异面直线的夹角专题(教师版)
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计
“异面直线所成的角”（第二课时）教学设计双流中学数学组 邱国界教材分析：异面直线及异面直线的夹角这一节设置为两课时，这是第二课时的教学设计．异面直线的夹角是由两条相交直线的夹角扩充而生成的，由平移原理可知，当两条异面直线在空间的位置确定后，它们的夹角的大小也就随之确定了．这对于初学立体几何的学生来说，是较难理解的，对“异面直线还有夹角”这一概念感到陌生和新鲜，是学习的一个难关．教学中应通过现实生活中的例子，说明如何抽象出异面直线的夹角概念．强调异面直线的夹角的存在性和学习的必要性．异面直线的夹角的范围是000~90，不含00．最后，通过教科书中正方体的练习，逐步深入理解异面直线及其夹角，使学生较好地掌握这一内容．要计算异面直线a b 、的夹角的大小，必须通过平移转化为相交直线''a b 、的夹角．如何实现“转化”是学习中的一个难关．根据异面直线夹角的定义，在空间任取一点O 实现转化固然可以，而在实际操作中，可将点O 取在a 或b 上．两条异面直线互相垂直，即它们的夹角是直角，这是两条直线是异面直线时的一种特殊位置情况．应向学生指出：今后如果说两条直线互相垂直，它们可能相交，也可能异面．对于本节的学习，仍然应注意概念的形成过程，让学生去完成意义建构，而决不单纯以记忆结论为目的，要注重空间想象能力的形成过程，并有意识地加以引导、培养.教学目标：1、知识目标：（1）掌握异面直线所成角的概念；（2）能求出一些较特殊的异面直线所成的角； （3）了解异面直线垂直． 2、能力目标：（1）空间能力的进一步形成； （2）平面向空间的推广能力； （3）空间向平面的转化能力．3、情感目标：通过理论与实际的结合，培养学生实事求是的态度；同时在实际生活中不断发现问题，解决问题，培养学生的创新精神，为自己的人生垫定扎实的基础．学情分析：学生已有知识：空间四大公理、等角定理、异面直线的概念与判断；已有能力：立体空间的想象、抽象思维能力（但这种能力欠缺）；情感定位：初步接触立体几何，有较强的兴趣，对一门新的数学分支充满了激情．教学重点：异面直线所成的角概念的形成及应用教学难点：异面直线所成的角的发现与概念形成，将异面直线所成角转化为平面角 授课类型：新授课授课方式：探索法、引导法、讨论法教法设计：创设问题的现实情境，通过启发、引导学生发现异面直线所成的角的存在性，通过由特殊到一般、从具体到抽象，培养学生观察、分析、归纳、抽象、概括等逻辑思维能力与空间想象课时安排：1课时教 具：FLASH多媒体课件、实物投影仪、实物教具 教学过程： 一、创设情境：多媒体课件给出嫦娥奔月的轨迹图，通过动画说明空间中异面直线的方向存在差异，也即空间异面直线的“角度”的存在性，即本节课的课题：异面直线所成的角（异面直线的夹角）．（设计意图：建构主义教学模式在高中数学中的力能否吸引到教学内容上的关键所在．嫦娥奔月刚刚成功，中国人所拍摄的第一幅月球照片也刚刚公布，这是中国人的骄傲，也是每个中国人所熟知的事情，也是这段时间人们谈论最多的话题，因此，以此为情境引入，能一下抓住学生的注意力，激发学生的学习热情，引导学生积极主动地参与学习、思考．）二、新知形成过程：1、质疑一：平移会改变这两条异面直线原有的方向吗？2、质疑二：怎样度量异面直线的方向的差异呢？3、质疑三：相交直线中，选取哪个角作为度量结果呢？4、质疑四：两直线交点的位置会影响这个度量值吗？5、提问：你可以怎样定义异面直线夹角呢？（设计意图：这一版块属于建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教性学习是一种以问题为载体、以主动探究为特征的学习活动，是学生在教师的指导下在学习和社会生活中自主地发现问题、探究问题、获得结论的过程．在这个环节中，既让学生独立思考与学习，同时也采用协作学习的方式来解决所提出的问题，最后形成异面直线夹角的概念．问题5的提出就目的是培养学生的归纳总结能力，并体会到学习的乐趣．）三、形成新知：1、形成异面直线所成角的定义．异面直线所成的角：已知两条异面直线a b 、，经过空间任一点O 作直线//,//a a b b ''，''a b 、所成的角的大小与点O 的选择无关，我们把''a b 、所成的锐角（或直角）叫异面直线a b 、所成的角（或夹角）．为了简便，点O 通常取在两条异面直线中的一条上．2、异面直线垂直：如果两条异面直线所成的角是直角，则叫两条异面直线垂直．两条异面直线a b 、 垂直，记作a b ⊥．两直线垂直含异面垂直与共面垂直．3、两条异面直线所成角的取值范围是0,2π⎛⎤⎥⎝⎦． （设计意图：异面直线概念的得出在前面三步的进行下也就成了顺理成章的事了，只有用严格的数学语言来对一个知识下了定义才能方便我们对该知识的使用，也正是将一个数学概念顺理成章的学生自己构建在了自己的已有的知识体系中，这正是建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概四、新知应用：正方体ABCD A B C D ''''-中： （1）求直线AB 与B C ''夹角的度数；（2）求直线BA '与CC '夹角的度数； （3）求直线BA '与'AD 夹角的度数． 学生活动：讨论、思考、求解；教师活动：参与讨论共同解决；强调解题的思维与书写步骤的完整．解：（1）由//B C BC ''，可知ABC ∠等于异面直线AB 与B C ''的夹角，易知ABC ∠=090，所以异面直线AB 与B C ''的夹角为90；（2）由//BB CC ''，可知B BA ''∠等于异面直线BA '与CC '的夹角，所以异面直线BA '与CC '的夹角为45；（3）连结',''BC A C ，则'//'AD B C ，则''C BA ∠等于异面直线BA '与'AD 的夹角，易知''A BC ∆为正三角形，所以异面直线BA '与'AD 的夹角为60． 形成能力：1、点O 通常取为两条异面直线中的一条线段的端点或中点；2、求异面直线所成的角的方法： （1）平移直线相交——作； （2）确定角——证； （3）求解角——求．D'C'B'A'DCBA（了能解题，能用，在解题中体会概念的精妙之处，在用中反思概念的合理性．独立思考与合作学习，既发挥了个人的能力也共享了集体的智慧，让每个学生在学习过程中都学有所长，愉快地学习；在建构主义理论下，以任何一种学习模式组织教学，都有一个学习效果的评价，其中包括是否完成对所学知识的意义建构，即是说学以致用，异面直线的夹角来源于生活，形成了数学概念，同时还要回到生活中去，能解决实际问题．故设计的这组练习题是检查学生对异面直线的夹角的掌握情况的，同时也是对异面直线夹角概念的巩固．）六、巩固提高：1、教材16P 练习题第4题：如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中：（1）哪些棱所在直线与直线'AA 成异面直线且互相垂直？ （2）已知'1AB AA ==，求异面直线'BA 与'CC 所成角的度数．2、空间四边形ABCD 中，AD BC ==，,E F 分别是,AB CD 的中点，6EF =，求异面直线AD 与BC 所成的角．注：此题所给的解法是利用余弦定理求解，这是常用也是通用方法，称为解三角形，而此题数据特殊，EGF ∆为等腰三角形，故也可在直角三角形中求解EGF ∠的大小．解：取AC 中点G ，连结,,EG FG EF ，∵,E F 分别是,AB CD 的中点，∴//,//,EG BC FGAD 且1122EG BC FG AD ==== ∴异面直线,AD BC 所成的角即为,EG FG 所成的角，在EGF ∆中，2221cos 22EG FG EF EGF EG FG +-∠==-⋅， ∴120EGF ∠=，异面直线,AD BC 所成的角为60． 形成能力：(1)异面直线所成的角是锐角或直角，当EGF ∆内角EGF ∠是钝角时，则异面直线AD BC 、所成的角是它的补角．(2)此题在平移时用到的是“双移”，手段是利用三角形中位线与底边平行，从而达到平移直线的目的．（3）在平移直线时，合理选择平移点→确定平面→找、移或连．（设计意图：对一个概念的真正撑握必然是经过反复再反复的过程，在实践中把握本质，故在此GFED CBAD'C'B'A'DC B A设计了这个环节．概念不变，但题目千变万化，在这个问题上，采用随机进入式教学；由于事物的复杂性和问题的多面性，要做到对事物内在性质和事物之间相互联系的全面了解和掌握、即真正达到对所学知识的全面而深刻的意义建构是很困难的．往往从不同的角度考虑可以得出不同的理解．为克服这方面的弊病，在教学中就要注意对同一教学内容，要在不同的时间、不同的情境下、为不同的教学目的、用不同的方式加以呈现．换句话说，学习者可以随意通过不同途径、不同方式进入同样教学内容的学习，从而获得对同一事物或同一问题的多方面的认识与理解．让学生思考、探索、讨论，获得多种解题思路，再展现出来，教师引导完成解法，并比较各种做法的差异与优缺点，从而提升学生的题解能力．）七、小结升华：本节课你有什么收获？异面直线夹角的概念及用平移的方法求异面直线所成的角，步骤是：作、证、算；异面直线夹角是二维到三维的推广，而求解异面直线夹角是三维向二维的转化．（设计意图：识升华，最终完成知识建构的重要环节，课后延伸可帮助学生建立自己的知识网络，对本节课起到辅助与延伸的作用，在建构主义教学模式在高中数学中的应用研究下高中数学概念课中的教学模式中必不可少．）八、课后巩固：1、教材16P 习题第6、7题．2、（选做）在长方体D C B A ABCD '''-中，4AB =，2BC =，'2AA =，求异面直线B D '与AC 所成的角的余弦值．九、板书设计十、教学反思 （见前面网页处）D'C'B'A'DCBA。
空间角的运算问题求异面直线夹角
B
5t 2 10t 9
x
C
当且仅当 t
1 5 20 9 9 t 9
2
10
9 t 1 2 3 ，即 时，cos CQ, DP 的最大值为 10. 5 2 5 10
y cos x 在 0, 上是减函数，此时两直线所成角取的最小值. 2
2.向量法:直接向量运算，或坐标运算.
数学思想:转化的思想，就是把空间的角转化为平面的角，再利用解三角形的知识 解答. 注意点:异面直线夹角是锐角或直角，所以要注意所求的角可能是其补角.
21. 空间角的运算问题 求异面直线夹角
1. 异面直线夹角 已知两条异面直线 a , b ， 经过空间任一点 O 作直线 a ∥ a , b ∥ b ， 把 a 与 b 所成的锐 角(或直角)叫做异面直线 a , b 所成的角(夹角).
范围：
90 0 ， .
2.异面直线所成角的求法 （1） 几何法：平移法（平移一条直线或两条直线）或补形法，找到异面直线所成的角， 再解三角形； （2） 向量法（运用数量积求出余弦值）.
求直线 PA 与直线 FG 所成角的余弦值
思路分析： F , G 分别是 AB, BC 三等分点，所以只需连接 AC ，就可以把 FG 平移到 AC ，
P
使其与 AP 相交,再解三角形即可 .
