椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点问题
意椭圆与双曲线的差异性：非封闭图形，因此横双竖双内部的点要分开讨论）。 4. 局限：椭圆与双曲线和抛物线的表达形式有较大差异，对于抛物线中的上述结论需要重新讨论。
kMN
yM xM
yN xN
mb2 x0 a2 b2m2
a2 x0
mb2 x0 a2m2 b2
a2m2 x0
m a2 b2 =
a2 m2 1
a2 b2m2 a2m2 b2
m a2 b2 直线 lMN : y a2 m2 1
m a2 b2
x xM yM y a2 m2 1
a2
b2
椭圆分别交于
A、B、C、D
四点。设弦
AC、BD
的中点分别为
M、N，lMN
恒过定点
a2
b2
x0 , a2
b2
y0
x2 y2
结论６：双曲线方程
C： a2 b2
1 ，过点 P 0, y0
y0 , b b,
作两条相互垂直的
1/4
2014.11.30
直线 l1 、 l2 与椭圆分别交于 A、B、C、D 四点。设弦 AC、BD 的中点分别为 M、N， lMN 恒过定点
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0 , y0 2 p iv. 抛物线方程 C： x2 2 py p 0 上一点 P x0 , y0 ，抛物线上存在不同于点 P 的点 A、B，
且满足 MA MB=0 ，则 lAB 过定点 x0, y0 2 p
五、 联系
《圆锥曲线曲线上直角弦过定点结论》其实是与《圆锥曲线垂直弦中点轨迹过定点结论》有巨大联系
椭圆中互相垂直的弦过定点问题 - (原创)
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
椭圆的弦的中点问题的解题方法及技巧
斜截式 y kx b
两点式
y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
截距式
x y 1 ab
一般式 Ax+By+C=0
不垂直于x轴的直线 不垂直于x轴的直线 不垂直于x、y轴的直线
不垂直于x、y轴，不过原点的直线
2、斜率公式：k y2 y1 (或k y1 y2 )
AB
1 1 k2
y2 y1 2 4 y1 y2
例1.求直线y=x+1被椭圆x2 +2y2 =4所截得的 弦的中点坐标.
依据：中点坐标公式 法一：求交点，得中点 法二: 根系法.
设而不求，避免繁琐的运算
例2.已知一直线与椭圆4 x2+9 y2=36 交于A、B 两点，且
弦AB的中点坐标M 1，1 ，求直线AB的方程.
AB的中点M 1，1
x1 x2 1
2
y1 y2 1
2
8 x1 x2 18 y1 y2 0
AB：4 x 9y 13 0
k AB
4 9
检验：AB确实与椭圆相交
故：4 x 9y 13 0 为所求
一.直线方程的五种形式
点斜式 y y0 k(x x0)
2
A
求弦的中点的轨迹 法一；中点可用根系法
M
B
法二:点差法
例4.已知椭圆 1 2
x2 +y2 =1，及椭圆外一点M
0，2 ，过M的
直线与椭圆交于A、B 两点，求AB的中点的轨迹方程.
M A
B
解决与弦的中点有关问题： 三种类型;求中点，求以定点为中点的弦的直线方程
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导
与椭圆焦点弦相关的过定点问题结论推导下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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椭圆中定点定值问题(与焦点弦有关)
椭圆中的“定”二、与椭圆的焦点弦有关4. 椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的离心率为e ，PQ 为过椭圆焦点2F 而不垂直于x 轴的弦，且PQ的中垂线交x 轴于R ，则22PQ F R e=. 5.PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的一个焦点2F 的弦，2F K 为焦准距，e 为椭圆的离心率，则222112PF QF e F K+=.6.（1）PQ 为过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 焦点F 的弦，PQ 的中垂线交F 所在的椭圆的对称轴于R ，直线RF 交F 所对应的准线于K ，则P 、K 、Q 、R 四点共圆.（2）弦MN （异于长轴）过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，过椭圆左顶点1A 的两条直线11,A M A N交椭圆的准线l 于,S T 两点,则以ST 为直径的圆一定过椭圆的右焦点2F 和2F 关于准线的对称点.（3）弦MN 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的右焦点2F ，椭圆的准线l 交椭圆的对称轴于点D ,则22MDF NDF ∠=∠.（4）P 为椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上任一点，2F 为椭圆右焦点，过P 作椭圆的切线交椭圆的右准线于点N ，则222ON PF b k k a=-.7.(1,2,3,)n n P Q n =为过圆锥曲线的一个焦点2F 的弦，n n P Q 的中垂线交2F 所在的曲线的对称轴于n R ，则过,,(1,2,3,)n n n P Q R n =的圆必交于同一点2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭.8. 弦AB （异于长轴）过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的焦点，过B A ,两点分别作椭圆的两条切线交圆222x y a +=于,M M '两点，则（1）MM '是圆222x y a +=的一条直径，且四边形MM BA '为梯形；（2）角APB ∠为锐角；（3）若两切线的交点为P ，当点P 为2,0a c ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，APB ∆的面积最小，其最小值为4b ac.9.在椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 通径（过焦点且垂直于焦点轴的弦）的延长线上任取一点()00,P x y 作椭圆两条切线12,PP PP ，则切点弦12PP ，x 轴和准线l 三线共点.10.直线l 是过椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆左顶点1A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的右顶点2A ，切点P 及点M 三点共线.11.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，它与经过椭圆右顶点2A 的切线交于点N ，椭圆的左焦点F 和点N 的的连线FN 与左准线交于点M ，则椭圆的左顶点1A ，切点P 及点M 三点共线.12.直线l 是过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 上一点P 的切线，过该椭圆右的左焦点1F 作1F N l ⊥，且与椭圆的左准线交于点M ，则椭圆的中心O ，切点P 及点M 三点共线.、13. 如图，点F 是椭圆12222=+b y a x C ：()0>>b a 的右焦点，直线l 是椭圆的右准线，点P 在椭圆上且PF x ⊥轴，AB 是经过右焦点F的任一弦（不经过点P ），设直线AB 与直线l 相交于点M ，则2PA PB PM k k k +=.14. 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点(),0F c 作倾斜角为θ的直线，交椭圆于,A B 两点，则2221cos ep AB e θ=-（e 为离心率，p 为焦参数（通径长的一半））. 15. 弦AB 过椭圆12222=+by a x C ：()0>>b a 的焦点F ，且AF FB λ=（点A 位于点B 之上），则弦AB 所在直线的斜率()()()222110,11e k λλλλ+=-≠≠±-.。
相交弦中点所在直线过定点问题探究
即
ｙ１ － ｙ２
３
( ｘ － ２) ＋ .
ｘ１ － ｘ２
４
Ｂ( ｍꎬｎ) 的两直线 ｌ１ ꎬｌ２ 斜率分别为 ｋ１ ꎬｋ２ ꎬｋ１ ≠ｋ２ 且
Ｈ( ｘ２ ꎬｙ２ ) ꎬＣ ( ｘ３ ꎬｙ３ )ꎬＤ ( ｘ４ ꎬｙ４ )ꎬ因为 ＣꎬＤ 两点在椭
即
ｙ１ － ｙ２
ｘ１ ｙ２ － ｘ２ ｙ１
ｘ ＋
ｘ１ － ｘ２
２
１
因为 ｋ１ ＋ ｋ２ ＝ － １ꎬ所以
３
３
整理ꎬ得 ｙ ＝ æç ｋ２１ ＋ ｋ１ ＋ ö÷( ｘ － １) ＋ .
４
４
è
ø
即－
３
所以直线 ＧＨ 过定点 æç １ꎬ ö÷
è ４ ø
方法 ２ ( 作差法) 由题意设直线 ｌ１ ꎬｌ２ 的方程
分别是 ｙ ＝ ｋ１ ( ｘ － １) ꎬｙ ＝ ｋ２ ( ｘ － １) .
－ ｋ２ ) ＋ ４ｂ( ｋ１ ＋ ｋ２ ) ( ｋ１ － ｋ２ ) .
由于 ｋ１ ≠ｋ２ ꎬ所以 － ３ ＝ ４ｋ(ｋ１ ＋ ｋ２ ) ＋ ４ｂ(ｋ１ ＋ ｋ２ ).
所以 ＧＨ 所在直线方程为 ｙ ＝ ｋｘ － ｋ ＋
即 ｙ ＝ ｋ( ｘ － １) ＋
３
.
４
所以直线 ＧＨ 过定点(１ꎬ
３
.
４
③ － ④ꎬ得
.
ｂ２ ＋ ａ２ ｋ２１
ｋ２１ ｍａ２ － ｋ１ ｎａ２ ｎｂ２ － ｍｂ２ ｋ１
ꎬ ２ ２
).
ｂ２ ＋ ａ２ ｋ２１
ａ ｋ１ ＋ ｂ２
ｋ２２ ｍａ２ － ｋ２ ｎａ２ ｎｂ２ － ｍｂ２ ｋ２
ꎬ ２ ２
).
