方程求解与代数符号化
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第四章 方程求解与代数符号化
方程求解问题的研究是代数学产生的重要源 泉。 代数学的基本方法：用符号表示研究对象以 及这些对象间的关 系。代数学发展的历史，就是代数学符号化 的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学
1
4.1早期的方程求解方法
4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样 一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分 之二得35/60①，求该正方形的边长。”
+60x = 864. 864 864 －800 64 64 64
_－64 0
7
4.1.4 几何方法解方程
开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商 加后商”）的几 何推导方法
8
图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其 边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做 正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取 EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。
4
来自百度文库
在“方程章”问题的解法中还可以发现下 述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方 程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有 数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三 物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之 方程。”法。
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4.1.3 开方法解方程
中国古代把解二次方程x2 + bx = c 的方法称作“带从开方”；把解三次方 程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从 开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人） 使用“增乘开方法”求解一元高次方程。
6
如，使用“增乘开方法”解 －x2 列三行横式 －1 60 补零（前移一位， －100 600 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 —100 400 －200 再增乘一次， －100 200 去零（后移一位）， －1 20 （4 次商得4，增乘一次 4 －1 16 恰好减尽。故得方程根 x=24。
x
p / 2
2
q p/2
图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3） x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式
2
古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程 的解法，这些解法则记录在一些数表上。
图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表
10
1世纪的波斯数学家海牙姆（约 1044~约1123）给出了三次方程的几何 解法。这种方法是在使用直尺和圆规作 图的前提下，再允许画某一特定的圆锥 曲线，便可以解得三次方程。
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4.2 代数的符号化
4.2.1 丢番图的缩记符号
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丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示， 相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊 单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量 的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE” (cubos,立 方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来 表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称 为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”， 以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表 示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一 个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的， 而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统 中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集 中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系 数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之 后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中 “monads”（MONA△E∑，意为“单位”）一词的缩写。
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4.2.2花拉子米的“代数学”
“代数学”（algebra）这个词来源 于花拉子米所著的一本书。原意是“还 原”，专指把负项移到方程另一边使之 变成正项的方法。 花拉子米的还原和对消运算分别 对应于现在方程的移项和合并同类相运 算。其中的配方法，给出了解一元二次 方程的公式，并得到了二次方程的两个 根。尽管这些方法在花拉子米的著作中 是用实际问题的解法被纪录下来的，但 它们具有求解方程的一般方法的意义
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古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程
一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x， 因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－ px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q 是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正 数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线 段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述的方程几何求 解方法。
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4.1.2《九章算术》的“方程术”
