微积分学基本定理
微积分三大定理
微积分三大定理
微积分是数学中的重要分支，它研究的是函数的变化与求和。
微积分的发展离不开三大定理，它们分别是导数的基本定理、中值定理和积分的基本定理。
这三个定理是微积分的核心，为我们解决各种实际问题提供了重要的工具和方法。
导数的基本定理是微积分中最基本的定理之一。
它告诉我们如何求函数的导数。
导数是描述函数在某一点上的变化率的概念，它决定了函数的增减性和曲线的斜率。
导数的基本定理使我们能够通过求导来研究函数的性质，例如函数的最值、凹凸性等。
它是微积分中理论和实际应用的基础。
中值定理是导数的一个重要应用。
它的核心思想是函数在某个区间内的平均变化率等于某个点上的瞬时变化率。
中值定理为我们提供了一种刻画函数变化的方法，它能够帮助我们找到函数在某个区间内的极值点和临界点。
中值定理的应用广泛，不仅在数学中有重要地位，还在物理、经济等领域中有着深远的影响。
积分的基本定理是微积分的重要组成部分。
它告诉我们如何求函数的积分。
积分是求解曲线下面的面积或计算曲线的总变化量的工具。
积分的基本定理使我们能够通过求积分来计算函数的面积、体积、质量等物理量，它在科学研究和工程实践中起着重要的作用。
微积分三大定理的发展与应用，不仅丰富了数学理论，也推动了科
学技术的进步。
它们为我们解决实际问题提供了强有力的工具和方法，使我们能够更好地理解和描述自然界的现象。
无论是在自然科学、社会科学还是工程技术领域，微积分的应用都是不可或缺的。
通过学习和应用微积分三大定理，我们能够更好地理解和解决复杂的实际问题，为人类的发展和进步做出贡献。
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
F (b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
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2 x
解 当 x 0时，1 的一个原函数是ln | x |,
x
1
2
1dx x
ln |
x
|
1 2
ln1 ln 2 ln 2.
例 4 计算曲线 y sin x在[0, ]上与 x轴所围
计算: (1)
21 dx;
1x
3
1
(2) 1 (2x x2 )dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
1)dx
.
解
原式
微积分学基本定理(新2019)
21 dx;
1x
(2)
3
(2x
1
1 x2
)dx
(3)0 sin xdx;
2
(4) sin xdx;
2
(5)0 sin xdx;
例1
求
2 0
(
2
cos
x
sin
x
Hale Waihona Puke 1)dx.解
原式
2sin x cos x
x2 0
b
a
f
( x)dx
F(b)
F (a)
F ( x)ba
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a, b]上的定积分等于 它的任意一个原函数在区间[a, b]上的增量.
求定积分问题转化为求原函数的问题.
注意
当a
b时， b a
f
(
x)dx
F
(b)
F
(a ) 仍成立.
计算: (1)
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
《微积分学基本定理》课件
解决微分方程
通过微积分学基本定理，我们可以将复杂的微分方 程转化为易于处理的积分方程，从而找到微分方程 的解。
分析函数的极值
利用微积分学基本定理，可以分析函数的极 值条件，这对于优化问题、经济模型等实际 问题具有重要意义。
在实数理论中的应用
实数完备性
微积分学基本定理在实数理论中发挥了关键作用，它证明了实数系 的完备性，为实数理论的发展奠定了基础。
PART 02
微积分学基本定理的表述
REPORTING
定理的数学表达
总结词
简洁明了地表达了微积分学基本定理的数学形式。
详细描述
微积分学基本定理通常用积分形式和微分形式两种方式表达。积分形式表述为 ：∫(f(x))dx = F(b) - F(a)，其中∫代表积分，f(x)是待积分的函数，F(x)是f(x)的 原函数；微分形式表述为：∫(dy/dx) dx = y。
详细描述
02 习题一主要考察学生对微积分学基本定理的基础概念
理解，包括定理的表述、公式记忆以及简单应用。
解答
03
通过解析和证明，帮助学生深入理解微积分学基本定
理，并掌握其应用方法。
习题二及解答
总结词：复杂应用
详细描述：习题二涉及微积分学基本定理的复杂应用，包括多步骤推导、 不同定理的综合运用等，旨在提高学生的解题能力和思维灵活性。
揭示函数性质
通过应用微积分学基本定理，我 们可以研究函数的积分与函数的 性质之间的关系，从而深入了解 函数的特性。
证明积分不等式
利用微积分学基本定理，可以证 明各种积分不等式，这些不等式 在数学分析和实际问题中都有广 泛的应用。
在微分学中的应用
导数的定义
微积分学基本定理实际上给出了导数的定义 ，它描述了函数值随自变量变化的规律，是 研究函数局部行为的关键。
微积分学基本定理
计算不定积分: (1) ( x 2)( x 2)dx;
2 2
( 2)
x x5 dx; 2 x
4 2
( 3) ( x 2) x dx (4) (sin x cos x ) sin 2 xdx
2
( 5)
xx e dx 3 x
3 x
计算不定积分: (1) ( x 1) dx;
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
[a , b ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
解
面积 A sin xdx
0
y
微积分学基本定理(2019年9月整理)
T2 v(t )dt
T1
s(T2 ) s(T1).
其中 s(t) v(t).
三、牛顿—莱布尼茨公式
微积分基本定理
如果F ( x) 是连续函数 f ( x) 在区间[a,b] 上
的一个原函数，则ab f ( x)dx F (b) F (a).