ｂ２ ＋ ａ２ ｋ２２
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m -代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
高考数学讲义椭圆之中点弦问题
2014年二轮复习椭圆之中点弦问题内容明细内容要求层次了解理解 掌握 圆锥曲线椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系√北京三年高考两年模拟统计中点弦 垂直角度弦长面积范围定点定值 共线比例其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计78151455椭圆之中点弦问题高考大纲自检自查必考点圆锥曲线总结：直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。
其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。
中点弦常考题型（1）1||||PQ ABPB PA PQ AB k k =⇔⊥⇔=-设1122(,),(,)A x y B x y ，注意一般只有弦与椭圆相交的两点才设为12,x x 的，其它点不要随便设为1122(,),(,)A x y B x y .Q 为弦AB 的中点.设直线方程为y kx m =+，不要设为y kx b =+，因为b 在椭圆标准方程中会出现. 联立直线与椭圆方程22221y kx m x y a b=+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，得2222()1x kx m a b ++=，即222222212()10k km m x x a b b b +++-= 设1122(,),(,)A x y B x y ,则22222222222222122222212222211()4()(1)4()02111km k m m k b a b b a b a b km b x x k a b m b x x k a b ⎧⎪⎪⎪∆=-+-=--->⎪⎪⎪⎪⎪⎪+=-⎨⎪+⎪⎪⎪⎪-⎪=⎪⎪+⎪⎩∆中的高次项是可消去的.自检自查必考点P QBAOyx21222212Q kmx x b x k a b+==-+ 22222222222222222111Q Q k m k m m k m m b b a b a y kx m m k k k a b a b a b -++=+=-+==+++ （由Q x 求Q y 分子是可消去的）故中点Q 的坐标为22222222(,)11km m b a k k a b a b-++ 定点P 设为(,)s t则222222222222222211()1()1Q PQQ m a tk m k t y t a b a a b k km km k x ss b b a b s k a b -+-+-===---+--+ 故222222221()11()m k t a a b km k k s b a b-+=---+ 2222222211()()km k km k kt s a a b b a b -+=++ 22222111()()()k km kt s a b a b -=++（2）以,OA OB 为邻边的平行四边形的顶点P 在椭圆上1212,22Q Q x x y yx y ++== 易知P 点坐标212222221P Q km b x x x x k a b ==+=-+1212122()P Q y y y y kx m kx m k x x ==+=+++=++ 222222222222222211k m m k m m b a b a k k a b a b -++==++注意：1.不能把P x 代入y kx m =+方程中求P y ，因为点P 不在直线上. 2.由P x 求P y 分子是可消去的.故2222222222(,)11km m b a P k k a b a b -++在椭圆上. 则22222222222222()()111km m b a k k a b a b a b-+++= 两边同时乘以22221()k a b +得22222222222441()k m m k a b a b a b +=+ 2222222241(1)()m k k a b a b+=+ 注意：分母不要通分和化简，均采用整体法进行处理. （3）弦AB 的垂直平分线交,x y 轴分别为点,N M中点Q 的坐标为22222222(,)11km mb a k k a b a b-++ 垂直平分线方程为222222221()11m km a b y x k k k a b a b-=-+++ 令0x =，得到M 点坐标为2222211()(0,)1m a b k a b -+ 令0y =，得到N 点坐标为2222211()(,0)1km a b k a b -+【例1】 已知椭圆2212x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程.【例2】 证明在椭圆222210x y a ba b +=（＞＞）中，若直线l 与椭圆相交于M N 、两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.例题精讲【例3】 在直角坐标平面内，已知点(2,0),(2,0)A B -， P 是平面内一动点，直线PA 、PB 斜率之积为34-. (Ⅰ)求动点P 的轨迹C 的方程；(Ⅱ)过点1(,0)2作直线l 与轨迹C 交于E F 、两点，线段EF 的中点为M ,求直线MA 的斜率k 的取值范围.【例4】 设椭圆:C )0(12222>>=+b a by a x 的离心率为e =,点A 是椭圆上的一点,且点A 到椭圆C 两焦点的距离之和为4. (1)求椭圆C 的方程；（2）椭圆C 上一动点()00,P x y 关于直线x y 2=的对称点为()111,y x P ,求1143y x -的取值范围.【例5】 设椭圆方程为1422=+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A B O 、，为坐标原点，点P 满足1()2OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，点N 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值.。
解析几何第8讲-中点弦问题--椭圆垂径定理
第8课：中点弦问题--椭圆垂径定理一．学习目标:掌握点差法，能够在不同情境中用点差法解决中点弦问题，会推导椭圆垂径定理.二.知识梳理: 1.中点弦公式：（所谓中点弦公式是直线与圆锥曲线相交时，两交点中点与弦所在直线的关系，一般不联立方程，而用点差法求解） 椭圆：交点在x 轴上时直线m kx y +=与椭圆)0(12222>>=+b a by a x 相交于点A 、B设点A(11,y x ),B(22,y x )∵A 、B 在椭圆上∴1221221=+b y a x ……① 则2222122221-b yy a x x -=- 1222222=+b y a x ……② 即 2222212221-a b x x y y =-- ①-②得：02222122221=-+-b y y a x x 即2221212121))((ab x x y y x x y y -=++-- 则 22ab k k OMAB -=（其中M 为A 、B 中点，O 为原点）同理可以得到当焦点在y 轴上，即椭圆方程为)0(12222>>=+b a bx a y当直线交椭圆于A 、B 两点，M 为A 、B 中点 则22ba k k OMAB -=2.椭圆垂径定理：直线AB 的斜率与中点M 和原点O 所成直线斜率的乘积等于2y 下的系数比上2x 下的系数的相反数. 三.典例分析例1.已知椭圆193622=+y x ，弦AB 的中点是)1,3(M ,求弦AB 所在的直线方程.例2.已知椭圆),0(12222>>=+b a by a x 直线l 不经过原点O ,且不平行于坐标轴,l 与C 有两个交点B A ,,假设线段AB 中点为M ,证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率乘积为定值.四.练习题.1．已知椭圆22:14x C y +=，直线l 交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭，则l 的方程为( )A ．4250x y -+=B ．220x y -+=C ．4230x y +-=D ．20x y +=2.已知椭圆221369x y +=，椭圆内一点(4,2)P ,则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是 A.21 B.－21C.2D.－23．若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于A ，B 两点，过原点与线段AB 的中点的直线的斜率为22，则mn的值为( ) A ．22 B ．2C ．23 D ．92 4．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的右焦点为F ,过点F 的直线交椭圆交于A ，B 两点，若AB 的中点)21,1(-P ，且直线AB 的倾斜角为4π，则此椭圆的方程为（ ） A ．1949222=+y x B ．19922=+y x C ．15922=+y x D ．192922=+y x5．中心在原点，一个焦点为1F ()50,0的椭圆截直线23:-=x y l 所得的弦的中点的横坐标为21，求椭圆的方程．6.已知椭圆C 的两个焦点分别为()1,0F c -、()()2,00F c c >，短轴的两个端点分别为1B 、2B ，且112F B B 为等边三角形．（1）若椭圆长轴的长为4，求椭圆C 的方程；（2）如果在椭圆C 上存在不同的两点P 、Q 关于直线112y x =+对称，求实数c 的取值范围；7．已知椭圆E 的焦点在x 轴上，短轴长为2，离心率为2． （1）求椭圆E 的标准方程；（2）直线l ：12y x m =+与椭圆E 相交于A ，B 两点，且弦AB 中点横坐标为1，求m 值．8.已知斜率为k 的直线l 与椭圆22143x y C +=：交于A ，B 两点，线段AB 的中点为()()10M m m >，．（1）证明：12k <-；（2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点，且FP FA FB ++=0．证明：FA ，FP ，FB 成等差数列，并求该数列的公差．第9课：面积计算一．学习目标: 二. 知识梳理: 1.三角形面积直线与圆锥曲线相交，弦和某个定点所构成的三角形的面积 处理方法： ①一般方法：d AB S 21=（其中AB 为弦长，d 为顶点到直线AB 的距离） =20011221214)(121k m y kx x x x x k ++--++（直线为斜截式y=kx+m ） =m y kx x x x x +--+00112214)(21②特殊方法：拆分法,可以将三角形沿着x 轴或者y 轴拆分成两个三角形，不过在拆分的时候给定的顶点一般在x 轴或者y 轴上，此 时，便于找到两个三角形的底边长。
椭圆的弦中点问题解析版(供参考)
东光一中 高二 年级 数学 学科课时练出题人： 许淑霞 出题时间：椭圆的中点弦问题学案学习目标：会求与椭圆的中点弦有关的问题掌握一种思想：设而不求，整体代换的思想体会两种方法：判别式法与点差法学习重点：能解决与椭圆的中点弦有关的问题 学习过程：一、方法总结：1、与椭圆的弦的中点有关的问题，我们称之为椭圆的中点弦问题。
2、解椭圆的中点弦问题的一般方法是：（1）判别式法：联立直线和椭圆的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解。
（2）点差法：若设直线与椭圆的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入椭圆的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
3、设直线的技巧：（1）直线过定点时引入参数斜率，利用点斜式设方程，注意讨论斜率存在与不存在两种情况。
（2）直线斜率一定时引入参数截距，利用斜截式设方程。
（3）已知一般直线可设直线的斜截式方程，利用条件寻找k 与b 的关系。
3、直线与椭圆相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。
这类问题一般有以下三种类型：（1）求过中点的弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求与中点弦有关的圆锥曲线的方程二、题型复习：（一）、求过中点的弦所在直线方程问题例1、已知椭圆1222=+y x ，求过点p (12,12)且被点p 平分的弦所在直线方程 注意：解决过中点的弦的问题时判断点M 位置非常重要。
（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。
结论：（1） 设椭圆12222=+b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y ，则0022y x a b k AB•-=,22AB op b k k a=- （2） 设双曲线12222=-b y a x 的弦AB 的中点为P ),(00y x （)00≠y 则0022y x a b k AB •=。
椭圆中过定点或有定向动弦问题的探讨
+ 2
-
abcos
+ 2
=0
+
+
cos x!
2
sin + y!
2 - cos -
=0
#
a
b
2
( 1) 若 m 1, 则 式化为:
+
x0 ( m+ 1) ! cos 2
m- 1
a
sin +
-
y0 ( m+ 1) m- 1
!
2 b
-
cos
2
=0
比较 # 、 两 式 可 知 直 线 BC 必 过 定 点
M
.
推论 1: 符 合定 理条 件( 1) 的直 线 BC 所 过
定点 M 在直线 y 0 x + x 0 y = 0 上; 符合 定理条 件 ( 2) 的直线 BC 与直线 y 0 x+ x 0 y= 0 平行.
初数方圆
91
推论 2: 当 m= -
1, kAB ! kAC = -
b2 a2
时,
动弦
BC 为椭圆的直径.
