证明；（Ⅱ）由1＝a+b+c代入，结合基本不等式，以及累加法，结合不等式的性质可得证明．【解答】证明：（Ⅰ）a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，则（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca＝1，又由均值不等式得a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca，相加可得a2+b2+c2≥ab+bc+ca，即有3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ac≤得证．（Ⅱ）a，b，c为正数，且满足a+b+c＝1，可得＞0，＞0，＞0，则（a+）+（b+）+（c+）＝1+++＝4+（+）+（+）+（+），又由均值不等式得+≥2＝2，同理可得+≥2，+≥2，则（a+）+（b+）+（c+）≥4+6＝10得证．（当且仅当a＝b＝c＝时等号成立）．。