160430-双曲线的定义及离心率

双曲线的定义及离心率

经典例题

1．方程化简的结果是（）

A．B．

C．，x≤﹣3 D．，x≥3

（①充分理解双曲线的定义②注意有无绝对值）

2、（2013秋•山西校级月考）平面内有两个定点F1，F2和一动点M，设命题甲，||MF1|﹣|MF2||是定值，命题乙：点M的轨迹是双曲线，则命题甲是命题乙的（）

A．充分但不必要条件 B．必要不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

（①双曲线的定义再次理解②定值的情况有：大于、等于、小于以及为0）

3．一动圆与两圆x2+y2=1和x2+y2﹣8x+12=0都外切，则动圆圆心轨迹为（）

A．圆B．椭圆 C．双曲线的一支 D．抛物线

支）

4、（2011•上高县校级模拟）双曲线上的点P到点（5，0）的距离是6，则点P

的坐标是（）

A．（8，±3）B．（8，﹣）C．（8，）D．（8，±）

（①双曲线定义的充分运用；②限制条件）

5．（2011•陕西模拟）若θ为三角形的一个内角，且，则曲线x2sinθ+y2cosθ=1

是（）

A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆

C．焦点在x轴上的双曲线 D．焦点在y轴上的双曲线

（①三角函数与解析几何的运用②角的象限的确定）

6．（2008秋•江岸区校级期末）以y=±x为渐近线，且过点（﹣3，）的双曲线的标准方

程为（）

A．x2﹣9y2=45 B．9y2﹣x2=45 C．y2﹣3x2=21 D．3x2﹣y2=21

（已知渐近线设方程问题）

7.如果方程表示双曲线，那么实数m的取值范围是（）

A．m＞2 B．m＜1或m＞2 C．﹣1＜m＜2 D．﹣1＜m＜1或m＞2

（①对于双曲线标准方程的正确理解②总结表示椭圆和双曲线的结论）

8.（2016•北海一模）设点P是双曲线=1（a＞0，b＞0）与圆x2+y2=a2+b2在第一象

限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|=2|PF2|，则双曲线的离心率为（）A．B．C． D．

（双曲线焦点三角形的离心率问题；拓展回忆椭圆离心率）

9．（2015•安徽三模）如图，F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，

过F1的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（）

A．B．C．D．

（焦点三角形中结合定义求离心率）

10．（2015•株洲一模）已知双曲线=1的一条渐近线的倾斜角的余弦值为，双曲线上过一个焦点且垂直于实轴的弦长为，则该双曲线的离心率等于（）

A． B．C． D．

（双曲线与椭圆中通径；渐近线的问题）

【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22

1x y a b

-=)0( b a 有相同的焦点F 1

，F 2

，P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ）

A.a m -

B.()a m -2

1

C.22a m -

D.a m -

()121PF PF ∴+=

()122PF PF ∴-=±

()()

()22

12121244PF PF m a PF PF m a -⋅=-⇒⋅=-：，故选A.

【例2】已知双曲线127

92

2=-y x 与点M （5，3）

，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使

PM

PF 2

1+最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的

1

2

是什么？是双曲线离心率的

倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义.

【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =，

右准线为3

2

l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ，

连FP ，则1

22

PF e PN PN PN PF ==⇒=.此时 PM

137

5225

PF PM PN MN +

=+==-=为最小. 在

127

92

2=-y x 中，令3y =

，得212x x x =⇒=±∴ 0，

取x =所求P 点的坐

标为（）

. 【例3】过点（1，3）且渐近线为

x y 2

1

±=的双曲线方程是

【解析】设所求双曲线为()2

214

x y k -=

点（1，3）代入：135

944

k

=

-=-.代入（1）： 2222

3541443535

x y x y -=-⇒-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y

a b a b

-=⇒±

=即为其渐近线.根据这一点，可以简X

Y O F(6,0)M(5,3)P N

P ′N ′X=

3

2

洁地设待求双曲线为22

22x y k a b

-=，而无须考虑其实、虚轴的位置.

【例4】两共轭双曲线的离心率分别为21,e e ，证明：

2212

11

e e +=1.

【证明】双曲线22221x y a b -=的离心率2222

1122

c c a b e e a a a +=⇒==

；

双曲线22221x y b a -=的离心率2222

2222

c c a b e e b b b +=⇒==

.

∴22

222222

12111a b e e a b a b +=+=++. 【例5】直线l 过双曲线122

22=-b

y a x 的右焦点，斜率k =2.若l 与双曲线的两个交点分别在左右两支

上，则双曲线的离心率e 的范围是 （ ）

A .e >

2B.15

【分析】就题论题的去解这道题，确实难以下手，那就 考虑转换吧.其一，直线和双曲线的两支都有交点不好掌握， 但是和两条渐近线都有交点却很好掌握.其二，因为已知直线 的斜率为2，所以双曲线的两条渐近线中，倾斜角为钝角的 渐近线肯定与之相交，只须考虑倾斜角为锐角的渐近线也与 之相交.故有如下妙解.

【解析】如图设直线l 的倾斜角为α，双曲线渐近线

m 的倾斜角为β.显然。当β＞α时直线l 与双曲线的两

个交点分别在左右两支上.由

222

2

tan tan 245b c a e a a

βαβα->⇒>⇒>⇒>⇒>. ∵双曲线中1e >，故取e >5.选D.

【例6】设P 为双曲线2

2

112

y x -=上的一点，12F F ，是该双曲线的两个焦点，若12||:||3:2PF PF =，则12PF F △的面积为（ ）

A

．

B ．12

C. D ．24

【解析

】双曲线的实、虚半轴和半焦距分别是：1,a b c ===设；

X

Y

O F

l