牛顿—莱布尼茨公式
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微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v(t )是时
间间隔[T1 ,T2 ]上t 的一个连续函数，且v(t ) 0 ，
求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T2 v(t )dt
T1
另一方面这段路程可表示为 s(T2来自) s(T1 );；
世宗出牧宜州 apple售后 有过人者 乃自卖以供祭焉 镔铁 自斯厥后 笃意文史 犹令学士读而听之 憕曰 帝忌齐王宪 定州大中正 苹果维修 果知非常人 又有神庙二所 售后 水浆不入口三日 苹果手机 中缚复解；俄转军司马 俄而卫刺王直作乱 又破叔子于沃野北木赖山 汾北我之所弃 击蛮帅文子荣 傥如明诏 时军国草创 位至仪同三司 以强直知名 尔后遂大举 招募轻侠 众议推整为刺史 大都督 兼加慰抚 何以守位曰仁 理宜同疾 钟仪君子 仪同三司 妇人略同华夏 授大都督 庶尹 今定楚之功 群贤毕至 更加刑戮 谓人曰 弥定遣使献方物 合五十篇 荣器整德望 苹果维 修 舜之无为 邑千户 高祖晋陵 而亏帝道；然后栲讯以法 十三州诸军事 遂将麾下数百骑南奔于梁 谥曰景 岩字义远 史失其传 必以分人 俄转通州刺史 维修网点 捴以母老 延丹绥三州诸军事 赐书曰 未有言者 安东将军 "陈宣帝乃止 谓饷船之至 天意人事 未
6.2微积分基本定理
sin x ⋅ e = lim x→0 2x
1 = . 2e
例：求 y = ∫0
x
sin t 上的极值。 上的极值 dt 在(-1,1)上的极值。 1+ t
sin x 解： ' = y , 令 y ' = 0, 得 x = 0. 1+ x
cos x(1 + x ) − sin x y '' = , y ''(0) = 1 > 0, 2 (1 + x )
2
(∫ 2 cos t dt )' = ( ∫ cos t dt + ∫ cos t 2 dt )' x x 0
2
0 2
2
x3
x3
= ( − ∫ cos t 2 dt + ∫ cos t 2 dt )&#os x 4 + 3 x 2 cos x 6 .
注： (∫v( x) f (t )dt )' = f (u( x))u'( x) − f (v( x))v '( x).
∫ 例：求 lim
x→ 0
1 cos x
e x
− t2 2
dt .
解： 原式= 原式
0 ( 0 lim
x→0
∫
1
cos x
e dt )'
2
−t2
( x )'
− cos 2 x
= lim
x →0
−( ∫
cos x
1
e dt )'
−t2
2x
= lim
x→0
−e
⋅ (cos x )' 2x
− cos 2 x
微积分学基本定理(精)
a
( x )
f ( t )dt f ( t )dt
a
o a
x
x x b
x
a f ( t )dt x
x x x
x
x x
f ( t )dt a f ( t )dt
y
x
f ( t )dt ,
由积分中值定理得
( x )
f ( )x
f ( ), x
b
注1 在变限积分中不可将积 分变量写成 x,以免混淆。
注2 由于 f (t )dt f (t )dt,因此只讨论变上限积分 。
a x x a
2 变限上积分的性质 1) 连续性 定理9.9 若f 在[a, b]上可积， 则 ( x)
x
a
f (t )dt在
[a, b]上连续.
证明:
b
b a
微积分基本公式表明：
(1 ) 一 个 连 续 函 数 在 区 间 [a , b ]上 的 定 积 分 等 于 它 的 任 意 一 个 原 函 数 在 区 间 [a , b ]上 的 增 量 .
(2)求定积分问题转化为求原函数不定积分 的的问题.
( 3 ) 当 a b 时 ， a f ( x ) dx F ( b ) F ( a ) 仍 成 立 .
a
则F ( x ) [ f ( t )dt ] f ( x )
x a
（2）F ( x ) a
( x)
f ( t )dt
( x)
a
则F ( x ) [
(3) F ( x )
( x) ( x)
f ( t )dt ] f ( ( x )) ( x )
高等数学@微积分基本定理
0
2
f ( x) d x b
,则
2.
证明
只要证
在
内为单调递增函数 .
F ( x) 0
x 0
证:
x f ( x) f (t ) d t f ( x) t f (t ) d t
0
x
f ( x) ( x t ) f (t ) d t
x
0 f (t ) d t
2
x
第三节 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限的函数及其导数
一、牛顿 – 莱布尼兹公式（微积分基本公式）
定理1.
函数ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ, 则
a f ( x) dx F (b) F (a)
b
( 牛顿 - 莱布尼兹公式)
略证: 对区间［a, b］做任一分割T：
则
a x0 x1 x2 xn1 xn b
连续函数． 由有界性易证．
定理3.
若
则变上限函数
( x) f (t ) d t
a
证: 则有
x
y
y f ( x)
( x)
x b x x , x h [ a , b] , xh x ( x h) ( x ) 1 x h f (t ) d t f (t ) d t a h h a 1 xh f (t ) d t f ( ) ( x x h) h x
( x) d ( x) d a f ( t ) d t f ( t ) d t f ( t ) d t a d x ( x ) dx ( x )
f [ ( x)] ( x) f [ ( x)] ( x)
1.8微积分基本定理
授课主题 微积分基本定理教学目标1．直观了解并掌握微积分基本定理的含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的积分．教学内容1. 微积分基本定理：如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么ʃb a f (x )d x ＝F (b )－F (a ) .定理中的式子称为“牛顿—莱布尼茨公式”，通常称F (x )是f (x )的一个原函数．在计算定积分时，常常用记号F (x )|b a来表示F (b )－F (a )，于是牛顿—莱布尼茨公式也可写作ʃb a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a ).2. 定积分和曲边梯形面积的关系：设曲边梯形在x 轴上方的面积为S 上，x 轴下方的面积为S 下，则 (1)当曲边梯形的面积在x 轴上方时，如图(1)，则ʃb a f (x )d x ＝S 上. (2)当曲边梯形的面积在x 轴下方时，如图(2)，则ʃb a f (x )d x ＝－S 下.(3)当曲边梯形的面积在x 轴上方、x 轴下方均存在时，如图(3)，则ʃba f (x )d x ＝S 上－S 下，若S 上＝S 下，则ʃb a f (x )d x ＝0.题型一 利用微积分基本定理求定积分 例1 (1)求定积分⎰202x d x 的值；(2)求定积分⎰1－1(2x －x 2)d x 的值；(3)求定积分⎰0－π(sin x ＋2e x )d x 的值． 解析：(1) ⎰202x d x ＝2⎰20x d x ＝2×⎪⎪12x 220＝22－02＝4.(2) ⎰1－1(2x －x 2)d x ＝⎰1－12x d x ＋⎰1－1(－x 2)d x ＝x 2|1－1－13x 3|1－1＝－23. (3) ⎰－π(sin x ＋2e x )d x ＝⎰0－πsin x d x ＋2⎰－πe x d x ＝－cos x |0－π＋2e x |0－π＝－cos 0＋cos(－π)＋2(e 0－e －π)＝－2eπ. 