推论 3: 当 m= -
a2 b2 , kAC ! kAC = -
1, 即定点
A 对动弦 BC 所张的角为直 角时, 直线 BC 所过
定点 M
x0
( a2a2 +
b2 b2
)
,
-
y0 ( a2 - b2 ) a2 + b2
在椭圆过 A
点的法线上. ( 证略) 定理 2: 椭圆 b2 x 2 + a2 y2 = a2 b2 的 动 弦 BC
证明: 由 kAB = -
椭圆中的定点、定值问题(教师版)
椭圆中的定点、定值问题1.已知l 1，l 2是过点0,2 的两条互相垂直的直线，且l 1与椭圆Γ:x 24+y 2=1相交于A ，B 两点，l 2与椭圆Γ相交于C ，D 两点．(1)求直线l 1的斜率k 的取值范围；(2)若线段AB ，CD 的中点分别为M ，N ，证明直线MN 经过一个定点，并求出此定点的坐标．【答案】(1)-233,-32 ∪32,233 ；(2)证明见解析；定点0,25 .【解析】(1)根据题意直线l 1，l 2的斜率均存在且不为0直线l 1，l 2分别为y =kx +2，y =-1kx +2，联立y =kx +2x 24+y 2=1得4k 2+1 x 2+16kx +12=0，由Δ=16k 2-4×124k 2+1 >0得4k 2>3，则k <-32或k >32，同理4-1k2>3，则-233<k <233，所以k 的取值范围为-233,-32 ∪32,233 ．(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，由(1)得4k 2+1 2+16kx +12=0，所以x 1+x 2=-16k 4k 2+1，则x M =x 1+x 22=-8k4k 2+1，所以y M =kx M +2=-8k 24k 2+1+2=24k 2+1，则M -8k 4k 2+1,24k 2+1，同理N 8k k 2+4,2k 2k 2+4，则直线MN 的方程为y -24k 2+1=2k 2k 2+4-24k 2+18k k 2+4+8k 4k 2+1x +8k 4k 2+1 ，化简整理得y =k 2-15kx +25因此直线MN 经过一个定点0,25 ．2.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为32.(1)求C 的方程；(2)设斜率为1的直线l 与C 交于P ，Q 两点，点P 关于x 轴的对称点为M ，若△PQM 的外接圆恰过坐标原点，求直线l 的方程.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)y =x ±263【解析】(1)依题意a =2c a =32a 2=b 2+c 2·解得a =2b =1，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 2=1(2)设l 的方程为y =x +m ，设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则M x 1,-y 1 .由y =x +m x 24+y 2=1消去y 得，5x 2+8mx +4m 2-4=0，依题意Δ=64m 2-204m 2-4 >0，即-5<m <5，所以x 1+x 2=-8m5x 1x 2=4m 2-45，所以y 1+y 2=x 1+x 2+2m =-8m 5+2m =2m5，所以线段PQ 的中点坐标为-4m 5,m5 ，所以线段PQ 的中垂线方程为y -m 5=-x +4m 5 ，即y =-x -3m5，·依题意，线段PQ 的中垂线与x 轴的交点E -3m5,0 ，即为△PQM 外接圆的圆心，点E 到直线l 的距离为d =2|m |5，|PQ |=2⋅x 1+x 22-4x 1x 2=2⋅-8m 5 2-16m 2-1 5=4255-m 2，·设△PQM 外接圆的半径为r ，则r 2=d 2+|PQ |22=40-6m 225，所以△PQM 外接圆的方程为x +3m 5 2+y 2=40-6m 225，因为△PQM 外接圆恰过原点O (0,0)，所以3m 5 2=40-6m 225，解得m =±263，所以直线l 的方程为y =x ±263.3.已知A ，B 分别是椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的右顶点和上顶点，|AB |=5，直线AB 的斜率为-12.(1)求椭圆的方程；(2)直线l ⎳AB ，与x ，y 轴分别交于点M ，N ，与椭圆相交于点C ，D ．证明：(i )△OCM 的面积等于△ODN 的面积；(ii )|CM |2+|MD |2为定值．【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)(i )证明见解析；(ii )证明见解析【解析】(1)∵A 、B 是椭圆x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的两个顶点，且|AB |=5，直线AB 的斜率为-12，由A (a ,0)，B (0,b )，得|AB |=a 2+b 2=5，又k =b -00-a =-b a =-12，解得a =2，b =1，∴椭圆的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线l 的方程为y =-12x +m ，则M (2m ,0)，N (0,m )，联立方程y =-12x +mx 24+y 2=1消去y ，整理得x 2-2mx +2m 2-2=0．Δ=4m 2-8(m 2-4)=32-4m 2>0，得m 2<8设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)．∴x 1+x 2=2m ，x 1x 2=2m 2-2．所以S △OCM =12|2m ||y 1|，S △ODN =12|m ||x 2|则有S △OCM S △ODN =|2y 1||x 2|=|2m -x 1||x 2|=|x 2||x 2|=1∴△OCM 的面积等于△ODN 的面积；∴|CM |2+|MD |2=(x 1-2m )2+y 12+(x 2-2m )2+y 22=x 12-4mx 1+4m 2+-12x 1+m 2+x 22-4mx 2+4m 2+-12x 2+m 2=54(x 1+x 2)2-52x 1x 2-5m (x 1+x 2)+10m 2=5m 2-52(2m 2-2)-10m 2+10m 2=54.如图，椭圆M ：y 2a 2+x 2b2=1a >b >0 的两焦点为0,1 ，0,-1 ，A ，B 是左右顶点，直线l 与椭圆交于异于顶点的C ，D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BC 斜率之积为-2．(1)求椭圆M 的方程；(2)直线AC 与直线BD 交于点Q ，设点P 与点Q 横坐标分别为x P ，x Q ，则x P ⋅x Q 是否为常数，若是，求出该常数值；若不是，请说明理由．【答案】(1)y 22+x 2=1;(2)x P ⋅x Q 为常数，值为1【解析】(1)由题A -b ,0 ，B b ,0 ，设C x 1,y 1 ，则k AC ⋅k BC =y 1x 1+b ⋅y 1x 1-b =y 21x 21-b 2=a 21-x 21b2x 21-b2=-a2b 2=-2，∴a 2=2b 2，又a 2-b 2=1，∴a =2，b =1，∴椭圆M 的方程为：y 22+x 2=1.(2)直线l 若过原点，由对称性知AC ∥BD 不合题，设直线l ：x =ty +m m ≠0 ，则x P =mx =ty +my 22+x 2=1，消去x 得2t 2+1 y 2+4mty +2m 2-2=0，设D x 2,y 2 ，则Δ=82t 2-m 2+1 >0y 1+y 2=-4tm2t 2+1y 1y 2=2m 2-22t 2+1∴y 1y 2=1-m22tm y 1+y 2 ①AC ：y =y 1x 1+1x +1 ②，BD ：y =y 2x 2-1x -1 ③②③联立得x -1x +1=y 1x 2-1 y 2x 1+1 =y 1ty 2+m -1 y 2ty 1+m -1 =t 1y 2+m -1 y 1ty 1y 2+m +1 y 2①代入得x -1x +1=1-m 1-m y 1+1+m y 2 m +1 1-m y 1+1+m y 2 =1-m1+m 解得x =1m ，即x Q =1m∴x P ⋅x Q =m ⋅1m=1，∴x P ⋅x Q 为常数，值为1．5.已知点A -22,0 ,B 22,0 ,Q 2,0 ，动点P 与点A ，B 连线的斜率之积为-78，过点Q 的直线l 交点P 的轨迹于C ，D 两点，设直线AC 和直线BD的斜率分别为k 1和k 2，记m =k1k 2(1)求点P 的轨迹方程(2)m 是否为定值?若是，请求出该值，若不是，请说明理由．【答案】(1)x 28+y 27=1(y ≠0);(2)是，3-22【解析】(1)设点P x ,y ，由题意k PA ⋅k PB =y x -22⋅y x +22=-78整理得x 28+y 27=1y ≠0(2)由题意，直线l 斜率不为0设l :x =ty +2，设C x 1,y 1 ,D x 2,y 2由x =ty +2x 28+y 27=1得7t 2+8 y 2+28ty -28=0则y 1+y 2=-28t 7t 2+8，y 1y 2=-287t 2+8所以y 1+y 2=ty 1y 2m =k 1k 2=y 1x 1+22y 2x 2-22=y 1x 2+22 y 2x 1-22 =y 1ty 2+2-22 y 2ty 1+2+22 =ty 1y 2+2-22 y 1ty 1y 2+2+22 y 2=y 1+y 2+2-22 y 1y 1+y 2+2+22 y 2=3-22 y 1+y 2y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+13-22y 2 y 1+3+22 y 2=3-22 y 1+3+22 y 2 y 1+3+22 y 2=3-22所以m 为定值3-226.已知圆O ：x 2+y 2=4与x 轴交于点A (-2,0)，过圆上一动点M 作x 轴的垂线，垂足为H ，N 是MH 的中点，记N 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的方程；(2)过-65,0 作与x 轴不重合的直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，设直线AP ，AS 的斜率分别为k 1，k 2.证明：k 1=4k 2．【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)设N (x 0，y 0)，则H (x 0，0)，∵N 是MH 的中点，∴M (x 0，2y 0)，又∵M 在圆O 上，∴x 20+(2y 0)2=4，即x 204+y 20=1；∴曲线C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)①当直线l 的斜率不存在时，直线l 的方程为：x =-65，若点P 在轴上方，则点Q 在x 轴下方，则P -65,45 ,Q -65,-45，直线OQ 与曲线C 的另一交点为S ，则S 与Q 关于原点对称，∴S 65,45，k 1=k AP =45-0-65+2=1,k 2=k AS =45-065+2=14,∴k 1=4k 2；若点P 在x 轴下方，则点Q 在x 轴上方，同理得：P -65,-45 ,Q -65,45 ,S 65,-45 ，∴k 1=k AP =-45-0-65+2=-1,k 2=k AS =-45-065+2=-14，∴k 1=4k 2；②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为：x =my -65,，由x =my -65,与x 24+y 2=1联立可得(m 2+4)y 2-12m 5y -6425=0，其中Δ=144m 225+4×(m 2+4)×6425>0，设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2)，则S (-x 2,-y 2)，则y 1+y 2=12m 5m 2+4,y 1y 2=-6425m 2+4，∴k 1=k AP =y 1-0x 1+2=y 1x 1+2,k 2=k AS =-y 2-0-x 2+2=y 2x 2-2,则k 1k 2=y 1x 1+2⋅x 2-2y 2=y 1my 2-165my 1+45 y 2=my 1y 2-165y 1my 1y 2+45(y 1+y 2)-45y 1=-6425m 2+4-165y1-6425m m 2+4+45⋅125m m 2+4-45y 1=-6425m 2+4-165y 1-1625m 2+4-45y 1=4，∴k 1=4k 2.7.已知M ，N 分别是x 轴，y 轴上的动点，且MN =4+23，动点P 满足MP =32PN ，设点P 的轨迹为曲线C ．(1)求曲线C 的轨迹方程；(2)直线l 1：3x -2y =0与曲线C 交于A ，B 两点，G 为线段AB 上任意一点(不与端点重合)，倾斜角为α的直线l 2经过点G ，与曲线C 交于E ，F 两点．若|EF |2|GA |⋅|GB |的值与点G 的位置无关，求|GE |：|GF |的值．【答案】(1)x 216+y 212=1;(2)1【解析】(1)设M x 0,0 ，N 0,y 0 ，则x 20+y 20=4+23 2．