椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
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椭圆中互相垂直的弦中点过定点问题
（1）过椭圆22
221x y a b +=的右焦点(,0)F c 作两条互相垂直的弦AB ，CD 。若弦AB ，CD
的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点22
2
(,0)a c
a b
+。 （2）过椭圆22
221x y a b +=的长轴上任意一点(,0)()S s a s a -<<作两条互相垂直的弦AB ，
CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(,0)a s
a b
+。
设AB 的直线为x my s =+，则CD 的直线方程为1
x y s m
=-
+， 222222
x my s b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222222
()2()0m b a y b msy b s a +++-=， 22
22
2
2
4()0a b m b a s ∆=+->，2112222msb y y m b a -+=+，22211222
()
a s a y y m
b a
-⋅=+， 由中点公式得M 22
22
2222
(,)a s msb m b a m b a -++， 将m 用1
m
-代换，得到N 的坐标22222
2222
(,)a sm msb m a b m a b ++ MN 的直线方程为222222
222222()()(1)b sm a b m a s y x b m a a m b m a ++=-+-+，令0y =，得222
a s x a b
=+ 所以直线MN 恒过定点22
2
(,0)a s
a b
+。 （3）过椭圆22
221x y a b +=的短轴上任意一点(0,)()T t t t t -<<作两条互相垂直的弦AB ，
CD 。若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222(0,)b t
a b
+。
（4）过椭圆22221x y a b +=内的任意一点22
22(,)(1)s t Q s t a b +<作两条互相垂直的弦AB ，CD 。
若弦AB ，CD 的中点分别为M ，N ，那么直线MN 恒过定点222
222
(,)a s b t
a b a b ++。 设AB 的直线为()x s m y t -=-，则CD 的直线方程为1
()x s y t m
-=-
-， 222222
()0
x s m y t b x a y a b -=-⎧⎨+-=⎩，2222222222
()2()()0m b a y b ms m t y b s mt a b ++-+--=， 2112222()mb s mt y y m b a --+=+，由中点公式得2222
2222()()
(,)a s mt mb mt s M m b a m b a --++ 直线MN 的方程为：2222
2222
()()
()MN b m mt s a s mt y k x b m a b m a ---=-++， 即222
222()MN a s b t y k x a b a b -=-++，所以直线MN 恒过定点222222
(,)a s b t
a b a b
++。
重庆高2018级理科二诊20（本题满分12分）
已知1(1,0)F -，2(1,0)F 是椭圆22
143
x y +=的左右焦点。（2）过2F 作两条互相垂直的直线1l 与2l （均不与x 轴重合）分别与椭圆交于ABCD 四点。线段AB ，CD 的中点分别是M ，
N ，求证：直线MN 过定点，并求出该定点坐标。
设直线:(1)AB y k x =-，联立椭圆方程223412x y +=得：
2
2
2
2
(43)84120k x k x k +-+-=，22
2218424343
M k k x k k =⋅=++，
2
2
2218424343M k k y k k =⋅=++，222444343N k x k k
==++,213(1)34N N k y x k k =--=+ 由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。 设该定点坐标(,0)t ，
N M M N M N M
M N M N M
y y x y y x y t t x x x y y ---=⇒=---，代入,M N 坐标化简得
47t =
，所以过定点4
(,0)7
。
结论（一）以00(,)x y 为直角定点的椭圆22
221x y a b +=内接直角三角形的斜边必过定点
2222
002222
(,)a b b a x y a b b a --⨯⨯++。
推论1：以上顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在y 轴上。 证明：设右顶点(0,)P b ，设y kx b =+，1
y x b k
=-
+ 222222
y kx b b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222
()20a k b x a bkx ++=⇒， 212222,a bk x a k b -=+，将k 换成1k
-得：22222
2a bk x a b k =+ 由题意，若直线BS 关于y 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于x 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在y 轴上。
设该定点坐标(0,)t ，
1212121121212121
21
1
()(
)kx b x x x b t y y y y x x y
k t x x x x x x x -+-+---=⇒==----，
222212
2
211()
x x k b b a t b k x x b a +-=⨯+=-+，所以过定点2222()(0,)b b a b a -+。
推论2：以右顶点为直角顶点的椭圆内接直角三角形的斜边必过定点，且定点在x 轴上。 证明：设右顶点(,0)P a ，设x my a =+，1
y x a m
=-
+ 222222
x my a b x a y a b =+⎧⎨+-=⎩，22222
()20b m a y b amy ++=⇒， 212222b am y b m a -=+，将m 换成1m
-得：222222b am y b a m =+
由题意，若直线BS 关于x 轴对称后得到直线B S ''，则得到的直线S T ''与ST 关于y 轴对称，所以若直线ST 经过定点，则该定点一定是直线S T ''与ST 的交点，该点必在x 轴上。
设该定点坐标(,0)t ，
1212121121212121
21
1
()(
)my a y y y a y y y x y y x
m t t x x x y y y y -+-+---=⇒==----，