云南省三校生考试复习题(数学)2
云南三校2024届高三高考备考实用性联考卷(六)数学试题含答案
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（六）数学（答案在最后）注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}13A x x =≤<，{}0,1,2,3,4B =，则()RA B ⋂=ð（）A.{}0,1,3,4 B.{}0,3,4 C.{}0,4 D.{}0,1,4【答案】B 【解析】【分析】根据补集和交集求出答案.【详解】{R 1A x x =<ð或}3x ≥，故(){}R 0,3,4A B = ð.故选：B.2.已知复数z 满足(1)i 1i z -=+，则z =（）A.2i-- B.2i-+ C.2i- D.2i+【答案】D 【解析】【分析】应用复数除法及加法运算求z ，结合共轭复数的定义写出其共轭复数.【详解】由题意知：1i12i iz +=+=-，则2i z =+.故选：D3.已知角α的终边经过点115,44P ⎛- ⎪⎝⎭，则22cos sin 2αα+=（）A.54- B.54C.54+ D.54-【答案】A【解析】【分析】根据三角函数定义求出正弦和余弦，结合半角公式求出答案.【详解】由三角函数定义得1sin cos 4αα==所以2152cos sin 1cos sin 12444αααα+=++=-+=.故选：A.4.已知数列{}n a 的通项公式为2217n n a n -=-，前n 项和为n S ，则n S 取最小值时n 的值为（）A.6B.7C.8D.9【答案】C 【解析】【分析】由已知可推得当38n ≤≤时，0n a <.又90a >，即可得出答案.【详解】解20217n n a n -=≥-可得，2n ≤或172n >()*n ∈N ，即2n ≤或9n ≥.所以，当38n ≤≤时，0n a <.又992702917a -==>⨯-，所以，当8n =时，n S 取最小值.故选：C.5.将函数()π2sin 26f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移π6个单位后得到()g x 的图象，则ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，()g x 的值域为（）A.[]22-,B.[]1,2- C.[]2,1- D.[]1,1-【答案】C 【解析】【分析】先利用三角函数的图象变换求出()g x ，再利用整体法求解函数值域即可.【详解】由题意得πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，所以当ππ,66x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，πππ2,626x ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦，[]π2sin 22,16x ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭.故选：C6.随着社会的发展，人与人的交流变得广泛，信息的拾取、传输和处理变得频繁，这对信息技术的要求越来越高，无线电波的技术也越来越成熟.其中电磁波在空间中自由传播时能量损耗满足传输公式：32.4420lg 20lg L D F =++，其中D 为传输距离，单位是km ，F 为载波频率，单位是MHz ，L 为传输损耗（亦称衰减），单位为dB.若传输距离增加到原来的2倍，传输损耗增加了18dB ，则载波频率约增加到原来的（参考数据：lg 20.3≈）（）A.1倍B.2倍C.3倍D.4倍【答案】D 【解析】【分析】设出变化后的相关量，根据已知等式结合对数运算，列出等式化简，即可得答案.【详解】设L '是变化后的传输损耗，F '是变化后的载波频率，D ¢是变化后的传输距离，则18L L '=+，2D D '=，1820lg 20lg 20lg 20lg 20lg 20lg D F L L D F D F D F'''''=-=+--=+，则20lg1820lg 212F F '=-≈，即12lg 0.62lg 2lg 420F F ≈='=≈，从而4F F '≈，即载波频率约增加到原来的4倍，故选：D.7.已知1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，M ，N 是椭圆C 上两点，且1123MF F N = ，20MF MN ⋅=，则椭圆C 的离心率为（）A.53B.175C.23D.135【答案】B 【解析】【分析】设1||2NF n =，结合椭圆定义得2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF 中由勾股定理得215an =，再结合12Rt MF F △求解.【详解】连接2NF ，设1||2NF n =，则1||3MF n =，2||23MF a n =-，2||22NF a n =-，在2Rt MNF 中，22222||||||MN MF NF +=，即222(5)(23)(22)n a n a n +-=-，所以215a n =，所以12||5a MF =，28||5a MF =，在12Rt MF F △中，2221212||||||MF MF F F +=，即222517c a =，所以5e =.故选:B.8.如图所示的三棱锥S ABC -中，SC BC ⊥，SC AC ⊥，BC AB ⊥，AB SB ⊥，且10AB BC ⋅=，SC =则其外接球表面积的最小值为（）A.25πB.20πC.125π6D.65π3【答案】A 【解析】【分析】利用线面垂直的判定定理，将三棱锥S ABC -放入长方体中，再利用基本不等式即可求其外接球表面积的最小值.【详解】因为SC BC ⊥，SC AC ⊥，且BC AC C ⋂=，,BC AC ⊂平面ABC ，所以SC ⊥平面ABC ，又因为BC AB ⊥，AB SB ⊥，且BC SB B = ，,BC SB ⊂平面SBC ，所以AB ⊥平面SBC ，所以可以将三棱锥S ABC -放入一个长方体ABFE DCSG -中，该长方体以AB SC BC ，，为长，宽，高，如图所示，则长方体ABFE DCSG -的外接球就是三棱锥S ABC -的外接球，设所求外接球的半径为R ，因为10AB BC ⋅=，所以22220AB BC AB BC +≥⋅=，当且仅当AB BC ==时等号成立，所以22220525AB BC SC ++≥+=，即()2225R ≥，解得52R ≥，所以该长方体外接球表面积的最小值为2254π4π25π2R ⎛⎫=⨯= ⎪⎝⎭，所以三棱锥S ABC -的外接球表面积的最小值为25π，故选：A二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.已知函数()12f x x x=-，则（）A.()f x 为奇函数B.()f x 在定义域内单调递增C.()f x 有2个零点D.()f x【答案】AC 【解析】【分析】根据题意，利用函数的奇偶性，导数与函数的单调性的关系，以及零点的求法，逐项判定，即可求解.【详解】对于A 中，由函数()12f x x x=-，可得定义域为(,0)(0,)-∞+∞ 关于原点对称，又由()()11()22f x x x f x x x-=-+=--=-，所以函数()f x 为奇函数，所以A 正确；对于B 中，由()21102f x x'=+>，所以()f x 为单调递增函数，所以函数()f x 在(,0)-∞，(0,)+∞单调递增，所以B 错误；对于C 中，令()0f x =，即102x x -=，解得2x =±，所以C 正确；对于D 中，例如：当12x =时，111()1222f =-=-<，所以D 不正确.故选：AC.10.已知圆M ：()2214x y ++=和圆N ：22430x y x +-+=相交于A ，B 两点，下列结论正确的是（）A.直线AB 的方程为22y x =-+ B.若点P 为圆N 上的一个动点，则点P 到直线AB 的距离的最大值为515+ C.线段AB 的长为455D.直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线【答案】BCD 【解析】【分析】A 选项，两圆作差求出相交弦方程；B 选项，求出圆心(20)N ，到直线AB 的距离，从而得到点P 到直线AB 的距离的最大值；C 选项，根据垂径定理求出弦长；D 选项，利用圆心到直线的距离等于半径得到直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线.【详解】A 选项，两圆方程作差得4260x y +-=，即23y x =-+，所以两圆公共弦AB 所在直线方程为23y x =-+，A 错误；B 选项，圆M 的圆心为()0,1M -，半径12r =，圆22430N x y x -++=：，即22(2)1x y -+=的圆心为()2,0N ，半径21r =；圆心()2,0N 到直线AB 的距离55d ==，半径21r =，所以点P 到直线AB 的距离的最大值为15+，B 正确；C 选项，5AB ==，C 正确；D 选项，圆心()0,1M -到直线43130x y --=的距离112d r ===，圆心(20)N ，到直线43130x y --=的距离221d r ===，所以直线43130x y --=是圆M 与圆N 的一条公切线，D 正确.故选：BCD.11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，下列结论正确的是（）A.若P 在棱AB 上运动，则直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒B.若P 在棱AB 上运动，则三棱锥11C D PC -的体积为16C.若P 在底面ABCD 内（包含边界）运动，且满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为πD.若P 在ABC 内（包含边界）运动，则直线1D P 与平面ABCD 所成角的正弦值的取值范围为,33⎣⎦【答案】ABD 【解析】【分析】证明1A D ⊥平面11ABC D ，再根据线面垂直的性质即可判断A ；根据1111C D PC P D C C V V --=即可判断B ；易得动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，即可判断C ；1DD ⊥平面ABCD ，可得1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，再进行分析即可判断D .【详解】对于A ，连接11,AD A D ，则11A D AD AB ⊥⊥，平面11ADD A ，又1A D ⊂平面11ADD A ，1A D AB ∴⊥，又1AB AD A = ，AB ⊂平面11ABC D ，1AD ⊂平面11ABC D ，1A D ∴⊥平面11ABC D ，又1D P ⊂平面11ABC D ，11A D D P ⊥∴，所以直线1A D 与直线1D P 所成的夹角一定为90︒，故A 正确；对于B ，连接PC ，1PC ，1D C ，则三棱锥11C D PC -的体积等于三棱锥11P CC D -的体积，//AB 平面11CDD C ，∴点P 到平面11CDD C 的距离BC =，为定值1，即三棱锥11P CC D -的高为1，底面三角形11CD C 的面积为12，1111111111326C D PC P D C C V V --==⨯⨯⨯⨯=∴，故B正确；对于C ，因为P 满足1DP =，则动点P 的轨迹的长度为以D 为圆心，1为半径的圆的周长的四分之一，所以P 点的轨迹的长度为π2，故C 错误；对于D ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，对于平面ABC ，1DD 为垂线，1D P 为斜线，DP 为射影，所以1DPD ∠即为直线1D P 与平面ABC 所成角，设AC BD O = ，则AC BD ⊥，因为P 是ABC 内（包括边界）的动点，所以当P 与O 重合时，22DB DP ==最小，此时11sin 1DPD D P ==∠当P 与B 重合时，DP DB ==11sin 1DPD D P ==∠，所以1sin ,33DPD ∠∈⎣⎦，故D 正确.故选：ABD.12.已知函数()()2ln 0f x x x mxm =+<有两个极值点1x ，2x （21x x >），则下列正确的是（）A.102m -<< B.()10<f x C.()212f x >-D.()112f x >【答案】ABC 【解析】【分析】利用函数有两个极值点得m 的范围判断A,，并判断出12102x x m<<-<，结合11ln 12x mx =--，和22ln 12x mx =--代换，结合函数()f x 的单调性判断BCD.【详解】由题意知()ln 12(0)f x x mx x '=++>，令()0f x '=得，ln 120(0)x mx x ++=>有两个解12x x ，，令()ln 120g x x mx =++=，即等价于()g x 有且仅有两个零点，也即()g x 在(0,)+∞上有唯一的极值点且不等于零，又12()mxg x x+'=且0m <，所以当10,2x m ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0g x '>，则()g x 单调递增，当1,2x m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，则()g x 单调递减，所以12x m =-是函数()g x 的极大值点，则102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即11ln 1222m m m ⎛⎫⎛⎫-++⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ln(2)0m =-->，解得102m -<<，故A 正确；且有12102x x m <<-<，111()ln 12=0f x x mx '=++∵11ln 12x mx ⇒=--，22222()ln 120ln 12f x x mx x mx '=++=⇒=--111()ln f x x x =+∴22111111(12)(1)0mx x mx mx x mx =--+=-+<.故B 正确,D 错误;因为1,2x m ∞⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭时，()g x 单调递减，又102g m ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，2()0g x =，所以()f x 在21,2x m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则有21()2f x f m ⎛⎫>-⎪⎝⎭111111ln ln 224222m m m m m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--+=--- ⎪⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦，又因为110122m m -<<⇒->，令()h x =1ln 12x x x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，，则11()ln 1ln 022h x x x =+-=+>'，所以函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，则1()(1)2h x h >=-，所以21()2f x >-,故C 正确.故选：ABC【点睛】关键点点睛：本题考查函数的极值点问题，关键是求出m 的范围，并利用单调性判断CD 选项.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.为进一步提升物业管理和服务质量，某小区随机抽取100名住户开展了年度幸福指数测评活动，将其测评得分（均为整数）分成六组：[)40,50，[)50,60，…，[]90,100，并绘制成如图所示的频率分布直方图.由此估计此次测评中居民幸福指数的第75百分位数为______.【答案】82【解析】【分析】由百分位数的定义和频率分布直方图求解即可.【详解】因为所有小矩形的面积之和为1，所以(0.010.01520.0250.005)101a +⨯+++⨯=，所以0.03a =，测评得分落在[4080)，内的频率为(0.010.01520.03)100.7+⨯+⨯=，落在[4090)，内的频率为(0.010.01520.030.025)100.95+⨯++⨯=，设第75百分位数为x ，由0.7(80)0.0250.75x +-⨯=，解得82x =，故第75百分位数为82.故答案为：8214.已知单位向量a ，b的夹角为π3，3c a b =-r r r，若a b λ+ 与c 垂直，则λ=______.【答案】5-【解析】【分析】根据题意，结合()(3)0a b a b λ+⋅-=，列出方程，即可求解.【详解】因为单位向量a ，b 的夹角为π3，可得11,2a b a b ==⋅= ，又因为a b λ+ 与c垂直，可得()(3)0a b a b λ+⋅-= ，即2233a a b a b b λλ+-- 1(13)302λλ=+-⨯-=，解得5λ=-.故答案为：5-.15.若函数()()sin 1cos f x x x x =-+在区间[]0,2π的最小值为a ，最大值为b ，则a b +=______.【答案】π-【解析】【分析】利用导数求出函数的单调区间，进而可求出函数的最值，即可得解.【详解】因为()cos cos (1)(sin )(1)sin f x x x x x x x '=--+-=+，当π()0,x ∈时，()0f x '>，()f x 为增函数，当(π,2π)x ∈时，()0f x '<，()f x 为减函数，所以()f x 在[]0,2π上的最大值(π)π1b f ==+.，又因为(0)1(2π)2π1f f =-=--，，所以()f x 在[]0,2π上的最小值(2π)2π1a f ==--，所以πa b +=-.故答案为：π-.16.已知1F ，2F 分别为双曲线C ：()222103x y b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，过2F 作渐近线y x =的垂线，垂足为P ，且1sin 3F PO ∠=，过双曲线C 上一点Q 作两渐近线的平行线分别交渐近线于M ，N 两点，则四边形OMQN 的面积为______.【答案】2【解析】【分析】先求得双曲线方程为22136x y -=，设()00,Q x y 到两渐近线的距离之积22001223x y d d -=，结合双曲线的方程，求得122d d =，结合面积公式，即可求解.【详解】过1F作渐近线y x =的垂线，垂足为H ，如图所示，因为21F P F H b ==，OP a =，所以2PH a =，因为1sin 3F PO ∠=，所以1tan 2F PO ∠=，在直角在1PHF 中，1tan 2b F PH a ∠=，所以22b a =，所以b a=又因为a =b =，所以双曲线方程为22136x y -=，因为()222tan tan 221MON NOF ∠=∠==--，所以sin 3MON ∠=，设()00,Q x y 到两渐近线的距离为12,d d，则22001223x y d d -==，又因为22026x y -=，所以122d d =，所以12·sin sin 2OMQN d d S QM QN MON MON =∠==∠.故答案为：322.四、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .从条件①：3sin cos tan 4B B B =；条件②：12=；条件③：2cos cos cos c B b A a B -=这三个条件中选择一个作为已知条件.（注：若选择多个条件作答，则只按第一个解答计分）（1）求角B 的大小；（2）若b =，B ∠的平分线BD 交AC 于点D ，且BD =，求ABC 的面积.【答案】（1）π3B =（2）332【解析】【分析】（1）选①，求出23sin 4B =，结合π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，得到π3B =3cos B B =，tan B =，得到答案；选③，由正弦定理得到1cos 2B =，求出答案；（2）由ABC ABD BCD S S S =+△△△和三角形面积公式，得到ac a c =+，由余弦定理得到2218a c ac +-=，求出6ac =，得到三角形面积.【小问1详解】选条件①：因为3sin cos tan 4B B B =，所以sin 3sin cos cos 4B B BB =，即23sin 4B =，又因为ABC 为锐角三角形，所以π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以sin 2B =，所以π3B =.12=，所以cos )cos B B B B -=+，3cos B B =，又因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以cos 0B ≠，所以tan B =，所以π3B =.选条件③：由正弦定理可得2sin cos sin cos sin cos C B B A A B -=，即2sin cos sin cos sin cos sin()sin C B A B B A A B C =+=+=，又因为sin 0C ≠，所以1cos 2B =，因为π0,2B ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以π3B =.【小问2详解】由BD 平分ABC ∠，得ABC ABD BCD S S S =+△△△，则1π1π1πsin sin sin 232626ac =+，即ac a c =+.在ABC 中，由余弦定理可得222π2cos 3b ac ac =+-，又b =2218a c ac +-=，联立2218ac a c a c ac =+⎧⎨+-=⎩，，可得223180a c ac --=，解得6ac =（3ac =-舍去）.故1π1333sin 623222ABC S ac ==⨯⨯=△.18.如图，在四棱锥E ABCD -中，平面ABCD ⊥平面ABE ，点E 在以AB 为直径的半圆O 上运动（不包括端点），底面ABCD 为矩形，112AD BC AB ===.（1）求证：BE ⊥平面ADE ；（2）当四棱锥E ABCD -体积最大时，求平面ADE 与平面ACE 所成夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）由面面垂直得AD ⊥平面ABE ，再结合圆的性质得AE EB ⊥即可得证；（2）建立空间直角坐标系，求出两个面的法向量即可求解.【小问1详解】点E 在 AB 上且AB 为直径，AE BE ∴⊥，又平面ABCD ⊥平面ABE ，平面ABCD ⋂平面ABE AB =，AD AB ⊥且AD ⊂平面ABCD ，AD ∴⊥平面ABE ，BE ⊂ 平面ABE ，AD BE ∴⊥，又,,DA AE A DA AE =⊂ 平面ADE ，故BE ⊥平面ADE .【小问2详解】当四棱锥E ABCD -体积最大时，E 是 AB 的中点，此时AE BE =，OE AB ⊥，取CD 中点F ，连接OF ，则//OF AD ，即OF ⊥平面ABE ，又OE AB ⊥ ，∴以O 为坐标原点，分别以OE ，OB ，OF 所在直线为x 轴，y 轴及z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，(0,0,0),(0,1,0),(0,1,0),(0,1,1),(1,0,0)O A B C E -∴，()0,2,1AC ∴= ，()1,1,0AE =，设平面ACE 的一个法向量为(,,)n x y z = ，则·20·0n AC y z n AE x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，，取1x =，可得(1,1,2)n =-，平面ADE 的一个法向量为(1,1,0)BE =-，设平面ACE 与平面ADE 所成夹角为θ，则||cos 3||||n BE n BE θ⋅=== ，即平面ADE 与平面ACE所成夹角的余弦值为3.19.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且242n n n S ++=.在数列{}n b 中，10b =，1112n n n b b --⎛⎫+ ⎪⎝⎭=.（1）求{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设()1n n n c a b =-，求数列{}n c 的前n 项和n T .【答案】（1）()*3,1,2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）1262n n n T -+=-【解析】【分析】（1）直接利用n S 与n a 的关系求解n a ，利用累加法求解n b ；（2）利用错位相减法求和.【小问1详解】由题知，当1n =时，113S a ==，当2n ≥时，2214(1)(1)422n n n n n n n a S S n -++-+-+=-=-=，因为13a =，所以*31()2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，，，.因为1112n n n b b --⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，所以1112n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()()()1122112,n n n n n n b b b b b b b b ---≥=-+-+-+ 11211111221111011222212n n n n ----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎣⎦=+++==- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ，1n =时符合，故1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭，综上，()*3,1,2n n a n n n =⎧=∈⎨≥⎩N ，1112n n b -⎛⎫=- ⎪⎝⎭.【小问2详解】由（1）知(1)n n n c a b =-()*13,1,1,22n n n n n -=⎧⎪=∈⎨⎛⎫≥ ⎪⎪⎝⎭⎩N 所以{}n c 的前n 项和123123123432222n n n n nT c c c c c --=+++++=++++⋅⋅⋅+ ,2n ≥,①，23413234222222n n nT =++++⋅⋅⋅+②，①−②得23412151111511122222222222n n n n n n n T --⎛⎫⎛⎫=++++⋅⋅⋅+-=+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以2111266222n n n n n nT ---+=--=-.()2n ≥,当1n =,满足题意，故1262nn n T -+=-20.数学中有这么一个定理：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家.这个定理数学家波利亚在1921年给出证明，它与随机游走有关，随机游走是概率论中的一个重要概念，它描述了一个在空间中随机移动的过程，随机游走最简单的形式是一维随机游走，即一个点在数轴上以一定的概率向左或向右移动，如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，记移动k 次后质点回到原点位置的概率为k p ，其中k 为偶数.（1）求0p ，2p ，4p ；（2）证明：220k k p p +-≥.【答案】（1）01p =，212p =，438p =（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意，得到质点向左或向右的均为概率为12，进而求得024,,p p p 的值；（2）法一：设2(N )k n n *=∈，则22(2)!1!!2nk n n p p n n ⎛⎫==⋅ ⎪⋅⎝⎭，222(22)!1(1)!(1)!2n k n p n n +++⎛⎫=⋅ ⎪+⋅+⎝⎭，求得+21122k k p p n =-+，进而得到+212k k p p ≥，即可得到220k k p p +-≥.法二：设*2()k n n =∈N ，求得2221C 2nn k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，化简得到22112222211(C C )22n n n k n k n n p p p ++-++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，结合2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，即可得证.【小问1详解】解：由题意，从原点O 出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，可得质点向左或向右的均为概率为12，可得01p =，122111C ()222p =-=，22244113C ()(1)228p =⋅⋅-=.【小问2详解】证明：法一：设2(N )k n n *=∈，则22221(2)!1C 2!!2n nnk n nn p p n n ⎛⎫⎛⎫===⋅ ⎪ ⎪⋅⎝⎭⎝⎭，同理22221222221(22)!1C 2(1)!(1)!2n n n k n n n p p n n +++++++⎛⎫⎛⎫==⋅=⋅ ⎪ +⋅+⎝⎭⎝⎭，所以222+2(22)!1!!21121(1)!(1)!2(2)!2222n n k k p n n n n p n n n n n ++⋅+⎛⎫=⋅⋅⋅==- ⎪+⋅+++⎝⎭，因为n N ∈，所以11222n +≤，所以+212k k p p ，即220k k p p +-≥.