利用三角形角平分线构造基本图形

证明：延长 交 的延长线于点 ，
∵ 是 的平分线， ，
∴ ，
∴ 是等腰三角形．
∴ ．
∴ ．
∵ ， ， ，
∴ ．
．
三、“角平分线+平行线”构造等腰三角形
1．自角的平分线上任意一点作角的一边的平行线与另一边相交，得等腰三角形；
2．自角的一边上任意一点作角平分线的平行线与另一边的反向延长线相交，得等腰三角形．
2．根据等腰三角形的“三线合一”性质作垂线：自角的一边上任意一点作角平分线的垂线，使之与另一边相交，则截的一个等腰三角形．
例2如图4，在四边形 中， ， ， 平分 ．
求证： ．
证明：过点 作 ，交 延长线于点 ，作 ，交 于点 ．
∵ 平分 ，
∴ ．又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
例3如图5，已知等腰三角形 中， ， 的平分线交 于点 ，过点 作 的垂线交 的延长线于点 ．求证： ．
利用三角形角平分线构造基本图形
三角形的角平分线是三角形的重要线段之一，它在几何的计算或证明中，起着“桥梁”的作用．利用三角形的角平分线构造基本图形给解题带来极大方便．下面举例说明：
一、“以角平分线为轴翻折”构造全等三角形
此情形可构造两种基本图形如图1，图2所示：
如图1，以 为轴翻折，使点 落在 上（即在 上截取 ），得 ．如图2，以 为轴翻折，使点 落在 的延长线上（即延长 到 ，使 ），得 ．
例4如图6， 中， 是 的平分线， 是 中点， ，交 于点 ，交 的延长线于 ，求证： ．
证明：作 交 的延长线于 ．
∵ 是 中点，
∴ ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ．又∵ ，
∴ ，
∴ ．
∴ ，
∴ ．
总之，三角形的角平分线构造基本图形解题，一般不外乎以上三种情形，只要根据题目所给的条件，灵活选用上述三种构图方法，问题可迎刃而解．
例1如图3，在 中， 平分 ， ，
求： 的值．
解法1：在 上截取 使 ，连结 ．
∵ ， ，
∴ ，
∴ ， ．
又∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
解法2：延Biblioteka Baidu 到 ，使 ，连结 ．请读者一试．
二、“角平分线+垂线”构造全等三角形或等腰三角形
1．根据角平分线的性质作垂线：自角的平分线上任意一点向角的两边作垂线，得到两个全等的直角三角形；