《统计学概论》第四章 统计指标

538 26.9 20
表2
分组数据不能简单
年龄 人数（人） 平均！因为各组变
X
f
量值的次数不等！
22
4
若采用简单平均：
25
10
30
5
22 25 30 50 31.75
50
1
4
合计
20
•2、加权算术平均法
• 计算公式：
n
X

x1 f1 x2 f2 ... xn fn f1 f2 ... fn
（二）算术平均数的计算方法(有两种形式，简单算术平 均数和加权算术平均数)
• 1、简单算术平均法
• 计算公式：
X

x1 x 2 ... x n n

1 n
n i 1
xi

x n
• 其中： X 代表算术平均数，xi代表各单位标志值
（变量值），n代表总体单位数（项数）。
• 适用条件：
（二）几何平均数的计算
1.简单几何平均数 计算公式：
G n x1 x2 x3 xn n x
式中，G：几何平均数； x ：各单位标志值； n：标志值的个数；∏：连乘符号。
适用于计算未分组数列的平均比率或平均速度。
例 希望机械厂生产的机床要经过四个连续作业车间才能完
成。2010年一季度第一车间铸造产品的合格率为95%，第 二车间粗加工产品的合格率为93%，第三车间精加工产品 的合格率为90%，第四车间组装的合格率为86%。试计算 该企业的产品合格率为多少？
5 6 7 120
0.25 0.2 0.1
四、几何平均数
（一）几何平均数的概念和应用场合
1.几何平均数（G）的概念。它是n个变量值连乘积的n次
方根。
设 n个标志值分别为：x1 ，x2， x3 …xn，则几何平
均数为:
G n x1 x2 x3 xn
2.应用场合：
它适合于计算现象的平均比率或平均速度。如银行 平均利率、各年平均发展速度、产品平均合格率等
使用寿命 （小时）
1000以下
组中值 xi 900
1000-1200 1100
1200-1400 1300
1400-1600 1500
数量 fi 2 8 16 35
xifi
1800 8800 20800 52500
频率 fi/∑fi 0.020 0.080 0.160 0.350
xi fi/∑fi
18 88 208 525
三、调和平均数
（一) 调和平均数的概念和计算方法
1.调和平均数的概念
它是分布数列中各单位标志值倒数的算术平均数的倒 数，又称“倒数平均数”。
设有n个标志值分别为： x1 , x2 , x x 3 , …… n
其调和平均数为：
H
1
1 1 1
x1 x2
xn
n
2.调和平均数的计算方法
根据所掌握资料的不同，调和平均数计算分为简单 调和平均数和加权调和平均数。 （1）简单调和平均数
平均 指标
（三）平均指标的种类
平均指 标种类
1.按计算方 法不同
算术平均数 调和平均数 几何平均数
数值 平均数
众数 （位置平均数）
中位数
2.按反映时 间不同
动态平均数 静态平均数
二、算术平均数
（一）算术平均数的基本公式和计算条件
算术平均数的基本公式。
算
术
平
均
数
总 总
体 体
标 单
志 位
ห้องสมุดไป่ตู้
总 总
量 量
年底
第1年 第2年 第3年
累计本息额（设本金为 x0）
xf f
1542 1542
三、调和平均数
•思考：某菜市场分为早市、中市、晚市3个市场，假 设某种蔬菜早、中、晚3个市场的价格分别为1.5元/ 斤、1.2元/斤、0.8元/斤，某人早、中、晚3个市场 各买了1元钱的蔬菜。计算蔬菜的平均购买价格。 •分析：上述思考题中，因为缺乏蔬菜的购买数量， 蔬菜的平均购买价格不能直接用算术平均数计算，这 个问题要由调和平均数来解决。
算术平均数的这一计算要求也是平均指标与强度相对 指标的主要区别之一。
例如：在2004年:
= 我国人均钢产量 年钢产量/年（平均）人口总数（强度相对指标） = = 29723.1万吨/129607.5万人 229公斤/人
= = 某厂工人平均奖金额 奖金额总额 / 工人总数 3130 / 5 = 626（元） （平均指标）
料，计算平均奖金额。
各组标志值 各组标志总量 各组单位数
奖金额（元） 奖金总额（元） 工人数（人）
x
m
f m
x
460
2300
5
520
7800
15
600
10800
18
700
7000
10
850
1700
2
合计
29600
50
平 均奖金额 奖金总 额 各 组奖金总 额(m)
工 人 总 数 各 组 工 人 数( f )
例如： 工人 总体
工人姓名
甲乙丙丁戊
奖金额（元） 460 520 600 700 850
数量标志
数量标志值
平均奖金额 460 520 600 700 850 3130
5
5
奖金总额 工人总数
总体标志总量 总体单位总量
= 626（元）
算术平均数的计算条件：
基本公式的分子（总体标志总量）与分母（总体单位总 量）在数量上存在着直接的对应关系，即其分子（总体标 志总量）数值要随着分母（总体单位总量）数值的变动而 变动。
解：分析：
1、企业的产品合格率就是各车间产品的平均合格率； 2、企业产品的总合格率是通过各个车间产品合格率相乘 得到的。因此：
G 4 95% 93% 90% 86% 4 0.6838 90.94%
2.加权几何平均数 . 计算公式：
G f x1 f 1 x2 f 2 x3 f 3 xn fn
原始资料（或资料未分组）； 各变量出现次数相等的情况下应用；
表1
男性 22 22 25 25 25 25 25 30 30 50
女性 22 22 25 25 25 25 25 30 30 30
解：采用简单算术平均法计算，即全 体队员的平均年龄为（单位：周岁）
X 22 22 25 25 25 25 25 30 30 50 22 ... 30 20
• 例3-1正确的计算是：
年龄 X 22 25 30 50
合计
人数（人） f 4 10 5 1 20
x 22 4 2510 305 501 4 10 5 1
538 26.9 20
由单项数列计算算术平均数可直接用加权算术平均法 进行计算。
由组距数列计算算术平均数
在组距分组的情况下，由于各组的组限只表明各组 标志值的上下界限，因此由组距数列计算加权算术 平均数时，必须先计算各组的组中值，以组中值代 表该组标志值，然后再计算加权算术平均数。
• 各组变量值用组中值来表示； • 假定条件是各组内数据呈均匀分布或对称分布； • 计算结果是近似值。
某批次节能灯泡使用寿命的分组数据
适用于未分组资料
计算公式：H
1
1 1 1
x1 x2
xn
n