设P x ,y ，则MP =x -x 0,y ，PN=-x ,y 0-y ．由题意得x -x 0=-32x y =32y 0-y，解得x 0=1+32 x y 0=231+32y，所以1+322x 2+431+32 2y 2=4+23 2，化简得x 216+y 212=1，即曲线C 的方程为x 216+y 212=1．(2)证明：由3x -2y =0x 216+y 212=1，解得x =2y =3 或x =-2y =-3 ，(不妨设点A 在第一象限)，所以A (2,3)，B (-2,-3)．设点G (2m ,3m )，其中-1<m <1，则|GA |=13(1-m )，|GB |=13(1+m )，所以|GA |⋅|GB |=131-m 2 ．若直线l 2的斜率不存在，则直线l 2的方程为x =2m ，此时E 2m ,12-3m 2，F 2m ,-12-3m 2，故|EF |2|GA |⋅|GB |=124-m 2131-m 2不为定值．若直线l 2的斜率存在，设直线l 2的斜率为k ，则直线l 2的方程为y =kx -(2k -3)m ．将直线l 2的方程代入曲线C 的方程化简、整理，得4k 2+3 x 2-8km (2k -3)x +4(2k -3)2m 2-48=0．设E x 1,y 1 ，F x 2,y 2 ，则x 1+x 2=8km (2k -3)4k 2+3，x 1x 2=4(2k -3)2m 2-484k 2+3，所以|EF |2=1+k 2 x 1-x 2 2=1+k 264k 2m 2(2k -3)2-164k 2+3 (2k -3)2m 2-124k 2+32=-481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 4k 2+32，故|EF |2|GA |⋅|GB |=481+k 2 (2k -3)2m 2-16k 2+12 134k 2+3 2m 2-1．因为|EF |2|GA |⋅|GB |的值与m 的值无关，所以(2k -3)2=16k 2+12，解得k =-12，所以x 1+x 22=4km (2k -3)4k 2+3=2m ，所以G 是EF 的中点，即|GE |=|GF |．所以|GE |:|GF |=1．8.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，其左、右焦点分别为F 1，F 2，T 为椭圆C 上任意一点，△TF 1F 2面积的最大值为1.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)已知A 0,1 ，过点0,12的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 与x 轴的交点分别为P ，Q ，证明：以PQ 为直径的圆过定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)因为椭圆C 的离心率为22，所以c a =22.又当T 位于上顶点或者下顶点时，△TF 1F 2面积最大，即bc =1.又a 2=b 2+c 2，所以b =c =1，a = 2.所以椭圆C 的标准方程为x 22+y 2=1.(2)由题知，直线l 的斜率存在，所以设直线l 的方程为y =kx +12，设M x 1,y 1 ，N x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆C 的方程得：4k 2+2 x 2+4kx -3=0，由韦达定理得：x 1+x 2=-4k 4k 2+2，x 1x 2=-34k 2+2，直线AM 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AN 的方程为y =y 2-1x 2x +1，所以P -x 1y 1-1,0 ，Q -x 2y 2-1,0，所以以PQ 为直径的圆为x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，整理得：x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1=0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1 =x 1x 2kx 1-12 kx 2-12=4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2+1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6，令①中的x =0，可得y 2=6，所以，以PQ 为直径的圆过定点0,±6 .9.已知平面内两点F 1(-2,0),F 2(2,0)，动点P 满足：PF 1 +PF 2 =2 3.(1)求动点P 的轨迹C 的方程；(2)设M ，N 是轨迹C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切.证明：M ，N ，F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)因为PF 1 +PF 2 =23>F 1F 2 .所以点P 的轨迹是以F 1,F 2为焦点的椭圆，其中2a =23,c =2,b 2=1，所以轨迹C 的方程为x 23+y 2=1.(2)当直线MN 的斜率不存在时，直线MN ：x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ,N ,F 2三点共线，可设直线MN :y =k (x -2)，即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|2k |k 2+1=1，解得k =±1，联立y =±(x -2),x 23+y 2=1,可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以|MN |=1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3，所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +b ,(kb <0)即kx -y +b =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得|b |k 2+1=1，所以b 2=k 2+1，联立y =kx +b ,x 23+y 2=1,可得1+3k 2 x 2+6kbx +3b 2-3=0，所以x 1+x 2=-6kb 1+3k 2，x 1⋅x 2=3b 2-31+3k 2，所以|MN |=1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6kb 1+3k 2 2-4⋅3b 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1b =-2或k =-1b =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 2三点共线，充分性成立；所以M ,N ,F 2三点共线的充要条件是|MN |= 3.10.已知F 1(-2,0)，F 2(2,0)为椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右焦点，且A 2,53为椭圆上的一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)设直线y =-2x +t 与抛物线y 2=2px (p >0)相交于P ,Q 两点，射线F 1P ，F 1Q 与椭圆E 分别相交于M 、N .试探究：是否存在数集D ，对于任意p ∈D 时，总存在实数t ，使得点F 1在以线段MN 为直径的圆内？若存在，求出数集D 并证明你的结论；若不存在，请说明理由.【答案】(1)x 29+y 25=1;(2)存在，D =(5,+∞)，证明见解析【解析】(1)由题意知c =2，A 2,53为椭圆上的一点，且AF 2垂直于x 轴，则AF 2 =53，AF 1 =(2+2)2+53 2=133，所以2a =AF 1 +AF 2 =133+53=6，即a =3，所以b 2=32-22=5，故椭圆的方程为x 29+y 25=1；(2)l 方程为y =-2x +t ，联立抛物线方程，得y 2=2pxy =-2x +t ，整理得y 2+py -pt =0，则Δ=p 2+4tp >0，则p +4t >0①，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，则y 1+y 2=-p ，y 1y 2=-pt ，则x 1+x 2=t +p 2,x 1x 2=(y 1y 2)24p 2=t 24，由F 1的坐标为(-2,0)，则F 1P =(x 1+2，y 1)，F 1Q=(x 2+2，y 2)，由F 1M 与F 1P 同向，F 1N 与F 1Q 同向，则点F 1在以线段MN 为直径的圆内，则F 1M ⋅F 1N <0，则F 1P ⋅F 1Q<0，则(x 1+2)(x 2+2)+y 1y 2<0，即x 1x 2+2(x 1+x 2)+4+y 1y 1<0，则t 24+2t +p 2 +4-pt <0，即t 24+(2-p )t +p +4<0②，当且仅当Δ=(2-p )2-4×14(p +4)>0，即p >5，总存在t >-p4使得②成立，且当p >5时，由韦达定理可知t 24+(2-p )t +p +4=0的两个根为正数，故使②成立的t >0，从而满足①，故存在数集D =(5,+∞)，对任意p ∈D 时，总存在t ，使点F 1在线段MN 为直径的圆内．11.在平面直角坐标系xOy 中，设椭圆C :y 2a 2+x 2b2=1(a >b >0)的两个焦点分别为F 1，F 2，点P 在椭圆C 上，连结PF 1，PF 2并延长，分别交椭圆于点A ，B ．已知△APF 2的周长为82，△F 1PF 2面积最大值为4．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当P 不是椭圆的顶点时，试分析直线OP 和直线AB 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由．【答案】(1)y 28+x 24=1;(2)是定值；-6【解析】(1)如图所示：由题意得4a =82bc =4a 2=b 2+c 2，解得a =22b =2所以椭圆C 的方程为y 28+x 24=1(2)设直线PA 的方程为y =kx +2,P x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,F 10,2 ，由y =kx +2y 2+2x 2=8，得k 2+2 x 2+4kx -4=0，∴x 0x 1=-4k 2+2，即x 0x 1=-4y 0-2x 0 2+2=-4x 20y 20-4y 0+4+2x 20，=-4x 2012-4y 0=-x 203-y 0，∴x 1=-x 03-y 0,∴y 1=y 0-2x 0⋅-x 03-y 0+2=8-3y 03-y 0，∴A -x 03-y 0,8-3y 03-y 0，同理可得B -x 03+y 0,-3y 0-83+y 0 ，∴k AB =8-3y 03-y 0+3y 0+83+y 0x 03+y 0-x 03-y 0=48-6y 20-2x 0y 0=38-y 20 -x 0y 0=6x 20-x 0y 0=-6x 0y 0，∴k OP ⋅k AB =y 0x 0⋅-6x 0y 0=-6为定值12.已知点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0))上一点，A ，B 分别为C 的左、右顶点，且△PAB 的面积为5．(1)求C 的标准方程；(2)过点Q (1，0)的直线l 与C 相交于点G ，H (点G 在x 轴上方)，AG ，BH 与y 轴分别交于点M ，N ，记S 1，S 2分别为△AOM ，△AON (点O 为坐标原点)的面积，证明:S1S 2为定值．【答案】(1)x 29+y 25=1；(2)证明过程见解析.【解析】(1)因为△PAB 的面积为5，点P 2，53 为椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1上一点，所以有12⋅2a ⋅53=522a 2+53 2b 2=1 ⇒a =3b =5 ⇒x 29+y 25=1；(2)由题意可知直线l 的斜率不为零，故设方程为x =my +1，与椭圆方程联立为：x 29+y 25=1x =my +1⇒y 2(5m 2+9)+10my -40=0，设G (x 1,y 1),H (x 2,y 2)(y 1>0)，因为y 1y 2=-405m 2+9<0，所以y 2<0，A (-3,0),B (3,0)，直线AG 的方程为：y -y 1y 1-0=x -x 1x 1+3，令x =0，得y =y 1-x 1y 1x 1+3=3y 1x 1+3，即M 0,3y 1x 1+3 ，同理可得：N 0,-3y 2x 2-3 ，S 1S 2=12OA ⋅yM 12OA ⋅y N =y M y N =3y 1x 1+3⋅x 2-33y 2=3y 1my 2-2 3y 2my 1+4 ，因为y 1+y 2=-10m 5m 2+9,y 1y 2=-405m 2+9，所以有4(y 1+y 2)=my 1y 2，于是有S 1S 2=3y 1(my 2-2)3y 2(my 1+4)=12y 1+12y 2-6y 112y 1+12y 2+12y 2=6(y 1+2y 2)12(y 1+2y 2)=12，因此S1S 2为定值.13.