法二：当0k =时，由（1）知022p p =，即2020p p -=；当0k ≠时，设*2()k n n =∈N ，则2221C 2nn k n np p ⎛⎫== ⎪⎝⎭，221222221C 2n n k n n p p +++++⎛⎫== ⎪⎝⎭，因为1111112221212222222C C C C C C C C 2C C n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n +++-+-+++=+=+++=++，所以22221111222222222111(C 2C C)(C C )222n n n n n n n k n nn nn n n p p p +++-+-++⎛⎫⎛⎫==++⋅=++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22112211(C C )22n n n k n n p ++-⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因为2211221(CC)02n n n nn++-⎛⎫+⋅> ⎪⎝⎭，所以2102k k p p +->，即220k k p p +->，综上，220k k p p +-≥.21.已知A ，B ，C 是抛物线24y x =上三点，且CA CB ⊥，CD AB ⊥，垂足为D .（1）当C 的坐标为()0,0时，求点D 的轨迹方程；（2）当C 的坐标为()1,2时，是否存在点Q ，使得DQ 为定值，若存在，求出Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（1）22(2)4x y -+=（除去原点）（2）存在，(3,0)Q 【解析】【分析】（1）设直线AB 的方程为x my b =+，与抛物线联立，由CA CB ⊥得直线过定点，再利用CD AB ⊥求出轨迹方程；（2）同（1）的方法，先求出直线AB 恒过()5,2P -，再利用直角三角形和圆的意义，求出定点和定值.【小问1详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，直线AB 的方程为()0x my b b =+≠.联立24y x x my b⎧=⎨=+⎩，得2440y my b --=，则124y y m +=，124y y b =-①，因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，即12120x x y y +=，所以1212()()0my b my b y y +++=②，由①②得：()()22121210m y y mb y y b ++++=,整理得240b b -=，因为0b ≠，所以4b =，直线AB 恒过定点()4,0，设点(),D x y ，则1CD AB k k =- ，即14y y x x =-- ，整理得22(2)4x y -+=，所以点D 的运动轨迹为以()2,0为圆心，半径为2的圆（原点除外）.【小问2详解】由（1）因为CA CB ⊥，所以0CA CB =，()111,2CA x y =-- ，()221,2CB x y =-- ，则12121212()12()4CA CB x x x x y y y y =-+++-++()()()21212121225016y y y y m y y b =+-++-+=③，将①代入③得：2264850b b m m ---+=，22(3)4(1)b m -=+得，32(1)b m -=+或者32(1)b m -=-+.当32(1)b m -=+时，直线AB 过()5,2P -.当32(1)b m -=-+时，直线AB 过()1,2，此时C 在AB 上，不合题意.所以直线AB 恒过()5,2P -.因为C 为定点，所以CP 为定值，在Rt CPD 中取CP 中点Q ，连接DQ ，1||||2DQ CP =，所以||DQ 为定值.此时Q 的坐标为()3,0，故存在点()3,0Q ，使得||DQ 为定值.22.牛顿迭代法是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法.比如，我们可以先猜想某个方程()0f x =的其中一个根r 在0x x =的附近，如图6所示，然后在点()()00,x f x 处作()f x 的切线，切线与x 轴交点的横坐标就是1x ，用1x 代替0x 重复上面的过程得到2x ；一直继续下去，得到0x ，1x ，2x ，…，n x .从图形上我们可以看到1x 较0x 接近r ，2x 较1x 接近r ，等等.显然，它们会越来越逼近r .于是，求r 近似解的过程转化为求n x ，若设精度为ε，则把首次满足1n n x x ε--<的n x 称为r 的近似解.已知函数()31f x x x =-+，R a ∈.（1）试用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解（取01x =-，且结果保留小数点后第二位）；（2）若()2365e 0xf x x x a ++++≤对任意x ∈R 都成立，求整数a 的最大值.（计算参考数值：e 2.72≈，1.35e 3.86≈， 1.5e 4.48≈，31.352.46≈，21.35 1.82≈）【答案】（1） 1.35-（2）9-【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义及牛顿迭代法可得结果；（2）根据已知通过分离变量，构造函数()g x ，利用导数得出()g x 的最小值，由（1）的结论可得结果.【小问1详解】第21页/共21页解：因为3()1f x x x =-+，则2()31x f x '=-，()1(1)2,11k f f '=-=-=，曲线()f x 在01x =-处的切线为112(1) 1.5y x x -=+⇒=-，且10||0.5x x -≥，()2237(1.5), 1.548k f f =-==-'-，曲线()f x 在1 1.5x =-处的切线为2723331 1.3584223y x x ⎛⎫+=+⇒=-≈- ⎪⎝⎭，且21||0.5x x -<，故用牛顿迭代法求方程()0f x =满足精度0.5ε=的近似解为 1.35-.【小问2详解】将2()365e 0xf x x x a ++++≤整理得到：32356e xx x x a ----≥，令32356()e x x x x g x ----=，31()()e e x x x x f x g x -+'==，因为2()31x f x '=-，令()0f x '>，即2310x ->，得3x >或3x <-，令()0f x '<，即2310x -<，得3333x -<<，所以()f x在,,,33∞∞⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭上为增函数，在,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭上为减函数，所以()f x的极小值为9039f ⎛⎫-=> ⎪ ⎪⎝⎭，因此()f x 有且仅有一个零点0x ，所以()g x 有且仅有一个极小值点0x ，即0()()g x g x ≥，所以有0()a g x ≤，方法一：由（1）有031 1.3523x =-≈-，则320 1.351.353 1.355 1.356()(1.35)(2.46 5.46 6.756)3.86e a g x g --⨯+⨯-<-=≈-+-⨯≤8.685=-.方法二：3201131516()(1)3 2.728.16ea g x g --⨯+⨯-<-=≈-⨯=-≤.320 1.51.531.551.56272715()(1.5)6 4.48e 842a g x g --⨯+⨯-⎛⎫≤<-=≈-+-⨯ ⎪⎝⎭方法三：8.4=-，所以，a 能取到的最大整数值为9-.【点睛】关键点点睛：利用导数的几何意义求切线方程；第二问的关键是转化不等式，从而分析函数()g x 的性质，得出最值.。
云南省三校生高考复习试题(月考)
云南省三校生高考复习试题（月考）（二B ）答卷注意事项：1.学生必须用碳素墨水笔直接在试题卷上答题；2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚；3.字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用； 4.本卷共29大题，总分为150分，考试时间120分钟；一、选择题（每题4分，共计80分）1、0与{}0之间的关系正确的是（ ）A 、{}00⊂B 、{}00=C 、{}00∈D 、{}00⊆ 2、∅与0之间正确的是（ ）A 、0=∅B 、0∈∅C 、0∉∅D 、0⊂∅ 3、集合{},,,.a b c d e 有（ ）个真子集 A 、5 B 、30 C 、31D 、32 4、奇函数()f x 在[0,4]上是单调递增，则有（ ） A 、127((log 3)f f < B 、127((log 3)f f >C 、127((log 3)f f = D 、不能确定(f 与127(log 3)f 的大小5、“2αβ+>且1αβ>”是“1,1αβ>>”成立的（ ）条件. A 、充要不充分 B 、充分不必要 C 、充要 D 、既不充分也不必要6、若函数31,0;()13,0.x x f x x x ->⎧=⎨-≤⎩那么((3))f f -= （ ）A 、29B 、10C 、-10D 、0. 7、已知函数1()f x x=()f x =（ ）A B C D8、函数2(2)x y a =-在(,)-∞+∞上是减函数，则a 的取值范围（ ）A 、(),-∞⋃+∞B 、(C 、)+∞ D 、(⋃9、将21(3)12y x =--+经过（ ）后得到212y x =-. A 、沿着x 轴向左平移3个单位，接着向下平移1个单位 B 、沿着x 轴向右平移3个单位，接着向下平移1个单位 C 、沿着x 轴向左平移3个单位，接着向上平移1个单位 D 、沿着x 轴向右平移3个单位，接着向上平移1个单位 10、若实数,x y 满足22(2)3x y -+=，那么yx的最小值为（ ）A 、0BC 、 12-D 、11、 若()f x =）A 、()(),12,-∞-⋃+∞B 、()()0,22,⋃+∞C 、()()(),11,22,-∞-⋃-⋃+∞D 、[0,2)(2,)⋃+∞12、在同一坐标系中，函数y x a =- 与log a y x =的图像可能是（ ）A 、B 、C 、D 、13、在同一坐标系中，函数x y a =和log (1)a y x a =>的图像可能为（ ）A 、B 、C 、D 、14、函数22(0)y x x =-≥是（ ）A 、奇函数B 、偶函数C 、非奇非偶函数D 、既是奇函数又是偶函数 15、设函数()y f x =是反比例函数，且过（-2，4），则()f x =（ ）A 、4xB 、4x -C 、8xD 、8x- 16、已知函数1()1x f x x +=-，则有（ ）A 、1()()fx f x -=- B 、1()()f x f x -=-- C 、1()()f x f x -=D 、11()()f x f x --=17、下列函数中，既是奇函数，又是减函数的是（ ） A 、1y x -=- B 、0.5log 0.3x y = C 、1()2xy = D 、3log 0.2x y =18、函数lg(62)y x -的定义域为（ ）A 、(),3-∞B 、(,3]-∞C 、(3,)+∞D 、[3,)+∞ 19、抛物线23(5)7y x =+-的顶点坐标、对称轴为（ ）A 、（-5，-7），x =-5B 、（-5，-7），x =-7C 、（5，-7），x =5D 、（5，7），x =5 20、函数0.51()x y x R -=+∈的反函数为（ ）A 、2log 1(0)y x x =+>B 、log 21(0,1)x y x x =+>≠C 、2log 1(0)y x x =->D 、2log (1)(1)y x x =->二、填空题（每小题5分，共计25分）21、已知函数()y f x =过点（—5，1），则其反函数过点 22、若1213x <+≤，则x 的集合为23、已知{}2135/1,/,5236x x A x x a B x x x ⎧-<+⎫⎧=-≥=⎨⎨⎬-<+⎩⎩⎭且A B ⋂= ∅，则a 的取值范围为24、若mna a >，则m 、n 的大小关系是25、若y =x 的范围是三、计算题（共计45分，写出必要演算步骤，不然不得分）26、（10分）(10分) 若不等式54x x a -+-<的解为空集，求a 的取值范围.27、（100.3log 2x<-28、解不等式22430x x -->29、（15分）已知2,0,()0,0,2,0.x f x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩（1）求函数定义域.（2）求(5),(0),(2)f f f -的值.（3）作出该函数图像..。
三校生高三复习数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数f(x) = 2x - 3在区间[1, 4]上单调递增，则f(3)的值介于下列哪个区间内？A. [1, 2]B. [2, 3]C. [3, 4]D. [4, 5]2. 下列哪个数是方程x^2 - 4x + 3 = 0的根？A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知等差数列{an}的前三项分别为a1, a2, a3，若a1 + a2 + a3 = 12，且a2 = 4，则该等差数列的公差为：A. 1B. 2C. 3D. 44. 若函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x在区间[0, 2]上单调递增，则f(1)的值介于下列哪个区间内？A. [0, 1]B. [1, 2]C. [2, 3]D. [3, 4]5. 已知等比数列{bn}的前三项分别为b1, b2, b3，若b1 = 2，b2 = 4，则该等比数列的公比为：A. 1B. 2C. 4D. 86. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则下列哪个条件是错误的？A. a > 0B. b > 0C. c > 0D. a + b + c > 07. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10 = 55，S20 = 200，则该等差数列的首项a1为：A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数f(x) = 2x + 1在区间[0, 3]上单调递减，则f(2)的值介于下列哪个区间内？A. [0, 1]B. [1, 2]C. [2, 3]D. [3, 4]的首项b1为：A. 1B. 2C. 3D. 410. 若函数f(x) = ax^2 + bx + c在区间[-1, 2]上单调递增，则下列哪个条件是正确的？A. a > 0B. b > 0C. c > 0D. a + b + c > 0二、填空题（每题5分，共25分）11. 若函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在区间[-1, 2]上单调递增，则f(1)的值为______。
第一章 基础知识云南省三校生历年考题
第一章 基础知识1.（17-2）若01a <<，则2224(2)a a -+-可化简为 A ．1a a -- B ．1a a -- C ．1a a -+ D ．1()a a --+2.（17-3）已知命题:10,30;:(1)(3)0p x x q x x ->+>-+>且，那么p 是q 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分而不必要条件D ．必要而不充分条件3.（17-21）已知22230,()(5)9x x x x x x -=-+--则=4.（17-23） 已知334,27x x x x --+=+则27=5.（17-31）k 取什么值时，方程组2080x y k x y --=⎧⎨-=⎩有一个实数解？并求出这时方程组的解6．(16-1)220161,(1)22)2x y x y x y -+++=设为实数，且，则（ （ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．47．（16-2）,,46a b c a b c ==设都是正数，且3，则 （ ）A ．111c a b =+B ．221c a b =+C ．122c a b =+D ．212c a b=+ 8．（16-21）23-)3x x x =-“”是“（”的 条件.9．(16-31)25(21)60x x --+=求方程(2-1)的解.10．(15-2)对于二元一次方程 12=+y x 的实数解，表述正确的是（ ）A.方程无解B.方程有唯一解C. 方程有无穷个解D.方程仅有无理数解11．(15-31)求2153112x x x -+=+-的解. 12．（15-21）若2216,mm -=则3 ； 13．(15-1)设a, b 为实数，两实数在数轴上的位置关系如下图，则下列表述中正确的是( )A. a>bB. a<bC.a ≥bD. a ≤b14．（14-19）已知,2323-+=a ,2323+-=b 则ab b a -+22的值为（ ） A ．0 B ．97 C ．96 D ．115.（13-2）设=+=+--a a a a 221,3则（ ） A.3 B.7 C.9 D.1116.（12-7）若k 能使方程组35223x y k x y k+=+⎧⎨+=⎩的解,x y 的值和为2，则k =（ ）A.0B.2C.4D.617.（12-21）若210x x ++=，则14141x x+= . 18.（12-26）求33(lg 2)3lg 2lg5(lg5)+⋅+的值.19.（12-5）一个数“能被2整除”是“这个数是偶数”的什么条件（ ）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要20.（11-21）若20101(1)0x y ++-=，则2011()xy = .21.（11-26）计算：4567log 5log 6log 7log 8⋅⋅⋅的值.22.（10-26）求方程组23223x y x y +=⎧⎨+=⎩的解.23.（10-27）计算12lg 3lg1621lg 5lg 2713-+-的值.24.（09-26）设x =2322112723(1)(39)x x x x x x x x --+-⨯⨯---++的值.25.（09-20）已知2211(0)a a a a a-=+>，则a =（ ）26.（09-22）已知332log 21x =，则x = .27.（09-212(2)0y +=，则2009()x y += .28.（09-2）68x +在实数范围内分解因式为（ ）A.224(2)(42)x x x +++B.224(2)(42)x x x +-+C.322()x +D.33()()x x 29.（09-11）设12,x x 为方程2420x x +-=的两根，则1211x x +=（ ） A.1 B.2C. D.430.（09-16）“0a >a =”的什么条件（ ）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要31.（08-1）下列代数式中，221,(),2,,52b ax x y a +---，属于单项式的个数是（ ）A.1B.2C.3D.432.（08-9）方程267101x x x -+=-的解是（ ）A.116x =或B.16x =C.1x =D.116x =-或- 33.（08-23）133106121()27(3)()a b ---=- . 34.（08-22）在实数范围内分解因式642441x x x +--=35.（08-17）设12,x x 是方程2510x x +-=，则3312x x +=（ ）A.110B.110-C.140D.140-36.（08-28）已知关于未知数x 有二次方程2420mx x m +++=有两个不相等的正37.（08-15）设52log 7,log 5a b ==，则4log 7=（ ） A.2ab B.2ab C.ab D.a b + 38.（08-12）某工厂为四川地震灾区赶制一批救灾衣物，计划第一天完成3万件，以后每天比前一天多制15%，那么6天后赶制的衣物总件数是（ ）万件 A.15.01)1(315.05.1-- B. 15.01)1(315.06-- C. )15.1(53⨯ D. )15.1(63⨯ .39.（07-26）计算：4230.25 1.502033431()(2)[(0.0001)]2)log 12sin 22516---+--+-+ 40.（07-9）方程222220x bx b ++-=有两个相等实根，则b =（ ） A.1144-或 B.44-或 C.22-或 D.1122-或 41.（07-7）已知log 2,a x a ==25x =（ ）A.4B.16C.2D.842.（07-16）放射性元素镭，每一年内质量要减少000.044，那么经过三年后，一克镭剩下的克数是（ ） A.00130.044-⨯ B.200(30.044)- C.003(10.044)- D.300(10.044)-。
2024届云南省三校高三下学期高考备考联考(七)数学试卷及答案
数学参考答案·第1页（共10页）2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 题号1 2 3 4 5 6 7 8 答案B A BCD C A C【解析】1．由{|1}A x x =-≤≤0，得{|1U A x x =<- 或0}x >，而{1134}B =-，，，，依题意，阴影部分表示的集合(){134}U A B = ，， ，故选B ． 2．设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故1i z =-，故1i 1i 2++-=，故选A ．3．由题知，222||1()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++= ，，所以1π2cos 1cos 23θθθ===，，，故选B ．4．由题意可知A ：两人都没选择篮球，即4416(5525P A =⨯=，所以9()1(25P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则428()5525P AB ⨯==⨯，所以8()825(|)9()925P AB P B A P A ===，故选C．5．如图1所示，高线为MN，由方斗的容积为28升，可得128(4163MN =++ ，解得3MN =．由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB ==，AB =，侧面积为，所以方斗的表面积为2(20s =+，故选D ． 6．设a ，b ，c 分别为角A，B ，C 所对的边，在ABC △中，由正弦定理可得，22sinsin sin a b c R A B C ====，所以sin 2c C =，11sin 22244ABC c abc S ab C ab ==== △ =，故选C ．图1数学参考答案·第2页（共10页）7．根据已知条件有11a =，当2n ≥时，212a a -=，323a a -=，434a a -=，…，1n n a a n --=，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以1234n a n =+++++(1)(2)2n n n +=≥，经检验11a =符合上式，所以(1)()2*n n n a n ∈+=N ，所以12112(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则11121223n S ⎡⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣ 1111223411n n n ⎤⎛⎫⎛⎫+-++-=- ⎪ ⎪⎥++⎝⎭⎝⎭⎦，所以3026023131S =-=，故选A ． 8．根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()e ln x g x x x x =--，(0e)x ∈，，则函数e (n )l xf x x x a x =---在(0e)，上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点．111(1)(e 1)()e e 1e (1)(1)e x x xx x x x x g x x x x x x x x ++-⎛⎫=+--=+-=+-= ⎪⎝⎭'，令()e x h x x = 1-，(0e)x ∈，，则()e e 0x x h x x ='+>，故()h x 在(0e)，上单调递增，因为(0)10h =-<，(1)e 10h =->，所以存在唯一的0(01)x ∈，，使得0()0h x =，即00 e 10x x -=，即001e x x =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，0()0h x <， ()0g x '<，()g x 单调递减，当0e x x <<时，0()0h x >，()0g x '>，()g x 单调递增，所以0min 000000()()e ln 11x g x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x →+∞，故(0e)x ∈，，()[1)g x ∈+∞，，所以1a ≥，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 题号9 10 11 答案AB AD ABD【解析】 9．对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A正确；对于B ，根据方差公式2222121[(()()]n s x x x x x x n=-+-++- ，可知若一组数据1x ，2x ，…，n x 的方差为0，则12n x x x === ，B 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于D ，2χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB ．数学参考答案·第3页（共10页）10．对A ，由(0)1f =-，1ϕ=-，即sin 2ϕ=，又ππ22ϕ-<<，π4ϕ=-∴，又()f x 的图象过点π08⎛⎫ ⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππsin 084ω⎛⎫-= ⎪⎝⎭，πππ84k ω-=∴，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02ω<≤，2ω=∴，所以π5π()2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，则5π5π23π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ2k +，k ∈Z ，方程()1f x =在(0)m ，上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π424242，，，，，，而第7个根为13π4，所以5π13π24m <≤，故D 正确，故选AD ． 11．对A 选项：当αβ⊥时，因为l αβ= ，AC l ⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为BD l ⊥，AC AB BD ==，所以AD ==，所以sin 3AC CDA CD ∠===，故A 正确；对B 选项：如图2，过A 作//AE BD ，且AE BD =，连接ED ，EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB DE ∥，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE BD ∥，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠=︒，由AC l ⊥、AE l ⊥、AC AE A = ，且AC ，AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE l ∥，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥．由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠=︒，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠=︒，即直线AB 与CD 所成角为45︒，故B 正确；对于D ，如图3，作AE BD ∥，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC △中，易得CE =，在ACE △中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，图2 图3数学参考答案·第4页（共10页）120CAE ∠=︒，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得2CO =，1HO =，2CH =，所以cos 7OH CHO CH∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠=︒，如图4，分别取线段AD ，AE 的中点G ，M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE △的外接圆半径112sin120r =⨯=︒，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为34π3R =C 错误，故选ABD ．三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】 12．