选修2-3期望方差练习题

1

•某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为 组

研发新产品 A ,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立.

(1) 求至少有一种新产品研发成功的概率； (2) 若新产品A 研发成功，预计企业可获利润

120万元；若新产品 B 研发成功，预计企

业可获利润100万元，求该企业可获利润的分布列和数学期望.阿

解：记E = ｛甲组研发新产品成功｝, F = ｛乙组研发新产品成功｝.

2 — 1 3

— 2

由题设知 P (E ) = 5

，P ( E ) = 5

, RF ) = 5

, R F ) = 5

.

且事件E 与F , E 与 匸,"E 与F , "E 与T 都相互独立.

⑴ 记H ^ ｛至少有一种新产品研发成功 ｝，则"H = "E ~F ，于是

1 2 2

R H ) = R E )P ( F ) = 3x 5 =命

— 2 13

故所求的概率为 RH ) = 1-P ( H ) = 1-亦=15.

(2)设企业可获利润为 X 万元)，则X 的可能取值为0,100,120,220.

1 2 2

RX = 0) = P ( E F ) = x-^-,

3 5 15

13 3

RX = 100) = P ( EF ) = 3X 5 =亦，

RX = 120) = P (E?) = |x 5 =盒 RX = 220) = P (EF = I x 5= 15.

故所求的X 分布列为

E (X ) = 300十 48°+ 1 320

15 15

15

15

15

140.

2•现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向

左、右两边落下•游戏规则为：若小球最终落入

A 槽，得10张奖票；若落入

B 槽，得5张

奖票；若落入C 槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过

3次.

(1)求投球一次，小球落入 B 槽的概率；

2 3

3和 5,现安排甲

2 100 15

数学期望为

解：(1)由题意可知投一次小球，落入 B 槽的概率为2

+ 1

2

=

1 2 1 1 1 2 1

⑵ 落入A 槽的概率为2 = 4，落入B 槽的概率为2，落入c 槽的概率为2 = 4.

X 的所有可能取值为 0,5,10 ,

1 3 1

2 0)= 4 = 64,

12X 1 = 21 4 2 32,

1111 1 2 21

心

10)

= 4+4X 4+ 4X

4 = 64,

X 的分布列为

3.

在一场娱乐晚会上，有 5位民间歌手(1至

5号)登台演唱，由现场数百名观众投票选 出最受欢迎歌手.各位观众须彼此独立地在选票上选 3名

歌手，其中观众甲是1号歌手的歌

迷，他必选1号，不选2号，另在3至5号中随机选2名•观众乙和丙对 5位歌手的演唱没 有偏

1 21 21 105

=0X

64+5X

32+10x

64=

16

爱，因此在1至5号中随机选3名歌手.

(1)求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率；

(2)X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求X的分布列及数学期望.

解：(1)设A 表示事件“观众甲选中 3号歌手”，B 表示事件“观众乙选中 3号歌手”，

C ： 2

C 2

3

则

P(A) =

C 3=

3, RB)=

C 5=

5.

•••事件A 与B 相互独立，

•••观众甲选中3号歌手且观众乙未选中 3号歌手的概率为 RA 「B ) = P (A • =P ( A )[1 - RE )]

2 2 4 = X ■=—.

3 5 15

C ；4

或

P AB

= C3^=厉

C 4 3

⑵ 设C 表示事件“观众丙选中 3号歌手"，则P ( C ) = £=―,

1 2 2

••• X 可能的取值为0,1,2,3，且取这些值的概率分别为 P (X = 0) = P^ A B C ) = -X - X-5

3 5 5

4 75，

P (X = 1) = P (A B C ) + P ( ABC ) + P ( A BC )

=3X - X 5+3 X 5X -+3X 5X

5= P (X = 2) = P (ABC ) + P (A BC ) + P ( ABC

2 3 3 18

RX =

3)

= RA

BC

=3 X 5X

5= 75

• X 的分布列为：

4

20 33 18 140 28 • X 的数学期望日X ) = 0X

+ 1X + 2X + 3X = =. 75 75 75 75 75 15

4.

一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，

其中

4张卡片上的数字是1,3张卡片上的

2 2 2 1

3 2 1 2 3 20 75

2 3 2 2 2 3 1 3 3 =3X - X 5+3 X 5X -+3X 5X

5=

33 75,