《九章算术》中的“方程章”，是世 界上最早的系统研究代数方程的专门论 著。它在世界数学历史上，最早创立了 多元一次方程组的筹式表示方法，以及 它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解 法称为“方程术”，其实质相当于现今 的矩阵变形方法。方程术是通过对方程 的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即 连续相减）实现减元、获取方程解的过 程。
方程求解问题的研究是代数学产生的重要源 泉。 代数学的基本方法：用符号表示研究对象以 及这些对象间的关 系。代数学发展的历史，就是代数学符号化 的历史：文字表示、缩记代数、符号代数学
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4.1早期的方程求解方法
4.1.1 配方法与数表法 古巴比伦的第13901号泥版，记述了这样 一个问题： “把正方形的面积加上正方形边长的三分 之二得35/60①，求该正方形的边长。”
+60x = 864. 864 864 －800 64 64 64
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4.1.4 几何方法解方程
开平方口诀（“开平方不用慌，20倍前商 加后商”）的几 何推导方法
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图4.4 面积法开平方 由于面积55225值是一个万位数，可以估计出它的边長是个三位数，令其 边长是三位数。 (100 a+ 10 b+ c)2 = 55225. 为此，先估计a = 2，如图4.4，于是在AB上截取AE = 200, 以A为一边做 正放形AEFG, 从正方形ABCD中减去它，得“曲尺形”EBCDGF 的面积： 55225 — 40000 = 15225。 为估计b，用EF 的2倍（定法）去试除这个余数，得b = 3。 在EB 上截取 EH = 30，以AH为一边再作正方形AHIJ。从图上可知： 矩形FH的面积 = 矩形FJ的面积=30×EF =300×200. 正方形的 FI的面积=302。 因此，从正方形ABCD减去正方形AHIJ所余的更 细的“曲尺形”的面积为 15225 —（2×30×200 +302）= 2325。 最后估计个位数，用HI＝230的2倍去试除这个 余数，得c＝5。在HB上截取HK＝5,再以AK为一 边做正方形AKLM ，从正方形ABCD减去它，得 2325 —（2×5×230 + 52）= 0。 即K与B重合，AB之长恰好为235，此即所求的 平方根：2352 = 55225。
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来自百度文库
在“方程章”问题的解法中还可以发现下 述方程变形的性质： 如果方程的两边都加上（或减去）同一数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。如果方 程两边同乘以（或除以）一个不等于零的数， 那么所得的方程和原方程是同解方程。 刘徽：“程，课程也。群物总杂，各列有 数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三 物者三程，皆如物数程之，并列为行，故谓之 方程。”法。
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4.1.3 开方法解方程
中国古代把解二次方程x2 + bx = c 的方法称作“带从开方”；把解三次方 程x3 + bx2 + cx=d的方法称作“带从 开立方”。 北宋数学家刘益（公元11~12世纪人） 使用“增乘开方法”求解一元高次方程。
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如，使用“增乘开方法”解 －x2 列三行横式 －1 60 补零（前移一位， －100 600 （2 说明商为二位数）， 首商得2，增乘一次 －200 —100 400 －200 再增乘一次， －100 200 去零（后移一位）， －1 20 （4 次商得4，增乘一次 4 －1 16 恰好减尽。故得方程根 x=24。
x
p / 2
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q p/2
图4.1 普林顿322号泥版 这个问题相当于求解方程 x2+（2/3） x=35/60。古巴比伦人的解法则相当于将方程 x2 + px = q的系数代入公式
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古巴比伦人还讨论了某些三次方程和双二次方程 的解法，这些解法则记录在一些数表上。
图4。1普林顿第322号泥版——勾股数表
10
1世纪的波斯数学家海牙姆（约 1044~约1123）给出了三次方程的几何 解法。这种方法是在使用直尺和圆规作 图的前提下，再允许画某一特定的圆锥 曲线，便可以解得三次方程。
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4.2 代数的符号化
4.2.1 丢番图的缩记符号
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丢番图将未知量称为“题中的数”，并用记号δ表示， 相当于现在的x。未知量的平方记为△，“△”是希腊 单字“△YNAMIE”(dynami，幂)的第一个字母。未知量 的立方记为K，“K”是单词希腊单字“KYBOE” (cubos,立 方)的第一个字母。未知量的四次方，丢番图用△△来 表示，他称之为“平方平方”；五次方用△K表示，称 为“平方立方”；六次方用KK表示，称为“立方立方”， 以此类推。他还用一些符号表示分数，例如，他用s表 示，减号很像V的倒置，再加上这个角的平行线。在一 个表达式中，L表示等号，加法他是用并列来表示的， 而乘法和除法则通过累加累减去进行。在他的符号系统 中，没有加法、乘法和除法的运算记号。所有的负项集 中到一起，前面写一个减号。任何未知数之幂的数字系 数用相应的希腊字母来表示，写在表示这个幂的符号之 后。如果存在常数项，则用来表示，“”是希腊文中 “monads”（MONA△E∑，意为“单位”）一词的缩写。
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4.2.2花拉子米的“代数学”
“代数学”（algebra）这个词来源 于花拉子米所著的一本书。原意是“还 原”，专指把负项移到方程另一边使之 变成正项的方法。 花拉子米的还原和对消运算分别 对应于现在方程的移项和合并同类相运 算。其中的配方法，给出了解一元二次 方程的公式，并得到了二次方程的两个 根。尽管这些方法在花拉子米的著作中 是用实际问题的解法被纪录下来的，但 它们具有求解方程的一般方法的意义
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古希腊尺规作图方法求解一次和二次方程
一次方程ax=b，x是a、b、1的第四比例项：a∶b=1∶x， 因而可以用尺规作图的方法求得x图4.5解方程x2－ px+q2=0的几何方法 假如r和s表示二次方程x2－px+q2=0的两个根，其中p和q 是正整数，且q≤p/2（这后一个条件，保证r和s都为正 数）。用几何方法求解这个方程的根，就等价于由给定线 段P和q求出线段r和s。用现代数学中的韦达定理可知 r+s=p，rs=q2。于是相应的几何方法可以是： 作一个正方形，使它的面积等于给 定的正方形，而它的相邻两边的乘 积等于给定的一个线段长。为此， 可由图4.5得到上述的方程几何求 解方法。
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4.1.2《九章算术》的“方程术”
《九章算术》中的“方程章”，是世 界上最早的系统研究代数方程的专门论 著。它在世界数学历史上，最早创立了 多元一次方程组的筹式表示方法，以及 它的多种求解方法。 《九章算术》把这些线性方程组的解 法称为“方程术”，其实质相当于现今 的矩阵变形方法。方程术是通过对方程 的系数矩阵实施遍乘、直除的变换（即 连续相减）实现减元、获取方程解的过 程。