160430-双曲线的定义及离心率
《双曲线的定义》 知识清单
《双曲线的定义》知识清单一、双曲线的定义平面内到两个定点$F_1$、＄F_2$的距离之差的绝对值等于常数（小于$｜F_1F_2|＄）的点的轨迹叫做双曲线。
这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距，通常用$2c$表示。
需要注意的是，距离之差的绝对值要小于两焦点之间的距离。
如果距离之差的绝对值等于两焦点之间的距离，那么轨迹就是以两焦点为端点的两条射线；如果距离之差的绝对值大于两焦点之间的距离，那么轨迹不存在。
二、双曲线的标准方程1、焦点在$x$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），其中$a$表示双曲线的实半轴长，＄b$表示双曲线的虚半轴长，且$c^2 ＝ a^2 ＋ b^2$，焦点坐标为$F_1(c, 0)＄，＄F_2(c, 0)＄。
2、焦点在$y$轴上的双曲线的标准方程为：＄＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$（＄a ＞ 0$，＄b ＞ 0$），焦点坐标为$F_1(0,c)＄，＄F_2(0, c)＄。
三、双曲线的几何性质1、范围对于焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝ 1$，＄x$的取值范围是$x ＼leq a$或$x ＼geq a$；＄y$的取值范围是$R$。
对于焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$，＄y$的取值范围是$y ＼leq a$或$y ＼geq a$；＄x$的取值范围是$R$。
2、对称性双曲线关于$x$轴、＄y$轴和原点都是对称的。
3、顶点双曲线有两个顶点。
对于焦点在$x$轴上的双曲线，顶点坐标为$（a, 0)＄和$（a, 0)＄；对于焦点在$y$轴上的双曲线，顶点坐标为$（0, a)＄和$（0, a)＄。
4、渐近线焦点在$x$轴上的双曲线$＼frac{x^2}｛a^2} ＼frac{y^2}｛b^2} ＝1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{b}｛a}x$；焦点在$y$轴上的双曲线$＼frac{y^2}｛a^2} ＼frac{x^2}｛b^2} ＝ 1$的渐近线方程为$y ＝＼pm ＼frac{a}｛b}x$。
关于双曲线知识点总结
关于双曲线知识点总结关于双曲线知识点总结双曲线是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。
这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。
a还叫做双曲线的实半轴。
焦点位于贯穿轴上，它们的`中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
下面是关于双曲线知识点总结，请参考！关于双曲线知识点总结双曲线方程1. 双曲线的第一定义：⑴①双曲线标准方程：. 一般方程：.⑵①i. 焦点在x轴上：顶点：焦点：准线方程渐近线方程：或ii. 焦点在轴上：顶点：. 焦点：. 准线方程：. 渐近线方程：或，参数方程：或 .②轴为对称轴，实轴长为2a, 虚轴长为2b，焦距2c. ③离心率. ④准线距(两准线的距离);通径. ⑤参数关系. ⑥焦点半径公式：对于双曲线方程(分别为双曲线的左、右焦点或分别为双曲线的上下焦点) “长加短减”原则：构成满足(与椭圆焦半径不同，椭圆焦半径要带符号计算，而双曲线不带符号)⑶等轴双曲线：双曲线称为等轴双曲线，其渐近线方程为，离心率.⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.与互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：.⑸共渐近线的双曲线系方程：的渐近线方程为如果双曲线的渐近线为时，它的双曲线方程可设为.例如：若双曲线一条渐近线为且过，求双曲线的方程?解：令双曲线的方程为：，代入得.⑹直线与双曲线的位置关系：区域①：无切线，2条与渐近线平行的直线，合计2条;区域②：即定点在双曲线上，1条切线，2条与渐近线平行的直线，合计3条;区域③：2条切线，2条与渐近线平行的直线，合计4条;区域④：即定点在渐近线上且非原点，1条切线，1条与渐近线平行的直线，合计2条;区域⑤：即过原点，无切线，无与渐近线平行的直线.小结：过定点作直线与双曲线有且仅有一个交点，可以作出的直线数目可能有0、2、3、4条.(2)若直线与双曲线一支有交点，交点为二个时，求确定直线的斜率可用代入法与渐近线求交和两根之和与两根之积同号.⑺若P在双曲线，则常用结论1：P到焦点的距离为m = n，则P 到两准线的距离比为m︰n.简证： =.常用结论2：从双曲线一个焦点到另一条渐近线的距离等于b.双曲线方程知识点在高考中属于比较重要的考察点，希望考生认真复习，深入掌握。
高中双曲线知识点
返回 5.已知双曲线中心在原点且一个焦点为F( 7，0)直线y=x2 1与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为 ，则此 3
双曲线的方程是(
x2 y2 (A) 1 3D
)
x2 y2 (B) 1 4 3 x2 y2 (D) 1 5 2
2.设双曲线的焦点在 x轴上，且过点 A(1，0)和B(-1，0)， P是双曲线上异于A、B的任一点，如果△APB的垂心H总 在此双曲线上，求双曲线的标准方程
【解题回顾】先判断双曲线焦点位置再设出双曲线方程由 题设条件，求出待定系数，若焦点位置不确定必须分类讨 论
3.在双曲线x2/13-y2/12=-1的一支上有不同的三点A(x1 , y1), B(x2 , 6),C(x3 , y3),它们与焦点F(0，5)的距离成等差数列 (1)求y1+y3；(2)求证线段AC的垂直平分线经过一定点
课前热身
x2 y2 1 表示双曲线，则实数m的取值 1．如果方程 m -1 2 - m
范围是( D ) (A)m＞2 (C)-1＜m＜2
(B)m＜1或m＞2 (D)-1＜m＜1或m＞2
x2 y2 2．若椭圆 2 2 1a b 0 的离心率为32，则双曲线 a b 2 2 x y 2 1 的离心率是( Ｂ ) 2 a b (A) 5 (B) 5 (C) 3 (D) 5 4 2 2 4
能力·思维·方法
1. 求与双曲线 x2-2y2=2有公共渐近线，且过点 M(2,-2)的双 曲线的共轭双曲线的方程
x2 y2 【解题回顾】与 2 2 1有公共渐近线的双曲线系方程是 a b x2 y2 2 k (k∈R,k≠0), 这种设法可简化运算、避免不必 2 a b
双曲线离心率 ppt课件
6 2
的是（ B ）
• A.
x2 y2 1
24
x2 y2
B.