含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x -+-=- ，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，23458a a a a +++=∴．13．()f x 定义域为210x b +>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-．14．如图5，伞的伞沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为C ，O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由OF BC ⊥,||||OF OB ==，得||a c BF +==45FBC∠=︒，||2AB a =，||BC =，在ABC △中，60BAC ∠=︒，则75ACB ∠=︒，1sin 75sin(4530)2︒=︒+︒=+ 图5 图4数学参考答案·第5页（共10页）4+=，由正弦定理得，2sin 75sin 60a =︒︒，解得2a =，则2c -=，所以该椭圆的离心率2ce a== 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）圆1C ：22(3)1x y ++=的圆心为1(30)C -，，半径为1， 圆2C ：22(3)1x y -+=的圆心为2(30)C ，，半径为1， 设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则12||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（2分）可得21||||2CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则21||1||1CC r CC r =-=+，，……………………………………………………………（4分）可得12||||2CC CC -=； 综上所述：12||||||2CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以1C 、2C 为焦点的双曲线，且1a =，3c =， 可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=．……………………………（6分）（2）联立方程22180y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩，， 消去y 得227280x mx m ---=， ………………………………………（8分）则222428(8)32(7)0m m m ∆=++=+>，可知直线与双曲线相交，………………………………………………………（9分）数学参考答案·第6页（共10页）如图6，设1122()()A x y B x y ，，，，线段AB 的中点为00()M x y ，， 可得12027x x m x +==，0087m y x m =+=，即877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，， ………………………………………………………（11分）且877m m M ⎛⎫⎪⎝⎭，在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±， 又0m >，所以实数m 的值为7． ………………………………………（13分）16．（本小题满分15分） 解：（1）函数()f x 的定义域为{|0}x x >，21()2a f x x x -'=+， ……………………………………………………（1分）又曲线()y f x =在点(1(1))f ，处的切线与直线12y x =-垂直，所以(1)122f a -+'==，即1a =． ………………………………………（3分）1()ln 2f x x x x =++∴，2(1)(21)()(0)x x f x x x +-=>'， 由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是102⎛⎫⎪⎝⎭，， 由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是12⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．………………………………………………………（6分）（2）由（1）知不等式()22mf x x x+≥恒成立， 可化为1ln 222m x x x x x+++≥恒成立，即ln 12m x x + ≤恒成立．………………………………………………………（8分）令()ln 1g x x x =+ ，……………………………………（10分）当1e 0x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()0g x '<，()g x 在10e ⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减；当1e x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭，时，()0g x '>，()g x 在1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增．………………………………………………………（12分）图6数学参考答案·第7页（共10页）所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-． ……………………………………（13分）由ln 12mx x + ≤恒成立， 得22e m -≤，即实数m 的取值范围是22e ⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦，． ………………………（15分）17．（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接MB MC ，，由已知可得12AM MF MD BM CM ====，，，……………………………………………………………（2分）∵平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF 平面ABCD AD FM =⊂，平面ADEF ， FM AD FM ⊥⊥，∴平面ABCD ， ……………………………………………………………（4分）MB MC ⊂，∵平面ABCD FM MB FM MC ⊥⊥，，∴，BF CF ==∴ 222BF CF BC +=，∴BF CF ⊥∴．…………………………………………………（6分） （2）解：建立如图所示空间直角坐标系A xyz -， 则(130)(021)(011)C E F ，，，，，，，，，……………………………………………………………（8分）(011)(111)(010)AF CE EF ==--=- ，，，，，，，，∴，……………………（9分） 设平面CEF 的法向量为()n x y z = ，，，则00n EF y n CE x y z ⎧=-=⎪⎨=--+=⎪⎩，，令1x =得(101)n =，，， …………………………………（12分） 设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，||1sin |cos |2||||AF n AF n AF n θ=〈〉===，．………………………（14分）ππ026θθ⎡⎤∈=⎢⎥⎣⎦，，∵∴，即直线AF 与平面CEF． ……………………………（15分）图7数学参考答案·第8页（共10页）18．（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==． …………………………………………………………（3分）（2）由题可知ξ可取123，，，221123222222224444C C C C C 7(1)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（4分）221123222222224444C C C C C 7(3)C C C C 36P ξ==⨯+⨯=， ………………………………………（5分） 11(2)1(1)(3)18P P P ξξξ==-=-==， ………………………………………（6分）所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为………………………………………（8分）（3）记1n a -为第(2)n n ≥号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，……………………………………………………………（9分）1n b -为第(2)n n ≥号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211318b b ==，…………………………………………………………（10分）则第(2)n n ≥号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----， 且12222211(1)(3)322n n n n n b b a a b n -----=++--≥，化解得121162n n b b --=+，………………………………………（12分）得12131331565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，， 而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，数学参考答案·第9页（共10页）所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． ………………………（15分）因此111111()123(1)322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=．………………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）①解：因为(021)A ，，，(132)B -，，， 则021402032(112)132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=-- ，，．……………………………………………………………（3分）②证明：设111()A x y z ，，，222()B x y z ，，，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k x j y z i z ⨯=++--- 122112211221()z z x z x x y x y y z y --=-，，， 将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换， 可得211221122112()OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---，，， 故(000)0OA OB OB OA ⨯+⨯== ，，．………………………………………（7分）（2）证明：因为sin AOB ∠==OA OB =，故1||||sin 2AOBS OA OB AOB =∠=△， 故要证1||2AOBS OA OB =⨯△，只需证||OA OB ⨯= 即证2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=- ．数学参考答案·第10页（共10页）由（1）111()OA x y z = ，，，222()OB x y z =，，，122112211221()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=--- ，，， 故2222122112211221||()()()OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+- ，又2222111||OA x y z =++ ，2222222||OB x y z =++ ，22121212()()OA OB x x y y z z =++ ，则2222||||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-成立， 故1||2AOB S OA OB =⨯△． ………………………………………（13分）（3）解：由（2）1||2AOB S OA OB =⨯△， 得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯ 1||2|2||2|AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⨯=⨯△， 故21()||63AOB OA OB S OA OB ⨯=⨯⨯△，故2()OA OB ⨯ 的几何意义表示以AOB △为底面、||OA OB ⨯为高的三棱锥体积的6倍． ………………………………………（17分）。
2010年云南省三校生高考数学试题
2010年云南省三校生高考数学试题（2010年云南省高等职业技术教育招生考试试题 数学）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，本大题共20小题，每小题4分，共计80分）1.设集合A=2{/60}x x x --<，B={/0}x x >，则A B ⋂=( ).A. {/21}x x -<<-B. {/13}x x <<C. {/213}x x x -<<-<<或1D. {/11}x x x ><-或2.复数2332i Z i+=+的值为（ ）. A. 1251313i + B. 513i C. 125i D. i 3.下列函数中，图像关于y 轴对称的是（ ）.A. sin y x =B. 22y x x =+C. 2y e =D. 2log y x =4.已知cos 0,tan 0θθ>>，则θ在第（ ）象限.A. 一B. 二C. 三D.四5.直线12l l ⊥是直线1l 、2l 的斜率乘积为-1的（ ）条件.A.充分而不必要B.必要而不充分C.充要D.既不充分也不必要6.圆的方程2242150x y x y ++--=，则该圆的圆心、半径分别为（ ）A.(-2,1),20B.(2，-1),20C.(2，-1),7.已知点A(-1,2), B(3,1), C(2，-3),则ABC ∆是（ ）A.直角三角形B.等腰三角形C. 等腰直角三角形D.等边三角形8.过点M(-1,2)与向量a=(1,3)平行的直线方程为（ ）A. 350y x +-=B. 350y x --=C. 350y x -+=D. 350y x ++=9.已知圆的半径为1cm,圆心角为45︒，则此圆心角所夹的扇形面积为（ ）. A. 8π 2cm B. 4π 2cm C. 4522cm D.45 2cm10.等比数列{}n a 中，1a =2，4a =16，那么{}n a 的通项公式是（ ）.A. 12n -B. 2nC.2nD.2(n-1)11.设向量a=(x,-4),b=(2,-1)且a-3b 与a-b 垂直，则实数x 的值为（ ）A.x=3或x=5B.x=3C.x=-5D. x=3或x=-512.若函数22 ;() . e x f x x x οο⎧>⎪=⎨+≤⎪⎩，那么(2)f =（ ）A.5B. 2eC. 5+2eD. 2e ，513.函数2cos 2cos 1y x x x =+-的周期为（ ）A. 2π-B. π-C. πD. 2π14.设正方体的全面积为242cm ，则外接球的体积为（ ）A.33cm B.33cm C.3cm D.3cm15.若直线过点（1，-1）和（，2）则此直线的倾斜角为（ ）A. 4πB. 2πC. 6D. 3π16.在ABC ∆中，已知a ：b ：c=1：2，则A:B:C=( )A. 1：2 B. 1：2：3 C.3:4:5 D.4:3:517.下列各式中不正确的是（ ）A. 1.5 1.50.60.5>B. 113323--> C. 11320.20.2--> D.<18.与双曲线2214x y -=的椭圆方程为（ ）A. 22194x y +=B. 22149x y +=C. 221913x y +=D. 221139x y +=19.抛物线221y x ax =-+，其中a R ∈,与x 轴有两个交点，则a 的取值范围是（）A. 11a -<<B. 1a >或1a <-C. 1a <-D. 1a >20.复数Z i =的三角形式是（ ）A. 552(cossin )66i ππ+ B. 2(cos sin )66i ππ+ C. 772(cos sin )66i ππ+ D. 11112(cos sin )66i ππ+ 二、填空题（请将答案填写在相应的题号后面，本大题共5小题，每小题5分，共计25分）21. 0.21()x y x R -=+∈的反函数是 .22. 函数2sin 4sin 5y x x =-+的最小值 .23.已知数列{}n a 的通项公式1(1)n a n n =+，其前9项的和9S = 24.圆柱的轴截面的面积为M ，则这个圆柱的侧面积为 .25.抛物线24y x =-的准线方程为 . 三、解答题（请将答案填写在答题卡上相应的题号下面，解答时应写出推理，演算步骤.本大题共4小题，共45分）26.（10分）求方程组23223x y x y +=⎧⎨+=⎩的解. 27.（10分）计算12lg3lg1621lg5lg2713-+-的值. 28.（12分）已知函数20.3()log (22)f x x x =--，求（1）. ()f x 的定义域.（2）. ()f x 的单调区间.29.（13分）数列{}n a 的前n 项和记为n S ，已知1a =2，11(1,2,3)2n n n a S n n +-==…. （1）.证明n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列. （2）.求{}n a 的通项公式.。
云南省三校2025届高三高考备考实用性联考卷(二)数学试题+答案
2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在复平面内，()()1i 2i −+对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限2．“a b >”是“ln ln a b >”成立的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3sin 2sin A B =，则2222b a a−的值为（ ） A ．19−B ．13C ．1D ．724．已知()2,X N µσ∼，且()()330.2P X t P X t >+=<−=，则()33P t X −<<=（ ）A ．0.2B ．0.3C ．0.7D ．0.85．在ABC △中，点D 是线段BC 上的一点，且满足3BC BD =，点P 是线段AD 的中点，若存在实数m 和n ，使得BP mAB nAC =+，则m n +=（ ） A ．13B ．13−C ．12D ．12−6．函数()()πsin 0,0,2f x A x A ωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示，将()f x 的图象向左平移π12个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的a 值为（ ）A ．1−B ．C ．D ． 7．已知圆台上、下底面的半径分别为1和2，体积为7π，AB 为上底面圆的一条直径，C 是下底面圆周上的一个动点，则ABC △面积的最大值为（ ）A ．3B C ．D ．68．1x ，2x 为函数()log 3a f x x =−的两个零点，其中12x x <，则下列说法错误的是（ ）A ．121x x =B ．122x x +>C ．124x x +的最小值为4D ．124x x +的最小值为4二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9．设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列；{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．已知数列{}n n a b +的前n 项和221n n S n n =−+−，*n ∈N ，则（ ）A ．12a =−B ．11b =C ．4d q +=D ．1d =10．在ABC △中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos cos 2c B b C c +=，且2sin sin sin B A C =，则（ ）A ．a ，b ，c 成等比数列B ．ABC △为钝角三角形C ．A ，B ，C 成等差数列D ．若2c =，则ABC S =△11．现有颜色为红、黄、蓝的三个箱子，其中红色箱子内装有2个红色球，1个黄色球和1个蓝色球；黄色箱子内装有2个红色球，1个蓝色球；蓝色箱子内装有3个红色球，2个黄色球．若第一次先从红色箱子内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同色的箱子中，第二次再从刚才放入与球同色的这个箱子中任取一个球，则下列说法正确的是（ ）A ．若第一次抽到黄色球，那么第二次抽到蓝色球的概率为14B ．第二次抽到蓝色球的概率为316C ．如果第二次抽到的是蓝色球，则它最有可能来自红色箱子D ．如果还需将5个不同的小球放入这三个箱子内，每个箱子至少放1个，则不同的放法共有150种三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12．()1012x −的展开式中x 项的系数为______． 13．已知()f x ′是定义域为π0,2的函数()f x 的导函数，且()()sin cos 0f x x f x x +<′，则不等式()1πsin 26f x x f>的解集为______． 14．已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>与双曲线()22222:10,0x y C m n m n−=>>的左、右焦点相同，分别为1F ，2F ，1C 与2C 在第一象限内交于点M ，且21213MF F F =，1C 与2C 的离心率分别为1e ，2e ．则1211e e −=______，12e e 的取值范围是______． 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）为了引导学生阅读世界经典文学名著，某学校举办“名著读书日”活动，每个月选择一天为“名著读书日”，并给出一些推荐书目．为了了解此活动促进学生阅读文学名著的情况，该校在此活动持续进行了一年之后，随机抽取了校内100名学生，调查他们在开始举办读书活动前后的一年时间内的名著阅读数量，所得数据如下表：不少于5本少于5本 合计 活动前 35 65 100 活动后 60 40 100 合计95105200（1）依据小概率值0.001α=的独立性检验，分析举办该读书活动对学生阅读文学名著是否有促进作用； （2）已知某学生计划在接下来的一年内阅读6本文学名著，其中4本国外名著，2本国内名著，现从6本名著中随机抽取3本在上半年读完，求上半年读完的国内名著本数X 的分布列及数学期望． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．临界值表：α0.10.05 0.01 0.005 0.001x α2.7063.841 6.635 7.879 10.82816．（本小题满分15分）如图，已知四棱锥S ABCD −中，SA ⊥平面ABCD ，90CDA DCB ∠=∠=°，224BC AD CD ===．（1）求证：平面SAC ⊥平面SAB ；（2）若平面SAB 与平面SCD ，求线段SA 的长． 17．（本小题满分15分） 已知函数()()31ln 3f x x x ax x a =−−∈R ． （1）()f x 在1x =处的切线与直线y x =垂直，求a 的值； （2）若()f x 有两个极值点，求a 的取值范围． 18．（本小题满分17分）抛物线()2Γ:20y px p =>的图象经过点()1,2M −，焦点为F ，过点F 且倾斜角为θ的直线l 与抛物线Γ交于点A ，B ，如图．（1）求抛物线Γ的标准方程； （2）当π3θ=时，求弦AB 的长； （3）已知点()2,0P ，直线AP ，BP 分别与抛物线Γ交于点C ，D ．证明：直线CD 过定点． 19．（本小题满分17分） 如图，已知点列2,n n nP x x与(),0n n A a 满足1n n x x +>，11n n n n P P A P ++⊥ 且11n n n n P P A P ++= ，其中n +∈N ，11x =．（1）求2x ；（2）求1n x +与n x 的关系式；（3）证明：22222123141n x x x x n +++++≤+ ．2025届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DBDBDABC【解析】1．()()21i 2i 2i 2i i 3i −+=+−−=− ，∴其对应的点坐标为()3,1−，位于第四象限，故选D ． 2．由题意，利用对数函数性质可知：ln ln 0a b a b a b >⇒>>⇒>，故必要性成立；而ln ln a b a b >⇒>，但不能确定a ，b 是否都大于0，若a ，b 小于0时函数无意义，故a b >不能推出ln ln a b >，故充分性不成立，所以“a b >”是“ln ln a b >”的必要而不充分条件，故选B ．3．因为3sin 2sin A B =由正弦定理得32a b =，所以32b a =，22222237212122b a b a a −=×−=×−=，故选D ． 4．根据正态曲线的对称性，由()()33P X t P X t >+=<−，得3332t tµ++−==，再由总体密度曲线，数形结合知：()330.3P t X −<<=，故选B ．5．由题意，()11213333AD AB BD AB BC AB AC AB AB AC =+=+=+−=+，而1112123636BP AP AB AD AB AB AC AB AB AB =−=−=+−=−+ ，由已知，2,31,6m n=− =则12m n +=−，选项D 正确，故选D ．6．由()max 2f x =得2A =，()f x 的图象上的所有点向左平移π12个单位长度后图象关于原点对称，得函数()f x 的图象过点π,012，所以7ππ12122T −=，所以2ππT ω==，故2ω=，又π012ωϕ+=，得π6ϕ=−，所以()π2sin 26f x x =−，π2sin 16a=−=− ，故选A ． 7．圆台的高为h ，则圆台的体积()221π12127π3V h =++××=，解得3h =，如图，取上下底面圆心M 、N ，连接MN 、MC 、NC ，由圆台性质可知MN NC ⊥，且3MN =，又2NC =，故MC MC 为ABC △以AB 为底的高时，ABC △面积最大，且其最大值为122×B ．8．函数()log 3a f x x =−的定义域为()0,+∞，0a >且1a ≠，由()0f x =，得log 3a x =，因此直线y 3=与函数log a y x =的图象有两个公共点，其横坐标为1x ，2x ，a 比1大还是小对log a y x =的图象没有影响，可令1a >，而当01x <<时，log a y x =−递减，当1x >时，log a y x =递增，于是1201x x <<<，对于A ，由12log log a a x x =，得12log log a a x x −=，即121x x =，A 正确；对于B，12221x x x x +=+，而函数1y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此122212x x x x +=+>，B 正确；对于C ，1222144x x x x +=+，函数14y x x=+在()1,+∞上单调递增，因此12221445x x x x +=+>，C 错误；对于D ，1222444x x x x +=+≥，当且仅当22x =时取等号，D 正确，故选C ． 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案BCABDACD【解析】 9．()()12111111212211nn n b q n n b b d d S na d n a n q qq q −−=++=+−+−+ −−−， 221n n S n n =−+− ，11112121111dd a b q bq=−=−∴ −=− − ，10a ∴=，2d =，11b =，2q =，故选BC ．10．2sin sin sin B A C = ，由正弦定理可得2b ac =，且,,0a b c >，则a ，b ，c 成等比数列，故A 正确；将cos cos 2c B b C c +=，利用正弦定理化简得：sin cos sin cos2sin C B BC C +=，即()sin 2sin C B C +=，sin 2sin A C ∴=，利用正弦定理化简得：2c a =，222b ac c ∴==，b ∴，::2:2a bc c c ∴==，所以A 角最大，由222cos 02c b a A cb +−==<得A 角为钝角，故B 正确；若A ，B ，C 成等差数列，则2B A C =+，且πA B C ++=，可得π3B =，则由余弦定理可得2222224231cos 22242a cbc c cB ac c c +−+−===≠×，故C 错误；若2c =，可得b =，4a =，则b c >，由3cos 4B =，()0,πB ∈，可得sin B =，所以1sin 2ABC S ac B==△D 正确，故选ABD ．11．