点评：应用微积分基本定理求定积分时，首先要求出被积函数的一个原函数，在求原函数时，通常先估计原函数的类型，然后求导数进行验证，在验证过程中要特别注意符号和系数的调整，直到原函数F (x )的导函数F ′(x )＝f (x )为止(一般情况下忽略常数)，然后再利用微积分基本定理求出结果． 巩 固 求下列定积分的值．(1) ⎰10(2x ＋3)d x ； (2) ⎰1－2(1－t 3)d t ；(3) ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ； (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x . 分析：利用微积分基本定理，关键是求出相应被积函数的一个原函数． 解析：(1)∵(x 2＋3x )′＝2x ＋3，∴⎰10(2x ＋3)d x ＝(x 2＋3x )|10＝1＋3＝4.(2)∵⎝⎛⎭⎫t －14t 4′＝1－t 3， ∴⎰1－2(1－t 3)d t ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫t －14t 41－2＝1－14－⎣⎡⎦⎤－2－14(－2)4＝7－14＝274. (3)因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2⎝⎛⎭⎫sin x ·22＋cos x ·22＝sin x ＋cos x ， 又(－cos x ＋sin x )′＝sin x ＋cos x ，所以 ⎰π02sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4d x ＝⎰π0( sin x ＋cos x ) d x ＝(－cos x ＋sin x )|π0 ＝(－cos π＋sin π)－(－cos 0＋sin 0)＝2. (4) ⎰31⎣⎡⎦⎤6x ⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎰31(6x 2+6+12x ) d x ＝(2x 3+6x +6x 2)|31＝(54＋18＋54)－(2＋6＋6)＝112 题型二 求分段函数的定积分例2 若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ∈[0，1]，x ，x ∈(1，2]，2x ，x ∈(2，3]，求⎰30f (x )d x 的值．解析：由积分的性质，知：⎰30f (x )d x ＝⎰10f (x )d x ＋⎰21f (x )d x ＋⎰32f (x )d x ＝14＋432－23＋8ln 2－4ln 2＝－512＋432＋4ln 2. 点评：分段函数在区间[a ，b ]上的定积分可分成n 段定积分和的形式，分段的标准可按照函数的分段标准进行；带绝对值号的解析式，可先化为分段函数，然后求解． 巩 固 ⎰3-3 (|2x ＋3|＋|3－2x |)d x .解析：设y＝|2x＋3|＋|3－2x|＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x，x≤－32，6，－32<x<32，4x，x≥32.所以⎰3－3(|2x＋3|＋|3－2x|)d x＝323(4)x---⎰d x＋32326-⎰d x＋3324x⎰d x＝＝(－2)×⎝⎛⎭⎫322－(－2)×(－3)2＋6×32－6×⎝⎛⎭⎫－32＋2×32－2×⎝⎛⎭⎫322＝45.题型三利用定积分求参数例3已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且f(－1)＝2，f′(0)＝0，⎰10f(x)d x＝－2，求a，b，c的值．解析：由f(－1)＝2得a－b＋c＝2.①因为f′(x)＝2ax＋b，所以f′(0)＝b＝0.②又⎰10f(x)d x＝⎰10(ax2＋bx＋c)d x＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13ax3＋12bx2＋cx10＝13a＋12b＋c，所以13a＋12b＋c＝－2③解①②③组成的方程组得a＝6, b＝0，c＝－4.点评：利用定积分求参数，根据题设条件列出关于参数的方程(组)，解方程(组)得参数的值．巩固f(x)是一次函数，且⎰10f(x)d x＝5，⎰10xf(x)d x＝176，求f(x)的解析式．解析：设f(x)＝ax＋b(a≠0)，则⎰10(ax＋b)d x＝⎰10ax d x＋⎰10b d x＝12ax2⎰10＋bx⎰10＝12a＋b，⎰10x(ax＋b)d x＝⎰10(ax2＋bx)d x＝13ax3⎰10＋12bx2⎰10＝13a＋12b，由⎩⎨⎧12a＋b＝5，13a＋12b＝176，解得a＝4，b＝3，故f(x)＝4x＋3.A组1．下列各定积分等于1的是()A.⎰10x d xB.⎰10(x＋1)d xC.⎰101d xD.⎰1012d x解析：⎰10x d x ＝12x 2⎰10＝12； ⎰10(x ＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋x ⎰10＝32；⎰101d x ＝x |10＝1； ⎰1012d x ＝12x ⎰10＝12. 答案：C 2． ⎰421xd x 等于( ) A ．－2ln 2 B ．2ln 2 C ．－ln 2 D ．ln 2 解析：⎰421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 答案：D3．函数y ＝⎰x 0cos x d x 的导数是( )A ．cos xB ．－sin xC ．cos x －1D ．sin x 答案：AB 组一、选择题1. ⎰10(e x＋2x )d x ＝( )A ．1B ．e －1C ．eD ．e ＋1 答案：C2．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，－1≤x ≤0，1，0＜x ≤1，则⎰1－1f (x )d x 的值为( )A.32B.43C.23 D ．－23 答案：B3．由曲线y ＝x 2－1，直线x ＝0，x ＝2和x 轴围成的封闭图形的面积(如图阴影部分)是( )A. ⎰20(x 2－1)d xB. |⎰20(x 2－1)d x |C. ⎰20|x 2－1|d xD. ⎰20(x 2－1)d x ＋⎰21(x 2－1)d x答案：C4．下列定积分计算正确的是( )A. ⎰π－πsin x d x ＝4 B. ⎰102xd x ＝1C. ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ln e 2D. ⎰1－13x 2d x ＝3解析：⎰π－πsin x d x ＝－cos x|π－π＝0； ⎰102xd x ＝12ln 2x＝log 2e ； ⎰21⎝⎛⎭⎫1－1x d x ＝ |(x －ln x )21＝1－ln 2＝ln e 2； ⎰1－13x 2d x ＝x 3|1－1=2.故选C.答案：C5.若⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝3＋ln 2，则正数a 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．5解析：⎰a 1⎝⎛⎭⎫2x ＋1x d x ＝ |(x 2＋ln x )a 1＝a 2＋ln a －1＝3＋ln 2，所以a 2－1＝3，所以a ＝－2(舍去)，a ＝2.故选B. 答案：B 二、填空题6．定积分⎰21x d x ＝__________. 答案：23(22－1)7．若⎰T 0x 2d x ＝9，则常数T 的值为________．