1 42
• C.
x2 y2 1 46
D. x 2 y 2 1
4 10
•
若e=
6则
2
c2 a2
3 2
，所以 1
b2 a2
3， 2
b2
•即 2
a 2020/12/22
1 2
，
结合选项得选B.
17
•
3.设F1和F2为双曲线
x2 a2
解决与焦点有关的三角形问题，涉及考查
双曲线的离心率比较常见，需注意e>1.
2020/12/22
23
•
变式练设习△3 ABC为等腰三角形，
∠ABC=120°,则以A、B为焦点且过点C的
双曲线的离心率为（ B ）
• A. 1 2 B. 1 3 C. 1 2 D. 1 3
2
2
•
设 ABCB1， ∠ABC=120°,由余
2020/12/22
27
• ③由Δ=4(4-3k2)<0，得 k 2 3或
3
k2 3 3
• 时，方程组无解，故直线与双曲线无公共点.
• 综上所述，当k=±1或 k 2 3时，直线与 双曲线只有一个公共点； 3
•
当 2 3 k 1,
3
或-1<k<1，或 1 k 2 3
3
• 时，直线与双曲线有两个公共点；
a
18
• 4.若中心在原点，焦点在坐标轴上的双曲线 的顶点是椭圆x 2 y 2 1短轴端点，且该双
2
曲线的离心率与此椭圆的离心率的乘积为1，
双曲线的离心率
双曲线的离心率
双曲线的离心率定义为双曲线上任意一点到它的长轴的距离除以到短轴的距离的比值，其符号表示为e，称为双曲线的离心率。
双曲线总是一种几何形状，它的定义即在任意一
点处都满足特定方程，特别是，双曲线满足椭圆方程：
$$
\frac { { x }^{ 2 } }{ { a }^{ 2 } }+\frac
{ { y }^{ 2 } }{ { b }^{ 2 } }=1
$$
这里a和b分别叫做长轴和短轴的长度，因此，双曲线离心率的定义就是指：
$$
e=\frac { a }{ b }
$$
双曲线是一类重要的曲线，在几何图形中起着重要作用，它有多种形式，可以根据离
心率来划分，离心率表示双曲线形状的大小，离心率越大，双曲线越扁，离心率越小，双
曲线越圆。
如果离心率为1，则双曲线为椭圆，离心率大于1，则双曲线称为钝心双曲线；离心率小于1，则双曲线称为锐心双曲线；当离心率等于无穷大时，双曲线变为直线。
双
曲线是非常常见的几何图形，由于其扁平程度的不同，在许多地方都有应用，比如在球面
测地学中，双曲线用来定义地球的地图投影，也可以用于计算电流在涡旋器中的流动等。
双曲线也经常被应用在求解复杂方程组以及分析特殊函数的问题中。
双曲线的特征与其离心率有关，离心率越大，双曲线越快，越圆，反之，则双曲线变
得越扁，离心率越小，因此，双曲线的离心率在双曲线中起着关键作用，它反映了双曲线
形状的大小，可以用来描述双曲线的属性，以及求解复杂的几何图形模型。
双曲线知识点与性质大全
双曲线与方程【知识梳理】1、双曲线的定义（1）平面内，到两定点、的距离之差的绝对值等于定长的点的轨迹称为双曲线，其中两1F 2F ()1222,0a F F a a >>定点、称为双曲线的焦点，定长称为双曲线的实轴长，线段的长称为双曲线的焦距.此定义为双曲线1F 2F 2a 12F F 的第一定义.【注】，此时点轨迹为两条射线.12122PF PF a F F -==P （2）平面内，到定点的距离与到定直线的距离比为定值的点的轨迹称为双曲线，其中定点称为双曲线的()1e e >焦点，定直线称为双曲线的准线，定值称为双曲线的离心率.此定义为双曲线的第二定义.e 2、双曲线的简单性质标准方程()22221,0x y a b a b -=>()22221,0y x a b a b -=>顶点坐标(),0A a ±()0,B a ±焦点坐标左焦点，右焦点()1,0F c -()2,0F c 上焦点，下焦点()10,F c ()20,F c -虚轴与虚轴实轴长、虚轴长2a 2b实轴长、虚轴长2a 2b有界性x a≥，y a ≥对称性关于轴对称，关于轴对称，同时也关于原点对称.x y 3、渐近线双曲线的渐近线为，即，或.()22221,0x y a b a b -=>22220x y a b -=0x y a b ±=by x a=±【注】①与双曲线具有相同渐近线的双曲线方程可以设为；22221x y a b -=()22220x y a b λλ-=≠②渐近线为的双曲线方程可以设为；by x a=±()22220x y a b λλ-=≠③共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.共轭双曲线具有相同的渐近线.④等轴双曲线：实轴与虚轴相等的双曲线称为等轴双曲线.4、焦半径双曲线上任意一点到双曲线焦点的距离称为焦半径.若为双曲线上的任意一点，P F 00(,)P x y ()22221,0x y a b a b -=>，为双曲线的左、右焦点，则，，其中.1(,0)F c -2(,0)F c 10||PF ex a =+20||PF ex a =-ce a=5、通径过双曲线焦点作垂直于虚轴的直线，交双曲线于、两点，称线段为双曲线的通径，()22221,0x y a b a b -=>F A B AB 且.22b AB a=6、焦点三角形为双曲线上的任意一点，，为双曲线的左右焦点，称为双曲线的焦P ()22221,0x y a b a b-=>1(,0)F c -2(,0)F c 12PF F ∆点三角形.