对于选项A ，在第一次抽到黄色球的条件下，将抽到的黄色球放入黄色箱子内，此时黄色箱子内有2个红色球，1个黄色球，1个蓝色球，因此第二次抽到蓝色球的概率为14，故A 选项正确；对于选项B 、C ，记1A =“第一次抽到红色球”，2A =“第一次抽到黄色球”，3A =“第一次抽到蓝色球”，1B =“第二次在红色箱子中抽到蓝色球”2B =“第二次在黄色箱子中抽到蓝色球”，3B =“第二次在蓝色箱子中抽到蓝球”，B =“第二次抽到蓝球”，易知1A ，2A ，3A 两两互斥，和为Ω，()112P A =，()()2314P A P A ==，()1114P B A =，()2214P B A =，()3316P B A =，()()()()33111111111124444648i i i i i i i P B P A B P A P B A == ===×+×+×= ∑∑，故B 选项错误；第二次的球取自箱子的颜色与第一次取的球的颜色相同，所以()()()()111111624111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()222211344111148P A P B A P A B P B ×===，()()()()333311246111148P A P B A P A B P B ×===，所以如果第二次抽到的是蓝色球，则它来自红色箱子的概率最大，故C 选项正确；对于D ，将5个不同的小球分成3组（每组至少一个）（按1:1:3分或按2:2:1分）再分配给3个箱子，由两个计数原理知，共有2223535322C C C A 150A +=种，故D 选项正确，故选ACD ． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．展开式中x 的系数为()1110C 220−=−． 13．设()()sin g x f x x =，()()()sin cos 0g x f x x f x x +′=<′，所以函数()g x 单调递减，()()1πππsin sin sin 2666f x x f f x x f >⇔> ，即()π6g x g > ，得π6π02x x <<<，所以π06x <<，所以不等式的解集为π0,6． 14．由已知可得()23c a m =−，所以23a mc c=−，即121123e e −=；所以，()()22221292994244a m a am m c c c a m e e a m am am am m a −−+=⋅====+−．令a t m =，则129124e e t t =+−．因为a m >，所以1at m =>．又1212MF MF F F +>，所以有()223a c a m >=−，所以有3a m <；1212MF MF F F −<，所以有()223m c a m <=−，所以有35a m >，所以5,33a t m =∈ ．设函数12y t t =+−，则2110y t =−>′，函数12y t t=+−在区间5,33上单调递增，所以44153y <<，所以12335e e <<． 四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）零假设0H ：该读书活动对学生阅读文学名著没有促进作用；由表中数据可知，()2220035406560500012.5310.82810595100100399χ×−×==≈>×××， 故可推断0H 不成立，即认为举办该读书活动对学生阅读文学名著有促进作用，该推断犯错误的概率不超过0.001．（2）由题意可知，X 的可能取值为0、1、2，()3436C 10C 5P X ===；()214236C C 31C 5P X ===；()124236C C 12C 5P X ===，所以X 的数学期望为：()1310121555E X =×+×+×=． 16．（本小题满分15分）（1）证明：设BC 中点为E ，连接AE ，如图，因为90CDA DCB °∠=∠=，且AD CD =， 故四边形ADCE 为正方形，而AC 2AE =，AB所以222BC AB AC =+，所以AB AC ⊥， 因为SA ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ， 所以SA AC ⊥，又,SA AB ⊂平面SAB ，SA AB A = ， 所以AC ⊥平面SAB ， 因为AC ⊂平面SAC ， 所以平面SAC ⊥平面SAB ．（2）解：以A 为坐标原点，AE 、AD 、AS 所在直线分别为x 、y 、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −，设()0SA a a =>，则()2,2,0C ，()0,2,0D ，()2,2,0B −，()0,0,S a ， 所以()0,2,SDa =−，()2,0,0DC =，设平面SCD 的法向量为(),,n x y z = ，则00n SD n DC ⋅=⋅=，即2020y az x −= = ，令2z =，所以()0,,2n a =，由（1）知，平面SAB 的法向量为()2,2,0AC =，设平面SAB 与平面SCD 所成角为θ，则cos θ=cos,AC nAC nAC n⋅==，解得a=a=，所以AS=．17．（本小题满分15分）解：（1）易知()22ln11lnf x x ax x ax′=+−−=−，又()f x在1x=处的切线与y x=垂直，所以()11f′=−，即1a−=−，所以1a=．（2）因为()2lnf x x ax=−′，且()f x有两个极值点，所以方程()0f x′=在()0,+∞上有两个不同的根，即方程2ln0x ax−=有两个不同的正数根，将问题转化为函数()2ln xg xx=与函数y a=的图象在()0,+∞上有两个不同的交点，则()()4312ln12lnx x xg xx x−−==′，令()312lnxg xx−==′，解得x=当x>()0g x′<，()g x单调递减，当0x<<时，()0g x′>，()g x单调递增，且当1x>时，()0g x>，且x+∞，()0g x→，()10g=，故作出()g x的图象如图所示：由图象可知10,2ea∈满足题意，即a的取值范围为10,2e．18．（本小题满分17分）（1）解：曲线22y px=图象经过点()1,2M−，所以()222p−=，所以2p=，所以抛物线Γ的标准方程为24y x=．（2）解：由（1）知()1,0F ，当π3θ=时，l的方程为)1y x −，联立)214y x y x=− = ，得231030x x −+=，则12103x x +=， 由12163AB x x p =++=，所以弦163AB =． （3）证明：由（1）知()1,0F ，直线AB 的斜率不为0，设直线AB 的方程为1x my =+， ()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，联立214x my y x=+ = 得2440y my −−=，2Δ16160m =+>， 因此124y y m +=，124y y =−．设直线AC 的方程为2x ny =+，联立224x ny y x=+ = 得2480y ny −−=， 则2Δ16320n =+>′，因此134y y n +=，138y y =−，得318y y −=， 同理可得428y y −=． 所以()343412223434341212441882244CD y y y yy y k y y x x y y y y m y y −−=====−=−−−+++−． 因此直线CD 的方程为()332x m y y x =−+，由对称性知，定点在x 轴上，令0y =得，2233331181822244y x my x my m y y −−=−+=−+=−+ ()122122222111111144161616444444y y y y y m y y y y y y y + +=+=+=++=+⋅=， 所以，直线CD 过定点()4,0．19．（本小题满分17分）解：（1）因为1212PP A P ⊥ ，1212PPA P = ，所以()()21221222221212124222x a x x x x x a x x x −=−+−=−+，得2122x x x −=，所以22x =． （2）由11122,n n n n n n P P x x x x +++ =−−，1112,n n n n n A P x a x +++ =− ，1112140n n n n n n n nP P A P x a x x ++++⋅=⇒−= ①， 又11n n n n P P A P ++= ，则()()22221111222n n n n n n n x x x a x x x ++++ −+−=−+②，将①代入②得()()22111222222111114444211n n n n n n n n n n n n n X X X X x X X X X X x X X ++++++++ −+=+⇒−=⇒−=． （3）要证22222123141n x x x x n +++++≤+ 等价于证明22222314n x x x n ++++≤ ，当2n ≥时，()12122212n n n n i i i i i i x x x x x ++===+−=−=<∑∑ ()2221111122211112212n n n n n n n n n n i i n i x x x x x x x x x x n x ++++++++= −=⇒=−<− ⇒−=−>⇒> ∑，<−，所以12n x x +−≤12n x +⇒≤−2188484n x n n +⇒≤++−≤−()()2222231413214n x x x n n +⇒+++≤+++−= ， 22222314n x x x n +∴+++≤ ，22222123141n x x x x n +∴++++≤+ ．。
2024年云南省三校高考备考联考卷(一)数学试题及答案
２０２５届云南三校高考备考实用性联考卷(一)数㊀学注意事项:１ 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２ 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.３ 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回.满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟.一㊁单项选择题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分.在每小题给出的四个选项中ꎬ只有一项是符合题目要求的)１.已知集合Ａ＝{ｘｘ２－２ｘ－３>０}ꎬＢ＝{ｘ０<ｘ<４}ꎬ则(∁ＲＡ)ɘＢ＝Ａ.(３ꎬ４)Ｂ.(０ꎬ３]Ｃ.(－ɕꎬ３)ɣ(１ꎬ４)Ｄ.(－ɕꎬ－１)２.已知复数ｚ＝２ｉ１＋ｉꎬ则下列说法正确的是Ａ.ｚ＝１－ｉＢ.ｚ＝２Ｃ.ｚ－＝１＋ｉＤ.ｚ的虚部为ｉ㊀图１３.如图１ꎬαꎬβ是九个相同的正方形拼接而成的九宫格中的两个角ꎬ则ｔａｎ(α＋β)＝Ａ.－３Ｂ.３３Ｃ.３Ｄ.１４.假设ＡꎬＢ是两个事件ꎬ且Ｐ(Ａ)>０ꎬＰ(Ｂ)>０ꎬ则下列结论一定成立的是Ａ.Ｐ(ＡＢ)ɤＰ(ＢＡ)Ｂ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ａ)Ｐ(Ｂ)Ｃ.Ｐ(ＢＡ)＝Ｐ(ＡＢ)Ｄ.Ｐ(ＡＢ)＝Ｐ(Ｂ)Ｐ(ＢＡ)５.已知ａ＝ｌｏｇ５２ꎬｂ＝ｌｏｇ７３ꎬｃ＝１２ꎬ则下列判断正确的是Ａ.ｃ<ｂ<ａＢ.ｂ<ａ<ｃＣ.ａ<ｂ<ｃＤ.ａ<ｃ<ｂ６.在前ｎ项和为Ｓｎ的正项等比数列{ａｎ}中ꎬ设公比为ｑꎬ{ａｎ}满足ａ１ａ４＝８ꎬａ３＝ａ２＋２ꎬｂｎ＝ｌｏｇ２ａｎＳｎ＋１ꎬ则Ａ.ｑ＝１２Ｂ.Ｓｎ＝２ａｎ＋１Ｃ.ｂｎ＝ｎ－１２ｎＤ.数列{ｂｎ}的最大项为ｂ３７.在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＭ是线段Ｃ１Ｄ１(不含端点)上的动点ꎬＮ为ＢＣ的中点ꎬ则Ａ.ＣＭʊ平面Ａ１ＢＤＢ.ＢＤʅＡＭＣ.ＭＮʊ平面Ａ１ＢＤＤ.平面Ａ１ＢＤʅ平面ＡＤ１Ｍ８.已知Ｆ为双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左焦点ꎬＡ是Ｃ的右顶点ꎬ点Ｐ在过点Ｆ且斜率为２－３的直线上ꎬøＯＡＰ＝２π３且线段ＯＰ的垂直平分线经过点Ａꎬ则Ｃ的离心率为Ａ.３－２Ｂ.３－１Ｃ.３Ｄ.６二㊁多项选择题(本大题共３小题ꎬ每小题６分ꎬ共１８分ꎬ在每小题给出的四个选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得６分ꎬ部分选对的得部分分ꎬ有选错的得０分)９.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－３ｘ＋２ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.点(０ꎬ２)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｃ.ｆ(ｘ)有三个零点Ｄ.直线ｙ＝０是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的一条切线１０.设函数ｆ(ｘ)＝ｓｉｎ(ωｘ＋φ)＋ｃｏｓ(ωｘ＋φ)ω>０ꎬφɤπ２æèçöø÷的最小正周期为πꎬ且过点(０ꎬ２)ꎬ则Ａ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷单调递增Ｂ.ｆ(ｘ)的一条对称轴为ｘ＝π２Ｃ.ｆ(ｘ)的周期为π２Ｄ.把函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π６个长度单位得到函数ｇ(ｘ)的解析式为ｇ(ｘ)＝２ｃｏｓ２ｘ＋π３æèçöø÷１１.已知ａｎ＝２ｎ和ｂｎ＝３ｎ－１ꎬ数列{ａｎ}和{ｂｎ}的公共项由小到大组成数列{Ｃｎ}ꎬ则Ａ.Ｃ３＝３２Ｂ.{Ｃｎ}不是等比数列Ｃ.数列１ｂｎｂｎ＋１{}的前ｎ项和Ｔｎ＝１２－１３ｎ＋２Ｄ.数列ｂｎａｎ{}的前ｎ项和Ｓｎɪ[１ꎬ５)三㊁填空题(本大题共３小题ꎬ每小题５分ꎬ共１５分)１２.若函数ｆ(ｘ)＝(２ｘ＋ａ)ｌｎ３ｘ－１３ｘ＋１为偶函数ꎬ则ａ＝㊀㊀㊀㊀.１３.正四棱锥的顶点都在同一球面上ꎬ若该棱锥的高为２ꎬ底面边长为１ꎬ则该球的表面积为㊀㊀㊀㊀.１４.已知抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘꎬ焦点为Ｆꎬ不过点Ｆ的直线ｌ交抛物线Ｃ于ＡꎬＢ两点ꎬＤ为ＡＢ的中点ꎬＤ到抛物线Ｃ的准线的距离为ｄꎬøＡＦＢ＝１２０ʎꎬ则ＡＢｄ的最小值为㊀㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(共７７分ꎬ解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１５.(本小题满分１３分)已知在әＡＢＣ中ꎬ三边ａꎬｂꎬｃ所对的角分别为ＡꎬＢꎬＣꎬａ(ｃｏｓＡ＋ｃｏｓＢｃｏｓＣ)＝３ｂｓｉｎＡｃｏｓＣ.(１)求Ｃꎻ(２)若ａ＋ｂ＝２ｃꎬәＡＢＣ外接圆的直径为４ꎬ求әＡＢＣ的面积.１６.(本小题满分１５分)如图２ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬＰＤʅ底面ＡＢＣＤꎬＣＤʊＡＢꎬＡＤ＝ＤＣ＝ＣＢ＝２ꎬＡＢ＝４ꎬＤＰ＝３.(１)证明:ＢＤʅＰＡꎻ㊀图２(２)求平面ＡＢＤ与平面ＰＡＢ的夹角.１７.(本小题满分１５分)已知椭圆Ｃ１:ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)左右焦点Ｆ１ꎬＦ２分别为椭圆Ｃ２:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的左右顶点ꎬ过点Ｆ１且斜率不为零的直线与椭圆Ｃ１相交于ＡꎬＢ两点ꎬ交椭圆Ｃ２于点Ｍꎬ且әＡＢＦ２与әＢＦ１Ｆ２的周长之差为４－２２.(１)求椭圆Ｃ１与椭圆Ｃ２的方程ꎻ(２)若直线ＭＦ２与椭圆Ｃ１相交于ＤꎬＥ两点ꎬ记直线ＭＦ１的斜率为ｋ１ꎬ直线ＭＦ２的斜率为ｋ２ꎬ求证:ｋ１ｋ２为定值.１８.(本小题满分１７分)绿色已成为当今世界主题ꎬ绿色动力已成为时代的驱动力ꎬ绿色能源是未来新能源行业的主导.某汽车公司顺应时代潮流ꎬ最新研发了一款新能源汽车ꎬ并在出厂前对该批次汽车随机抽取１００辆进行了单次最大续航里程(理论上是指新能源汽车所装载的燃料或电池所能够提供给车行驶的最远里程)的测试.现对测试数据进行分析ꎬ得到如图３所示的频率分布直方图.㊀图３(１)估计这１００辆汽车的单次最大续航里程的平均值ｘ－(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)ꎻ(２)若单次最大续航里程在３３０ｋｍ到４３０ｋｍ的汽车为 Ａ类汽车 ꎬ以抽样检测的频率作为实际情况的概率ꎬ从该汽车公司最新研发的新能源汽车中随机抽取１０辆ꎬ设这１０辆汽车中为 Ａ类汽车 的数量为Ｙꎬ求Ｅ(Ｙ).(３)某汽车销售公司为推广此款新能源汽车ꎬ现面向意向客户推出 玩游戏ꎬ送大奖 活动ꎬ客户可根据抛掷硬币的结果ꎬ操控微型遥控车在方格图上行进ꎬ若遥控车最终停在 胜利大本营 ꎬ则可获得购车优惠券.已知硬币出现正㊁反面的概率都是１２ꎬ方格图上标有第０格㊁第１格㊁第２格㊁ ㊁第３０格.遥控车开始在第０格ꎬ客户每掷一次硬币ꎬ遥控车向前移动一次ꎬ若掷出正面ꎬ遥控车向前移动一格(从ｋ到ｋ＋１)ꎬ若掷出反面ꎬ遥控车向前移动两格(从ｋ到ｋ＋２)ꎬ直到遥控车移到第２９格(胜利大本营)或第３０格(失败大本营)时ꎬ游戏结束.已知遥控车在第０格的概率为Ｐ０＝１ꎬ设遥控车移到第ｎ格的概率为Ｐｎ(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ３０)ꎬ试证明:数列{Ｐｎ－Ｐｎ－１}(ｎ＝１ꎬ２ꎬ ꎬ２９)是等比数列ꎬ并解释此方案能否成功吸引顾客购买该款新能源汽车?１９.(本小题满分１７分)(１)证明:当０<ｘ<１时ꎬｘ－ｘ２<ｓｉｎｘ<ｘꎻ(２)已知函数ｆ(ｘ)＝ｃｏｓａｘ－ｌｎ(１－ｘ２)ꎬ若ｘ＝０是ｆ(ｘ)的极小值点ꎬ求ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共11页）2025届云南三校高考备考实用性联考卷（一）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B B D A D C D C 【解析】1．2230x x -->，(3)(1)0x x -+>，得x >3或x <−1，∴{|31}A x x x =><-或，{|04}B x x =<<， ∴{|13}A x x =-R ≤≤ ，∴(03]A B =R ， ，故选B.3．由题意及图得，1tan 3α=，1tan 2β=，∴11tan tan 23tan()11tan tan 11123αβαβαβ+++==⨯=-+-，∵π02α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，∴π4αβ+=，∴tan()1αβ+=，故选D.5．55771log 2log log log 32a b =<==<=，即a c b <<，故选D. 6．A ．∵148a a =，322a a =+，23223332824422a a a a a a a a ===-⎧⎧⎧⇒⎨⎨⎨==--=⎩⎩⎩或（舍去）∴，∴322.aq a ==11a =∴； B. 1112n n n a a q --== ，112112n n n a a q a S q --==-- ，∴12n n S a -=-，∴21n n S a =-；C ．1221log log 21112222n n n n n n n a n n b S a ----====+ ；D ．1122n nn nb b ++--=，∵12345b b b b b <=>>…， ∴2314b b ==，∴23{}n b b b 的最大项为和，故选C. 7．如图1，以D 为原点，分别以DA ，DC ，DD 1，所在直线为x 轴，y轴、z 轴建立空间直角坐标系. 设2AB =，则B (2，2，0)，A 1 (2，0，2)，A (2，0，0)，C (0，2，0)，N (1，2，0)，设M (0，y ，2)(02y <<)，则(220)DB = ，，，1(202)DA =，，，设平面1A BD 的法向量为图1数学参考答案·第2页（共11页）111()n x y z = ，，，则11111220220n DA x z n DB x y ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩ ，可取11x =，得(111)n =-- ，，， (022)CM y =- ，，∵，∴ (111)(022)0n CM y y =---=-≠ ，，，，，故A 不正确； (22)AM y =- ，，∵，∴(220)(22)240DB AM y y =-=-≠，，，，，故B 不正确；(122)MN y =-- ，，∵，∴(111)(122)10n MN y y =----=+≠，，，，，故C 不正确；∵11A D AD ⊥，111A D C D ⊥，111 AD C D D = ，1AD ，111C D AD M ⊂平面，∴11 A D AD M ⊥平面.又11A D A BD ⊂平面，∴平面11A BD AD M ⊥平面，故D 正确，故选D.8．因为2π3OAP ∠=且OP 的垂直平分线经过点A ，所以OPA △为等腰三角形且OA PA a ==，所以在三角形FPA △中tan tan(60)1FPA PFA ∠=-∠== ，∴45FPA ∠= ，从而在三角形FPA △由正弦定理可知：sin sin AF AP FPA PFA =∠∠，即：sin sin a c aFPA PFA+=∠∠，24=，解得e =，故选C ．二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号 9 10 11 答案 ABD BD AD【解析】9．由题，2()33f x x '=-，令()0f x '>得1x >或1x <-，令()0f x '<得11x -<<，所以()f x 在(1)-∞-，，(1)+∞，上单调递增，(11)-，上单调递减，所以1x =±是极值点，故A 正确；令3()3h x x x =-，该函数的定义域为R ，33()()(3)3()h x x x x x h x -=---=-+=-，则()h x 是奇函数，(00)，是()h x 的对称中心，将()h x 的图象向上移动两个单位得到()f x 的图象，所以点(02)，是曲线()y f x =的对称中心，故B 正确；因为(1)40f -=>，(1)0f =，(2)0f -=，所以，函数()f x 在(1)-∞-，上有一个零点，当1x >时，()(1)0x f f >=，即函数()f x 在数学参考答案·第3页（共11页）(1+)∞，上无零点，综上所述，函数()f x 有两个零点，故C 错误；令2()330f x x '=-=，可得1x =±，又(1)0(1)4f f =-=，，当切点为(10)，时，切线方程为0y =，当切点为(14)-，时，切线方程为4y =，故D 正确，故选ABD.10．根据辅助角公式得πsin()cos()n 4)i (x f x x x ωϕωϕωϕ⎛⎫=+++=++ ⎪⎝⎭．∵最小正周期为π，0ω>， 2π2π2πT ω===∴，即π()24f x x ϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．∵函数()f x过点(0，π||2ϕ≤，(0)πin 4f ϕ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭∴，则ππ2π42k k ϕ+=+∈Z ，．当0k =时π4ϕ=．即π()222f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭．令2(2ππ2π)x k k k ∈+∈Z ，，，则πππ2x k k ⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ，当0k =时，()f x 在π02⎛⎫⎪⎝⎭，单调递减，故A 错误；令2πx k k =∈Z ，，则π2k x k =∈Z ，当1k =时，()f x 的一条对称轴为π2x =，故B 正确；因为()2f x x =为偶函数，所以(||)2|)2f x x x ==，则(||)f x 的周期为πk k ∈Z ，且0k ≠，故C 错误；函数()f x 的图象向左平移π6个长度单位得到函数()g x 的解析式为ππ()2263g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故D 正确，故选BD ．11．∵2n n a =，31n b n =-，∴C n 是以2为首领，4为公比的等比数列，∴12n n C q -==1222124222n n n ---== ，∴61532232C -===， A 正确B 不正确；311(31)22n n n n b n n a -==- ；35552n nn S +=-<， 而1 1n S S =≥，∴15n S <≤，D 正确；C. 1111(31)(32)3n n b b n n +==-+ (32)(31)(31)(32)n n n n +----+11133132n n ⎛⎫=- ⎪-+⎝⎭，∴13n T =111111125588113132n n ⎛⎫-+-+-+- ⎪-+⎝⎭1…1113232n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭11696n =-+，∴C 选项错误，正确选项为AD ，故选AD.数学参考答案·第4页（共11页）三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12．因为()f x 为偶函数，则1(1)(1)(2)ln (2)ln 22f f a a =-+=-+，∴，解得0a =，当0a =时，31ln31()2f x x x x =-+，(31)(31)0x x -+>，解得13x >或13x <-，则其定义域为1|3x x ⎧>⎨⎩或13x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.13()13131ln ln ln 3()13()(2)(2)(1)132x x f x x x x x x x x ---+-⎛⎫== ⎪-+-+⎝--⎭=-- 312ln31()x x x f x -==+，故此时()f x 为偶函数. 13．正四棱锥P −ABCD 的外接球的球心在它的高PO1上，记为O ，如图2，则 PO =AO =R ， 12PO =，12OO R =-， 在Rt △AOO 1中，1 2AO =， 由勾股定理：222 (2)2R R ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭， 得98R =， 所以球的表面积 281π4π16S R ==. 14．过点AB ，作抛物线C ：24y x =的准线的垂线，垂足为M N ，，设AM λ=，BNμ=，则由梯形的中位线可知2d λμ+=，在AFB △中由余弦定理可知：||AB =所以||AB d =又因||AB d====，当且仅当λμ=时，等号成立，所以||AB d 图2数学参考答案·第5页（共11页）四、解答题（共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15．（本小题满分13分）解：（1）因为(cos cos cos )sin cos a A B C A C +=，由正弦定理得，sin (cos cos cos )sin cos A A B C B A C +=， 因为(0π)sin 0A A ∈≠，，，所以cos cos cos cos A B C B C +，……………………………………（2分）因为cos cos()A B C =-+sin sin cos cos B C B C =-．……………………………………（4分）所以sin sin cos B C B C =， 又sin 0B ≠，则tan C =， 因为(0π)C ∈，，所以π3C =． ……………………………………（6分）（2）由正弦定理，4sin cC=，则4sin c C ==，………………………………（8分）由余弦定理：22222121cos 222a b c a b C ab ab +-+-===，∴2()212a b ab ab +--=， 2()123a b ab +-=，∴a b +=∵， ………………………………（11分）12ab =，∴1sin 2ABC S ab C ==故△的面积 ………………………………（13分）16．（本小题满分15分） （1）证明：在四边形ABCD 中作DE ⊥AB 于E ，CF ⊥AB 于F ，如图3， ∵CD AB ，2CD AD CB ===，4AB =， ∴四边形ABCD 为等腰梯形，1AE BF ==∴，故 DE BD ==.……………………（2分）数学参考答案·第6页（共11页）∴222AD BD AB +=， ∴AD BD ⊥.又∵PD ⊥平面ABCD ，BD ABCD ⊂平面， ∴PD BD ⊥， 又∵PD AD D = , ∴BD ⊥平面P AD. ……………………（5分）又 PA PAD ⊂平面， ∴BD PA ⊥．……………………………（7分）（2）解：如图4，以D 为原点建立空间直角坐标系. 由（1）可得BD =，则A (2，0，0)，B (0，，0)， P (0，0)，则(20AP =- ，，(0BP =-，， ……………………………（9分）设平面P AB 的法向量()n x y z =，，，则有20n AP x n BP ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，可取12)n = ，， …………………（12分）又平面ABD 的一个法向量 (001)m = ，，，……………………（13分）∴||cos 2||||m n m n m n 〈〉==，，…………………（14分）即平面ABD 与平面P AB所成夹角的余弦值为2， 所以，平面ABD 与平面P AB 的夹角为π4. …………………（15分）17．（本小题满分15分） （1）解：设椭圆1C 的半焦距为c ，由椭圆的定义可知2ABF △的周长为，12BF F △的周长为2c +，又2ABF △与12BF F △的周长之差为4-……………………………………（2分）所以24c -=-，图3图4数学参考答案·第7页（共11页）又因椭圆1C 左右焦点12F F ，分别为椭圆2C 的左右顶点.c a =∴，……………………………………（4分）联立解得，a =从而有c a == ……………………………………（5分）所以222222a b c -==，解得21b =，所以所求椭圆1C 的方程为22142x y +=，椭圆2C 的方程为2212x y +=．