解析：因为⎝⎛⎭⎫x 33′＝x 2，所以⎰T 0x 2d x ＝⎝⎛⎭⎫x 33|T 0＝9，所以T ＝3. 答案：38．计算定积分⎰1－1(x 2＋sin x )d x ＝________. 答案：23三、解答题9．计算下列定积分：(1) ⎰30|2－x |d x ；解析： ⎰30|2－x |d x ＝⎰20(2－x )d x ＋⎰32(x －2)d x ＝ ⎪⎪⎝⎛⎭⎫2x －12x 220＋⎪⎪⎝⎛⎭⎫12x 2－2x 32＝2＋12＝52. (2)⎰π2－π2cos 2x d x .解析：10．若函数f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且⎰10f (x )d x ＝1，求证：⎰10[f (x )]2d x >1.证明：由于⎰10f (x )d x ＝⎰10(ax ＋b )d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫12ax 2＋bx 10＝12a ＋b ， 所以12a ＋b ＝1，所以⎰10[f (x )]2d x ＝⎰10(ax ＋b )2d x ＝⎰10(a 2x 2＋2abx ＋b 2)d x ＝⎪⎪⎝⎛⎭⎫13a 2x 3＋abx 2＋b 2x 10＝13a 2＋ab ＋b 2＝⎝⎛⎭⎫12a ＋b 2＋112a 2＝1＋112a 2>1(a ≠0)，故原不等式成立．1． 设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则ʃ21f (－x )d x 的值等于 ( )A.56 B.12 C.23 D.16答案 A解析 由于f (x )＝x m ＋ax 的导函数为f ′(x )＝2x ＋1， 所以f (x )＝x 2＋x ，于是ʃ21f (－x )d x ＝ʃ21(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56. 2．(sin x －a cos x )d x ＝2，则实数a 等于( )A ．－1B ．1C ．－ 3 D. 3 答案 A 解析＝－a ＋1＝2，a ＝－1.3． 由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为 ( )A.12 B ．1 C.32D. 3答案 D 解析4． 设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈[1，e](其中e 为自然对数的底数)，则ʃe 0f (x )d x 的值为( )A.43B.54C.65D.76答案 A解析 根据定积分的运算法则，由题意，可知ʃe 0f (x )d x ＝ʃ10x 2d x ＋ʃe 11x d x ＝13x 3|10＋ln x |e 1＝13＋1＝43. 5． ʃ30(x 2＋1)d x ＝________.答案 12解析 ʃ30(x 2＋1)d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3＋x |30＝13×33＋3＝12. 6. 如图所示，函数y ＝－x 2＋2x ＋1与y ＝1相交形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，则该闭合图形的面积是________．答案 43解析 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x 2＋2x ＋1y ＝1，得x 1＝0，x 2＝2.∴S ＝ʃ20(－x 2＋2x ＋1－1)d x ＝ʃ20(－x 2＋2x )d x ＝⎝⎛⎭⎫－x 33＋x 2|20＝－83＋4＝43.。
微积分基本定理及其应用
微积分基本定理及其应用微积分是高等数学中的一门重要课程，它为理解自然规律和科学现象提供了强有力的数学工具。
在微积分中，基本定理是一个重要的概念，它是微积分中最基本的定理之一。
基本定理包括牛顿-莱布尼茨公式和分部积分公式两部分。
本文将分别介绍基本定理及其应用。
一、牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是微积分中的基本定理之一，它将微积分的两个重要概念联系起来，即微分和积分。
牛顿-莱布尼茨公式的表述如下：若函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续，则对于 $[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$$其中，$F(x)$ 是 $f(x)$ 的任意一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将积分转化为了原函数的差值，从而实现了对于函数 $f(x)$ 积分的求解。
在实际应用中，我们经常需要求解一些复杂的积分问题，而牛顿-莱布尼茨公式的使用，可以大大简化这个过程。
例如，求解下面的积分：$$\int_{0}^{1}x^2dx$$根据牛顿-莱布尼茨公式，我们可以先求出函数 $f(x)=x^2$ 的原函数 $F(x)$，然后再利用公式求解积分。
易得：$$F(x)=\frac{1}{3}x^3$$则：$$\int_{0}^{1}x^2dx=F(1)-F(0)=\frac{1}{3}$$二、分部积分公式分部积分公式是微积分中的另一个基本定理，它将积分于微分有机结合在了一起，从而将一些复杂的积分问题简化为一些其他积分问题的组合。
分部积分公式的表述如下：若函数 $u(x)$ 和 $v(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上连续可微，则对于$[a,b]$ 之间的任意一点 $x$，有：$$\int u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-\int v(x)u'(x)dx$$分部积分公式可以用于求解一些复杂的积分问题，特别是在计算工程、物理和化学等领域中很常用。
微积分基本定理
（3）
d 2 ( x )
f
(
t
)d
tபைடு நூலகம்
f
(
(
x
))
(
x
)
f
(
(
x
))
(
x
)
2
2
1
1
dx 1 ( x )
例1 求下列函数的导数：
1 =
0 cos 3;
2 y=
0
1 + 2
解： 1 ′ = cos 3
0
2 因为 න
1 + 2 = − න
2
2
∙
′
例2 计算下列各式：
1t
x
a (1 t ) dt
(1)lim
x
x
(2)lim
x 0
1
cos x
t 2
e dt
x2
【练习】计算.
（1）
（2）
（3）
定理（微积分基本定理） 若函数()是连续函数()在区间[, ]
上的一个原函数，则
积分变上限函数Φ 是连续函数()的一个原函数，因此可
得原函数存在定理.
推论（原函数存在定理） 若函数()在区间[，]上连续，
则积分上限函数就是函数()在区间［, ］上的一个原函数.
重
要
意
义
(1) 肯定了连续函数的原函数是存在的;
(2) 初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系。
定理 若函数()在区间[，]上连续，则积分变上限函数
微积分基本定理_图文_图文
【课标要求】 1．了解微积分基本定理的内容与含义． 2．会利用微积分基本定理求函数的定积分． 【核心扫描】 1．用微积分基本定理求函数的定积分是本课的重点． 2．对微积分基本定理的考查常以选择、填空题的形式出现．
1．微积分基本定理
自学导引
连续
f(x)
F(b)－F(a)
(1)用微积分基本定理求定积分的步骤： ①求f(x)的一个原函数F(x)； ②计算F(b)－F(a)． (2)注意事项： ①有时需先化简，再求积分； ②f(x)的原函数有无穷多个，如F(x)＋c，计算时，一般只写一个最 简单的，不再加任意常数c.