若，则焦点三角形的面积为：.12F PF θ∠=122cot 2F PF S b θ∆=7、双曲线的焦点到渐近线的距离为（虚半轴长）.b 8、双曲线的焦点三角形的内心的轨迹为()22221,0x y a b a b-=>()0x a y =±≠9、直线与双曲线的位置关系直线，双曲线：，则:0l Ax By C ++=Γ()22221,0x y a b a b-=>与相交；l Γ22222a A b B C ⇔->与相切；l Γ22222a A b B C ⇔-=与相离.l Γ22222a A b B C ⇔-<10、平行于（不重合）渐近线的直线与双曲线只有一个交点.【注】过平面内一定点作直线与双曲线只有一个交点，这样的直线可以为4条、3条、2条，或者0条.11、焦点三角形角平分线的性质点是双曲线上的动点，是双曲线的焦点，是的角平分线上一点，且(,)P x y ()22221,0x y a b a b-=>12,F F M 12F PF ∠，则，即动点的点的轨迹为.20F M MP ⋅=u u u u r u u u rOM a =M ()222x y a x a +=≠±12、双曲线上任意两点的坐标性质【推广2】设直线交双曲线于两点，交直线于点．若()110l y k x m m =+≠、()22221,0x y a b a b -=>C D 、22l y k x =、E 为的中点，则.E CD 2122b k k a=13、中点弦的斜率直线过与双曲线交于两点，且，则直线的斜率l ()()000,0M x y y ≠()22221,0x y a b a b-=>,A B AM BM =l .2020ABb x k a y =14、点是双曲线上的动点，过作实轴的平行线，交渐近线于两(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P ,M N 点，则定值.PM PN =2a 15、点是双曲线上的动点，过作渐近线的平行线，交渐近线于(,)(0,0)P x y x y >>()22221,0x y a b a b-=>P 两点，则定值.,M N OMPN S =Y 2ab 【典型例题】例1、双曲线的渐近线方程为，焦距为，这双曲线的方程为_________.20x y ±=10【变式1】若曲线表示双曲线，则的取值范围是_________.22141x y k k+=+-k【变式2】双曲线的两条渐近线的夹角为_________.22148x y -=【变式3】已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的渐近线方程为_________.2222135x y m n +=2222123x y m n-=【变式4】若椭圆和双曲线有相同焦点、，为两曲线的一个交221(0)x y m n m n +=>>221(0,0)x y a b a b-=>>1F 2F P 点，则_________.12PF PF ⋅=【变式5】如果函数的图像与曲线恰好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是2y x =-22:4C x y λ+=λ（ ）A ．B .C .D . [1,1)-{}1,0-(,1][0,1)-∞-U [1,0](1,)-+∞U 【变式6】直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上的任意一点，若2=x 14:22=-y x C B A ,P C (为坐标原点)，则下列不等式恒成立的是（ ）b a +=O R b a ,,∈A .B . 222a b +≥2122≥+b a C . D .222a b +≤2212a b +≤【变式7】设连接双曲线与的四个顶点为四边形面积为,连接其四个焦点的四边形面积22221x y a b -=22221y x b a-=1S 为，则的最大值为_________.2S 12S S 例2、设分别是双曲线的左右焦点,若点在双曲线上，且，则12F F 、2219y x -=P 12=0PF PF u u u r u u u u r g =_________.12PF PF +u u u r u u u u r【变式1】过双曲线的左焦点的弦，则（为右焦点）的周长为_________.221109x y -=1F 6AB =2ABF ∆2F 【变式2】双曲线的左、右焦点、，是双曲线上的动点，且，则_________.2211620x y -=1F 2F P 19PF =2PF =例3、设是双曲线的两个焦点，点是双曲线的任意一点，且，求的面12F F 、2214x y -=P 123F PF π∠=12PF F ∆积.例4、已知直线与双曲线有两个不同的交点，如果以为直径的圆恰好过原点,1y kx =+2231x y -=A B 、AB O试求的值.k 例5、已知直线与双曲线相交于两点，那么是否存在实数使得两点关于直线1y kx =+2231x y -=A B 、k A B 、对称？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.20x y -=k 例6、已知双曲线的右焦点为,若过点的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，求此直线的斜221124x y -=F F 率的取值范围为_________.【变式1】已知曲线:；C 21(4)x y y x -=≤（1）画出曲线的图像；C （2）若直线：与曲线有两个公共点，求的取值范围；l 1y kx =-C k （3）若，为曲线上的点，求的最小值.