……………………………………（6分）（2）①证明：由（1）可知椭圆1C 的方程为22142x y +=，12(0)0)F F ，，设000()(0)M x y y ≠，，则有220012x y +=，于是12kk 2020122y x ===--.……………………………………（10分）②解：因为1212k k =-，所以21k =-，所以直线DE的方程为：y x =-联立y x =-与22142x y +=，消去y得：230x -=,……………………………………（11分）则有：1203x x ==，所以(033D E ⎛- ⎝⎭，，……………………………………（14分）83DE ==． ……………………………………（15分） 附注：本题也可由椭圆的焦半径公式可知：122()DE a e x x =-+22224412k k =-+． 也可以利用弦长公式直接求. 18．（本小题满分17分）解：（1）x =0.002×50×205+0.004×50×255+0.009×50×305+0.004×50×355+0.001×50×405 =300(km)．……………………………………（3分）数学参考答案·第8页（共11页）（2）由题意可知任取一辆汽车为“A 类汽车”的概率为(0.0040.001)500.25+⨯=，……………………………………（4分） 经分析Y ~(100.25)B ，，……………………………………（6分） ()100.25 2.5E Y =⨯=．……………………………………（8分）（3）第一次掷硬币出现正面，遥控车移到第一格，其概率为12，即112P =. 遥控车移到第(229)n n ≤≤格的情况是下面两种，而且只有两种： ①遥控车先到第n −2格，又掷出反面，其概率为212n P -；②遥控车先到第n −1格，又掷出正面，其概率为112n P -.所以211122n n n P P P --=+， ……………………………………（10分） 所以1121()2n n n n P P P P ----=--，……………………………………（11分）因为1012P P -=-， 所以129n ≤≤时，数列{P n −P n −1}是等比数列，首项为1012P P -=-，公比为12-的等比数列.所以1112P -=-，22112P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，33212P P ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， (112)n n P P -⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.所以112100()()()n n n n n P P P P P P P P ---=-+-+⋯+-+=1111...1222n n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-+ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111212113212n n ++⎛⎫-- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==--⎢⎥ ⎪⎛⎫⎝⎭⎢⎥⎣⎦+ ⎪⎝⎭， 01P =也满足上式，故1211(0129)32n n P n +⎡⎤⎛⎫=--=⋯⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，，，，……………………………………（14分）所以获胜的概率302921132P ⎡⎤⎛⎫=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，数学参考答案·第9页（共11页）失败的概率2929302811211111223232P P ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫==⨯--=--⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，……………………………………（16分）所以30292829302111111110323232P P ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-----=-->⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以获胜的概率大.所以此方案能成功吸引顾客购买该款新能源汽车．……………………………………（17分）19．（本小题满分17分）（1）证明：构建()sin (01)F x x x x =-∈，，， ……………………………………（1分） 则()1cos 0F x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（2分）则()F x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0F x F >=， 所以sin (01)x x x >∈，，； ……………………………………（3分）构建22()sin ()sin (01)G x x x x x x x x =--=-+∈，，，………………………………（4分） 则()21cos (01)G x x x x '=-+∈，，， ……………………………………（5分）构建()()(01)g x G x x '=∈，，，则()2sin 0g x x '=->对(01)x ∀∈，恒成立，……………………………………（6分）则()g x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0g x g >=， 即()0G x '>对(01)x ∀∈，恒成立， ……………………………………（7分）则()G x 在(01)，上单调递增，可得()(0)0G x G >=， 所以2sin (01)x x x x >-∈，，； 综上所述：sin x x x x 2-<<． ……………………………………（8分）（2）解：令210x ->，解得11x -<<，即函数()f x 的定义域为(11)-，， 若0a =，则21ln(1)(11)()f x x x =--∈-，，，令21u x =-， 因为1ln y u =-在定义域内单调递减，21u x =-在(10)-，上单调递增，在(01)，上单调递减，则21ln(1)()x x f =--在(10)-，上单调递减，在(01)，上单调递增，数学参考答案·第10页（共11页）故0x =是()f x 的极小值点，符合题意. ……………………………………（10分）当0a ≠时，令||0b a =>，因为222()cos ln(1)cos(||)ln(1)cos ln(1)x ax x a x x bx f x =--=--=--， 且22()cos()ln[1()]cos ln(1)()x f f x bx x bx x -=----=--=， 所以函数()f x 在定义域内为偶函数，…………………………………………………………（11分）由题意可得：22()sin (11)1xf x b bx x x '=--∈--，， （i ）当202b <≤时，取1min 1m b ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，，(0)x m ∈，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得222222222(2)()sin()111x x x b x b f x b bx b x x x x +-'=-->--=---， 且222202010b x b x >-->，≥，， 所以2222(2)()01x b x b f x x +-'>>-， ……………………………………（13分）即当(0)(01)x m ∈⊆，，时，()0f x '>，则()f x 在(0)m ，上单调递增， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)m -，上单调递减，所以0x =是()f x 的极小值点，符合题意； ……………………………………（14分）（ⅱ）当22b >时，取10(01)x b ⎛⎫∈⊆ ⎪⎝⎭，，，则(01)bx ∈，， 由（1）可得2233223222222()sin ()(2)111x x x f x b bx b bx b x b x b x b x b x x x'=--<---=-+++----， 构建3322321()20h x b x b x b x b x b ⎛⎫=-+++-∈ ⎪⎝⎭，，， …………………………………（15分）则32231()320h x b x b x b x b ⎛⎫'=-++∈ ⎪⎝⎭，，，且331(0)00h b h b b b ⎛⎫''=>=-> ⎪⎝⎭，，则()0h x '>对10x b ⎛⎫∀∈ ⎪⎝⎭，恒成立，可知()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递增，且21(0)2020h b h b ⎛⎫=-<=> ⎪⎝⎭，，数学参考答案·第11页（共11页）所以()h x 在10b ⎛⎫ ⎪⎝⎭，内存在唯一的零点10n b ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，当(0)x n ∈，时，则()0h x <，且2010x x >->，， 则3322322()(2)01xf x b x b x b x b x'<-+++-<-，……………………………………（16分）即当(0)(01)x n ∈⊆，，时，()0f x '<，则()f x 在(0)n ，上单调递减， 结合偶函数的对称性可知：()f x 在(0)n -，上单调递增， 所以0x =是()f x 的极大值点，不符合题意； 综上所述：22b ≤，即22a ≤，解得a ， 故a的取值范围为a .……………………………………（17分）。
2023届云南省“3+3+3”高三高考备考诊断性联考(二)数学试卷(word版)
2023届云南省“3+3+3”高三高考备考诊断性联考（二）数学试卷(word版)一、单选题(★★★) 1. 集合，，则（）A．B．C．D．(★★) 2. 已知复数，则（）A．B．C．1D．(★) 3. 皮埃尔·德·费马（Pierre de Fermat）是十七世纪法国律师和业余数学家．费马曾提出猜想：对任意大于2的正整数n，关于x，y，z的方程没有正整数解．经历了三百多年，1995年英国著名数学家、牛津大学教授安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）给出了证明，使它成为费马大定理．若三边的长为a，b，c且都为正整数，满足，则一定是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．钝角三角形(★★★) 4. 已知，则（）A．B．C．D．(★★) 5. 函数的图象大致形如（）A．B．C．D．(★★) 6. 三国时期数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”，它由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现对该图进行涂色，有5种不同的颜色提供选择，相邻区域所涂颜色不同.在所有的涂色方案中随机选择一种方案，该方案恰好只用到三种颜色的概率是（）A．B．C．D．(★★) 7. 在梯形中，，, ，为的中点，，则（）A．B．C．D．(★★★) 8. 已知，使恒成立的有序数对有（）A．2个B．4个C．6个D．8个二、多选题(★★) 9. 恩格尔系数是食品支出总额占个人消费支出总额的比重，恩格尔系数达以上为贫困，为温饱，为小康，为富裕，低于为最富裕.国家统计局2023年1月17日发布了我国2022年居民收入和消费支出情况，根据统计图表如图甲、乙所示，下列说法正确的是（）A．2022年城镇居民人均可支配收入增长额超过农村居民人均可支配收入增长额B．2022年城镇居民收入增长率快于农村居民C．从恩格尔系数看，可认为我国在2022年达到富裕D．2022年全国居民人均消费支出构成中食品烟酒和居住占比超过(★★) 10. 已知椭圆，为C的左、右焦点，P为C上一点，且，若交C点于点Q，则（）A．周长为8B．C．面积为D．(★★★) 11. 将函数向左平移个单位，得到函数，下列关于的说法正确的是（）A．关于对称B．当时，关于对称C．当时，在上单调递增D．若在上有三个零点，则的取值范围为(★★★) 12. 在正三棱锥中，，D为PC的中点，以下四个结论中正确的是（）A．若平面ABD，则二面角余弦值为B．若平面ABD，则三棱锥的外接球体积为C．若，则三棱锥的体积为D．若，则三棱锥的外接球表面积为三、填空题(★★★) 13. 函数的单调递增区间为 ____________ ．(★★★) 14. 在的展开式中，的系数为 ____________ ．（结果填数字）(★) 15. ，其最大值和最小值的和为 ____________ ．(★★★) 16. 双曲线的左、右焦点分别为，P为右支上一点，且，的内切圆圆心为I，与切于点A，直线PI交x轴于点Q，若，则双曲线的离心率为 ____________ ．四、解答题(★★★) 17. 正项数列的前n项和为，已知．(1)求证：数列为等差数列，并求出，；(2)若，求数列的前2023项和．(★★★) 18. 如图甲，已知是边长为6的等边三角形，D，E分别是AB，AC的点，且，将沿着DE翻折，使，点A到达点P处使得，得到四棱锥，如图乙．(1)求证：平面平面BCED；(2)求平面PDB与平面PEC所成锐二面角的正弦值．(★★★) 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知．(1)求B；(2)若，当取最大值时，求外接圆的半径．(★★★) 20. 《密室逃脱》是一款实景逃脱类游戏，参与者被困在房间内，需要根据提示寻找线索，在规定时间内依次打开每一扇房门则游戏完成，否则失败．一密室店主统计了400个顾客参与主题密室逃脱的时间，得到顾客完成逃脱用时的频率分布直方图如图：(1)若顾客用时均值大于60分钟，且标准差小于10分钟，则认为该主题密室逃脱成功难度大．请判断主题的成功难度；（参考数据：方差）(2)店主计划至少的顾客能在规定时间m分钟内完成逃脱，试计算m；（四舍五入保留到个位）(3)为吸引顾客，该店推出如下游戏规则：①在（2）的条件下，参加单人任务，在规定时间m分钟内完成则奖励1元；②组团参与者可购买一份10元组团券，3人同时进入主题的不同房间，若60分钟内所有人完成逃脱，则每人可获10元奖励，2人完成逃脱，则每人可获7元奖励，1人完成逃脱，则每人可获3元奖励．用频率估计概率，若你是顾客，会选择哪种方案？(★★★★★) 21. 已知椭圆的左焦点为，直线l过点F交椭圆于A，B两点．当直线l垂直于x轴时，的面积为.(1)求椭圆的方程；(2)直线上是否存在点C，使得为正三角形？若存在，求出点C的坐标及直线l 的方程；若不存在，请说明理由．(★★★) 22. 已知函数(1)求在处的切线方程；(2)若，求实数a的取值范围．。
云南三校生模拟考试题(第二章集合、不等式、不等式组)
云南省高等职业技术教育招生考试模拟试题 数学第二章（集合、不等式与不等式组）田应雄命题一、选择题(本大题共20小题，每小题2分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，选出一个符合题目要求的，并且2B 铅笔在答题卡上将该项涂黑)1、下列选项能组成集合的是 （ ）A.学校篮球水平较高的学生B.校园中长的高大的树木C.2007年所有的欧盟国家D.中国经济发达的城市2、不等式组⎩⎨⎧<>bx a x 的解集为{}21|<<x x ，则a ，b 的值为（ ）A ．1,2 B.1,1 C.2,1 D. 2,23、下列表述正确的是 （ ）A.}0{=∅B. }0{⊆∅C. }0{⊇∅D. }0{∈∅4、已知集合M={*,4|N n n x x ∈=}则下列各数属于集合M 的是（ ）A.0B.2007C.2008D.20095、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个.（ ）A ．7B ．8C ．9D ．106、设集合{}{}1,1,1,0,1-=-=N M ，则（ ）A.N M ⊆B.N M ⊂C.N M =D.M N ⊂7、已知{}2<=x x A ，则下列写法正确的是（ ）A.A ⊆0B.{}A ∈0C.A ∈φD.{}A ⊆08、设全集{}6,5,4,3,2,1,0=U ，集合{}6,5,4,3=A ，则=A C U （ ）A ．{}6,2,1,0 B. ∅ C. {}5,4,3 D. {}2,1,09、已知集合{}3,2,1=A ，集合{}7,5,3,1=B ，则=B A （ ）A ．{}5,3,1 B.{}3,2,1 C.{}3,1 D. ∅10、已知集合{}2,=+=y x y x A ）（，集合{}4,=-=y x y x B ）（，则=⋂B A （）A ．3，-1 B. {}13-， C. {})13(-， D. {})31(，-11、已知集合{}3,2,1=A ，集合{}765,4，，=B ，则=B A （ ） A ．{}3,2 B.{}3,2,1 C.{}765,4,3,2,1，， D. ∅ 12、设集合M = {x │x+1＞0}，N = {x │－x+3＞0}，则M ∩N =（ ）A 、{x │x ＞－1}B 、{x │x ＜－3}C 、{x │－1＜x ＜3}D 、{x │x ＞－1或x ＜3}13.下列各式错误的是( ). A.{}3|2<⊂-x x B.{}3|1<∈-x x C.{}{}3|2<⊂-x x D.∅{}3|<⊂x x14.设全集为N ，集合M={},8|*N x x x ∈≥，则集合M C N 中元素的个数为（ ）A.7个B.8个C.9个D.无数多个16.已知集合P={1，2}，那么满足Q ⊆P 的集合Q 的个数为（ ）A ．1 B.2 C.3 D. 417.若{}023|2=+-x ax x 有2个子集，则a=( ).A. -1或1B. 0或89C. 1或0D. 98或0 18、设集合M={}{}00|),(,0|),(>>=>y x y x N xy y x 且则正确的是（ ）.A.M N M =⋃B.N N M =⋃C.M N M =⋂D.=⋂N M ∅.19. 已知集合{}20<<=x x A ，集合{}31≤<=x x B ，则=B A （ ）A ．{}30<<=x x A B. {}30≤<=x xB C. {}21<<=x x B D. {}21≤<=x x B20.设{}{}共有则满足条件的集合M M ,4,3,2,12,1⊆⊂( ). A.1个 B.2个 C.3个 D.4个二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，满分20分，请将答案写在答题卡相应题号后）21、)13(2)1(32+++-a x a x 在实数范围内分解因式为____________.22、以x 、y 为未知数的方程组⎩⎨⎧=-=+k y x y x 1622有实数解，那么k 的取值范围是_____. 23、已知集合A={}R x x x ∈≤,1|，B={}Z x x x ∈>+,02|则=⋂B A ___________.24、已知A={}02|2<-x x x ，B={}31|<<x x ，则=⋂B A _____________.25、已知A={}12,3,1-m ，B={}2,3m ，若A B ⊆,则实数m=___________. 26、若A={}2log |2≤x x ，B={}a ,∞-，B A ⊆,实数a 取值范围为{}+∞,c ，则c=_____________.27、若nm --⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛3131，则m 与n 的大小关系是_____________. 28、不等式7253<-≤x 的解集_____________ .29、不等式12141log log +<x x 的解集_____________. .30、用列举法表示{}=∈<--=Z x x x x D ,043|2____________.三、解答题（本大题共5小题，每小题8分，满分40分，请将答案填写在答题卡上相应题号后，解答时应写出推理、演算步骤）31、解不等式1032<+x x .32、设全集U=R ，集合{}21≤<-=x x A ，{}30<<=x x B ，求B A ，B A 和U C (A B)。
云南省三校2024届高三高考备考实用性联考卷(三)数学试题
云南省三校2024届高三高考备考实用性联考卷（三）数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A ．255B ．55C ．12D ．53二、多选题9．已知变量x ，y 之间的经验回归方程为ˆ110.5yx =-，且变量则下列说法正确的是（）x235911y121073A ．11B D A P ⊥B ．DP ∥平面11AB D C ．三棱锥1P ACD -的体积为定值D ．1A P PC +的最小值为三、填空题13．在ABC 中，若tan A =14．已知函数()f x 满足(f 满足条件的一个解析式即可）15．若a b = ，8a b += ，四、解答题17．已知2()3sin cos sin f x x x x =+．在ABC 中，3()2f A =．(1)求角A 的大小；(2)D 是边BC 上的一点，且sin 2sin C B =，AD 平分BAC ∠，且积．18．已知等差数列{}n a 的公差不为零，其前n 项和为n S ，且2a 是且*221()n n a a n =+∈N ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足11122(23)26n n n a b a b a b n ++++=-⋅+ ，求和：121121n n n n n T a b a b a b a b --=++++ ．19．目前,教师职业越来越受青睐,考取教师资格证成为不少人的就业规划之一学教师资格考试分笔试和面试两部分,笔试通过后才能进入面试环节(1)证明：AB PE ⊥；(2)求二面角A EF D --的平面角的余弦值．21．已知点M 到定点(3,0F (1)求点M 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y kx m =+与圆B 两点，求证：FAB 的周长为定值．22．已知函数ln ()a x f x x=(1)讨论()f x 的极值；(2)若()()2112e e xxx x =（e 是自然对数的底数）。
云南省三校2023届高三数学联考试题(八) (2)
一、单选题二、多选题 1. “”是“”的（ ）．A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2. 某市高三年级共有14000人参加教学质量检测，学生的数学成绩近似服从正态分布（试卷满分150分），且，据此可以估计，这次检测数学成绩在80到90分之间的学生人数为（ ）A ．2800B ．4200C ．5600D ．70003. 已知点在角的终边上，则的值为（ ）A．B．C．D．4. 设集合，，则（ ）A ．B．C．D．5.圆的直径弦，点在弦上，则的最小值是（）A．B．C．D．6. 设{a n }是公差为d 的等差数列，S n 为其前n 项和，则“d ＜0”是“∀n ∈N *，S n +1＜S n ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7.设，函数，若在区间内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A．B．C．D．8. 已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，过C 上一点A 作l 的垂线，垂足为B .若，则的外接圆面积为（ ）.A．B．C．D．9.若非零实数满足，则下列不等式不一定成立的是（ ）A．B．C．D．10.已知数列满足，，前n 项和为，则（ ）A．B．C．D．11. 小李经营的个体店在2020年各月份的收入和支出（单位：百元）情况的统计如图所示，下列说法中正确的有（ ）云南省三校2023届高三数学联考试题（八） (2)云南省三校2023届高三数学联考试题（八） (2)三、填空题四、解答题A ．月支出最高值与月支出最低值的比是6:1B ．1至2月份的支出的变化率与3至4月份的收入的变化率相同C ．利润最大的月份是2月份和9月份D ．第三季度平均月利润为2000元12. 如图，正方形ABCD 的边长为1，M ，N 分别为BC ，CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，以下结论中正确的是（）A ．异面直线AC 与BD 所成的角为定值B ．三棱锥的外接球的表面积为C ．存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直D ．三棱锥体积的最大值为13.已知四边形中，，，，点E是的中点，则______.14. 定义在上的函数的反函数为，则________.15.二项式的展开式的常数项是____ ．16.如图，已知直三棱柱为的中点，为侧棱上一点，且，三棱柱的体积为32．(1)过点作，垂足为点，求证：平面；(2)求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．17. 已知甲箱、乙箱均有6件产品，其中甲箱中有4件正品，2件次品；乙箱中有3件正品，3件次品．(1)现从甲箱中随机抽取两件产品放入乙箱，再从乙箱中随机抽取一件产品，求从乙箱中抽取的这件产品恰好是次品的概率；(2)现需要通过检测将甲箱中的次品找出来，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到能将次品全部找出时检测结束，已知每检测一件产品需要费用15元，设表示能找出甲箱中的所有次品时所需要的检测费用（单位：元），求的分布列与数学期望．18. 在平面四边形中，，，，.(1)若，求的面积.(2)求的最大值.19. 为了弘扬奥林匹克精神，普及冰雪运动知识，大力营造校园冰雪运动文化氛围，助力2022年冬奥会和冬残奥会，某校组织全校学生参与“激情冰雪，相约冬奥”冰雪运动知识竞赛.为了了解学生竞赛成绩，从参加竞赛的学生中，随机抽取若干名学生，将其成绩绘制成如图所示的频率分布直方图，其中样本数据分组区间为，，，，，已知成绩在内的有60人.(1)求样本容量，并估计该校本次竞赛成绩的中位数.(2)将成绩在内的学生定义为“冰雪达人”，成绩在内的学生定义为“非冰雪达人”.请将下面的列联表补充完整，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为是否为“冰雪达人”与性别有关？男生女生合计冰雪达人40非冰雪达人3060合计60(3)根据（2）中的数据分析，将频率视为概率，从该校学生中用随机抽样的方法抽取2人，记被抽取的2人中“冰雪达人”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列和数学期望.附：0.050.010.0013.841 6.63510.828，.20. 已知函数.（1）求函数的最值；（2）已知函数，设函数，若函数有三个零点，求实数的取值范围.21. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，、分别为、的中点．（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离．。
云南省三校生考试复习题2
彝良职高2011年秋季学期高三数学测试题（一）答卷注意事项：1.学生必须用碳素墨水笔直接在试题卷上答题；2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚；3.字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用；4.本卷共29大题，总分为150分，考试时间120分钟；一、选择题（每题4分，共计80分）1、a a -是 （ ）A 、负数B 、非负数C 、0D 、正数 2、将式子 ） A 、、3、下列约分中正确的是（ ）A 、623x x x = B 、x m m x n n+=+ C 、1x yx y -=--+ D 、22x y x y x y +=++ 4、已知331a a a a --+=+，则2a =（ ） A 、1 B 、3、2、3+5、设a b c ===a,b,c 的大小关系是（ ） A 、a<b<c B 、a>b>c C 、c>a>b D 、a<c<b 6、 若21025,m =则10m -= （ ）A 、15B 、15-C 、1625D 、15±7、若x,y 都大于零，且2lg(2)lg lg x y x y -=+，那么xy=（ ） A 、1 B 、14C 、4D 、不是确定的数 8、下列各式的值为零的是（ ）A 、00B 、1log 1C 、0(2D 、2log 1-9、不等式组2,3x x >-⎧⎨<⎩的解集为（ ）A 、{}/2x x >-B 、{}/3x x <C 、{}/23x x -<<D 、空集 10、不等式ax b >（0a ≠）的解集是（ ）A 、空集B 、/b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭C 、/a x x b ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭D 、//b b x x x x a a ⎧⎫⎧⎫>⋃<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭11、不等式2330x +>的解集为（ ）A 、RB 、空集C 、{}/11x x x >-<或D 、{}/11x x x ><-或12=（ ）A 、、13、若x y mx y n +=⎧⎨-=⎩，那么2x-3y 的值是（ ）A 、1(4)2m n +B 、1(5)2m n -C 、1(5)2n m -D 、1(5)4n m -14、已知a a =-，那么a 是（ ）A 、正数B 、负数C 、非正数D 、0 15、已知a<-b ，且ab>0,化简a b a b ab +-+-等于（ ） A 、-ab B 、2a+2b+ab C 、-2a-2b+ab D 、-2a+ab 16、关于函数2()1f x x =+ 的说法正确的是（ ） A 、在(,0)-∞是增函数 B 、在[0,)+∞是增函数 C 、在(,1)-∞是增函数 D 、在[1,)-+∞是增函数17、已知函数{1(0)1(0)()x x x x f x -≥+<=，则((0))f f = （ ）A 、0B 、-1C 、1D 、218、方程1 1.20.25 1.25x x--=的解为（ ） A 、194 B 、138 C 、- 138 D 、-19419、2lg(3)2lg x x +-的值为（ ）A 、负数B 、正数C 、0D 、不存在 20、下列函数中，在定义域内是减函数的是（ ） A 、1y=-B 、2y x =C 、2y x =D 、3y x =-二、填空题（每小题5分，共计25分）21、∣x +1∣+2010(1)y -=0，则2011()xy = 22、已知a,b 为实数，且满足221a a -+=-，则20112011a b += 23、已知：x=2,y=-1是方程组14ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a= b=24、若3log 4x =，则x= 25、若1aa=-12a -= 三、计算题（共计45分，写出必要演算步骤，不然不得分） 26、（10分）计算56784567log log log log27、（10分）已知12x =，求11111x x x +-++-28、(15分)求关于x的方程2(1)2(3)0m x m x m+--+=的根.29、（10分）解不等式225456x xx x++<--.。