n
n
1 1 1
1
x1 x2
xn
x
•接上述思考题，蔬菜的平均价格就要采用简单 调和平均数计算，蔬菜的平均购买价格为：
H
n

3
1.03(元 / 斤)
1 1 1 1 1 1
x1 x2
xn 1.5 1 0.8
数量标志
标志值
平均 奖金
=（460
+
520
+ 600
+
700
+
850）/
5
= 626（元）
（二）平均指标的特点
1.它是一个抽象值； 即它是某一数量标志在各单位之 间的数量差异抽象化了的数值。
2.它是一个代表值； 即它用一个数值来代表总体各单位 某一数量标志在具体时间地点条件下的一般水平。
表 某班学生统计学考试成绩
有的强度相对指标带有平均的含义； 计量单位是双重单位； 其分子与分母在数量上不存在着直接的对应关系。
课堂练习：判断下列指标哪些属于平均指标，哪些属于 强度相对指标：
A.人均拥有粮食产量 C.单位产品成本
B.人均教育经费 D.某企业生产工人劳动生产率
强度相对指标与算术平均数的区别：
① 两者的含义不同； ② 两者的计算方法不同。
按考分分组 组中值 学生数
（分）
（分） （人）
50 ～ 60
55
5
60 ～ 70
65
15
70 ～ 80
75
18
80 ～ 90
85
10
90～ 100
95
2
合计
—
50
平均考分

