复合函数的导数

ex
ex 2
1 2
[(e x
)
(e x
)]
1 (ex ex ( x)) 2
1 (ex ex ) chx. 2
即
(sh x) = ch x .
同理可得
(ch x) = sh x .
补证一下 (x) = x -1 .
因为 x eln x e ln x ，
所以
(x) = (elnx)
= elnx ·(ln x) e ln x 1
x
x 1 x 1 .
x
例 12 设 u x2 y2 z2 , 求证：
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
证明
u x 2
x2
1 y2
z2
(x2
y2
z 2 )x
x
x
,
x2 y2 z2 u
同理，得
u y ,
u z ,
代入等式左边得
y u z u
u x
2
u y
2
u z
2
x2
y2 u2
z2
u2 u2
1,
所以有
u x
2
u y
2
u z
2
1
.
解 先用复合函数求导公式，再用加法求导公式，
然后又会遇到复合函数 1 x2 的求导.
[ln(x 1 x2 )]
1
( x 1 x2 )
x 1 x2
1
[1 ( 1 x2 )]
x 1 x2
x
1 1
x2
1
1. 1 x2
x 1
x2
例 11 设 y = sh x， 求 y .
解
y
(shx)
eu sec2 x sec2 x etanx .
复合函数求导数熟练后，中间变另可以不必 写出.
例 4 设 y 1 x2 , 求 y .
解 将中间变量 u = 1 - x2 记在脑子中.
yu (
u )
1
1
u2
1 (1
x
2
)
1 2
也在心中运算
.
2
2
这样可以直接写出下式
yx
1 2
(1
x
2
yu (u2 ) 2u , ux (sin x) cos x.
所以
yx yu ux 2u cos x 2sin x cos x.
例 3 设 y = etan x，求 y . 解 y = etan x 可以看成是由 y = eu，u = tan x 复合而成，所以
yx yu ux (eu )u (tan x)x
1
(x
ex
1
)2ห้องสมุดไป่ตู้
(1
ex
).
2
例 8 设 y x ,求 y . 1 x2
解 先用除法的导数公式，遇到复合时，再
用复合函数求导法则.
y ( x) 1 x2 x( 1 x2 ) ( 1 x2 )2
1 x2 1 2x x
2 1 x2 1 x2
(1 x2 ) x2 1 x2 (1 x2 )
看成是
y = u5，u = 2x + 1
复合而成， 由于
yu (u5 ) 5u4 ,
所以
ux (2x 1) 2. yx yu ux 5u4 2 10(2 x 1)4 .
例 2 设 y = sin2 x，求 y . 解 这个函数可以看成是 y = sin x ·sin x, 可利 用乘法的导数公式，这里，我们用复合函数求导法. 将 y = sin2 x 看成是由 y = u2，u = sin x 复合而成.而
lim
u0
y lim u x0
u x
yu
ux，
即 yx yu ux .
推论 设 y = f (u) ， u = (v)， v = (x) 均 可导，则复合函数 y = f [ ( (x))] 也可导， 且
二、复合函数求导举例
例 1 设 y = (2x + 1)5，求 y .
解 把 2x + 1 看成中间变量 u，将 y = (2x + 1)5
1
3
(1 x2 )2
.
例 9 设 y = sin(xln x)， 求 y . 解 先用复合函数求导公式， 再用乘法公式
y = cos(xln x) ·(xln x) = cos(xln x) ·(x ·(ln x) + x ln x ) = (1 + ln x)cos(x ln x) .
例 10 求 [ln(x 1 x2 )]
)
1 2
(1
x 2 ) x
x . 1 x2
例 5 设 f (x) = arcsin(x2) ，求 f (x).
解
f ( x)
1 1 x4
( x2 )x
2x . 1 x4
例 6 设 y ln sin x , 求 y . 解 这个复合函数有三个复合步骤
y ln u, u sinv, v x . 把这些中间变量都记在脑子中．
yx ( x)
1 sin
(sin x
x )x
1 cos sin x
x(
x
) x
2
1 x
cot
x.
例 7 设 y x ex , 求 y .
解
yx
1 (x 2
e
x
)
1 2
(
x
e x ) x
1
(
x
e
x
)
1 2
2
( x)x
(e x ) x
1 (x 2
e
x
)
1 2
1 ex
( x)x
一、复合函数的求导法则
定理 2 设函数 y = f (u)， u = (x) 均可导， 则复合函数 y = f ( (x)) 也可导.
且 或
或
证 设变量 x 有增量 x，相应地变量 u 有 增量 u，从而 y 有增量 y. 由于 u 可导，
所以lim u 0. x0
lim y lim y u lim y lim u x0 x x0 u x x0 u x0 x