云南省三校2024届高三下学期3月高考备考实用性联考卷(七) 数学
2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号在答题卡上填写清楚.2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效，3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知全集U =R ，集合{}{}10,1,1,3,4A xx B =-=-∣ ，那么如图阴影部分表示的集合为（）A.{}1,4-B.{}1,3,4C.{}1,4D.{}1,3,4-2.若1i +是一元二次方程20,x ax a a -+=∈R 的根，则该方程的两根之和为（）A.2B.1i- C.22i- D.13.已知(1,0),||1,||a b a b ==+=a 与b 的夹角为（）A.π6B.π3C.2π3D.5π64.小张､小王两人计划报一些兴趣班，他们分别从“篮球､绘画､书法､游泳､钢琴”这五个随机选择一个，记事件A ：“两人至少有一人选择篮球”，事件B ：“两人选择的兴趣班不同”，则概率()P BA =∣（）A.49B.59C.89D.455.我国古代有一种容器叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台），如果一个方斗的容积为28升（一升为一立方分米），上底边长为4分米，下底边长为2分米，则该方斗的表面积为（）A.(220dm+ B.(220dm+ C.256dm D.(220dm+6.已知圆的半径为1,,,a b c 分别为该圆的内接ABC 的三边，若abc =ABC 的面积为（）B. C. D.7.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法•商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，……第n 层有n a 个球，则数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前30项和为（）A.6031B.382C.2031D.19318.已知函数()e ln xf x x x x a =---，若()0f x =在()0,e x ∈有实数解，则实数a 的取值范围是（）A.[)0,∞+ B.1,e∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭C.[)1,∞+D.[)e,∞+二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）9.下列说法正确的是（）A.设随机变量X 的均值为,a μ是不等于μ的常数，则X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度（偏离程度用差的平方表示）B.若一组数据12,,,n x x x 的方差为0，则所有数据()1,2,,i x i n = 都相同C.用决定系数2R 比较两个回归模型的拟合效果时，2R 越小，残差平方和越小，模型拟合效果越好D.在对两个分类变量进行2χ独立性检验时，如果列联表中所有数据都扩大为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论不会发生改变10.函数()()ππ02,22f x x ωϕωϕ⎛⎫=+<-<< ⎪⎝⎭ 的部分图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A.()f x 的表达式可以写成()5π24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B.()f x 的图象关于直线5π8x =对称C.()f x 在区间5π7π,88⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D.若方程()1f x =在()0,m 上有且只有6个根，则5π13π,24m ⎛⎫∈⎪⎝⎭11.如图，已知二面角l αβ--的棱l 上有,A B 两点，,,,C AC l D BD l αβ∈⊥∈⊥，且AC AB BD ==，则（）A.当αβ⊥时，直线CD 与平面β所成角的正弦值为33B.当二面角l αβ--的大小为60 时，直线AB 与CD 所成角为45C.若22CD AB ==，则三棱锥A BCD -的外接球的体积为55π3D.若2CD AB =，则二面角C BD A --的余弦值为7三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知多项式()423450123453(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2345a a a a +++=__________.13.若()2ln 1f x x b ⎛⎫=+⎪+⎝⎭为奇函数，则b =__________.14.油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫于春分时节开展油纸伞文化艺术节.活动中将油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该伞的伞沿是一个半，阳光照射油纸伞在地面形成了一个椭圆形影子（春分时，北京的阳光与地面夹角为60 ），若伞柄底端正好位于该椭圆的焦点位置，则该椭圆的离心率为__________.四､解答题（共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）设圆C 与两圆222212:(3)1,:(3)1C x y C x y ++=-+=中的一个内切，另一个外切.（1）求圆心C 的轨迹E 的方程；（2）已知直线0(0)x y m m -+=>与轨迹E 交于不同的两点,A B ，且线段AB 的中点在圆2265x y +=上，求实数m 的值.16.（本小题满分15分）已知函数()1ln 2f x a x x x =++，且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直.（1）求函数()f x 的单调区间；（2）若关于x 的不等式()22mf x x x+ 恒成立，求实数m 的取值范围.17.（本小题满分15分）如图，在几何体ABCDEF 中，ADEF 为等腰梯形，ABCD 为矩形，AD ∥,1EF AB =，3,2,1AD DE EF ===，平面ADEF ⊥平面ABCD .（1）证明：BF CF ⊥；（2）求直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值.18.（本小题满分17分）现有标号依次为1,2,,n 的n 个盒子，标号为1号的盒子里有2个黑球和2个白球，其余盒子里都是1个黑球和1个白球.现从1号盒子里取出2个球放入2号盒子，再从2号盒子里取出2个球放入3号盒子， ，依次进行到从1n -号盒子里取出2个球放入n 号盒子为止.（1）当2n =时，求2号盒子里有3个黑球的概率；（2）当3n =时，求3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列；（3）记n 号盒子中黑球的个数为n X ，求n X 的期望()n E X .19.（本小题满分17分）三阶行列式是解决复杂代数运算的算法，其运算法则如下：123123123231312321213132123a a ab b b a bc a b c a b c a b c a b c a b c c c c =++---.若111222i j ka b x y z x y z ⨯=，则称a b⨯ 为空间向量a 与b的叉乘，其中()()111111222222,,,,,a x i y j z k x y z b x i y j z k x y z =++∈=++∈R R ，{},,i j k 为单位正交基底.以O 为坐标原点，分别以,,i j k的方向为x 轴､y 轴､z 轴的正方向建立空间直角坐标系，已知,A B 是空间直角坐标系中异于O 的不同两点.（1）①若()()0,2,1,1,3,2A B -，求OA OB ⨯uur uuu r；②证明：0OA OB OB OA ⨯+⨯=uur uuu r uuu r uur r.（2）记AOB 的面积为AOB S ，证明：12AOB S OA OB =⨯V uur uuur ；（3）问：2()OA OB ⨯uur uuu r 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯uur uuu r 为高的三棱锥体积的多少倍？2024届云南三校高考备考实用性联考卷（七）数学参考答案一､单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1.由10A xx =-∣ ，得U {1A x x =<-∣ð或0}x >，而{}1,1,3,4B =-，依题意，阴影部分表示的集合(){}U1,3,4A B ⋂=ð，故选B.2.设20x ax a -+=的另一个根是z ，易知z 与1i +一定是共轭复数，故z 1i =-，故1i 1i 2++-=，故选A.3.由题知，222||1,()||2||||cos ||3a a b a a b b θ=+=++=r rr r r r r ，所以1π2cos 1,cos ,23θθθ===，故选B.4.由题意可知A ：两人都没选择篮球，即()44165525P A =⨯=，所以()()9125P A P A =-=，而AB ：有一人选择篮球，另一人选别的兴趣班，则()4285525P AB⨯==⨯，所以()()()88259925P AB P BA P A ===∣，故选C.5.如图所示，高线为MN ，由方斗的容积为28升，可得(1284163MN=++⋅，解得3MN =.由上底边长为4分米，下底边长为2分米可得AM NB AB ===，侧面积为，所以方斗的表面积为(220dm s =+，故选D.6.设,,a bc 分别为角,,A B C 所对的边，在ABC 中，由正弦定理可得，22sin sin sin a b c R A B C====，所以11162sin ,sin 222244ABC c c abc C S ab C ab ===⋅=== ，故选C.7.根据已知条件有11a =，当2n 时，21324312,3,4,,n n a a a a a a a a n --=-=-=-= ，以上各式累加得：1234n a a n -=++++ ，又11a =，所以()()1123422n n n a n n +=+++++=，经检验11a =符合上式，所以()()*12n n n a n +=∈N ，所以()1211211n a n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，设数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则111111122122233411n S n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ，所以3026023131S =-=，故选A.8.根据题意，()0f x =，所以e ln x a x x x =--，令()()e ln ,0,e xg x x x x x =--∈，则函数()e ln x f x x x x a =---在()0,e 上存在零点等价于y a =与()g x 的图象有交点.()()()()()1e 1111e e 1e 11e xx x x xx x x g x x x x x x x x +-+⎛⎫=+--=+-=+'-=⎪⎝⎭，令()()e 1,0,e x h x x x =-∈，则()e e 0x x h x x =+>'，故()h x 在()0,e 上单调递增，因为()010h =-<，()1e 10h =->，所以存在唯一的()00,1x ∈，使得()00h x =，即00e 10x x -=，即001e xx =，00ln x x =-，所以当00x x <<时，()()()00,0,h x g x g x <'<单调递减，当0e x x <<时，()()()00,0,h x g x g x >'>单调递增，所以()0min 000000()e ln 11xg x g x x x x x x ==--=-+=，又0x →时，()g x ∞→+，故()()[)0,e ,1,x g x ∞∈∈+，所以1a ，故选C.二､多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）题号91011答案ABADABD【解析】9.对于A ，由均值的性质可知222()()()E X a E X a μμ-=-+-，由于a 是不等于μ的常数，故可得22()()E X a E X μ->-，即X 相对于μ的偏离程度小于X 相对于a 的偏离程度，A 正确；对于B ，根据方差公式()()()2222121s n x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦ ，可知若一组数据1x ，2,,n x x 的方差为0，则12,B n x x x === 正确；对于C ，由决定系数的定义可知，C 错误；对于2D,χ的值变为原来的10倍，在相同的检验标准下，再去判断两变量的关联性时，结论可能发生改变，D 错误，故选AB.10.对A ，由()01f =-1ϕ=-，即2sin 2ϕ=-，又πππ,224ϕϕ-<<∴=-，又()f x 的图象过点π,08⎛⎫⎪⎝⎭，则π08f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，即ππππsin 0,π8484k ωω⎛⎫-=∴-= ⎪⎝⎭，即得82k ω=+，k ∈Z ，又02,2ωω<∴= ，所以()π5π2244f x x x ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故A 正确；对B，5π5π5π5π208842f ⎛⎫⎛⎫=⨯+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，当5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，则5π5π2,3π42x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，由余弦函数单调性知，()f x 在5π7π,88x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦单调递减，故C 错误；对于D ，由()1f x =，得5πcos 242x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，解得ππ4x k =+或ππ,2k k +∈Z ，方程()1f x =在()0,m 上有6个根，从小到大依次为：ππ5π3π9π5π,,,,,424242，而第7个根为13π4，所以5π13π24m < ，故D 正确，故选AD.11.对A 选项：当αβ⊥时，因为,l AC l αβ⋂=⊥，所以AC β⊥，所以直线CD 与平面β所成角为CDA ∠，又因为AD β⊂，所以AC AD ⊥，因为,BD l AC AB BD ⊥==，所以AD ==，所以3sin 3ACCDA CD∠==，故A 正确；对B 选项：如图，过A 作AE ∥BD ，且AE BD =，连接,ED EC ，则四边形ABDE 为正方形，所以AB ∥DE ，所以CDE ∠（或其补角）即为直线AB 与CD 所成角，因为BD l ⊥，四边形ABDE 为正方形，有AE ∥BD ，所以AE l ⊥，又因为AC l ⊥，所以CAE ∠即为二面角l αβ--的平面角，即60CAE ∠= ，由AC l AE l AC AE A ⊥⊥⋂=､､，且,AC AE ⊂平面ACE ，所以l ⊥平面ACE ，又四边形ABDE 为正方形，所以DE ∥l ，所以DE ⊥平面ACE ，又CE ⊂平面ACE ，所以DE CE ⊥.由AC BD =且四边形ABDE 为正方形，60CAE ∠= ，所以AC AE CE ==，所以tan 1CDE ∠=，即45CDE ∠= ，即直线AB 与CD 所成角为45 ，故B 正确；对于D ，如图，作AE ∥BD ，且AE BD =，则二面角l αβ--的平面角为CAE ∠，不妨取22CD AB ==，由2CD =，在Rt DEC中，易得CE =，在ACE 中，由余弦定理得1cos 2CAE ∠=-，120CAE ∠= ，过C 点作CO AE ⊥交线段EA 的延长线于点O ，则CO ⊥平面ABDE ，过O 点作OH BD ⊥，交线段DB 的延长线于点H ，连接CH ，则CHO ∠为二面角C BD A --的平面角，易得371,22CO HO CH ===，所以27cos 7OH CHO CH ∠==，故D 正确；对C 选项：同选项D 可知120CAE ∠= ，如图，分别取线段,AD AE 的中点,G M ，连接GM ，过G 点作平面β的垂线，则球心O '必在该垂线上，设球的半径为R ，则O E R '=，又ACE 的外接圆半径1312sin120r =⨯= ，而平面ACE ⊥平面ABDE ，所以O G '∥平面ACE ，即MG 的长为点O '到平面ACE 的距离，则2215124R ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，所以四面体A BCD -的外接球的体积为3455ππ36R =，故C 错误，故选AB D.三､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）【解析】12.含x 的项为：443344C (1)3C (1)11x x x ⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-，故111a =-；令0x =，即03a =，令1x =，即01234523450,8a a a a a a a a a a =+++++∴+++=.13.()f x 定义域为210x b+>+，得x b >-或2x b <--，由()f x 为奇函数有20b b ---=，所以1b =-.14.如图，伞的企沿与地面接触点B 是椭圆长轴的一个端点，伞沿在地面上最远的投影点A 是椭圆长轴的另一个端点，对应的伞沿为,C O 为伞的圆心，F 为伞柄底端，即椭圆的左焦点，令椭圆的长半轴长为a ，半焦距为c ，由,OF BC OF OB ⊥==，得45,2,a c BF FBC AB a BC ∠+===== ABC 中，60BAC ∠= ，则()23216275,sin75sin 453022224ACB ∠==+=⨯+⨯= ，由正弦定理得，223sin75sin60a =，解得262a =，则622c =，所以该椭圆的离心率2c e a ==-.四､解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）15.（本小题满分13分）解：（1）圆221:(3)1C x y ++=的圆心为()13,0C -，半径为1，圆222:(3)1C x y -+=的圆心为()23,0C ，半径为1，设圆C 的半径为r ，若圆C 与圆1C 内切，与圆2C 外切，则121,1CC r CC r =-=+，可得212CC CC -=；若圆C 与圆2C 内切，与圆1C 外切，则211,1CC r CC r =-=+，可得122CC CC -=；综上所述：122CC CC -=，可知：圆心C 的轨迹E 是以12C C ､为焦点的双曲线，且1,3a c ==，可得2228b c a =-=，所以圆心C 的轨迹E 的方程为2218y x -=.（2）联立方程221,80,y x x y m ⎧-=⎪⎨⎪-+=⎩消去y 得227280x mx m ---=，则()()222Δ42883270m m m =++=+>，可知直线与双曲线相交，如图6，设()()1122,,,A x y B x y ，线段AB 的中点为()00,M x y ，可得120008,277x x m m x y x m +===+=，即8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且8,77m m M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在圆2265x y +=上，则2286577m m ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得7m =±，又0m >，所以实数m 的值为7.16.（本小题满分15分）解：（1）函数()f x 的定义域为()21{0},2a xx f x x x >=-'+∣，又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线12y x =-垂直，所以()1122f a =-+='，即1a =.()()()()21211ln 2,(0)x x f x x x f x x x x +-+'∴=+=>，由()0f x '<且0x >，得102x <<，即()f x 的单调递减区间是10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，由()0f x '>得12x >，即()f x 的单调递增区间是1,2∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭.（2）由（1）知不等式()22m f x x x +恒成立，可化为1ln 222m x x x x x +++ 恒成立，即ln 12m x x ⋅+ 恒成立.令()ln 1g x x x =⋅+，当10,e x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '<在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减；当1,e x ∞⎛⎫∈+ ⎪⎝⎭时，()()0,g x g x '>在1,e ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递增.所以1e x =时，函数()g x 有最小值11e-.由ln 12m x x ⋅+ 恒成立，得22e m - ，即实数m 的取值范围是2,2e ∞⎛⎤-- ⎥⎝⎦.17.（本小题满分15分）（1）证明：如图7，过点F 作AD 的垂线，垂足为M ，连接,MB MC ，由已知可得1,2,2,5AM MF MD BM CM =====，平面ADEF ⊥平面ABCD ，平面ADEF ⋂平面,ABCD AD FM =⊂平面ADEF ，,FM AD FM ⊥∴⊥平面ABCD ，,MB MC ⊂ 平面,,ABCD FM MB FM MC ∴⊥⊥，3,6BF CF ∴==，222BF CF BC ∴+=，BF CF ∴⊥.（2）解：建立如图所示空间直角坐标系,A xyz -则()()()1,3,0,0,2,1,0,1,1C E F ，()()()0,1,1,1,1,1,0,1,0AF CE EF ∴==--=-uuu r uuu r uuu r ，设平面CEF 的法向量为(),,n x y z = ，则0,0,n EF y n CE x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩uuu r r uuu r r 令1x =得()1,0,1n = ，设直线AF 与平面CEF 所成角为θ，则，1sin cos ,2AF n AF n AF nθ⋅===uuu r r uuu r r uuu r r .ππ0,,26θθ⎡⎤∈∴=⎢⎥⎣⎦ ，即直线AF 与平面CEF 所成角的余弦值为32.18.（本小题满分17分）解：（1）由题可知2号盒子里有3个黑球的概率为202224C C 1C 6P ==.（2）由题可知ξ可取1,2,3，()221123222222224444C C C C C 71C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()221123222222224444C C C C C 73C C C C 36P ξ==⨯+⨯=，()()()11211318P P P ξξξ==-=-==，所以3号盒子里的黑球的个数ξ的分布列为ξ123P 7361118736（3）记1n a -为第()2n n 号盒子有一个黑球和三个白球的概率，则116a =，1n b -为第()2n n 号盒子有两个黑球和两个白球的概率，则12211,318b b ==，则第()2n n 号盒子有三个黑球和一个白球的概率为111n n a b ----，且()()1222221113322n n n n n b b a a b n -----=++-- ，化解得121162n n b b --=+，得12131331,565515n n b b b --⎛⎫-=--= ⎪⎝⎭，而21313565b b ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则数列35n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为131515b -=，公比为16，所以13115156n n b -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又由1221162n n n a b a ---=+求得：111556n n a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.因此()()1111111231322n n n n n n n E X a b a b a b ------=⨯+⨯+⨯--=--=.19.（本小题满分17分）（1）①解：因为()()0,2,1,1,3,2A B -，则()021*******,1,2132i j kOA OB i j k i i j k ⨯==-++--=-+=--r r r uur uuu r uu r r r r r r r r r .②证明：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则121212212121OA OB y z i z x j x y k x y k z x j y z i⨯=++---uur uuu r r r r r r r ()122112211221,,y z y z z x z x x y x y =---，将2x 与1x 互换，2y 与1y 互换，2z 与1z 互换，可得()211221122112,,OB OA y z y z z x z x x y x y ⨯=---uuu r uur ，故()0,0,00OA OB OB OA ⨯+⨯==uur uuu r uuu r uur r .（2）证明：因为sin AOB ∠===.故1sin 2AOB S OA OB AOB ∠=⋅=V uur uuu r 故要证12AOB S OA OB =⨯V uur uuu r ，只需证OA OB ⨯=uur uuu r ，即证2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅uur uuu r .由（1）()()()111222122112211221,,,,,,,,OA x y z OB x y z OA OB y z y z z x z x x y x y ==⨯=---uur uuu r uur uuu r ，故()()()2222122112211221||OA OB y z y z z x z x x y x y ⨯=-+-+-uur uuu r ，又()2222222222111222121212|,|,()OA x y z OB x y z OA OB x x y y z z =++=++⋅=++uur uuu r uur uuu r ，则2222||||()OA OB OA OB OA OB ⨯=-⋅uur uuu r uur uuu r uur uuu r 成立，故12AOBS OA OB =⨯V uur uuu r .（3）解：由（2）12AOB S OA OB =⨯V uur uuu r ，得22()||OA OB OA OB ⨯=⨯uur uuu r uur uuu r 1222AOB OA OB OA OB S OA OB =⨯⋅⨯=⋅⨯V uur uuu r uur uuu r uur uuu r ，故21()63AOB OA OB S OA OB ⨯=⋅⨯⨯V uur uuu r uur uuu r ，故2()OA OB ⨯uur uuu r 的几何意义表示以AOB 为底面､OA OB ⨯uur uuu r 为高的三棱锥体积的6倍.。
云南省2022届高三“3+3+3”高考备考诊断性联考(二)数学(文)试题(高频考点版)