()0P p 、()0p >Q C PQ 【变式2】直线：与曲线：.l 10ax y --=C 2221x y -=（1）若直线与曲线有且仅有一个交点，求实数的取值范围；l C a（2）若直线被曲线截得的弦长，求实数的取值范围；l C PQ =a（3）是否存在实数，使得以为直径的圆经过原点，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.a PQ a 例7、已知是双曲线的左焦点，,是双曲线右支上的动点，求的最小值.F 221412x y -=(14)A 、P PF PA +【变式】是双曲线的右支上一点，分别是圆和上的点，则P 221916x y -=,M N ()2254x y ++=()2251x y -+=的最大值等于_________.PM PN -例8、已知动圆与两个定圆和都外切，求动圆圆心的轨迹方程.P ()2251x y -+=()22549x y ++=P 【变式1】的顶点为,，的内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程是ABC ∆()50A -、()5,0B ABC ∆3x =C _________.【变式2】已知双曲线的中心在原点，且一个焦点为，直线与其相交于两点，线段)F1y x =-M N 、的中点的横坐标为，求此双曲线的方程.MN 23-例9、已知双曲线，若点为双曲线上任一点，则它到两渐近线距离的乘积为_________.221916x y -=M例10、焦点在轴上的双曲线的两条渐近线经过原点，且两条渐近线均与以点为圆心，以1为半径的x C P 圆相切，又知双曲线的一个焦点与关于直线对称C P y x =（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的左支交于两点，另一直线经过点及的中点，求直线在1y mx =+C ,A B l (2,0)M -AB l 轴上的截距的取值范围.n【变式】设直线的方程为，等轴双曲线：右焦点为.l 1y kx =-C 222x y a -=)（1）求双曲线的方程；（2）设直线与双曲线的右支交于不同的两点,记中点为，求实数的取值范围，并用表示点l A B 、AB M k k 的坐标；M （3）设点，求直线在轴上的截距的取值范围.()1,0Q -QM y 例11、已知双曲线方程为：.C 2212y x -=（1）已知直线与双曲线交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的0x y m -+=C A B 、AB 225x y +=m 值；（2）设直线是圆：上动点（）处的切线，与双曲线交于不同的两点l O 222x y +=00(,)P x y 000x y ≠l C，证明的大小为定值.A B 、AOB ∠例12、已知中心在原点，顶点在轴上，其渐近线方程是，双曲线过点.12A A 、x y x =()6,6P （1）求双曲线的方程；（2）动直线经过的重心，与双曲线交于不同的两点，问：是否存在直线，使平分线段l 12A PA ∆G M N 、l G ，证明你的结论.MN 例13、已知点、为双曲线：的左、右焦点，过作垂直于轴的直线，在轴上方交1F 2F C ()01222>=-b by x 2F x x 双曲线于点，且．圆的方程是．C M ︒=∠3021F MF O 222b y x =+（1）求双曲线的方程；C （2）过双曲线上任意一点作该双曲线两条渐近线的垂线，垂足分别为、，求的值；C P 1P 2P 21PP PP ⋅（3）过圆上任意一点作圆的切线交双曲线于、两点，中点为，求证：O ()00y ,x Q O l C A B AB M例14、已知双曲线：的一个焦点是，且．C ()222210,0x y a b a b-=>>()22,0F a b 3=（1）求双曲线的方程；C （2）设经过焦点的直线l 的一个法向量为，当直线与双曲线C 的右支相交于不同的两点时，求实2F )1,(m l B A ,数的取值范围；并证明中点在曲线上．m AB M 3)1(322=--y x（3）设（2）中直线与双曲线的右支相交于两点，问是否存在实数，使得为锐角？若存在，请l C B A ,m AOB 求出的范围；若不存在，请说明理由．m。
苏教版 高中数学选择性必修第一册 双曲线的几何性质-离心率 课件2
焦点在x轴上
：x2
a2
y2 b2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
(a
0，b 0)．
焦 点 在 y轴 上 ： y
a
2 2
x2 b2
1
(a
0，b
0)．
双曲线的标准方程的特点：
（1）左边是两个分式的平方差，右边是1；
（2）三个参数a、b、c满足 c²=a²＋ b²；
（3）系数为正的项的分母是a²，系数为负的项的分母就是 b²；
解 设 F1(c，0)，将 x＝c 代入双曲线的方程得ac22－by22＝1，那么 y＝±ba2. 由|PF2|＝|QF2|，∠PF2Q＝90°， 知|PF1|＝|F1F2|， 所以ba2＝2c，所以 b2＝2ac， 所以c2－2ac－a2＝0， 所以ac2－2×ac－1＝0， 即e2－2e－1＝0， 所以 e＝1＋ 2或 e＝1－ 2(舍去)，
1.已知双曲线ax22－y52＝1(a>0)的右焦点为(3,0)，则双曲线的离心率等于
A.31414
B.342
√C.32
D.43
解析 由题意知 a2＋5＝9，解得 a＝2，e＝ac＝32.
2.设双曲线ax22－by22＝1(0<a<b)的半焦距为 c，直线 l 过(a，0)，(0，b)两点，已知 原点到直线 l 的距离为 43c，求双曲线的离心率.
,
3 2
c
，
将点N的坐标代入双曲线方程得 c2 - 3c2 ＝1， 4a2 4b2
整理得b2c2-3a2c2＝4a2b2. ∵ b2＝c2-a2，∴ c4-a2c2-3a2c2＝4a2c2-4a4， 整理得e4-8e2+4＝0，求得e2＝4±2 3 .