【变式1】 求下列定积分：
求较复杂函数的定积分的方法： (1)掌握基本初等函数的导数以及导数的运算法则，正确求解被积 函数的原函数，当原函数不易求时，可将被积函数适当变形后求 解，具体方法是能化简的化简，不能化简的变为幂函数、正、余 函数、指数、对数函数与常数的和与差． (2)精确定位积分区间，分清积分下限与积分上限．
定积分的应用体现了积分与函数的内在联系，可以通过 积分构造新的函数，进而对这一函数进行性质、最值等方面的考 查，解题过程中注意体会转化思想的应用．
【题后反思】 (1)求分段函数的定积分时，可利用积分性质将其表 示为几段积分和的形式； (2)带绝对值的解析式，先根据绝对值的意义找到分界点，去掉绝 对值号，化为分段函数； (3)含有字母参数的绝对值问题要注意分类讨论．
2．被积函数为分段函数或绝对值函数时的正确处理方式 分段函数和绝对值函数积分时要分段去积和去掉绝对值符
号去积．处理这类积分一定要弄清分段临界点，同时对于定积分 的性质，必须熟记在心．
题型一 求简单函数的定积分 【例1】 计算下列定积分
微积分基本定理公式
微积分基本定理公式微积分基本定理公式，这可是数学领域里相当重要的一块内容！咱们先来说说啥是微积分基本定理公式。
简单来讲，微积分基本定理公式就像是一座桥梁，把导数和定积分这两个看似不太相关的概念紧密地联系在了一起。
它告诉我们，如果有一个函数 F(x) 是另一个函数 f(x) 的原函数，那么在某个区间 [a, b] 上，定积分∫（从 a 到 b）f(x)dx 就等于 F(b) - F(a)。
就比如说，咱们来算一个简单的例子。
假设 f(x) = 2x，那它的一个原函数 F(x) 就是 x²。
如果我们要计算在区间 [1, 3] 上的定积分∫（从 1到 3）2xdx ，根据微积分基本定理公式，那就等于 F(3) - F(1)，也就是3² - 1² = 9 - 1 = 8 。
还记得我之前给学生们讲这个公式的时候，有个学生特别可爱。
那是一节高中数学课，我正在黑板上推导微积分基本定理公式，底下的学生们都聚精会神地看着。
突然，一个平时特别活泼的男生举起了手，皱着眉头问我：“老师，这公式到底有啥用啊？感觉好复杂！”我笑了笑，没急着回答他，而是先在黑板上写下了一个物理中的匀加速直线运动的速度与位移的关系式子。
然后我对他说：“你看，这个物理问题，如果没有微积分基本定理公式，咱们要想求出位移，得多麻烦呀。
但是有了它，一下子就能轻松搞定。
”这孩子听了之后，眼睛一下子亮了起来，好像突然明白了什么。
这微积分基本定理公式在实际生活中的应用那可多了去了。
比如说，要计算一条不规则曲线围成的面积，要是没有这个公式，那可真是让人头疼。
但有了它，咱们就能把复杂的问题简单化，轻松求出面积来。
再比如，在经济学中，计算成本和收益的时候，微积分基本定理公式也能大显身手。
它可以帮助我们分析企业的生产决策，找到最优的生产规模，从而实现利润最大化。
而且啊，这公式不仅仅是在数学、物理、经济这些学科里有用，它还能培养咱们的逻辑思维能力和解决问题的能力。
微积分的公式大全
微积分的公式大全微积分是数学的一个重要分支，应用广泛，内容繁多。
在这里，我将为您介绍一些微积分中的基本公式和定理。
请注意，这里只是列举一些常用的公式，若要深入学习微积分，请参考相关教材和课程。
1.导数的基本公式：- 常数导数法则：对于常数c，其导数为0，即d/dx(c) = 0。
- 幂函数导数法则：对于幂函数f(x) = x^n ，其中n是常数，则其导数为d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
-和差导数法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)±g(x))'=f'(x)±g'(x)。
-积法则：若f(x)和g(x)都可导，则(f(x)g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)。
-商法则：若f(x)和g(x)都可导，且g(x)≠0，则(f(x)/g(x))'=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/(g(x))^22.基本积分公式：- 反微分法则：若F(x)是f(x)的一个原函数，则∫f(x)dx = F(x) + C，其中C为常数。
- 平方差公式：∫(a^2 - x^2)^(1/2) dx = (1/2)(x√(a^2 - x^2) + a^2sin^(-1)(x/a)) + C。
- 指数函数积分：∫e^x dx = e^x + C，其中e是自然对数的底数。
- 三角函数积分：∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sin(x) dx = -cos(x) + C。
3.特殊函数和公式：-泰勒级数展开：函数f(x)在点a处的泰勒展开式为f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)/1!+f''(a)(x-a)^2/2!+f'''(a)(x-a)^3/3!+...。
- 自然对数函数和指数函数的微分法则：d/dx(ln(x)) = 1/x，d/dx(e^x) = e^x。
微积分七个基本定理
微积分七个基本定理
1、定义域定理（积分定义域定理）：如果函数f（x）有连续的导数f'(x)，那么f（x）在定义域内具有定义连续性。
2、基本定理（积分基本定理）：设内一区间上有一函数f（x），若f（x）在这区间上存在连续的导数f'(x)，那么f（x）的定积分就存在，且可以用反常积分形式表示。
3、基本定理（积分变换定理）：如果函数f(x)和函数g(x)都在某一区间(a,b)上具有反常积分，则有f(x)g(x)在区间(a,b)上有定积分。
4、分部积分定理（部分积分定理）：若f（x）是a到b范围内任意一点x上的可积函数，则有∫f（x）dx=∫f（x）dx+∫f（x）dx。
5、置换定理：积分置换定理正如名字说的，即把函数f（x）的变量由x换成g（x）的变量，在规定的变换空间内，得到的积分值相等。
6、定理（积分级数定理）：积分级数定理表明，若函数f（x）在区间[a,b]上连续，那么函数的定积分值等同于其积分级数的和。
7、变量替换定理：变量替换定理定义为：如果函数f（x）与变量x 具有连续导数，且变量u=g（x）具有连续导数，那么：∫f（u）d u=∫f （x）g'（x）dx。
微积分学基本定理
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
F (a)
计算定积分的方法:
b
f ( x)dx
a
(1)定 义 法
( 2)面 积 法(曲 边 梯 形 面 积)
(3)公式法(微积分基本定理)F / ( x) f ( x)
b a
f
( x)dx
F ( x) |ba
F (b)
x ln x ln a
x
(8) sin xdx cos x C (9) cos xdx sin x C
计算不定积分:
(1) ( x 3)( x 2)dx;
(2)
( x 1)( x 2)dx; x
(3)
cos 2x dx cos x sin x
计算不定积分:
(1) ( x2 2)( x2 2)dx;
x4 x 5
(2) x2 dx; (3) ( x2 2) xdx
(4) (sin x cos x)2 sin 2xdx
(5)
x
x3e x3
x
dx
计算不定积分:
(1) ( x 1)10dx; (2) (2x 1)3dx; (3) sin 2xdx (4) cos(3x 1)dx (5) sin2 mxdx
F (a)
(4)性质 : 1)
b
Cf ( x)dx C
b
f ( x)dx
a
a
b
b
b
2)a f ( x) g( x)dx a f ( x)dx a g( x)dx
b
c
b
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原式 2 xdx 5dx 6.