一、单选题二、多选题 1. 的展开式中的系数是（ ）A ．45B ．84C ．120D ．2102. 已知某篮球运动员每次罚球命中的概率为0.4，该运动员进行罚球练习（每次罚球互不影响），则在罚球命中两次时，罚球次数恰为4次的概率是（ ）A．B．C．D．3. 复数z满足，则（ ）A．B．C．D．4. 已知函数(ω＞0)的图象与直线y ＝－2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则的单调递减区间是（ ）A．B．C．D．5. 平面四边形ABCD 中，AB =1，AC =，AC ⊥AB ， ∠ADC =，则的最小值为（ ）A ．-B ．-1C ．-D ．-6.若存在，使得对于任意，不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）A．B．C．D ．7. 函数是R 上的增函数，则是的（ ）A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件8.函数在区间上的最大值是A ．1B．C．D ．1+9. 已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）A．B ．当时，C ．当时，不是数列中的项D ．若是数列中的项，则的值可能为610. 已知O 为坐标原点，，分别是双曲线E：的左、右焦点，P 是双曲线E 的右支上一点，若，双曲线E 的离心率为，则下列结论正确的是（ ）A ．双曲线E的标准方程为B ．双曲线E的渐近线方程为C ．点P到两条渐近线的距离之积为D ．若直线与双曲线E 的另一支交于点M ，点N 为PM的中点，则11. 下列命题中，正确的是（ ）A ．在中，，B．在锐角中，不等式恒成立云南省2022届高三“3+3+3”高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题(高频考点版)云南省2022届高三“3+3+3”高考备考诊断性联考（二）数学（文）试题(高频考点版)三、填空题四、解答题C ．在中，若，则必是等腰直角三角形D ．在中，若，，则必是等边三角形12.下列统计量中，能刻画样本，，，的离散程度的是（ ）A ．样本，，，的标准差B ．样本，，，的中位数C ．样本，，，的方差D ．样本，，，的极差13. 已知一个圆锥的底面面积为，侧面展开图是半圆，则其外接球的表面积等于___________.14.若函数在处取得极值，则____________．15. 某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.16. 设函数f (x)=a x 2–a –ln x ，g (x)=，其中a ∈R ，e=2.718…为自然对数的底数.（1）讨论f (x) 的单调性；（2）证明：当x ＞1时，g (x)＞0；（3）如果f (x)＞g (x) 在区间（1，+∞）内恒成立，求实数a 的取值范围.17.已知数列的前项为，，数列为等比数列，且，.(1)求数列的通项公式；(2)设，求数列的前项和.18. 据调查，目前对于已经近视的小学生，有两种配戴眼镜的选择，一种是佩戴传统的框架眼镜；另一种是佩戴角膜塑形镜，这种眼镜是晚上睡觉时佩戴的一种特殊的隐形眼镜（因其在一定程度上可以减缓近视的发展速度，所以越来越多的小学生家长透择角膜塑形镜控制孩子的近视发展），A 市从该地区小学生中随机抽取容量为100的样本，其中因近视佩戴眼镜的有24人（其中佩戴角膜塑形镜的有8人，其中2名是男生，6名是女生）(1)若从样本中选一位学生，已知这位小学生戴眼镜，那么，他戴的是角膜塑形镜的概率是多大？(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中，选出3个人，求其中男生人数X 的期望与方差；(3)若将样本的频率当做估计总体的概率，请问，从A 市的小学生中，随机选出20位小学生，求佩戴角膜塑形镜的人数Y 的期望和方差.19. 某单位有10000名职工，想通过验血的方式筛查乙肝病毒携带者，假设携带病毒的人占0.05，如果对每个人的血样逐一化验，就需要化验10000次，统计专家提出了一种化验方法：随机地按5人一组分组，然后将5个人的血样混合再化验，如果混合血样呈阴性，说明这5人全部阴性；如果混合呈阳性，就需要对每个人再分别化验一次.（每一小组都要按要求独立完成）(1)按照这种化验方法能减少化验次数吗?如果能减少化验次数，大约能减少多少?(2)如果携带病毒的人只占0.02，按照个人一组，取多大时化验次数最少?此时大约化验多少次?说明：，先减后增0.88580.86810.85080.833720. 2025年四川省将实行3＋1＋2的高考模式，其中，“3”为语文、数学，外语3门参加全国统一考试，选择性考试科目为政治、历史、地理、物理、化学，生物6门，由考生根据报考高校以及专业要求，结合自身实际，首先在物理，历史中2选1，再从政治、地理、化学、生物中4选2，形成自己的高考选考组合.(1)若某小组共6名同学根据方案进行随机选科，求恰好选到“物化生”组合的人数的期望；(2)由于物理和历史两科必须选择1科，某校想了解高一新生选科的需求.随机选取100名高一新生进行调查，得到如下统计数据，写出下列联表中a，d的值，并判断是否有95％的把握认为“选科与性别有关”？选择物理选择历史合计男生a10女生30d合计30附：.0.100.050.0250.010.0052.7063.841 5.024 6.6357.87921. 天宫空间站是我国建成的国家级太空实验室，由天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱组成，已经开启长期有人驻留模式，结合空间站的相关知识，某职业学校的老师设计了以空间站为主题的编程训练，训练内容由“太空发射”、“自定义漫游”、“全尺寸太阳能”、“空间运输”等10个相互独立的编程题目组成，训练要求每个学生必须选择两个不同的题目进行编程练习，并且学生间的选择互不影响，老师将班级学生分成四组，指定甲、乙、丙、丁为组长.(1)求甲、乙、丙、丁这四个人中至少有一人选择“太空发射”的概率；(2)记X为这四个人中选择“太空发射”的人数，求X的分布列及数学期望；(3)如果班级有n个学生参与编程训练（其中n是能被5整除的正整数），则这n个学生中选择“太空发射”的人数最有可能是多少人？。
三校生高考数学试题
2014年三校生高考数学试题2014年云南省高等职业技术教育招生考试试题数学一、单项选择题（每小题4分，共80分）1、绝对值不等式的解集是（）A.B. C.D.2、复数的辐角主值θ为( ) A.B. C. D.3、函数，则等于（） A. -9 B. 9 C. 3 D. -34.在中，b=5,c=4,,应满足（） A. B. C. D.5.下列命题中正确的是（） A. B. C. D.6.与相等的是（） A. B. C. D.7、圆柱体的表面积为，球的表面积为，如果圆柱体的底面半径等于球的半径，那么圆柱体的母线长为（）A． 2 B. 3 C. 4 D. 68.函数的值域为（） A.[-2,6] B.[2,6] C.[2,4] D.[4,6]9.若，则是（） A. B. C. D.10.定义域在R上的函数，则是A．偶函数又是奇函数 B.奇函数又是减函数C．奇函数又是增函数 D.偶函数又是减函数11、已知，,则( )A. (13,7) B.(10,-3) C.(13,-1) D.(-1,13)12.设为二元一次方程组的解，、b分别为（）A.-4,-3B. -3,-4C. 3, 4D. 4,-313.圆与直线相切，圆心在圆点，圆的标准方程为（）A. B. C. D.14.若方程表示焦点在y轴上的双曲线()，那么（）A. B. C. D.15.将圆锥的高增加到原来的2倍，底面直径增加到原来的2倍，则圆锥的体积增加到原来的（）倍。
A. 8 B. 6 C. 4 D. 216.数列:,,,,……的通项为（）A. B. C. D.17.下列选项中，哪项不是集合的子集（）A. B. C.{2} D.{2,3}18.对于任意给定的，都有（）A．若是第Ⅰ象限的角，则一定是第Ⅱ象限的角B．若是第Ⅱ象限的角，则一定是第Ⅳ象限的角C．若是第象限的角，则一定是第Ⅰ象限的角D．若是第Ⅳ象限的角，则一定是第Ⅱ象限的角19.已知，,则的值为（）。
2023届云南三校高考备考实用性联考卷(二)数学试卷与答案
２０２３届云南三校高考备考实用性联考卷(二)数学注意事项:１ 答题前ꎬ考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名㊁准考证号㊁考场号㊁座位号在答题卡上填写清楚.２ 每小题选出答案后ꎬ用２Ｂ铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑ꎬ如需改动ꎬ用橡皮擦干净后ꎬ再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效３ 考试结束后ꎬ请将本试卷和答题卡一并交回 满分１５０分ꎬ考试用时１２０分钟一㊁单选题(本大题共８小题ꎬ每小题５分ꎬ共４０分ꎬ在每小题给出的选项中ꎬ只有一个选项是符合题目要求的)１.设全集为Ｒꎬ集合Ａ＝{ｘ０<ｘ<４}ꎬＢ＝{ｘｘȡ２}ꎬ则Ａɘ(∁ＲＢ)＝Ａ.{ｘ０<ｘɤ２}Ｂ.{ｘ０<ｘ<４}Ｃ.{ｘ１ɤｘ<４}Ｄ.{ｘ０<ｘ<２}２.在әＡＢＣ中ꎬ ｓｉｎＡ＝３２ 是 Ａ＝２π３的Ａ.充要条件Ｂ.充分不必要条件Ｃ.必要不充分条件Ｄ.既不充分也不必要条件３.在әＡＢＣ中ꎬＣ＝９０ʎꎬＡＣ＝４ꎬＡＢ＝５ꎬ点Ｐ是ＡＢ的中点ꎬ则ＣＢңＣＰң＝Ａ.９４Ｂ.４Ｃ.６Ｄ.９２４.公差不为０的等差数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ若Ｓ４＝１０ꎬａ３为ａ１与ａ９的等比中项ꎬ则ａ９＝Ａ.８Ｂ.９Ｃ.１０Ｄ.１１５.已知ａ＝ｓｉｎ２０ʎꎬｂ＝π９ꎬｃ＝１２ｌｎｅꎬ则它们之间的大小关系是Ａ.ｃ<ａ<ｂＢ.ａ<ｃ<ｂＣ.ｃ<ｂ<ａＤ.ｂ<ｃ<ａ６.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)的左㊁右焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ过Ｆ１且垂直于ｘ轴的直线交Ｃ于ＭꎬＮ两点ꎬ若ＭＦ２ʅＮＦ２ꎬ则Ｃ的离心率为Ａ.２＋１Ｂ.２Ｃ.３Ｄ.２７.底面是等边三角形的三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＡ１ʅ平面ＡＢＣꎬ且ＡＡ１＝ＡＢ＝２ꎬＯꎬＯ１分别为底面ＡＢＣ与底面Ａ１Ｂ１Ｃ１的中心ꎬＰ是ＯＯ１上一动点ꎬ记ＶＰ－ＡＢＣ＝Ｖ１ꎬＶＰ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝Ｖ２ꎬ当Ｖ１ Ｖ２取得最大值时ＯＰＯ１Ｐ＝１２３８.已知函数ｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ２＋１－ｘ)＋１ꎬ定义域为Ｒ的函数满足ｇ(ｘ)＋ｇ(－ｘ)－２＝０ꎬ若函数ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｇ(ｘ)图象的交点为(ｘ１ꎬｙ１)ꎬ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ...ꎬ(ｘ６ꎬｙ６)ꎬ则 ６ｉ＝１(ｘｉ－ｙｉ)＝Ａ.６Ｂ.１２Ｃ.－６Ｄ.－１２二㊁多选题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分.在每小题给出的选项中ꎬ有多项是符合题目要求的.全部选对的得５分ꎬ有选错的得０分ꎬ部分选对的得２分)９.已知ｅｉｘ＝ｃｏｓｘ＋ｉｓｉｎｘ(本题中ｅ为自然对数的底数ꎬｉ为虚数单位)依据上述公式ꎬ则下列结论中正确的是Ａ.复数ｅｉπ２为纯虚数Ｂ.复数ｅｉ３对应的点位于第二象限Ｃ.复数ｅｉπ３的共轭复数为３２－１２ｉＤ.复数ｅｉθ(θɪ[０ꎬπ])在复平面内对应的点的轨迹是半圆１０.关于函数ｆ(ｘ)＝１－ｃｏｓ２ｘ＋π２æèçöø÷－２ｓｉｎ２ｘ的描述正确的是Ａ.其图象可由ｙ＝２ｓｉｎ２ｘ的图象向左平移π８个单位长度得到Ｂ.ｆ(ｘ)在０ꎬπ２æèçöø÷上单调递增Ｃ.ｆ(ｘ)在[０ꎬπ]上有３个零点Ｄ.ｆ(ｘ)在－π２ꎬ０éëêêùûúú上的最小值为－２１１.设抛物线Ｃ:ｙ２＝４ｘ的焦点为ＦꎬＯ为坐标原点ꎬ过Ｆ的直线与Ｃ分别交于Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)两点ꎬ则Ａ.øＡＯＢ可能为直角Ｂ.ｘ１ｘ２为定值Ｃ.若与抛物线Ｃ分别相切于ＡꎬＢ两点的两条切线交于点Ｎꎬ则点Ｎ在抛物线Ｃ的准线上Ｄ.以ＢＦ为直径的圆与ｙ轴有两个交点１２.如图１ꎬ在长方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬＡＢ＝ＡＤ＝４ꎬＡＡ１＝３ꎬ点Ｍ满足Ａ１Ｍң＝２ＭＡңꎬ点Ｐ在底面ＡＢＣＤ的边界及其内部运动ꎬ且满足øＡＭＰɤπ４ꎬ则下列结论正确的是Ａ.点Ｐ所在区域面积为π４Ｂ.线段ＰＣ１长度最小值为１７Ｃ.有且仅有一个点Ｐ使得ＭＰʅＰＣ１三㊁填空题(本大题共４小题ꎬ每小题５分ꎬ共２０分)１３.某学校在甲乙丙三个地区进行新生录取ꎬ三个地区的录取比例分别为１３ꎬ１５ꎬ１６.现从这三个地区等可能抽取一个人ꎬ此人被录取的概率是㊀㊀㊀㊀㊀㊀.１４.已知θɪ０ꎬπ２æèçöø÷ꎬｔａｎθ＝２ꎬ则ｓｉｎ２θ＋π２æèçöø÷＝㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀.１５.大约在２０００多年前ꎬ我国的墨子给出了圆的概念 一中同长也 ꎬ意思是说ꎬ圆有一个圆心ꎬ圆心到圆周的长都相等.这个定义比希腊数学家欧几里得给圆下定义要早１００多年.已知直角坐标平面内有一点Ｃ(２ꎬ０)和一动点Ｐ满足ＣＰ＝２ꎬ若过点Ｍ(１ꎬ２)的直线ｌ将动点Ｐ的轨迹分成两段弧ꎬ当劣弧所对的圆心角最小时ꎬ直线ｌ的斜率ｋ＝㊀㊀㊀㊀.１６.已知函数ｆ(ｘ)＝ａｌｎｘ＋(ａ－１)ｘ２＋２(ａ<０)ꎬ在函数ｆ(ｘ)图象上任取两点ＭꎬＮꎬ若直线ＭＮ的斜率的绝对值都不小于５ꎬ则实数ａ的取值范围是㊀㊀㊀㊀.四㊁解答题(共７０分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤)１７.(本小题满分１０分)已知数列{ａｎ}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ且２Ｓｎ＝４ａｎ－３.(１)求数列{ａｎ}的通项公式ꎻ(２)令ｂｎ＝８ｎ３ˑａｎꎬ求数列{ｂｎ}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.(本小题满分１２分)在әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬ且满足ｃｏｓＣ＝ｂａ－ｃ２ａ.(１)求角Ａꎻ(２)若әＡＢＣ外接圆的半径为３ꎬ且ＢＣ边上的中线长为１７２ꎬ求әＡＢＣ的面积.１９.(本小题满分１２分)某校高三年级为了提高学校的升学率ꎬ制订了两套学习方案ꎬ甲班采用方案一ꎬ乙班采用方案二ꎬ两个班均有５０人ꎬ学期期末对两班进行测试ꎬ测试成绩的分组区间为[９０ꎬ１００)ꎬ[１００ꎬ１１０)ꎬ[１１０ꎬ１２０)ꎬ[１２０ꎬ１３０)ꎬ[１３０ꎬ１４０)ꎬ[１４０ꎬ１５０]ꎬ由此得到两个班测试成绩的频率分布直方图如图２:㊀图２(１)完成下面２ˑ２列联表ꎬ画出等高堆积图.你能有９７ ５％的把握认为 这两个班在这次测试中成绩的差异与学习方案有关 吗?并说明理由ꎻ成绩不小于１３０分成绩小于１３０分合计甲班乙班合计(２)现从甲班中任意抽取３人ꎬ记η表示抽到测试成绩在[１１０ꎬ１３０)的人数ꎬ求ξ的分布列和数学期望Ｅ(ξ).附:Ｋ２＝ｎ(ａｄ－ｂｃ)２(ａ＋ｂ)(ｃ＋ｄ)(ａ＋ｃ)(ｂ＋ｄ)ꎬ其中ｎ＝ａ＋ｂ＋ｃ＋ｄ.Ｐ(Ｋ２ȡｋ０)０ １５０ １００ ０５０ ０２５００１００ ００５０ ００１ｋ０２ ０７２２ ７０６３ ８４１５ ２０４６ ６３５７ ８７９１０ ８２８２０.(本小题满分１２分)如图３ꎬ在四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ中ꎬ四边形ＡＢＣＤ是菱形ꎬＰＡʅ平面ＡＢＣＤꎬ且ＰＡ＝ＡＢ＝２ꎬＰＤ的中点为ＦꎬＡＢ的中点为Ｇ.㊀㊀请从下面的两个条件中任选一个ꎬ补充在下面的横线上ꎬ并作答.㊀图３①øＢＡＣ＝π４ꎻ㊀②øＢＡＣ＝π３.(１)判断直线ＡＦ与平面ＰＣＧ是否平行?若平行ꎬ给出证明ꎻ若不平行ꎬ请说明理由ꎻ(２)若㊀㊀㊀ꎬ求二面角Ｆ－ＡＣ－Ｂ的余弦值.２１.(本小题满分１２分)已知椭圆Ｃ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)的离心率为１２ꎬ左㊁右焦点为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ且椭圆Ｃ上有一个异于左右顶点的动点Ｐꎬ满足әＰＦ１Ｆ２面积的最大值为３.(１)求椭圆Ｃ的方程ꎻ(２)圆ｘ２＋ｙ２＝１的切线ｌ与椭圆Ｃ相交于ＭꎬＮ两点ꎬ判断坐标原点Ｏ与以线段ＭＮ为直径的圆的位置关系ꎬ并说明理由.２２.(本小题满分１２分)已知函数ｆ(ｘ)＝ａ(ｘ＋１)ｅｘ＋１２ｘ２(ａʂ０).(１)当ａ＝１时ꎬ求曲线ｙ＝ｆ(ｘ)在(－１ꎬｆ(－１))处的切线方程ꎻ(２)若函数ｆ(ｘ)有两个零点ｘ１ꎬｘ２ꎬ证明ｘ１＋ｘ２>０ꎬ并指出ａ的取值范围.数学参考答案·第1页（共10页）2023届云南三校高考备考实用性联考卷（二）数学参考答案一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 DCDBAAAC【解析】1．{|2}B x x =<R ，(){|02}A B x x =<<R ，故选D．2．在ABC △中，(0π)A ∈∴，，2πsin 32A A =⇒=∵，又当sin 2A =时，π2π33A =或， sin A =2π3A =，sin A =2π3A =的必要不充分条件，故选C ． 3．在ABC △中，90C =︒，则0CB CA =，又54AB CA ==，，所以3CB =，因为点P 是AB的中点，所以1()2CP CB CA =+，所以2111()222CB CP CB CB CA CB CB CA ⎡⎤=+=+⎢⎥⎣⎦22119||222CB CB === ，故选D ． 4．设等差数列{}n a 的公差为(0)d d ≠，则22111319141(2)(8)143104+102ad a a d a a a a d S a d ⎧+=+⎧=⎪⎪⇒⇒==⎨⎨⨯==⎪⎩⎪⎩，，，99a=故，故选B ．5．ππ11πsin 20sin99249a b c b =︒=<===<=，，11sin15244c ==<=︒< sin 20a ︒=，所以c a b<<，故选A ．6．由题意知112||||F M F F =，即22b c a=，222c a ac -=∴，2210e e --=∴，1e =±∴，1e >∵，1e =∴，故选A ．7．∵三棱柱111ABC A B C -为直三棱柱，且棱长均为2，∴111122sin 602ABC A B C S S ==⨯⨯⨯︒△△ =12OO =，∴1111211111()333ABC A B C ABC V V S OP S O P S OP O P +=+=+ △△△13ABC S =△数学参考答案·第2页（共10页）13OO =由123V V +=1213V V ≤当且仅当12V V =即点P 为1OO 的中点时等号成立，即点P 为1OO 的中点时12V V 取得最大值，∴11OPO P=，故选A ． 8．令()()1F X f x =-，则()F X 为奇函数，图象关于原点(00)，对称，则()f x 图象关于点(01)，对称，令()()1G X g x =-，则()G X 为奇函数，图象关于原点(00)，对称，则()g x 图象关于点(01)，对称，所以61()0326i i i x y =-=-⨯=-∑，故选C ． 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分）题号 9 10 11 12 答案ABDADBCAD【解析】9．对于A ，πi2ππe cos isin i 22=+=，所以πi 2e 为纯虚数，故A 正确；对于B ，i3e cos3isin 3=+，因为π3π2<<，所以cos30sin 30<>，，所以复数i3e 对应的点位于第二象限，故B 正确；对于C ，πi 3ππ1e cos isin 3322=+=+，复数πi 3e 的共轭复数为1i 22-，故C 错误；对于D ，i i e cos isin |e ||cos+isin |1θθθθθθ=+==，，复数i e ([0π])θθ∈，在复平面内对应的点的轨迹是半径为1的半圆，故D 正确，故选ABD ．10．2ππ()1cos 22sin sin 2cos 2224f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，对于A ，由2y x 的图象向左平移π8个单位长度，得到ππ2284y x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选项A 正确；对于B ，令πππ2π22π242k x k -++≤≤，k ∈Z ，解得3ππππ88k x k -+≤≤，k ∈Z ，所以()f x 的单调递增区间为3ππππ88k k ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦，k ∈Z ，所以()f x 在π08⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，在ππ82⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故选项B 不正确；对于C ，令()0f x =，得π2π4x k +=，k ∈Z ，数学参考答案·第3页（共10页）解得ππ28k x =-，k ∈Z ，因为[0π]x ∈，，所以1k =，3π8x =；2k =，7π8x =，所以()f x 在[0π]，上有2个零点，故选项C 不正确；对于D ，因为π02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，，所以π3ππ2444x ⎡⎤+∈-⎢⎥⎣⎦，，所以πsin 2142x ⎡⎛⎫+∈-⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，，所以()[1]f x ∈，所以()f x 在π02⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值为D 正确，故选AD ． 11．设1AB l x ty =+：，与24y x =联立可得：2124404y ty y y --==-，，则221212116y y x x ==，故B 正确；因为121x x =，所以12121OA OB y y k k x x =≠- ，∴π2AOB ∠≠，故A 不正确；设00()N x y ，，由于24y x =得y =±，所以y '=因为AN BN ，均为切线，设斜率AN k =BN k =则AN方程为11)y y x x -=-，化简得11220yy x x --=，BN方程为22)y y x x -=-，化简得22220yy x x --=，因为AN 与BN 交点为00()N x y ，，所以0101220y y x x --=，则AB 方程为00220y y x x --=，由于直线AB 过定点(10)F ，，所以01x =-，又因为准线方程为1x =-，所以点N 在抛物线C 的准线上，故C 正确；设BF的中点11111||2222x y x BF M ++⎛⎫= ⎪⎝⎭，，，则以BF 为直径的圆与y 轴相切，故D 不正确，故选BC ．12．A 选项，当1MA AP ==时，MP 与与底面ABCD 的所成角π4θ=，故点P 所在区域为以A 为圆心，1为半径的圆在正方形ABCD 内部部分（包含边界弧长），即圆的14，面积为211π1π44⨯=，A 正确；B 选项，当PC 取最小值时，线段1||PC 长度最小，由三角形两边之和大于第三边可知：当A ，P ，C 三点共线时，P C 取得最小值，即min ||1PC =-，则1min ||PC ==，B 错误；C 选项，不妨点P 与点F 重合，此时1PC ==，由余弦定理得：数学参考答案·第4页（共10页）2221111cos 2MF C F C M MFC MF C F +-∠=0==，则1π2MFC ∠=同理可得： 1π2MEC ∠=，故多于一个点P 使得1MP PC ⊥，C 错误；如图1，当点P 位于AE 上时，此时点P 到平面11A CD 的距离最大，最大距离341255AH ⨯==，此时四面体11P A CD -的体积为1111112453325A CD S AH =⨯⨯⨯⨯ △8=，当P 与点F 重合时，此时点P 到平面11A CD 的距离最小，最小距离为FK ，因为BFK BAH △∽△，所以34FK AH =，所以最小体积为3864⨯=，故四面体11P A CD -的体积取值范围为[68]，，D 正确，故选AD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）【解析】13．记事件123A A A ，，表示此人选自甲乙丙三个地区，事件B ：此人被录取；则1231()()()3P A P A P A ===123111(|)(|)(|)356P B A P B A P B A ===，，()P B =∴1()P A 1(|)P BA 22331111117()(|)()(|)33353630P A P B A P A P B A ++=⨯+⨯+⨯=．14．222222222πcos sin 1tan 1sin 2cos 2cos sin 2sin cos 1tan 3θθθθθθθθθθ--⎛⎫+==-====- ⎪++⎝⎭.15．依题意可知，动点P 的轨迹是以C 为圆心，2r =为半径的圆，即22(2)4Cx y -+= ：，因为22(12)34-+=<，故点M 在C 内，当劣弧所对的圆心角最小时，CM l ⊥，因为直线CM 的斜率012CM k ==-，所以所求直线l 的斜率2k =． 16．22(1)()0a x af x x -+'=<，()f x 在(0)+∞，单调递减，1122()()M x y N x y ，，，，1212()()f x f x x x --5≥. 设120x x >>，则1122()5()5f x x f x x ++≤.()()5g x f x x =+，则()g x 在(0)+∞，上单图1数学参考答案·第5页（共10页）调递减，则22(1)5()0a x x ag x x-++'=≤对(0)x ∈+∞，恒成立，则22(1)50a x x a -++≤对(0)x ∈+∞，恒成立，则0∆≤，即288250a a --≥，解之得aa 又0a <，所以24a -≤． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（1）由已知得24 3.n n S a =-当1n =时，11132432S a a =-⇒=当2n ≥时，11243243n n n n S a S a --=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，①，② ①−②得12(2)n n a a n -=≥，所以{}n a 是以32为首项，2为公比的等比数列； 所以123232.2n n n a --=⨯= ………………………………………………………………（5分） （2）由（1）得1823n n n nb a n +=⨯= ， 所以234112+22+32++2n n T n +=⨯⨯⨯⨯ ，① 所以3412212+22++(1)2+2n n n T n n ++=⨯⨯-⨯⨯ ，② 则①−②得：234142+(2+22)n n n T n ++-=-⨯++ ，化简得24(1)2.n n T n +=+-⨯ ……………………………………………………………（10分） 18．（本小题满分12分）解：（1）由cos 2b cC a a=-，得2cos 2a C b c =-， 利用正弦定理得：2sin cos 2sin sin A C B C =-，即2sin cos 2sin()sin B C A C C =+-， 化简得1sin 2sin cos (0π)sin 0cos 2C C A C C A =∈≠=，∵，，，∴， 又(0π)A ∈∵，，π3A =∴．………………………………………………………………（6分） （2）由正弦定理得3sin aa A=⇒=．设D 为BC边上的中点，则32BD AD ==，利用向量加法法则得：2+AD AB AC =，数学参考答案·第6页（共10页）两边平方得：2224++2AD AB AC AB AC =，即2217c b bc =++，由余弦定理2222cos a c b bc A =+-，即229c b bc =+-， 两式相减得82bc =，即4bc =．由三角形面积公式得：1sin 2ABC S bc A ==△． ……………………………………（12分）19．（本小题满分12分） 解：（1）甲班成绩不小于130分的人数为(0.0200.010)105015+⨯⨯=， 甲班成绩小于130分501535-=，乙班成绩不小于130分的人数为(0.0070.003)10505+⨯⨯=， 乙班成绩小于130分的人数为50545-=， 列联表：成绩不小于130分成绩小于130分合计 甲班 15 35 50 乙班 5 45 50 合计2080100等高堆积图如图2：……………………………………………………………………………………………（4分） ∴22100(1545355) 6.25 5.20450502080K ⨯⨯-⨯==>⨯⨯⨯， 所以有97.5%的把握认为“这两个班在这次测试中成绩的差异与学习方案有关”． ……………………………………………………………………………………………（6分） （2）甲班成绩在[110130)，有(0.20.3)5025()+⨯=人，η可以取0123，，，，则031225252525335050C C C C 2375(0)(1)C 196C 196P P ηη====== 213025252525335050C C C C 7523(2)(3)C 196C 196P P ηη======，， 图2数学参考答案·第7页（共10页）η的分布列为237575233()01231961961961962E η=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）//AF 平面PCG ．