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的短轴长为22，离心率为22.(1)求椭圆C 的方程；(2)点P 为直线x =4上的动点，过点P 的动直线l 与椭圆C 相交于不同的A ，B 两点，在线段AB 上取点Q ，满足AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，证明：点Q 的轨迹过定点.【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可知2b =22c a =22，解得a =2，b = 2.所以，所求椭圆的方程为x 24+y 22=1(2)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，Q x ,y ，P 4,t ，直线AB 的斜率显然存在，设为k ，则AB 的方程为y =k x -4 +t .因为A ，P ，B ，Q 四点共线，不妨设x 2<x <x 1<4，则AP =1+k 24-x 1 ，AQ =1+k 2x 1-x ，QB =1+k 2x -x 2 ，PB =1+k 24-x 2由AP ⋅QB =AQ ⋅PB ，可得4-x 1 x -x 2 =x 1-x 4-x 2 ，化简得2x 1x 2-x 1+x 2 4+x +8x =0.(*)联立直线y =k x -4 +t 和椭圆的方程，x 24+y 22=1y =k x -4 +t，消去y ，得2k 2+1 x 2+4k t -4k x +2t -4k 2-4=0.由韦达定理，得x 1+x 2=-4k t -4k 2k 2+1，x 1x 2=2t -4k 2-42k 2+1.代入(*)化简得x=4kt+2-t2kt+2=4-6+t2kt+2，即6+t 2kt+2=4-x.又k=y-tx-4，代入上式，得6+t2y-tx-4t+2=4-x，化简得2x+ty-2=0.所以点Q总在一条动直线2x+ty-2=0上，且恒过定点1,0.14.在平面直角坐标系中，椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=63,a=6，直线l与x轴相交于点E，与椭圆相交于点A,B；(1)求椭圆C的方程，(2)在x轴上是否存在点E，使得1|EA|2+1|EB|2为定值？若存在，请求出点E的坐标，若不存在，请说明理由．【答案】(1)x26+y22=1;(2)存在；E(±3,0)【解析】(1)由题意得：e=c a=63,a=6,∴c=2，∴b2=a2-c2=2， -所以椭圆的方程为x26+y22=1(2)设E(x0,0),A(x1,y1),B(x2,y2),(ⅰ)当直线AB与x轴不重合时，设AB的方程为x=my+x0代入x26+y22=1得：(m2+3)y2+2mx0y+x20-6=0，则y1+y2=-2mx0m2+3 y1⋅y2=x2-6m2+3|EA|2=(m2+1)y21,|EB|2=(m2+1)y22， -1 |EA|2+1|EB|2=(y1+y2)2-2y1y2(m2+1)y21y22=2×m2(x20+6)+(18-3x20) m2(x20-6)2+(x20-6)2-当x20+6=18-3x20，即x20=3时，无论m取何值，1|EA|2+1|EB|2的值恒为2，得点E(±3,0)，(ⅱ)当直线AB与x轴重合时，有A(-6,0),B(6,0),E(3,0)或E(-3, 0)，均有1|EA|2+1|EB|2=2由i和ii得，在x轴上是存在两点E(±3,0)，使得1|EA|2+1|EB|2为定值.15.已知△ABC 的两个顶点A ，B 的坐标分别为(-3,0)，(3,0)，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，CP =2-3，动点C 的轨迹为曲线G ．(1)求曲线G 的方程；(2)设直线l 与曲线G 交于M 、N 两点，点D 在曲线G 上，O 是坐标原点OM+ON =OD ，判断四边形OMDN 的面积是否为定值？若为定值，求出该定值；如果不是，请说明理由．【答案】(1)x 24+y 2=1y ≠0 ;(2)四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3【解析】(1)因为圆E 为△ABC 的内切圆，所以CA +CB =CP +CQ +PA +QB =2CP +AR +BR =2CP +AB =4>AB ，所以点C 的轨迹为以点A 和点B 为焦点的椭圆，所以c =3，a =2，则b =1，所以曲线G 的方程为x 24+y 2=1y ≠0(2)由y ≠0可知直线l 的斜率存在，设直线l 方程是y =kx +m ,M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，由平面图形OMDN 是四边形，可知m ≠0，代入到x 24+y 2=1，得1+4k 2 x 2+8kmx +4m 2-4=0所以Δ=184k 2+1-m 2>0，x 1+x 2=-8km 1+4k 2，x 1x 2=4m 2-41+4k 2．所以y 1+y 2=k x 1+x 2 +2m =2m1+4k 2，所以MN =1+k 2⋅44k 2-m 2+11+4k 2，又点O 到直线MN 的距离d =m1+k2，由OM +ON =OD ，得x D =-8km 1+4k ，y D =2m 1+4k 2，因为点D 在曲线C 上，所以将D 点坐标代入椭圆方程得1+4k 2=4m 2．由题意四边形OMDN 为平行四边形，所以OMDN 的面积为S =1+k 2×44k 2-m 2+11+4k 2×m1+k2=4m 4k 2-m 2+11+4k 2，由1+4k 2=4m 2，代入得S =3，故四边形OMDN 的面积是定值，其定值为3．16.已知椭圆E :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的右顶点为A (2,0)，离心率为12．过点P (6,0)与x 轴不重合的直线l 交椭圆E 于不同的两点B ，C ，直线AB ，AC 分别交直线x =6于点M ，N ．(1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为原点．求证：∠PAN +∠POM =90°．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题得a =2,c a =12,∴a =2,c =1,∴b =3,所以椭圆E 的方程为x 24+y 23=1.(2)要证∠PAN +∠POM =90°，只需证∠PAN =90°-∠POM ，只需证明tan ∠PAN =1tan ∠POM,只需证明tan ∠PAN ⋅tan ∠POM =1,只需证明k AN ⋅k OM =1,设M (6,m ),N (6,n )，只需证明n 6-2⋅m6=1,只需证明mn =24.设直线l 的方程为y =k (x -6)，k ≠0，联立椭圆方程x 24+y 23=1得(3+4k 2)x 2-48k 2x +144k 2-12=0，设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2)，所以Δ>0,x 1+x 2=48k 23+4k 2,x 1x 2=144k 2-123+4k 2，又A ,B ,M 三点共线，所以m4=y 1x 1-2,∴m =4y 1x 1-2，同理n =4y 2x 2-2，所以mn =4y 1x 1-2×4y 2x 2-2=16k 2(x 1-6)(x 2-6)(x 1-2)(x 2-2)，所以mn =16k 2[x 1x 2-6(x 1+x 2)+36]x 1x 2-2(x 1+x 2)+4所以mn =16k 2144k 2-123+4k 2-6×48k 23+4k 2+36144k 2-123+4k 2-2×48k 23+4k 2+4=16k 2×9664k 2=24.所以∠PAN +∠POM =90°.17.已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 的焦距为2，且经过点P 1,32 ．(1)求椭圆C 的方程；(2)经过椭圆右焦点F 且斜率为k k ≠0 的动直线l 与椭圆交于A 、B 两点，试问x 轴上是否存在异于点F 的定点T ，使AF ⋅BT =BF ⋅AT 恒成立？若存在，求出T 点坐标，若不存在，说明理由．【答案】(1)x 24+y 23=1；(2)存在，T 4,0 .【解析】(1)由椭圆C 的焦距为2，故c =1，则b 2=a 2-1，又由椭圆C 经过点P 1,32 ，代入C 得1a 2+94b2=1，得a 2=4，b 2=3，所以椭圆C 的方程为：x 24+y 23=1．(2)根据题意，直线l 的斜率显然不为零，令1k=m由椭圆右焦点F 1,0 ，故可设直线l 的方程为x =my +1，与C :x 24+y 23=1联立得，3m 2+4 y 2+6my -9=0，则Δ=36m 2-4-9 3m 2+4 =144m 2+1 >0，设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，y 1+y 2=-6m 3m 2+4，y 1y 2=-93m 2+4，设存在点T ，设T 点坐标为t ,0 ，由AF ⋅BT =BF ⋅AT ，得AF BF=AT BT，又因为AF BF =S △TFA S △TFB =12FT⋅AT sin ∠ATF12FT⋅BT sin ∠BTF =AT sin ∠ATF BT sin ∠BTF ，所以sin ∠ATF =sin ∠BTF ，∠ATF =∠BTF ，所以直线TA 和TB 关于x 轴对称，其倾斜角互补，即有k AT +k BT =0，则：k AT +k BT =y 1x 1-t +y 2x 2-t=0，所以y 1x 2-t +y 2x 1-t =0，所以y 1my 2+1-t +y 2my 1+1-t =0，2my 1y 2+1-t y 1+y 2 =0，即2m ×-93m 2+4+1-t ×-6m 3m 2+4=0，即3m 3m 2+4+1-tm3m 2+4=0，解得t =4，符合题意，即存在点T 4,0 满足题意.18.设椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左、右顶点分别为A ，B ，上顶点为D ，点P 是椭圆C 上异于顶点的动点，已知椭圆的离心率e =32，短轴长为2.(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线AD 与直线BP 交于点M ，直线DP 与x 轴交于点N ，求证：直线MN 恒过某定点，并求出该定点.【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)证明见解析，定点为(2,1)【解析】(1)由已知可得2b =2e =a 2-b 2a =32，解得a =2b =1 ，故椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；(2)设直线BP 的方程为y =k 1(x -2)(k 1≠0且k 1≠±12)，直线DP 的方程为y =k 2x +1(k 2≠0且k 2≠±12)，则直线DP 与x 轴的交点为N -1k 2,0 ，直线AD 的方程为y =12x +1，则直线BP 与直线AD 的交点为M 4k 1+22k 1-1,4k 12k 1-1，将y =k 2x +1代入方程x 24+y 2=1，得4k 22+1 x 2+8k 2x =0，则点P 的横坐标为x P =-8k 24k 22+1，点P 的纵坐标为y P =k 2⋅-8k24k 22+1+1=1-4k 224k 22+1，将点P 的坐标代入直线BP 的方程y =k 1(x -2)，整理得1+2k 2 1-2k 2 =-2k 11+2k 2 2，∵1+2k2≠0，∴2k 1+4k 1k 2=2k 2-1，由M ,N 点坐标可得直线MN 的方程为：y =4k 1k 24k 1k 2+2k 2+2k 1-1x +1k 2 =2k 1k 2x +2k 12k 2-1=2k 1k 2x +2k 2-1-4k 1k 22k 2-1，即y =2k 1k 22k 2-1(x -2)+1，则直线MN 过定点(2,1).19.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点A (0，1)，且右焦点为F (1，0).(1)求C 的标准方程；(2)过点0，12的直线l 与椭圆C 交于两个不同的点P .Q ，直线AP 与x 轴交于点M ，直线AQ 与x 轴交于点N .证明：以MN 为直径的圆过y 轴上的定点.【答案】(1)x 22+y 2=1;(2)证明见解析【解析】(1)由题意可得c =1,b =1从而a 2=2.所以椭圆的标准方程为x 22+y 2=1.(2)证明：由题意直线l 斜率存在，可设直线l :y =kx +12，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2 ，将直线l 代入椭圆方程得4k 2+2 x 2+4kx -3=0，所以x 1+x 2=-4k 4k 2+2,x 1,x 2=-34k 2+2，直线AP 的方程为y =y 1-1x 1x +1，直线AQ 的方程为y =y 2-1x 2x +1.