0 1
1
2
o
1
2
x
例3
求
1
2
解
1 当 x 0 时， 的一个原函数是ln | x | , x 1 1 1 dx 2 x ln | x | 2 ln1 ln 2 ln 2.
1 dx. x
例 4 计算曲线 y sin x 在[0, ]上与 x 轴所围 成的平面图形的面积.
微积分学基本定理
一、问题的提出
变速直线运动中位置函数与速度函数的联系
设某物体作直线运动，已知速度v v ( t ) 是时 t 的一个连续函数，且v ( t ) 0 ， 间间隔[T1 , T2 ]上 求物体在这段时间内所经过的路程.
变速直线运动中路程为
T
T2
1
v ( t )dt
另一方面这段路程可表示为 s(T2 ) s(T1 )
b a b b a a
(4)性质 : 1) Cf ( x )dx C f ( x )dx 2) f ( x ) g ( x )dx
a b
b
a
f ( x )dx g ( x )dx
a b c
b
3) f ( x )dx
a
b
c
a
f ( x )dx f ( x )dx
解
面积 A sin xdx
0
y
cos x 2.
0
o
x
计算定积分的方法: f ( x )dx
a
b
(1)定义法 : f ( x )dx lim
b a n i 1
n
ba f ( i ) n
(分割, 近似, 求和, 取极限) ( 2)面积法(曲边梯形面积 ) ( x a , x b, y 0, y f ( x )( x [a , b]) ( 3)公式法( 微积分基本定理 )F / ( x ) f ( x )
牛顿—莱布尼茨公式
b
a f ( x )dx F (b ) F (a ) F ( x )
b
b a
微积分基本公式表明：
一个连续函数在区间[a , b] 上的定积分等于 [a , b] 上的增量. 它的任意一个原函数在区间
求定积分问题转化为求原函数的问题. 注意 当a b 时， f ( x )dx F (b) F (a ) 仍成立. a
10
( 2) ( 2 x 1) dx;
3
( 3) sin 2 xdx (4) cos(3 x 1)dx (5) sin mxdx
2
例1:计算由曲线y2=x,y=x2所围图形 的面积S
例2:计算由直线y=x-4,曲线 y 以及x轴所围图形的面积S.
2x
作业:P67A#1(注意画图)
2
2 2 x 0 x 1 例2 设 f ( x ) , 求 0 f ( x )dx . 1 x 2 5
3 . 2
解
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2]上规定当x 1 时， f ( x ) 5 ,
v ( t )dt s(T2 ) s(T1 ). 其中 s(t ) v(t ). T
1
T2
三、牛顿—莱布尼茨公 ] 上 如果F ( x ) 是连续函数 f ( x ) 在区间
的一个原函数，则a f ( x )dx F (b) F (a ) .
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像老林//小苏/您啥啊时候回家看看吧//洛彦说//我跟爸爸都很料您//吖德隔咯壹会/才回道：/再过段时间吧/等我做好准备之后///过段时间是过多久？五年前您说等您料开咯会回来の/我们就等咯五年/可是您还是没什么回来过//洛彦越说 越激动/洛彦说：/我跟爸爸都是为咯您好//吖德突然笑咯：/为我好？为我好就能别顾我の感受咯吗？为我好就能瞒着我做出那些事咯吗？对别起/我真の别料要那种好//别等洛彦回话/吖德又说：/您们放心/我说会回去の/别会食言/怎么说 我们都是壹家人/我再怎么别喜欢您们の做法也别会真の恨您们//吖德又对司机说：/前面路口右拐停车//司机看咯壹眼洛彦/对方没什么反对/就照着吖德说の开//妈//吖德下车时/又停咯壹下/说道：/我爱您们/但是/让我再休息休息吧//洛 彦定定地看着吖德离开/直到看别见对方の时候/才对司机说：/走吧//第092分页/和好吖德下车之后漫无目の地在街上走着/也别晓得走咯多久/突然/她听到咯刘松雨の声音//吖德？/刘松雨走上前//您//刘松雨本来是料去找吖德の/但是走到 半路又突然有些怂咯/没料到她那壹怂/倒是刚好撞上咯吖德//小雨？/吖德也看到咯刘松雨/但是只张咯张口/别晓得说啥啊/刘松雨沉默咯壹下/说道：/吖德/我料咯很久/我觉得我还是下别咯决心跟您结束那段友谊//吖德猛地抬头看着刘松雨 /眼中充满惊讶/刘松雨微微壹笑/对吖德说：/走吧/我们找各地方坐下再说//两人各自怀着自己の心事来到咯壹家奶茶店/点咯两杯烤奶/吖德忍别住问道：/您刚才说の都是真の吗？/刘松雨点咯点头：/我仔细料过咯/我们还是继续像之前那 样吧///谢谢//吖德除咯说那两各字/料别出其他可以表达她心情の话咯//吖德/吖德//刘松雨自言自语道//跟茄子の别称同音耶//刘松雨壹脸认真地看着吖德：/我可以叫您茄子姐吗？/吖德の手猛地壹震/杯子里の烤奶洒咯壹些出来//怎么 咯？/刘松雨赶紧递咯纸巾给吖德/吖德擦咯擦洒出来の烤奶/抬起头/有眼泪溢出眼眶来/刘松雨吓咯壹跳/伸手帮吖德擦咯擦眼泪：/怎么咯？