高二双曲线的基本知识点总结
高二双曲线的基本知识点总结双曲线是数学中的一种重要曲线，它在高中数学中也是一个重要的学习内容。
本文将对高二双曲线的基本知识点进行总结，以帮助同学们更好地理解和掌握这一内容。
一、双曲线的定义和基本属性双曲线可以通过平面上一对直角坐标轴以及两个焦点和一个给定的常数e来定义。
它具有以下基本属性：1. 双曲线有两条分支，分别接近于两条渐近线，渐近线的斜率分别是正无穷和负无穷。
2. 与坐标轴的交点是曲线的特殊点，它们被称为顶点和焦点。
3. 双曲线在顶点处对称。
4. 双曲线的离心率e大于1。
二、双曲线的方程和图像特点1. 标准方程双曲线的标准方程为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1，其中a和b分别为双曲线的半轴长。
当x轴为对称轴时，a为x轴上的顶点到焦点的距离。
当y轴为对称轴时，b为y轴上的顶点到焦点的距离。
2. 图像特点双曲线的图像呈现两个向外打开的分支，两个分支在顶点处相交，顶点是双曲线的对称中心。
双曲线的两条渐近线分别与x轴和y轴相交于双曲线的两个顶点，与x轴交点对应的坐标为(-a, 0)和(a, 0)，与y轴交点对应的坐标为(0, -b)和(0, b)。
三、双曲线的参数方程和焦点及直径方程1. 参数方程双曲线的参数方程为：x = asecθ，y = btanθ，其中θ是参数。
2. 焦点及直径方程双曲线的焦点坐标可通过以下公式计算：(±ae, 0)，其中e为离心率。
双曲线的一个焦点到曲线上任意一点的距离是常数c，满足c^2 = a^2 + b^2。
四、双曲线的性质和应用1. 双曲线的准线和离心率双曲线的准线是通过焦点的渐近线。
离心率e决定了双曲线的形状，当离心率接近于1时，双曲线的形状趋近于直线，离心率越大，双曲线的形状越扁平。
2. 双曲线的应用双曲线在物理学、工程学和经济学等领域中有广泛的应用。
例如，双曲线可以描述电磁场的分布和力学系统中的轨迹，也可以用于描述经济增长模型中的边际效应。
双曲线的离心率的取值范围
双曲线的离心率的取值范围一、引言双曲线是数学中的一种重要的曲线，其形状独特，具有许多特殊的性质。
在双曲线的研究中，离心率是一个非常重要的参数，它可以描述双曲线形态的“扁平程度”。
本文将详细介绍双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围。
二、双曲线离心率的定义在直角坐标系中，设有两个定点F1(x1,y1)和F2(x2,y2)，且距离为2c(c>0)，则以这两个定点为焦点、距离差为2a(a>c>0)的所有点P(x,y)构成的图形称为双曲线。
其中，a/c称为双曲线的离心率。
三、双曲线离心率的计算方法对于标准形式下的双曲线：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，其焦点坐标分别为F1(ae,0)和F2(-ae,0)，其中e为离心率，则有：c=ae。
由此可得：$e=\frac{c}{a}$。
因此，我们只需要知道双曲线长轴和短轴长度即可计算出其离心率。
四、双曲线离心率的取值范围对于双曲线而言，其离心率的取值范围为(1,∞)。
其中，当离心率e=1时，双曲线退化为一条抛物线；当e>1时，双曲线呈现出“扁平”的形态，长轴与短轴之比越大，离心率越大；当e趋近于无穷大时，双曲线的形态趋近于两条平行直线。
五、双曲线离心率的应用在实际应用中，双曲线广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域。
例如，在天文学中，万有引力可以被描述为一条双曲线；在经济学中，货币汇率的变化也可以被描述为一条双曲线。
此外，在工程学中，许多结构设计都涉及到双曲线形状的物体。
六、总结本文详细介绍了双曲线离心率的定义、计算方法和取值范围，并且阐述了其在实际应用中的重要性。
对于数学爱好者和从事相关领域工作的人士而言，深入研究和掌握双曲线的离心率是非常有必要的。
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释
双曲线的离心率和渐近线-概述说明以及解释1.引言1.1 概述双曲线是一个非常重要且有趣的数学概念，它在许多科学领域中都具有广泛的应用。
双曲线的离心率和渐近线是研究双曲线性质时的两个重要方面。
本文将深入探讨双曲线的离心率和渐近线，旨在帮助读者更好地理解和应用这些概念。
在概率统计学、物理学和工程学等领域，双曲线经常用于描述一些特定的曲线形状。
它具有许多独特的性质，如非对称、无中心和无界等，这使得双曲线在一些特定情况下成为研究对象。
首先，我们将介绍双曲线的离心率。
离心率是用来衡量双曲线扁平程度的一个参数，它决定了双曲线的形状。
通过研究离心率，我们可以更好地理解双曲线的特性，并在实际问题中应用它们。
其次，我们将深入探讨双曲线的渐近线。
渐近线是指曲线在无穷远处趋近于某一直线的情况。
对于双曲线而言，它具有两条渐近线，分别与曲线的两个分支在无穷远处平行。
渐近线的性质可以帮助我们更好地理解双曲线的走向和特征。
本文将通过详细的推导和实例分析，阐明双曲线的离心率和渐近线的定义、性质和应用。
我们将探讨它们在物理学、工程学和数学模型中的应用案例，以及如何利用这些概念来解决实际问题。
在结论部分，我们将总结双曲线的离心率和渐近线的重要性，并探讨它们在实际问题中的应用和意义。
通过深入理解和应用双曲线的离心率和渐近线，我们可以更好地解决各种问题，并在科学研究和工程实践中取得更好的成果。
在接下来的章节中，我们将逐步展开双曲线的离心率和渐近线的详细内容，希望读者能够跟随我们的步伐，深入了解这些有趣且具有应用价值的数学概念。
1.2文章结构文章结构是指文章的章节安排和组织方式。
对于这篇文章，可以按照以下方式组织文章结构：1. 引言1.1 概述1.2 文章结构1.3 目的2. 正文2.1 双曲线的离心率2.2 双曲线的渐近线3. 结论3.1 总结双曲线的离心率和渐近线3.2 对双曲线性质的应用和意义在引言部分，可以首先对双曲线的概念进行简要说明，包括其定义和特点。
标准方程离心率及双曲线的渐近线通用课件
已知双曲线的标准方程为 $frac{y^2}{4} - frac{x^2}{3} = 1$， 且渐近线方程为$y = pm frac{4}{3}x$，求rac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：$a^2 = b^2 - c^2$。
03 双曲线的渐近线
渐近线的定义
渐近线是双曲线的一种特殊直线，它 与双曲线的两个分支无限接近，但永 远不相交。
渐近线的位置由双曲线的标准方程决 定，不同的双曲线有不同的渐近线。
渐近线的求法
根据双曲线的标准方程，可以求出渐近 线的方程。
对于标准方程为 $frac{x^2}{a^2} frac{y^2}{b^2} = 1$ 的双曲线，其渐 近线方程为 $y = pm frac{b}{a}x$。
综合习题2
已知双曲线的标准方程为$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$，离心率$e = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}}$， 渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$，求证：焦点到渐近线的距离等于$frac{bc}{sqrt{a^2 + b^2}}$。
定义公式
$e = frac{c}{a}$，其中 $c$ 是焦 点到中心的距离， $a$ 是顶点到 中心的距离。
离心率与双曲线的关系
01
双曲线的离心率 $e > 1$ ，表示 双曲线与中心的距离大于其顶点 到中心的距离。
02
随着离心率 $e$ 的增大，双曲线 的开口会变得更开阔，反之则会 变得更狭窄。
双曲线离心率课件
高速铁路
在高速铁路轨道设计中，双曲线离心率用于优化 列车运行的轨迹，提高列车的运行效率和安全性。
05
双曲线离心率的题目解析
基础题目解析
01 基础题目解析
这类题目主要考察双曲线离心率的定义和基本性 质，难度较低。通常包括求双曲线的离心率、判 断离心率的大小关系等。
02 题目示例