可得M -x 1y 1-1,0 ,N -x 2y 2-1,0，以MN 为直径的圆方程为，x +x 1y 1-1 x +x 2y 2-1 +y 2=0，即x 2+y 2+x 1y 1-1+x 2y 2-1 x +x 1x 2y 1-1 y 2-1 =0.①因为x 1x 2y 1-1 y 2-1=x 1x 2kx 1-12 kx 2-12 =4x 1x 24k 2x 1x 2-2k x 1+x 2 +1=-12-12k 2+8k 2+4k 2+2=-6.所以在①中令x =0，得y 2=6，即以MN 为直径的圆过y 轴上的定点(0,±6)，20.已知椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，右焦点为F (2,0)，且离心率为63．(1)求椭圆C 的方程；(2)设M ，N 是椭圆C 上的两点，直线MN 与曲线x 2+y 2=b 2(x >0)相切．证明：M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．【答案】(1)x 23+y 2=1；(2)证明见解析.【解析】(1)由题意，椭圆半焦距c =2且e =c a =63，所以a =3，又b 2=a 2-c 2=1，所以椭圆方程为x 23+y 2=1；(2)由(1)得，曲线为x 2+y 2=1(x >0)，当直线MN 的斜率不存在时，直线MN :x =1，不合题意；当直线MN 的斜率存在时，设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，必要性：若M ，N ，F 三点共线，可设直线MN :y =k x -2 即kx -y -2k =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得2kk 2+1=1，解得k =±1，联立y =±x -2x 23+y 2=1可得4x 2-62x +3=0，所以x 1+x 2=322,x 1⋅x 2=34，所以MN =1+1⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=3,所以必要性成立；充分性：设直线MN :y =kx +m ,km <0 即kx -y +m =0，由直线MN 与曲线x 2+y 2=1(x >0)相切可得mk 2+1=1，所以m 2=k 2+1，联立y =kx +m x 23+y 2=1可得1+3k 2 x 2+6kmx +3m 2-3=0，所以x 1+x 2=-6km 1+3k 2,x 1⋅x 2=3m 2-31+3k 2，所以MN =1+k 2⋅x 1+x 2 2-4x 1⋅x 2=1+k 2-6km 1+3k 2 2-4⋅3m 2-31+3k 2=1+k 2⋅24k 21+3k 2=3，化简得3k 2-1 2=0，所以k =±1，所以k =1m =-2或k =-1m =2 ，所以直线MN :y =x -2或y =-x +2，所以直线MN 过点F (2,0)，M ，N ，F 三点共线，充分性成立；所以M ，N ，F 三点共线的充要条件是|MN |=3．21.圆O ：x 2+y 2=4与x 轴的两个交点分别为A 1-2,0 ，A 22,0 ，点M 为圆O 上一动点，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点R 满足NR =12NM(1)求点R 的轨迹方程；(2)设点R 的轨迹为曲线C ，直线x =my +1交C 于P ，Q 两点，直线A 1P 与A 2Q 交于点S ，试问：是否存在一个定点T ，当m 变化时，A 2TS 为等腰三角形【答案】(1)x 24+y 2=1;(2)存在，证明见解析【解析】(1)设点M x 0,y 0 在圆x 2+y 2=4上，故有x 20+y 2=4，设R x ,y ，又NR =12NM ，可得x =x 0，y =12y 0，即x 0=x ，y 0=2y代入x 20+y 20=4可得x 2+2y 2=4，化简得：x 24+y 2=1，故点R 的轨迹方程为：x 24+y 2=1.(2)根据题意，可设直线l 的方程为x =my +1，取m =0，可得P 1,32 ，Q 1,-32 ，可得直线A 1P 的方程为y =36x +33，直线A 2Q 的方程为y =32x -3联立方程组，可得交点为S 14,3 ；若P 1,-32，Q 1,32 ，由对称性可知交点S 24,-3 ，若点S 在同一直线上，则直线只能为l ：x =4上，以下证明：对任意的m ，直线A 1P 与直线A 2Q 的交点S 均在直线l ：x =4上.由x =my +1x 24+y 2=1，整理得m 2+4 y 2+2my -3=0设P x 1,y 1 ，Q x 2,y 2 ，则y 1+y 2=-2m m 2+4，y 1y 2=-3m 2+4设A 1P 与l 交于点S 04,y 0 ，由y 04+2=y 1x 1+2，可得y 0=6y 1x 1+2设A 2Q 与l 交于点S 04,y0 ，由y 04-2=y 2x 2-2，可得y 0=2y 2x 2-2，因为y 0-y 0=6y 1x 1+2-2y 2x 2-2=6y 1my 2-1 -2y 2my 1+3 x 1+2 x 2-2=4my 1y 2-6y 1+y 2 x 1+2 x 1-2 =-12m m 2+4--12mm 2+4x 1+2 x 2-2 =0，因为y 0=y 0，即S 0与S 0重合，所以当m 变化时，点S 均在直线l ：x =4上，因为A 22,0 ，S 4,y ，所以要使A 2TS 恒为等腰三角形，只需要x =4为线段A 2T 的垂直平分线即可，根据对称性知，点T 6,0 .故存在定点T 6,0 满足条件.22.已知点F 2,0 ，动点M x ,y 到直线l :x =22的距离为d ，且d =2MF ，记M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)过M 作圆O 1:x 2+y 2=43的两条切线MP 、MQ (其中P 、Q 为切点)，直线MP 、MQ 分别交C 的另一点为A 、B ．从下面①和②两个结论中任选其一进行证明．①PA ⋅PM 为定值；②MA =MB ．【答案】(1)x 24+y 22=1;(2)条件选择见解析，证明见解析【解析】(1)由题意知22-x =2⋅x -2 2+y 2，两边平方整即得x 2+2y 2=4，所以，曲线C 的方程为x 24+y 22=1.(2)证明：设M x 0,y 0 、A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，当x 20=43时，y 20=43，则不妨设点M 233,233 ，则点A 233,-233 或A -233,233 ，此时OM ⋅OA=0，则OM ⊥OA ；当x 20≠43时，设直线MA :y =kx +m ，由直线MA 与圆O :x 2+y 2=43相切可得m 1+k2=23，即3m 2=41+k 2 ，联立y =kx +m x 2+2y 2=4可得2k 2+1 x 2+4kmx +2m 2-4=0，Δ=16k 2m 2-42k 2+1 2m 2-4 =84k 2+2-m 2 =1634k 2+1 >0，由韦达定理可得x 0+x 1=-4km 2k 2+1，x 1x 2=2m 2-42k 2+1，则OM ⋅OA=x 0x 1+y 0y 1=x 0x 0+kx 0+m kx 1+m =1+k 2 x 0x 1+km x 0+x 1 +m 2=1+k 22m 2-4 -4k 2m 2+m 21+2k 21+2k 2=3m 2-41+k 21+2k 2=0，所以，OM ⊥OA ，同理可得OM ⊥OB .选①，由OM ⊥OA 及OP ⊥AM 可得Rt △MOP ∽Rt △AOP ，则PM OP=OP PA，所以，PM ⋅PA =OP 2=43；选②，出OM ⊥OA 及OM ⊥OB 可得：A 、O 、B 三点共线，则OA =OB ，又MA 2=OA 2+OM 2=OB 2+OM 2=MB 2，因此，MA =MB .23.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，且过点A 2,1 ．(1)求C 的方程：(2)点M ，N 在C 上，且AM ⊥AN ，AD ⊥MN ，D 为垂足．证明：存在定点Q ，使得DQ 为定值．【答案】(1)x 26+y 23=1；(2)详见解析.【解析】(1)由题意可得：c a =224a 2+1b 2=1a 2=b 2+c 2，解得：a 2=6,b 2=c 2=3，故椭圆方程为：x 26+y 23=1.(2)[方法一]：通性通法设点M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ，若直线MN 斜率存在时，设直线MN 的方程为：y =kx +m ，代入椭圆方程消去y 并整理得：1+2k 2 x 2+4kmx +2m 2-6=0，可得x 1+x 2=-4km 1+2k 2，x 1x 2=2m 2-61+2k 2，因为AM ⊥AN ，所以AM ·AN=0，即x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =0，根据y 1=kx 1+m ,y 2=kx 2+m ,代入整理可得：k 2+1 x 1x 2+km -k -2 x 1+x 2 +m -1 2+4=0，所以k 2+1 2m 2-61+2k 2+km -k -2 -4km 1+2k 2 +m -1 2+4=0，整理化简得2k +3m +1 2k +m -1 =0，因为A (2,1)不在直线MN 上，所以2k +m -1≠0，故2k +3m +1=0，k ≠1，于是MN 的方程为y =k x -23 -13k ≠1 ，所以直线过定点直线过定点P 23,-13.当直线MN 的斜率不存在时，可得N x 1,-y 1 ，由AM ·AN=0得：x 1-2 x 1-2 +y 1-1 -y 1-1 =0，得x 1-2 2+1-y 21=0，结合x 216+y 213=1可得：3x 12-8x 1+4=0，解得：x 1=23或x 2=2(舍).此时直线MN 过点P 23,-13.令Q 为AP 的中点，即Q 43,13，若D 与P 不重合，则由题设知AP 是Rt △ADP 的斜边，故DQ =12AP =223，若D 与P 重合，则DQ =12AP ，故存在点Q 43,13，使得DQ 为定值.[方法二]【最优解】：平移坐标系将原坐标系平移，原来的O 点平移至点A 处，则在新的坐标系下椭圆的方程为(x +2)26+(y +1)23=1，设直线MN 的方程为mx +ny =4．将直线MN 方程与椭圆方程联立得x 2+4x +2y 2+4y =0，即x 2+(mx +ny )x +2y 2+(mx+ny )y =0，化简得(n +2)y 2+(m +n )xy +(1+m )x 2=0，即(n +2)y x2+(m +n )yx+(1+m )=0．设M x 1 ,y 1 ,N x 2,y 2 ，因为AM ⊥AN 则k AM ⋅k AN =y 1x 1⋅y 2x 2=m +1n +2=-1，即m =-n -3．代入直线MN 方程中得n (y -x )-3x -4=0．则在新坐标系下直线MN 过定点-43,-43 ，则在原坐标系下直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 的中点43,13即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法三]：建立曲线系A 点处的切线方程为2×x6+1×y 3=1，即x +y -3=0．设直线MA 的方程为k 1x -y -2k 1+1=0，直线MB 的方程为k 2x -y -2k 2+1=0，直线MN 的方程为kx -y +m =0．由题意得k 1⋅k 2=-1．则过A ，M ，N 三点的二次曲线系方程用椭圆及直线MA ,MB 可表示为x 26+y 23-1+λk 1x -y - 2k 1+1 k 2x -y -2k 2+1 =0(其中λ为系数)．用直线MN 及点A 处的切线可表示为μ(kx -y +m )⋅(x +y -3)=0(其中μ为系数)．即x 26+y 23-1+λk 1x -y -2k 1+1 k 2x - y -2k 2+1 =μ(kx -y +m )(x +y -3)．对比xy 项、x 项及y 项系数得λk 1+k 2 =μ(1-k ),①λ4+k 1+k 2 =μ(m -3k ),②2λk 1+k 2-1 =μ(m +3).③将①代入②③，消去λ,μ并化简得3m +2k +1=0，即m =-23k -13．故直线MN 的方程为y =k x -23 -13，直线MN 过定点P 23,-13．又AD ⊥MN ，D 在以AP 为直径的圆上．AP 中点43,13 即为圆心Q ．经检验，直线MN 垂直于x 轴时也成立．故存在Q 43,13，使得|DQ |=12|AP |=223．[方法四]：设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ．若直线MN 的斜率不存在，则M x 1,y 1 ,N x 1,-y 1 ．因为AM ⊥AN ，则AM ⋅AN =0，即x 1-2 2+1-y 21=0．由x 216+y 213=1，解得x 1=23或x 1=2(舍)．所以直线MN 的方程为x =23．若直线MN 的斜率存在，设直线MN 的方程为y =kx +m ，则x 2+2(kx +m )2-6=1+2k 2 x -x 1 x -x 2 =0．