D
E G
C
A
F
B
解： 如下图所示，连接 AC ,
P
AF 2 FB, CG 2GB,
AF CG 2, FB GB
cos
a b ab
例 1. 如 图 ， 三 角 形 P D C所 在 的 平 面 与 长 方 形 A B C D 所在的平面垂直，
异面直线及夹角PPT教学课件
(2)定义法：判断两直线永不在同一平面内 常用反证法
练习１、判断：
(1)没有公共点的两直线叫异面直线
(2)分别在两个平面内的直线叫异面直线
练习２、说出正方体中各对线段的位置关系
1) AB,CC1 ; 2) A1C,BD1
D1
C1
A1
3) AA1,CB1; 4) A1C1,CB1
B1
5) A1B1,DC; 6) BD1,DC
法
作业
P15 4, 7 P80 4
1.下列结论正确的是（ C ）
A.没有公共点的两条直线是平行直线
B.两条直线不相交就平行
C.两条直线有既不相交又不平行的情况
D.一条直线和两条相交直线中的一条平 行，它也可能和另一条平行
O是空间中的任意一点 所成的锐角是否相等？
b2
点O常取在两 条异面直线中 的一条上
b
a2
.
o1
b1
a1
.
o
a M
(三)异面直线a与b所成的角
空间中过点Ｏ,作直线a1∥a, b1∥b,
则直1.直线线a和ab和所b成所的成角的。锐角(或直角)叫做.异面 1 1
bbbb11b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1b1ba1b1b1a1b1b1a1b1b1a1baa1b11b1a1ba1b011b01a1b,9a1b10aa1b101b11a1b1b1a111a1ao1a1a1 a1aa1a11
一、空间中两直线的位置关系
a
a
b
b
平行
相交
平行直线 相交直线
共面直线 异面直线
a b 异面 空间两条直线
《异面直线及其夹角》课件
目前，对于异面直线的性质研究已经取得了一定的成果，但还有很多未知领域等待探索。例如，异面直线之间的夹角 性质、异面直线的对称性等都是值得深入研究的问题。
异面直线的计算方法
随着计算机技术的发展，计算几何逐渐成为数学领域的一个重要分支。对于异面直线的计算方法研究， 可以进一步促进计算几何的发展，为解决实际问题提供更有效的工具。
的。
不变性
无论两条异面直线的位置如何变 化，它们在同一平面内的射影之
间的夹角保持不变。
异面直线夹角的计算方法
01
投影法
将两条异面直线投影到同一平面内，然后计算它们在该平面内的射影之
间的夹角。
02 03
向量法
利用向量的数量积和向量的模长来计算两条异面直线的夹角。首先求出 两条异面直线的方向向量，然后计算这两个方向向量的数量积和模长， 最后利用公式计算夹角。
异面直线的夹角
异面直线之间的夹角是指这两条直线所夹的锐角或直角。这个夹角的大小范围是$0^circ$ 到$90^circ$，其中$90^circ$表示两直线垂直。
异面直线的未来发展方向
异面直线在几何学中的应用
随着几何学的发展，异面直线在解决实际问题中的应用越来越广泛。例如，在建筑设计、工程制图和计算机图形学等 领域，异面直线都发挥着重要的作用。
05
总结与展望
异面直线的总结
异面直线的基本概念
异面直线是指不在同一个平面上且互不相交的两条直线。在三维空间中，异面直线是相对 常见的几何对象，它们在平面几何中也有类似的概念。
异面直线的判定方法
判定两条直线为异面直线的方法有多种，其中最常用的是通过平行平面来判定。如果两个 平行平面分别包含两条直线，且这两条直线不重合，则它们为异面直线。
立体几何篇(异面直线夹角)
立体几何篇（异面直线夹角专题）异面直线夹角专题：1、常见的六个夹角的范围①线线夹角：≤θ900≤②异面直线夹角：<θ900≤③向量直线夹角：≤θ0≤180④线面夹角：≤θ900≤⑤面面夹角：≤θ0≤180⑥倾斜角：≤θ0<1802、异面直线夹角平行移动异面直线至两条相交直线，所夹的线面角为原异面直线的夹角。
例1、已知正四面体ABCD中，E为AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为_________60，且BD=AC=1，例2、四面体A-BCD中，E、F分别是AB、CD的中点，若BD、AC所成的角为则EF=______________求线面角的方法：1、定义法（垂线法）2、公式法3、等体积转化法4、向量法1、定义法（垂线法）例1、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，PC=2，PD=CD=2。
（1）求异面直线PA与BC所成角的正切值；（2）证明：平面PDC⊥平面ABCD；（3）求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值21cos cos cos θθθ= 其中1θ为线面角， 最小角公式、三余弦定理例1、三棱柱111C B A ABC -，1,,AA AC AB 两两成 60，则侧棱1AA 与底面111C B A 所成的线面角的余弦值为_______3、等体积转化法：例3、如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC=∠ADC=90°，∠BAD=120°，AD=AB=1，AC交BD于O点．（1）求证：平面PBD⊥平面PAC；（2）求PA与平面PBD所成角的正弦值；（3）求CD与平面PBD所成角的正弦值；。
异面直线及其夹角 PPT课件 6 人教课标版
D
C
点 C 平A面 1B A 1B .
A
B
∴直线AC与A1B为异面直线．
练习2:
已知α∩β＝a，b⊂β，且b∩a＝A，c⊂α，且c∥a.求证：b 和c是异面直线．
证明：证法1：如右图，因为α∩β＝a，b∩a＝A， 所以A∈α，又c⊂α，c∥a. 所以A∉c，在直线b上任取一点B (不同于A)，则B∉α.所以b，c是异面直线．
2
AF 3 a, AP 2EC 3a.
2
P
PA中 F应用余 ,得 c弦 o sP定 A理 F2.
3
∴异面直线AF、CE所成角的余弦值是
2 3
E D
C
课堂练习1：如图，P为Δ ABC所在平面外一点，
PC⊥AB，PC=AB=2，E、F分别为PA和BC的中点。
（1）求证：EF与PC为异面直线；
不能理解为:“分别在两个平面内的两直线为异面 直线”.
演示
练习1、
１.下面两条直线是异面直线的是（C）
A.不同在一个平面内的两条直线； B.分别在某两个平面内的两条直线； C.既不平行又不相交的两条直线； D.平面内的一条直线和平面外的一条直线
2.异面直线的画法
说明: 画异面直线时 , 为了体现 它们不共面的特点。常借 助一个或两个平面来衬托.
如图：
a
b
A
a
(1)
a
b
(2)
b
(3)
BACK
NEXT
例1.如果相异点A、B和相异点C、D分别在异面直
线a，b上，那么正确的结论是（ C ）
A．直线AC与BD可能相交 B．直线AD和BC可能相交 C．AC与BD，AD与BC都是异面直线 D．AC与BD，AD与BC不一定都是异面直线
专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法(解析版)
专题6：立体几何中异面直线的夹角几何法（解析版）异面直线成角步骤：1、平移，转化为相交直线所成角；2、找锐角（或直角）作为夹角；3、求解注意：取值范围：（0。
,90。
].1．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，PD ⊥面ABCD ，直线PA 与直线BC 所成角大小为60°．（1）求证：平面PAC ⊥平面PBD ；（2）求异面直线PC 与BD 所成角大小．【答案】（1）证明见解析；（2）2arccos4. 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，先证明AC ⊥面PBD ；再由面面垂直的判定定理，即可得出结论成立；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，则//OE PC ，得到EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，结合题中条件，即可求出结果.【详解】（1）证明：∵PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴PD AC ⊥，又∵BD AC ⊥，PD BD D ⋂=，PD ⊂面PBD ，BD ⊂面PBD ，∴AC ⊥面PBD ， ∵AC ⊂面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PBD ；（2）设正方形ABCD 的中心为O ，PA 中点为E ，连接OE ，ED ，则//OE PC ， ∴EOD ∠（或其补角）是异面直线PC 与BD 所成角，∵60PAD ∠=︒，∴23PD =2ED =，又4PC =，∴2OE =，2OD =∴2222cos 2222EO OD ED EOD EO OD +-∠===⋅⋅⋅， ∴直线PB 与直线AC 所成角大小为2arccos 4．【点睛】本题主要考查证明面面垂直，考查求异面直线所成的角，属于常考题型.2．空间四边形ABCD 中，AB CD =，点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点.（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，求直线AB 与CD 所成角的大小；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ，求直线AB 与MN 所成角的大小.【答案】（1）60︒；（2）2θ或1802θ︒-. 【分析】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，根据题中条件，由异面直线所成角的定义，得到MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，且PMN 为等腰三角形；（1）根据条件，得到60PMN ∠=︒，求出MPN ∠，即可得出结果；（2）根据条件，得到MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，进而可求出结果.【详解】取AD 中点为P ，连接PM ，PN ，因为点M N 、分别为对角线BD 、AC 的中点，所以//PM AB ，//PN CD ，且12PM AB =，12PN CD =， 则MPN ∠即是直线AB 与CD 所成的角，或所成角的补角，PMN ∠为直线AB 与MN 所成的角，又AB CD =，所以PM PN =，即PMN 为等腰三角形；（1）若直线AB 与MN 所成角为60︒，即60PMN ∠=︒，则18026060MPN ∠=︒-⨯︒=︒，所以直线AB 与CD 所成角的大小为60︒；（2）若直线AB 与CD 所成角为θ， 则MPN θ∠=或180MPN θ∠=︒-，若MPN θ∠=，则18018022MPN PMN θ︒-∠︒-∠==， 即直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-； 若180MPN θ∠=︒-，则18022MPN PMN θ︒-∠∠==， 即直线AB 与MN 所成角的大小为2θ. 综上， 直线AB 与MN 所成角的大小为1802θ︒-或2θ. 【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的定义即可，属于常考题型. 3．已知长方体1111ABCD A B C D -中，M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，AB =4，AD =2，1215BB =，求异面直线1B D 与MN 所成角的余弦值.25 【分析】 如图，连接1B C ，则1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，然后在直角三角形1DB C 中求解即可【详解】解：如图，连接1B C ，因为M ､N 分别是1BB 和BC 的中点，所以1B C ∥MN ，所以1DB C ∠为异面直线1B D 与MN 所成角，因为长方体1111ABCD A B C D -中，AB =4，AD =2，1215BB = 所以2221116441545DB AB AD BB =++=++⨯=，221141548B C BB BC =+=⨯+=，DC ⊥平面11BB C C ，所以1DC B C ⊥， 所以11125cos 545B C DB C DB ∠===， 所以异面直线1B D 与MN 25【点睛】此题考查求异面直线所成的角，考查转化思想和计算能力，属于基础题4．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，M 、N 分别为1A A 、AB 的中点.（1）求证：1//MN D C ；（2）求异面直线MN 与1B C 所成角的大小.【答案】（1）证明见解析；（2）60°【分析】（1）易知1//MN A B ，11//D C A B ，根据平行的传递性得出结论;（2）由（1）的平行知异面直线MN 与1B C 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在三角形中求得此角即可．（1）连接1A D ，∵M 、N 分别为1A A 、AB 的中点，∴1//MN A B ,正方体中，11A D 与BC 平行且相等，∴11A BCD 是平行四边形，∴11//D C A B ，所以1//MN D C ，（2）由（1）知异面直线MN 与1BC 所成成角是11B CD ∠（或其补角），在立方体中，1111B C CD D B ==11B CD ∴∆是等边三角形，∴11B CD ∠60=︒，∴异面直线MN 与1BC 所成成角是60°．【点睛】本题考查证明线线平行以及求异面直线所成的角，属于基础题型.5．如图，已知长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB =，23AD =，2AA '=.（1）BC 和A C ''所成的角是多少度？ （2）AA '和BC '所成的角是多少度？【答案】（1）45；（2）60（1）根据//BC B C ''可知所求角为A C B '''∠，由Rt A B C '''中的长度关系可求得结果；（2）根据//AA BB ''可知所求角为B BC ''∠，由Rt BB C ''△中的长度关系可求得结果.【详解】（1）连接A C ''，//BC B C ''，∴异面直线BC 和A C ''所成角即为直线B C ''和A C ''所成角，即A C B '''∠， 在Rt A B C '''中，23A B AB ''==，23B C AD ''==，tan 1A C B '''∴∠=，45A C B '''∴∠=，即异面直线BC 和A C ''所成角为45；（2）连接BC '，//AA BB ''，∴异面直线AA '和BC '所成角即为直线BB '和BC '所成角，即B BC ''∠， 在Rt BB C ''△中，23B C AD ''==，2BB AA ''==，tan 3B BC ''∴∠=60B BC ''∴∠=，即异面直线AA '和BC '所成角为60.