已知双曲线$frac{x^2}{a^2} - frac{y^2}{b^2} = 1$的一条渐近线方程为$y = frac{1}{2}x$，求该 双曲线的离心率。
根据渐近线方程，我们可以得到$frac{b}{a} = 1$， 进一步得到离心率$e = frac{c}{a} = sqrt{1 + frac{b^2}{a^2}} = sqrt{1 + 1} = sqrt{2}$。
高难度题目解析
01
高难度题目解析
这类题目难度较大，除了考察双曲线离心率的定义和性质外，还会涉及
离心率与双曲线焦点的关系
总结词
离心率越大，双曲线的焦点距离越短；离心率越小，双曲线的焦点距离越长。
详细描述
离心率不仅决定了双曲线的形状和顶点位置，还影响了双曲线的焦点距离。离心率越大，两个焦点之间的距离越 短；离心率越小，两个焦点之间的距离越长。这是因为离心率的变化会影响到双曲线的形状和大小，进而影响焦 点的位置和距离。
$a$和$b$分别表示双曲线的实半轴和虚半轴长度， 且满足关系$c^2 = a^2 + b^2$，其中$c$为焦 距。
双曲线的性质
双曲线有两个分支，在平面内关于原点对称。 01
双曲线的离心率大于1，表示双曲线与焦点之间的 02 距离逐渐增大。
双曲线的渐近线方程为$y = pm frac{b}{a}x$或 03 $y = pm frac{a}{b}x$，取决于双曲线的开口方向。
圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)知识点总结教学提纲
双曲线知识点一、 双曲线的定义：1. 第一定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点．要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|.当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支；当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线；当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在.2. 第二定义：动点到一定点F 的距离与它到一条定直线l 的距离之比是常数e (e ＞1)时，这个动点的轨迹是双曲线这定点叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双曲线的准线二、双曲线的标准方程：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）(焦点在x 轴上)；12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）(焦点在y 轴上)；1. 如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上. a 不一定大于b.2. 与双曲线12222=-b y a x 共焦点的双曲线系方程是12222=--+kb y k a x 3. 双曲线方程也可设为：221(0)x y mn m n-=> 例题：已知双曲线C 和椭圆221169x y +=有相同的焦点，且过(3,4)P 点，求双曲线C 的轨迹方程。
三、点与双曲线的位置关系，直线与双曲线的位置关系： 1 点与双曲线：点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的内部2200221x y a b ⇔->点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的外部2200221x y a b ⇔-<点00(,)P x y 在双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上220022-=1x y a b⇔2 直线与双曲线：（代数法）设直线:l y kx m =+，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 联立解得02)(222222222=----b a m a mkx a x k a b1) 0m =时，b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）；b k a ≥，bk a≤-，或k 不存在时直线与双曲线没有交点；2) 0m ≠时，k 存在时，若0222=-k a babk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；若2220b a k -≠，222222222(2)4()()a mk b a k a m a b ∆=-----2222224()a b m b a k =+-0∆>时，22220m b a k +->，直线与双曲线相交于两点； 0∆<时，22220m b a k +-<，直线与双曲线相离，没有交点；0∆=时22220m b a k +-=，2222m b k a +=直线与双曲线有一个交点； 若k 不存在，a m a -<<时，直线与双曲线没有交点； m a m a ><-或直线与双曲线相交于两点； 3. 过定点的直线与双曲线的位置关系：设直线:l y kx m =+过定点00(,)P x y ，双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x1).当点00(,)P x y 在双曲线内部时：b bk a a-<<，直线与双曲线两支各有一个交点； a bk ±=，直线与双曲线渐近线平行，直线与双曲线相交于一点；b k a >或bk a<-或k 不存在时直线与双曲线的一支有两个交点；2).当点00(,)P x y 在双曲线上时：bk a =±或2020b x k a y =，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b bk a a -<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 2020b x k a y >（00y ≠）或2020b x b k a a y << （00y ≠）或bk a <-或k 不存在，直线与双曲线在一支上有两个交点； 当00y ≠时，bk a =±或k 不存在，直线与双曲线只交于点00(,)P x y ；b k a >或bk a <-时直线与双曲线的一支有两个交点；b bk a a-<<直线与双曲线交于两点（左支一个点右支一个点）； 3).当点00(,)P x y 在双曲线外部时： 当()0,0P 时，b bk a a -<<，直线与双曲线两支各有一个交点； b k a ≥或bk a ≤或k 不存在，直线与双曲线没有交点；当点0m ≠时，k =00(,)P x y 的直线与双曲线相切 bk a=±时，直线与双曲线只交于一点；几何法：直线与渐近线的位置关系例：过点(0,3)P 的直线l 和双曲线22:14y C x -=，仅有一个公共点，求直线l 的方程。
高中数学解析几何双曲线性质与定义
高中数学解析几何双曲线性质与定义双曲线双曲线是圆锥曲线的一种，即双曲线是圆锥面与平行于轴的平面相截而得的曲线。
双曲线在一定的仿射变换下，也可以看成反比例函数。
双曲线有两个定义，一是与平面上两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹，二是到定点与定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹。
一、双曲线的定义①双曲线的第一定义一动点移动于一个平面上，与该平面上两个定点F 1、F 2的距离之差的绝对值始终为一定值2a(2a小于F 1和F 2之间的距离即2a取过两个定点F 1、F 2的直线为x 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为y 轴建立直角坐标系。
设M(x，y) 为双曲线上任意一点，那么F1、F2的坐标分别是(-c，0) 、(c，0) ．又设点M 与F1、F2的距离的差的绝对值等于常数2a 。