令x =2，则x 1-2 x 2-2 =2(2k +m -1)(2k +m +1)1+2k 2．又y -m k 2+2y 2-6=2+1k 2 y -y 1 y -y 2 ，令y =1，则y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(-2k +m -1)1+2k 2．因为AM ⊥AN ，所以AM ⋅AN=x 1-2 x 2-2 +y 1-1 y 2-1 =(2k +m -1)(2k +3m +1)1+2k 2=0，即m =-2k +1或m =-23k -13．当m =-2k +1时，直线MN 的方程为y =kx -2k +1=k (x -2)+1．所以直线MN 恒过A (2,1)，不合题意；当m =-23k -13时，直线MN 的方程为y =kx -23k -13=k x -23 -13，所以直线MN 恒过P 23,-13 ．综上，直线MN 恒过P 23,-13 ，所以|AP |=423．又因为AD ⊥MN ，即AD ⊥AP ，所以点D 在以线段AP 为直径的圆上运动．取线段AP 的中点为Q 43,13，则|DQ |=12|AP |=223．所以存在定点Q ，使得|DQ |为定值．24.已知△ABC 的顶点A -4,0 ，B 4,0 ，满足：tan A tan B =916．(1)记点C 的轨迹为曲线Γ，求Γ的轨迹方程；(2)过点M 0,2 且斜率为k 的直线l 与Γ相交于P ，Q 两点，是否存在与M 不同的定点N ，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立？若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1)x 216+y 29=1x ≠±4 ;(2)N 0,92【解析】(1)设C x ,y ，则tan A tan B =y x +4⋅y 4-x =916，整理得x 216+y 29=1，故Γ的轨迹方程为x 216+y 29=1 x ≠±4 ；(2)设直线l 为y =kx +2，当k =0时，可得点P ，Q 关于y 轴对称，可得MQ =MP ，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ=MP MQ=1成立，即点N 在y 轴上，可设为N 0,a ,a ≠2.当k ≠0时，联立方程组y =kx +2x 216+y 29=1x ≠±4整理得9+16k 2 x 2+64kx -80=0，设P x 1,y 1 ,Q x 2,y 2则x 1+x 2=-64k 9+16k 2,x 1x 2=-809+16k 2，要使NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立，即NP NQ =MPMQ成立，由角平分线定理则只需使得y 轴为∠PNQ 的平分线，即只需k NP +k NQ =0，即y 1-ax 1+y 2-ax 2=0⇒x 2y 1-a +x 1y 2-a =x 2kx 1+2-a +x 1kx 2+2-a =0，即2kx 1x 2+2-a x 1+x 2 =2k ⋅-809+16k 2+2-a⋅-64k9+16k 2=0⇒-288+64a k =0解得：a =92，综上可得，存在与M 不同的定点N 0,92，使得NP ⋅MQ =NQ ⋅MP 恒成立25.如图，已知椭圆C :x 2a2+y 2=1(a >1)，其左、右焦点分别为F 1,F 2，过右焦点F 2且垂直于x 轴的直线交椭圆于第一象限的点P ，且sin ∠PF 1F 2=13.(1)求椭圆C 的方程；(2)过点S 0,-13且斜率为k 的动直线l 交椭圆于A ,B 两点，在y 轴上是否存在定点M ，使以AB 为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由.【答案】(1)x 22+y 2=1；(2)存在，0,1 .【解析】(1)法一：∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,PF 1 +PF 2 =2a ，∴PF 1 =32a ,PF 2 =a2,∵PF 2 2+F 1F 2 2=PF 1 2,F 1F 2 =2c ,∴a =2c ，∵a 2=c 2+1,∴c =1,a =2,∴椭圆方程为：x 22+y 2=1..法二：设P c ,y 0 ，代入椭圆方程，由a 2=c 2+1，解得PF 2 =y 0=1a ，∵sin ∠PF 1F 2=PF 2 PF 1=13,∴PF 1 =3a,∵PF 1 +PF 2 =2a ,∴a =2，。
椭圆中互相垂直的弦过定点问题
（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b +。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x ab =+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b +。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
椭圆中的定点(精编文档).doc
【最新整理，下载后即可编辑】椭圆定点问题直线过定点问题处理模型：★★①点斜式：00)(y x x k y +-=，过定点),(00y x ②021=+l l λ恒过两直线交点。
例、已知椭圆1222=+y x 的右焦点F （1,0），作两条相互垂直的弦AB 、CD ，设AB 、CD 的中点分别为M 、N 。
证明MN 必过定点，并求出此定点坐标。
变式练习：1、已知椭圆12222=+b y a x （0 b a ）过点⎪⎭⎫ ⎝⎛23,1，且离心率为21。
（1）求椭圆C 的方程（2）若动点P 在直线1-=x 上，过点P 作直线与椭圆C 相交于M ，N 两点，且P 为线段MN 的中点，再过点P 作直线l MN ⊥。
证明：直线l 横过定点，并求出该定点的坐标。
2、已知椭圆112222=-+a y a x 的焦点在X 轴上。
（1）若椭圆的焦距为1，求椭圆方程（2）设21,F F 分别是椭圆的左右焦点，P 为椭圆上第一象限内的点，直线P F 2交Y 轴于点Q ，并且Q F P F 11⊥，证明：当a 变化时，点P 在某定直线上。
3、已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l :y kx m =+与椭圆C 相交于A ，B 两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．4、设21,F F 为椭圆)0(14222>=+b b y x 的左右焦点，若点P 是椭圆上的动点，且21PF PF •的最大值为1.（1）求椭圆的方程；（2）设直线1-=ky x 与椭圆交于A 、B 两点，点A 关于x 轴对称点为A ’（A ’与B 不重合），则直线A ’B 与x 轴是否交于一个定点？若是，请写出该定点坐标，并证明你的结论；若不是，请说明理由。
二、圆过定点问题处理模型：★★①0)(22=++++C By Ax y x λ，恒过直线与圆的交点 ②0)(2222=+++++F Ey Dx y x y x λ，恒过两圆交点 处理运算：02=++c bx ax 对于任意实数均成立，则有0===c b a 例、已知椭圆121822=+y x 的左、右焦点分别为21F F 、，若M 、N 分别是直线5=x 上的两个动点，且满足N F M F 21⊥，证明：以MN 为直径的圆恒过定点，并求处定点坐标。
椭圆中定点问题
OxyPAB椭圆一个性质的应用性质 如图1，椭圆22221(0)x y a b a b +=>>PA PB k k ⋅为定值22b a-．已知椭圆上任意一点P 与过中心的弦AB 的两端点A 、B 连线PA 、PB 与坐标轴不平行，则直线PA 、PB 的斜率之积为定值22b a-证明 设(,)P x y ，11(,)A x y ，则11(,)B x y --．所以12222=+by a x ①1221221=+b y a x ② 由①－②得22122212by y a x x --=-， 所以22212212a b x x y y -=--， 所以222111222111PA PBy y y y y y b k k x x x x x x a-+-⋅=⋅==--+-为定值． 这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性，因而能简洁解决问题，下举例说明．一、证明直线垂直例1 如图2，已知椭圆22142x y +=，,A B 是其左、右顶点，动点M 满足MB AB ⊥，连结AM 交椭圆于点P ．求证：MO PB ⊥．证明 设(2,)M y ，由性质知12PA PBk k ⋅=-，即12MA PB k k ⋅=- ③图1图2直线MA ，MO 的斜率分别为24MA y y k a == ，2MO y y k a ==， 所以12MA MO k k =④ 将④代入③得1MO PB k k ⋅=-，所以MO PB ⊥．例2 如图3，PQ 是椭圆不过中心的弦，A 1、A 2为长轴的两端点，A 1P 与Q A 2相交于M ，P A 2与A 1Q 相交于点N ，则MN ⊥A 1A 2．证明 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）．由性质知1222PA PA b k k a ⋅=-，即1222MA NA b k k a ⋅=-，所以222211ab a x y a x y -=-⋅+ ⑤1222QA QA b k k a ⋅=， 即2122MA NA b k k a ⋅=-，所以221122ab a x y a x y -=-⋅+ ⑥比较⑤与⑥得1221()()()()x a x a x a x a +-=+-，所以2112()()a x x a x x -=-， 所以12x x =．所以MN ⊥x 轴，即MN ⊥A 1A 2．二、证明直线定向例3 如图4，已知A (2，1)，B (－2，－1)是椭圆E ：x 26＋y 23＝1上的两点，C ，D 是椭圆E 上异于A ，B 的两点，且直线AC ，BD 相交于点M ，直线AD ，BC 相交于点N ．CA ，CB ，DA ，DB 的斜率都存在．求证：直线MN 的斜率为定值．证明 设(,)M M M x y ，(,)N N N x y ，由性质知12CA CB k k ⋅=-，即12MA NB k k ⋅=-， 12DA DBk k ⋅=-，即12NA MB k k ⋅=-．所以111222N M M N y y x x +-⋅=--+，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x +--=-+-- ⑦xy AOB CDMN 图4图3111222N M M N y y x x -+⋅=-+-，11(224)2M N M N M N M N y y y y x x x x -+-=--+- ⑧由⑦－⑧得()M N M N y y x x -=--所以1MN k =-，即直线MN 的斜率为定值1-．三、证明点的纵坐标之积为定值例4 如图5，已知椭圆C ：x 24＋y 23＝1，过椭圆C 的右焦点F 且与x 轴不重合的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，点B 关于坐标原点的对称点为P ，直线P A ，PB 分别交椭圆C 的右准线l 于M ，N 两点． 记M ，N 两点的纵坐标分别为y M ，y N ，求证：y M ·y N 为定值．证明 当直线AB 的斜率k 不存在时，易得y M ·y N ＝－9.当直线AB 的斜率k 存在时，由性质知k P A k ＝－34，所以k P A ＝－34k .设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则P (－x 2，－y 2)， 所以直线P A 的方程为y ＋y 2＝－34k (x ＋x 2)，因为右准线l 的方程为4x =， 所以y M ＝－34k(x 2＋4)－y 2，因为,,A F B 三点共线，所以直线AB 的斜率k ＝y 2(x 2－1).所以y M ＝－3(x 2＋4)(x 2－1)4y 2－y 2.因为直线PB 的方程为y ＝y 2x 2x ，所以y N ＝4y 2x 2.所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)x 2－4y 22x 2.又因为x 224＋y 223＝1，所以4y 22＝12－3x 22， 所以y M y N ＝－3×(x 2＋4)(x 2－1)＋4－x 22x 2＝－9，所以y M y N 为定值－9.图5由以上几个例题，同学们会看到，这个性质解决问题中起到了化繁为简作用，希望同学们领悟其中的道理，并进一步运用这个性质解决更多的问题．巩固练习．已知椭圆22221(0)x ya ba b+=>>的离心率12e=，A、B分别是椭圆的左、右顶点，P是椭圆上不同于A、B的一点，直线P A、PB的倾斜角分别为α、β，则cos()cos()αβαβ-+的值为▲ ．。
椭圆中定点定值问题课件
即有 l : y k(x 1) , 令 x 1 得,y=0,与实数 k 无关,
例5 已知 P(1,3),Q(1, 2) ，设过点 P 的动直线与抛物线 y x2 交于 A, B 两点，
直线 AQ, BQ 与该抛物线的另一交点分别为 C, D ，记直线 AB,CD 的
斜率分别为 k1, k2 .