【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解问题，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角的求解问题.6．已知ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体．（1）求直线DA 1与BC 所成角；（2）求直线D 1A 与BA 1所成角；（3）求直线BD 1和AC 所成角．【答案】（1）4π （2）3π （3）2π 【分析】 （1）由//AD BC 得1DAD ∠是直线1DA 与BC 所成角，求出1DAD ∠即可得解； （2）由11//AD C B 得11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角,求出11C BA ∠即可得解； （3）证明AC ⊥平面1BDD 后即可得1AC BD ⊥，即可得解.【详解】（1）正方体1111ABCD A B C D -是棱长为a 的正方体，∵//AD BC ，∴1ADA ∠是直线1DA 与BC 所成角，∵1AD AA ＝，1AD AA ⊥，∴14ADA π∠=， ∴直线1DA 与BC 所成角为4π． （2）∵11//AD C B ，∴11C BA ∠是直线1D A 与1BA 所成角，∵1111BA AC BC ==，∴ 113C BA π∠=， ∴直线1D A 与1BA 所成角为3π． （3）∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥，∵正方体1111ABCD A B C D -中，1DD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，∴1DD AC ⊥，∵1DD BD D =，∴AC ⊥平面1BDD ，∵1BD ⊂平面1BDD ，∴1AC BD ⊥，∴直线1BD 和AC 所成角为2π．【点睛】本题考查了异面直线夹角的求法及线面垂直的判定和性质，属于基础题.7．如图所示，空间四边形ABCD 中，AB CD =，AB CD ⊥，E ，F 分别为BC ，AD 的中点，求EF 和AB 所成角的大小.【答案】45°. 【分析】取BD 的中点G ，连接,EG FG ，根据题意可得GFE ∠（或其补角）即为EF 与AB 所成角，由EG GF =，AB CD ⊥，可得EFG ∆为等腰直角三角形，进而可求解.【详解】如图所示，取BD 的中点G ，连接,EG FG .∵,E F 分别为,BC AD 的中点，且,//,//AB CD EG CD GF AB =∴，且11,22EG CD GF AB ==，即EG GF =， GFE （或其补角）即为EF 与AB 所成角.,,90AB CD EG GF EGF ︒⊥∴⊥∴∠=，EFG ∴∆为等腰直角三角形，45GFE ︒∴∠=，即EF 与AB 所成角的大小为45°.【点睛】本题考查了异面直线所成的角，解得的关键是找出与异面直线所成角相等的角，属于基础题. 8．正三棱锥S ABC -的侧棱长与底面边长都为a ,,E F 分别是,SC AB 的中点,求直线EF 和SA 所成的角.【答案】45°【分析】取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF ，于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角)，在EFG ∆中求解.【详解】解析 如图,取SB 的中点G ,连接,,,EG GF SF CF .在SAB ∆中,,F G 分别是AB ,SB 的中点,//FG SA ∴,且12FG SA =. 于是异面直线SA 与EF 所成的角就是直线FG 与EF 所成的角,即为EFG (或其补角).在SAB 中,SA SB a ==,12AF FB a ==,SF AB ∴⊥,且SF =.同理可得CF AB ⊥,且CF =.在SFC 中,2SF CF a ==,SE EC =, FE SC ∴⊥,且2FE a ==. 在SAB 中,FG 是中位线,122a FG SA ==. 在SBC 中,GE 是中位线,122a GE BC ∴==. 在EGF △中,22222a FG GE FE +==,EGF ∴是以FGE ∠为直角的等腰直角三角形,45EFG ︒∴∠=.∴异面直线SA 与EF 所成的角为45°. 【点睛】本题考查异面直线所成角，意在考查空间想象能力，和基本的证明方法，属于基础题型. 9．在四棱锥A BCDE -中,底面BCDE 为梯形,//BC DE .设,,,CD BE AE AD 的中点分别为,,,M N P Q .若AC DE ⊥,且3AC BC =,求异面直线DE 与PN 所成角的大小. 【答案】（2）60°. 【分析】由条件可知ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角，再求解. 【详解】解析 (2)因为PN 为ABE ∆的中位线, 所以//PN AB .又//BC DE ,所以ABC ∠(或其补角)即为异面直线DE 与PN 所成的角. 又AC DE ⊥,所以AC BC ⊥. 在Rt ACB △中,3tan 3AC BCABC BC ∠===所以60ABC ︒∠=. 所以异面直线DE 与PN 成的角为60°. 【点睛】本题考查四点共面和异面直线所成的角，意在考查推理，证明能力，属于基础题型. 10．如图,在三棱柱111ABC A B C -中,1AA 与,AC AB 所成的角均为60°,90BAC ︒∠=,且1AB AC AA ==,求异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值.【答案】33【分析】首先利用补体，将三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -，由条件可知11//AC BD ， 则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，根据三边关系求11cos A BD ∠. 【详解】解析 如图所示,把三棱柱补为四棱柱1111ABDC A B D C -,连接111,,BD A D AD ,由四棱柱的性质知11//BD AC ,则11A BD ∠(或其补角)就是异面直线1A B 与1AC 所成的角. 设AB a ,1AA 与AC ,AB 所成的角均为60°,且1AB AC AA ==,1A B a ∴=,1112cos303BD AC AA a︒==⋅=.又90BAC ︒∠=,在矩形ABDC 中,2AD a =,112A D a ∴=,2221111A D A B BD ∴+=,1190BA D ︒∴∠=,在11Rt BA D 中,11113cos 33A B A BD BD a∠===. 【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值，意在考查空间想象能力和计算能力，属于基础题型. 11．如图，在长方体ABCD A B C D ''''-中，23AB AD ==，2AA '=，求：（1）直线BC 和A C ''所成的角的大小； （2）直线AA '和BC '所成的角的大小. 【答案】（1）45°.（2）60°. 【分析】（1）确定B C A '''∠是异面直线A C ''与BC 所成的角，在Rt A B C '''中根据长度关系得到答案。
异面直线及其夹角课件
03
题目：已知直线$a，b$ 为异面直线，过直线 $a$与直线$b$平行的平 面( )
04
A.有一个 B.至多有一个 C.不存在 D.至多有一个 或不存在
提高习题
题目：在正方体$ABCD - A_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$中，E为棱CD的中点，有下列四个结论： ${①A}_{1}E perp BD；{②A}_{1}E perp AC；{③A}_{1}E perp BD_{1}；{④A}_{1}E perp BC_{1}$．其中正确的结论序号是____．(写出所有正确结论的编号)
题目：已知直线$a，b$为异面直线，过直线$a$与直线$b$平行的平面( )
A.至多有一个 B.不存在 C.有且只有两个 D.有且只有1个
综合习题
• 题目：已知空间中不共面的四点$O，A，B，C$，若$\overset{\longrightarrow}{OA} \cdot \overset{\longrightarrow}{OB} = \overset{\longrightarrow}{OB} \cdot \overset{\longrightarrow}{OC} = \overset{\longrightarrow}{OC} \cdot \overset{\longrightarrow}{OA} = - 1$，则$\bigtriangleup ABC$的形状是( )
02
异面直线夹角的范围是$0^circ$ 到$90^circ$，且夹角的大小不依 赖于直线的选取。
异面直线夹角的性质
异面直线夹角具有对 称性，即交换两条直 线的位置不会改变夹 角的大小。
异面直线夹角的大小 与两条直线的方向向 量或方向向量的模有 关。
异面直线夹角不会超 过$90^circ$，且不 会小于$0^circ$。
异面直线及其夹角ppt课件
（1） 当 cosθ ＞ 0 时，所成角为 θ （2） 当 cosθ ＜ 0 时，所成角为π－ θ （3） 当 cosθ = 0 时，所成角为 90o
3、当异面直线垂直时，还可应用线面垂直的有 关知识 解决。
28
说明：异面直线所成角的范围是（0，
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
B
18
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
M
A1
B1
N
D
C
A
QB
19
例3 如图，在正方体AC1中，M、N分别是A1B1、BB1的中 点，求： （1）异面直线AM与CN所成角的大小；
D1
C1
异面直线所成的角
1
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
2
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
（1）AB与CC1；
D1
C1
A1
B1
D
C
A
B
3
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
C1
（2）AB1与CD1；A1
B1
（3）AB1与CD；
D
C
（4）AB1与BC1。A
B
12
例1 在正方体ABCD－A1B1C1D1中,求 以下各对异面直线所成的角：
两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义
两条异面直线所成的夹角、直线与平面所成的角与二面角讲义前言：立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线 线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成 角等。
考点一：两条异面直线所成的夹角范围：两条异面直线所成的夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线,a b 的方向向量为a,b ，其夹角为θ，则有cos ___________.θ= 点A ，B ∈直线a,C ，D ∈直线b 。
构成向量CD AB ,。
><⋅>=<CD AB CDAB CD AB CD AB ,,,cos 所对应的锐角或直角即为直线a(AB)与b(CD)所成的角。
随堂练习：1. 在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1，若AB ＝2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小( )A ．60°B ．90°C ．105°D ．75°2．如图，A 1B 1C 1—ABC 是直三棱柱，∠BCA =90°，点D 1、F 1分别是A 1B 1、A 1C 1的中点，若BC =CA =CC 1， 则 BD 1与AF 1所成角的余弦值是（ ）A ．1030 B ．21 C ．1530 D ．10153、 如图1－6，在△ABC 中，∠ABC ＝60°，∠BAC ＝90°，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC ＝90°.图1－6(1)证明：平面ADB ⊥平面BDC ；(2)设E 为BC 的中点，求AE →与DB →夹角的余弦值．考点二：直线与平面所成的角定义：直线与平面所成的角是指直线与它在这个平面内的射影所成的角。
范围：直线和平面所夹角的取值范围是 。
向量求法：设直线l 的方向向量为a ，平面的法向量为n ，直线与法向量所成角的余弦值为 |c o s |________θ=直线与平面所成的角为ϕ，则有sin ___________.ϕ=或在平面内任取一个向量m ，则|cos |___________.θ=.AP 与平面α的法向量n 所成的角所对应的锐角的余角或直角即为直线AP 与平面α所成的角θ，所以AP 与n 的角的余弦值的绝对值为直线AP 与平面α所成的角的正弦值。
专题 立体几何之所成角-(人教A版2019必修第二册) (教师版)