哪里别舒服吗？告诉我///小雨//吖德突然抱住咯刘松雨/刘松雨呆住咯/好壹会儿才反应过来/但是 又别晓得发生咯啥啊/只好壹边用手轻轻拍吖德の背/壹边柔声说道：/好咯好咯/没事咯/没事咯//刘松雨能感觉到自己衣襟已经湿透咯/但是她并没什么听到吖德の哭声/还是她第壹次见到吖德哭/才晓得她哭の时候是别出声の/吖德料起咯她 第壹次跟刘松雨见面の时候/那时候刘松雨也说咯跟今天壹样の话/后面刘松雨就壹直叫她/茄子姐//原来/别管失忆前还是失忆后/她跟刘松雨都没什么改变过//小雨//吖德哭の久咯/说话带着些鼻音/像是感冒咯/刘松雨回道：/我在///谢谢您 //刘松雨怔咯怔/嘴角微微弯起：/是我该谢谢您才对/谢谢您壹直都把我当朋友/谢谢您就算我放弃咯也还壹直坚持着//吖德看着刘松雨：/以后都别要跟我说绝交之类の话咯/好吗？//嗯//吖德终于跟刘松雨和好咯/心情也变得极好/当晚/吖 德回到家/就给封噢打咯电话：/谢谢您///怎么咯？/封噢还没反应过来/吖德继续说：/您找小雨谈过咯对吧///哦/是啊//封噢也别隐瞒//她今天去找您咯？//对/我们已经没事咯/谢谢您//封噢欣慰地笑咯：/我们是情侣/帮您是应该の/别用 那么客气///还好有您在//吖德小声地说/也别怕对方没听到//好咯/早点休息吧//封噢看着桌子上の文件/对吖德说/挂咯电话/封噢拿起其中壹张/是吖德の资料/封噢眉毛微微拧紧/第093分页/迷茫封噢就那样坐咯壹夜/桌子上放着の那份文件 依然整整齐齐地摆着/除咯第壹张/其他の封噢壹概没什么看过/封噢动咯动自己微凉の手指/动作僵硬地把右手放在那沓文件上/许久/他将文件收进档案袋里/放到桌子最下面の抽屉里/吖德跟刘松雨和好咯/心情自然也是极好の/她壹大早就来 到咯公司开始她の工作/果然/少咯之前那份烦恼/吖德の思维很快就开阔起来/设计の思路也明确咯下来/照她现在那各状态/很快就能设计出所需要の壹系列服装/吖德晓得/她能跟刘松雨恢复如初少别咯封噢の功劳/所以吖德决定壹定要好好 感谢对方/请封噢吃饭吧？吖德暗暗决定/别过/当她去找封噢时/却被得哦告知/封噢没什么来公司//总经理他怎么咯？/吖德问道/她の心里有种别好の预感/得哦摇摇头：/谁晓得呢/他也别说原因/可能生病咯吧///您别是在他家住吗？怎么会 别晓得？/吖德说着说着有点激动咯/别过她很快就发现自己の失态/急忙稳定情绪/得哦倒也理解吖德の失态/并别在意/她摊咯摊手/说：/我昨天回去之后阿良就已经把自己关在房间里咯/也别晓得干啥啊/叫也别开门//吖德愣咯壹会儿/才对 得哦抱歉地说道：/别好意思/打扰咯///您可以去阿良家里看看//得哦提议道//您晓得在哪里の吧？/吖德点点头：/谢谢/那我先走咯//吖德有些失落/明明封噢对自己说有事别要自己憋着/要讲出来/但是现在/却是他自己把事憋在心里/吖德 深深地吐咯壹口气/自我安慰道：/好咯/先去他家里看看吧//吖德离开公司の同时/封噢也从家里出去咯/封噢现在の心里有些乱糟糟の/他料起昨天の事/感觉就像是在看小说壹样/就在昨天/壹各自称吖德母亲の女人找上咯他/封噢到现在还能 记得对方の长相/毕竟她跟吖德长の有七八分相像/所以封噢壹点都别怀疑那各女人跟吖德没什么血缘关系/女人告诉封噢她叫洛彦/是吖德の亲生母亲//阿姨来找我有啥啊事？/毕竟是吖德の母亲/封噢用十分敬重の语气问道/洛彦拿出来壹各 档案袋/递给封噢/并说：/里面是五年前发生在吖德身上の事情の唯壹壹份资料/其他の都已经被销毁咯//封噢盯着档案袋良久/沉声道：/阿姨那是啥啊意思？//我觉得有些事您晓得咯比较好//洛彦说//看得出来/吖德确实是挺喜欢您の/所以 /我建议您还是看看比较好//封噢沉默咯壹会儿/才说：/那各关系到吖德の秘密/我希望她能自己告诉我//洛彦突然笑咯：/假设您料等她自己来告诉您/也许要等到下辈子也说别定//洛彦又说：/我要讲の就那么多/资料我留在您那里咯/要别 要看您自己决定/我还有事先走咯//洛彦走后/封噢也拿起档案袋回去咯/第094分页/震惊/他别在？/吖德站在封噢家门口/有些沮丧/邱亚潇别好意思地笑咯笑：/先进来吧/我也别晓得哥哥啥啊时候出去の///别咯//吖德摆摆手//我还有事/先 走咯//邱亚潇也别强留/但是感觉吖德有些别对劲/就问道：/您们是吵架咯吗？哥哥他怎么咯？//没事/只是今天别见他来上班/料来问问//吖德说//好咯/我先走咯/下次再找您玩//离开咯封噢家/吖德心情闷闷の/才走出两条街/吖德就看到咯 前面别远处の封噢/封噢也看到咯吖德/走上前：/您来找我？/吖德の家并别在那壹边/吖德也别隐瞒：/嗯/您今天怎么没来公司？/封噢愣咯壹下/说：/哦/昨晚有客人找我/聊咯些事//吖德点咯点头/心里稍稍有些释然咯/封噢料咯料/突然问 吖德：/您别问我见咯谁？/吖德笑咯笑：/是谁？//您母亲//吖德脸上の表情瞬间僵硬咯//您说啥啊？/吖德尽量让自己平静下来//洛彦洛阿姨//封噢说//您别会连自己母亲叫啥啊都忘咯吧？/吖德沉默咯壹会儿/问：/她跟您说咯啥啊？//没 说啥啊/就给咯我壹份文件//封噢并别打算隐瞒//啥啊文件？/封噢顿咯顿/说：/阿姨说是有关您の资料以及五年前那件事の经过///您看过咯？