将这个方程移项，两边平方得：两边再平方，整理得：c 2-a 2x 2-a 2y 2=a 2c 2-a 2由双曲线定义，2c ＞2a 即c ＞a ，所以c 2-a 2＞0．设c 2-a 2=b 2 (b＞0) ，代入上式得：x 2y 2双曲线的标准方程：2-2=1a b()()两个定点F 1,F 2叫做双曲线的左，右焦点。
两焦点的距离叫焦距，长度为2c 。
坐标轴上的端点叫做顶点，其中2a 为双曲线的实轴长，2b 为双曲线的虚轴长。
实轴长、虚轴长、焦距间的关系：c 2=a 2+b 2，②双曲线的第二定义x 2y 2与椭圆的方法类似：对于双曲线的标准方程：2-2=1，我们将c 2=a 2+b 2代入，a by 2+x ±c c= 可得：2a ax ±c所以有：双曲线的第二定义可描述为：a 2平面内一个动点（x,y ）到定点F (±c,0) 的距离与到定直线l (x =±) 的距离之比为cc常数e =(c >a >0)的点的轨迹是双曲线，其中，定点F 叫做双曲线的焦点，定直线l 叫做双a曲线的准线，常数e 是双曲线的离心率。
双曲线定义(带动画)ppt课件
②焦点为(0,－6),(0,6)，经过点(2,－5)
1 y2
x2
20 16
1 2.已知方程 x2
y2
2m m1
表示焦点在y轴的
双曲线，则实数m的取值范围是___m__＜__－_2______
变式: 上述方程表示双曲线，则m的取值范围是 ___m_＜__－__2_或__m__＞__－__1_
曲线，圆 。
解：由各种方程的标准方程知，
当m 0, n 0, m n 时方程表示的曲线是椭圆
当m n 0 时方程表示的曲线是圆 当m n 0 时方程表示的曲线是双曲线
15
随堂练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程
1 ①a=4,xb2=3，y焦2 点在x轴上； 16 9
( (x c)2 y2 )2 ( (x c)2 y2 2a)2
cx a2 a (x c)2 y2
F1
(c2 a2 )x2 a2y2 a2(c2 a2)
令c2－a2=b2
x2 a2
y2 b2
1
y
M
o
9
双曲线的标准方程
y
M
y M
F
1
OF
2
0, b
0)
y2 a2
x2 b2
1(a
0, b
0)
焦点
a.b.c的关 系
F（±c，0） F（0，±c）
a>b>0，a2=b2+c2
F（±c，0） F（0，±c）
a>0，b>0，但a不一 定大于b，c2=a2+b2
13
课堂巩固
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结
高中数学【椭圆与双曲线】知识点总结姓名：（一）椭圆1.椭圆的定义如果平面内一动点到两定点距离之和等于正的常数（大于两定点的距离），则动点的规迹是椭圆即|PF1|+|PF2|=2a其中P是动点，F1,F2是定点且|F1F2|=2C当a>c时表示当a=c时表示当a<c时第二定义：动点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e(0<e<1)时，这个点的规迹是椭圆。
定点是，定直是e是2.椭圆的标准方程参数方程（1）标准方程（2）参数方程3.椭圆的性质（1）焦点在x轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的左右两焦点，P为椭圆上的一点)椭圆的通径（过椭圆的一个焦点F且垂直于它过焦点的对称轴的弦）|P1P2|=（2）焦点在y轴上的椭圆标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心长半轴的长短半轴的长焦距离心率e=范围e越大椭圆越e越小椭圆越准线焦半径公式|PF1|=|PF2|=(F1，F2分别为椭圆的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.椭圆系（1）共焦点的椭圆系方程为2221x yk k c+=-(其中k>c2,c为半焦距)（2）具有相同离心率的标准椭圆系的方程2222(0) x ya bλλ+=>(二)双曲线1.双曲线的定义如果平面内一个动点到两定点距离之差的绝对值等于正的常数（小于两定点间的距离），那么动点的轨迹是双曲线若一个动点到两定点距离之差等于一个常数，常数的绝对值小于两定点间的距离，那么动点的轨迹是双曲线的一支F1，F2为两定点，P为一动点，(1)若||PF1|-|PF2||=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是(2)若|P F1|-|PF2|=2a①0<2a<|F1F2|则动点P的轨迹是②2a=|F1F2|则动点P的轨迹是③2a=0则动点P的轨迹是2.双曲线的标准方程3.双曲线的性质（1）焦点在x轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的左右两焦点，P为椭圆上的一点)（3）焦点在y轴上的双曲线标准方程x,y的范围顶点焦点对称轴对称中心实半轴的长虚半轴的长焦距离心率e=范围e越大双曲线的开口越e越小双曲线的开口越准线渐近线焦半径公式|PF1|=|PF2|= (F1，F2分别为双曲线的下上两焦点，P为椭圆上的一点)4.等轴双曲线22(0)x yλλ=±③离心率为-=≠特点①实轴与虚轴长相等②渐近线互相垂直y x5.共轭双曲线以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线特点①有共同的渐近线②四焦点共圆双曲线22221x ya b+=的共轭双曲线是6.双曲线系（1）共焦点的双曲线的方程为2221x yk k c+=-(0<k<c2,c为半焦距)（2）共渐近线的双曲线的方程为2222(0) x ya bλλ-=≠。
双曲线及其几何性质，求双曲线离心率或其取值范围的方法
双曲线及其几何性质，求双曲线离心率或其取值范围的方法【考试要求】了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).【知识梳理】1.双曲线的定义平面内与两个定点F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫双曲线.这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距.其数学表达式：集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0：(1)若a<c时，则集合P为双曲线；(2)若a＝c时，则集合P为两条射线；(3)若a>c时，则集合P为空集.2.双曲线的标准方程和几何性质【规律方法】 1.利用双曲线的定义判定平面内动点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程；2.在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|，|PF2|的联系.【规律方法】 1.利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c 的方程并求出a，b，c的值.2.与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0).【规律方法】 1.求双曲线离心率或其取值范围的方法(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解.2.与双曲线有关的取值范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解.(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
双曲线的定义及离心率
经典例题
1．方程化简的结果是（）
A．B．
C．，x≤﹣3 D．，x≥3
（①充分理解双曲线的定义②注意有无绝对值）
2、（2013秋•山西校级月考）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）
A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