立体几何之所成角1 异面直线所成的角①范围(0∘ ,90∘]；②作异面直线所成的角：平移法.如图,在空间任取一点O,过O作a′ // a ,b′ // b,则a′ ,b′所成的θ角为异面直线a ,b所成的角.特别地,找异面直线所成的角时,经常把一条异面直线平移到另一条异面直线的特殊点(如线段中点,端点等)上,形成异面直线所成的角.2 线面所成的角①定义如下图，平面的一条斜线(直线l)和它在平面上的射影(AO)所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直平面，则θ=90°；一条直线和平面平行或在平面内，则θ=0°.②范围[0∘ ,90∘]3 二面角①定义从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.在二面角的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB 构成的∠AOB叫做二面角的平面角.②范围[0° ,180°].【题型一】异面直线所成的角【典题1】如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中，点E ,F分别是AA1,AD的中点，则CD1与EF所成角为()A．0°B．45°C．60°D．90°【解析】连结A1D、BD、A1B,∵正方体ABCD—A1B1C1D1中,点E ,F分别是AA1,AD的中点，EF∥A1D,∵A1B∥D1C,∴∠DA1B是CD1与EF所成角,∵A1D=A1B=BD ,∴∠DA1B=60°．∴CD1与EF所成角为60°．故选 C．【点拨】①找异面直线所成的角,主要是把两条异面直线通过平移使得它们共面,可平移一条直线也可以同时平移两条直线；②平移时常利用中位线、平行四边形的性质；【典题2】如图所示,在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,E、F分别是CC1 ,AD 的中点,那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等于．【解析】取BC的中点G．连接GC1,则GC1∥FD1,再取GC的中点H,连接HE、OH,则∵E是CC1的中点,∴GC1∥EH,∴∠OEH为异面直线所成的角．在△OEH中,OE=√3,HE=√52,OH=√52．由余弦定理,可得cos∠OEH=OE 2+EH2−OH22OE⋅EH=3⋅√2=√155．故答案为√155【点拨】本题利用平移法找到异面直线所成的角(∠OEH)后,确定含有该角的三角形(△OEH),利用解三角形的方法(正弦定理,余弦定理等)把所求角∠OEH最终求出来.【典题3】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB ,PC的中点．(1)求证：MN∥平面PAD；(2)若MN=BC=4 ,PA=4√3,求异面直线PA与MN所成的角的大小．【解析】(1)证明：取PD中点Q,连AQ、QN,则AM∥QN,且AM=QN,∴四边形AMNQ为平行四边形∴MN∥AQ又∵AQ在平面PAD内,MN不在平面PAD内∴MN∥面PAD；(2)解方法一∵MN∥AQ∴∠PAQ即为异面直线PA与MN所成的角∵MN=BC=4 ,PA=4√3,∴AQ=4,设PQ=x,根据余弦定理可知cos∠AQD+cos∠AQP=0即16+x 2−488x +16+x2−168x=0,解得x=4在三角形AQP中,AQ=PQ=4 ,AP=4√3∴cos∠PAQ=2×4×4√3=√32,即∠PAQ=30°∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°方法二过点A作AH⊥PD交PD于H,如图∵MN=BC=4,∴H是QD的中点设HD=x,则QH=x,PQ=2x,在Rt△AQD和Rt△APH利用勾股定理可得AH2=16−x2=48−9x2,解得x=2∴cos∠PAQ=PHAP =4√3=√32,即∠PAQ=30°∴异面直线PA与MN所成的角的大小为30°【点拨】本题中所成角∠PAQ找到后,无法在一个三角形里求出,此时把问题转化为平面几何问题, 再利用解三角形的方法进行求解.【题型二】线面所成的角【典题1】如图,直角梯形ABCD与等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD,AB⊥BC,AB= 2CD=2BC,EA⊥EB．(1)求证：AB⊥DE；(2)求直线EC与平面ABE所成角的正弦值．【解析】(1)证明：取AB中点O,连接EO,DO．∵EB=EA,∴EO⊥AB．∵四边形ABCD为直角梯形,AB=2CD=2BC,AB⊥BC,∴四边形OBCD为正方形,∴AB⊥OD．又∵EO∩OD=O,∴AB⊥平面EOD．∴AB⊥ED．(2)∵平面ABE⊥平面ABCD,且AB⊥BC,∴BC⊥平面ABE．则∠CEB为直线EC与平面ABE所成的角．设BC=a,则AB=2a,BE=√2a,∴CE=√3a,在直角三角形CBE中,sin∠CEB=CBCE =√3=√33．即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为√33．【点拨】本题中的“直线EC与平面ABE所成的角”是根据线面角的定义直接在题目原图上找到的,在含所求角∠CEB的直角三角形CBE中求出角度！【典题2】如图,四边形ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,且AB=4,PA=3,点A在PD上的射影为G点,E点在AB边上,平面PEC⊥平面PDC．(1)求证：AG∥平面PEC；(2)求BE的长；(3)求直线AG与平面PCA所成角的余弦值．【解析】(1)证明：∵CD ⊥AD,CD ⊥PA∴CD ⊥平面PAD ∴CD ⊥AG,又PD ⊥AG∴AG ⊥平面PCD作EF ⊥PC 于F,因面PEC ⊥面PCD∴EF ⊥平面PCD∴EF ∥AG,又AG ⊄面PEC,EF ⊂面PEC,∴AG ∥平面PEC(2)由(1)知A 、E 、F 、G 四点共面,又AE ∥CD ∴AE ∥平面PCD∴AE ∥GF ∴四边形AEFG 为平行四边形,∴AE =GF∵PA =3,AD =AB =4 ∴PD =5,AG =125, 在Rt △PAGP 中,PG 2=PA 2−AG 2=8125 ∴PG =95 又GF CD =PG PD∴GF =3625 ∴AE =3625,故BE =6425(3)∵EF ∥AG,所以AG 与平面PAC 所成角等于EF 与平面PAC 所成的角,过E 作EO ⊥AC 于O 点,易知EO ⊥平面PAC,又EF ⊥PC,∴OF 是EF 在平面PAC 内的射影∴∠EFO 即为EF 与平面PAC 所成的角EO =AEsin45°=3625×√22=18√225,又EF =AG =125,∴sin∠EFO=EOEF =18√225×512=3√210故cos∠EFO=√1−sin2∠EFO=√8210所以AG与平面PAC所成角的余弦值等于√8210.【点拨】①若在题目中不能直接找到所求线面角,则可用“作高法”确定所求角,比如下图中,求直线AP与平面α所成的角,具体步骤如下：(1) 如图,过点P作平面α的高PO,垂足为O,则AO是线段AP在平面α上的投影；(2) 找到所求角θ；(3) 求解三角形APO进而求角θ.(此方法关键在于找到垂足O的位置,证明到PO⊥平面α,如本题中EO⊥平面PAC的证明)②本题若直接求“AG与平面PAC所成角”,过点G做高有些难度,则由EF∥AG,能把“AG与平面PAC所成角”转化为“EF与平面PAC所成的角”,这方法称为“间接法”吧.【典题3】如图,正四棱锥S－ABCD中,SA=AB=2,E,F,G分别为BC,SC,CD的中点．设P为线段FG上任意一点．(Ⅰ)求证：EP⊥AC；(Ⅰ)当P为线段FG的中点时,求直线BP与平面EFG所成角的余弦值．【解析】证明：(Ⅰ)连接AC交BD于O,∵S－ABCD是正四棱锥,∴ SO⊥平面ABCD,∴SO⊥AC,又∵AC⊥BD,SO∩BD=O,∴AC⊥平面SBD,∴AC⊥SD,∵F,G分别为SC,CD的中点,∴SD∥FG,∴AC⊥GF,同理AC⊥EF,∴AC⊥平面GEF,又∵PE⊂平面GEF,∴EP⊥AC．(Ⅰ) 方法一过B作BH⊥GE于点H,连接PH,∵BD⊥AC,BD∥GF,∴BH∥AC,由(Ⅰ)知：AC⊥平面GEF,∴BH⊥平面GEF,∴∠BPH就是直线BP与平面EFG所成的角,∵SA=AB=2,∴在Rt△BHP中,解得BH=√22,PH=√132,PB=√152,(易知△BHE是等腰直角三角形,又由斜边BE=1,∴BH=√22；在三角形PGH中,PG=12,GH=3√22,∠PGH=π4,用余弦定理可得PH=√132)则cos∠BPH=PHPB =√19515,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为√19515.方法二设过点B作平面EFG的垂直,垂直为T,则∠BPT就是直线BP与平面EFG所成的角,BT是点B到平面PGE的距离,由已知条件可求GF=EF=1,GE=√2,则∠GFE=90°,∴S△PEG=12S△GFE=12×12=14,由于P、F是中点,易得点P到平面ABCD的距离ℎ1=14SO=√24,而S△GEB=12S△GCB=12×1=12,对于三棱锥P−GEB,由V B−PEG=V P−GEB⇒13×BT×S△PEG=13×ℎ1×S△GEB⇒112BT=√224⇒BT=√22,在正四棱锥S－ABCD中可求PB=√152,(方法较多,提示过点P作平面ABCD的高PI)∴sin∠BPT=BTBP =√3015∴cos∠BPT=√1−sin∠BPT=√19515,故直线BP与平面EFG所成角的余弦值为√19515.【点拨】①本题第二问中方法一就是用“做高法”,计算量有些大；方法二是觉得垂足H的位置难确定,可设点B到平面EFG的投影为T(即垂足),再用“等积法”求高BT,则sin∠BPT=BTBP,可求所求角∠BPT,这种方法称为“等积法”；②思考：上一题试试用“等积法”！【题型三】二面角【典题1】如图,在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中,AC 与BD相交于点O．求二面角 A1－BD－A 的正切值．【解析】在正方体中BD⊥平面A1ACC1，∴AO⊥BD,A1O⊥BD，∴二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA由题中的条件求出：AO=√22a ,AA1=a∴tan∠A1OA=√22a=√2,所以二面角 A1－BD－A 的正切值为√2．【点拨】本题根据二面角的定义找到二面角二面角A1－BD－A的平面角为∠A1OA,再在三角形AOA1内用解三角形的方法求解角∠A1OA.【典题2】如图,四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥底面ABCD,PA=AB=√6,点E是棱PB的中点．(1)求直线AD与平面PBC的距离；(2)若AD=√3,求二面角A－EC－D的平面角的余弦值．【解析】(1)在矩形ABCD中,AD∥BC,从而AD∥平面PBC,故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离,因PA⊥底面ABCD,故PA⊥AB,可得△PAB为等腰直角三角形,又点E是棱PB的中点,故AE⊥PB,∵BC⊥AB,BC⊥PA,∴BC⊥平面PAB ∴BC⊥AE,从而AE⊥平面PBC,故AE之长即为直线AD与平面PBC的距离,在Rt△PAB中,PA=AB=√6,所以AE=12PB=12√PA2+AB2=√3(2)过点D作DF⊥CE于F,过点F做FG⊥CE,交AC于G,连接DG,则∠DFG为所求的二面角的平面角．由(1)知BC⊥AE,又AD∥BC,得AD⊥AE,从而DE=√AE2+AD2=√6在Rt△CBE中,CE=√BE2+BC2=√6,由CD=√6,所以△CDE为等边三角形,故F为CE的中点,且DF=CD•sinπ3=3√22因为AE⊥平面PBC,故AE⊥CE,又FG⊥CE,知FG∥AE．∴G点为AC的中点,FG=12AE=√32,则在Rt△ADC中,DG=12√AD2+CD2=32,所以cos∠DFG=DF 2+FG2−DG22DF⋅FG=√63【点拨】若在题目中不能直接得到所求二面角,就需要构造出二面角,比如本题求二面角A－EC－D,解题具体步骤如下(1) 过点D作DF⊥EC,过点F作FG⊥EC交AC于点D,则二面角∠DFG为所求的二面角的平面角；(2) 确定含角∠DFG的三角形DFG,利用解三角形的方法求出角∠DFG,常见的是求出三角形三边再用余弦定理.【典题3】如图,已知三棱锥P－ABC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC,M为PB的中点．(1)求证：PC⊥BC．(2)求二面角M－AC－B的大小．【解析】(1)证明：由PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC,又因为∠ACB=90°,即BC⊥AC．∴BC⊥面PAC,∴PC⊥BC．(2)取AB中点O,连结MO、过O作HO⊥AC于H,连结MH,∵M是PB的中点,∴MO∥PA,又∵PA⊥面ABC,∴MO⊥面ABC．∴∠MHO为二面角M－AC－B的平面角．设AC=2,则BC=2√3,MO=1,OH=√3,在Rt△MHO中,tan∠MHO=MOHO =√3=√33．二面角M－AC－B的大小为30∘．【点拨】求二面角也可以转化为线面角,比如求二面角D－AB－C,解题思路如下过点D作DE⊥AB,则二面角D－AB－C等于直线ED与平面ABC所成的角或其补角,若过点D作DF⊥平面ABC,则二面角D－AB－C是锐角,等于角∠DEF；二面角D－AB－C是钝角,等于角∠DEF的补角.1(★)在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中,点P在线段AD′上运动,则异面直线CP与BA′所成的角θ的取值范围是()A．0 <θ <π2B．0 <θ≤π2C．0≤θ≤π3D．0 <θ≤π3【答案】D【解析】∵A1B∥D1C，∴CP与A1B成角可化为CP与D1C成角．∵△AD1C是正三角形可知当P与A重合时成角为π3，∵P不能与D1重合因为此时D1C与A1B平行而不是异面直线，∴0 <θ≤π3．故选D．2(★★)如图所示的几何体,是将高为2、底面半径为1的圆柱沿过旋转轴的平面切开后,将其中一半沿切面向右水平平移后形成的封闭体．O1,O2,O2′分别为AB ,BC ,DE的中点,F为弧AB的中点,G为弧BC的中点．则异面直线AF与GO2′所成的角的余弦值为．【答案】√1010【解析】如图，连接AF、FB、BG、GC，∵F为半圆弧AFB的中点，G为半圆弧BGC的中点，由圆的性质可知，G、B、F三点共线，且AF=CG，FB=GB，AB=BC，∴△AFB≌△CGB，∴AF∥CG，则∠CGO2′即为所求的角或其补角，又∵半径为1，高为2，且△AFB，△CG B都是等腰Rt△，∴CG=√2，CO2′=GO2′=√1+22=√5，∴在△CGO2′中，cos∠CGO2′=√52√22√522√2⋅√5=√1010，即异面直线AF与GO2′所成的角余弦值√1010．故答案为√1010．3 (★★)如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M是AB上一点,N是A1C的中点, MN⊥平面A1DC．(1)求证：AD1⊥平面A1DC；(2)求MN与平面ABCD所成的角．【答案】(1) 见解析(2)π4【解析】(1)证明：由ABCD－A1B1C1D1为正方体，得CD⊥平面ADD1A1，AD1⊂平面ADD1A1∴CD⊥AD1，又AD1⊥A1D，且A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC；(2)解：∵MN⊥平面A1DC，又由(1)知AD1⊥平面A1DC，∴MN∥AD1，∴AD1与平面ABCD所成的角，就是MN与平面ABCD所成的角，∵D1D⊥平面ABCD，∴∠D1AD即为AD1与平面ABCD所成的角，，由正方体可知∠D1AD=π4∴MN与平面ABCD所成的角为π．44(★★★) 如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P ,Q分别为AE,AB的中点．(1)证明：PQ∥平面ACD；(2)求AD与平面ABE所成角的正弦值．【答案】(1) 见解析(2)√55【解析】(1)证明：因为P，Q分别为AE，AB的中点，所以PQ∥EB.又DC∥EB，因此PQ∥DC，又PQ 平面ACD，从而PQ∥平面ACD.(2)如图，连接CQ，DP，因为Q为AB的中点，且AC＝BC，所以CQ⊥AB.因为DC⊥平面ABC，EB∥DC，所以EB⊥平面ABC，因此CQ⊥EB. 故CQ⊥平面ABE.EB＝DC，所以四边形CQPD为平行四边形，故DP∥CQ，因此DP⊥平面ABE，由(1)有PQ∥DC，又PQ＝12∠DAP为AD和平面ABE所成的角，在Rt△DP A中，AD＝√5，DP＝1，sin∠DAP＝√5，即AD与平面ABE5。