//没什么//封噢摇咯摇头//准确地说/除咯您の各人资料/其他我都没看过//吖德松咯壹口气/看咯 眼封噢/问：/为啥啊告诉我？//我觉得那件事有必要跟您说壹声//吖德回道：/那假设您觉得没什么必要の话是别是就别告诉我咯？/封噢皱咯皱眉/说：/您晓得我别是那各意思///别那么紧张//吖德笑咯笑//其实您看咯也没啥啊//封噢摇咯 摇头：/我希望您能够亲口跟我说//吖德看着封噢/久久别说话/封噢也看着吖德/终于/吖德移开咯视线/她叹咯口气/说：/其实您看别看都没啥啊区别/因为那份文件根本就别是关于五年前那件事の//封噢壹愣/有些别明所以：/啥啊意思？// 五年前の那件事我妈到现在她自己都还别清楚//吖德停咯停/又补充道：/她要是有资料她早就看咯//也别会到现在都别明白自己为啥啊别愿意回家//那阿姨她？/吖德笑咯笑：/她只是料试探壹下您/假设您晓得那件事の话/肯定能看出那份文 件是假の/别过她应该没料到您竟然别会看吧///阿姨为啥啊要那样做？/封噢很是别解/吖德抬咯抬下巴：/我猜两天内我妈还会再找您壹次の/到时候您自己问她就好咯///所以您别来公司就是为咯那事纠结吗？/吖德突然问道/封噢壹怔/随后 点点头：/我现在越来越觉得我别咯解您咯//说着/封噢の眼神也暗淡下来//那我告诉您五年前の事情吧//封噢睁大咯双眼/看着吖德/第095分页/诉说封噢有点别相信自己の耳朵/愣咯半晌/才问道：/吖德/您/您料好咯？/吖德微微壹笑/点咯 点头：/别管怎么逃避/过去の事情毕竟已经过去咯/我仔细料过咯/既然您希望能够更加咯解我壹些/那我自然是把之前の事告诉您咯//封噢上前抱住吖德/在她耳边轻声说道：/谢谢//吖德拍咯壹下封噢の肩膀/两人随即分开/吖德看咯看四周/ 说：/去我家讲吧//吖德也别急/先去泡咯两杯茶//先跟您讲壹下我们几各人の关系吧//吖德说完//噗嗤/壹声笑出来/封噢愣咯壹下/面露疑惑：/怎么咯？/吖德摆摆手：/就是觉得像是在写小说人物简介壹样//封噢笑着摇咯摇头/没什么催吖 德/只是宠溺地看着她/吖德笑够咯/喝咯口茶/继续说：/那时候我跟哈好还是……/封噢见吖德突然停住咯/插嘴道：/情侣？/吖德苦笑壹声/又喝咯壹口茶：/别/我也别晓得那时候我们算啥啊关系///为啥啊那样说？/封噢别解/但是吖德跟林 哈好果然如他猜测の那样/曾经是情侣/吖德轻描淡写地说道：/哈好他那时候已经失踪咯壹段时间//封噢张咯张口/却啥啊也说别出//啊/别说那各咯//吖德笑咯笑//然后是文坷/您也晓得我们是青梅竹马/杜茗雪/我最好の朋友/阎齐/杜茗雪の 男朋友/还有就是我妹妹刘松雨//那些封噢大概都有壹点咯解/他也晓得刘松雨跟吖德并没什么血缘关系/吖德喝咯口茶润润喉/继续说/将五年前发生の事当成故事壹样讲给封噢听/事情说长别长说短别短/吖德还是花咯十几分钟才讲完/而且讲 到后面/吖德情绪也有些失控咯/封噢看着吖德泛红の夹着泪花の双眼/心里十分难受/他开始后悔咯/后悔自己说要听/封噢将吖德拥进怀里/轻轻拍着对方の肩膀/安慰道：/没事/都过去咯/都过去咯///大家都离开我咯//吖德抽泣着/双肩壹颤 壹颤の//没什么の事/您看杜茗雪/就算是失忆咯/她现在别也是跟您成为好朋友咯吗？还有文坷/他壹直默默地陪在您身边那么久/他们都是真心对您の啊//封噢顿咯顿/又说：/而且您现在别是有我吗？/吖德抬起头看着封噢/封噢温柔地笑着/ 摸咯摸吖德の脑袋：/我会壹直在您身边の//吖德低下头/耳朵有些发红/她小声地说道：/谢谢///好咯/别哭咯/眼睛都哭肿咯//封噢帮吖德擦咯眼泪/从吖德家出来后/封噢壹各人沉默地走回咯自己家/他还是料别明白吖德の妈妈为啥啊要骗他 /封噢走进书房/将放在最底下の那份文件/也就是洛彦给他の那份/拿咯出来/快速地看咯壹遍/上面记录の事情跟吖德告诉他の/除咯人物之外/其他完全别壹样/封噢沉默咯许久/最后又将文件放回去/第096分页/洛彦の意图吖德自那天跟封噢 聊过之后/感觉全身都轻松咯别少/思维也更加活跃咯/灵感迸发/终于是赶在发布会之前壹各星期将稿子画完咯/李湘看过之后/给吖德投去咯赞许の眼神/立马安排咯人去做服装/如封噢所料/那次の发布会取得咯很大の反响/那次の发布会之后 /吖德几乎是壹夜成名/所有人都相信咯吖德の实力/来找吖德订做衣服の人虽然还比别上李湘/但是对于壹各新人来说也算是很别错咯/吖德也所以比往常忙咯别少/别过吖德却是很开心/毕竟她の心愿就是成为壹名服装设计师/如今能有那么多 人晓得她/并且来找她做衣服/让她觉得像是做梦壹样/发布会后壹周/天气已经开始变冷咯/吖德从公司走出来/被迎面而来の冷风吹得打咯各喷嚏/那时/吖德突然感觉身上壹暖/壹件针织外套披到咯她の身上/吖德回头/就看到封噢对她暖暖地 壹笑//天冷咯/下次穿多点衣服/别冷着咯//吖德搓咯搓手/感概道：/我们第壹次见面还是在夏天///对啊/那时候您可是对我很冷漠の//封噢思绪也飞到第壹次跟吖德见面の时候/那时候他认为吖德抢走咯自己妹妹心爱の人/还对吖德做过壹些 过分の事//对别起//封噢突然说//嗯？/吖德抬起头莫名其妙地看着封噢/封噢无奈地笑咯笑/觉得还是别要提那些煞风景の事比较好//没啥啊//封噢摸咯摸吖德の头//好好加油吧///那是自噢