异面直线的夹角专题(教师版)

异面直线所成角的几种方法

异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．

方法一：抓异面直线上的已知点

过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．

例1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是？

解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得

cos B 1GF ＝222222

111(2)(3)(5)2223

B G GF B F B G GF +-+-=

•••＝0，

故∠B

1

G F ＝

练习1.1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．

1

A 1

B 1

C 1

D A

B

C

D

E

F

G

练习1.2：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2cm ，AA 1=4cm ，求异面直线BD 1与AD 所成的角的余弦值？

方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点

考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.

例2：设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为多少？

A

B E M

图1

A

C

D

M

N

G

图2

A

A 1

解：取AE 中点G , 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝2

1

ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠B E

A

＝∠B

A E ＝， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．

∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．

练习2.1：S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2

π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝

a 2

5

NQ ＝21SM ＝

4

2a BQ ＝

a 4

14

∴COS ∠QNB ＝5

102222=

⋅-+NQ

BN BQ NQ BN

练习2.2：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，

∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角的余弦值．

解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．

设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6， cos ∠GNA ＝10

30

5

62556=

⨯⨯-+.

练习2.3：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，

B M

A

N C

S A

C

B

N

M A

C

B

E 、

F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。

证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，

故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。

设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。

因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。

方法三：平移(或构造)几何体

有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.

例3：如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为多少？

解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan 2PD

DBA DB

∠=

=.

练习3.1：正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．

1

D 1

B 1

C P

D

B

C

A