结构动力学最新版本

1.例如设:yst 0.4cm ,h 则10cm
g 98049.5rad/s
h
yst 0.4
A 0 .4 22 1 0 0 .42 .8 6 cm
a rctg( 0 .4) a rctg 0 .1 4 1 0 .1 4 ra d
2 1 0
则振动规律为：
y 2 .8 6 sin (4 9 .5 t 0 .1 4 )
结构力学 （Ⅱ）
结构动力学
土木工程与力学学院 2010年3月
授课内容
13.1 动力计算的特点和动力自由度 13.2 单自由度体系的自由振动 13.3 单自由度体系的强迫振动 13.4 两个自由度体系的自由振动 13.5 两个自由度体系在简谐荷载下的强迫振动 13.6 一般多自由度体系的自由振动 13.7 多自由度体系在任意荷载下的强迫振动 13.8 计算频率的近似法
解：为求柔度系数，在质点
m EI
上加单位力1（图乘法）
l/2
l/2
P 1
l3 48EI
48EI l3m
T2 m 2 ml3
l/4
48EI
[思考] 比较图示结构的自振频率
m
m
(a)<(b)<(c) m
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
l/2
(a)
(b)
(c)
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.2] 图示机器与基础总重量W=60kN，基础下 土壤的抗压刚度系数为 cz=0.6N/cm3，基础底面积 A=20m2。试求机器连同基础作竖向振动时振频率。
k
W g
2
st g
k 1 g g m m W st
① ω和T只与结构的质量与刚度有关，与外界干扰无关；
② T与质量成正比，质量越大，周期越大；与刚度成反比， 刚度越大，周期越小。要改变ω和T，只能改变质量和刚度。
③ ω和T是结构动力特性的重要参数。
泛美大厦，60层 钢结构，南北方向 的基本固有周期为 2.90秒，
T
v0
0
-y0 T/4 T/4 T/4 T/4
t0
t
v0
T/4 T/4 T/4 T/4
13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答
化成单项三角函数的形式:
y(t)y0costv0sint
解又可表达为： y(t)asin(t)
将其展开： y ( t) a s inc o st a c o ss int
13.2.2 单自由度体系自由振动微分方程解答
原方程： m& y&ky0 &y& k2 y 0 (令： k )
通解为： y(t) C 1sin t C 2c o s m t
m
由初始条件： y(0)y0 C 2y0
y&(0)v0
C1
v0
解为： y(t)y0costv0sint
y(t)
T
y0
y(t)
泛美大厦，60层钢结 构，南北方向的基本固 有周期为2.90秒，
大坝，400英尺高的混凝土重力 坝的基本固有周期由强迫振动试 验测得在蓄水为310英尺和345英 尺十分别为0.288秒和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距 1280.2米全桥总长2737.4米的悬索 桥，其横向振动的基本基本固有周期 为18.20秒，竖向振动的基本基本固 有周期为10.90秒，纵向振动的基本 基本固有周期为3.81秒，扭转振动 的基本基本固有周期为4.43秒
相比较得： y0 asin
则：振幅
ay02v02 2
y(t)
a
v0 a cos
初始相位角
tan 1y0
v0
T
自由振动总位移： y 0
0
t
a
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
由式: y(t)asin(t)可知
时间经 T 2后 ，质量完成了一个振动周期。
用T 表示周期，周期函数的条件: y(t+T )=y(t )
用 f 表示频率：每秒钟内的振动次数
用 表示圆频率： 2 秒内的振动次数
f1 T 2
1)自振周期计算公式： 2)自振频率计算公式：
T 2 2
m
2 m
k
W 2 st
g
g
k 1 g g m m W st
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
3)自振周期和频率的讨论
T 2
m 2 m 2
W
设： yAsin(t)
yst
y
h
其中： g
y st
y
解:自由落体后，梁以一定的
初速度上下作自由振动， 其振动平衡位置为 yst 。
st yst W
振幅：A
Hale Waihona Puke Baidu
y02
v02
2
初始相位角： tan1 y0
v0
y0 y st 初始条件：
y&0 2 g h
具13体.例2.子3比结较构: 的自振周期和自振频率
yo A
（位移幅值）
&y&o A2
（加速度幅值）
Io mA2
（惯性力幅值）
在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时刻也一
样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，
结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.1] 求图示梁结构的自振周期和自振频率。
解: 让振动质量向下单位位移 需施加的力为：
W
k = cz A= 0.6×103×20 =12×103 kN/m
自振频率为：
kkg12 1039.844.27s 1
m W 60
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
[例13.3] 如图所示简支梁，将一重为W的物体从高 h处自由释放，落到梁的中点处，求该系统的振动规律。
13.2.3 结构的自振周期和自振频率
2. 如图所示简支梁，将一重为W的物体将物体无初速地 放置在梁中点，求该系统的振动规律。
st yst W
Ayst ar0c.t4gc(m )
4)简谐自由振动的特性
由式
y(t)Asin(t)—— 位移
可得，加速度为： & y& (t)A 2sin(t)
惯性力为： I(t) m & y & (t) m A2 sin (t)
无阻尼自由振动的位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化， 且同步、同相、同达幅值。
当 sint()1时，其幅值分别为：
大坝，400英尺高的混凝土重力坝的基 本固有周期由强迫振动试验测得在蓄水 为310英尺和345英尺十分别为0.288秒 和0.306秒，
金门大桥，金门大桥桥墩跨距1280.2米全桥总 长2737.4米的悬索桥，其横向振动的基本基本固 有周期为18.20秒，竖向振动的基本基本固有周 期为10.90秒，纵向振动的基本基本固有周期为 3.81秒，扭转振动的基本基本固有周期为4.43秒