考点02 异面直线的夹角(人教A版2019)(含答案解析)
考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 B．5C．5D ．162．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为 A ．720 B．20 CD5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6π B ．4π C ．3πD ．2π6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14C ．4-D ．47．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 B ．6CD8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ． BC ．6-D9．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC AB BC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A B ．15CD ．5-11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．6 B ．23CD ．1212．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13C ．12D 13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为A ．12BC ．10D ．1014．直三棱柱111ABC A B C -中，1AB AC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34C ．14D ．1315．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．217．在长方体1111ABCD A B C D -中，1AB AD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O ，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为A ． BC ．D 18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．3021．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A BCD23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为 A ．13 B ．22C ．324D ．1224．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，2AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC 与PD 所成角的余弦值是A 3B 6C 6D ．2225．在棱长为2的正方体1111—ABCD A B C D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A ．427 B 15 C 3D 6二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD '''' C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC 所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1AC D ．//CD 平面11AB C5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．4．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．6．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．8．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，AB BC ⊥，3PA =，AB =2BC =，若E ，F 是PC 的三等分点，则异面直线AE 与BF 所成角的余弦值________．9．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E 为棱11A B 的中点，则异面直线AE 与BD 所成角的余弦值为________．10．四棱锥P -ABCD 的底面是一个正方形，P A ⊥平面ABCD ，4PA AB ==，E 是棱P A 的中点，则异面直线BE 与AC 所成角的余弦值是________．11．如图，在三棱锥V ABC -中，顶点C 在空间直角坐标系的原点处，顶点A ，B ，V 分别在x ，y ，z 轴上，D 是线段AB 的中点，且2AC BC ==，当60VDC ∠=︒时，异面直线AC 与VD 所成角的余弦值为________．12．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为底面边长的2倍，M 是侧棱1CC 的中点，则异面直线1AB 和BM 所成的角的余弦值为________．13．已知(0,1,2)AM =，(1,0,2)CN =，则直线AM 和CN 所成角的余弦值是__________．14．如图，已知平面四边形ABCD ，AB=BC=3，CD=1，ADC=90°．沿直线AC 将△ACD 翻折成△ACD'，直线AC 与BD'所成角的余弦的最大值是________．15．在三棱锥O ABC -中，已知OA 、OB 、OC 两两垂直且相等，点P 、Q 分别是线段BC 和OA 上的动点，且满足12BP BC ≤，12AQ AO ≥，则PQ 和OB 所成角的余弦的取值范围是________．四、双空题1．已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=︒，2AB =，11BC CC ==，则该棱柱的体积为________；异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为________．2．在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为棱BC 、AB 的中点，设AB a =，AC b =，AD c =，用a ，b ，c 表示向量DM =________，异面直线DM 与CN 所成角的余弦值为________． 3．在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，侧棱长为6，底面是边长为8的菱形，且120ABC ∠=，点E 在边BC 上，且满足3BE EC =，动点M 在该四棱柱的表面上运动，并且总保持1ME BD ⊥，则动点M 的轨迹围成的图形的面积为________；当MC 与平面ABCD 所成角最大时，异面直线1MC 与AC 所成角的余弦值为________．4．如图，P 为△ABC 所在平面外一点，P A ＝PB ＝PC ＝1，∠APB ＝∠BPC ＝60°，∠APC ＝90°，若G 为△ABC 的重心，则|PG |长为________，异面直线P A 与BC 所成角的余弦值为________．5．如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC ==，则此三棱锥四个面中直角三角形的个数为________，异面直线PB 与AC 所成角的正切值等于________．五、解答题1．如图，在三棱锥D -ABC 中，DA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥且2BC =，3AB =，4=AD ．（1）证明：BCD △为直角三角形；（2）以A 为圆心，在平面DAB 中作四分之一个圆，如图所示，E 为圆弧上一点，且2AE =，45EAD ∠=︒，求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值．2．如图在三棱锥P ABC -中，棱AB 、AC 、AP 两两垂直，3AB AC AP ===，点M 在AP 上，且1AM =．（1）求异面直线BM 和PC 所成的角的大小； （2）求三棱锥P BMC -的体积．考点02 异面直线的夹角一、单选题1．已知斜三棱柱111ABC A B C -中，底面ABC 是等腰直角三角形，2AB AC ==，12CC =，1AA 与AB 、AC 都成60角，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A ．14 BCD ．16【试题来源】A 佳教育湖湘名校2019-2020学年高二下学期3月线上自主联合检测【答案】D【解析】设AB a =，AC b =，1AA c =，则0a b ⋅=，2a c ⋅=，2b c ⋅=，从而1AB a c =+， 1BC b c a =+-，22112AB BC a b b c c a ⋅=⋅+⋅+-=，22124AB a c a c =++⋅=+=22212224BC a b c b c a b a c =+++⋅-⋅-⋅=+=所以1111111cos ,6||||AB BC AB BC AB BC ⋅==．故选D ．2．在三棱柱111ABC A B C -中，若ABC ∆是等边三角形，1AA ⊥底面ABC ，且1AB =，则1AB 与1C B 所成角的大小为 A ．60︒ B ．90︒ C ．105︒D ．75︒【试题来源】四川省自贡市2019-2020学年高二年级上学期期末（理） 【答案】B【解析】如图，根据条件，1AB =，令AB =，11B B =；又1111()AB B A B B =-+，1111C B B C B B =-+；2211111111111111211102AB C B B A B C B A B B B B B C B B ∴=-+-=⨯-=-=；∴11AB C B ⊥；1AB ∴和1C B 所成的角的大小为90︒．故选B ．3．设动点P 在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，11D PD Bλ=，当APC ∠为锐角时，λ的取值范围是A ．10,3⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【试题来源】湖北省鄂东南省级示范高中2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】A【解析】如图建立空间直角坐标系：则()1,0,0A ，()1,1,0B ，()0,1,0C ，()10,0,1D ，()11,1,1D B =-，()()111,1,1,,D P D B λλλλλ==-=-， ()11,01D A =-，()10,1,1D C =-，所以()()()111,01,,1,,1PA D A D P λλλλλλ=-=---=---，()()()110,1,1,,,1,1PC DC D P λλλλλλ=-=---=---， 由APC ∠为锐角得cos 0PA PC APC PA PC⋅∠=>，即0PA PC ⋅>，所以()()22110λλλ--+->，即()()1310λλ-->，解得103λ<<， 当0λ=时，点P 位于点1D 处，此时1APC AD C ∠=∠显然是锐角，符合题意， 所以103λ≤<，故选A. 4．已知正三棱柱ABC A B C '''-的所有棱长均相等，D 、E 在BB '上，且BD DE EB '==，则异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为A ．720B ．20C．20D．20【试题来源】第八单元 立体几何 （A 卷 基础过关检测）-2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】C【解析】如下图所示，设3AD =，取BC 的中点O ，B C ''的中点M ，连接OA 、OM ，在正三棱柱ABC A B C '''-中，//BB CC ''且BB CC ''=， 则四边形BB C C ''为平行四边形，//BC B C ''∴且BC B C ''=， 由于O 、M 分别为BC 、B C ''的中点，则//OB MB '且OB MB '=， 所以，四边形OBB M '为平行四边形，则//OM BB '且OM BB '=，BB '⊥平面ABC ，则OM ⊥平面ABC ，ABC 为等边三角形，且O 为BC 的中点，则OA BC ⊥，以点O 为坐标原点，OA 、OB 、OM 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，则2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭、30,,12D ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,22E ⎛⎫ ⎪⎝⎭、30,,32C ⎛⎫'- ⎪⎝⎭，3,12AD ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，()0,3,1EC '=-，77cos ,2010AD EC AD EC AD EC -'⋅'<>===-'⋅，2sin ,1cos ,120AD EC ADEC ''<>=-<>==， 因此，异面直线AD 与EC '所成角的正弦值为20．故选C ．5．《九章算术》是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图），其中四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，若3AB EF =，ADE 和BCF △都是正三角形，且2AD EF =，则异面直线AE 与CF 所成角的大小为A ．6πB ．4π C ．3πD ．2π【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】解法一：如图，在平面ABFE 中，过F 作//FG AE 交AB 于G ，连接CG ，则CFG ∠或其补角为异面直线AE 与CF 所成的角．设1EF =，则3AB =，2AD =．因为//EF AB ，//AE FG ，所以四边形AEFG 为平行四边形，所以2FG AE AD ===，1AG =，2BG =，又AB BC ⊥，所以GC =，又2CF BC ==，所以222CG GF CF =+，所以2CFG π∠=．解法二：如图，以矩形ABCD 的中心O 为原点，CB 的方向为x 轴正方向建立空间直角坐标系，因为四边形ABCD 为矩形，//EF AB ，ADE 和BCF △都是正三角形，所以EF ⊂平面yOz ，且Oz 是线段EF 的垂直平分线．