总成绩 总人数

3640 50
= 72.8（分）
3.它反映总体（各单位标志值）分布的集中趋势。 数据分布集中趋势是指一组数据向某一中心值靠拢的倾 向，也就是次数分布最多的数值。测度集中趋势也就是 寻找数据一般水平的代表值或中心值。集中趋势一般用 平均指标来表示。
x1 x2
xn
x
此公式实际中运 用较多,作为算术 平均数的变形形
式来应用的。
3.应用调和平均数应注意问题
• 1、变量x的值不能为0。 • 2、调和平均数易受极端值的影响。 • 3、要注意其运用的条件。（已知各组的标志总量和
标志值，而权数未知）
（二）调和平均数的应用
例如，某企业工人各级别奖金额及相对应奖金总额资
（2）加权调和平均数 适用于分组数列资料
如果统计资料中，对统计资料进行了分组且各组标
志总量不相等时，就要采用加权调和平均数，其计算
公式如下：
H
1
1 m1 1 m2 1 mn
x1
x2
xn
m1 m2 mn
H m1 m2 mn m
m1 m2 mn m
权数的表现形式：可以是绝对数形式，也可以是比重形 式（如频率）来表示：
x xf f
x


x
f

f
事实上比重权数更能够直接表明权数的权衡轻重作用的 实质。
当权数完全相等时
若f1 f2 fn
则X Xf f X X
f n f
n
加权算术平均数就成了简单算术平均数，也就是 说简单算术平均数是加权算术平均数的一种特殊 形式。
50
592
460 520 600 700 850
2 3 0 0 7 8 0 0 1 0 8 0 0 7 0 0 0 1 7 0 0 29600 592
5 151810 2
50
例：某种蔬菜早、午、晚的价格及购买金额资料如表
时间
早 午 晚 合计
各组标志值
价格（元/斤）
x
0.25 0.20 0.10
即当标志值的次数不同时，几何平均数的计算需要 用加权法。
适用于计算分组数列的平均比率或平均速度 。
例 将一笔钱存入银行，存期10年，以复利计息，10年的利率
分配是第1年至第2年为5%、第3年至5年为8%、第6年至
第8年为10%、第9年至第10年12%，计算平均年利率。
解： 分析:各年本金及利息如下表
—
各组标志总量
购买金额（元）
m
5 6 7 18
各组单位数
购买量（斤）
f = m/x
20 30 70 120
试计算该种蔬菜全天的平均价格。
解： 蔬 菜 平 均 价 格(x) 蔬 菜 购 买 金 额(m)
蔬 菜 购 买 量( f )
H
m

m x

567
1 8 0 . 1 5（元/斤）

xi fi
i 1 n
fi

xf f
i 1
• 加权——为了体现各变量值轻重不同的影响作用，对
各个变量值赋予不尽相同的权数（ f ）
• 其中： X 代表算术平均数，x 代表各单位标志值
（变量值），f 代表各组单位数（项数）。
权数的含义和表现形式
• 权数（f）也称权重，计算总体平均数或综合水平的过 程中对各个数据起着权衡轻重作用的变量。
.
第二节 平均指标
一、平均指标概述 二、算术平均数 三、调和平均数 四、几何平均数 五、众数和中位数
一、平均指标概述
（一）平均指标的概念
平均指标是反映总体各单位某一数量标志在一定时间、 地点条件下一般水平的综合指标。 例如：
工人 总体
工人姓名 甲 乙 丙 丁 戊 奖金额（元） 460 520 600 700 850
n
x
xi fi
i 1 n
fi
154200 100
i 1
1542
1600-1800 1800-2000 2000以上
合计
1700 1900 2100
23 39100 0.230
12 22800 0.120
4
8400 0.040
100 154200
391
228 x 84
x m
m
m1 m2 m5 m1 m2 m5
x
x1 x2
x5

2 3 0 0 7 8 0 0 1 0 8 0 0 7 0 0 0 1 7 0 0 2 3 0 0 7 8 0 0 1 0 8 0 0 7 0 0 0 1 7 0 0
2 9 6 0 0