证明如下： 如图3，设PC 的中点为H ，连接FH ， ////FH CD AG ∴，且12FH CD AG ==，∴AGHF 为平行四边形，则//AF GH ，又GH ⊂平面PGC ，AF ⊂/平面PGC ，//AF ∴平面PGC ．………………………………………………………………………（5分） （2）选择①π4BAC ∠=： ∵π4BAC ∠=，AB BC =，∴AB BC ⊥，PA ⊥∵平面ABCD ，PA BC ⊥∴，由题意知AB ，AD ，AP 两两垂直， 以AB ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，如图4， 2PA AB ==∵，则(0A ，0，0)，(2B ，0，0)，(2C ，2，0)，(0D ，2，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)，∴(0AF = ，1，1)，(2CF =-，1-，1)， 设平面FAC 的法向量(x μ=，y ，)z ， ∴020AF y z CF x y z μμ⎧=+=⎪⎨=--+=⎪⎩ ，， 取1y =，得(1μ=-，1，1)-， 又平面ACB 的法向量(0v =，0，1)， ∴cos ||||3v v μμνμ〈〉==- ，∴二面角F AC B --的余弦值为．………………………………………………（12分） 图3图4数学参考答案·第8页（共10页）选择②π3BAC ∠=： PA ⊥∵平面ABCD ，PA BC ⊥∴，如图5，取BC 中点E ，连接AE ， 底面ABCD 是菱形，π3BAC ∠=，ABC ∴△是正三角形，E ∵是BC 的中点，BC AE ⊥∴，AE ∴，AD ，AP 两两垂直，以AE ，AD ，AP 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，2PA AB ==∵， (A ∴0，0，0)，(B 1-，0)，C 1，0)，(0D ，2，0)，E 0，0)，(0F ，1，1)，(0P ，0，2)，∴(0AF = ，1，1)，(CF =，0，1)， 设平面FAC 的法向量(m x =，y ，)z ，则00m AF y z m CF z ⎧=+=⎪⎨=+=⎪⎩，，取x =m =，3-，3)， 又平面ACB 的法向量(0n =，0，1)，则cos ||||7m n m n m n 〈〉==，． ∴二面角F AC B --的余弦值为7-． ……………………………………………（12分） 21．（本小题满分12分）解：（1）由题意得：22212122c a c b a b c ⎧=⎪⎪⎪⨯⨯=⎨⎪⎪-=⎪⎩，，解得2a b ==，所以椭圆C 的方程是22143x y +=．………………………………………………………（5分） （2）点O 在以线段MN 为直径的圆内，证明如下： 当l 与x 轴不垂直时，设l 的方程为y kx m =+，由椭圆C 的方程与直线l 的方程联立22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，，消去y 整理得： 图5数学参考答案·第9页（共10页）222(34)84120k x kmx m +++-=．222222644(34)(412)192481440k m k m k m ∆=-+-=-+>，即22430k m -+>，设11()M x y ，，22()N x y ，，则212122284123434km m x x x x k k --+==++，． ……………………………………………………………………………………………（8分）直线l1=，从而221m k =+，1212OM ON x x y y =+ 121()x x kx m =++2()kx m +222221212224128(1)()(1)3434m km k x x km x x m k km m k k --=++++=++⨯+++ 22222222712127(1)1212550343434m k k k k k k k --+----===<+++． ……………………………………………………………………………………………（10分）当l 垂直于x 轴时易知0OM ON < 也成立，又M ，O ，N 不共线，所以MON ∠为钝角，故点O 在以线段MN 为直径的圆内．…………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）当1a =时，2(1)1()e 2x x f x x +=+，e 1()e e x x x x f x x x ⎛⎫-'=-= ⎪⎝⎭， 则(1)e 1f '-=-，1(1)2f -=， 切线方程为11(e 1)(1)(e 1)e 22y x y x -=-+=-+-，即． ……………………………………………………………………………………………（4分） （2）①当0a >时，由()0f x '=得0x =或ln x a =；若1a =，由（1）知，()f x 为R 上的增函数． 由1(1)02f -=>，2(2)e 20f -=-+<， 所以()f x 只有一个零点，不符合题意；若01a <<，则ln x a <时，()0f x '>，()f x 为增函数；ln 0a x <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；0x >时，()0f x '>，()f x 为增函数．数学参考答案·第10页（共10页） 而()(0)0f x f a ==>极小，故()f x 最多只有一个零点，不符合题意； 若1a >时，则0x <时，()0f x '>，()f x 为增函数；0ln x a <<时，()0f x '<，()f x 为减函数；ln x a >时，()0f x '>，()f x 为增函数， 得21(ln )(ln )ln 102()f a a a f x =++>=极小， 故()f x 最多只有一个零点，不符合题意； ②当0a <时，由()0f x '=得0x =，由0x ≤得()0f x '≤，()f x 为减函数，由0x >得()0f x '>，()f x 为增函数， 则min ()(0)0f x f a ==<．又x →-∞时，()0f x >，x →+∞时，()0f x >，所以当0a <时，()f x 始终有两个零点1x ，2x ，………………………………………（8分）不妨令10x <，20x >，构造函数()()()F x f x f x =--， 所以e e (e e ()((e )))e x x x x x x F x a a x x ax f x f x ---⎛⎫⎛⎫---=- ⎪'''=+-= ⎪⎝⎭⎝⎭， 由于0x >时，e e 0x x -->，又0a <，则()(e e )0x x F x ax -'=-<恒成立， 所以()F x 为(0)+∞，上的减函数，则()(0)(0)(0)0F x F f f <=-=，即()()f x f x <-，故有22()()f x f x <-. 又1x ，2x 是()f x 的两个零点，则12()()f x f x =， 所以12()()f x f x <-. 结合()f x 的单调性得12x x >-， 所以120x x +>．…………………………………………………………………………（12分）。
云南省2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷(二)数学答案
数学参考答案·第1页（共9页） 2023届“3+3+3”高考备考诊断性联考卷（二）数学参考答案一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B A A B C B【解析】1．由2log 3x <，解得08x <<，即(08)A =，，由(4)0x x -≥，得04x ≤≤，则02y ≤≤，即[02]B =，，则(02]A B = ，，故选D ．2．法一：由复数乘法运算得3i z =，则3||1z =，故选C ．法二：由||1z =，则3||1z =，故选C ．3．由题意知，n 只能为1或2，由三角形两边之和大于第三边知2n =，故三角形为直角三角形，故选B ．4．因为40533144a ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，ln πln e 1b =>=，30444155c ⎛⎫⎛⎫=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以b 最大，故排除选项C ，D ；取对数得43ln ln 54a =，34ln ln 45c =，构造函数ln ()x f x x=，则21ln ()x f x x -'=，()f x 在(0e]，上单调递增，故4354f f ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即43lnln 544354>，所以3443ln ln 4554>，即ln ln c a >，所以c a >，故选A ．5．cos y x =为偶函数，则ln(cos )y x =为偶函数，又cos 1x <，则ln(cos )0y x =<，故选A ． 6．总的涂色方案有543354322420⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=，只用3种颜色来涂色的方案有35C 32160⨯⨯⨯=，6014207p ==，故选B ． 7．1122AO AD AB =+ ，211322AB AO AD AB AB =+= ，得2AD AB = ，由数量积的几何意义得D 在AB 上的射影为AB 中点，故BC ⊥AB ，即π2ABC ∠=，故选C ．数学参考答案·第2页（共9页）8．定义域为(0)+∞，，要想()()f x g x >恒成立，即2232ln a ax x bx x +>-恒成立，只需232ln a a x b x x +>-恒成立，只需232ln a x a x b x ++>恒成立，设23()2ln a h x x a x x=++ (0)x >，2(3)()()x a x a h x x +-'=，所以当1a =-时，则min ()(3)42ln 3h x h ==-，使()()f x g x >恒成立的b 可取1；所以当1a =，则min ()(1)4h x h ==，使()()f x g x >恒成立的b 可取1，2，3，()a b ，一共有(11)，，(11)-，，(12)，，(13)，共4种，故选B ．二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 题号 9 10 11 12 答案ACD AD ABC ABD【解析】 9．城镇49283474121871-=，农村20133189311202-=，故A 正确；从图甲中2022年名义增速与实际增速可知，B 错；从图乙可知食品支出总额占个人消费支出总额的30.5%，可以认为我国在2022年达到富裕，故C 正确；由乙图知食品烟酒和居住占比为54.5%，故D 正确，故选ACD ． 10．(1)P ，1||1PF =，21||2||3PF a PF =-=，1211cos 32F PF ∠=<，所以1260F PF ∠>︒，故B 错；1PF Q △的周长为48a =，A 正确；设2||F Q m =，1||4F Q m =-，在1PF Q △中，2221111||||2||||||3F P PQ F P PQ F Q +-= 得2211(3)21(3)(4)3m m m ++-⨯⨯+⨯=- 35m⇒=，所以117||5F Q =，D 正确；221||||5QF PF =，所以12121111552QF F PF F S S ==⨯⨯△△ =，故C 不正确，故选AD ． 11．π()sin 2(0)6f x x ωω⎡⎤⎛⎫=+> ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，当π6x =-时，得π206x ω⎛⎫+= ⎪⎝⎭，故A 正确；当1ω=时，由5π12x =-得5πππ21262⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，故B 正确；当01ω<≤时，π012x <<，得数学参考答案·第3页（共9页）ππππ023622x ωωω⎛⎫<<+< ⎪⎝⎭≤，故C 成立；由π5π66x -≤≤，得π022π6x ωω⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤≤，当2π2π3πω<≤，即312ω<≤，故D 错误，故选ABC ． 12．A ，B 选项中，P ABC -为正四面体，A ，B 对；C ，D 选项中，P ABC -为PA PB PC，，两两垂直的正三棱锥，所以体积为114222323⨯⨯⨯⨯=，C 错，其外接球半径R ==，故4π312πS =⨯=球，D 对，故选ABD ． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 题号 13 14 15 16 答案(0)+∞， ([0))+∞或， 32 0 3【解析】 13．定义域为(1)-+∞，，1()e ()1x f x g x x '=-=+，21()e 0(1)x g x x '=+>+，所以()g x 在(1)-+∞，上单调递增，又(0)0g =，所以当0x >时，()0f x '>，故()f x 的单调递增区间为(0)([0))+∞+∞，或，．14．由616C (2)(1)r r r r T x -+=-得，4x 的系数为33315166C 2(1)C 2(1)32---=．15．因为()f x 是奇函数，故其最大值和最小值的和为0．16．记c 为双曲线半焦距，由角平分线定理得1122||||3||||F Q PF F Q PF ==，即3Q Q x c c x +=-，解得12Q x c =，由双曲线的焦点三角形知(0)A a ，，故9()24c c c a +=-，解得3c e a ==． 四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）（1）证明：由221n n n a S a =+可得，221121S S =+，又因为n S 为正项数列{}n a 的前n 项和，所以111S a ==，……………………………（1分） 21112()()1n n n n n n n n a S S S S S S S ---=--=-+，∵∴，2211(2)n n S S n --=≥∴，数列2{}n S 为等差数列， ………………………………………（3分）数学参考答案·第4页（共9页）2n n S n S ==，∴，1(1)(2)n n a n =⎧=-，≥，n a =∴ ……………………………………………………………………………………（6分）（2）解：(1)(1)nn n nb a -==-，………………………………………………（7分） 2023T 11=-++-+--= ．……………………………………………………………………………………（10分） 18．（本小题满分12分） （1）证明：如图1，取BC 的中点F ，连接AF 交DE 的中点O ，连接OP ，由AD AE =，所以OP DE ⊥，………………………（1分）由ABC △是边长为6的等边三角形，且2AD AE ==，所以ADE △是边长为2的等边三角形，所以13AO AF ==，23OF AF == 在直角OFB △中，22221BO OF BF =+=，在POB △中，22224PO OB PB +==，…………………………………………………（3分） 所以PO OB ⊥，又OP DE ⊥，所以PO ⊥平面BCED ，故而平面PDE ⊥平面BCED ．…………………………………………………………（5分） （2）解：由（1）知：OF DE OP ，，两两垂直，建立如图2所示坐标系，如图3，在底面ABC 中，由题意可知13DE BC =，且DE BC ∥， 所以(100)D ，，，(100)E -，，，(30)B ，，(30)C -，，(00P ，，所以(10PD = ，，，(3PB = ，，(10PE =-- ，，，(3PC =-- ，， ………………………………………………………………………………………（6分）图1 图2数学参考答案·第5页（共9页）设1111()n x y z = ，，为平面PBD 的一个法向量，所以1100n PB n PD ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即11111300x x ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，，令11z =，所以111x y ==-，即111)n =- ，，……………………………………………（8分）设2222()n x y z = ，，为平面PCE 的一个法向量，所以2200n PC n PE ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，，即22222300x x ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，，令21z =-，所以221x y ==，即211)n =- ， ……………………………………………………………………………………（10分） 设平面PDB 与平面PEC 所成锐二面角的平面角为θ， 则1212||1cos 5||||n n n n θ==，所以sin θ=， 所以平面PDB 与平面PEC所成锐二面角的平面角的正弦值为5． ……………………………………………………………………………………（12分）19．（本小题满分12分）解：（1）sin sin tan tan sin cos sin cos sin()sin()cos cos sin sin tan tan sin cos sin cos sin()sin cos cos B C B C B C C B B C B C B C B C B C B C C B B C A B C-----====++++∵， 则sin()sin sin sin sin B C a c A C A a A---==， sin()sin sin sin()sin B C A C B C C -=-=+-∴，即sin cos sin cos sin cos sin cos sin B C C B B C C B C -=+-，则2sin cos sin C B C =， 又(0π)C ∈，∵，sin 0C ≠，1cos 2B =∴，π3B =∴．…………………………………………………………………（5分） 图3数学参考答案·第6页（共9页）（2）2AD DC = ∵，1233BD BA BC =+ ∴， 则221233BD BA BC ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，即224124999a c ac ++=，…………………………………（7分） 222222233642(2)2(2)(2)24a c a c ac a c ac a c a c +⎛⎫=++=+-+-=+ ⎪⎝⎭≥，2a c +≤∴2a c ⇔==取等，…………………………………………………（10分） 2222cos 9b a c ac B =+-=，3b =∴，2sin b R B ===，R =．…………………………………………（12分） 20．（本小题满分12分）解：（1）平均数350.03450.10550.27650.42750.1861.260x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=>，标准差10s =<，故A 主题逃脱成功难度大．…………………………………（2分）（2）[6070)m ∈，，由(60)0.0420.030.100.270.8m -⨯+++=得，70m ≈.………………………………………………………………………………………（4分）（3）方案①：由频率分布直方图得，某人在70分钟内完成逃脱的概率为0.030.100.27+0.420.82++=，则人均可获得奖励为0.8210.82⨯=（元）．……………………………………………（6分） 方案②：记随机变量X 为三人进行一次组团活动的盈利，某人在60分钟内完成逃脱的概率为20.030.100.270.45++==， 由题意可得，1011120X =--，，，，03032327(10)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，12132354(1)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 21232336(11)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3033238(20)C 55125P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．数学参考答案·第7页（共9页）X 的分布列为……………………………………………………………………………………（10分） 2754368232()(10)(1)1120 1.856125125125125125E X =⨯-+⨯-+⨯+⨯==， 则人均收益为1.85630.620.82÷≈<，故该选择方案①．………………………………………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（1）设椭圆Γ的焦距为2c ，由题得2c =，且222a b c =+．令x c =-，代入椭圆Γ得2b y a=±， 故OAB △的面积为22212223b b c b S c a a a =⨯⨯===． 所以23b =．结合224a b =+，解得2262a b ==，．所以椭圆Γ的方程为22162x y +=．……………………………………………………（4分） （2）存在，点C 的坐标为(32)-，，(32)--，，对应直线l 的方程分别为11y x y x =--=+，． 显然，直线l 的斜率不为零，设直线l 的方程为2x my =-，1122()()A x y B x y ，，，，AB 的中点为00()M x y ，．联立222162x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得22(3)420m y my +--=， 则2212122242168(3)033m y y y y m m m m -+==∆=++>++，，．…………………………（6分） 所以1200022262233y y m y x my m m +-===-=++， 直线CM 的方程为222633m y m x m m ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭，即243m y mx m =--+．12|||AB y y=-=，202263(||3|333mCM xm m-+⎫=+=+=⎪++⎭．由ABC△为正三角形得|||CM AB=，=，解得1m=±．………………………………（10分）当1m=时，直线CM的方程为1y x=--，点C的坐标为(32)-，；当1m=-时，直线CM的方程为1y x=+，点C的坐标为(32)--，．综上，点C的坐标为(32)-，，(32)--，，对应直线l的方程分别为11y x y x=--=+，．……………………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分12分）解：（1）当1x≤时，1()2ln2xf x-'=，故1ln2(0)2ln22f-'==．又11(0)212f-=-=-，所以()y f x=在(0(0))f，处的切线方程为1ln2(0)22y x⎛⎫--=-⎪⎝⎭，即ln2122y x=-．………………………………………………………………………………………（4分）（2）令()()()h x af x g x=-，则①当1x>时，3()(1)logh x a x x=--，1ln31()ln3ln3axh x ax x-'=-=．由(2)0h≥得3log20a>≥，故()h x在1ln3a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，在1ln3a⎛⎫+∞⎪⎝⎭，上单调递增．若11ln3a，即1ln3a≥，则()h x在(1)+∞，上单调递增，故()(1)0h x h>=，符合题意；若11ln3a>，即1ln3a<，则()h x在11ln3a⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递减，故当11ln3xa⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，时，()(1)0h x h<=，不符合题意．数学参考答案·第8页（共9页）数学参考答案·第9页（共9页） 所以当1x >时，实数a 需满足1ln 3a ≥．………………………………………………（8分） ②当1x ≤时，1()(21)(1)x h x a x -=---，1()2ln 21x h x a -'=- ，12()2ln 2x h x a -''= ． 由①知，()0h x ''>，故()h x '在(1]-∞，上单调递增．若(1)ln 210h a '=-≤，即1ln 2a ≤，则()(1)0h x h ''≤≤，()h x 在(1)-∞，上单调递减， 故()(1)0h x h =≥，符合题意；若(1)ln 210h a '=->，即1ln 2a >，由于x →-∞时，()1h x '→-， 故存在唯一0(1)x ∈-∞，，使得0()0h x '=，则()h x 在0(1)x ，上单调递增， 故当0(1)x x ∈，时，()(1)0h x h <=，不符合题意．所以当1x ≤时，实数a 需满足1ln 2a ≤． 综上，实数a 的取值范围为11ln 3ln 2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，．……………………………………………（12分）。
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彝良职高2011年秋季学期高三数学测试题
（一）
答卷注意事项：
1.学生必须用碳素墨水笔直接在试题卷上答题；
2.答卷前请将密封线内的项目填写清楚；
3.字迹要清楚、工整，不宜过大，以防试卷不够使用；
4.本卷共29大题，总分为150分，考试时间120分钟；
一、选择题（每题4分，共计80分）
1、a a -是 （ ）
A 、负数
B 、非负数
C 、0
D 、正数
2、将式子
） A
B 、
C
D 、3、下列约分中正确的是（ ）
A 、62
3x x x = B 、x m m x n n
+=+ C 、
1x y x y -=--+ D 、22x y x y x y +=++ 4、已知331a a a a
--+=+，则2a =（ ）
A 、1
B 、3
C 、2
D 、3+ 5、设a b c ===a,b,c 的大小关系是（ ） A 、a<b<c B 、a>b>c C 、c>a>b D 、a<c<b 6、 若21025,m =则10m -= （ ）
A 、15
B 、15-
C 、1625
D 、15
±
7、若x,y 都大于零，且2lg(2)lg lg x y x y -=+，那么x
y
=（ ） A 、1 B 、
1
4
C 、4
D 、不是确定的数 8、下列各式的值为零的是（ ）
A 、00
B 、1log 1
C 、0(2
D 、2log 1-
9、不等式组2
,3
x x >-⎧⎨<⎩的解集为（ ）
A 、{}/2x x >-
B 、{}/3x x <
C 、{}/23x x -<<
D 、空集 10、不等式ax b >（0a ≠）的解集是（ ）
A 、空集
B 、/b x x a ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
C 、/a x x b ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭
D 、//b b x x x x a a ⎧
⎫⎧⎫>⋃<⎨⎬⎨⎬⎩
⎭⎩⎭
11、不等式2330x +>的解集为（ ）
A 、R
B 、空集
C 、{}/11x x x >-<或
D 、{}/11x x x ><-或
12=（ ）
A 、
B
C 、
D 13、若x y m
x y n +=⎧⎨-=⎩
，那么2x-3y 的值是（ ）
A 、1(4)2m n +
B 、1(5)2m n -
C 、1(5)2n m -
D 、1
(5)4
n m -
14、已知a a =-，那么a 是（ ）
A 、正数
B 、负数
C 、非正数
D 、0 15、已知a<-b ，且ab>0,化简a b a b ab +-+-等于（ ） A 、-ab B 、2a+2b+ab C 、-2a-2b+ab D 、-2a+ab 16、关于函数2()1f x x =+ 的说法正确的是（ ） A 、在(,0)-∞是增函数 B 、在[0,)+∞是增函数 C 、在(,1)-∞是增函数 D 、在[1,)-+∞是增函数
17、已知函数
{1(0)
1(0)()x x x x f x -≥+<=，则((0))f f = （ ）
A 、0
B 、-1
C 、1
D 、2
18、方程
1 1.20.25 1.25x x --=的解为（ ） A 、194 B 、138 C 、- 138 D 、-194
19、2lg(3)2lg x x +-的值为（ ）
A 、负数
B 、正数
C 、0
D 、不存在 20、下列函数中，在定义域内是减函数的是（ ） A 、1
y =-
B 、2y x =
C 、2y x =
D 、3y x =-
二、填空题（每小题5分，共计25分）
21、∣x +1∣+2010(1)y -=0，则2011()xy =
22、已知a,b 为实数，且满足221a a -=-，则20112011a b += 23、已知：x=2,y=-1是方程组1
4ax by bx ay +=⎧⎨+=⎩的解，则a= b=
24、若3
log 4
x =
，则x=
25、若1a
a
=-12a -=
三、计算题（共计45分，写出必要演算步骤，不然不得分） 26、（10分）计算56784567log log log log
27、（10分）已知
1
2
x=，求
1
1
1
1
1
x
x
x
+
-
++
-
28、(15分)求关于x的方程2
(1)2(3)0
m x m x m
+--+=的根.
29、（10分）解不等式
2
2
54
56
x x
x x
++
<
--
.。