设3AB =，则1EF =，2AD =，31,,02A ⎛⎫-⎪⎝⎭，10,2E ⎛- ⎝，31,,02C ⎛⎫- ⎪⎝⎭，10,2F ⎛ ⎝，所以(AE =-，(1,CF =-，所以111(1)AE CF ⋅=-⨯+⨯-0=，所以AE CF ⊥，所以异面直线AE 与CF所成的角为2π．故选D ．6．已知在直三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的正三角形，1AA AB =，则异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为 A ．14-B ．14 C．4-D．4【试题来源】山东省德州市夏津第一中学2020-2021学年高二上学期9月月考数试题 【答案】B【解析】以A 为原点，在平面ABC 内，过点A 作AC 的垂线为x 轴，以AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，由题得(0A ，0，0)，1(0,0,2)A，B ，1(0C ,2，2)，1(3,1,2)A B =-，1(0,2,2)AC =，设异面直线1A B 与1AC 所成角为θ，则1111111cos |cos ,|||||4||||88A B AC A B AC A B AC θ=<>===． ∴异面直线1A B 与1AC 所成角的余弦值为14．故选B ．7．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，2PA =，底面ABCD 为边长为2的正方形，E 为BC 的中点，则异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为A ．6 BC ．3D ．3【试题来源】河北省深州市中学2020-2021学年高二上学期期中【答案】A【解析】因为PA ⊥底面ABCD ，所以,PA AB PA AD ⊥⊥，又AB AD ⊥， 所以以A 为原点，,,AB AD AP 分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：则(0,0,2)P ，(2,0,0)B ，(2,1,0)E ，(0,2,0)D ，(2,1,2)PE =-，(2,2,0)BD =-， 设异面直线BD 与PE 所成的角为θ，(0,]2πθ∈，则||cos||||PE BD PE BD θ⋅==6=．所以异面直线BD 与PE 所成的角的余弦值为6．故选A ． 8．在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA =，24BC AB ==，且四边形ABCD 是矩形，E 是PD 的中点，则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值是A ．18-BC ．6-D 【试题来源】河南省新乡市新乡县第一中学2019-2020学年高二下学期期末考试（理） 【答案】B【解析】根据题意建立如图空间直角坐标系所以()()()()0,0,2,2,0,0,2,4,0,0,2,1P B C E ，所以()()2,2,1,2,4,2=-=-BE PC ， 则异面直线BE 与PC 所成角的余弦值为6⋅=BE PC BE PCB ． 9．已知正四棱柱1111ABCD A BCD -中，1AB =，12CC =，点E 为1CC 的中点，则异面直线1AC 与BE 所成的角等于 A ．30 B ．45︒ C ．60︒D ．90︒【试题来源】人教A 版（2019）选择性必修第一册 第一章 空间向量与立体几何 单元测试 【答案】A【分析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，然后利用向量求出答案即可．【解析】以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，则(1,0,0)A ，1 (0,1,2)C ，(1,1,0)B ，(0,1,1)E ，1(1,1,2)AC =-，(1,0,1)BE =-， 设1AC 与BE 所成角为θ，则11cos 6||AC BE AC BE θ⋅===⋅，所以30θ=︒． 所以异面直线1AC 与BE 所成的角为30．故选A ． 10．已知直三棱柱111ABC A B C -中，12,2,13ABC ABBC CC π∠====，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为 A．5B．15 CD ． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2020-2021学年高二10月月考（理） 【答案】A【解析】如图：以垂直于BC 的方向为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴建立空间直角坐标系，则()0,00B ，()10,1,1C ，()10,1,1BC =， 因为120ABC ∠=，则cos1201A y AB ==-，sin1203A xAB == 即)1,0A-，()1AB =-，设异面直线1AB 与1BC 所成角为θ，1111cos 5AB BC AB BC θ⋅===A ．11．直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，1BC BB =，则直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A．6B ．23C ．2D ．12【试题来源】福建省南安市侨光中学2020-2021学年高二上学期第一次阶段考试【答案】A【解析】因为直三棱柱111ABC A B C -底面是等腰直角三角形，AB AC ⊥，故以AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴建立空间直角坐标系，如图， 设1AB =，则1BB =(1,0,0)B ，(0,1,0)C，1(1,0,2)B ，1(0,1,C ，1(1AB =，1(1,1BC =-，111111cos ,63AB BC AB BC AB BC ⋅<>===． 所以直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为6．故选A ．12．正方体1111ABCD A B C D -中，E ､F 分别是1AA 与1CC 的中点，则直线ED 与1D F 所成角的余弦值是 A ．15B ．13 C ．12D 【试题来源】河北省沧州市第三中学2019-2020学年高一下学期期末【答案】A【解析】如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，设正方体的边长为2，则()0,0,1E ，()2,2,1F ，()0,2,0D，()10,2,0D ，∴ ()0,2,1ED =-，()12,0,1D F =，∴直线ED 与1D F 所成角θ的余弦值为111c 5os 0ED D ED D F Fθ⋅===⋅．故选A ．13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，则异面直线AE 和CF 所成的角的余弦值为 A ．12B ．2 CD ．10【试题来源】山西省阳泉市盂县第三中学2021届高三上学期第一次月考（文） 【答案】C【解析】如图所示，建立空间直角坐标系．不妨设棱长AB ＝2．A （0，0，0），C （2，2，0）．因为E 、F 分别是A 1D 1，A 1C 1的中点，所以E （0，1，2），F （1，1，2），所以()()0,1,2,1,1,2AE CF ==--，所以cos ,1AE CF AE CF AE CF⋅===． 所以异面直线AE 与CF ．故选C ． 14．直三棱柱111ABC A B C -中，1ABAC AA ==，60BAC ∠=︒，则异面直线1BA 和1AC 所成角的余弦值为A B ．34 C ．14D ．13【试题来源】福建省莆田第一中学2020-2021学年高二上学期期中考试【答案】C【解析】因为AB AC =，60BAC ∠=︒，所以三角形ABC 是等边三角形，取AC 的中点D ，以点D 为原点，建立空间直角坐标系如图：设2AB =，则B ，(0,1,0)A -，1(0,1,2)A -，1(0,1,2)C ， 所以1(1,2)BA =--，1(0,2,2)AC ，122BA =，122AC =112BA AC ⋅=，所以异面直线1BA 和1AC所成角的余弦值为11111cos 42BA AC BA AC θ⋅===⋅，故选C ．15．如图，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，则PA 与BD 所成角的度数为A ．30B ．45︒C ．60︒D ．90︒【试题来源】浙江省衢州五校2020-2021学年高二上学期期中联考 【答案】C【解析】如图，以D 为坐标原点，DA 所在直线为x 轴，DC 所在线为y 轴，DP 所在线为z 轴，建立空间坐标系，点P 在正方形ABCD 所在平面外，PD ⊥平面ABCD ，PD AD =，令1PD AD ==，(1A ∴，0，0)，(0P ，0，1)，(1B ，1，0)，(0D ，0，0)∴(1PA =，0，1)-，(1BD =-，1-，0)，·1cos 22PA BD PA BDθ∴===-⨯，故两向量夹角的余弦值为12，即两直线PA 与BD 所成角的度数为60︒．故选C ．16．在长方体1111ABCD A B C D -中，AB BC a ==，1AA =，则异面直线1AC 与1CD 所成角的余弦值为A ．15BCD ．2【试题来源】广东省广州市海珠区2019-2020学年高二上学期期末联考 【答案】C【解析】以D 为原点建立空间直角坐标系，如图所示，依题意()()()()11,0,0,0,,0,0,,A a C a C a D ， 所以()()11,,3,0,AC a a a CD a =-=-，设异面直线1AC 与1CD 所成角为θ，则1111cos AC CD a AC CD θ⋅-===⋅．故选C. 17．在长方体1111ABCD A B C D -中，1ABAD ==，12AA =，设AC 交BD 于点O，则异面直线1A O 与1BD 所成角的余弦值为 A． BC ．D 【试题来源】2021年高考数学（理）一轮复习单元滚动双测卷 【答案】D【解析】以D 为原点，DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AB AD ==，12AA =，所以()11,0,2A ，()1,1,0B ，11,,022O ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()10,0,2D ， 111,,222A O ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，()11,1,2BD =--，则11cos ,9A O BD ==．故选D ．18．已知两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，则这两条异面直线所成的角θ满足 A ．9sin 14θ=B ．1sin 4θ= C ．9cos 14θ=D ．1cos 4θ=【试题来源】天津市第五十五中学2020-2021学年高二（上）第一次月考 【答案】C 【解析】两条异面直线的方向向量分别是(3u =，1，2)-，(3v =，2，1)，∴·3312(2)19u v =⨯+⨯+-⨯=，231u =+=，232v =+=，又两条异面直线所成的角为(0,]2πθ∈，∴·9cos cos ,14·14u v v u vθ====⋅，sin 14θ=．故选C ．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥底面ABC ，1AB BC AA ==，90ABC ∠=，点E 、F 分别是棱AB 、1BB 的中点，则直线EF 和1BC 所成的角为A ．120°B ．150°C ．30°D ．60°【试题来源】河北省承德第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考【答案】D【解析】以B 为原点．1,,BC BA BB 分别为..x y z 轴建立空间直角坐标系： 令12AB BC AA ===，则(0,0,0)B ，(0,1,0)E ，(0,0,1)F ，1(2,0,2)C ， 所以(0,1,1)EF =-，1(2,0,2)BC =， 所以111cos ,||||EF BC EF BC EF BC ⋅<>=12==，所以直线EF 和1BC 所成的角为60．故选D ．20．在正四棱锥P ABCD -中，2PA =，直线PA 与平面ABCD 所成的角为60，E 为PC 的中点，则异面直线PA 与BE 所成角为 A ．90 B ．60 C ．45D ．30【试题来源】山东省青岛市第十七中学2019-2020学年高一下学期期中考试 【答案】C【解析】连接AC BD ，交于点O ，连接OE OP ，．因为E 为PC 中点，所以OE PA ，所以OEB ∠即为异面直线PA 与BE 所成的角．因为四棱锥CD P -AB 为正四棱锥，所以PO ABCD ⊥平面，所以AO 为PA 在面ABCD 内的射影，所以PAO ∠即为PA 与面ABCD 所成的角，即60PAO ∠=︒，因为2PA =，所以11OA OB OE ===，．所以在直角三角形EOB 中45OEB ∠=︒，即面直线PA 与BE 所成的角为45，故选C ．21．如图该几何体由半圆柱体与直三棱柱构成，半圆柱体底面直径BC ＝4，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，D 为半圆弧的中点，若异面直线BD 和AB 1所成角的余弦值为23，则该几何体的体积为A ．16+8πB ．32+16πC ．32+8πD ．16+16π【试题来源】辽宁省辽阳市辽阳县集美中学2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】A【解析】设D 在底面半圆上的射影为1D ，连接1AD 交BC 于O ，设1111A D B C O ⋂=． 依题意半圆柱体底面直径4,,90BC AB AC BAC ==∠=︒，D 为半圆弧的中点， 所以1111,AD BC A D B C ⊥⊥且1,O O 分别是下底面、上底面半圆的圆心．连接1OO ， 则1OO 与上下底面垂直，所以11,,OO OB OO OA OA OB ⊥⊥⊥，以1,,OB OA OO 为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，设几何体的高为()0h h >，则()()()()12,0,0,0,2,,0,2,0,2,0,B D h A B h -，所以()()12,2,,2,2,BD h AB h =--=-，由于异面直线BD 和1AB 所成的角的余弦值为23， 所以11238BD AB BD AB ⋅==⋅，即2222,16,483h h h h ===+．