解：（Ⅰ）由题意:设直线 l : y kx n(n 0) ,
y kx n
由
x
2
3
y2
消
1
y
得:
(1 3k 2 )x2
6knx
3n2
3
0
,
36k 2n2 4(1 3k 2 )× 3(n2 1) 12(3k 2 1 n2 ) 0
设 A (x1, y1) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理得: [来源:学科网]
MB
( x1
7 3
,
y1 )( x2
7 3
,
y2
)
( x1
7 3
)(
x2
7) 3
y1 y2
( x1
7 3 )( x2
7) 3
k
2
(
x1
1)(
x2
1)
(1
k2
) x1 x2
(7 3
k2
)( x1
x2
)
49 9
k
2
(1
k
2
)
3k 2 3k 2
5 1
(
7 3
k
2
)(
6k 2
3k
2
) 1
49 9
k
2
椭圆弦中点问题探究
a
7
探究方法小结
上述研究表明，圆中的某些性质经过改造后
，可以迁移到椭圆中来，我们是通过数学实
验的方法来发现其中的规律，但是数学实验
中发现的规律还需理论推导证明，上述证明
中，主要用到点差法。其关键点是
(y1 y2)(y1 y2)
b2
它沟通了(x弦1 的x2斜)(x1率、x2)弦的中a 点2 坐标与椭圆基
本量a，b之间的紧密联系。
a
8
轨迹方程——方法的探究
问题2、过点P（2，1）作椭圆x2+4y2=16
的一条弦AB，若点P是弦AB的中点，求
直线AB的方程
YA
P(2,1)
O
X B
a
9
韦达定理法
设AB：y－1=k（x－2）,代入椭圆方程 x 2 y 2 1 16 4
得x2+4[k（x－2）+1]2=16，
a
15
变式训练二
过P（2，1）作椭圆9x2+25y2=225的一条弦AB，若弦
AB的中点M在x轴上，求直线AB方程
思路:设A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，0），则
x
2 1
y
2 1
1
25 9
x
2 2
y
2 2
1
25 9
两式相减，得
x
2 1
x
2 2
y12 y22 0
∵M为AB的中点，
a
18
方法训练作业
x2 y2 设动A点、（B不为同椭于圆Aa、2 B）b，2 作1长AQ轴⊥的P两A，端B点Q，⊥PP为B，椭求圆直上线一
AQ与BQ的交点Q的轨迹方程。
设P（x0，y0），Q（x，y），xa022
椭圆中定点定值问题一般结论
椭圆中的“定”五、一般结论30. 已知点 A x 0 , y 0x 0 y 0x 2 y 2是椭圆 C ： 22 1 a b 0 上一定点，过点 A 的两直ab线 l 1,l 2 与椭圆 C 的另一个交点分别为 P 、 Q ，直线 l 1 ,l 2 的斜率分别为 k 1, k 2 .（1）若 k 1 k 2b 2，直线 PQ 的斜率为定值y 0.反之亦然 .a 2 x 0（2）若 kk 2 0 ，直线 PQ 的斜率为定值 b 2y 0 .反之亦然 .12a x 0x 2 y 21 ab 0 的动弦 BC 的两端点与椭圆上定点A x 0 , y 031.椭圆 C ：2b 2连线的斜率a存在，若斜率之积为定值b 2 m m 1 ，则直线 BC 必定过定点 M x 0m 1 , y 0 m 1 .a 2m 1 m 1x 2 y 21 ab0 的动弦 BC 的两端点与椭圆上定点A x 0 , y 0 连线的斜率 32.椭圆 C ：2b 2a存在，若斜率之和为定值2b0 ，则直线 BC 必定过定点a b.a n n N x 0bny 0,anxy 033.（ 1）一条经过点M m,0 的直线 l 与椭x 2 y 2圆C ：2b 2 1 a b 0 交于 A, B 两 a点，作 A 关于长轴的对称点 A ,则直线 AB 过定点 Ta 2,0 .m（2）一条经过点 M 0,m b m b 的直线 lx 2 y 21 ab 0 交于 P,R 两点，与椭圆C ： 2b 2a设点Q 0,b 2，则 PQM RQM .m（ ）过椭圆 C 的左（右）准线上任意一点 N 作椭圆的34. 1切线，切点为 A, B ，则直线 AB 必过椭圆的左 （右）焦点，反之， 当圆锥曲线的焦点弦 AB 绕焦点 F 运动时， 过弦的端点 A, B 的两切线交点的轨迹为F 对应的准线 .（2）过椭圆 C 的左（右）准线上任意一点 N 作椭圆的切线，切点为 A ，则以 NA 为直径的圆过椭圆的左（右）焦点，即NFA900 .35. 过 点 P x 0 , y 0x 2 y 21作直线交 C ：b 2a 2a b 0 于 A, B 两点，点 P,Q 在椭圆的异侧且点Q 在直线AB上 ， 若AP QB A ，Q 则点PQB 在定直线x 0 x y 0 y1上.a2b236.已知 P x 0 , y 0是椭圆 E :x 2 y 2 1 外 2 2a b 一点，过点 P 作椭圆的切线，切点为 A,B ，再过 P 作椭圆的割线交椭圆于M,N ，交 AB于点 Q ，令 s1, t1 ,u 1 ，则PMPN PQs,t ,u 的关系是 s t2u .37.自Px 0 , y 0x 2 y 2P 1, P 2 ，则切点作椭圆 C ：22 1 a b 0 的两条切线，切点分别为ab点弦 PP 12 x 0 x y 0 y 1.的方程为 ：b 2a 238. 过椭圆x 2 y 2 上一点 P 0x 0 x y 0 y 1.a 2b 21 a b 0x 0 , y 0 的切线方程为b 2a 239. （ 1）过圆 x 2y 2a 22上任意一点作椭圆x 2y 21 a b 0的两条切线，bC ：2 b 2则这两条切线相互垂直. 反之，作椭圆ax 2 y 2 1 ab 0C ： 22 的两条相互垂直的abx 2y 2 a 2 b 2切线，则切线交点一定在圆 上.（2）过圆 x 2y 2 a 2 b 2 上任意一点 P 作椭y 2圆 C ：a 2 b 2 1 a b 0 的两条切线x 2PA, PB , A, B 为切点，中心 O 至切点弦的距离为d1 ，P 点至切点弦的距离为d2 ，则d 1 d 2a 2b 2a 2 .b 2x 2 y 21 ab 0 中，焦点分别为F 1 、 F 2 ，点 P 是椭圆上任意一点，40. 在椭圆 C ： 2b 2aF 1PF 2，则 S FPFb 2 tan122。
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椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题（1）过椭圆22221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a ca b+。
（2）过椭圆22221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1x y s m=-+， 222222x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 2222224()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222()a s a y y mb a-⋅=+， 由中点公式得M 22222222(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1m-代换，得到N 的坐标222222222(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222a s x a b=+ 所以直线MN 恒过定点222(,0)a sa b+。
（3）过椭圆22221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b ta b+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点2222(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b ++。
设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1()x s y t m-=--， 222222()0x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得22222222()()(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：22222222()()()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222(,)a s b ta b a b++。
重庆高2018级理科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点。
（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆交于ABCD 四点。
线段AB ，CD 的中点分别是M ，N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标。
设直线:(1)AB y k x =-，联立椭圆方程223412x y +=得：2222(43)84120k x k x k +-+-=，222218424343M k k x k k =⋅=++，222218424343M k k y k k =⋅=++，222444343N k x k k==++,213(1)34N N k y x k k =--=+ 由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，N M M N M N MM N M N My y x y y x y t t x x x y y ---=⇒=---，代入,M N 坐标化简得47t =，所以过定点4(,0)7。
结论（一）以00(,)x y 为直角定点的椭圆22221x y a b +=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y 轴上。
证明：设右顶点(0,)P b ，设y kx b =+，1y x b k=-+ 222222y kx b b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20a k b x a bkx ++=⇒， 212222,a bk x a k b -=+，将k 换成1k-得：222222a bk x a b k =+ 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t ，1212121121212121211()()kx b x x x b t y y y y x x yk t x x x x x x x -+-+---=⇒==----，2222122211()x x k b b a t b k x x b a +-=⨯+=-+，所以过定点2222()(0,)b b a b a -+。
推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x 轴上。
证明：设右顶点(,0)P a ，设x my a =+，1y x a m=-+ 222222x my a b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222()20b m a y b amy ++=⇒， 212222b am y b m a -=+，将m 换成1m-得：222222b am y b a m =+由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，1212121121212121211()()my a y y y a y y y x y y xm t t x x x y y y y -+-+---=⇒==----，2222122211()y y m a a b t a m y y a b+-=⨯+=-+，所以过定点2222()(,0)a a b a b -+。
下面探求ABP ∆面积的最大值：2222()a a b x my a b -=++代入椭圆得：22442222222222()4()20()a a b a b b m a y b my a b a b --++⨯⨯+=++ 2422242224[()4]()a b a b m a a b ++∆=+，222242122222222221()2([]2()ABPa ab ab a b S a y y a b a b a b m a b ∆-=⨯-⨯-=⨯=++++242224()a b a b ≤+，当且仅当0m =时等号成立取最大值。
面积在2m ∈[0,)+∞单调递减。
结论2：以00(,)x y 为直角定点的抛物线22y px =内接直角三角形的斜边必过定点0(2x p +，0)y -结论3：以00(,)x y 为直角定点的双曲线22221x y a b -=内接直角三角形的斜边必过定点2222002222(,)a b a b x y a b b a++--重庆高2018级文科二诊20（本题满分12分）已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22143x y +=的左右焦点，B 为椭圆的上顶点。
（2）过点B 作两条互相垂直的直线与椭圆交于S ，T 两点（异于点B ），证明：直线ST过定点，并求该定点的坐标。
（2）解：设1122(,),(,)S x y T x y ，直线:BS y kx =，联立椭圆方程得：22(43)0k x ++=，1243x k -=+，2243k x k -==+， 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t，1212121121212121211((kx x x x t y y y y x x yk t x x x x x x x -----=⇒==----，代入1x ，2x化简得t =，所以过定点。
重庆巴蜀中学高2018级届月考卷九理科20（本小题满分12分）已知椭圆2222:1x y C a b+=的左右焦点分别是1F ，2F ，上顶点M ，右顶点为(2,0)N ，12MF F ∆的外接圆半径为2。
（1）求椭圆C 的标准方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，若以AB 为直径的圆经过点N ，求ABN ∆面积的最大值。
解：（Ⅰ）∵右顶点为(20)，，∴2a =，122MF MF ==，∵121sin 2MO b bMF F MF a ∠===，2122424sin 2MF R b MF F b ====∠，∴1b =， ∴椭圆的标准方程为2214x y +=．……………………………………………（4分）（Ⅱ）设直线l 的方程为my x b =+，1122()()A x y B x y ，，，， 与椭圆联立得222(4)240m y mby b +-+-=，∴21212222444mb b y y y y m m -+==++，． ……………………………………………（6分）∵以AB 为直径的圆经过点N ，∴0NA NB =， ∵1122(2)(2)NA x y NB x y =-=-，，，， ∴1212122()40x x x x y y -+++=，①……………………………………………（7分）∵121228()24b x x m y y b m -+=+-=+，2222121212244()4b m x x m y y mb y y b m -=-++=+， 代入①式得2516120b b ++=，∴65b =-或2b =-（舍去），故直线l 过定点605⎛⎫⎪⎝⎭，． ……………………………………………………（9分）∴121622||255ABN S y y ⎛⎫=⨯-⨯-= ⎪⎝⎭△ …………（10分）令222564()[0)(4)t h t t m t +==∈+∞+，，， 则228()0251281120425h t t t t ⎛⎫'>⇒++<⇒∈-- ⎪⎝⎭，，∴()h t 在[0)t ∈+∞，上单调递减，max ()(0)4h t h ==， ∴0m =时，max 1625ABN S =△． …………………………………………………（12分）(一般化结论)：直线AB 与椭圆2222:1x y C a b+=交于,A B 两点，P 为上顶点。