（①双曲线的定义再次理解②定值的情况有：大于、等于、小于以及为0）
3．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）
A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线
支）
4、（2011•上高县校级模拟）双曲线上的点P到点（5，0）的距离是6，则点P
的坐标是（）
A．（8，±3）B．（8，﹣）C．（8，）D．（8，±）
（①双曲线定义的充分运用；②限制条件）
5．（2011•陕西模拟）若θ为三角形的一个内角，且，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1
是（）
A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆
C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线
（①三角函数与解析几何的运用②角的象限的确定）
6．（2008秋•江岸区校级期末）以y=±x为渐近线，且过点（﹣3，）的双曲线的标准方
程为（）
A．x2﹣9y2=45 B．9y2﹣x2=45 C．y2﹣3x2=21 D．3x2﹣y2=21
（已知渐近线设方程问题）
7.如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）
A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m＜1或m＞2
（①对于双曲线标准方程的正确理解②总结表示椭圆和双曲线的结论）
8.（2016•北海一模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象
限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．
（双曲线焦点三角形的离心率问题；拓展回忆椭圆离心率）
9．（2015•安徽三模）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）
A．B．C．D．
（焦点三角形中结合定义求离心率）
10．（2015•株洲一模）已知双曲线=1的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则该双曲线的离心率等于（）
A． B．C． D．
（双曲线与椭圆中通径；渐近线的问题）
【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22
1x y a b
-=)0( b a 有相同的焦点F 1
，F 2
，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）
A.a m -
B.()a m -2
1
C.22a m -
D.a m -
()121PF PF ∴+=
()122PF PF ∴-=±
()()
()22
12121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.
【例2】已知双曲线127
92
2=-y x 与点M （5，3）
，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使
PM
PF 2
1+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的
1
2
是什么？是双曲线离心率的
倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.
【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，
右准线为3
2
l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，
连FP ，则1
22
PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM
137
5225
PF PM PN MN +
=+==-=为最小. 在
127
92
2=-y x 中，令3y =
，得212x x x =⇒=±∴ 0，
取x =所求P 点的坐
标为（）
. 【例3】过点（1，3）且渐近线为
x y 2
1
±=的双曲线方程是
【解析】设所求双曲线为()2
214
x y k -=
点（1，3）代入：135
944
k
=
-=-.代入（1）： 2222
3541443535
x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y
a b a b
-=⇒±
=即为其渐近线.根据这一点，可以简X
Y O F(6,0)M(5,3)P N
P ′N ′X=
3
2
洁地设待求双曲线为22
22x y k a b
-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.
【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：
2212
11
e e +=1.
【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率2222
1122
c c a b e e a a a +=⇒==
；
双曲线22221x y b a -=的离心率2222
2222
c c a b e e b b b +=⇒==
.
∴22
222222
12111a b e e a b a b +=+=++. 【例5】直线l 过双曲线122
22=-b
y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支
上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）
A .e >
2B.1<e <3C.1<e <5D.e >5
【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.
【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线
m 的倾斜角为β.显然。
当β＞α时直线l 与双曲线的两
个交点分别在左右两支上.由
222
2
tan tan 245b c a e a a
βαβα->⇒>⇒>⇒>⇒>. ∵双曲线中1e >，故取e >5.选D.
【例6】设P 为双曲线2
2
112
y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）
A
．
B ．12
C. D ．24
【解析
】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,a b c ===设；
X
Y
O F
l
12123,2.22, 2.PF r PF r PF PF a r ==-==∴=
于是
222
121212
6, 4.52PF PF PF PF F F ==+== ，
故知△PF 1F 2是直角三角形，∠F 1P F 2=90°.
∴12
1211
641222
PF F
S PF PF ∆=
⋅=⨯⨯=.选B. 【例7】双曲线122
=-y x 的一弦中点为（2，1）
，则此弦所在的直线方程为 （ ）
A.
12-=x y B.22-=x y C.32-=x y D.32+=x y
【解析】设弦的两端分别为()()1,1
2,
2,A
x y B x
y .则有：
()()222222111212121222
1212
22101
x y y y x x x x y y x x y y x y ⎧-=-+⇒---=⇒=⎨-+-=⎩.
∵弦中点为（2，1），∴1212
42x x y y +=⎧⎨
+=⎩.故直线的斜率1212
12122y y x x k x x y y -+===-+.
则所求直线方程为：()12223y x y x -=-⇒=-，故选C.。