所以几何体的体积为2112442416822ππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+．故选A.22．在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，BC CD ⊥，且AB BC CD ==，M 为AD 的中点，则异面直线BM 与CD 夹角的余弦值为A ．3 BCD【试题来源】辽宁省辽河油田第二高级中学2020-2021学年高二10月月考【答案】C【解析】四面体A BCD -是由正方体的四个顶点构成的，如下图所示 建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(1,1,1)B C D M ，(1,1,1),(0,2,0)BM CD ==，cos ,3||BM CD BM CD BM CD⋅〈〉===⋅0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦，所以异面直线BM 与CD C ．23．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为A ．13 B．3 CD ．12【试题来源】天津市第二十中2020-2021学年高二（上）期中 【答案】B【解析】在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===，则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=，设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则11cos 318MB AA MB AA θ⋅===⋅，∴异面直线MB 与1AA ，故选B ．24．如图，四棱锥中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥ 平面ABCD ，1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形，点E 是棱PB 的中点，则异面直线EC与PD 所成角的余弦值是ABCD【试题来源】安徽省宿州市泗县第一中学2020-2021学年高二上学期第二次月考（理） 【答案】B【解析】因为底面ABCD 是矩形，且PA ⊥ 平面ABCD ，所以,,AB AD AP 两两垂直，以A 为原点，,,AB AD AP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，因为1AD =，AB =，PAB △是等腰三角形， 所以()))()(0,0,0,,,0,1,0,A BCD P ，因为点E 是棱PB的中点，22E ⎛⎫⎪⎪⎝⎭ ，所以(22,1,,0,1,EC PD⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以11cos ,31PD EC PD ECPD EC⋅===⋅，所以异面直线EC 与PD ．故选B. 25．在棱长为2的正方体1111—ABCD A BC D 中，O 是底面ABCD 的中点，E ，F 分别是1CC ，AD 的中点，那么异面直线OE 和1FD 所成的角的余弦值等于A．7 BCD【试题来源】天津市静海区大邱庄中学2020-2021学年高二上学期第一次月考【答案】B【解析】建立空间直角坐标系如图所示：所以()()11,1,1,1,0,2F OE D =-=-，所以111cos ,53FD OE OE OE FDFD ⋅<>===，所以异面直线OE 和1FD ，故选B ． 二、多选题1．在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点P 是棱BC 的中点，点Q 是底面A 1B 1C 1D 1上的动点，且AP ⊥D 1Q ，则下列说法正确的有 A ．DP 与D 1Q 所成角的最大值为4π B ．四面体ABPQ 的体积不变C ．△AA 1QD ．平面D 1PQ 截正方体所得截面面积不变【试题来源】江苏省泰州市2020-2021学年高三上学期期中 【答案】BCD【解析】对于选项A ，由题意以A 1为坐标原点，A 1B 1、A 1A 、A 1D 1为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，如图所示：则A 1(0，0，0)，D (0，2，2)，D 1(0，2，0)，A (0，0，2)，B (2，0，2)，C (2，2，2)，则P (2，1，2)，设Q (x 0，y 0，0)，则AP =(2，1，0)，1D Q =(x 0，y 0－2，0)，由AP ⊥1D Q ，可得10AP DQ ⋅=，即2x 0+y 0－2=0，对于选项A ，由DP =(2，－1，0)，可得1cos DP DQ =，，45===，为定值，所以选项A 错误；对于选项B ，四面体ABPQ 的体积111122123323A BPQ Q ABP ABP V V S AA --∆==⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=，为定值，即体积不变 ，所以选项B 正确；对于选项C ，因为AA 1⊥A 1Q ，且A 1Q=11111222AA QS AA AQ ∆=⨯⨯=⨯===，因为[]002x ∈，，所以15AA Q S ∆≥=，所以选项C 正确；对于选项D ，如图，因为点Q 满足2x 0+y 0－2=0，即点Q 在直线2x 0+y 0－2=0上运动，取A 1B 1的中点为E ，即点Q 在D 1E 上，因为点P 到D 1E 的距离为2，E (1，0，0)，1D E =(1，－2，0)，11D E =+=，11122PD EE SD ∴⨯⨯== 则平面D 1PQ 截正方体所得截面为1FED G ，其中12CG GD =，112BF FB =， 所以，1EFGD 且1EF GD =，又由P 为中点，,BF CG PB PC ==，90B C ∠=∠=︒，所以，PEF 和1PGD 全等，所以，PF PG =，由平行四边形的面积的性质，所以，截面面积为四边形1FED G ，该四边形的面积为2△D 1PE ，则截面面积为 2△D 1PE =115122222PD ESD E ⨯⨯⨯==，则截面面积为定值，所以选项D正确．故选BCD ．2．如图，在边长为1的正方体ABCD -A B C D ''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过三点A 、M 、D 的正方体ABCD -A BCD ''''的截面面积为4C ．四面体A C ''BD 的内切球的表面积为3π D ．正方体ABCD -A B C D ''''中，点P 在底面A B C D ''''(所在的平面)上运动并且使∠MA C '=∠P A C '，那么点P 的轨迹是椭圆【试题来源】湖北省武汉外国语学校2020-2021学年高二上学期期中 【答案】AC【解析】以A '为坐标原点，以A D ''，A B ''，A A '为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz '-，则(0A ，0，1)，1(2M ，1，1)，(1D '，0，0)，(0B '，1，0)，∴1(2AM =，1，0)，(1D B ''=-，1，0)，cos AM ∴<，·10AM D B D B AM D B ''''>==''，AM ∴与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确； 取CC '的中点N ，则////MN BC AD ''，故梯形MND A '为过A 、M 、D '的正方体的截面，2MN =，AD '=，AM D N ='=，∴梯形MND A '的高为=，∴梯形MND A '的面积为19)228⨯=，故B 错误； 四面体A C BD ''的体积为111414111323D A C D V V -'''-=-⨯⨯⨯⨯⨯=正方体，又四面体A C BD ''的所有棱长均为，∴四面体A C BD ''的表面积为244⨯⨯=A C BD ''的内切球半径为r ，则123⨯13r =，解得r =，∴四面体A C BD ''的内切球的表面积为243r ππ=，故C 正确；MAC PAC ∠'=∠'，P ∴点在以AC '为轴，以AM 为母线的圆锥的侧面上， (1AC '=，1，1)-，1(2AM =，1，0)，故·15cos AM AC MAC AM AC '∠'=='设AC '与平面A B C D ''''的夹角为α，则2cos cos 353A C AC A AC α''=∠''===>'， MAC α∴<∠'，P ∴点在平面A B C D ''''上的轨迹是双曲线，故D 错误．故选AC ．3．如图，已知在棱长为1的正方体1111—ABCD A B C D 中，点E ，F ，H 分别是AB ，1DD ，1BC 的中点，下列结论中正确的是A ．11//C D 平面CHDB ．1AC ⊥平面1BDAC ．三棱锥11—D BAC 的体积为56D ．直线EF 与1BC 所成的角为30°【试题来源】2021年新高考数学一轮复习学与练 【答案】ABD【解析】如图1所示，由题意，11//C D CD ，11C D ⊂/平面CHD ，CD ⊂平面CHD ，所以11//D C 平面CHD ，所以A 正确；建立空间直角坐标系，如图2所示；由1AB =，则1(1AC =-，1，1)，(1BD =-，1-，0)，1(1DA =，0，1)； 所以11100AC BD =-+=，111010AC DA =-++=，所以1AC BD ⊥，11AC DA ⊥，所以1AC ⊥平面1BDA ，所以B 正确；三棱锥11D BA C -的体积为1111114D BA C ABCD A B C D V V --=-三棱锥正方体11114111323=-⨯⨯⨯⨯⨯=， 所以C 错误；(1E ，12，0)，(0F ，0，1)2，所以(1EF =-，12-，1)2，1(1BC =-，0，1)，所以cos EF <，111110||||3EF BC BC EF BC ++>===⨯ 所以EF 与1BC 所成的角是30，所以D 正确．故选ABD ．4．如图，在三棱柱111ABCA BC -中，底面ABC 是等边三角形，侧棱1AA ⊥底面ABC ，D 为AB 的中点，若2AB =，1AA =，则A ．1CD A D ⊥B ．异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14C ．异面直线1AD 与1ACD ．//CD 平面11AB C【试题来源】2021年新高考数学一轮复习讲练测 【答案】AC【解析】A ：因为侧棱1AA ⊥底面ABC ，所以1AA CD ⊥，因为ABC 是等边三角形，AD BD =，所以CD AB ⊥，因为1AB AA A =，所以CD ⊥平面1AA D ，则1CD A D ⊥，A 正确；以D为原点，如图建立空间直角坐标系，则(1A -，()1,0,0A -，(1C，(1B，所以(11,0,A D =，(11,AC=，所以111111cos ,7A D ACA D AC A D AC ⋅===，所以异面直线1A D 与1AC所成角的余弦值为14，B 不正确，C 正确； 因为(1AB =，(11,AC=，设平面11AB C 法向量为(),,n x y z =，则1120n AB xn AC x ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=++=⎪⎩，即2x z y z ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，取2z =，则()6,2n =-，因为()0,CD =，且60CD n ⋅=≠，所以若//CD 平面11AB C 不成立，D 不正确；故选AC ．5．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，E 是1DD 的中点，则A ．直线1//BC 平面1A BD B ．11B C BD ⊥C ．三棱锥11C B CE -的体积为13D ．异面直线1B C 与BD 所成的角为60︒【试题来源】山东省新泰市第一中学（新泰中学）2020-2021学年高二上学期第一次月考 【答案】ABD【解析】如图建立空间直角坐标系，()0,0,0A ，()1,0,0B ，()1,1,0C ，()0,1,0D ，()10,0,1A ，()11,0,1B ，()11,1,1C ，()10,1,1D ，10,1,2⎛⎫⎪⎝⎭E ，()1B C 0,1,1=-，()11,1,1BD =-，()1,1,0BD =-，()11,0,1BA =-所以()111011110B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，即11BC BD ⊥，所以11B C BD ⊥，故B 正确； ()11011101B C BD =-⨯+⨯+-⨯=，12B C =，2BD =，设异面直线1B C 与BD 所成的角为θ，则111cos 2B C BD B C BDθ==，又0,2πθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以3πθ=，故D 正确；设平面1A BD 的法向量为(),,n x y z =，则1·0·0n BA n BD ⎧=⎨=⎩，即00x y x z -+=⎧⎨-+=⎩，取()1,1,1n =，则()10111110n B C =⨯+⨯+⨯-=，即1C n B ⊥，又直线1B C ⊄平面1A BD ，所以直线1//B C 平面1A BD ，故A 正确；111111111111113326C B CE B C CE C CE V B C S V -∆-===⨯⨯⨯⨯=⋅，故C 错误；故选ABD.三、填空题1．已知直四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA =，底面ABCD 是直角梯形，A ∠为直角，//AB CD ，4AB =，2AD =，1DC =，则异面直线1BC 与DC 所成角的余弦值为________．【试题来源】河北省尚义县第一中学2020-2021学年高二上学期期中【解析】因为四棱柱1111ABCD A B C D -使直四棱柱，A ∠为直角，//AB CD ，所以可以以D 为坐标原点，以DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,0D ，()2,4,0B ，()0,1,0C ，()10,1,2C ，故()0,1,0DC =，()12,3,2BC =--，因为1DC =，212BC ==，所以1113cos ,17DC BC DC BC D BC C ⋅-===⋅故异面直线DC 与1BC 所成的角的余弦值为17，故答案为17． 2．如图所示，长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，14CC =，点E 是线段1CC 的中点，点F 是正方形ABCD 的中心，则直线1A E 与直线1B F 所成角的余弦值为________．【试题来源】天津市滨海新区塘沽一中2020-2021学年高二上学期期中【解析】如下图所示，以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则点()12,0,4A 、()12,2,4B 、()0,2,2E 、()1,1,0F ，()12,2,2A E =--，()11,1,4B F =---，111111cos ,2A E BF A E B F A E B F⋅<>===⋅，因此，直线1A E 与直线1B F ． 3．如图所示的三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，D 是棱PB 的中点，若2PA BC ==，4AB =， CB AB ⊥，则PC 与AD 所成角的余弦值为________．【试题来源】2021年高考一轮数学单元复习一遍过（新高考地区专用） 【解析】因为PA ⊥平面ABC ，所以PA AB ⊥、PA BC⊥， 过点A 作//AE CB ，又CB AB ⊥，则AP 、AB 、AE 两两垂直，如图，以A 为坐标原点，直线AB 、AE 、AP 为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，则()000A ，，、()002P ，，、(400)B ，，、(420)C -，，， 又D 为PB 中点，则(201)D ，，，故(422)PC =--，，，(201)AD =，，，所以cos 102PC AD PC AD PC AD⋅===⋅，，故答案为104．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是1B B 与1C C 的中点，设DM 与1A N 所成的角为θ，则sin θ=________．【试题来源】北京市平谷区第五中学2020-2021学年高二上学期期中考试 【答案】19【分析】建立空间直角坐标系，利用公式11sin DM A N DM A Nθ⋅=⋅，进行求解即可【解析】如图，设正方体的边长为a ，以CD 为x 轴，CB 为y 轴，1CC 为z 轴，建立坐标系得，(,0,0)D a ，(0,,)2a M a ，1(,,)A a a a ，(0,0,)2a N ，所以，(,,)2a DM a a =-，1(,,)2a A N a a =--，所以，11sin 9a DM A N DM A N θ⋅==⋅19=，故答案为19. 5．已知点P 在正方体1111ABCD A B C D -的对角线1BD 上，H 在11B D 上，,,D P H 共线，60HDA ∠=︒，则DP 与1CC 所成角的大小为________．【试题来源】2021年新高考数学一轮复习考点扫描 【答案】45【分析】以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，得出(,,1)DH m m =，()1001CC =，，，进而根据向量的乘积公式求解【解析】如图，以D 点为原点，以DA ，DC ，1DD 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系：()()()1000100001D DA CC ==，，，，，，，，，连接11BD B D ，，在平面11BB D D 中，延长DP 交11B D 于点H ，设(,,1)DH m m =，(0)m >，DP 与1CC 所成角为θ 由已知60HDA ∠=︒，根据cos DA DH DA DH HDA ⋅=∠，可得221m m =+，解得21m DH⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，所以，1112cos 2C DH D C co C H DH s CC C θ⋅===⋅，， ∴45θ=︒，故答案为456．已知三棱柱111ABC A B C -的所有棱长均为2，侧棱1AA ⊥底面ABC ，若,E F 分别是线段1BB ，11A C 的中点，则异面直线AE 与CF 所成角的余弦值是________．【试题来源】【新东方】【2020】【高三上】【期中】【HD -LP359】【数学】 【答案】15【解析】建立如图所示空间直角坐标系：则())()()0,0,0,,0,2,0,0,1,2A EC F ，所以()()3,1,1,0,1,2AE CF ==-，所以1cos ,55AE CF AE CFAE CF⋅===⋅，故答案为15．7．在直三棱柱111ABC A B C -中，13,3,2AC BC AB AA ====，则异面直线1A C 与1BC 所成角的余弦值为________．。
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异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小，是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角（或直角）来定义的．准确选定角的顶点，平移直线构造三角形是解题的重要环节．本文举例归纳几种方法如下，供参考．方法一：抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点，引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行)，往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标．例1：如图，长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AA 1=AB =2，AD =1，点E 、F 、G 分别是DD 1、AB 、CC 1的中点，则异面直线A 1E 与GF 所成的角是？解：连B 1G ，则A 1E ∥B 1G ，知∠B 1G F 就是异面直线A 1E 与GF 所成的角．在△B 1GF 中，由余弦定理，得cos B 1GF ＝222222111(2)(3)(5)2223B G GF B F B G GF +-+-=•••＝0，故∠B1G F ＝练习1.1：在空间四边形ABCD 中，AD ＝BC ＝2，E ，F 分别为AB 、CD 的中点，EF ＝3，求AD 、BC 所成角的大小．1A 1B 1C 1D ABCDEFG练习1.2：长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2cm ，AA 1=4cm ，求异面直线BD 1与AD 所成的角的余弦值？方法二：抓异面直线(或空间图形)上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时，抓住特殊点(特别是中点)构造异面直线所成角是一条有效的途径.例2：设M 、N 是直角梯形ABCD 两腰的中点，DE ⊥AB 于E (如图)．现将△ADE 沿DE 折起，使二面角A －DE －B 为45°，此时点A 在平面BCDE 内的射影恰为点B ，则M 、N 的连线与AE 所成角的大小为多少？AB E M图1ACDMNG图2AA 1解：取AE 中点G , 连结GM 、BG ∵GM ∥ED ，BN ∥ED ，GM ＝21ED ，BN ＝21ED ． ∴ GM ∥BN ，且GM ＝BN ． ∴BNMG 为平行四边形，∴MN//BG ∵A 的射影为B ． ∴AB ⊥面BCDE ． ∴∠B EA＝∠BA E ＝， 又∵G 为中点，∴BG ⊥AE ． 即MN ⊥AE ．∴MN 与AE 所成角的大小等于90度．练习2.1：S 是正三角形ABC 所在平面外的一点，如图SA ＝SB ＝SC ，且∠ASB ＝∠BSC ＝∠CSA ＝2π，M 、N 分别是AB 和SC 的中点．求异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值． 证明：连结CM ，设Q 为CM 的中点，连结QN 则QN ∥SM ∴∠QNB 是SM 与BN 所成的角或其补角 连结BQ ，设SC ＝a ，在△BQN 中 BN ＝a 25NQ ＝21SM ＝42a BQ ＝a 414∴COS ∠QNB ＝5102222=⋅-+NQBN BQ NQ BN练习2.2：如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠BCA ＝90°，M 、N 分别是A 1B 1和A 1C 1的中点， 若BC ＝CA ＝CC 1，求NM 与AN 所成的角的余弦值．解：连接MN ，作NG ∥BM 交BC 于G ，连接AG ， 易证∠GNA 就是BM 与AN 所成的角．设：BC ＝CA ＝CC 1＝2，则AG ＝AN ＝5，GN ＝B 1M ＝6， cos ∠GNA ＝1030562556=⨯⨯-+.练习2.3：如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，B MAN CS ACBNM ACBE 、F 分别是1BB 、CD 的中点． 求AE 与F D 1所成的角。
证明：取AB 中点G ，连结A 1G ，FG ， 因为F 是CD 的中点，所以GF ∥AD ， 又A 1D 1∥AD ，所以GF ∥A 1D 1，故四边形GFD 1A 1是平行四边形，A 1G ∥D 1F 。
设A 1G 与AE 相交于H ，则∠A 1HA 是AE 与D 1F 所成的角。
因为E 是BB 1的中点，所以Rt △A 1AG ≌△ABE, ∠GA 1A=∠GAH,从而∠A 1HA=90°, 即直线AE 与D 1F 所成的角为直角。
方法三：平移(或构造)几何体有些问题中，整体构造或平移几何体，能简化解题过程.例3：如图，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒且PA AC BC a ===，则异面直线PB 与AC 所成角的正切值为多少？解：将此多面体补成正方体'''DBCA D B C P -，PB 与AC 所成的角的大小即此正方体主对角线PB 与棱BD 所成角的大小，在Rt △PDB 中，即tan 2PDDBA DB∠==.练习3.1：正∆ABC 的边长为a ，S 为∆ABC 所在平面外的一点，SA ＝SB ＝SC ＝a ，E ，F 分别是SC 和AB 的中点．求异面直线SA 和EF 所成角．1D 1B 1C PDBCA练习3.2：已知正方形ABCD的边长为1，PD⊥平面ABCD，PD=3 （1）求PB与平面ABCD所成角的大小；（2）求异面直线PC与BD的夹角大小．AB CSE F A BC D D 1 C 1B 1 A 1MNNMF E D CB A JI HG F EDC BA作业：一、选择题 1．分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是 （ ） （A ）不平行的直线 （B ）不相交的直线（C ）相交直线或平行直线 （D ）既不相交又不平行直线2．已知EF 是异面直线a 、b 的共垂线，直线l ∥EF ，则l 与a 、b 交点的个数为 （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）0或1 （D ）0，1或2 3．两条异面直线的距离是 （ ） （A ）和两条异面直线都垂直相交的直线 （B ）和两条异面直线都垂直的直线 （C ）它们的公垂线夹在垂足间的线段的长 （D ）两条直线上任意两点间的距离4．设a, b, c 是空间的三条直线，下面给出三个命题：① 如果a, b 是异面直线，b, c 是异面直线，则a, c 是异面直线；② 如果a, b 相交，b, c 也相交，则a, c 相交；③ 如果a, b 共面，b, c 也共面，则a, c 共面．上述命题中，真命题的个数是 （ ） （A ）3个 （B ）2个 （C ）1个 （D ）0个5．异面直线a 、b 成60°，直线c ⊥a ，则直线b 与c 所成的角的范围为 （ ）（A ）[30°，90°] （B ）[60°，90°]（C ）[30°，60°] （D ）[60°，120°]6．如图:正四面体S －ABC 中，如果E ，F 分别是SC ，AB 的中点，那么异面直线EF 与SA 所成的角等于 （ ） （A ）90°（B ）45°（C ）60°（D ）30° 7．在棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） （A ）23（B ）1010（C ）53（D ）548．右图是正方体的平面展开图，在这个正方体中，① BM 与ED 平行； ②CN 与BE 是异面直线；②③CN 与BM 成 60角；④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 （ ）（A ）①②③ （B ）②④ （C ）③④ （D ）②③④9．梯形ABCD 中AB//CD ，AB ⊂平面α，CD ⊄平面α，则直线CD 与平面α内的直线的位置关系只能是 （ ） （A ）平行 （B ）平行和异面 （C ）平行和相交 （D ）异面和相交10．在空间四边形ABCD 中，E 、F 分别为AB 、AD 上的点，且AE ：EF ＝AF ：FD＝1 ：4，又H 、G 分别为BC 、CD 的中点，则 （ ） （A ）BD//平面EFGH 且EFGH 是矩形 （B ）EF//平面BCD 且EFGH 是梯形（C ）HG//平面ABD 且EFGH 是菱形 （D ）HE//平面ADC 且EFGH 是平行四边形 二、填空题11．如图，在正三角形ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿BA CD AF E P C BA N MDCBA DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．12．在四面体ABCD 中，若AC 与BD 成60°角，且AC ＝BD ＝a ，则连接AB 、BC 、CD 、DA 的中点的四边形面积为 ．13．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝3，AA 1＝4，则异面直线AB 1与 A 1D 所成的角的余弦值为 ．14．把边长为a 的正方形ABCD 沿对角线BD 折起， 使A 、C 的距离等于a ，如图所示，则异面直线AC 和BD 的距离为 ．三、解答题15．已知AB 、BC 、CD 为不在同一平面内的三条线段，AB ，BC ，CD 的中点P 、Q 、R 满足PQ ＝2，QRPR ＝3，求AC 与BD 所成的角．16．已知P 为△ABC 所在平面外的一点，PC ⊥AB ，PC ＝AB ＝2，E 、F 分别为PA 和BC 的中点． （1）求证：EF 与PC 是异面直线；（2）EF 与PC 所成的角；（3）线段EF 的长．17．如图，AB 和CD 是两异面直线，BD 是它们的公垂线，AB ＝CD ，M 是BD 的中点，N 是AC 的中点． （1）求证：MN ⊥AC ；（2）当AB ＝CD ＝a ，BD ＝b ，AC ＝c 时，求MN 的长．D C BA P QD 1C 1B 1A 118．（如图）已知P 、Q 是棱长为a 的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的面AA 1D 1D 和A 1B 1C 1D 1的中心． （1）求线段PQ 的长；（2）证明：PQ ∥AA 1B 1B ．。